Bugün homojen trigonometrik denklemleri inceleyeceğiz. Öncelikle terminolojiye bakalım: Homojen trigonometrik denklem nedir? Aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. birkaç terim içermelidir;
2. tüm terimler aynı dereceye sahip olmalıdır;
3. homojen bir trigonometrik özdeşliğe dahil olan tüm fonksiyonların zorunlu olarak aynı argümana sahip olması gerekir.

Çözüm algoritması

Şartları seçelim

Ve eğer ilk noktada her şey açıksa, o zaman ikincisinden daha ayrıntılı olarak bahsetmeye değer. Aynı derecedeki terimlere sahip olmak ne anlama gelir? İlk soruna bakalım:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Bu denklemdeki ilk terim 3cosx 3\çünkü x. Lütfen burada yalnızca bir trigonometrik fonksiyonun olduğunu unutmayın - cosx\cos x - ve başkası yok trigonometrik fonksiyonlar burada yok, dolayısıyla bu terimin derecesi 1'dir. İkinciyle aynı - 5sinx 5\sin x - burada yalnızca sinüs vardır, yani bu terimin derecesi de bire eşittir. Yani önümüzde, her biri bir trigonometrik fonksiyon içeren ve yalnızca bir tane olan iki öğeden oluşan bir kimlik var. Bu birinci dereceden bir denklemdir.

İkinci ifadeye geçelim:

4günah2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Bu yapının ilk elemanı 4günah2 X 4((\sin )^(2))x.

Artık aşağıdaki çözümü yazabiliriz:

günah2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Yani birinci terim iki trigonometrik fonksiyon içerir, yani derecesi ikidir. Gelelim ikinci unsura: günah2x\sin 2x. Bu formülü hatırlayalım - çift açı formülü:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Ve yine, ortaya çıkan formülde iki trigonometrik fonksiyonumuz var - sinüs ve kosinüs. Böylece bu yapım teriminin güç değeri de ikiye eşit olur.

Üçüncü öğeye geçelim - 3. Matematik dersinden lise Herhangi bir sayının 1 ile çarpılabileceğini hatırlıyoruz, bu yüzden onu yazıyoruz:

˜ 3=3⋅1

Ve birim, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak aşağıdaki biçimde yazılabilir:

1=günah2 x⋅ çünkü2 X

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Bu nedenle 3'ü şu şekilde yeniden yazabiliriz:

3=3(günah2 x⋅ çünkü2 X)=3günah2 x+3 çünkü2 X

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \çünkü )^(2))x

Böylece 3. terimimiz her biri homojen ve ikinci dereceden olan iki elemente bölünmüş olur. Birinci terimdeki sinüs iki kez oluşur, ikinci terimdeki kosinüs de iki kez oluşur. Dolayısıyla 3, üssü iki olan bir terim olarak da temsil edilebilir.

Üçüncü ifadeyle aynı şey:

günah3 x+ günah2 xcosx=2 çünkü3 X

Görelim. İlk terim günah3 X((\sin )^(3))x üçüncü dereceden trigonometrik bir fonksiyondur. İkinci unsur - günah2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

günah2 ((\sin )^(2)) güç değerinin iki ile çarpıldığı bir bağlantıdır cosx\çünkü x ilk terimdir. Toplamda üçüncü terimin güç değeri de üçtür. Son olarak sağ tarafta başka bir bağlantı var - 2çünkü3 X 2((\cos )^(3))x üçüncü dereceden bir elemandır. Böylece önümüzde üçüncü dereceden homojen bir trigonometrik denklem var.

Farklı derecelerde yazılı üç kimliğimiz var. İkinci ifadeye tekrar dikkat edin. Orijinal kayıtta üyelerden birinin bir tartışması var 2x 2x. Bu argümandan çift açılı sinüs formülünü kullanarak dönüştürerek kurtulmak zorunda kalıyoruz çünkü kimliğimizde yer alan tüm fonksiyonların mutlaka aynı argümana sahip olması gerekiyor. Bu da homojen trigonometrik denklemlerin bir gereğidir.

