"İnsanın büyüklüğü düşünme yeteneğinde yatar."
Blaise Pascal.

Ders hedefleri:

1) eğitici– öğrencilere homojen denklemleri tanıtmak, bunları çözme yöntemlerini düşünmek ve daha önce çalışılan trigonometrik denklem türlerini çözme becerilerinin geliştirilmesini teşvik etmek.

2) Gelişimsel– öğrencilerin yaratıcı aktivitelerini, bilişsel aktivitelerini, mantıksal düşünmelerini, hafızalarını, problemli bir durumda çalışma becerilerini geliştirmek, düşüncelerini doğru, tutarlı, rasyonel bir şekilde ifade etme becerisine ulaşmak, öğrencilerin ufkunu genişletmek, matematik seviyelerini arttırmak kültür.

3) eğitici- kendini geliştirme arzusunu geliştirmek, sıkı çalışma, matematiksel notları yetkin ve doğru bir şekilde yerine getirme yeteneğini geliştirmek, aktiviteyi geliştirmek, matematiğe olan ilgiyi teşvik etmeye yardımcı olmak.

Ders türü: birleştirildi.

Teçhizat:

1. Altı öğrenciye yönelik delikli kartlar.
2. Bağımsızlar için kartlar ve bireysel çalışmaöğrenciler.
3. “Trigonometrik denklemlerin çözümü”, “Sayısal birim çember” standları.
4. Elektrikli trigonometri tabloları.
5. Ders için sunum (Ek 1).

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon aşaması (2 dakika)

Karşılıklı selamlama; Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarının kontrol edilmesi ( işyeri, dış görünüş); dikkatin organizasyonu.

Öğretmen öğrencilere dersin konusunu, hedeflerini anlatır. (slayt 2) ders sırasında masalarda bulunan çalışma kağıtlarının kullanılacağını açıklar.

2. Teorik materyalin tekrarı (15 dakika)

Delikli kart görevleri(6 kişi) . Delikli kartları kullanarak çalışma süresi – 10 dakika (Ek 2)

Öğrenciler problem çözerek trigonometrik hesaplamaların nerede kullanıldığını öğreneceklerdir. Şu yanıtlar elde edilir: üçgenleme (astronomide yakındaki yıldızlara olan mesafelerin ölçülmesine olanak sağlayan bir teknik), akustik, ultrason, tomografi, jeodezi, kriptografi.

(slayt 5)

Ön anket.

1. Hangi denklemlere trigonometrik denir?
2. Ne tür trigonometrik denklemleri biliyorsunuz?
3. Hangi denklemlere en basit trigonometrik denklemler denir?
4. Hangi denklemlere ikinci dereceden trigonometri denir?
5. a'nın ark sinüsünün tanımını formüle edin.
6. a'nın ark kosinüsünün tanımını formüle edin.
7. a'nın arktanjantının tanımını formüle edin.
8. a sayısının yay kotanjantının tanımını formüle edin.

Oyun "Şifrelenmiş kelimeyi tahmin et"

Blaise Pascal bir keresinde matematiğin çok ciddi bir bilim olduğunu ve onu biraz daha eğlenceli hale getirme fırsatını kaçırmamak gerektiğini söylemişti. Bu yüzden oynamanızı öneririm. Örnekleri çözdükten sonra şifreli kelimeyi oluşturmak için kullanılan sayıların sırasını belirleyin. Latince'de bu kelime "sinüs" anlamına gelir. (slayt 3)

2) ark tg (-√3)

4) tg (yay cos (1/2))

5) tg (yay ctg √3)

Cevap: "Büküm"

Oyun "Soyut Matematikçi"»

Sözlü çalışmaya yönelik görevler ekrana yansıtılır:

Denklemlerin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol edin.(Doğru cevap öğrencinin cevabından sonra slaytta görünür). (slayt 4)

Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

Öğretmen tüm öğrencilerin ödevlerini tamamlamalarının doğruluğunu ve farkındalığını sağlar; bilgideki boşlukları belirler; Öğrencilerin basit trigonometrik denklemleri çözme alanındaki bilgi, beceri ve yeteneklerini geliştirir.

1 denklem. Öğrenci, çizgileri slaytta yorum sırasına göre görünen denklemin çözümü hakkında yorum yapar). (slayt 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= arktan 1/√3 +πn, n ∈Z.

2х= π/6 +πn, n ∈Z.

x= π/12 + π/2 N, N ∈Z.

2 denklem. Çözüm Höğrencilere tahtaya yazılır.

2 günah 2 x + 3 cosx = 0.

3. Yeni bilgilerin güncellenmesi (3 dakika)

Öğrenciler öğretmenin isteği üzerine trigonometrik denklemleri çözmenin yollarını hatırlarlar. Nasıl çözeceklerini zaten bildikleri denklemleri seçerler, denklemi çözme yöntemini ve ortaya çıkan sonucu adlandırırlar. . Cevaplar slaytta görünür. (slayt 7) .

Yeni bir değişkenle tanışın:

1 numara. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

sinx = t olsun, o zaman:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Faktorizasyon:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 veya 3 sinx – 1 = 0; ...

3 numara. 2 sinx – 3 cosx = 0,

4 numara. 3 günah 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Öğretmen: Son iki denklem türünü nasıl çözeceğinizi hâlâ bilmiyorsunuz. İkisi de aynı tür. Sinx veya cosx fonksiyonları için bir denkleme indirgenemezler. çağrıldı homojen trigonometrik denklemler. Ama sadece ilki - homojen denklem birinci dereceden, ikincisi ise ikinci dereceden homojen bir denklemdir. Bugün derste bu tür denklemlerle tanışacağız ve bunları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

4. Yeni materyalin açıklanması (25 dakika)

Öğretmen öğrencilere homojen trigonometrik denklemlerin tanımlarını verir ve bunları çözme yöntemlerini tanıtır.

