От противоположния връх) и разделете получения продукт на две. Във формата това изглежда така:

S = ½ * a * h,

където:
S е площта на триъгълника,
a е дължината на неговата страна,
h - височината, спусната от тази страна.

Дължината и височината на страната трябва да бъдат представени в една и съща единица. В този случай площта на триъгълника ще бъде получена в съответните "" единици.

Пример.
От едната страна на многостранен триъгълник с дължина 20 cm се спуска перпендикуляр от противоположния връх с дължина 10 cm.
Площта на триъгълника е необходима.
Решение.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (см²).

Ако знаете дължините на двете страни на универсален триъгълник и ъгъла между тях, използвайте формулата:

S = ½ * a * b * sinγ,

където: a, b са дължините на две произволни страни, а γ е ъгълът между тях.

На практика, например, при измерване на парцели, използването на горните формули понякога е трудно, тъй като изисква допълнителни конструкции и измервания на ъгли.

Ако знаете дължините и на трите страни на универсален триъгълник, използвайте формулата на Херон:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - дължините на страните на триъгълника,
p - полупериметър: p = (a + b + c) / 2.

Ако в допълнение към дължините на всички страни е известен радиусът на окръжността, вписана в триъгълника, тогава използвайте следната компактна формула:

където: r - радиус на вписаната окръжност (p - полупериметър).

За да изчислите площта на универсален триъгълник на описаната окръжност и дължината на страните му, използвайте формулата:

където: R е радиусът на описаната окръжност.

Ако знаете дължината на една от страните на триъгълника и три ъгъла (по принцип два са достатъчни - стойността на третия се изчислява от равенството на сумата от трите ъгъла на триъгълника - 180º), тогава използвайте формулата:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

където α е стойността на ъгъла, противоположен на страната а;
β, γ са стойностите на другите два ъгъла на триъгълника.

Необходимостта от намиране различни елементи, включително района триъгълник, се появява много векове преди нашата ера сред учените астрономи Древна Гърция. Квадрат триъгълникможе да се изчисли различни начиниизползвайки различни формули. Методът на изчисление зависи от това кои елементи триъгълникпознати.

Инструкции

Ако от условието знаем стойностите на двете страни b, c и ъгъла, образуван от тях?, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = (bcsin?) / 2.

Ако от условието знаем стойностите на двете страни a, b и ъгъла, който не е образуван от тях?, тогава площта триъгълник ABC се намира, както следва:
Намерете ъгъла?, грях? = bsin? / a, тогава според таблицата определяме самия ъгъл.
Намерете ъгъла ?,? = 180 ° -? - ?.
Намираме самата площ S = (абсин?) / 2.

Ако от условието знаем стойностите само на три страни триъгълник a, b и c, след това площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)), където p е полупериметър p = (a + b + c) / 2

Ако от условието на задачата знаем височината триъгълник h и страната, на която тази височина е спусната, след това площта триъгълник ABC по формулата:
S = ah (a) / 2 = bh (b) / 2 = ch (c) / 2.

Ако знаем стойностите на страните триъгълник a, b, c и радиуса, описан около даденото триъгълник R, след това площта на това триъгълник ABC се определя по формулата:
S = abc / 4R.
Ако са известни три страни a, b, c и радиусът на вписано в, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S = pr, където p е полупериметър, p = (a + b + c) / 2.

Ако ABC е равностранна, тогава площта се намира по формулата:
S = (a ^ 2v3) / 4.
Ако триъгълникът ABC е равнобедрен, тогава площта се определя по формулата:
S = (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, където c - триъгълник.
Ако триъгълникът ABC е правоъгълен, тогава площта се определя по формулата:
S = ab / 2, където a и b са крака триъгълник.
Ако триъгълник ABC е правоъгълен равнобедрен, тогава площта се определя по формулата:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, където c е хипотенузата триъгълник, a = b - крак.

