Väide on keerulisem moodustis kui nimi. Kui me jagame väited lihtsamateks osadeks, saame alati teatud nimed. Ütleme, et väide "Päike on täht" sisaldab osadena nimesid "Päike" ja "täht".

avaldus - grammatiliselt õige lause, mis on koos selle väljendatava tähenduse (sisuga) tõene või väär.

Lause mõiste on üks algupäraseid, võtmemõisteid kaasaegne loogika. Sellisena see ei luba täpne määratlus, mis on võrdselt kohaldatav selle erinevates jaotistes.

Väide loetakse tõeseks, kui selle kirjeldus vastab tegelikule olukorrale, ja valeks, kui see ei vasta sellele. "Tõene" ja "vale" nimetatakse "väidete tõeväärtusteks".

Üksikutest väidetest erinevatel viisidel saate koostada uusi väiteid. Näiteks väidetest “Tuul puhub” ja “Sajab” saab moodustada keerukamaid väiteid “Tuul puhub ja sajab”, “Kas tuul puhub või sajab”, “Kui see sajab, siis puhub tuul” jne.

Avaldus on nn lihtne, välja arvatud juhul, kui see sisaldab osana muid avaldusi.

Avaldus on nn kompleksne, kui see saadakse loogiliste konnektiivide abil muudest lihtsamatest väidetest.

Mõelgem kõige rohkem olulised viisid ehitus keerulised avaldused.

Negatiivne väide koosneb alguslausest ja eitusest, mida tavaliselt väljendatakse sõnadega "ei", "see pole tõsi". Eitav väide on seega keeruline väide: see sisaldab oma osana temast erinevat väidet. Näiteks väite “10 on paarisarv” eitus on väide “10 ei ole paarisarv” (või: “Ei ole tõsi, et 10 on paarisarv”).

Tähistame väited tähtedega A, B, C,... Väite eituse mõiste täieliku tähenduse annab tingimus: kui väide A on tõene, selle eitus on väär ja kui A on vale, selle eitus on tõsi. Näiteks kuna väide "1 on positiivne täisarv" on tõene, on selle eitus "1 ei ole positiivne täisarv" väär ja kuna "1 on algarv" on väär, siis selle eitus "1 ei ole algarv" ” on tõsi.

Kahe avalduse ühendamine sõnaga "ja" annab keeruka avalduse nimega sidesõna. Sel viisil ühendatud väiteid nimetatakse "konjunktsiooni liikmeteks".

Näiteks kui liita sel viisil väited “Täna on palav” ja “Eile oli külm”, saadakse sidesõna “Täna on palav ja eile oli külm”.

Sidesõna on tõene ainult siis, kui mõlemad selles sisalduvad väited on tõesed; kui vähemalt üks selle liikmetest on väär, siis on kogu side väär.

Tavakeeles ühendab kaks väidet sidesõnaga “ja”, kui need on sisult või tähenduselt üksteisega seotud. Selle seose olemus pole päris selge, kuid selge on see, et me ei käsitleks sidesõna “Ta kõndis mantlis ja mina kõndisin ülikooli” väljendiks, millel on tähendus ja mis võib olla tõene või vale. Kuigi väited “2 on algarv” ja “Moskva on suur linn” on tõesed, me ei kipu nende sidet “2 on algarv ja Moskva on suurlinn” õigeks pidama, kuna konstitueerivad väited ei ole tähenduselt omavahel seotud. Lihtsustades konjunktsiooni ja muude loogiliste konnektiivide tähendust ning sel eesmärgil loobudes ebaselgest mõistest "väidete seos tähenduse järgi", muudab loogika nende konnektiivide tähenduse nii laiemaks kui ka spetsiifilisemaks.

Kahe väite ühendamine sõna "või" abil annab disjunktsioon need avaldused. Disjunktsiooni moodustavaid väiteid nimetatakse "lahknemise liikmeteks".

Sõnal "või" on igapäevakeeles kaks erinevat tähendust. Mõnikord tähendab see "üht või teist või mõlemat" ja mõnikord "üht või teist, kuid mitte mõlemat". Näiteks avaldus "Sel hooajal tahan ma minna " Potikuninganna"või "Aidas" võimaldab Onera külastamist kaks korda. Väide “Ta õpib Moskvas või Jaroslavli Ülikoolis” viitab sellele, et mainitud isik õpib ainult ühes neist ülikoolidest.

Esimest tähendust "või" nimetatakse mitte eksklusiivne. Selles mõttes tähendab kahe väite disjunktsioon seda, et vähemalt üks väidetest on tõene, olenemata sellest, kas need mõlemad on tõesed või mitte. Võetud teises eksklusiivne või kitsas tähenduses, kahe väite disjunktsioon väidab, et üks väidetest on tõene ja teine ​​on väär.

Mittevälistav disjunktsioon on tõene, kui vähemalt üks selle koostisosadest on tõene, ja väär ainult siis, kui selle mõlemad liikmed on valed.

Eksklusiivne disjunktsioon on tõene, kui ainult üks selle terminitest on tõene, ja see on väär, kui mõlemad selle tingimused on tõesed või mõlemad on valed.

Loogikas ja matemaatikas kasutatakse sõna "või" peaaegu alati mittevälistavas tähenduses.

Tingimuslik avaldus - keeruline väide, mis on tavaliselt sõnastatud konnektiivi "kui..., siis..." abil ja selle ühe sündmuse, oleku vms tuvastamine. on ühes või teises mõttes teise aluseks või tingimuseks.

Näiteks: "Kui on tuli, siis on suitsu", "Kui arv jagub 9-ga, jagub see 3-ga" jne.

Tingimuslik lause koosneb kahest lihtsamast lausest. Kutsutakse seda, millele eelneb sõna "kui". alus, või eelnev(eelmine), nimetatakse sõna “see” järel tulevat väidet tagajärg, või tagajärg(järgnev).

Tingimusliku väite jaatuse all peame eelkõige silmas seda, et ei saa olla nii, et selle aluses öeldu leiab aset ja tagajärjena öeldu puudub. Teisisõnu ei saa juhtuda, et eelkäija on tõene ja tagajärg on väär.

Tingimusliku väite mõistes defineeritakse tavaliselt piisavate ja vajalike tingimuste mõisted: eelkäija (maa) on tagajärje (tagajärje) piisav tingimus ja tagajärg on vajalik tingimus eelkäija jaoks. Näiteks tingimuslause „Kui valik on ratsionaalne, siis valitakse saadaolevatest alternatiividest parim“ tõepärasus tähendab seda, et ratsionaalsus on piisav põhjus olemasolevatest valikutest parima valimiseks ning et sellise variandi valik on selle ratsionaalsuse vajalik tingimus.

Tingimusliku lause tüüpiline funktsioon on ühe väite põhjendamine viitega teisele väitele. Näiteks asjaolu, et hõbe on elektrit juhtiv, saab põhjendada sellega, et see on metall: "Kui hõbe on metall, on see elektrit juhtiv."

Tingimusliku väitega väljendatava põhjendava ja põhjendatava (aluse ja tagajärje) seost on raske iseloomustada. üldine vaade, ja ainult mõnikord on selle olemus suhteliselt selge. See seos võib olla esiteks loogilise tagajärje seos, mis leiab aset ruumide ja õige järelduse järelduse vahel (“Kui kõik elusad paljurakulised olendid on surelikud ja meduus on selline olend, siis on ta surelik”); teiseks loodusseaduse järgi ("Kui keha allub hõõrdumisele, hakkab see kuumenema"); kolmandaks põhjuslik seos ("Kui Kuu on noorkuu ajal oma orbiidi sõlmes, päikesevarjutus"); neljandaks sotsiaalne seaduspärasus, reegel, traditsioon jne. (“Kui ühiskond muutub, muutub ka inimene”, “Kui nõuanne on mõistlik, tuleks see ellu viia”).