Tanım. a sinx + b cosx =0 formundaki bir denkleme, burada a ≠ 0, b ≠ 0 denir birinci dereceden homojen trigonometrik denklem.(slayt 8)

Böyle bir denklemin bir örneği denklem No. 3'tür. Bunu yazacağız genel görünüm denklemini bulun ve analiz edin.

a sinx + b cosx = 0.

Eğer cosx = 0 ise sinx = 0 olur.

– Böyle bir durum olabilir mi?

- HAYIR. Temel trigonometrik özdeşliğe bir çelişki elde ettik.

Bu, cosx ≠ 0 anlamına gelir. Cosx'e göre terim terim bölme işlemi yapalım:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a– en basit trigonometrik denklem.

Çözüm: Homojen trigonometrik denklemler birinci derece, denklemin her iki tarafının cosx (sinx)'e bölünmesiyle çözülür.

Örneğin: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Çünkü cosx ≠ 0 ise

tgx = 3/2 ;

x = arktan (3/2) +πn, n ∈Z.

Tanım. a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 formundaki bir denkleme, burada a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 denir İkinci derecenin trigonometrik denklemi. (slayt 8)

Böyle bir denklemin bir örneği 4 numaralı denklemdir. Denklemin genel formunu yazıp analiz edelim.

a günah 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Eğer cosx = 0 ise sinx = 0 olur.

Yine temel trigonometrik özdeşlikle bir çelişkiyle karşılaştık.

Bu, cosx ≠ 0 anlamına gelir. Cos 2 x'e terim terim bölme işlemi yapalım:

ve tg 2 x + b tgx + c = 0 ikinci dereceden ifadeye indirgenen bir denklemdir.

Sonuç: Ah ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemler, denklemin her iki tarafının cos 2 x (sin 2 x) ile bölünmesiyle çözülür.

Örneğin: 3 günah 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Çünkü çünkü 2 x ≠ 0, o zaman

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Öğrenciyi tahtaya gidip denklemi bağımsız olarak tamamlamaya davet edin).

Değiştirme: tgx = y. 3 yıl 2 – 4 yıl + 1 = 0

D = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 veya y 2 = 1/3

tgx = 1 veya tgx = 1/3

x = arktan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arktan1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Öğrencilerin yeni materyali anlamalarını kontrol etme aşaması (1 dk.)

Tuhaf olanı seçin:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(slayt 9)

6. Yeni malzemenin konsolidasyonu (24 dakika).

Öğrenciler cevaplayanlarla birlikte tahtadaki denklemleri çözerler yeni malzeme. Görevler tablo şeklinde bir slayta yazılır. Bir denklemi çözerken slayttaki resmin karşılık gelen kısmı açılır. 4 denklemin tamamlanması sonucunda öğrencilere trigonometrinin gelişiminde önemli etkisi olan bir matematikçinin portresi sunulur. (Öğrenciler trigonometriye büyük katkılarda bulunan, indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin özelliğini keşfeden ve kriptografiyle ilgilenen büyük matematikçi François Vieta'nın portresini tanıyacaklar) . (slayt 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Çünkü cosx ≠ 0 ise

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = arktan (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) günah 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Çünkü cos 2 x ≠ 0, bu durumda tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Yenisiyle değiştirme: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 veya y 2 = 3

tgx = 7 veya tgx = 3

x = arktan7 + πn, n ∈Z

x = arktan3 + πn, n ∈Z

3) günah 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Çünkü cos 2 2x ≠ 0, bu durumda 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Yenisiyle değiştirme: tg2x = y.

3 yıl 2 – 6 yıl + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 veya y 2 = 1

tg2x = 5 veya tg2x = 1

2х = arktan5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arktan5 + π/2 n, n ∈Z

2х = arktan1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – çünkü 2 x = 0.

Çünkü cos 2 x ≠0, bu durumda 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Yenisiyle değiştirme: tg x = y.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 veya y 2 = –1

tg x = 1/5 veya tg x = –1

x = arktan1/5 + πn, n ∈Z

x = arktan(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Ek olarak (kartta):

Denklemi çözün ve önerilen dört seçenekten birini seçerek indirgeme formüllerini türeten matematikçinin adını tahmin edin:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Olası cevaplar:

x = arktan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arktan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Öklid

x = arktan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofya Kovalevskaya

x = arctan2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler

Doğru cevap: Leonhard Euler.

7. Farklılaştırılmış bağımsız çalışma (8 dk.)

Büyük matematikçi ve filozof, 2500 yıldan fazla bir süre önce, düşünme yeteneklerini geliştirmenin bir yolunu önerdi. "Düşünmek merakla başlar" dedi. Bugün bu sözlerin doğru olduğunu defalarca gördük. 2 seçenek üzerinde bağımsız çalışmayı tamamladıktan sonra, materyale nasıl hakim olduğunuzu gösterebilecek ve bu matematikçinin adını öğrenebileceksiniz. İçin bağımsız çalışma Masalarınızdaki broşürleri kullanın. Önerilen üç denklemden birini kendiniz seçebilirsiniz. Ancak şunu unutmayın: karşılık gelen denklemi çözerek sarı renk, yalnızca yeşil renge - "4", kırmızı renge - "5" karşılık gelen denklemi çözerek "3" elde edebilirsiniz. (Ek 3)

Öğrenciler hangi zorluk seviyesini seçerse seçsin, doğru karar Denklemin ilk versiyonu “ARIST” kelimesini, ikincisi ise “OTEL” kelimesini üretir. Slayttaki kelime: “ARIST-HOTEL.” (slayt 11)

Bağımsız çalışmaya sahip çalışma sayfaları doğrulama için gönderilir. (Ek 4)

8. Ödevi kaydetme (1 dk)

D/z: §7.17. Birinci dereceden 2 homojen denklemi ve ikinci dereceden 1 homojen denklemi oluşturun ve çözün (oluşturmak için Vieta teoremini kullanın). (slayt 12)

9. Dersin özetlenmesi, not verilmesi (2 dakika)

Öğretmen derste hatırlanan bu tür denklemlere ve teorik gerçeklere bir kez daha dikkat çekerek bunları öğrenmenin gerekliliğinden bahseder.