Подобни видеа

Източници:

• как да измерим площта на триъгълник

Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник, ако знаете ъгъла

Познаването само на един параметър (стойност на ъгъла) не е достатъчно за намиране на площта тре квадрат ... Ако има допълнителни размери, тогава може да се избере една от формулите за определяне на областта, в която стойността на ъгъла също се използва като една от известните променливи. Някои от тези формули, които се използват най-често, са изброени по-долу.

Инструкции

Ако в допълнение към стойността на ъгъла (γ), образуван от двете страни тре квадрат , дължините на тези страни (A и B) също са известни, тогава квадратФигурата (S) може да се определи като половината от произведението на дължините на страните и синуса на този известен ъгъл: S = ½ × A × B × sin (γ).

Триъгълникът е такъв геометрична фигура, който се състои от три прави линии, свързващи се в точки, които не лежат на една права линия. Точките на свързване на прави линии са върховете на триъгълника, които са обозначени с латински букви(напр. A, B, C). Свързващите прави триъгълници се наричат ​​линейни сегменти, които също обикновено се обозначават с латински букви. Разграничават се следните видове триъгълници:

• Правоъгълна.
• Тъп.
• Остроъгълна.
• Универсален.
• Равностранна.
• равнобедрен.

Общи формули за изчисляване на площта на триъгълник

Формула за площта на триъгълник по дължина и височина

S = a * h / 2,
където a е дължината на страната на триъгълника, чиято площ трябва да се намери, h е дължината на височината, изтеглена към основата.

Формулата на Херон

S = √p * (p-a) * (p-b) * (p-c),
където √ е Корен квадратен, p е полупериметърът на триъгълника, a, b, c е дължината на всяка страна на триъгълника. Полупериметърът на триъгълник може да се изчисли по формулата p = (a + b + c) / 2.

Формулата за площта на триъгълник по ъгъла и дължината на сегмента

S = (a * b * sin (α)) / 2,
където b, c едължината на страните на триъгълника, sin (α) е синусът на ъгъла между двете страни.

Формулата за площта на триъгълник по радиуса на вписаната окръжност и три страни

S = p * r,
където p е полупериметърът на триъгълника, чиято площ искате да намерите, r е радиусът на окръжността, вписана в този триъгълник.

Формулата за площта на триъгълник от три страни и радиуса на окръжността, описана около него

S = (a * b * c) / 4 * R,
където a, b, c е дължината на всяка страна на триъгълника, R е радиусът на окръжност, описана около триъгълника.

Формулата за площта на триъгълник по декартови координати на точки

Декартовите координати на точките са координати в системата xOy, където x е абсцисата, y е ордината. Декартовата координатна система xOy на равнината се нарича взаимно перпендикулярна на числовите оси Oх и Oy с общо началореферентна точка O. Ако координатите на точките в тази равнина са дадени под формата A (x1, y1), B (x2, y2) и C (x3, y3), тогава можете да изчислите площта на триъгълника, като използвате следната формула, която се получава от векторното произведение на два вектора.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) | / 2,
където || обозначава модул.

Как да намерите площта на правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник е триъгълник, който има един ъгъл от 90 градуса. Триъгълникът може да има само един такъв ъгъл.

Формула за площта на правоъгълен триъгълник в два катета

S = a * b / 2,
където a, b е дължината на краката. Страните се наричат ​​страни, съседни на прав ъгъл.

Формула за площта на правоъгълен триъгълник по хипотенуза и остър ъгъл

S = a * b * sin (α) / 2,
където a, b са катетата на триъгълника, а sin (α) е синусът на ъгъла, под който се пресичат правите a, b.

Формула за площта на правоъгълен триъгълник по отношение на катета и противоположния ъгъл

S = a * b / 2 * тен (β),
където a, b са катетите на триъгълника, tg (β) е тангенсът на ъгъла, под който са свързани катетата a, b.

Как да изчислим площта на равнобедрен триъгълник

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, който има две равни страни. Тези страни се наричат ​​страни, а другата страна е основата. Можете да използвате една от следните формули, за да изчислите площта на равнобедрен триъгълник.

Основна формула за изчисляване на площта на равнобедрен триъгълник

S = h * c / 2,
където c е основата на триъгълника, h е височината на триъгълника, спуснат до основата.

