Изявлението е по-сложна формация от името. Когато разлагаме твърденията на по-прости части, винаги получаваме определени имена. Да речем, твърдението „Слънцето е звезда“ включва имената „Слънце“ и „звезда“ като негови части.

Изявление -граматически правилно изречение, взето заедно със значението (съдържанието), което изразява и е вярно или невярно.

Концепцията за изказване е една от първоначалните, ключови понятиясъвременна логика. Като такъв не позволява точно определение, еднакво приложими в различните му раздели.

Твърдението се счита за вярно, ако описанието, което дава, отговаря на реалната ситуация, и невярно, ако не отговаря на нея. „Вярно“ и „невярно“ се наричат ​​„истинни стойности на твърденията“.

От отделни изявления различни начиниможете да конструирате нови твърдения. Например от твърденията „Вятърът духа“ и „Вали“ могат да се формират по-сложни твърдения „Вятърът духа и вали“, „Или вятърът духа, или вали“, „Ако вали, после духа вятър” и т.н.

Изявлението се нарича просто,освен ако не включва други изявления като части от него.

Изявлението се нарича комплекс,ако се получава с помощта на логически връзки от други по-прости твърдения.

Нека разгледаме най важни начинистроителство сложни твърдения.

Отрицателно твърдениесе състои от първоначално твърдение и отрицание, обикновено изразено с думите „не“, „не е вярно, че“. Следователно отрицателното твърдение е сложно твърдение: то включва като своя част твърдение, различно от него. Например, отрицанието на твърдението „10 е четно число“ е твърдението „10 не е четно число“ (или: „Не е вярно, че 10 е четно число“).

Нека означим твърденията с букви A, B, C,... Пълният смисъл на концепцията за отрицание на твърдение се дава от условието: ако твърдението Ае вярно, неговото отрицание е невярно и ако Ае невярно, отрицанието му е вярно. Например, тъй като твърдението „1 е положително цяло число“ е вярно, неговото отрицание „1 не е положително цяло число“ е невярно, и тъй като „1 е просто число“ е невярно, неговото отрицание „1 не е просто число“ " истина е.

Свързването на две изявления с помощта на думата „и“ създава сложно изявление, наречено съчетание.Твърдения, свързани по този начин, се наричат ​​„членове на връзка“.

Например, ако твърденията „Днес е горещо“ и „Вчера беше студено“ се комбинират по този начин, получавате връзката „Днес е горещо, а вчера беше студено“.

Един съюз е верен само ако и двете твърдения, включени в него, са верни; ако поне един от неговите членове е неверен, тогава целият съюз е неверен.

В обикновения език две изявления са свързани чрез съюза „и“, когато са свързани едно с друго по съдържание или значение. Естеството на тази връзка не е съвсем ясно, но е ясно, че не бихме считали съюза „Той вървеше с палто, а аз вървях към университета“ като израз, който има значение и може да бъде верен или неверен. Въпреки че твърденията „2 е просто число“ и „Москва е Голям град” са верни, не сме склонни да считаме връзката им „2 е просто число и Москва е голям град” за вярна, тъй като съставните твърдения не са свързани помежду си по смисъл. Като опростява значението на връзката и други логически връзки и за тази цел изоставя неясната концепция за „свързване на твърдения по смисъл“, логиката прави значението на тези връзки както по-широко, така и по-специфично.

Свързването на две твърдения с помощта на думата "или" дава дизюнкциятези твърдения. Изявленията, които образуват дизюнкция, се наричат ​​„членове на дизюнкцията“.

Думата "или" има две различни значения в ежедневния език. Понякога означава „едното или другото, или и двете“, а понякога „едното или другото, но не и двете“. Например твърдението „Този ​​сезон искам да отида на“ Пикова дама"или на "Аида" дава възможност за посещение на onera два пъти. Твърдението „Той учи в Московския или Ярославския университет“ предполага, че споменатото лице учи само в един от тези университети.

Първото чувство за "или" се нарича неизключителен.Взето в този смисъл, дизюнкцията на две твърдения означава, че поне едно от тези твърдения е вярно, независимо дали и двете са верни или не. Взети във втория изключителенили в тесен смисъл, дизюнкцията на две твърдения заявява, че едното от твърденията е вярно, а второто е невярно.

Неизключителната дизюнкция е вярна, когато поне едно от съставните ѝ твърдения е вярно, и невярна само когато и двата ѝ члена са неверни.

Една изключителна дизюнкция е вярна, когато само един от нейните термини е верен, и е невярна, когато и двата й термина са верни или и двата са неверни.

В логиката и математиката думата „или“ почти винаги се използва в неизключително значение.

Условно твърдение -сложно твърдение, обикновено формулирано с помощта на свързващото „ако..., тогава...“ и установяване на едно събитие, състояние и т.н. е в един или друг смисъл основа или условие за друго.

Например: „Ако има огън, значи има дим“, „Ако едно число се дели на 9, то се дели на 3“ и т.н.

Условният оператор е съставен от два по-прости оператора. Извиква се този, който е предшестван от думата „ако“. основа,или антецедент(предишен), изявлението, идващо след думата „това“, се извиква следствие,или последващо(последващи).

Като утвърждаваме условно твърдение, ние на първо място имаме предвид, че не може да се случи казаното в основата му, а казаното в следствието да отсъства. С други думи, не може да се случи антецедентът да е верен, а следствието да е невярно.

По отношение на условно твърдение обикновено се дефинират понятията за достатъчни и необходими условия: антецедентът (основание) е достатъчно условие за следствието (следствието), а следствието е необходимо условиеза антецедента. Например истинността на условното твърдение „Ако изборът е рационален, тогава се избира най-добрата от наличните алтернативи“ означава, че рационалността е достатъчна причина за избора на най-добрата от наличните опции и че изборът на такава опция е необходимо условие за неговата рационалност.

Типична функция на условно изявление е да обоснове едно изявление чрез препратка към друго изявление. Например, фактът, че среброто е електропроводимо, може да бъде оправдано с позоваване на факта, че е метал: „Ако среброто е метал, то е електропроводимо.“

Връзката между обосноваващото и оправданото (основание и следствие), изразено с условно твърдение, е трудно да се характеризира в общ изгледи само понякога природата му е относително ясна. Тази връзка може да бъде, първо, връзка на логическо следствие, която се осъществява между предпоставките и заключението на правилно заключение („Ако всички живи многоклетъчни същества са смъртни, а медузата е такова същество, то тя е смъртна“); второ, по закона на природата („Ако едно тяло е подложено на триене, то ще започне да се нагрява“); трето, причинно-следствена връзка („Ако Луната е във възела на своята орбита при новолуние, слънчево затъмнение"); четвърто, социална закономерност, правило, традиция и т.н. („Ако обществото се променя, променя се и човекът“, „Ако съветът е разумен, трябва да се приложи“).