Öğrenciler şu soruları yanıtlıyor:

1. Ne tür trigonometrik denklemlere aşinayız?
2. Bu denklemler nasıl çözülür?

Öğretmen en çok not alır başarılı çalışma Bireysel öğrencilere derste not verir.

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan denklemler

Tanım 1. A biraz olsun sayı çiftleri kümesi (X; sen). A kümesinin verildiğini söylüyorlar sayısal fonksiyon z iki değişkenden

x ve y A kümesindeki her sayı çiftinin belirli bir sayıyla ilişkilendirildiği bir kural belirtilirse. İki değişken x ve y için sayısal bir z fonksiyonu belirtmek genellikle belirtmek

Bu yüzden: Nerede (X , sen) F

Nerede (X , sen) = – fonksiyon dışında herhangi bir fonksiyon ,

balta+by+c

a, b, c'ye sayılar verilmiştir. Tanım 3. Denklem çözme (2) X; sen bir çift numarayı arayın (

) , bunun için formül (2) gerçek bir eşitliktir.

Örnek 1. Denklemi çöz

Herhangi bir sayının karesi negatif olmadığından, formül (4)'ten x ve y bilinmeyenlerinin denklem sistemini sağladığı sonucu çıkar.

çözüm bir çift sayıdır (6; 3).

Cevap: (6; 3)

Örnek 2. Denklemi çöz Bu nedenle, denklem (6)'nın çözümü şu şekildedir: sonsuz sayıda sayı çifti

(1 + sen ; sen) ,

tür

burada y herhangi bir sayıdır.

doğrusal Tanım 4.

Bir denklem sistemini çözme X; sen bir çift numarayı arayın (

) , bunları bu sistemin denklemlerinin her birine yerleştirirken doğru eşitlik elde edilir.

Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:(X , sen)

G

Çözüm . Sistemin (7) ilk denklemindeki bilinmeyen y'yi bilinmeyen x'e kadar ifade edelim ve elde edilen ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım:

Denklemin çözümü

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Buradan,

sen 1 = 8 - X 1 = 9 ,
sen 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Biri homojen olan iki denklemli sistemler

Biri homojen olan iki denklemin sistemleri şu şekildedir:

a, b, c'ye sayılar verilmiştir ve Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:(X , sen) – iki değişken x ve y'nin fonksiyonu.

Örnek 6. Denklem sistemini çözme

Çözüm . Homojen denklemi çözelim

3X 2 + 2xy - sen 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10sen 2 = 0 ,

bunu bilinmeyen x'e göre ikinci dereceden bir denklem olarak ele alırsak:

.

Durumunda X = - 5sen, sistemin (11) ikinci denkleminden denklemi elde ederiz

5sen 2 = - 20 ,

kökleri olmayan.

Durumunda

(11) sisteminin ikinci denkleminden denklemi elde ederiz

,

kökleri sayılar olan sen 1 = 3 , sen 2 = - 3 . Bu değerlerin her biri için y karşılık gelen x değerini bularak sisteme iki çözüm elde ederiz: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Cevap: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Diğer türdeki denklem sistemlerinin çözüm örnekleri

Örnek 8. Denklem sistemini çözme (MIPT)

Çözüm . Aşağıdaki formüllere göre x ve y aracılığıyla ifade edilen yeni bilinmeyen u ve v'yi tanıtalım:

Sistemi (12) yeni bilinmeyenler cinsinden yeniden yazmak için öncelikle x ve y bilinmeyenlerini u ve v cinsinden ifade ederiz. Sistem (13)'ten şu sonuç çıkıyor:

Doğrusal sistemi (14) bu sistemin ikinci denkleminden x değişkenini çıkararak çözelim.

• Bu amaçla sistem (14) üzerinde aşağıdaki dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:
• Sistemin ilk denklemini değiştirmeden bırakacağız;

ikinci denklemden birinci denklemi çıkarırız ve sistemin ikinci denklemini ortaya çıkan farkla değiştiririz.

Sonuç olarak sistem (14) eşdeğer bir sisteme dönüştürülür.

nereden buluyoruz

Formül (13) ve (15)'i kullanarak orijinal sistemi (12) şu şekilde yeniden yazıyoruz:

(16) sisteminin ilk denklemi doğrusaldır, dolayısıyla bilinmeyen u'yu bilinmeyen v'ye doğru ifade edebilir ve bu ifadeyi sistemin ikinci denkleminde yerine koyabiliriz.

1. Bugün homojen trigonometrik denklemleri inceleyeceğiz. Öncelikle terminolojiye bakalım: Homojen trigonometrik denklem nedir? Aşağıdaki özelliklere sahiptir:
2. birkaç terim içermelidir;
3. tüm terimler aynı dereceye sahip olmalıdır;

homojen bir trigonometrik özdeşliğe dahil olan tüm fonksiyonların zorunlu olarak aynı argümana sahip olması gerekir.