Формула за равнобедрен триъгълник за странична страна и основа

S = (c / 2) * √ (a * a - c * c / 4),
където c е основата на триъгълника, a е размерът на една от страничните страни на равнобедрен триъгълник.

Как да намерите площта на равностранен триъгълник

Равностранният триъгълник е триъгълник, в който всички страни са равни. За да изчислите площта на равностранен триъгълник, можете да използвате следната формула:
S = (√3 * a * a) / 4,
където a е дължината на страната на равностранен триъгълник.

Горните формули ще ви позволят да изчислите желаната площ на триъгълника. Важно е да запомните, че за да изчислите площта на триъгълниците, трябва да вземете предвид вида на триъгълника и наличните данни, които могат да се използват за изчислението.

За определяне на площта на триъгълник могат да се използват различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използваният е да умножите височината по дължината на основата и след това да разделите резултата на две. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник с помощта на различни формули.

Отделно ще разгледаме методи за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълник - правоъгълен, равнобедрен и равностранен. Ние придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални начини за намиране на площта на триъгълник

Следните формули използват специални конвенции. Ще дешифрираме всеки един от тях:

• a, b, c - дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжност, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на окръжността, която може да бъде описана около нея;
• α - стойността на ъгъла, образуван от страните b и c;
• β е ъгълът между a и c;
• γ - стойността на ъгъла, образуван от страните a и b;
• h - височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъла α към страната a;
• p - половината от сбора на страните a, b и c.

Логично е защо е възможно да се намери площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен до паралелограм, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на паралелограма се намира, като дължината на една от страните му се умножи по стойността на изтеглената към него височина. Диагоналът разделя този конвенционален паралелограм на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен паралелограм.

S = ½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълника се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на образувания от тях ъгъл. Тази формула е логично извлечена от предишната. Ако пуснем височината от ъгъл β към страна b, тогава, според свойствата на правоъгълен триъгълник, когато умножим дължината на страна a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, т.е. з.

Площта на въпросната фигура се намира, като половината радиус на окръжността, която може да бъде вписан в нея, се умножи по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатата окръжност.

S = a b s / 4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да се намери, като се раздели произведението на страните на фигурата на 4 радиуса на окръжността, описана около нея.

Тези формули са универсални, тъй като позволяват да се определи площта на всеки триъгълник (универсален, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Площи на триъгълници със специфични свойства

Как да намеря площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейните височини. Ако a и b са катета и c става хипотенуза, тогава площта се намира, както следва:

Как намирате площта на равнобедрен триъгълник? Има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно, неговата площ може да се определи, като се раздели на 2 произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъла γ.

Как намирате площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a от корен квадратен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по корен квадратен от 3 и да го разделите на 4.

Инструкции

Партии ъглите се считат за основни елементи а... Триъгълникът е напълно дефиниран от някой от следните основни елементи: или от три страни, или от една страна и два ъгъла, или от две страни и ъгъл между тях. За съществуване триъгълникдефиниран от три страни a, b, c, е необходимо и достатъчно да се удовлетворят неравенствата, наречени неравенства триъгълник:
a + b> c,
a + c> b,
b + c> a.

За изграждане триъгълникот три страни a, b, c, е необходимо от точка C на отсечката CB = a как да начертаем кръг с радиус b с пергел. След това по същия начин начертайте окръжност от точка B с радиус, равен на страна c. Тяхната пресечна точка A е третият връх на желаното триъгълник ABC, където AB = c, CB = a, CA = b - страни триъгълник... Проблемът е, ако страните a, b, c удовлетворяват неравенствата триъгълникпосочено в стъпка 1.