Връзката, изразена с условно твърдение, обикновено е придружена от убеждението, че следствието „следва“ с известна необходимост от причината и че има някакъв общ закон, след като успеем да формулираме който, бихме могли логически да изведем следствието от причината .

Например, условното твърдение „Ако бисмутът е метал е пластмаса“ изглежда предполага общия закон „Никакви метали не са пластмаса“, което прави следствието от това твърдение логична последица от неговия предшественик.

Както на обикновения език, така и на езика на науката, условното твърдение, в допълнение към функцията на обосновка, може да изпълнява и редица други задачи: да формулира условие, което не е свързано с някакъв подразбиращ се общ закон или правило („Ако Искам, ще си скроя наметалото”); запишете произволна последователност („Ако миналото лято беше сухо, то тази година е дъждовно“); изразете недоверие в особена форма („Ако решите този проблем, ще докажа последната теорема на Ферма“); опозиция („Ако в градината расте бъз, значи човек живее в Киев“) и др. Множеството и разнородността на функциите на условното твърдение значително усложнява неговия анализ.

Използването на условни твърдения е свързано с определени психологически фактори. По този начин обикновено формулираме такова твърдение само ако не знаем със сигурност дали неговият антецедент и следствие са верни или неверни. В противен случай използването му изглежда неестествено („Ако ватата е метал, тя е електрически проводник“).

Условното твърдение е много широко приложениевъв всички области на разсъждението. В логиката обикновено се представя от импликативно изявление,или последици.В същото време логиката изяснява, систематизира и опростява използването на "ако ..., тогава ...", освобождавайки го от влиянието на психологически фактори.

Логиката се абстрахира по-специално от факта, че връзката между причина и следствие, характерна за условно твърдение, в зависимост от контекста, може да бъде изразена с помощта не само на „ако..., тогава...“, но и на други езикови средства. Например, „Тъй като водата е течност, тя предава налягане във всички посоки равномерно“, „Въпреки че пластилинът не е метал, той е пластмаса“, „Ако дървото беше метал, щеше да е електропроводимо“ и т.н. Тези и подобни твърдения са представени на езика на логиката чрез подразбиране, въпреки че използването на „ако..., то...“ в тях не би било съвсем естествено.

Като твърдим импликация, ние твърдим, че не може да се случи нейната основа да е налице, а следствието да отсъства. С други думи, импликацията е невярна само ако причината е вярна и следствието е невярно.

Тази дефиниция предполага, подобно на предишните дефиниции на свързващите елементи, че всяко твърдение е вярно или невярно и че стойността на истината на сложно твърдение зависи само от стойностите на истината на съставните твърдения и от начина, по който са свързани.

Една импликация е вярна, когато и причината, и следствието са верни или неверни; вярно е, ако причината му е невярна и следствието му е вярно. Само в четвъртия случай, когато причината е вярна, а следствието невярно, импликацията е невярна.

Не се подразбира, че твърденията АИ INса по някакъв начин свързани помежду си по съдържание. Ако е вярно INтвърдение „ако а,Че В"вярно независимо дали Авярно или невярно и е свързано по смисъл с INили не.

Например следните твърдения се считат за верни: „Ако има живот на Слънцето, тогава две и две са равни на четири“, „Ако Волга е езеро, то Токио е голямо село“ и т.н. Условното твърдение също е вярно, когато Афалшиво и пак безразлично вярно INили не и свързано ли е по съдържание с Аили не. Истинските твърдения включват: „Ако Слънцето е куб, то Земята е триъгълник“, „Ако две и две са равни на пет, то Токио е малък град“ и т.н.

При обикновени разсъждения е малко вероятно всички тези твърдения да се считат за смислени, а още по-малко за верни.

Въпреки че импликацията е полезна за много цели, тя не е напълно съвместима с обичайното разбиране за условна връзка. Импликацията обхваща много важни характеристики на логическото поведение на условно твърдение, но в същото време не е достатъчно адекватно описание за него.

През последния половин век имаше енергични опити за реформиране на теорията на импликацията. В същото време не ставаше въпрос за изоставяне на описаната концепция за импликация, а за въвеждане, заедно с нея, на друга концепция, която отчита не само истинните стойности на твърденията, но и тяхната връзка в съдържанието.

Тясно свързано с импликацията еквивалентност,понякога се нарича "двойно внушение".

Еквивалентността е сложно твърдение „А ако и само ако B“, образувано от твърдения на Li B и разлагащо се на две импликации: „ако а,тогава B" и "ако B, тогава А".Например: „Триъгълникът е равностранен тогава и само ако е равноъгълен.“ Терминът „еквивалентност” обозначава и съединителя „..., ако и само ако...”, с помощта на който се образува дадено сложно твърдение от две твърдения. Вместо „ако и само ако“, за тази цел може да се използва „ако и само ако“, „ако и само ако“ и т.н.

Ако логическите връзки са дефинирани от гледна точка на истинност и лъжа, еквивалентността е вярна тогава и само ако и двете съставни твърдения имат една и съща стойност на истинност, т.е. когато и двете са верни или и двете грешни. Съответно една еквивалентност е невярна, когато едно от твърденията, включени в нея, е вярно, а другото е невярно.

Пропозиционална логика , наричана още пропозиционална логика, е клон на математиката и логиката, който изучава логическите форми на сложни твърдения, изградени от прости или елементарни твърдения, използващи логически операции.

Пропозиционалната логика се абстрахира от съдържанието на твърденията и изучава тяхната истинност, тоест дали твърдението е вярно или невярно.

Картината по-горе е илюстрация на феномен, известен като парадокса на лъжеца. В същото време, според автора на проекта, подобни парадокси са възможни само в среда, която не е лишена от политически проблеми, където някой априори може да бъде етикетиран като лъжец. В природния многопластов свят по темата „истина“ или „лъжа“ се оценяват само отделни твърдения . И по-късно в този урок ще се запознаете с възможност сами да оцените много твърдения по тази тема (и след това вижте правилните отговори). Включително сложни твърдения, в които по-простите са свързани помежду си със знаци на логически операции. Но първо, нека разгледаме тези операции върху самите изрази.