Ana trigonometrik özdeşlik formülünü kullanıyoruz ve nihai çözümü yazıyoruz

Şartları sıraladık, çözüme geçelim. Kuvvet üssüne bakılmaksızın, bu tür eşitliklerin çözümü her zaman iki adımda gerçekleştirilir:

1) bunu kanıtla

cosx≠0

\cos x\ne 0. Bunu yapmak için ana trigonometrik özdeşliğin formülünü hatırlamak yeterlidir. (günah2 x⋅ çünkü2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) ve bu formülü yerine koyun cosx=0\çünkü x=0. Aşağıdaki ifadeyi elde edeceğiz:

günah2 x=1sinx=±1

\begin(align)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end(align)

Elde edilen değerlerin değiştirilmesi, yani. cosx\çünkü x sıfırdır ve bunun yerine sinx\sin x — 1 veya -1, orijinal ifadede yanlış bir sayısal eşitlik elde edeceğiz. Gerekçesi bu

cosx≠0

2) ikinci adım mantıksal olarak birinci adımdan sonra gelir. Çünkü

cosx≠0

\cos x\ne 0, yapının her iki tarafını da şuna böleriz: çünküN X((\cos )^(n))x, burada N n, homojen bir trigonometrik denklemin kuvvet üssünün kendisidir. Bu bize ne veriyor:

\[\begin(array)(·(35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\end(align) \\() \\ \end(dizi)\]

Bu sayede hantal ilk yapımımız denkleme indirgenmiştir. N Teğete göre n derece, çözümü değişken değişikliği kullanılarak kolayca yazılabilir. Bütün algoritma bu. Pratikte nasıl çalıştığını görelim.

Gerçek sorunları çözüyoruz

Görev No.1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Bunun güç üssü bire eşit olan homojen bir trigonometrik denklem olduğunu zaten öğrenmiştik. Bu nedenle öncelikle şunu öğrenelim cosx≠0\cos x\ne 0. Bunun tersini varsayalım:

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Ortaya çıkan değeri ifademizde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\begin(align)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end(align)

Buna dayanarak şunu söyleyebiliriz cosx≠0\cos x\ne 0. Denklemimizi şuna bölün: cosx\cos x çünkü tüm ifademizin kuvvet değeri birdir. Şunu elde ederiz:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\begin(align)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \right)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\end(hizala)

Bu bir tablo değeri değil, dolayısıyla cevap şunları içerecektir: arktgx arkgx:

x=arktg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text() n,n\in Z

Çünkü arktg arctg arctg tek bir fonksiyondur, argümandaki “eksi”yi çıkarıp arctg'nin önüne koyabiliriz. Son cevabı alıyoruz:

x=−arktg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Görev No.2

4günah2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Hatırlayacağınız gibi çözmeye başlamadan önce bazı dönüşümler yapmanız gerekiyor. Dönüşümleri gerçekleştiriyoruz:

4günah2 x+2sinxcosx−3 (günah2 x+ çünkü2 X)=0 4günah2 x+2sinxcosx−3 günah2 x−3 çünkü2 x=0günah2 x+2sinxcosx−3 çünkü2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \sağ)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (hizala)

Üç unsurdan oluşan bir yapı elde ettik. İlk dönemde görüyoruz günah2 ((\sin )^(2)) yani güç değeri ikidir. İkinci dönemde görüyoruz sinx\sin x ve cosx\cos x - yine iki fonksiyon var, bunlar çarpılıyor, dolayısıyla toplam derece yine iki oluyor. Üçüncü bağlantıda görüyoruz çünkü2 X((\cos )^(2))x - ilk değere benzer.

Hadi bunu kanıtlayalım cosx=0\cos x=0 bu yapıya bir çözüm değildir. Bunu yapmak için tam tersini varsayalım:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\bitiş(dizi)\]

Bunu kanıtladık cosx=0\cos x=0 bir çözüm olamaz. İkinci adıma geçelim; tüm ifademizi şuna bölelim: çünkü2 X((\cos )^(2))x. Neden kare? Çünkü bu homojen denklemin kuvvet üssü ikiye eşittir:

günah2 Xçünkü2 X+2Sinxcosxçünkü2 X−3=0 T G2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\end(align)

Bu ifadeyi diskriminant kullanarak çözmek mümkün mü? Elbette yapabilirsin. Ama teoremi hatırlamayı öneriyorum, teoremin tersi Vieta, ve bu polinomu iki basit polinom şeklinde temsil ettiğimizi anlıyoruz:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\begin(align)& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Pek çok öğrenci, kimliklerin her çözüm grubu için ayrı katsayılar yazmaya mı yoksa zahmet etmemeye ve her yere aynı katsayıları yazmaya değer mi diye soruyor. Şahsen ben farklı harfleri kullanmanın daha iyi ve daha güvenilir olduğuna inanıyorum, böylece matematikte ek sınavlarla ciddi bir teknik üniversiteye girerseniz sınav görevlileri cevapta hata bulamazlar.