Tingimusliku väitega väljendatud seosega kaasneb tavaliselt usk, et tagajärg "järgneb" teatud vajadusega mõistusest ja on mingi üldine seaduspärasus, mille sõnastamist oskanuna saaksime loogiliselt järeldada tagajärge. põhjus.

Näiteks tinglik väide “Kui vismut on metall, on plast” näib eeldavat üldist seadust “Ükski metall pole plast”, muutes selle väite tagajärje selle eelkäija loogiliseks tagajärjeks.

Nii tavakeeles kui ka teaduskeeles võib tinglik väide lisaks põhjendamise funktsioonile täita ka mitmeid muid ülesandeid: sõnastada tingimus, mida ei seostata ühegi kaudse üldseaduse või reegliga (“Kui Ma tahan, ma lõikan oma mantli"); salvestage mis tahes järjestus ("Kui eelmine suvi oli kuiv, siis sel aastal on vihmane"); väljendage umbusku omapärasel kujul ("Kui sa selle ülesande lahendad, tõestan Fermat' viimast teoreemi"); vastuseis (“Kui aias kasvab leeder, siis elab Kiievis tüüp”) jne. Tingimuslause funktsioonide paljusus ja heterogeensus raskendab oluliselt selle analüüsi.

Tingimuslike väidete kasutamine on seotud teatud psühholoogiliste teguritega. Seega sõnastame sellise väite enamasti vaid siis, kui me ei tea kindlalt, kas selle eelkäija ja järelmõju on tõesed või väärad. Vastasel juhul tundub selle kasutamine ebaloomulik (“Kui vatt on metall, on see elektrijuht”).

Tingimuslik väide on väga lai rakendus kõigis arutluskäikudes. Loogikas on seda tavaliselt esindatud kaudne avaldus, või tagajärjed. Samas täpsustab, süstematiseerib ja lihtsustab loogika “kui..., siis...” kasutamist, vabastades selle psühholoogiliste tegurite mõjust.

Loogika abstraheeritakse eelkõige sellest, et tinglikule väitele omast seost põhjuse ja tagajärje vahel saab sõltuvalt kontekstist väljendada mitte ainult „kui..., siis...” abil, vaid ka muul viisil. keelelised vahendid. Näiteks “Kuna vesi on vedelik, siis edastab see rõhku ühtlaselt igas suunas”, “Kuigi plastiliin ei ole metall, on see plastik”, “Kui puit oleks metall, oleks see elektrit juhtiv” jne. Need ja sarnased väited on loogikakeeles esindatud kaudselt, kuigi “kui..., siis...” kasutamine neis poleks päris loomulik.

Implikatsiooni kinnitades kinnitame, et ei saa juhtuda, et selle alus on olemas ja tagajärg puudub. Teisisõnu on implikatsioon vale ainult siis, kui selle põhjus on tõene ja tagajärg on väär.

See definitsioon eeldab, nagu ka eelmised konnektiivide definitsioonid, et iga väide on kas tõene või väär ja et kompleksväite tõeväärtus sõltub ainult koostisosade väidete tõeväärtustest ja nende ühendamise viisist.

Järeldus on tõene, kui nii selle põhjus kui ka tagajärg on tõesed või väärad; see on tõsi, kui selle põhjus on vale ja tagajärg on tõene. Vaid neljandal juhul, kui põhjus on tõene ja tagajärg vale, on implikatsioon vale.

See ei tähenda, et avaldused A Ja IN on omavahel sisult kuidagi seotud. Kui tõsi IN avaldus "kui A, See IN" tõsi, olenemata sellest, kas A tõene või vale ja see on tähenduselt seotud IN või mitte.

Näiteks peetakse tõeseks järgmisi väiteid: "Kui Päikesel on elu, siis kaks ja kaks on neli," "Kui Volga on järv, siis Tokyo on suur küla" jne. Tingimuslik väide kehtib ka siis, kui A vale ja jällegi ükskõikne, tõsi IN või mitte ja kas see on sisult seotud A või mitte. Tõelised väited hõlmavad järgmist: "Kui Päike on kuup, siis Maa on kolmnurk", "Kui kaks ja kaks võrdub viis, siis Tokyo on väike linn" jne.

Tavalises arutluskäigus ei peeta kõiki neid väiteid tõenäoliselt tähenduslikeks ja veelgi vähem tõesteks.

Kuigi implikatsioon on kasulik paljudel eesmärkidel, ei ole see täiesti kooskõlas tingimusliku seose tavapärase arusaamaga. Implikatsioon hõlmab paljusid tingimuslause loogilise käitumise olulisi tunnuseid, kuid samas ei ole see selle piisavalt adekvaatne kirjeldus.

Viimase poole sajandi jooksul on tehtud jõulisi katseid implikatsiooniteooriat reformida. Samas ei olnud küsimus kirjeldatud implikatsiooni mõistest loobumises, vaid sellega koos veel ühe kontseptsiooni kasutuselevõtmises, mis arvestab mitte ainult väidete tõeväärtustega, vaid ka nende sisulise seosega.

Tihedalt seotud implikatsiooniga samaväärsus, mõnikord nimetatakse seda "kahekordseks implikatsiooniks".

Ekvivalentsus on komplekslause "A siis ja ainult siis, kui B", mis moodustatakse Li B väidetest ja laguneb kaheks implikatsiooniks: "kui A, siis B" ja "kui B, siis A". Näiteks: "Kolmnurk on võrdkülgne siis ja ainult siis, kui see on võrdnurkne." Mõiste “ekvivalentsus” tähistab ka konnektiivi “..., siis ja ainult siis, kui...”, mille abil moodustatakse kahest väitest antud komplekslause. „Kui ja ainult siis“ asemel võib selleks kasutada „kui ja ainult siis“, „kui ja ainult siis“ jne.

Kui loogilised konnektiivid on defineeritud tõe ja vale terminites, on samaväärsus tõene siis ja ainult siis, kui mõlemal koostislausel on sama tõeväärtus, s.t. kui need mõlemad on tõesed või mõlemad valed. Järelikult on samaväärsus väär, kui üks selles sisalduvatest väidetest on tõene ja teine ​​on väär.

Propositsiooniloogika , mida nimetatakse ka propositsiooniloogikaks, on matemaatika ja loogika haru, mis uurib lihtsatest või elementaarlausetest loogiliste operatsioonide abil koostatud keeruliste väidete loogilisi vorme.

Propositsiooniloogika abstraheerub väidete sisust ja uurib nende tõeväärtust ehk seda, kas väide on tõene või väär.

Ülaltoodud pilt illustreerib nähtust, mida tuntakse valeliku paradoksina. Samas on projekti autori hinnangul sellised paradoksid võimalikud vaid poliitilistest probleemidest mittevabades keskkondades, kus kellelegi saab a priori tembeldada valetaja. Looduslikus mitmekihilises maailmas “tõe” või “vale” subjekti hinnatakse ainult üksikuid väiteid . Ja hiljem selles õppetükis tutvustatakse teile võimalus hinnata paljusid selleteemalisi väiteid ise (ja siis vaata õigeid vastuseid). Sealhulgas keerulised väited, milles lihtsamad on omavahel seotud loogikatehete märkide abil. Kuid kõigepealt kaalume neid toiminguid avalduste endi kohta.