Пропозиционалната логика се използва в компютърните науки и програмирането под формата на деклариране на логически променливи и присвояване на логически стойности „false“ или „true“, от които зависи ходът на по-нататъшното изпълнение на програмата. В малките програми, където е включена само една булева променлива, на булевата променлива често се дава име като "флаг" и значението е "флаг е вдигнат", когато стойността на променливата е "истина" и "флаг е свален, когато." стойността на тази променлива е "false". В големи програми, в които има няколко или дори много логически променливи, от професионалистите се изисква да измислят имена за логическите променливи под формата на изрази и семантично натоварване, разграничавайки ги от другите логически променливи и разбираеми за други професионалисти, които ще прочетат текста на тази програма.

По този начин логическа променлива с име „UserRegistered“ (или неин англоезичен аналог) може да бъде декларирана под формата на изявление, на което може да бъде присвоена логическата стойност „истина“, ако са изпълнени условията, че регистрационните данни са изпратени от потребителя и тези данни се разпознават като валидни от програмата. При по-нататъшни изчисления стойностите на променливите могат да се променят в зависимост от логическата стойност (истина или невярно) на променливата UserRegistered. В други случаи на променлива, например с име „Остават повече от три дни преди деня“, може да бъде присвоена стойност „Истина“ преди определен блок от изчисления и по време на по-нататъшно изпълнение на програмата тази стойност може да бъде се запазва или променя на „false“ и напредъкът на по-нататъшното изпълнение зависи от стойността на тази променлива програми.

Ако една програма използва няколко логически променливи, имената на които имат формата на изрази и от тях са изградени по-сложни изрази, тогава е много по-лесно да се разработи програмата, ако преди да го разработим, запишем всички операции от изрази под формата на формули, използвани в логиката на изявленията, отколкото правим по време на Този урок е това, което ще направим.

Логически операции върху изрази

За математически твърдения човек винаги може да направи избор между две различни алтернативи, „истина“ и „лъжа“, но за твърдения, направени на „вербален“ език, понятията „истина“ и „лъжа“ са малко по-неясни. Въпреки това, например, вербални форми като „Върви си вкъщи“ и „Вали ли?“ не са твърдения. Следователно е ясно, че твърденията са словесни форми, в които се заявява нещо . Въпросителни или възклицателни изречения, призиви, както и пожелания или искания не са твърдения. Те не могат да бъдат оценени със стойностите "true" и "false".

Твърденията, напротив, могат да се разглеждат като количества, които могат да приемат две значения: „вярно“ и „невярно“.

Дадени са например следните преценки: „кучето е животно“, „Париж е столицата на Италия“, „3

Първото от тези твърдения може да бъде оценено със символа „вярно“, второто с „невярно“, третото с „вярно“ и четвъртото с „невярно“. Тази интерпретация на твърдения е предмет на пропозиционалната алгебра. Твърденията ще ги обозначаваме с големи букви с латински букви А, Б, ..., и техните значения, т.е. вярно и невярно, съответно ИИ Л. В обикновената реч се използват връзки между твърдения „и“, „или“ и други.

Тези връзки позволяват, чрез свързване на различни твърдения едно с друго, да се образуват нови твърдения - сложни твърдения . Например съединителното "и". Нека бъдат дадени изявленията: " π повече от 3" и твърдението " π по-малко от 4". Можете да организирате нов - сложен отчет " π повече от 3 и π по-малко от 4". Твърдение "ако π ирационално тогава π ² също е ирационално" се получава чрез свързване на две изявления със съединителя "ако - тогава". И накрая, можем да получим от всяко изявление ново - сложно изявление - чрез отричане на първоначалното изявление.

Разглеждане на твърдения като количества, които придобиват значения ИИ Л, ще дефинираме допълнително логически операции върху изрази , които ни позволяват да получим нови сложни твърдения от тези твърдения.

Нека са дадени две произволни твърдения АИ Б.

1 . Първата логическа операция върху тези твърдения - конюнкция - представлява образуването на ново твърдение, което ще обозначим А ∧ Би което е вярно тогава и само ако АИ Бса верни. В обикновената реч тази операция съответства на свързването на изявления със съединителя „и“.

Таблица на истината за връзка:

2 . Втора логическа операция върху изрази АИ Б- дизюнкция, изразена като А ∨ Б, се определя по следния начин: вярно е тогава и само ако поне едно от първоначалните твърдения е вярно. В обикновената реч тази операция съответства на свързващи изявления със свързващото „или“. Тук обаче имаме неделимо „или“, което се разбира в смисъла на „или или“, когато АИ Би двете не могат да бъдат верни. При дефинирането на пропозиционалната логика А ∨ Бвярно и ако само едно от твърденията е вярно, и ако и двете твърдения са верни АИ Б.

Таблица на истината за дизюнкция:

3 . Третата логическа операция върху твърдения АИ Б, изразено като А → Б; така полученото твърдение е невярно тогава и само ако Авярно, но Бневярно. АНаречен с колет , Б - следствие , и изявлението А → Б - следното , наричано още импликация. В обикновената реч тази операция съответства на връзката „ако-тогава“: „ако А, Че Б". Но в дефиницията на пропозиционалната логика това твърдение винаги е вярно, независимо дали твърдението е вярно или невярно Б. Това обстоятелство може да се формулира накратко по следния начин: „от фалшивото произтича всичко“. На свой ред, ако Авярно, но Бе невярно, тогава цялото твърдение А → Бневярно. Ще бъде вярно тогава и само тогава А, И Бса верни. Накратко това може да се формулира по следния начин: „лъжата не може да следва от истината“.

Таблица на истината, която да следвате (импликация):

4 . Четвъртата логическа операция върху твърдения, по-точно върху едно твърдение, се нарича отрицание на твърдение Аи се означава с ~ А(можете също да намерите използването не на символа ~, а на символа ¬, както и надчертаване по-горе А). ~ Аима твърдение, което е невярно, когато Авярно и вярно кога Аневярно.

Таблица на истината за отрицание:

5 . И накрая, петата логическа операция върху твърдения се нарича еквивалентност и се обозначава А ↔ Б. Полученото твърдение А ↔ Бедно твърдение е вярно тогава и само ако АИ Би двете са верни или и двете са неверни.

Таблица на истината за еквивалентност:

Повечето езици за програмиране имат специални символи за обозначаване на логическите значения на изразите; те са написани на почти всички езици като верни и неверни.

Нека обобщим горното. Пропозиционална логика изучава връзки, които са напълно определени от начина, по който едни твърдения са изградени от други, наречени елементарни. В този случай елементарните твърдения се разглеждат като цяло, което не се разлага на части.

Нека систематизираме в таблицата по-долу имената, обозначенията и значението на логическите операции върху твърдения (скоро ще ни трябват отново за решаване на примери).