Çözüm algoritması

Şartları seçelim

Ve eğer ilk noktada her şey açıksa, o zaman ikincisinden daha ayrıntılı olarak bahsetmeye değer. Aynı derecedeki terimlere sahip olmak ne anlama gelir? İlk soruna bakalım:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0 Bu denklemdeki ilk terim 3\çünkü x. Lütfen burada yalnızca bir trigonometrik fonksiyonun olduğunu unutmayın - cosx\cos x - ve başkası yok trigonometrik fonksiyonlar burada yok, dolayısıyla bu terimin derecesi 1'dir. İkinciyle aynı - 5sinx 5\sin x - burada yalnızca sinüs vardır, yani bu terimin derecesi de bire eşittir. Yani önümüzde, her biri bir trigonometrik fonksiyon içeren ve yalnızca bir tane olan iki öğeden oluşan bir kimlik var. Bu birinci dereceden bir denklemdir.

İkinci ifadeye geçelim:

4günah2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Bu yapının ilk elemanı 4günah2 X 4((\sin )^(2))x.

Artık aşağıdaki çözümü yazabiliriz:

günah2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Yani birinci terim iki trigonometrik fonksiyon içerir, yani derecesi ikidir. Gelelim ikinci unsura: günah2x\sin 2x. Bu formülü hatırlayalım - çift açı formülü:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Ve yine, ortaya çıkan formülde iki trigonometrik fonksiyonumuz var - sinüs ve kosinüs. Böylece bu yapım teriminin güç değeri de ikiye eşit olur.

Hadi üçüncü öğeye geçelim - 3. Matematik dersinden lise Herhangi bir sayının 1 ile çarpılabileceğini hatırlıyoruz, bu yüzden onu yazıyoruz:

˜ 3=3⋅1

Ve birim, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak aşağıdaki biçimde yazılabilir:

1=günah2 x⋅ çünkü2 X

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Bu nedenle 3'ü şu şekilde yeniden yazabiliriz:

3=3(günah2 x⋅ çünkü2 X)=3günah2 x+3 çünkü2 X

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \çünkü )^(2))x

Böylece 3. terimimiz her biri homojen ve ikinci dereceden olan iki elemente bölünmüş olur. Birinci terimdeki sinüs iki kez oluşur, ikinci terimdeki kosinüs de iki kez oluşur. Dolayısıyla 3, üssü iki olan bir terim olarak da temsil edilebilir.

Üçüncü ifadeyle aynı şey:

günah3 x+ günah2 xcosx=2 çünkü3 X

Görelim. İlk terim günah3 X((\sin )^(3))x üçüncü dereceden trigonometrik bir fonksiyondur. İkinci unsur - günah2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

günah2 ((\sin )^(2)) güç değerinin iki ile çarpıldığı bir bağlantıdır cosx\çünkü x ilk terimdir. Toplamda üçüncü terimin güç değeri de üçtür. Son olarak sağ tarafta başka bir bağlantı var - 2çünkü3 X 2((\cos )^(3))x üçüncü dereceden bir elemandır. Böylece önümüzde üçüncü dereceden homojen bir trigonometrik denklem var.

Farklı derecelerde yazılı üç kimliğimiz var. İkinci ifadeye tekrar dikkat edin. Orijinal kayıtta üyelerden birinin bir tartışması var 2x 2x. Bu argümandan çift açılı sinüs formülünü kullanarak dönüştürerek kurtulmak zorunda kalıyoruz çünkü kimliğimizde yer alan tüm fonksiyonların mutlaka aynı argümana sahip olması gerekiyor. Bu da homojen trigonometrik denklemlerin bir gereğidir.

Ana trigonometrik özdeşlik formülünü kullanıyoruz ve nihai çözümü yazıyoruz

Şartları anladık, çözüme geçelim. Kuvvet üssüne bakılmaksızın, bu tür eşitliklerin çözümü her zaman iki adımda gerçekleştirilir:

1) bunu kanıtla

cosx≠0

\cos x\ne 0. Bunu yapmak için ana trigonometrik özdeşliğin formülünü hatırlamak yeterlidir. (günah2 x⋅ çünkü2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) ve bu formülü yerine koyun cosx=0\çünkü x=0. Aşağıdaki ifadeyi elde edeceğiz:

günah2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Elde edilen değerlerin değiştirilmesi, yani. cosx\çünkü x sıfırdır ve bunun yerine sinx\sin x — 1 veya -1, orijinal ifadede yanlış bir sayısal eşitlik elde edeceğiz. Gerekçesi bu

cosx≠0

2) ikinci adım mantıksal olarak birinci adımdan sonra gelir. Çünkü

cosx≠0

\cos x\ne 0, yapının her iki tarafını da şuna böleriz: çünküN X((\cos )^(n))x, burada N n, homojen bir trigonometrik denklemin kuvvet üssünün kendisidir. Bu bize ne veriyor:

\[\begin(array)(·(35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(dizi)\]

Bu sayede hantal ilk yapımımız denkleme indirgenmiştir. N Teğete göre n derece, çözümü değişken değişikliği kullanılarak kolayca yazılabilir. Bütün algoritma bu. Pratikte nasıl çalıştığını görelim.

Gerçek sorunları çözüyoruz

Görev No.1

Ve eğer ilk noktada her şey açıksa, o zaman ikincisinden daha ayrıntılı olarak bahsetmeye değer. Aynı derecedeki terimlere sahip olmak ne anlama gelir? İlk soruna bakalım:

3cosx+5sinx=0

Bunun güç üssü bire eşit olan homojen bir trigonometrik denklem olduğunu zaten öğrenmiştik. Bu nedenle öncelikle şunu öğrenelim cosx≠0\cos x\ne 0. Bunun tersini varsayalım:

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Ortaya çıkan değeri ifademizde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Buna dayanarak şunu söyleyebiliriz cosx≠0\cos x\ne 0. Denklemimizi şuna bölün: cosx\cos x çünkü tüm ifademizin kuvvet değeri birdir. Şunu elde ederiz:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(hizala)