Propositsiooniloogikat kasutatakse arvutiteaduses ja programmeerimises loogiliste muutujate deklareerimise ja neile loogiliste väärtuste "false" või "true" määramise kujul, millest sõltub programmi edasise täitmise käik. Väikestes programmides, kus on kaasatud ainult üks tõeväärtus muutuja, antakse tõeväärtuse muutujale sageli nimi, näiteks "lipp" ja selle tähendus on "lipp on üleval", kui muutuja väärtus on "tõene" ja "lipp on maas". selle muutuja väärtus on "false". Suurtes programmides, milles on mitu või isegi palju loogilisi muutujaid, peavad spetsialistid leidma loogilistele muutujatele nimed lausete ja semantiline koormus, mis eristab neid teistest loogilistest muutujatest ja on arusaadav teistele spetsialistidele, kes selle programmi teksti loevad.

Seega saab avalduse kujul deklareerida loogilise muutuja nimega “UserRegistered” (või selle ingliskeelse analoogi), millele saab omistada loogilise väärtuse “true”, kui on täidetud tingimused, et registreerimisandmed saadeti. kasutaja poolt ja programm tunnistab need andmed kehtivaks. Edasistes arvutustes võivad muutujate väärtused muutuda sõltuvalt UserRegistered muutuja loogilisest väärtusest (tõene või väär). Muudel juhtudel saab muutujale, näiteks nimega “Päevani on jäänud rohkem kui kolm päeva”, määrata enne teatud arvutusplokki väärtuse “True” ja programmi edasisel täitmisel saab seda väärtust määrata. salvestatud või muudetud väärtuseks "false" ja edasise täitmise käik sõltub selle muutuja programmide väärtusest.

Kui programm kasutab mitut loogilist muutujat, mille nimed on lausekujulised ja neist ehitatakse keerulisemad laused, siis on programmi palju lihtsam arendada, kui enne selle arendamist kõik toimingud üles kirjutada. lauseid lauseloogikas kasutatavate valemite kujul, kui me teeme selles õppetükis.

Loogilised operatsioonid väidetega

Matemaatiliste väidete puhul saab alati teha valiku kahe erineva alternatiivi, "tõene" ja "vale" vahel, kuid "verbaalses" keeles tehtud väidete puhul on mõisted "tõde" ja "vale" mõnevõrra ebamäärasemad. Kuid näiteks verbaalsed vormid, nagu "Mine koju" ja "Kas sajab?", ei ole väited. Seetõttu on selge, et väited on sõnalised vormid, milles midagi öeldakse . Küsi- või hüüdlaused, pöördumised, samuti soovid või nõudmised ei ole avaldused. Neid ei saa hinnata väärtustega "true" ja "false".

Väiteid, vastupidi, võib pidada suurusteks, millel võib olla kaks tähendust: "tõene" ja "vale".

Näiteks antakse järgmised otsused: "koer on loom", "Pariis on Itaalia pealinn", "3

Esimest neist väidetest saab hinnata sümboliga "tõene", teist "väär", kolmandat "tõene" ja neljandat "väär". Selline väidete tõlgendus on propositsioonialgebra teema. Tähistame avaldusi suurte tähtedega ladina tähtedega A, B, ... ja nende tähendused, st vastavalt tõesed ja väärad JA Ja L. Tavakõnes kasutatakse seoseid väidete “ja”, “või” ja teiste vahel.

Need seosed võimaldavad erinevaid väiteid omavahel sidudes moodustada uusi väiteid - keerulised avaldused . Näiteks ühendav "ja". Olgu öeldud avaldused: " π rohkem kui 3" ja avaldus " π vähem kui 4". Saate korraldada uue kompleksse avalduse " π rohkem kui 3 ja π vähem kui 4". Väide "kui π irratsionaalne siis π ² on ka irratsionaalne" saadakse kahe väite ühendamisel konnektiiviga "kui - siis". Lõpuks saame igast väitest uue - komplekslause - eitades algset väidet.

Väidete käsitlemine suurustena, mis omandavad tähenduse JA Ja L, määratleme täpsemalt loogilised operatsioonid väidetega , mis võimaldavad meil saada nendest väidetest uusi keerulisi väiteid.

Olgu antud kaks suvalist väidet A Ja B.

1 . Esimene loogiline operatsioon nende väidetega - konjunktsioon - tähistab uue väite moodustamist, mida me tähistame A ∧ B ja mis on tõsi siis ja ainult siis A Ja B on tõesed. Tavakõnes vastab see toiming väidete ühendamisele sidesõnaga "ja".

Ühenduse tõetabel:

2 . Teine loogiline operatsioon väidetega A Ja B- disjunktsioon väljendatuna A ∨ B, on defineeritud järgmiselt: see on tõene siis ja ainult siis, kui vähemalt üks algväidetest on tõene. Tavakõnes vastab see toiming väidete ühendamisele sidesõnaga "või". Siin on aga mittejagav “või”, mida mõistetakse tähenduses “kas või” millal A Ja B kumbki ei saa olla tõsi. Propositsiooniloogika määratlemisel A ∨ B tõene nii siis, kui ainult üks väidetest on tõene, kui ka siis, kui mõlemad väited on tõesed A Ja B.

Tõdetabel disjunktsiooni jaoks:

3 . Kolmas loogiline operatsioon väidetega A Ja B, väljendatud kujul A → B; nii saadud väide on vale siis ja ainult siis A tõsi, aga B vale. A helistas paki kaupa , B - tagajärg ja avaldus A → B - järgides , mida nimetatakse ka implikatsiooniks. Tavakõnes vastab see tehe sidesõnale "kui-siis": "kui A, See B". Kuid propositsiooniloogika definitsioonis on see väide alati tõene, olenemata sellest, kas väide on tõene või väär B. Selle asjaolu võib lühidalt sõnastada järgmiselt: "valest järgneb kõik." Omakorda, kui A tõsi, aga B on vale, siis kogu väide A → B vale. See on tõsi siis ja ainult siis A, Ja B on tõesed. Lühidalt võib selle sõnastada järgmiselt: "tõest ei saa tuleneda vale."

Järgitav tõesuse tabel (tähendus):

4 . Neljandat loogilist operatsiooni väidetega, täpsemalt ühe väitega, nimetatakse väite eitamiseks A ja seda tähistab ~ A(võite leida ka mitte sümboli ~, vaid sümboli ¬ kasutamise, samuti ülekriipsu A). ~ A on väide, mis on vale, kui A tõsi, ja tõsi, millal A vale.

Tõe tabel eitamiseks:

5 . Ja lõpuks, viiendat loogilist operatsiooni väidetega nimetatakse ekvivalentsuseks ja see tähistatakse A ↔ B. Sellest tulenev avaldus A ↔ B väide on tõene siis ja ainult siis A Ja B mõlemad on tõesed või mõlemad on valed.

Samaväärsuse tõetabel:

Enamikul programmeerimiskeeltel on väidete loogiliste tähenduste tähistamiseks spetsiaalsed sümbolid, mis on kirjutatud peaaegu kõigis keeltes tõestena ja valedena.

Teeme ülaltoodu kokkuvõtte. Propositsiooniloogika uurib seoseid, mis on täielikult määratud viisiga, kuidas mõned väited on üles ehitatud teistest, mida nimetatakse elementaarseteks. Sel juhul käsitletakse elementaarväiteid kui tervikuid ja neid ei saa osadeks lagundada.