Вярно за логически операции законите на логиката на алгебрата, който може да се използва за опростяване на булеви изрази. Трябва да се отбележи, че в пропозиционалната логика човек се абстрахира от семантичното съдържание на твърдението и се ограничава до разглеждането му от позицията, че то е или вярно, или невярно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15;

3) ("Бор" = "Дъб") ИЛИ ("Череша" = "Клен");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (Не(15 20) ;

6) („На очите е дадено да виждат“) И („Под третия етаж е вторият етаж“);

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значението на твърдението в първите скоби е „вярно“, значението на израза във вторите скоби също е вярно. И двата израза са свързани чрез логическата операция „И“ (вижте правилата за тази операция по-горе), следователно логическата стойност на целия този оператор е „истина“.

2) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Преди това твърдение има логическа операция на отрицание, следователно логическото значение на цялото това твърдение е „вярно“.

3) Значението на твърдението в първите скоби е „невярно“, значението на твърдението във вторите скоби също е „невярно“. Изявленията са свързани с логическата операция "ИЛИ" и нито едно от изявленията няма стойност "true". Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „фалшиво“.

4) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Това твърдение се предшества от логическата операция на отрицание. Следователно, логичното значение на цялото това твърдение е „вярно“.

5) Твърдението във вътрешните скоби се отрича в първите скоби. Това твърдение във вътрешните скоби има значението "невярно", следователно неговото отрицание ще има логическото значение "вярно". Твърдението във вторите скоби означава "невярно". Тези две твърдения са свързани с логическата операция „И“, тоест получава се „вярно и невярно“. Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „фалшиво“.

6) Значението на твърдението в първите скоби е „вярно“, значението на твърдението във вторите скоби също е „вярно“. Тези две твърдения са свързани с логическата операция „И“, тоест получава се „вярно И истина“. Следователно логическото значение на цялото дадено твърдение е „вярно“.

7) Значението на твърдението в първите скоби е „вярно“. Значението на твърдението във вторите скоби е „невярно“. Тези две твърдения са свързани с логическата операция "ИЛИ", тоест резултатът е "вярно ИЛИ невярно". Следователно логическото значение на цялото дадено твърдение е „вярно“.

Пример 2.Напишете следните сложни изрази, като използвате логически операции:

1) „Потребителят не е регистриран“;

2) „Днес е неделя и някои служители са на работа“;

3) „Потребителят е регистриран тогава и само ако предоставените от него данни се считат за валидни.“

1) стр- единичен оператор „Потребителят е регистриран”, логическа операция: ;

2) стр- единично изявление „Днес е неделя“, р- "Някои служители са на работа", логическа операция: ;

3) стр- единична декларация „Потребителят е регистриран“, р- „Изпратените от потребителя данни са установени като валидни“, логическа операция: .

Решете сами примери за пропозиционална логика и след това разгледайте решенията

Пример 3.Изчислете логическите стойности на следните твърдения:

1) („В една минута има 70 секунди“) ИЛИ („Въртящ се часовник показва времето“);

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизия - електрически уред") И ("Стъкло - дърво");

4) Не ((300 > 100) ИЛИ ("Можете да утолите жаждата си с вода"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4.Запишете следните сложни твърдения, като използвате логически операции и изчислете техните логически стойности:

1) „Ако часовникът показва неправилно времето, тогава може да пристигнете в час в грешния час“;

2) „В огледалото можете да видите отражението си и Париж, столицата на САЩ“;

Пример 5.Определяне на булевата стойност на израз

(стр → р) ↔ (r → с) ,

стр = "278 > 5" ,

р= "Ябълка = портокал",

стр = "0 = 9" ,

с= "Шапката покрива главата".

Формули на пропозиционалната логика

Понятието за логическата форма на сложно твърдение се изяснява с помощта на понятието пропозиционални логически формули .

В примери 1 и 2 се научихме да пишем сложни изрази, използвайки логически операции. Всъщност те се наричат ​​формули на пропозиционалната логика.

За означаване на твърдения, както в споменатия пример, ще продължим да използваме буквите

стр, р, r, ..., стр 1 , р 1 , r 1 , ...

Тези букви ще играят ролята на променливи, които приемат стойностите на истината „true“ и „false“ като стойности. Тези променливи се наричат ​​също пропозиционални променливи. Ще им се обадим допълнително елементарни формули или атоми .

За да се конструират пропозиционални логически формули, в допълнение към буквите, посочени по-горе, се използват знаци на логически операции

~, ∧, ∨, →, ↔,

както и символи, които осигуряват възможност за еднозначно четене на формулите - лява и дясна скоба.

Концепция пропозиционални логически формули нека го дефинираме по следния начин:

1) елементарните формули (атоми) са формули на пропозиционалната логика;

2) ако АИ Б- формули на пропозиционална логика, след това ~ А , (А ∧ Б) , (А ∨ Б) , (А → Б) , (А ↔ Б) също са формули на пропозиционалната логика;

3) само онези изрази са формули на пропозиционалната логика, за които това следва от 1) и 2).

Дефиницията на формула на пропозиционална логика съдържа списък на правилата за формиране на тези формули. Съгласно дефиницията всяка формула на пропозиционалната логика е или атом, или е образувана от атоми в резултат на последователното прилагане на правило 2).

Пример 6.Позволявам стр- единично твърдение (атом) „Всички рационални числа са реални“, р- "Някои реални числа са рационални числа" r- "някои рационални числа са реални." Преведете следните формули на пропозиционалната логика под формата на вербални твърдения:

6) .

1) „няма реални числа, които да са рационални“;

2) „ако не всички рационални числа са реални, тогава не рационални числа, които са валидни“;

3) „ако всички рационални числа са реални, тогава някои реални числа са рационални числа и някои рационални числа са реални“;

4) „всички реални числа са рационални числа и някои реални числа са рационални числа, а някои рационални числа са реални числа“;

5) „всички рационални числа са реални тогава и само ако не е така, че не всички рационални числа са реални“;

6) „не е така, че не всички рационални числа са реални и няма реални числа, които са рационални, или няма рационални числа, които са реални.“

Пример 7.Създайте таблица на истината за формулата на пропозиционалната логика , които в таблицата могат да бъдат обозначени f .

Решение. Започваме да съставяме таблица на истината, като записваме стойности („вярно“ или „невярно“) за единични твърдения (атоми) стр , рИ r. Всички възможни стойности са записани в осем реда на таблицата. Освен това, когато определяме стойностите на операцията за импликация и се движим надясно в таблицата, помним, че стойността е равна на „фалшиво“, когато „фалшиво“ следва от „вярно“.

Обърнете внимание, че нито един атом няма формата ~ А , (А ∧ Б) , (А ∨ Б) , (А → Б) , (А ↔ Б) . Сложните формули имат този тип.