Зона S, построена по този начин триъгълник ABC с известни партии a, b, c, се изчислява по формулата на Херон:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
където a, b, c - страни триъгълник, p е полупериметър.
p = (a + b + c) / 2

Ако триъгълникът е равностранен, тоест всичките му страни са равни (a = b = c). триъгълникизчислено по формулата:
S = (a ^ 2 v3) / 4

Ако триъгълникът е правоъгълен, тоест един от ъглите му е 90 °, а страните, които го образуват, са катета, третата страна е хипотенуза. V в такъв случай квадрате равно на произведението на краката, разделено на две.
S = ab / 2

Да намеря квадрат триъгълник, можете да използвате една от многото формули. Изберете формулата в зависимост от това какви данни вече са известни.

Ще имаш нужда

• познаване на формули за намиране на площта на триъгълник

Инструкции

Ако знаете големината на една от страните и големината на височината, спусната на тази страна от противоположния ъгъл, тогава можете да намерите площта по следното: S = a * h / 2, където S е площта на ​триъгълникът, a е една от страните на триъгълника, а h - височина, към страната a.

Има известен начин за определяне на площта на триъгълник, ако са известни трите му страни. Тя е формулата на Херон. За да се опрости неговото записване, се въвежда междинна стойност - полупериметър: p = (a + b + c) / 2, където a, b, c -. Тогава формулата на Херон е следната: S = (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ степенуване.

Да предположим, че знаете една от страните на триъгълник и три ъгъла. Тогава е лесно да се намери площта на триъгълника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), където β е ъгълът, противоположен на страната a, а α и γ са ъглите, съседни на страната.

Подобни видеа

Забележка

Най-общата формула, която е подходяща за всички случаи, е формулата на Херон.

Източници:

Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник от три страни

Намирането на площта на триъгълник е една от най-често срещаните задачи в училищната планиметрия. Познаването на трите страни на триъгълника е достатъчно, за да се определи площта на всеки триъгълник. В специални случаи и равностранни триъгълници е достатъчно да се знаят дължините съответно на две и една страна.

Ще имаш нужда

• дължини на страните на триъгълници, формула на Херон, косинусова теорема

Инструкции

Формулата на Херон за площта на триъгълник е, както следва: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ако запишем полупериметъра p, получаваме: S = sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) = (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Можете също да извлечете формула за площта на триъгълник от съображения, например, като приложите косинусовата теорема.

Съгласно косинусовата теорема AC ^ 2 = (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Използвайки въведените обозначения, те могат да бъдат и във формата: b ^ 2 = (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Следователно, cos (ABC) = ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Площта на триъгълник се намира и по формулата S = a * c * sin (ABC) / 2 през две страни и ъгъла между тях. Синусът на ъгъла ABC може да бъде изразен с помощта на основната тригонометрична идентичност: sin (ABC) = sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Заместване на синуса във формулата за площта и записването му надолу, можете да излезете с формулата за площта на триъгълник ABC.

Подобни видеа

За ремонтни работипонякога се налага измерване квадратстени. Това улеснява изчисляването на необходимото количество боя или тапет. За измервания е най-добре да използвате рулетка или сантиметрова лента. След това трябва да се извършат измервания стениса подравнени.

Ще имаш нужда

• -рулетка;
• - стълба.

Инструкции

Да преброя квадратстени, трябва да знаете точната височина на таваните, както и да измерите дължината по пода. Това се прави по следния начин: вземете сантиметър, поставете го върху дъската. Обикновено един сантиметър не е достатъчен за цялата дължина, така че го закрепете в ъгъла, след което го развийте максимална дължина... В този момент маркирайте с молив, запишете получения резултат и извършете по-нататъшното измерване по същия начин, като се започне от последната точка на измерване.

Стандартни таванив типични - 2 метра 80 сантиметра, 3 метра и 3 метра 20 сантиметра, в зависимост от къщата. Ако къщата е построена преди 50-те години, тогава най-вероятно реалната височина е малко по-ниска от посочената. Ако изчислите квадратза ремонтни работи, тогава малък запас няма да навреди - помислете въз основа на стандарта. Ако все още трябва да знаете реална височина- направете измервания. Принципът е подобен на измерването на дължина, но е необходима стълба.

