Видео курсът „Вземи A“ включва всички теми, необходими за успешен полагане на Единния държавен изпитпо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профилния единен държавен изпит по математика. Подходящ и за полагане на основния единен държавен изпит по математика. Ако искате да издържите Единния държавен изпит с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единния държавен изпит за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от Единния държавен изпит по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със 100 точки, нито студент по хуманитарни науки не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, клопки и тайни на единния държавен изпит. Анализирани са всички текущи задачи от част 1 от банката задачи на FIPI. Курсът напълно отговаря на изискванията на Единния държавен изпит 2018 г.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици задачи за единен държавен изпит. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове задачи от Единния държавен изпит. Стереометрия. Хитри триковерешения, полезни измамни листове, развитие пространствено въображение. Тригонометрия от нулата до задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Ясни обяснения на сложни концепции. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. Основа за решение сложни задачи 2 части от Единния държавен изпит.

КВАДАГОНИ.

§43. ПАРАЛЕЛОГРАМ.

1. Дефиниция на успоредник.

Ако пресечем двойка успоредни прави с друга двойка успоредни прави, получаваме четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки.

В четириъгълниците ABC и EFNM (фиг. 224) ВD || AC и AB || CD;
EF || MN и EM || FN.

Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по две, се нарича успоредник.

2. Свойства на успоредник.

Теорема. Диагоналът на успоредника го разделя на два равни триъгълника.

Нека има успоредник ABC (фиг. 225), в който AB || CD и AC || ВD.

Трябва да докажете, че диагоналът го разделя на два равни триъгълника.

Нека начертаем диагонал CB в успоредник ABC. Нека докажем това /\ КАБИНА= /\ C.D.B.

NE страната е обща за тези триъгълници; / ABC = / BCD, като вътрешни напречни ъгли с успоредни AB и CD и секуща CB; / DIA = / СВD, също като вътрешни напречни ъгли с успоредни AC и ВD и секуща CB (§ 38).

Оттук /\ КАБИНА = /\ C.D.B.

По същия начин може да се докаже, че диагоналът AD ще раздели успоредника на два равни триъгълника ACD и ABD.

Последици. 1 . Срещуположните ъгли на успоредник са равни.

/ А = / D, това следва от равенството на триъгълниците CAB и CDB.
По същия начин / C = / IN.

2. Противоположните страни на успоредник са равни една на друга.

AB = CD и AC = BD, тъй като това са страни на равни триъгълници и лежат срещу равни ъгли.

Теорема 2. Диагоналите на успоредник се разделят наполовина в точката на тяхното пресичане.

Нека BC и AD са диагоналите на успоредника ABC (фиг. 226). Нека докажем, че AO = OD и CO = OB.

За да направите това, сравнете двойка противоположни триъгълници, например /\ AOB и /\ COD.

В тези триъгълници AB = CD, като противоположните страни на успоредник;
/ 1 = / 2, като вътрешни ъгли, лежащи на кръст с успоредници AB и CD и секуща AD;
/ 3 = / 4 по същата причина, тъй като AB || CD и CB са техният секанс (§ 38).

От това следва, че /\ AOB = /\ COD. А в равните триъгълници равните страни лежат срещу равни ъгли. Следователно AO = OD и CO = OB.

Теорема 3. Сумата от ъглите, съседни на едната страна на успоредник, е равна на 2 d .

Докажи го сам.

3. Признаци на успоредник.

Теорема. Ако противоположните страни на четириъгълник са равни по две, то този четириъгълник е успоредник.

Нека в четириъгълника ABC (чертано 227) AB = CD и AC = BD. Нека докажем, че при това условие AB || CD и AC || ВD, т.е. четириъгълник АВDC е успоредник.
Нека свържем с отсечка произволни две противоположни върховетова е четириъгълник, например C и B. Четириъгълникът ABCD е разделен на два равни триъгълника: /\ КАБИНА и /\ C.D.B. Всъщност те имат една и съща страна CB, AB = CD и AC = BD според условието. Следователно три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг /\ КАБИНА = /\ C.D.B.

В равните триъгълници равните ъгли лежат срещу равни страни, така че
/ 1 = / 2 и / 3 = / 4.

Ъгли 1 и 2 са вътрешни ъгли, лежащи на кръст в пресечната точка на правите AB и CD на правата CB. Следователно AB || CD.

По същия начин ъгли 3 и 4 са вътрешни ъгли, лежащи на кръст в пресечната точка на прави CA и BD на права CB, следователно CA || ВD (§ 35).