Броят на скобите във формулите на пропозиционалната логика може да бъде намален, ако приемем това

1) в сложна формулаще пропуснем външната двойка скоби;

2) нека подредим знаците на логическите операции „по ред на приоритет“:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В този списък знакът ↔ има най-голям обхват, а знакът ~ има най-малък обхват. Обхватът на знака за операция се отнася до онези части от формулата на пропозиционалната логика, към които се прилага появата на въпросния знак (върху които той действа). По този начин във всяка формула е възможно да се пропуснат онези двойки скоби, които могат да бъдат възстановени, като се вземе предвид „редът на приоритета“. И при възстановяването на скоби първо се поставят всички скоби, свързани с всички появявания на знака ~ (движим се отляво надясно), след това с всички появявания на знака ∧ и т.н.

Пример 8.Възстановете скобите във формулата на пропозиционалната логика Б ↔ ~ ° С ∨ д ∧ А .

Решение. Скобите се възстановяват стъпка по стъпка, както следва:

Б ↔ (~ ° С) ∨ д ∧ А

Б ↔ (~ ° С) ∨ (д ∧ А)

Б ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ А))

(Б ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ А)))

Не всяка формула на пропозиционалната логика може да бъде написана без скоби. Например във формули А → (Б → ° С) и ~( А → Б) не е възможно допълнително изключване на скоби.

Тавтологии и противоречия

Логическите тавтологии (или просто тавтологии) са формули на пропозиционална логика, така че ако буквите се заменят произволно с твърдения (вярно или невярно), резултатът винаги ще бъде вярно твърдение.

Тъй като истинността или неверността на сложните твърдения зависи само от значенията, а не от съдържанието на твърденията, всяко от които отговаря на определена буква, то проверката дали дадено твърдение е тавтология може да стане по следния начин. В изследвания израз стойностите 1 и 0 (съответно „true“ и „false“) се заместват с буквите по всички възможни начини, а логическите стойности на изразите се изчисляват с помощта на логически операции. Ако всички тези стойности са равни на 1, тогава изследваният израз е тавтология и ако поне едно заместване дава 0, тогава това не е тавтология.

По този начин се нарича пропозиционална логическа формула, която приема стойността „истина“ за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула идентичен с истинската формула или тавтология .

Обратното значение е логическо противоречие. Ако всички стойности на твърденията са равни на 0, тогава изразът е логическо противоречие.

По този начин се нарича пропозиционална логическа формула, която приема стойността „false“ за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула идентично невярна формула или противоречие .

В допълнение към тавтологиите и логическите противоречия има формули на пропозиционалната логика, които не са нито тавтологии, нито противоречия.

Пример 9.Изградете таблица на истинност за формула на пропозиционална логика и определете дали тя е тавтология, противоречие или нито едно от двете.

Решение. Нека създадем таблица на истината:

В значенията на импликацията не откриваме ред, в който „невярно” следва от „вярно”. Всички стойности на оригиналното твърдение са равни на "true". Следователно тази формула на пропозиционалната логика е тавтология.

Прости и сложни твърдения, логически променливи и логически константи, логическо отрицание, логическо умножение, логическо събиране, таблици на истинност за логически операции

За да се автоматизират информационните процеси, е необходимо не само да се представя еднакво информацията различни видове(числови, текстови, графични, звукови) под формата на поредици от нули и единици, но също и за определяне на действията, които могат да бъдат извършени върху информацията. Изпълнението на такива действия се извършва в съответствие с правилата, които управляват мисловния процес. С други думи, в съответствие със законите на логиката. Терминът "логика" произлиза от древногръцката дума1 O§08 , което означава „мисъл, разсъждение, закон“. Наукаталогикаизучава законите и формите на мислене, методите на доказване.

За да се опишат разсъжденията и правилата за извършване на действия с информация, се използва специален език, възприет в математическата логика. Разсъжденията се основават на специални изречения, наречени твърдения. В твърденията винаги се потвърждава или отрича нещо относно обектите, техните свойства и връзките между обектите. Изявление е всяко предложение, за което може да се каже дали е вярно или невярно. Изявленията могат да бъдат само декларативни изречения. Въпросителните или подбудителните изречения не са твърдения.

Изявление - предложение, формулирано под формата на декларативно изречение, за което може да се каже дали е вярно или невярно.

Например, въпросителни изречения„През коя година е първото хронично споменаване на Москва?“ и "Какво е външната памет на компютъра?" или поощрителното изречение „Спазвайте правилата за безопасност в компютърната лаборатория“ не са твърдения. Повествователни изречения „Първото хронично споменаване на Москва е през 1812 г.“, „Произволно устройство за съхранение е външна паметкомпютър“ и „Няма правила за безопасност в компютърната лаборатория“ са твърдения, защото са твърдения, за всяко от които може да се каже, че е невярно. Верни твърдения ще бъдат следните твърдения: „Първото хронично споменаване на Москва е през 1147 г.“, „Твърдият магнитен диск е външната памет на компютъра“.

Всяко твърдение отговаря само на едно от двете значения: „вярно“ или „невярно“, които салогически константи.Истинската стойност обикновено се обозначава с числото 1 и фалшива стойност- номер 0. Твърденията могат да бъдат обозначени с помощта налогически променливи,които се използват с главни латински букви. Булевите променливи могат да приемат само една от двете възможни стойности: true или false. Например твърдението „Информацията в компютъра е кодирана с помощта на два знака“ може да бъде обозначено с логическа променливаа,и твърдението „Принтерът е устройство за съхранение“ може да бъде обозначено с логическа променливаIN.Тъй като първото твърдение е вярно, тогаваА= 1. Тази нотация означава, че твърдениетоАвярно. Тъй като второто твърдение не е вярно, тогаваB =0. Този запис означава, че твърдението в е невярно.

Твърденията могат да бъдат прости или сложни. Изявлението се наричапросто,ако никоя част от него не е изявление. Досега бяха дадени примери за прости твърдения, които са обозначени с логически промени. Изграждайки верига от разсъждения, човек, използвайки логически операции, комбинира прости поговорки Vпо-трудни" изявления.За да разберете значението на сложно твърдение, не е необходимо да мислите за неговото съдържание. Достатъчно е да знаете значението на простите изявления, които съставят сложно изявление и правилата за извършване на логически операции.

Логическа операция - действие, което ви позволява да съставите сложно изявление от прости изявления.

Всички човешки разсъждения, както и работата на съвременните технически устройства, се основават на стандартни действия с информация - три логически операции: логическо отрицание (инверсия), логическо умножение (конюнкция) и логическо събиране (дизюнкция).