Süstematiseerime allolevasse tabelisse väidete loogikatehete nimetused, tähistused ja tähendused (näidete lahendamiseks läheb neid peagi jälle vaja).

Tõsi loogiliste operatsioonide puhul algebra loogika seadused, mida saab kasutada Boole'i ​​avaldiste lihtsustamiseks. Tuleb märkida, et propositsiooniloogikas abstraheeritakse väite semantilisest sisust ja piirdutakse selle käsitlemisega positsioonist, et see on kas tõene või väär.

Näide 1.

1) (2 = 2) JA (7 = 7) ;

2) mitte(15;

3) ("mänd" = "tamm") VÕI ("kirss" = "vaher");

4) Mitte("mänd" = "tamm") ;

5) (ei(15 20) ;

6) ("Silmad on antud näha") Ja ("Kolmanda korruse all on teine ​​korrus");

7) (6/2 = 3) VÕI (7*5 = 20) .

1) Esimeste sulgude väite tähendus on “tõene”, ka teises sulgudes oleva väljendi tähendus on tõene. Mõlemat väidet ühendab loogiline tehe “AND” (vt selle toimingu reegleid eespool), seetõttu on kogu selle väite loogiline väärtus “true”.

2) Sulgudes oleva väite tähendus on “vale”. Enne seda väidet on loogiline eituse operatsioon, seetõttu on kogu selle väite loogiline tähendus "tõene".

3) Esimeste sulgude väite tähendus on “vale”, teises sulgudes oleva väite tähendus on samuti “vale”. Väiteid ühendab loogiline tehte "OR" ja ühelgi väitel pole väärtust "true". Seetõttu on kogu selle väite loogiline tähendus "vale".

4) Sulgudes oleva väite tähendus on “vale”. Sellele väitele eelneb eituse loogiline tehe. Seetõttu on kogu selle väite loogiline tähendus "tõene".

5) Sisesulgudes olev väide tühistatakse esimestes sulgudes. Sellel sisesulgudes oleval väitel on tähendus "vale", seetõttu on selle eitusel loogiline tähendus "tõene". Teistes sulgudes olev väide tähendab "vale". Need kaks väidet on ühendatud loogilise operatsiooniga “JA”, see tähendab, et saadakse “tõene JA väär”. Seetõttu on kogu selle väite loogiline tähendus "vale".

6) Esimeste sulgude väite tähendus on “tõene”, ka teises sulgudes oleva väite tähendus on “tõene”. Need kaks väidet on ühendatud loogilise operatsiooniga “JA”, see tähendab, et saadakse “tõene JA tõde”. Seetõttu on kogu antud väite loogiline tähendus "tõene".

7) Esimessulgudes oleva väite tähendus on “tõene”. Teistes sulgudes oleva väite tähendus on "vale". Neid kahte väidet ühendab loogiline tehe "OR", see tähendab "tõene VÕI vale". Seetõttu on kogu antud väite loogiline tähendus "tõene".

Näide 2. Kirjutage loogiliste operatsioonide abil järgmised keerulised laused:

1) "Kasutaja ei ole registreeritud";

2) “Täna on pühapäev ja osa töötajaid on tööl”;

3) „Kasutaja registreeritakse siis ja ainult siis, kui kasutaja esitatud andmed loetakse kehtivaks.

1) lk- üksiklause “Kasutaja on registreeritud”, loogiline tehe: ;

2) lk- üksik avaldus "Täna on pühapäev", q- "Mõned töötajad on tööl", loogiline tehe: ;

3) lk- üksik avaldus "Kasutaja on registreeritud", q- “Kasutaja saadetud andmed leiti kehtivad”, loogiline tehe: .

Lahendage ise propositsiooniloogika näiteid ja seejärel vaadake lahendusi

Näide 3. Arvutage järgmiste väidete loogilised väärtused:

1) ("Minutis on 70 sekundit") VÕI ("Jooksev kell näitab aega");

2) (28 > 7) JA (300/5 = 60) ;

3) ("TV - elektriseade") Ja ("Klaas – puit");

4) Mitte((300 > 100) VÕI ("Sa võid janu kustutada veega"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Näide 4. Kirjutage loogiliste operatsioonide abil üles järgmised keerulised laused ja arvutage nende loogilised väärtused:

1) “Kui kell näitab valesti, siis võid jõuda tundi valel ajal”;

2) "Peegelpildis näete oma peegeldust ja USA pealinna Pariisi";

Näide 5. Määrake avaldise Boole'i ​​väärtus

(lk → q) ↔ (r → s) ,

lk = "278 > 5" ,

q= "Õun = apelsin",

lk = "0 = 9" ,

s= "Müts katab pead".

Propositsiooniloogika valemid

Mõiste abil selgitatakse komplekslause loogilise vormi mõistet propositsiooniloogika valemid .

Näidetes 1 ja 2 õppisime kirjutama keerulisi avaldusi loogiliste operatsioonide abil. Tegelikult nimetatakse neid propositsiooniloogika valemiteks.

Väidete tähistamiseks, nagu mainitud näites, jätkame tähtede kasutamist

lk, q, r, ..., lk 1 , q 1 , r 1 , ...

Need tähed mängivad muutujate rolli, mis võtavad väärtustena tõeväärtused "tõene" ja "vale". Neid muutujaid nimetatakse ka propositsioonimuutujateks. Helistame neile edasi elementaarvalemid või aatomid .

Propositsiooniloogika valemite konstrueerimiseks kasutatakse lisaks ülaltoodud tähtedele loogikatehete märke

~, ∧, ∨, →, ↔,

samuti sümbolid, mis annavad võimaluse valemite ühemõtteliseks lugemiseks - vasak- ja parempoolsed sulud.

Kontseptsioon propositsiooniloogika valemid defineerime selle järgmiselt:

1) elementaarvalemid (aatomid) on propositsiooniloogika valemid;

2) kui A Ja B- propositsiooniloogika valemid, siis ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) on ka propositsiooniloogika valemid;

3) ainult need avaldised on propositsiooniloogika valemid, mille puhul see tuleneb punktidest 1) ja 2).

Propositsiooniloogika valemi definitsioon sisaldab loetelu nende valemite moodustamise reeglitest. Definitsiooni järgi on iga propositsiooniloogika valem kas aatom või moodustub aatomitest reegli 2) järjekindla rakendamise tulemusena.

Näide 6. Lase lk- üks väide (aatom) "Kõik ratsionaalarvud on reaalsed", q- "Mõned reaalarvud on ratsionaalsed arvud" r- "mõned ratsionaalsed arvud on reaalsed." Tõlgi järgmised propositsiooniloogika valemid verbaalsete avalduste vormis:

6) .

1) "ratsionaalseid reaalarve pole olemas";

2) "Kui kõik ratsionaalarvud pole reaalsed, siis ei ratsionaalsed arvud, mis kehtivad”;

3) „kui kõik ratsionaalarvud on reaalsed, siis osad reaalarvud on ratsionaalarvud ja osad reaalarvud”;

4) "kõik reaalarvud on ratsionaalarvud ja mõned reaalarvud on ratsionaalarvud ja mõned reaalarvud on reaalarvud";

5) “kõik ratsionaalarvud on reaalsed siis ja ainult siis, kui ei ole nii, et kõik ratsionaalarvud pole reaalsed”;

6) "ei ole nii, et kõik ratsionaalarvud ei ole reaalsed ja ei ole reaalarve, mis oleksid ratsionaalsed või ei ole ratsionaalarvud, mis oleksid reaalsed."