По този начин противоположните страни на четириъгълника ABC са успоредни по двойки, следователно той е успоредник, което трябваше да се докаже.

Теорема 2. Ако две срещуположни страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.

Нека AB = CD в четириъгълника ABCD и AB || CD. Нека докажем, че при тези условия четириъгълникът ABC е успоредник (фиг. 228).

Нека свържем върховете C и B с отсечка CB. Поради успоредността на правите AB и CD ъглите 1 и 2, като вътрешни ъгли, лежащи на кръст, са равни (§ 38).
Тогава триъгълник CAB е равен на триъгълник CDB, тъй като имат обща страна CB,
AB = CD съгласно условията на теоремата и / 1 = / 2 по доказани. Равенството на тези триъгълници предполага равенство на ъгли 3 и 4, тъй като те лежат срещу равни страни в равни триъгълници.

Но ъгли 3 и 4 са вътрешни напречни ъгли, образувани от пресичането на прави линии AC и BD на права линия CB, следователно AC || ВD (§ 35), т.е. четириъгълник
ABC е успоредник.

Упражнения.

1. Докажете, че ако диагоналите на четириъгълник в точката на тяхното взаимно пресичане са разделени наполовина, то този четириъгълник е успоредник.

2. Докажете, че четириъгълник, чиято сума вътрешни ъглисъседна на всяка от двете съседни страни е равно на 2 d, има успоредник.

3. Постройте успоредник, като използвате двете страни и ъгъла между тях:

а) използване на успоредността на противоположните страни на успоредник;
б) използвайки равенството на противоположните страни на успоредник.

4. Построете успоредник с помощта на две съседни страни и диагонал.

5. Построете успоредник по двата му диагонала и ъгъла между тях.

6. Построете успоредник, като използвате неговата страна и два диагонала.

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

Това определение вече е достатъчно, тъй като останалите свойства на успоредника следват от него и се доказват под формата на теореми.

• Основните свойства на успоредника са:
• успоредникът е изпъкнал четириъгълник;
• Паралелограмът има противоположни страни, които са равни по двойки;
• В успоредник противоположните ъгли са равни по двойки;

Диагоналите на успоредника са разделени наполовина от пресечната точка.

Успоредник - изпъкнал четириъгълник Нека първо докажем теоремата, чеуспоредникът е изпъкнал четириъгълник

. Многоъгълникът е изпъкнал, ако която и страна от него да е удължена до права линия, всички останали страни на многоъгълника ще бъдат от същата страна на тази права линия.

Нека е даден успоредник ABCD, в който AB е противоположната страна на CD, а BC е противоположната страна на AD. Тогава от определението за успоредник следва, че AB || CD, BC || от н.е.

Успоредните отсечки нямат общи точки и не се пресичат. Това означава, че CD лежи от едната страна на AB. Тъй като отсечката BC свързва точка B от отсечката AB с точка C от отсечката CD, а отсечката AD свързва други точки AB и CD, отсечките BC и AD също лежат от същата страна на правата AB, където лежи CD. Така и трите страни - CD, BC, AD - лежат на една и съща страна на AB.

По същия начин се доказва, че по отношение на другите страни на успоредника другите три страни лежат на една и съща страна.

Противоположните страни и ъгли са равни Едно от свойствата на успоредника е товаВ успоредник противоположните страни и противоположните ъгли са равни по двойки

. Например, ако е даден успоредник ABCD, тогава той има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Тази теорема се доказва по следния начин.

Успоредникът е четириъгълник. Това означава, че има два диагонала. Тъй като паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, всеки от тях го разделя на два триъгълника. В успоредника ABCD разгледайте триъгълниците ABC и ADC, получени от начертаването на диагонала AC. Тези триъгълници имат една обща страна - AC. Ъгъл BCAравен на ъгъл

CAD като вертикала с успоредни BC и AD. Ъглите BAC и ACD също са равни на вертикалните ъгли, когато AB и CD са успоредни. Следователно ∆ABC = ∆ADC при два ъгъла и страната между тях.

Ъгъл B съответства на ъгъл D, т.е. ∠B = ∠D. Ъгъл A на успоредник е сборът от два ъгъла - ∠BAC и ∠CAD. Ъгъл C е равен на ∠BCA и ∠ACD. Тъй като двойки ъгли са равни един на друг, тогава ∠A = ∠C.

По този начин се доказва, че в успоредник противоположните страни и ъгли са равни.