Логическо отрицание просто твърдение се получава чрез добавяне на думи"Не е вярно, че" в началото на просто изявление.

■ ПРИМЕР 1.Има една проста поговорка: „Крокодилите могат да летят“. Резултатът от логическото отрицание ще бъде твърдението„Не е вярно това крокодилите могат да летят." Значението на първоначалното твърдение е „невярно“, а значението на новото е „вярно“.

■ ПРИМЕР 2.Има просто изявление: „Файлът трябва да има име.“ Резултатът от логическото отрицание ще бъде твърдението„Не е вярно това файлът трябва да има име." Значението на първоначалното твърдение е „вярно“, а значението на новото твърдение е „невярно“.

Може да се отбележи, че логическото отрицание на твърдение е вярно, когато оригиналното твърдение е невярно, и обратното, логическото отрицание на твърдение е невярно, когато оригиналното твърдение е вярно.

Логическо отрицание (инверсия) - логическа операция, която свързва просто твърдение с ново твърдение, чието значение е противоположно на значението на първоначалното твърдение.

Нека обозначим просто изявление на логическа променливаА.Тогава ще обозначим логическото отрицание на това твърдение като НЕА. Нека запишем всички възможни стойности на логическата променливаАи съответните резултати от логическото отрицание НЕА под формата на таблица т.нартаблица на истинност за логическо отрицание (Таблица 40).

Можете да забележите, че в таблицата на истината за логическо отрицание нулата се променя на единица, а единицата се променя на нула.

Логическо умножениедве прости твърдения се получават чрез комбиниране на тези твърдения с помощта на връзкатаИ.Нека да разгледаме примери 3-6, за да видим какъв ще бъде резултатът от логическото умножение.

■ ПРИМЕР3. Има две прости твърдения. Едно твърдение - „Карлсън живее в мазето“. Друга поговорка е „Карлсон се лекува със сладолед“.

Резултатът от логическото умножение на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее в мазето,ИКарлсон се лекува със сладолед. Можете да формулирате новото твърдение по-кратко: „Карлсън живее в мазетоИПочерпен със сладолед." И двете оригинални твърдения са неверни. Значението на новото съставно твърдение също е „фалшиво“.

■ ПРИМЕР 4.Има две прости твърдения. Първото твърдение е „Карлсън живее в мазето“. Второто твърдение е „Карлсон се лекува със сладко“.

Резултатът от логическото умножение на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее в мазетоИПочерпени със сладко." Първото първоначално твърдение е невярно, а второто е вярно. Значението на новото съставно твърдение е „лъжа“.

■ ПРИМЕР 5.Има две прости твърдения. Първото твърдение е „Карлсън живее на покрива“. Второто твърдение е „Карлсън се лекува със сладолед“.

Резултатът от логическото умножение на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее на покриваИПочерпен със сладолед." Първото първоначално твърдение е вярно, а второто е невярно. Значението на новото съставно твърдение „лъжа“.

* ПРИМЕРb. Има две прости твърдения. Една поговорка е „Карлсон живее на покрива“. Друга поговорка: „Карлсон се лекува със сладко“.

Резултатът от логическото умножение на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее на покрива и се третира със сладко“. И двете оригинални твърдения са верни. Значението на едно ново сложно твърдение също е „истина“.

Може да се отбележи, че логическото умножение на две твърдения е вярно само в един случай - когато и двете оригинални твърдения са верни.с.

Логическо умножение (конюнкция) - логическа операция, която свързва две прости твърдения с ново твърдение, чието значение е вярно тогава и само ако и двете оригинални твърдения са верни.

ТАБЛИЦА НА ИСТИННОСТ ЗА ЛОГИЧЕСКО УМНОЖЕНИЕ

Таблица 41

АкоА = 0, IN =0, след това А и Б-0 (вижте пример 3). АкоА = 0,7? = 1, тогаваАИВ -0 (вижте пример 4). Ако/1 = 1,B =0, тогаваАИ d=0 (вижте пример 5). Ако Л= \, B = \, тогава A\\ B = \(вижте пример 6).

Ще забележите, че резултатите от логическото умножение са същите като резултатите от обикновеното умножение на нули и единици.

Логично допълнениедве прости твърдения се получават чрез комбиниране на тези твърдения с помощта на връзкатаили.Нека да разгледаме примери 7-10, за да видим какъв ще бъде резултатът от логическо събиране.

ПРИМЕР 7 . Има две прости твърдения. Едно твърдение - „Комедията „Главният инспектор“ е написана от М. Ю. Лермонтов. Друго изявление - „Комедията „Главният инспектор“ е написана от И. А. Крилов.“

Резултатът от логичното добавяне на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Комедията „Главният инспектор“ е написана от М. Ю. ЛермонтовилиИ. А. Крилов“. И двете оригинални твърдения са неверни. Значението на новото съставно твърдение също е „фалшиво“.

ПРИМЕР 8. Има две прости твърдения. Първото твърдение е „Комедията „Главният инспектор“ е написана от М. Ю. Лермонтов.“ Второто твърдение е „Комедията „Главният инспектор“ е написана от Н. В. Гогол.“

Резултатът от логичното добавяне на тези прости твърдениянюще има сложно изложение „Комедията „Главният инспектор“ е написана от М, К). ЛермонтовилиН. В. Гогол". Първи инициал тиТвърдението е невярно, а второто е вярно. Значението на новото сложно твърдение е „истина“.

ПРИМЕР 9 . Има две прости твърдения. Първото твърдение е „Стихотворението „Мцири“ е написано от М. Ю. Лермонтов.“ Второто твърдение е „Поемата „Мцири“ е написана от Н. В. Гогол.“ Резултатът от логическото добавяне на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Поемата „Мцири“ е написана от М. Ю. Лермонтов или Н. В. Гогол.“ Първото оригинално твърдение е вярно, а второто е невярно. Значението на новото сложно твърдение е „истина“.

ПРИМЕР 10 . Има две прости твърдения. Едно твърдение - „А. С. Пушкин пише поезия" Друго твърдение - "А. С. Пушкин пише проза. Резултатът от логическото добавяне на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „А. С. Пушкин пише поезия или проза. И двете оригинални твърдения са верни. Значението на новото съставно твърдение също е „истина“.

Може да се отбележи, че логическото добавяне на две твърдения е невярно само в един случай - когато и двете начални твърдения са неверни.

Логическо добавяне (дизюнкция)- логическа операция, която свързва две прости изявления с ново изявление, чието значение е невярно тогава и само ако и двете оригинални изявления са неверни.