Näide 7. Koostage propositsiooniloogika valemi tõesustabel , mida tabelis saab tähistada f .

Lahendus. Alustame tõesuse tabeli koostamist üksikute väidete (aatomite) väärtuste ("tõene" või "väär") salvestamisega. lk , q Ja r. Kõik võimalikud väärtused on kirjutatud tabeli kaheksale reale. Veelgi enam, implikatsioonitehte väärtuste määramisel ja tabelis paremale liikumisel peame meeles, et väärtus on võrdne "false", kui "false" järgneb "tõene".

Pange tähele, et ühelgi aatomil ei ole kuju ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Seda tüüpi on keerukatel valemitel.

Kui nõustume sellega, saab lauseloogika valemite sulgude arvu vähendada

1) sisse keeruline valem jätame välja välimise sulgude paari;

2) järjestame loogikatehete märgid "järjekorras":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Selles loendis on tähisel ↔ suurim ulatus ja märgil ~ väikseim ulatus. Tehtemärgi ulatus viitab propositsiooniloogika valemi neile osadele, millele kõnealuse märgi esinemist rakendatakse (millele see toimib). Seega on võimalik suvalises valemis välja jätta need sulgude paarid, mida saab taastada, võttes arvesse “eelisjärjekorda”. Ja sulgude taastamisel pannakse esmalt kõik märgi ~ kõikide esinemistega seotud sulud (liigume vasakult paremale), seejärel märgi ∧ kõikide esinemisjuhtudega jne.

Näide 8. Taastage propositsiooniloogika valemis sulud B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Lahendus. Klambrid taastatakse samm-sammult järgmiselt:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Mitte iga propositsiooniloogika valemit ei saa kirjutada ilma sulgudeta. Näiteks valemites A → (B → C) ja ~( A → B) sulgude edasine väljajätmine ei ole võimalik.

Tautoloogiad ja vastuolud

Loogilised tautoloogiad (või lihtsalt tautoloogiad) on propositsiooniloogika valemid, nii et kui tähed on meelevaldselt asendatud väidetega (tõene või väär), on tulemuseks alati tõene väide.

Kuna keeruliste väidete tõesus või väärus sõltub ainult tähendustest, mitte aga väidete sisust, millest igaüks vastab kindlale tähele, siis saab kontrollida, kas antud väide on tautoloogia, saab teha järgmiselt. Uuritavas avaldises on tähed igal võimalikul viisil asendatud väärtused 1 ja 0 (vastavalt "tõene" ja "väär") ning avaldiste loogilised väärtused arvutatakse loogiliste operatsioonide abil. Kui kõik need väärtused on võrdsed 1-ga, on uuritav avaldis tautoloogia ja kui vähemalt üks asendus annab 0, siis pole see tautoloogia.

Seega nimetatakse propositsiooniloogika valemit, mis võtab selles valemis sisalduvate aatomite väärtuste mis tahes jaotuse jaoks väärtuse "tõene". identne tõelise valemiga või tautoloogia .

Vastupidine tähendus on loogiline vastuolu. Kui kõik väidete väärtused on võrdsed 0-ga, on avaldis loogiline vastuolu.

Seega nimetatakse propositsiooniloogika valemit, mis võtab selles valemis sisalduvate aatomite väärtuste mis tahes jaotuse jaoks väärtuse "vale". identselt vale valem või vastuolu .

Lisaks tautoloogiatele ja loogilistele vastuoludele on olemas propositsiooniloogika valemid, mis ei ole tautoloogiad ega vastuolud.

Näide 9. Koostage propositsiooniloogika valemi tõepära tabel ja tehke kindlaks, kas see on tautoloogia, vastuolu või mitte kumbki.

Lahendus. Koostame tõetabeli:

Implikatsiooni tähendustes ei leia me rida, milles “tõene” tähendaks “vale”. Kõik algse väite väärtused on võrdsed "tõene". Järelikult on see propositsiooniloogika valem tautoloogia.

Lihtsad ja keerulised väited, loogilised muutujad ja loogilised konstandid, loogiline eitus, loogiline korrutamine, loogiline liitmine, loogiliste operatsioonide tõetabelid

Infoprotsesside automatiseerimiseks on vaja osata mitte ainult ühtselt teavet esitada erinevat tüüpi(numbriline, tekst, graafika, heli) nullide ja ühtede jadade kujul, aga ka selleks, et määrata teabega tehtavad toimingud. Selliste toimingute rakendamine toimub vastavalt mõtlemisprotsessi reguleerivatele reeglitele. Ehk siis kooskõlas loogikaseadustega. Mõiste "loogika" on tuletatud vanakreeka sõnast1 O§08 , mis tähendab "mõtet, arutluskäiku, seadust". Teadusloogikauurib mõtlemise seaduspärasusi ja vorme, tõestusmeetodeid.

Arutluste ja teabega toimingute sooritamise reeglite kirjeldamiseks kasutatakse matemaatilises loogikas omaks võetud spetsiaalset keelt. Arutluskäik põhineb spetsiaalsetel lausetel, mida nimetatakse väideteks. Väidetes kinnitatakse või eitatakse alati midagi objektide, nende omaduste ja objektidevaheliste suhete kohta. Väide on igasugune väide, mille kohta saab öelda, kas see on tõene või vale. Väited võivad olla ainult deklaratiivsed laused. Küsivad või motiveerivad laused ei ole väited.

avaldus - deklaratiivse lause vormis sõnastatud väide, mille kohta saab öelda, kas see on tõene või väär.

Näiteks küsivad laused"Mis aastal mainiti Moskvat esimest korda kroonikas?" ja "Mis on arvuti välismälu?" või ergutuslause “Järgige arvutilaboris ohutusreegleid” ei ole väited. Jutustavad laused “Esimene kroonika mainiti Moskvat 1812. aastal”, “Juhuslik mäluseade on väline mälu arvuti" ja "Arvutilaboris pole ohutusreegleid" on väited, sest need on väited, millest igaüks võib öelda, et see on vale. Õiged väited on järgmised väited: "Esimene kroonika mainiti Moskvat aastal 1147", "Kõva magnetketas on arvuti väline mälu."

Iga väide vastab ainult ühele kahest tähendusest: kas "tõene" või "vale", mis onloogilised konstandid.Tõeline väärtus on tavaliselt tähistatud numbriga 1 ja vale väärtus- number 0. Lauseid saab näidata kasutadesloogilised muutujad,mida kasutatakse suurte ladina tähtedega. Tõeväärtuslikud muutujad võivad võtta ainult ühe kahest võimalikust väärtusest: tõene või väär. Näiteks väidet “Arvuti teave on kodeeritud kahe märgiga” saab tähistada loogilise muutujagaA,ja väidet “Printer on salvestusseade” saab tähistada loogilise muutujagaIN.Kuna esimene väide on tõsi, siisA= 1. See märge tähendab, et väideAtõsi. Kuna teine ​​väide ei vasta tõele, siisB =0. See kirje tähendab, et väide on vale.

Avaldused võivad olla lihtsad või keerulised. Avaldus on nnlihtne,kui ükski osa sellest pole väide. Seni on toodud näiteid lihtsatest väidetest, mida tähistatakse loogiliste muudatustega. Arutlusahelat üles ehitades kombineerib inimene loogilisi tehteid kasutades lihtsad ütlused Vraskem" avaldused.Keerulise väite tähenduse väljaselgitamiseks pole vaja mõelda selle sisule. Piisab, kui tead lihtsate väidete tähendust, millest koosneb keerukas lause, ja loogiliste toimingute sooritamise reegleid.