Умножете получените показатели - това е квадратВашият стени... Вярно, с живописни работиили за трябва да извадите квадратврата и отвори за прозорци... За да направите това, поставете сантиметър по протежение на отвора. Ако идваза вратата, която впоследствие ще сменяте, след което прекарайте с премахнатата каса на вратакато се има предвид само квадратдиректно на самия отвор. Площта на прозореца се изчислява по периметъра на рамката му. След квадратпрозорецът и вратата се изчисляват, извадете резултата от общата площ на получената стая.

Моля, имайте предвид, че измерванията на дължината и ширината на стаята се извършват заедно, така че е по-лесно да фиксирате сантиметър или лента и съответно да получите по-точен резултат. Извършете едно и също измерване няколко пъти, за да сте сигурни, че получените цифри са точни.

Подобни видеа

Намирането на обема на триъгълник наистина е нетривиална задача. Въпросът е, че триъгълникът е двуизмерна фигура, т.е. той лежи изцяло в една равнина, което означава, че просто няма обем. Разбира се, не можете да намерите нещо, което не съществува. Но нека не се отказваме! Може да се направи следното предположение - обемът на една двуизмерна фигура е нейната площ. Ще търсим площта на триъгълника.

Ще имаш нужда

• лист хартия, молив, линийка, калкулатор

Инструкции

Начертайте върху лист хартия с линийка и молив. Като разгледате внимателно триъгълника, можете да се уверите, че наистина не е така, тъй като е начертан върху равнина. Обозначете страните на триъгълника: нека едната страна е страна a, другата страна b, а третата страна c. Маркирайте върховете на триъгълника с A, B и C.

Измерете двете страни на триъгълника с линийка и запишете резултата. След това възстановете перпендикуляра на измерената страна от противоположния връх, такъв перпендикуляр ще бъде височината на триъгълника. В случая, показан на фигурата, перпендикулярът "h" се възстановява към страната "c" от върха "A". Измерете получената височина с линийка и запишете измерването.

Може да ви е трудно да възстановите точния перпендикуляр. В този случай трябва да използвате различна формула. Измерете всички страни на триъгълника с линийка. След това изчислете полупериметъра на триъгълника "p", като съберете получените дължини на страните и разделите тяхната сума наполовина. Имайки на ваше разположение стойността на половин периметър, можете да използвате формулата на Херон. За да направите това, трябва да извлечете квадратния корен от следното: p (p-a) (p-b) (p-c).

Получихте необходимата стойностплощ на триъгълника. Проблемът с намирането на обема на триъгълник не е решен, но както беше споменато по-горе, обемът не е. Можете да намерите обем, който по същество е триъгълник в триизмерен свят. Ако си представим, че нашият оригинален триъгълник се е превърнал в триизмерна пирамида, тогава обемът на такава пирамида ще бъде произведението на дължината на основата й на площта на триъгълника, който получихме.

Забележка

Изчисленията ще бъдат толкова по-точни, колкото по-внимателно правите измервания.

Източници:

• Калкулатор All to All - Портал за референтни стойности
• обемът на триъгълника през 2019 г

Три точки, които еднозначно дефинират триъгълник в декартовата координатна система, са неговите върхове. Познавайки тяхното положение спрямо всяка от координатните оси, можете да изчислите всякакви параметри на това плоска фигура, включително този, ограничен от периметъра му квадрат... Това може да стане по няколко начина.

Инструкции

Използвайте формулата на Херон, за да изчислите площта триъгълник... Той използва размерите на трите страни на фигурата, така че започнете изчислението с. Дължината на всяка страна трябва да е равна на корена от сбора на квадратите на дължините на нейните проекции върху координатни оси... Ако обозначим координатите A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) и C (X₃, Y₃, Z₃), дължините на техните страни могат да бъдат изразени по следния начин: AB = √ ((X₁- X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂)²), BC = √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃)²), AC = √ (( X₁-X₃) ² + (Y₁-Y3) ² + (Z₁-Z3)²).

За да опростите изчисленията, въведете спомагателна променлива - полупериметър (P). Тъй като това е половината от сбора от дължините на всички страни: P = ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃)²).