Диагоналите са разделени наполовина

Тъй като успоредникът е изпъкнал четириъгълник, той има два диагонала и те се пресичат. Нека е даден успоредник ABCD, неговите диагонали AC и BD се пресичат в точка E. Да разгледаме образуваните от тях триъгълници ABE и CDE.

Тези триъгълници имат страни AB и CD, равни на противоположните страни на успоредник. Ъгъл ABE е равен на ъгъл CDE като лежи напречно на успоредни прави AB и CD. По същата причина ∠BAE = ∠DCE. Това означава ∆ABE = ∆CDE при два ъгъла и страната между тях.

Можете също така да забележите, че ъглите AEB и CED са вертикални и следователно също са равни един на друг.

Тъй като триъгълниците ABE и CDE са равни един на друг, тогава всичките им съответни елементи са равни. Страната AE на първия триъгълник съответства на страната CE на втория, което означава AE = CE. По същия начин BE = DE. Всяка двойка равни сегменти представлява диагонал на успоредник. Така се доказва, че Диагоналите на успоредник се делят наполовина от тяхната пресечна точка.

Точно както в евклидовата геометрия точка и права линия са основните елементи на теорията на равнините, така и успоредникът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, текат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Дефиниция на успоредник

изпъкнал четириъгълник,състоящ се от сегменти, всяка двойка от които е успоредна, е известен в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият успоредник е изобразен с четириъгълник ABCD. Страните се наричат ​​основи (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, се нарича височина (BE и BF), правите AC и BD се наричат ​​диагонали.

внимание!Квадрат, ромб и правоъгълник са специални случаи на успоредник.

Страни и ъгли: характеристики на връзката

Ключови свойства, като цяло, предопределено от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Страните, които са противоположни, са еднакви по двойки.
2. Ъглите един срещу друг са равни по двойки.

Доказателство: Да разгледаме ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD с правата AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, тъй като AC е общ за тях ( вертикални ъглиза BC||AD и AB||CD, съответно). От това следва: ∆ABC = ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Отсечките AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на правите CD и AD в ∆ADC, което означава, че те са еднакви: AB = CD, BC = AD. Така ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, които също са идентични по двойки, тогава ∠A = ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигура

Основна характеристикана тези прави на успоредник: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека i.e е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, тъй като те са противоположни. Според правите и секанса ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По втория критерий за равенство ∆ABE = ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и същевременно са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседни ъгли

Съседните страни имат сбор от ъгли, равен на 180°, тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни прави и напречна. За четириъгълник ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства на ъглополовящата:

1. , спуснати на една страна, са перпендикулярни;
2. срещуположните върхове имат успоредни ъглополовящи;
3. триъгълникът, получен чрез изчертаване на ъглополовяща, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характеристиките на успоредник с помощта на теоремата

Характеристиките на тази фигура следват от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че неговите диагонали се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека правите AC и BD на четириъгълника ABCD се пресичат в т.е. Тъй като ∠AED = ∠BEC и AE+CE=AC BE+DE=BD, тогава ∆AED = ∆BEC (въз основа на първия критерий за равенство на триъгълниците). Тоест ∠EAD = ∠ECB. Те са и вътрешните напречни ъгли на секущата AC за прави AD и BC. Така, по дефиниция на паралелизъм - AD || пр.н.е. Подобно свойство на правите BC и CD също е изведено. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на фигура

Площта на тази фигура открити по няколко методаедин от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е начертана.

Доказателство: начертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB = CD и BE = CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на това геометрична фигурае разположен по същия начин като правоъгълник:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

За да определим общата формула за площта на паралелограма, нека обозначим височината като hb, а отстрани - b. Съответно:

Други начини за намиране на площ

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгъла, който образуват, е вторият известен метод.

,

Спр-ма - площ;

a и b са неговите страни

α е ъгълът между сегментите a и b.

Този метод практически се основава на първия, но в случай, че е неизвестен. винаги отрязва правоъгълен триъгълник, чиито параметри се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Трансформирайки отношението, получаваме . В уравнението на първия метод заместваме височината с този продукт и получаваме доказателство за валидността на тази формула.

През диагоналите на успоредника и ъгъла,които те създават, когато се пресичат, можете също да намерите областта.

Доказателство: AC и BD се пресичат и образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Тяхната сума е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тези ∆ може да се намери чрез израза , където a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Тъй като , изчисленията използват една синусова стойност. Това е . Тъй като AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2, формулата за площ се редуцира до:

.