Bu bir tablo değeri değil, dolayısıyla cevap şunları içerecektir: arkgx arkgx:

x=arktg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text() n,n\in Z

Çünkü arktg arctg arctg tek bir fonksiyondur, argümandaki “eksi”yi çıkarıp arctg'nin önüne koyabiliriz. Son cevabı alıyoruz:

x=−arktg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Görev No.2

4günah2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Hatırlayacağınız gibi çözmeye başlamadan önce bazı dönüşümler yapmanız gerekiyor. Dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:

4günah2 x+2sinxcosx−3 (günah2 x+ çünkü2 X)=0 4günah2 x+2sinxcosx−3 günah2 x−3 çünkü2 x=0günah2 x+2sinxcosx−3 çünkü2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \sağ)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (hizala)

Üç unsurdan oluşan bir yapı elde ettik. İlk dönemde görüyoruz günah2 ((\sin )^(2)) yani güç değeri ikidir. İkinci dönemde görüyoruz sinx\sin x ve cosx\cos x - yine iki fonksiyon var, bunlar çarpılıyor, yani toplam derece yine iki oluyor. Üçüncü bağlantıda görüyoruz çünkü2 X((\cos )^(2))x - ilk değere benzer.

Hadi bunu kanıtlayalım cosx=0\cos x=0 bu yapıya bir çözüm değildir. Bunu yapmak için tam tersini varsayalım:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\bitiş(dizi)\]

Bunu kanıtladık cosx=0\cos x=0 bir çözüm olamaz. İkinci adıma geçelim; tüm ifademizi şuna bölelim: çünkü2 X((\cos )^(2))x. Neden kare? Çünkü bu homojen denklemin kuvvet üssü ikiye eşittir:

günah2 Xçünkü2 X+2Sinxcosxçünkü2 X−3=0 T G2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Bu ifadeyi bir diskriminant kullanarak çözmek mümkün müdür? Elbette yapabilirsin. Ama teoremi hatırlamayı öneriyorum, teoremin tersi Vieta, ve bu polinomu iki basit polinom şeklinde temsil ettiğimizi anlıyoruz:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Pek çok öğrenci, kimliklerin her çözüm grubu için ayrı katsayılar yazmaya mı yoksa zahmet etmemeye ve her yere aynı katsayıyı yazmaya değer mi diye soruyor. Şahsen ben farklı harfleri kullanmanın daha iyi ve daha güvenilir olduğuna inanıyorum, böylece matematikte ek sınavlarla ciddi bir teknik üniversiteye girerseniz sınav görevlileri cevapta hata bulamazlar.

Görev No.3

günah3 x+ günah2 xcosx=2 çünkü3 X

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Bunun üçüncü dereceden homojen bir trigonometrik denklem olduğunu zaten biliyoruz, hiçbir özel formüle gerek yok ve bizden tek gereken terimi hareket ettirmek. 2çünkü3 X 2((\cos )^(3))x sola. Tekrar yazalım:

günah3 x+ günah2 xcosx−2 çünkü3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Her elemanın üç trigonometrik fonksiyon içerdiğini görüyoruz, dolayısıyla bu denklemin güç değeri üçtür. Hadi çözelim. Öncelikle bunu kanıtlamamız gerekiyor. cosx=0\cos x=0 bir kök değil:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Bu sayıları orijinal yapımızda yerine koyalım:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(hizala)

Buradan, cosx=0\cos x=0 bir çözüm değil. Bunu kanıtladık cosx≠0\cos x\ne 0. Artık bunu kanıtladığımıza göre, orijinal denklemimizi şuna bölelim: çünkü3 X((\cos )^(3))x. Neden bir küpün içinde? Çünkü az önce orijinal denklemimizin üçüncü kuvvetinin olduğunu kanıtladık:

günah3 Xçünkü3 X+günah2 xcosxçünkü3 X−2=0 T Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:3 x+t Biri doğrusal olan iki denklemli sistemler şu şekildedir:2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ çünkü x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(hizala)

Yeni bir değişken tanıtalım:

tgx=t

Yapıyı yeniden yazalım:

T3 +T2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Bizden önce kübik denklem. Nasıl çözülür? Başlangıçta, bu video eğitimini hazırlarken, ilk olarak polinomları çarpanlara ayırma ve diğer teknikler hakkında konuşmayı planladım. Ama içinde bu durumda her şey çok daha basit. En yüksek dereceye sahip terimin 1 değerinde olduğu verilen özdeşliğimize bir göz atın. Ayrıca tüm katsayılar tam sayıdır. Bu, tüm köklerin -2 sayısının, yani serbest terimin bölenleri olduğunu belirten Bezout teoreminden bir sonuç çıkarabileceğimiz anlamına gelir.

Şu soru ortaya çıkıyor: -2 neye bölünür? 2 asal sayı olduğu için fazla seçenek yok. Bunlar aşağıdaki sayılar olabilir: 1; 2; -1; -2. Negatif kökler hemen kaybolur. Neden? Her ikisinin de mutlak değeri 0'dan büyük olduğundan T3 ((t)^(3)) modülü şundan daha büyük olacaktır: T2 ((t)^(2)) Küp tek bir fonksiyon olduğundan küpün içindeki sayı negatif olacaktır ve T2 ((t)^(2)) - pozitif ve tüm bu yapı, t=−1 t=-1 ve t=−2 t=-2, 0'dan büyük olmayacak. Bundan -2 çıkarın ve 0'dan küçük olduğu kesin olan bir sayı elde edin. Geriye sadece 1 ve 2 kalıyor. Bu sayıların yerine koyalım:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text() )1+1-2=0\to 0=0

Doğru sayısal eşitliği elde ettik. Buradan, t=1 t=1 köktür.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 bir kök değildir.