Loogiline toimimine - toiming, mis võimaldab koostada lihtsatest väidetest keeruka väite.

Kogu inimlik arutluskäik ja ka kaasaegsete tehniliste seadmete töö põhinevad standardtoimingutel teabega - kolmel loogilisel operatsioonil: loogiline eitus (inversioon), loogiline korrutamine (konjunktsioon) ja loogiline liitmine (disjunktsioon).

Loogiline eitus lihtne väide saadakse sõnade lisamisel"See pole tõsi" lihtsa avalduse alguses.

■ NÄIDE 1.On lihtne ütlus: "Krokodillid võivad lennata." Loogilise eituse tulemuseks on väide«See pole tõsi krokodillid oskavad lennata." Algse väite tähendus on "vale" ja uue tähendus on "tõene".

■ NÄIDE 2.Seal on lihtne väide: "Failil peab olema nimi." Loogilise eituse tulemuseks on väide«See pole tõsi failil peab olema nimi." Algse väite tähendus on "tõene" ja uue väite tähendus on "vale".

Võib märkida, et väite loogiline eitus on tõene, kui algne väide on väär, ja vastupidi, väite loogiline eitus on väär, kui algne väide on tõene.

Loogiline eitus (inversioon) - loogikatehte, mis seob lihtsa väite uue väitega, mille tähendus on vastupidine algse väite tähendusele.

Tähistame loogilise muutuja lihtsat lausetA.Seejärel tähistame selle väite loogilist eitust kui EIA. Kirjutame üles kõik loogilise muutuja võimalikud väärtusedAja vastavad loogilise eituse tulemused EIA nimega tabeli kujultõetabel loogilise eituse jaoks (Tabel 40).

Võite märgata, et loogilise eituse tõesuse tabelis muutub null üheks ja üks nulliks.

Loogiline korrutaminekaks lihtsat väidet saadakse nende väidete kombineerimisel sidesõna abilJa.Vaatame näiteid 3-6, et näha, mis on loogilise korrutamise tulemus.

■ NÄIDE3. On kaks lihtsat väidet. Üks väide - "Carlson elab keldris." Teine ütlus on "Carlsoni ravitakse jäätisega."

Nende lihtsate väidete loogilise korrutamise tulemuseks on keeruline väide "Carlson elab keldris,JaCarlsonit ravitakse jäätisega. Uue väite saab sõnastada lühidalt: “Carlson elab keldrisJaTöödeldud jäätisega." Mõlemad algsed väited on valed. Uue liitlause tähendus on samuti "vale".

■ NÄIDE 4.On kaks lihtsat väidet. Esimene väide on "Carlson elab keldris." Teine väide on "Carlsonit ravitakse moosiga."

Nende lihtsate väidete loogilise korrutamise tulemuseks on keeruline väide “Carlson elab keldrisJaTöödeldud moosiga." Esimene algne väide on vale ja teine ​​on tõene. Uue liitlause tähendus on "vale".

■ NÄIDE 5.On kaks lihtsat väidet. Esimene väide on "Carlson elab katusel." Teine väide on "Carlsoni ravitakse jäätisega."

Nende lihtsate väidete loogilise korrutamise tulemuseks on keeruline väide “Carlson elab katuselJaTöödeldud jäätisega." Esimene esialgne väide on tõene ja teine ​​on vale. Uue liitlause "vale" tähendus.

* NÄIDEb. On kaks lihtsat väidet. Üks ütlus on "Carlson elab katusel." Teine ütlus: "Carlsonit ravitakse moosiga."

Nende lihtsate väidete loogilise korrutamise tulemuseks on keeruline väide "Carlson elab katusel ja teda ravitakse moosiga." Mõlemad algsed väited on tõesed. Uue keerulise väite tähendus on ka "tõde".

Võib märkida, et kahe väite loogiline korrutamine on tõene ainult ühel juhul – kui tõesed on mõlemad algväited.s.

Loogiline korrutis (konjunktsioon) - loogiline tehe, mis seob kaks lihtsat väidet uue väitega, mille tähendus on tõene siis ja ainult siis, kui mõlemad algsed väited on tõesed.

LOOGILISE KORRUTAMISE TÕETABEL

Tabel 41

KuiA = 0, IN =0, siis A ja B-0 (vt näide 3). KuiA = 0,7? = 1, siisAJAIN -0 (vt näide 4). Kui/1 = 1,B =0, siisAJa d=0 (vt näide 5). Kui L= \, B = \, siis A\\ B = \(vt näide 6).

Märkate, et loogilise korrutamise tulemused on samad, mis tavalise nullide ja ühtede korrutamise tulemused.

Loogiline lisakaks lihtsat väidet saadakse nende väidete kombineerimisel sidesõna abilvõi.Vaatame näiteid 7-10, et näha, mis on loogilise liitmise tulemus.

NÄIDE 7 . On kaks lihtsat väidet. Üks avaldus - "Komöödia "Kindralinspektor" kirjutas M. Yu. Veel üks avaldus - "Komöödia "Peainspektor" kirjutas I. A. Krylov."

Nende lihtsate väidete loogilise lisamise tulemuseks on keeruline avaldus “Komöödia “Kindralinspektor” kirjutas M. YuvõiI. A. Krylov." Mõlemad algsed väited on valed. Uue liitlause tähendus on samuti "vale".

NÄIDE 8. On kaks lihtsat väidet. Esimene väide on "Komöödia "Kindralinspektor" kirjutas M. Yu. Teine väide on "Komöödia "Kindralinspektor" kirjutas N. V. Gogol.

Nende lihtsate väidete loogilise lisamise tulemusnytuleb keeruline avaldus “Komöödia “Kindralinspektor” kirjutas M, K). LermontovvõiN.V. Gogol." Kõigepealt initsiaalid sinaVäide on vale ja teine ​​on tõene. Uue keerulise väite tähendus on "tõde".

NÄIDE 9 . On kaks lihtsat väidet. Esimene väide on "Luuletuse "Mtsyri" kirjutas M. Yu. Teine väide on "Luuletuse "Mtsyri" kirjutas N. V. Gogol. Nende lihtsate väidete loogilise lisamise tulemuseks on keeruline väide "Luuletuse "Mtsyri" kirjutas M. Yu või N. V. Gogol. Esimene algne väide on tõene ja teine ​​on vale. Uue keerulise väite tähendus on "tõde".

NÄIDE 10 . On kaks lihtsat väidet. Üks väide – “A. S. Puškin luuletas" Teine väide - "A. S. Puškin kirjutas proosat.“ Nende lihtsate väidete loogilise lisamise tulemuseks on keeruline väide “A. S. Puškin kirjutas luulet või proosat.“ Mõlemad algsed väited on tõesed. Uue liitlause tähendus on ka “tõde”.

Võib märkida, et kahe väite loogiline liitmine on väär ainult ühel juhul – kui mõlemad algväited on valed.

Loogiline liitmine (disjunktsioon)- loogikatehte, mis seob kaks lihtlauset uue väitega, mille tähendus on väär siis ja ainult siis, kui mõlemad algsed väited on väärad.

Tähistame üht lihtsat väidet loogilise muutujaga A ja teist lihtsat väidet loogilise muutujaga B.