Приложение във векторната алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото на успоредника гласи това ако са дадени векториИнеса колинеарни, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало – т.е. - конструиране на вектори и . След това конструираме успоредник OASV, където сегментите OA и OB са страни. По този начин OS лежи върху вектора или сумата.

Формули за изчисляване на параметрите на успоредник

Идентичностите се дават при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгълът между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати до страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонали и страни
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
отстрани и размера на върха между тях

Средно ниво

Успоредник, правоъгълник, ромб, квадрат (2019)

1. Успоредник

Сложна дума "успоредник"? И зад него се крие много проста фигура.

Е, това означава, че взехме две успоредни линии:

Пресечен от още две:

А вътре има успоредник!

Какви свойства има успоредникът?

Свойства на успоредник.

Тоест, какво можете да използвате, ако в задачата е даден успоредник?

Следната теорема отговаря на този въпрос:

Нека нарисуваме всичко подробно.

Какво значи първа точка от теоремата? И факт е, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава със сигурност ще имате

Втората точка означава, че ако ИМА успоредник, тогава, отново, със сигурност:

Е, и накрая, третата точка означава, че ако ИМАТЕ успоредник, тогава не забравяйте да:

Виждате ли какъв богат избор има? Какво да използвам при проблема? Опитайте се да се съсредоточите върху въпроса на задачата или просто опитайте всичко едно по едно - някакъв „ключ“ ще свърши работа.

Сега нека си зададем друг въпрос: как можем да разпознаем успоредник „по зрение“? Какво трябва да се случи с един четириъгълник, за да имаме право да го наричаме успоредник?

Няколко знака на успоредник отговарят на този въпрос.

Признаци на успоредник.

внимание! нека започнем

Успоредник.

Моля, обърнете внимание: ако сте намерили поне един знак в проблема си, тогава определено имате успоредник и можете да използвате всички свойства на успоредник.

2. Правоъгълник

Мисля, че това изобщо няма да е новина за вас

Първи въпрос: успоредник ли е правоъгълникът?

Разбира се, че е! В края на краищата той има - помните ли, нашия знак 3?

И от тук, разбира се, следва, че в правоъгълник, както във всеки успоредник, диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане.

Но правоъгълникът има и едно отличително свойство.

Свойство правоъгълник

Защо това свойство е отличително? Защото никой друг успоредник няма равни диагонали. Нека го формулираме по-ясно.

Моля, обърнете внимание: за да стане правоъгълник, четириъгълникът трябва първо да се превърне в успоредник и след това да демонстрира равенството на диагоналите.

3. Диамант

И отново въпросът: успоредник ли е ромбът или не?

С пълно право - успоредник, защото има и (помнете нашата особеност 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, тогава той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че в ромба противоположните ъгли са равни, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разполовяват в точката на пресичане.

Свойства на ромба

Вижте снимката:

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителни, тоест за всяко от тези свойства можем да заключим, че това не е просто успоредник, а ромб.

Признаци на диамант

И отново, обърнете внимание: трябва да има не просто четириъгълник, чиито диагонали са перпендикулярни, а успоредник. Уверете се, че:

Не, разбира се, въпреки че неговите диагонали са перпендикулярни, а диагоналът е ъглополовяща на ъглите и. Но... диагоналите не се делят наполовина от пресечната точка, следователно - НЕ са успоредник и следователно НЕ са ромб.

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? - ромбът е ъглополовящата на ъгъл А, който е равен на. Това означава, че се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; Диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло успоредник от диагонали е разделен наполовина от точката на пресичане.

СРЕДНО НИВО

Свойства на четириъгълниците. Успоредник

Свойства на успоредник

внимание! думи " свойства на успоредник„означава, че ако във вашата задача имауспоредник, тогава всички от следните могат да бъдат използвани.

Теорема за свойствата на успоредник.

Във всеки успоредник:

Нека разберем защо всичко това е вярно, с други думи ЩЕ ДОКАЖЕМтеорема.

Така че защо 1) е вярно?

Ако е успоредник, тогава:

• лежат като кръстосани
• лежащи като кръстове.

Това означава (съгласно критерий II: и - общ.)

Е, това е, това е! - доказано.

Но между другото! Ние също доказахме 2)!

защо Но (вижте снимката), това е точно защото.

Остават само 3).

За да направите това, все още трябва да нарисувате втори диагонал.