Sonuç olarak ve aynı Bezout teoremine göre, kökü olan herhangi bir polinom X0 ((x)_(0))), onu şu biçimde temsil edin:

Q(x)=(x= X0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Bizim durumumuzda, rolde X x bir değişken gibi davranır T t ve rolde X0 ((x)_(0)) 1'e eşit bir köktür. Şunu elde ederiz:

T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Bir polinom nasıl bulunur P (T) P\sol(t\sağ)? Açıkçası, aşağıdakileri yapmanız gerekir:

P(t)= T3 +T2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

yerine koyalım:

T3 +T2 +0⋅t−2t−1=T2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Yani orijinal polinomumuz kalansız olarak bölünüyor. Böylece orijinal eşitliğimizi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

(t−1)( T2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. İlk çarpanı zaten dikkate aldık. İkinciye bakalım:

T2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Deneyimli öğrenciler muhtemelen bunu zaten fark etmişlerdir. bu tasarım kökleri yok ama yine de diskriminantı hesaplayalım.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Diskriminant 0'dan küçük olduğundan ifadenin kökü yoktur. Toplamda, devasa inşaat olağan eşitliğe indirgendi:

\[\begin(array)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Sonuç olarak, son göreve ilişkin birkaç yorum eklemek istiyorum:

1. koşul her zaman sağlanacak mı? cosx≠0\cos x\ne 0 ve bu kontrolü yapmaya değer mi? Elbette her zaman değil. Aşağıdaki durumlarda cosx=0\cos x=0 eşitliğimizin bir çözümüdür; bunu parantezlerden çıkarmalıyız ve o zaman tam teşekküllü homojen bir denklem parantez içinde kalacaktır.
2. Bir polinomu bir polinomla bölmek nedir? Nitekim çoğu okulda bu konu üzerinde çalışılmıyor ve öğrenciler böyle bir tasarımı ilk kez gördüklerinde hafif bir şok yaşıyorlar. Ama aslında çok basit ve hoş geldiniz Denklemlerin çözümünü büyük ölçüde kolaylaştıran daha yüksek dereceler. Elbette buna ayrı bir video eğitimi ayrılacak ve yakın gelecekte yayınlayacağım.

Önemli Noktalar

Homojen trigonometrik denklemler her türlü alanda favori bir konudur. testler. Çok basit bir şekilde çözülebilirler; sadece bir kez pratik yapın. Neyden bahsettiğimizi netleştirmek için yeni bir tanım getirelim.

Homojen bir trigonometrik denklem, sıfır olmayan her terimin aynı sayıda trigonometrik faktörden oluştuğu bir denklemdir. Bunlar sinüsler, kosinüsler veya bunların kombinasyonları olabilir; çözüm yöntemi her zaman aynıdır.

Homojen bir trigonometrik denklemin derecesi, sıfır olmayan terimlerin içerdiği trigonometrik faktörlerin sayısıdır. Örnekler:

sinx+15 çünkü x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1. derecenin kimliği;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. derece;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. derece;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - ve bu denklem homojen değildir, çünkü sağda bir birim vardır - içinde trigonometrik faktörlerin bulunmadığı sıfır olmayan bir terim;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 da homojen olmayan bir denklemdir. Öğe günah2x\sin 2x ikinci derecedendir (çünkü temsil edilebilir)

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x birincidir ve içinde sinüs veya kosinüs olmadığından 3 terimi genellikle sıfırdır.

Genel çözüm şeması

Çözüm şeması her zaman aynıdır:

Diyelim ki cosx=0\çünkü x=0. Daha sonra sinx=±1\sin x=\pm 1 - bu ana kimlikten kaynaklanır. Hadi değiştirelim sinx\sin x ve cosx\cos x'i orijinal ifadeye ekleyin ve sonuç anlamsızsa (örneğin, ifade 5=0 5=0), ikinci noktaya gidin;

Her şeyi kosinüsün kuvvetine bölüyoruz: cosx, cos2x, cos3x... - denklemin güç değerine bağlıdır. Tgx=t'yi değiştirdikten sonra güvenli bir şekilde çözülebilen teğetlerle olağan eşitliği elde ederiz.

tgx=tBulunan kökler orijinal ifadenin cevabı olacaktır.

Bu yazıda homojen trigonometrik denklemleri çözmek için bir yönteme bakacağız.

Homojen trigonometrik denklemler, diğer türdeki homojen denklemlerle aynı yapıya sahiptir. Size ikinci dereceden homojen denklemleri çözme yöntemini hatırlatmama izin verin:

Formun homojen denklemlerini ele alalım

Homojen denklemlerin ayırt edici özellikleri:

a) tüm monomlar aynı dereceye sahiptir,

b) serbest terim sıfırdır,

c) Denklemin iki farklı tabanı olan kuvvetleri vardır.

Homojen denklemler benzer bir algoritma kullanılarak çözülür.

Bu tür denklemleri çözmek için denklemin her iki tarafını da (bölünebilir veya bölünebilir) ile böleriz.

Dikkat! Bir denklemin sağ ve sol taraflarını bilinmeyen içeren bir ifadeye böldüğünüzde kökleri kaybedebilirsiniz. Bu nedenle denklemin her iki tarafını da böldüğümüz ifadenin köklerinin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek gerekir.

Eğer öyleyse, daha sonra unutmamak için bu kökü yazıyoruz ve ifadeyi buna bölüyoruz.

Genel olarak, sağ tarafında sıfır bulunan herhangi bir denklemi çözerken yapılacak ilk şey, denklemi genişletmeye çalışmaktır. sol taraf denklemleri herhangi bir şekilde çarpanlarına ayırma erişilebilir bir şekilde. Daha sonra her faktörü sıfıra eşitleyin. Bu durumda kesinlikle kökleri kaybetmeyeceğiz.