Seejärel tähistame nende väidete loogilist lisamist A VÕI IN

Kirjutame üles loogiliste muutujate A, B kõik võimalikud väärtused, samuti loogilise lisamise A VÕI B vastav tulemus tabeli kujul, mida nimetatakse tõetabeliks.

Tehted kahendmärkidega tehakse loogilise liitmise tõesuse tabelite järgi

Märkate, et loogilise liitmise tulemused, välja arvatud viimane rida, langevad kokku nullide ja ühtede tavalise liitmise tulemustega.

Seega saab loogikakeelt kasutades arutlemise asendada väidetega tegudega. Lausetele saab omakorda omistada kahendmärgi - 0 või 1. Kahendmärkidega toimingud sooritatakse loogilise eituse, loogilise korrutamise ja loogilise liitmise põhiliste loogiliste operatsioonide tõesuse tabelite järgi (vt tabelid 40-42)

23. Avaldused. Loogilised operatsioonid

Kahe väite loogiline liitmine (disjunktsioon) on väär

1) siis ja ainult siis, kui mõlemad väited on tõesed

2) siis ja ainult siis, kui mõlemad väited on valed

3) kui vähemalt üks väide on tõene

4) kui vähemalt üks väide on vale

Loogilised väljendid. Loogiliste operatsioonide sooritamine

Loogiliste avaldiste kirjutamine, loogikatehete sooritamise prioriteet, loogikavaldise väärtuse leidmine, loogiliste operatsioonide sooritamine erinevat tüüpi teabega Loogiline eitus, loogiline korrutamine ja loogiline liitmine moodustavad tervikliku loogikatehete süsteemi, mille abil saate. koostage mis tahes keeruline väide ja määrake selle tõesus. Arutluse kirjeldamisel matemaatilise loogika keeles tähistatakse lihtsaid väiteid loogiliste muutujatega (ladina tähtedega), väidete tähendusi loogiliste konstantidega (nullide või ühedega) ning loogikatehteid spetsiaalsete konnektiividega (NOT, AND, VÕI). Selliste muutujate, konstantide ja konnektiivide abil koostatud kirjet nimetatakse loogiliseks avaldiseks.

Loogiline avaldis on matemaatilise loogika keeles sümboolne tähis, mis koosneb loogilistest muutujatest või loogilistest konstantidest, mida ühendavad loogilised operatsioonid (konnektiivid).

Loogikavaldise väärtuse leidmisel sooritatakse loogilisi tehteid kindlas järjekorras, vastavalt nende prioriteedile - esmalt loogiline eitus, siis loogiline korrutamine ja alles siis loogiline liitmine. Sama prioriteediga loogilisi tehteid teostatakse vasakult paremale. Loogikatete sooritamise järjekorra muutmiseks kasutatakse sulgusid.

■ NÄIDE 1. Antud lihtne tõene väide A = “Aristoteles – Vana-Kreeka filosoof" ja lihtne valeväide B = "Aristoteles on iidne vene filosoof."

Teabega seotud toimingud. Põhitoimingud

keeruliste väidete tähendused, mis vastavad järgmistele loogilistele väljenditele:

1) EI A;

2) A VÕI B;

3) A I (NEV).

Lahendus. 1) Väite A loogilise eituse tulemuseks on väide "Ei ole tõsi, et Aristoteles on Vana-Kreeka filosoof." Kuna algse väite “tõene” väärtus on A = 1, siis selle väite loogilise eituse väärtus “väär” EI OLE A = 0 (vt tabel 40). 2) Kahe väite loogilise lisamise tulemuseks on väide "Aristoteles on vanakreeklane või Aristoteles on vanavene filosoof." Kuna esimese alglause väärtus “tõene” A = 1 ja teise alglause väärtus “väär” B = 0, siis nende väidete loogilise liitmise väärtus “tõene” A VÕI B = 1 (vt. Tabel 42). 3) Väite A loogilise korrutamise ja väite B loogilise eituse tulemuseks on väide "Aristoteles on Vana-Kreeka filosoof ja ei vasta tõele, et Aristoteles on Vana-Vene filosoof." Esmalt teostame väite B loogilise eituse. Kuna algse väite väärtus “väär” on B = 0, siis selle väite “tõene” loogilise eituse väärtus EI OLE B = 1 (vt tabel 40). Kuna esimese alglause väärtus “tõene” A = 1 ja teise alglause “tõene” loogilise eituse väärtus EI B = 1, siis nende väidete loogilise korrutise väärtus “tõene” A JA ( EI B) =1

(vt tabel 41)

Vastus. 1) "valetama"; 2) “tõde”; 3) "tõde". Komplekslause tähenduse leidmiseks piisab, kui on teada keerukas lauses sisalduvate lihtlausete tähendused ja loogiliste toimingute sooritamise reeglid, mis neid lihtsaid lauseid kombineerivad.

■ NÄIDE 2. Leidke loogikavaldise EI A VÕI (0 VÕI 1) JA (EI B JA 1) väärtus, kui loogiliste muutujate väärtused A =1, B =0.

Lahendus. 1) Asendame loogikavaldises olevad loogilised muutujad loogiliste konstantidega. NEAILI(0VÕI 1)AND(NEVI 1)= =NOT1OR(0OR1)AND(NOTAND1).

2) Määrake loogikatehete järjestus vastavalt nende prioriteedile. HE4 1 VÕI 6 (0 VÕI 1 1) JA5 (HEG 0 JA 3 1).

Under avaldus mõistet mõistetakse keelelise väljendina, mille kohta saab öelda ainult ühte kahest: see on tõene või väär. Erinevalt kohtuotsustest ei ole avaldustel isiklikku iseloomu.

Küsimused, palved, korraldused, hüüatused, üksikud sõnad (välja arvatud juhud, kui need on selliste väidete esindajad nagu "läheb õhtu", "külm läheb" jne) ei ole väited. Väidete tõde ja vale on nende loogilised väärtused.

Väited jagunevad atributiivseteks, eksistentsiaalseteks ja suhtelisteks.

Atributiivne nimetatakse väideteks, milles objekti omadust või olekut kinnitatakse või eitatakse.

Eksistentsiaalne on väited, mis kinnitavad või eitavad olemasolu fakti.

Suhteline nimetatakse väideteks, mis väljendavad objektide vahelisi suhteid.

Väited, nagu ka nende loogilised vormid, võivad olla lihtsad või keerulised. Kompleksne Väite võib jagada lihtsateks. Lihtne väiteid ei jaotata lihtsamateks.

Lihtsa atribuudiväite struktuur sisaldab subjekti, predikaati ja konnektiivi.

Teema lausung (S) on see osa lausungist, mis väljendab mõtteainet.

Predikaat lausung (P) on lausungi osa, mis kuvab märki mõtteobjektist, selle omadusest, olekust, suhtest.

Kutsutakse subjekti (S) ja predikaati (P). tingimustele. Kamp tähistab seost terminite (S ja P) vahel.

Atributiivsetes väidetes kasutatakse sageli eksistentsiaalseid ja üldisi kvantoreid.

Atributiivsed väited jagunevad kvaliteedi ja kvantiteedi järgi.

Kvaliteedi järgi jagunevad need jaatavateks ja negatiivseteks. IN jaatav näitab, et predikaadis mõeldav atribuut kuulub (olemasolu) väite subjekti: "S on P." Näiteks: "Platon on idealistlik filosoof." IN negatiivne näitab, et predikaat ei kuulu selle subjekti: "S ei ole P."