Триъгълникът е добре позната фигура на всички. И това, въпреки богатото разнообразие от форми. Правоъгълна, равностранна, остроъгълна, равнобедрена, тъпоъгълна. Всеки от тях е различен по някакъв начин. Но за всеки трябва да знаете площта на триъгълник.

Формули, общи за всички триъгълници, в които се използват дължините на страните или височините

Приети в тях обозначения: страни - a, b, c; височини на съответните страни n a, n v, n s.

1. Площта на триъгълник се изчислява като произведение на ½, страната и височината, паднала върху него. S = ½ * a * n a. По същия начин трябва да напишете формулите за другите две страни.

2. Формула на Херон, в която се появява полупериметърът (прието е да се обозначава с малка буква p, за разлика от пълния периметър). Полупериметърът трябва да се изчисли, както следва: добавете всички страни и ги разделете на 2. Формулата за полупериметъра: p = (a + b + c) / 2. Тогава равенството за площта на фигурата изглежда така: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ако не искате да използвате полупериметър, тогава ще ви бъде полезна такава формула, в която присъстват само дължините на страните: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Той е малко по-дълъг от предишния, но ще ви помогне, ако сте забравили как да намерите полупериметър.

Общи формули, в които се появяват ъглите на триъгълник

Обозначения, които са необходими за четене на формулите: α, β, γ - ъгли. Те лежат на противоположните страни съответно a, b, c.

1. Според него половината от произведението на две страни и синусът на ъгъла между тях е равен на площта на триъгълника. Тоест: S = ½ a * b * sin γ. По същия начин трябва да напишете формулите за другите два случая.

2. Площта на триъгълник може да се изчисли от една страна и три известни ъгъла. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Има и формула с една известна страна и два съседни ъгъла. Изглежда така: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Последните две формули не са от най-лесните. Запомнянето им е доста трудно.

Общи формули за ситуация, когато са известни радиусите на вписани или описани окръжности

Допълнителни обозначения: r, R - радиуси. Първият се използва за радиуса на вписаната окръжност. Втората е за описаната.

1. Първата формула, по която се изчислява площта на триъгълник, е свързана с полупериметър. S = p * r. По друг начин може да се запише, както следва: S = ½ r * (a + b + c).

2. Във втория случай ще трябва да умножите всички страни на триъгълника и да ги разделите на четворния радиус на описаната окръжност. V буквален изразизглежда така: S = (a * b * c) / (4R).

3. Третата ситуация прави възможно да се направи без познаване на страните, но са необходими стойностите и на трите ъгъла. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Специален случай: правоъгълен триъгълник

Това е най-простата ситуация, тъй като се изисква само познаване на дължините на двата крака. Те се обозначават с латинските букви a и b. Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от площта на завършения до него правоъгълник.

Математически изглежда така: S = ½ a * b. Тя е най-лесна за запомняне. Тъй като изглежда като формулата за площта на правоъгълник, само че все още има дроб, която означава половината.

Специален случай: равнобедрен триъгълник

Тъй като двете му страни са равни, някои формули за неговата площ изглеждат донякъде опростени. Например, формулата на Херон, която се използва за изчисляване на площта на равнобедрен триъгълник, приема следната форма:

S = ½ в √ ((a + ½ в) * (a - ½ в)).

Ако го трансформирате, тогава той ще стане по-кратък. В този случай формулата на Херон за равнобедрен триъгълник се записва, както следва:

S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).

Формулата за площ изглежда малко по-проста, отколкото за произволен триъгълник, ако страните и ъгълът между тях са известни. S = ½ a 2 * sin β.

Специален случай: равностранен триъгълник

Обикновено се знае една страна за него в проблемите или по някакъв начин можете да разберете за него. Тогава формулата, по която се намира площта на такъв триъгълник, е както следва:

S = (a 2 √3) / 4.

Проблеми с намирането на площта, ако триъгълникът е изобразен на карирана хартия

Най-простата ситуация е, когато правоъгълен триъгълник е начертан така, че краката му да съвпадат с линиите на хартията. След това просто трябва да преброите броя на клетките, които се вписват в краката. След това ги умножете и разделете на две.