И сега виждаме това - според II характеристика (ъгли и страната "между" тях).

Доказани свойства! Да преминем към знаците.

Признаци на успоредник

Спомнете си, че знакът за успоредник отговаря на въпроса „откъде знаете, че фигурата е успоредник“.

В иконите е така:

защо Би било хубаво да разберете защо - това е достатъчно. Но вижте:

Е, разбрахме защо знак 1 е верен.

Е, дори е по-лесно! Нека отново начертаем диагонал.

Което означава:

ИОсвен това е лесно. Но...различен!

Означава,. Уау! Но и - вътрешно едностранно със секанс!

Следователно фактът, който означава това.

И ако погледнете от другата страна, тогава - вътрешно едностранно със секанс! И ето защо.

Виждате ли колко е страхотно?!

И пак просто:

Абсолютно същото и.

Моля, обърнете внимание:ако сте намерили понеедин знак за успоредник във вашия проблем, значи имате точноуспоредник и можете да използвате всичкисвойства на успоредник.

За пълна яснота вижте диаграмата:

Свойства на четириъгълниците. Правоъгълник.

Свойства на правоъгълника:

Точка 1) е съвсем очевидна - в крайна сметка знак 3 () е просто изпълнен

И точка 2) - много важен. И така, нека докажем това

Това означава от две страни (и - общо).

Е, тъй като триъгълниците са равни, тогава техните хипотенузи също са равни.

Доказа това!

И представете си, равенството на диагоналите е отличително свойство на правоъгълника сред всички успоредници. Тоест това твърдение е вярно^

Да разберем защо?

Това означава (което означава ъглите на успоредник). Но нека си припомним още веднъж, че това е успоредник и следователно.

Означава,. Е, разбира се, следва, че всеки от тях! Все пак трябва да дават общо!

Така те доказаха, че ако успоредникизведнъж (!) диагоналите се оказват равни, тогава това точно правоъгълник.

Но! Обърнете внимание!Става въпрос за успоредници! Не кой да ечетириъгълник с равни диагонали е правоъгълник и самоуспоредник!

Свойства на четириъгълниците. Ромб

И отново въпросът: успоредник ли е ромбът или не?

С пълно право - успоредник, защото има (Запомнете нашата особеност 2).

И отново, тъй като ромбът е успоредник, той трябва да има всички свойства на успоредник. Това означава, че в ромба противоположните ъгли са равни, противоположните страни са успоредни и диагоналите се разполовяват в точката на пресичане.

Но има и специални свойства. Нека го формулираме.

Свойства на ромба

защо Е, тъй като ромбът е успоредник, тогава неговите диагонали са разделени наполовина.

защо Да, точно затова!

С други думи, диагоналите се оказаха ъглополовящи на ъглите на ромба.

Както в случая с правоъгълник, тези свойства са отличителен, всеки от тях също е знак на ромб.

Признаци на диамант.

защо е това и виж,

Това означава и дветеТези триъгълници са равнобедрени.

За да бъде ромб, четириъгълникът трябва първо да се „превърне“ в успоредник и след това да прояви характеристика 1 или характеристика 2.

Свойства на четириъгълниците. Квадрат

Тоест, квадратът е правоъгълник и ромб едновременно. Да видим какво ще стане.

Ясно ли е защо? Квадрат - ромб - е ъглополовяща на ъгъл, който е равен на. Това означава, че се разделя (и също) на два ъгъла.

Е, съвсем ясно е: диагоналите на правоъгълника са равни; Диагоналите на ромба са перпендикулярни и като цяло успоредник от диагонали е разделен наполовина от точката на пресичане.

защо Е, просто приложете Питагоровата теорема към...

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Свойства на успоредник:

1. Противоположните страни са равни: , .
2. Срещуположните ъгли са равни: , .
3. Ъглите от едната страна се събират до: , .
4. Диагоналите са разделени наполовина от точката на пресичане: .

Свойства на правоъгълника:

1. Диагоналите на правоъгълника са равни: .
2. Правоъгълникът е успоредник (за правоъгълника са изпълнени всички свойства на успоредника).

Свойства на ромба:

1. Диагоналите на ромба са перпендикулярни: .
2. Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли: ; ; ; .
3. Ромбът е успоредник (за ромба са изпълнени всички свойства на успоредник).

Свойства на квадрат:

Квадратът е едновременно ромб и правоъгълник, следователно за квадрат са изпълнени всички свойства на правоъгълник и ромб. И също.