Нека означим едно просто изявление с логическата променлива A, а другото просто изявление с логическата променлива B.

След това ще обозначим логическото добавяне на тези твърдения АИЛИ IN

Нека запишем всички възможни стойности на логическите променливи A, B, както и съответния резултат от логическото добавяне A ИЛИ B под формата на таблица, наречена таблица на истината.

Операциите с двоични знаци се извършват в съответствие с таблици за истинност за логическо събиране

Ще забележите, че резултатите от логическото събиране, с изключение на последния ред, съвпадат с резултатите от обикновеното събиране на нули и единици.

Така, използвайки езика на логиката, разсъжденията могат да бъдат заменени от действия с твърдения. Изявленията от своя страна могат да получат двоичен знак - 0 или 1. Действията с двоични знаци се извършват в съответствие с таблици на истинност за основните логически операции логическо отрицание, логическо умножение и логическо събиране (виж таблици 40-42)

23. Изявления. Логически операции

Логическото добавяне (дизюнкция) на две твърдения е невярно

1) тогава и само ако и двете твърдения са верни

2) тогава и само ако и двете твърдения са неверни

3) когато поне едно твърдение е вярно

4) когато поне едно твърдение е невярно

Логически изрази. Извършване на логически операции

Писане на логически изрази, приоритет на изпълнение на логически операции, намиране на стойността на логически израз, извършване на логически операции с информация от различен тип. Логическото отрицание, логическото умножение и логическото събиране образуват цялостна система от логически операции, с помощта на които можете. съставете всяко сложно твърдение и определете неговата истинност. Когато се описва разсъждението с помощта на езика на математическата логика, простите изявления се обозначават с логически променливи (латински букви), значенията на изявленията се обозначават с логически константи (нули или единици), а логическите операции се обозначават със специални връзки (НЕ, И, ИЛИ). Запис, компилиран с помощта на такива променливи, константи и връзки, се нарича логически израз.

Логическият израз е символна нотация на езика на математическата логика, съставена от логически променливи или логически константи, обединени от логически операции (конективи).

При намиране на стойността на логически израз се извършват логически операции в определен ред, според приоритета им – първо логическо отрицание, след това логическо умножение и едва след това логическо събиране. Логическите операции с еднакъв приоритет се изпълняват отляво надясно. Скобите се използват за промяна на реда, в който се изпълняват логическите операции.

■ ПРИМЕР 1. Дадено е просто вярно твърдение A = „Аристотел - древногръцки философ" и просто невярно твърдение B = "Аристотел е древноруски философ."

Действия върху информацията. Основни операции

значения на сложни твърдения, които съответстват на следните логически изрази:

1) НЕ A;

2) А ИЛИ Б;

3) A I (NEV).

Решение. 1) Резултатът от логическото отрицание на твърдение А ще бъде твърдението „Не е вярно, че Аристотел е древногръцки философ.“ Тъй като стойността на първоначалното твърдение „истина“ е A = 1, тогава стойността на логическото отрицание на това твърдение „false“ НЕ е A = 0 (вижте Таблица 40). 2) Резултатът от логическото добавяне на две твърдения ще бъде твърдението „Аристотел е древен гръцки или Аристотел е древен руски философ“. Тъй като стойността на първото първоначално твърдение „истина“ A = 1 и стойността на второто първоначално твърдение „невярно“ B = 0, тогава стойността на логическото събиране на тези твърдения „вярно“ A ИЛИ B = 1 (вж. Таблица 42). 3) Резултатът от логическото умножение на твърдение А и логическото отрицание на твърдение Б ще бъде твърдението „Аристотел е древногръцки философ и не е вярно, че Аристотел е древноруски философ“. Първо извършваме логическото отрицание на твърдението B. Тъй като стойността на оригиналното твърдение „false“ е B = 0, тогава стойността на логическото отрицание на това твърдение „true“ НЕ е B = 1 (вижте таблица 40). Тъй като стойността на първото първоначално твърдение „true“ A = 1 и стойността на логическото отрицание на второто първоначално твърдение „true“ NOT B = 1, тогава стойността на логическото умножение на тези твърдения „true“ A И ( НЕ B) =1

(виж таблица 41)

Отговор. 1) „Лъжа“; 2) „истина“; 3) „истина“. За да намерите значението на сложно твърдение, е достатъчно да знаете значенията на простите твърдения, включени в сложното твърдение, и правилата за извършване на логически операции, които комбинират тези прости твърдения.

■ ПРИМЕР 2. Намерете стойността на логическия израз НЕ А ИЛИ (0 ИЛИ 1) И (НЕ B И 1), ако стойностите на логическите променливи A =1, B =0.

Решение. 1) Нека заменим логическите променливи в логически израз с логически константи. NEAILI(0OR 1)AND(NEVI 1)= =NOT1OR(0OR1)AND(NOTAND1).

2) Определете последователността на логическите операции в съответствие с техния приоритет. HE4 1 ИЛИ6 (0 ИЛИ1 1) И5 (HEG 0 И3 1).

Под изявлениесе разбира като езиков израз, за ​​който може да се каже само едно от двете неща: вярно е или невярно. Изявленията, за разлика от присъдите, нямат личен характер.

Въпроси, молби, заповеди, възклицания, отделни думи (с изключение на случаите, когато са представители на твърдения като „свечерява се“, „застудява“ и др.) Не са твърдения. Истината и неверността на твърденията са техни логически стойности.

Изявленията се делят на атрибутивни, екзистенциални и релационни.

Атрибутивенсе наричат ​​твърдения, в които свойство или състояние на обект се потвърждава или отрича.

Екзистенциаленса твърдения, които потвърждават или отричат ​​факта на съществуване.

Релационнисе наричат ​​изрази, които изразяват връзки между обекти.

Твърденията, както и техните логически форми, могат да бъдат прости или сложни. Комплекствърдението може да се раздели на прости. просто твърденията не се разделят на по-прости.

Едно просто атрибутивно изявление има структура, която включва субект, предикат и свързващо.

Предметизказване (S) е онази част от изказването, която изразява предмета на мисълта.

Предикатизказване (P) е част от изказване, която показва знак за предмета на мисълта, неговото свойство, състояние, връзка.

Извикват се субект (S) и сказуемо (P). условия. Купчина показва връзката между термините (S и P).

Атрибутивните твърдения често използват екзистенциални и общи квантори.

Атрибутивните твърдения се разделят по качество и количество.