Väidete arvu järgi jaotatakse need üksikuteks, konkreetseteks ja üldisteks. See viitab üksikute objektide koguarvule (arv, arv), mis moodustavad aineklassi nimetuse.

IN vallaline Väidetes koosneb subjekt ühest asjast.

Privaatne väidetel on vorm: "Mõned S on (ei ole) P."

IN üldine Väidetes hõlmab subjekt kõiki objekte. Sellistel väidetel on vorm: "Kõik S on (ei ole) P."

Avaldused liigitatakse kvaliteedi ja kvantiteedi järgi. On 4 väidete klassi:

1) universaalne (A) - kvantiteedilt üldine ja kvaliteedilt jaatav (“Kõik S on P”);

2) eraviisiline jaatav (J)- kvantiteedi jagatis ja kvaliteedi jaatav ("Mõned S on R");

3) üldine negatiivne (E) - kvantiteedilt üldine ja kvaliteedilt negatiivne ("No S on P");

4) osaliselt negatiivne (ABOUT)- kvantiteedi jagatis ja kvaliteedilt negatiivne (“Mõned S ei ole P”).

Igas väidete klassis on mahtude S ja P (liikmed) suhe erinev. Loogikas nimetatakse ruumalade S ja P vahelise seose probleemi terminite jaotamise probleem. Terminit levitatakse, kui see on täielikult hõlmatud mõne muu mõistega või on sellest täielikult välja jäetud.

A klassis |Kõik S on P| subjekt on predikaadis täielikult jaotatud, kuid predikaati ei jaotata.

Kallid sõbrad, meil on hea meel teid siin lehel näha! Hea külastaja, on võimalik, et otsite Lihtsad tsitaadid selleteemaliste joonistega. Lahe! Sa leidsid selle, mida otsisid. Soovime teile meeletut lugemist ja enesetäiendamist!

Need, kes järjekindlalt oma elu lõpuni proovile panevad, saavutavad varem või hiljem oma eesmärgi ja lõpetavad selle suurejooneliselt.

Sain aru, et elu mõtte mõistmiseks on vaja ennekõike seda, et elu ei oleks mõttetu ja kuri ning seejärel mõistus selle mõistmiseks. Tolstoi L.N.

Kuidas tugevam armastus, seda kaitsetum ta on. Hertsoginna Diana (Marie de Bossac)

Kord elus koputab õnn iga inimese uksele, kuid sel ajal istub inimene sageli lähimas pubis ega kuule koputust. Mark Twain

Ma ei karda kedagi, kes uurib 10 000 erinevat streiki. Ma kardan seda, kes uurib ühte lööki 10 000 korda.

Ma unistan sinust iga päev, ma mõtlen sinust öösel!

Igaüks, kes ei saa 2/3 päevast endale jätta, tuleb nimetada orjaks. Friedrich Nietzsche

Olin üks neist, kes nõustus rääkima elu mõttest, et olla valmis sel teemal küljendust toimetama. Eco U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - kalasabas ülaotstes ilus naine.

Oleme oma harjumuste orjad. Muutke oma harjumusi, teie elu muutub. Robert Kiyosaki

Võite sirutada käe ja haarata õnne. See on väga lähedal! Aga sa vaatad alati tagasi

Sa saad endale alati vead andestada, kui sul on vaid julgus neid tunnistada. Bruce Lee

Armastuse esimene hingetõmme on tarkuse viimane hingetõmme. Anthony Brett.

Sõprus on tiibadeta armastus. Byron

Kui inimene oskab öelda, mis on armastus, siis ta pole kedagi armastanud.

Mida iganes sa armud, suudle seda.

tänu mitmele inimesele saan ma üle oma uhkusest ja hirmust...

Meie armastus sai alguse esimesest silmapilgust.

Armukadedus on reetmine reetmise kahtlusest. V. Krotov

Unikaalse mehega – ma tahan seda korrata!

Romantiliselt kalduv naine tunneb vastikust armastuseta seksist. Seetõttu tormabki ta esimesest silmapilgust armuma. Lydia Jasinskaja

Armastus on igaühe sees, kuid seda tasub näidata vaid neile, kes on sulle avatud.

Armastuse saladus inimese vastu saab alguse hetkest, mil me vaatame teda ilma soovita teda omada, ilma soovita tema üle valitseda, ilma soovita tema kingitusi või isiksust mingil moel ära kasutada - me lihtsalt vaatame ja oleme üllatunud meile ilmunud ilu üle. Anthony, Souroži metropoliit

Tahaks olla primitiivses ühiskonnas. Pole vaja mõelda rahale, sõjaväele, mingitele tiitlitele või akadeemilistele kraadidele. Tähtsad on ainult emased, veised ja orjad.

Kui inimesel on ebamugav ühel küljel lamada, pöördub ta teisele poole ja kui tal on ebamugav elada, siis ainult kurdab. Ja pingutad ja pöörad ümber. Maksim Gorki

Aeglane aja käsi silub mägesid. Voltaire

Naistel on kogu süda, isegi pea. Jean Paul

Sinu suudlus oli nii armas, et mind inspireeris lihtsalt õnn!

Inimene sirutab käe nagu võrs Valendi poole ja muutub pikemaks. Unistades võimatutest unistustest, jõuab ta taevakõrgustesse kõrgustesse.

Tõeline sõprus on parem kui võlts armastus!

Meilt ei saa võtta eneseaustust, kui me ei anna seda ise Gandhile.

Armastus on isekus koos.

Teadmised muudavad inimese olulisemaks ja teod annavad talle sära. Kuid paljud inimesed kipuvad vaatama, kuid mitte kaaluma. T. Carlyle

Ainult Venemaal kutsutakse lähedasi... Minu lein!

Õnnetu armastus pole armastus, vaid piinamine!

Adekvaatsus on võime teha kahte asja: õigel ajal vaikida ja õigel ajal rääkida.

Õnn tuleb õige otsusega, õige otsus tuleb kogemusega ja kogemus tuleb vale otsusega.

Ärge oodake, et asjad muutuksid lihtsamaks, lihtsamaks, paremaks. Ei hakka. Alati tuleb ette raskusi. Õppige olema õnnelik kohe. Muidu pole sul aega.

Elu, olgu õnnelik või õnnetu, edukas või ebaõnnestunud, on ikka äärmiselt huvitav. B. Shaw

Ärge pidage end targaks: muidu tõuseb teie hing uhkusest ja satute oma vaenlaste kätte. Antonius Suur

Naise kurameerimine tundus talle sama absurdne kui ulukiprae jaht. Emil Krotky

Kirjad ja kingitused ja läikivad pildid, helluse väljendamine on oluline. Kuid veelgi olulisem on üksteist silmast silma kuulata, see on suurepärane ja haruldane kunst. T. Jansson.

Elu on nii kuradilikult osavalt korraldatud, et vihata oskamata on võimatu siiralt armastada. M. Gorki

See on tore, kui teie kallim kingib teile lihtsalt tohutu kimbu, see on tore, pagan!

Ilma hirmuta muutuvad inimesed hoolimatuteks lollideks, kes sageli kaotavad oma elu. Isaac Asimov Fantastiline reis II

Sõber on üks hing, kes elab kahes kehas. Aristoteles

Inimene, kes mõtleb ainult iseendale, ei tähenda, et ta teeb seda, mida ta tahab. See tähendab, et tahad, et kogu maailm elaks nii, nagu sina tahad. — O. Wilde

Iga ema peaks leidma endale paar minutit vaba aega nõude pesemiseks.