Bu nedenle, denklemin sol tarafını dikkatlice terim terim ifadesine bölün. Şunu elde ederiz:

İkinci ve üçüncü kesirlerin pay ve paydasını azaltalım:

Değiştirmeyi tanıtalım:

Aldık ikinci dereceden denklem:

İkinci dereceden denklemi çözelim, değerlerini bulalım ve sonra orijinal bilinmeyene dönelim.

Homojen trigonometrik denklemleri çözerken hatırlanması gereken birkaç önemli nokta vardır:

1. Kukla terim, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak sinüs ve kosinüsün karesine dönüştürülebilir:

2. Çift argümanın sinüsü ve kosinüsü ikinci dereceden monomlardır - çift argümanın sinüsü kolayca sinüs ve kosinüs ürününe ve çift argümanın kosinüsü sinüs veya kosinüsün karesine dönüştürülebilir:

Homojen trigonometrik denklemlerin çözümüne ilişkin birkaç örneğe bakalım.

1. Denklemi çözelim:

Bu klasik örnek birinci derecenin homojen trigonometrik denklemi: her monomiyalin derecesi bire, serbest terim sıfıra eşittir.

Denklemin her iki tarafını da 'ye bölmeden önce, denklemin köklerinin orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmeniz gerekir. Şunu kontrol ediyoruz: if , ardından title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Denklemin her iki tarafını da bölelim.

Şunu elde ederiz:

, Nerede

, Nerede

Cevap: , Nerede

2. Denklemi çözelim:

Bu, ikinci dereceden homojen trigonometrik denklemin bir örneğidir. Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırabilirsek, bunu yapmamızın tavsiye edildiğini hatırlıyoruz. Bu denklemde şunu koyabiliriz. Hadi şunu yapalım:

İlk denklemin çözümü: , nerede

İkinci denklem birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemdir. Bunu çözmek için denklemin her iki tarafını da 'ye bölün. Şunu elde ederiz:

Cevap: , nerede ,

3. Denklemi çözelim:

Bu denklemi homojen hale getirmek için onu bir çarpıma dönüştürüyoruz ve 3 sayısını sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı olarak sunuyoruz:

Tüm terimleri sola taşıyıp parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım. Şunu elde ederiz:

Sol tarafı çarpanlara ayıralım ve her çarpanı sıfıra eşitleyelim:

Cevap: , nerede ,

4. Denklemi çözelim:

Parantezlerden neler çıkarabileceğimizi görüyoruz. Hadi şunu yapalım:

Her faktörü sıfıra eşitleyelim:

İlk denklemin çözümü:

İkinci popülasyon denklemi, ikinci dereceden klasik bir homojen denklemdir. Denklemin kökleri orijinal denklemin kökleri değildir, dolayısıyla denklemin her iki tarafını da şu şekilde böleriz:

İlk denklemin çözümü:

İkinci denklemin çözümü.

Ders konusu: "Homojen trigonometrik denklemler"

(10. sınıf)

Hedef: derece I ve II'nin homojen trigonometrik denklemleri kavramını tanıtmak; I ve II derecelerinin homojen trigonometrik denklemlerini çözmek için bir algoritma formüle etmek ve geliştirmek; öğrencilere I ve II derecelerinin homojen trigonometrik denklemlerini çözmeyi öğretmek; kalıpları belirleme ve genelleme yeteneğini geliştirmek; Konuya olan ilgiyi teşvik eder, dayanışma duygusunu ve sağlıklı rekabeti geliştirir.

Ders türü: yeni bilginin oluşumu dersi.

Biçim: gruplar halinde çalışın.

Teçhizat: bilgisayar, multimedya kurulumu

Ders ilerlemesi

Organizasyon anı

Öğrencileri selamlamak, dikkati harekete geçirmek.

Derste bilgiyi değerlendirmeye yönelik bir derecelendirme sistemi (öğretmen bilgiyi değerlendirme sistemini açıklar, değerlendirme formunu öğretmenin öğrenciler arasından seçtiği bağımsız bir uzman tarafından doldurur). Derse bir sunum eşlik etmektedir. .

Temel bilgilerin güncellenmesi.

Ödevler dersten önce bağımsız bir uzman ve danışmanlar tarafından kontrol edilip notlandırılır ve puan cetveli doldurulur.

Öğretmen ödevi özetler.

Öğretmen: “Trigonometrik denklemler” konusunu incelemeye devam ediyoruz. Bugün derste size başka tür trigonometrik denklemleri ve bunları çözme yöntemlerini tanıtacağız ve bu nedenle öğrendiklerimizi tekrarlayacağız. Her türlü trigonometrik denklemi çözerken, en basit trigonometrik denklemlerin çözümüne indirgenirler.

Gruplar halinde yapılan bireysel ödevler kontrol edilir. Sunumun savunması “En basit trigonometrik denklemlerin çözümleri”

(Grubun çalışmaları bağımsız bir uzman tarafından değerlendirilir)

Öğrenme motivasyonu.

Öğretmen: Bulmacayı çözmek için yapmamız gereken işler var. Bunu çözdükten sonra bugün sınıfta çözmeyi öğreneceğimiz yeni denklem türünün adını öğreneceğiz.

Sorular tahtaya yansıtılır. Öğrenciler tahminde bulunur ve bağımsız bir uzman, cevap veren öğrencilerin puanlarını puan cetveline girer.

Bulmacayı çözen çocuklar “homojen” kelimesini okuyacaklar.

Yeni bilginin asimilasyonu.

Öğretmen: Dersin konusu “Homojen trigonometrik denklemler.”

Dersin konusunu bir deftere yazalım. Homojen trigonometrik denklemler birinci ve ikinci derecedendir.