Въз основа на качеството те се разделят на утвърдителни и отрицателни. IN утвърдителен показва, че атрибутът, възможен в предиката, принадлежи (присъствие) към субекта на твърдението: „S е P.“ Например: „Платон е идеалистичен философ.“ IN отрицателен показва, че предикатът не принадлежи към неговия субект: „S не е P.“

Според броя на твърденията те се делят на единични, частни и общи. Това се отнася до съвкупността (брой, брой) от отделни обекти, които съставляват името на предметния клас.

IN единичен В твърденията субектът се състои от едно нещо.

Частнотвърденията имат формата: „Някои S са (не са) P.“

IN общ В твърденията субектът обхваща всички обекти. Такива твърдения имат формата: „Всички S са (не са) P.“

Изявленията се класифицират по качество и количество. Има 4 класа твърдения:

1) универсален (А) -общо по количество и утвърдително по качество („Всички S са P“);

2) частноутвърдителен (J)- коефициент в количество и утвърдителен в качество („Някои S са R");

3) общ отрицателен (E) - общо по количество и отрицателно по качество („Няма S е P”);

4) частичен отрицателен (ОТНОСНО)- частно в количество и отрицателно в качество („Някои S не са P“).

Във всеки клас твърдения съотношението на обемите S и P (термини) е различно. В логиката се нарича задачата за връзката между обемите S и P проблемът с разпределението на термините. Един термин се разпространява, ако е напълно включен в обхвата на друг термин или е напълно изключен от него.

В клас А |Всички S са P|субектът е напълно разпределен в сказуемото, но сказуемото не е разпределено.

Скъпи приятели, радваме се да ви видим на тази страница! Уважаеми посетителю, възможно е да търсите Прости цитатис рисунки по тази тема. Готино! Намерихте каквото търсихте. Желаем ви умопомрачително четене и самоусъвършенстване!

Тези, които упорито изпробват живота си до краен предел, рано или късно постигат целта си и я завършват грандиозно.

Разбрах, че за да разбереш смисъла на живота, е необходимо преди всичко животът да не е безсмислен и зъл, а след това разумът, за да го разбереш. Толстой Л. Н.

как по-силна любов, толкова по-беззащитна е тя. Херцогиня Даяна (Мари дьо Босак)

Веднъж в живота късметът чука на вратата на всеки човек, но по това време човек често седи в най-близката кръчма и не чува никакво почукване. Марк Твен

Не ме е страх от някой, който изучава 10 000 различни удара. Страхувам се от този, който учи един удар 10 000 пъти.

Сънувам те всеки ден, мисля за теб нощем!

Всеки, който не може да има 2/3 от деня за себе си, трябва да се нарече роб. Фридрих Ницше

Бях един от онези, които се съгласиха да говорят за смисъла на живота, за да бъда готов да редактирам оформлението по тази тема. Еко У.

Desinit in piscem mulier formosa superne - жена, красива отгоре, завършваща с рибешка опашка.

Ние сме роби на навиците си. Променете навиците си и животът ви ще се промени. Робърт Кийосаки

Можеш да протегнеш ръка и да грабнеш щастието. Много е близо! Но винаги гледаш назад

Винаги можете да си простите грешките, само ако имате смелостта да ги признаете. Брус Лий

Първият дъх на любовта е последният дъх на мъдростта. Антъни Брет.

Приятелството е любов без крила. Байрон

Ако човек може да каже какво е любов, значи не е обичал никого.

В каквото и да се влюбите, целунете го.

заради няколко души мога да прекрача гордостта и страха си...

Нашата любов започна от пръв поглед.

Ревността е предателство чрез подозрение за предателство. В. Кротов

С уникален мъж - искам да го повторя!

Една романтично настроена жена е отвратена от секс без любов. Затова бърза да се влюби от пръв поглед. Лидия Ясинская

Любовта е вътре във всеки, но си струва да я показваш само на тези, които са отворени към теб.

Тайната на любовта към един човек започва в момента, в който го гледаме без желание да го притежаваме, без желание да властваме над него, без желание да се възползваме от неговите дарби или личността му по някакъв начин - ние просто гледаме и сме изумени от красотата, която ни се разкрива. Антоний, Сурожки митрополит

Бих искал да бъда в примитивно общество. Не е нужно да мислите за пари, за армия, за някакви титли или академични степени. Важни са само жените, добитъкът и робите.

Когато на човек му е неудобно да лежи на една страна, той се обръща на другата, а когато му е неудобно да живее, само се оплаква. А ти правиш усилие и обръщаш. Максим Горки

Бавната ръка на времето изглажда планините. Волтер

Жените имат цялото сърце, дори главата. Жан Пол

Целувката ти беше толкова сладка, че просто се вдъхнових от щастие!

Човек се протяга като кълн към Светилото и става по-висок. Мечтаейки за невъзможни мечти, той достига небесни висини.

Истинското приятелство е по-добро от фалшивата любов!

Не можем да бъдем лишени от самоуважение, освен ако сами не го дадем на Ганди.

Любовта е егоизъм заедно.

Знанието прави човека по-значим, а действията му придават блясък. Но много хора са склонни да гледат, но не и да тежат. Т. Карлайл

Само в Русия се обаждат на близки... Моя мъка!

Несподелената любов не е любов, а мъчение!

Адекватността е способността да правиш две неща: да мълчиш навреме и да говориш навреме.

Щастието идва с правилна преценка, правилната преценка идва с опит, а опитът идва с грешна преценка.

Не очаквайте да стане по-лесно, по-лесно, по-добро. Няма да стане. Винаги ще има трудности. Научете се да бъдете щастливи точно сега. В противен случай няма да имате време.

Животът, щастлив или нещастен, успешен или неуспешен, все още е изключително интересен. Б. Шоу

Не се смятайте за мъдър: иначе душата ви ще се възгорди и ще попаднете в ръцете на враговете си. Антоний Велики

Да ухажва жена си му се струваше толкова абсурдно, колкото и ловът за печен дивеч. Емил Кротки

Писма и подаръци и лъскави снимки, изразяването на нежност е важно. Но още по-важно е да се изслушваме лице в лице; това е велико и рядко изкуство. Т. Янсон.

Животът е устроен толкова дяволски умело, че без да знаеш как да мразиш, е невъзможно да обичаш искрено. М. Горки

Хубаво е, когато любимият човек просто ти подари огромен букет, хубаво е, по дяволите!

Без страх хората се превръщат в безразсъдни глупаци, които често губят живота си. Айзък Азимов Фантастично пътешествие II

Приятелят е една душа, живееща в две тела. Аристотел

Да си човек, който мисли само за себе си, не означава да прави каквото иска. Това означава да искате целият свят да живее така, както искате. — О. Уайлд

Всяка майка трябва да отдели няколко минути свободно време за себе си, за да измие чиниите.