Когато триъгълникът е с остър или тъп ъгъл, той трябва да бъде начертан до правоъгълник. Тогава получената фигура ще има 3 триъгълника. Единият е този, който е даден в задачата. А другите две са спомагателни и правоъгълни. Определете площите на последните две по описания по-горе метод. След това изчислете площта на правоъгълника и извадете от него изчислените за спомагателните. Площта на триъгълника е определена.

Много по-сложна е ситуацията, при която нито една от страните на триъгълника не съвпада с линиите на хартията. След това той трябва да бъде вписан в правоъгълника, така че върховете на оригиналната форма да лежат отстрани. В този случай ще има три помощни правоъгълни триъгълника.

Пример за проблем за формулата на Херон

Състояние. Някои триъгълници имат известни страни. Те са равни на 3, 5 и 6 см. Необходимо е да се знае неговата площ.

Сега можете да изчислите площта на триъгълник, като използвате горната формула. Под корен квадратен е произведението на четири числа: 7, 4, 2 и 1. Тоест площта е √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ако не се изисква по-голяма точност, тогава квадратният корен от 14. Той е равен на 3,74. Тогава площта ще бъде равна на 7,48.

Отговор. S = 2 √14 cm 2 или 7,48 cm 2.

Пример за задача с правоъгълен триъгълник

Състояние. Единият крак на правоъгълен триъгълник е с 31 см по-голям от втория. Изисква се да се знаят дължините им, ако площта на триъгълника е 180 см 2.
Решение. Ще трябва да решим система от две уравнения. Първият е свързан с района. Вторият - със съотношението на краката, което е дадено в задачата.
180 = ½ a * b;

а = b + 31.
Първо, стойността "a" трябва да бъде заменена в първото уравнение. Оказва се: 180 = ½ (in + 31) * in. Има само едно неизвестно количество, така че е лесно да се реши. След разширяване на скобите се оказва квадратно уравнение: при 2 + 31 при - 360 = 0. Дава две стойности за "at": 9 и - 40. Второто число не е подходящо като отговор, тъй като дължината на страната на триъгълник не може да бъде отрицателна.

Остава да изчислим втория крак: към полученото число добавете 31. Оказва се 40. Това са необходимите стойности в задачата.

Отговор. Катетата на триъгълника са 9 и 40 см.

Проблемът за намиране на страна през площта, страната и ъгъла на триъгълник

Състояние. Площта на някакъв триъгълник е 60 см 2. Необходимо е да се изчисли една от неговите страни, ако втората страна е 15 см, а ъгълът между тях е 30º.

Решение. Въз основа на приетите обозначения, желаната страна "a", известна "b", даден ъгъл "γ". Тогава формулата за площ може да бъде пренаписана, както следва:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Тук синусът от 30 градуса е 0,5.

След трансформациите "a" се оказва равно на 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Това е 16.

Отговор. Желаната страна е 16 см.

Задачата за квадрат, вписан в правоъгълен триъгълник

Състояние. Върхът на квадрат от 24 см съвпада с правия ъгъл на триъгълника. Другите двама лежат на краката. Третата принадлежи на хипотенузата. Дължината на един от краката е 42 см. Каква е площта на правоъгълен триъгълник?

Решение. Помислете за две правоъгълен триъгълник... Първият е посочен в задачата. Вторият се основава на добре познатия крак на оригиналния триъгълник. Те са подобни, тъй като имат общ ъгъл и се образуват от успоредни прави линии.

Тогава връзката на краката им е равностойна. Катетата на по-малкия триъгълник са 24 см (страна на квадрата) и 18 см (даден катет е 42 см, извадете страната на квадрата 24 см). Съответните крака на големия триъгълник са 42 см и х см. Именно това "х" е необходимо, за да се изчисли площта на триъгълника.

18/42 = 24 / x, тоест x = 24 * 42/18 = 56 (см).

Тогава площта е равна на произведението на 56 и 42, разделено на две, тоест 1176 cm 2.

Отговор. Необходимата площ е 1176 cm 2.