Birinci dereceden homojen bir denklemin tanımını yazalım. Bu tür bir denklemin çözümüne ilişkin bir örnek gösteriyorum; birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için bir algoritma yaratıyorsunuz.

Formun denklemi A sinx + B cosx = 0 birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak adlandırılır.

Katsayılar eşitlendiğinde denklemin çözümünü ele alalım. A Ve V 0'dan farklıdır.

Örnek: sinx + cosx = 0

R Denklem teriminin her iki tarafını da cosx'e bölerek şunu elde ederiz:

Dikkat! Ancak bu ifade hiçbir yerde 0'a dönmüyorsa 0'a bölebilirsiniz. Kosinüs 0'a eşitse, katsayıların 0'dan farklı olması koşuluyla sinüs de 0'a eşit olacaktır, ancak sinüs ve kosinüsün farklı noktalarda sıfıra gittiğini biliyoruz. Dolayısıyla bu tür denklemlerin çözümünde bu işlem yapılabilir.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için algoritma: denklemin her iki tarafını da cosx, cosx 0'a bölmek

Formun denklemi A günah mx +B çünkü mx = 0 birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak da adlandırılır ve denklemin her iki tarafının kosinüs mx'e bölünmesini de çözer.

Formun denklemi A günah 2 x+B sinx cosx +C cos2x = 0 ikinci dereceden homojen trigonometrik denklem denir.

Örnek : günah 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

a katsayısı 0'dan farklıdır ve bu nedenle önceki denklem gibi cosx 0'a eşit değildir ve bu nedenle denklemin her iki tarafını da cos 2 x'e bölme yöntemini kullanabilirsiniz.

tg 2 x + 2tgx – 3 = 0 elde ederiz

Yeni bir değişken ekleyerek çözüyoruz, tgx = a, sonra denklemi elde ediyoruz

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Değiştirmeye geri dön

Cevap:

Eğer katsayı a = 0 ise denklem 2sinx cosx – 3cos2x = 0 formunu alır, cosx ortak faktörünü parantezlerden çıkararak çözeriz. Eğer katsayı c = 0 ise denklem sin2x +2sinx cosx = 0 formunu alır, bunu sinx ortak faktörünü parantezlerden çıkararak çözeriz. Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için algoritma:

Denklemin asin2 x terimini içerip içermediğine bakın.

Denklemde asin2 x terimi yer alıyorsa (yani a 0), denklem, denklemin her iki tarafının cos2x'e bölünmesi ve ardından yeni bir değişken eklenmesiyle çözülür.

Asin2 x terimi denklemde yer almıyorsa (yani a = 0), denklem çarpanlara ayırma yoluyla çözülür: cosx parantezlerden çıkarılır. a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 formundaki homojen denklemler aynı şekilde çözülür

Homojen trigonometrik denklemleri çözme algoritması ders kitabının 102. sayfasında yazılmıştır.

Beden eğitimi dakikası

Homojen trigonometrik denklemleri çözme becerilerinin oluşturulması

Sorunlu kitapların açılması sayfa 53

1. ve 2. gruplar 361-v sayılı kararı verir

3. ve 4. gruplar 363-v sayılı kararı verir

Çözümü tahtada gösterin, açıklayın, tamamlayın. Bağımsız bir uzman değerlendirir.

361-v numaralı problem kitabından örnekleri çözme
sinx – 3cosx = 0
Denklemin her iki tarafını da cosx 0'a bölersek şunu elde ederiz:

363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
Denklemin her iki tarafını cos2x'e bölersek tg2x + tanx – 2 = 0 elde ederiz

yeni bir değişken ekleyerek çöz
tgx = a olsun, o zaman denklemi elde ederiz
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
değiştirmeye geri dön

Bağımsız çalışma.

Denklemleri çözün.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Bağımsız çalışmanın sonunda iş değiştirirler ve karşılıklı kontrol ederler. Doğru cevaplar tahtaya yansıtılır.

Sonra kiraya veriyorlar bağımsız uzman.

Kendin yap çözüm

Dersi özetlemek.

Derste ne tür trigonometrik denklemleri öğrendik?

Birinci ve ikinci derece trigonometrik denklemleri çözmek için algoritma.

Ev ödevi: § 20.3 okuyun. No. 361(d), 363(b), ek zorluk No. 380(a).

Bulmaca.

Doğru kelimeleri girerseniz trigonometrik denklem türlerinden birinin adını alacaksınız.

Denklemi doğru yapan değişkenin değeri? (Kök)

Açıların ölçü birimi? (Radyan)

Bir üründe sayısal faktör? (Katsayı)

Trigonometrik fonksiyonları inceleyen matematik dalı? (Trigonometri)

Trigonometrik fonksiyonları tanıtmak için hangi matematiksel modele ihtiyaç vardır? (Daire)

Hangi trigonometrik fonksiyon çifttir? (Kosinüs)

Gerçek eşitliğe ne denir? (Kimlik)

Bir değişkenle eşitlik? (Denklem)

Kökleri aynı olan denklemler? (eş değer)

Bir denklemin kökleri kümesi ? (Çözüm)

Skor sayfası

№
n\n

Öğretmenin soyadı, adı

Ev ödevi

Sunum

Bilişsel aktivite
ders çalışıyor

Denklemleri çözme

Bağımsız
İş

Ödev – 12 puan (3 denklem 4 x 3 = 12 ödev olarak verilmiştir)

Sunum – 1 puan

Öğrenci etkinliği – 1 cevap – 1 puan (maksimum 4 puan)

Denklem çözme 1 puan

Bağımsız çalışma – 4 puan

Grup derecelendirmesi:

“5” – 22 puan veya daha fazla
“4” – 18 – 21 puan
“3” – 12 – 17 puan