Görev No.3

günah3 x+ günah2 xcosx=2 çünkü3 X

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Bunun üçüncü dereceden homojen bir trigonometrik denklem olduğunu zaten biliyoruz, hiçbir özel formüle gerek yok ve bizden tek gereken terimi hareket ettirmek. 2çünkü3 X 2((\cos )^(3))x sola. Tekrar yazalım:

günah3 x+ günah2 xcosx−2 çünkü3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Her elemanın üç trigonometrik fonksiyon içerdiğini görüyoruz, dolayısıyla bu denklemin güç değeri üçtür. Hadi çözelim. Öncelikle bunu kanıtlamamız gerekiyor. cosx=0\cos x=0 bir kök değil:

\[\begin(array)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end(array)\]

Bu sayıları orijinal yapımızda yerine koyalım:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\begin(align)& ((\left(\pm 1 \right))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end(hizala)

Buradan, cosx=0\cos x=0 bir çözüm değil. Bunu kanıtladık cosx≠0\cos x\ne 0. Artık bunu kanıtladığımıza göre, orijinal denklemimizi şuna bölelim: çünkü3 X((\cos )^(3))x. Neden bir küpün içinde? Çünkü az önce orijinal denklemimizin üçüncü kuvvetinin olduğunu kanıtladık:

günah3 Xçünkü3 X+günah2 xcosxçünkü3 X−2=0 T G3 x+t G2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ çünkü x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\end(hizala)

Yeni bir değişken tanıtalım:

tgx=t

Yapıyı yeniden yazalım:

T3 +T2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Bizden önce kübik denklem. Nasıl çözülür? Başlangıçta, bu video eğitimini hazırlarken, ilk olarak polinomları çarpanlara ayırma ve diğer teknikler hakkında konuşmayı planladım. Ama içinde bu durumda her şey çok daha basit. En yüksek dereceye sahip terimin 1 değerinde olduğu verilen özdeşliğimize bir bakın. Ayrıca tüm katsayılar tam sayıdır. Bu, tüm köklerin -2 sayısının, yani serbest terimin bölenleri olduğunu belirten Bezout teoreminden bir sonuç çıkarabileceğimiz anlamına gelir.

Şu soru ortaya çıkıyor: -2 neye bölünür? 2 asal sayı olduğu için fazla seçenek yok. Bunlar aşağıdaki sayılar olabilir: 1; 2; -1; -2. Negatif kökler hemen kaybolur. Neden? Her ikisinin de mutlak değeri 0'dan büyük olduğundan T3 ((t)^(3)) modülü şundan daha büyük olacaktır: T2 ((t)^(2)) Küp tek bir fonksiyon olduğundan küpün içindeki sayı negatif olacaktır ve T2 ((t)^(2)) - pozitif ve tüm bu yapı, t=−1 t=-1 ve t=−2 t=-2, 0'dan büyük olmayacak. Bundan -2 çıkarın ve kesinlikle 0'dan küçük bir sayı elde edin. Geriye sadece 1 ve 2 kalıyor. Bu sayıların yerine koyalım:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text() )1+1-2=0\to 0=0

Doğru sayısal eşitliği elde ettik. Buradan, t=1 t=1 köktür.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0

t=2 t=2 bir kök değildir.

Sonuç olarak ve aynı Bezout teoremine göre, kökü olan herhangi bir polinom X0 ((x)_(0))), onu şu biçimde temsil edin:

Q(x)=(x= X0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Bizim durumumuzda, rolde X x bir değişkendir T t ve rolde X0 ((x)_(0)) 1'e eşit bir köktür. Şunu elde ederiz:

T3 +T2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Bir polinom nasıl bulunur P (T) P\sol(t\sağ)? Açıkçası, aşağıdakileri yapmanız gerekir:

P(t)= T3 +T2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

yerine koyalım:

T3 +T2 +0⋅t−2t−1=T2 +2t+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Yani orijinal polinomumuz kalansız olarak bölünüyor. Böylece orijinal eşitliğimizi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

(t−1)( T2 +2t+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. İlk çarpanı zaten dikkate aldık. İkinciye bakalım:

T2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Deneyimli öğrenciler muhtemelen bunu zaten fark etmişlerdir. bu tasarım kökleri yok ama yine de diskriminantı hesaplayalım.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Diskriminant 0'dan küçük olduğundan ifadenin kökü yoktur. Toplamda, devasa inşaat olağan eşitliğe indirgendi:

\[\begin(array)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(array)\]

Sonuç olarak, son göreve ilişkin birkaç yorum eklemek istiyorum:

1. koşul her zaman sağlanacak mı? cosx≠0\cos x\ne 0 ve bu kontrolü yapmaya değer mi? Elbette her zaman değil. Aşağıdaki durumlarda cosx=0\cos x=0 eşitliğimizin bir çözümüdür; bunu parantezlerden çıkarmalıyız ve o zaman tam teşekküllü homojen bir denklem parantez içinde kalacaktır.
2. Bir polinomu bir polinomla bölmek nedir? Nitekim çoğu okulda bu konu üzerinde çalışılmıyor ve öğrenciler böyle bir tasarımı ilk kez gördüklerinde hafif bir şok yaşıyorlar. Ama aslında çok basit ve hoş geldiniz Denklemlerin çözümünü büyük ölçüde kolaylaştıran daha yüksek dereceler. Elbette buna ayrı bir video eğitimi ayrılacak ve yakın gelecekte yayınlayacağım.

Önemli Noktalar

Homojen trigonometrik denklemler her türlü alanda favori bir konudur. testler. Çok basit bir şekilde çözülebilirler; sadece bir kez pratik yapın. Neyden bahsettiğimizi netleştirmek için yeni bir tanım getirelim.

Homojen bir trigonometrik denklem, sıfır olmayan her terimin aynı sayıda trigonometrik faktörden oluştuğu bir denklemdir. Bunlar sinüsler, kosinüsler veya bunların kombinasyonları olabilir; çözüm yöntemi her zaman aynıdır.

Homojen bir trigonometrik denklemin derecesi, sıfır olmayan terimlerin içerdiği trigonometrik faktörlerin sayısıdır. Örnekler:

sinx+15 çünkü x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1. derecenin kimliği;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2. derece;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3. derece;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - ve bu denklem homojen değildir, çünkü sağda bir birim vardır - içinde trigonometrik faktörlerin bulunmadığı sıfır olmayan bir terim;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 da homojen olmayan bir denklemdir. Öğe günah2x\sin 2x ikinci derecedendir (çünkü temsil edilebilir)

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x birincidir ve içinde sinüs veya kosinüs olmadığından 3 terimi genellikle sıfırdır.

Genel çözüm şeması

Çözüm şeması her zaman aynıdır:

Diyelim ki cosx=0\çünkü x=0. Daha sonra sinx=±1\sin x=\pm 1 - bu ana kimlikten kaynaklanır. Hadi değiştirelim sinx\sin x ve cosx\cos x'i orijinal ifadeye ekleyin ve sonuç anlamsızsa (örneğin, ifade 5=0 5=0), ikinci noktaya gidin;

Her şeyi kosinüsün kuvvetine bölüyoruz: cosx, cos2x, cos3x... - denklemin güç değerine bağlıdır. Tgx=t'yi değiştirdikten sonra güvenli bir şekilde çözülebilen teğetlerle olağan eşitliği elde ederiz.

tgx=tBulunan kökler orijinal ifadenin cevabı olacaktır.

Ders konusu: "Homojen trigonometrik denklemler"

(10. sınıf)

Hedef: derece I ve II'nin homojen trigonometrik denklemleri kavramını tanıtmak; I ve II derecelerinin homojen trigonometrik denklemlerini çözmek için bir algoritma formüle etmek ve geliştirmek; öğrencilere I ve II derecelerinin homojen trigonometrik denklemlerini çözmeyi öğretmek; kalıpları belirleme ve genelleme yeteneğini geliştirmek; Konuya olan ilgiyi teşvik eder, dayanışma duygusunu ve sağlıklı rekabeti geliştirir.

Ders türü: yeni bilginin oluşumu dersi.

Biçim: gruplar halinde çalışın.

Teçhizat: bilgisayar, multimedya kurulumu

Ders ilerlemesi

Organizasyon anı

Öğrencileri selamlamak, dikkati harekete geçirmek.

Derste bilgiyi değerlendirmeye yönelik bir derecelendirme sistemi (öğretmen bilgiyi değerlendirme sistemini açıklar, değerlendirme formunu öğretmenin öğrenciler arasından seçtiği bağımsız bir uzman tarafından doldurur). Derse bir sunum eşlik etmektedir. .

Temel bilgilerin güncellenmesi.

Ödevler dersten önce bağımsız bir uzman ve danışmanlar tarafından kontrol edilip notlandırılır ve puan cetveli doldurulur.

Öğretmen ödevi özetler.

Öğretmen: “Trigonometrik denklemler” konusunu incelemeye devam ediyoruz. Bugün derste size başka tür trigonometrik denklemleri ve bunları çözme yöntemlerini tanıtacağız ve bu nedenle öğrendiklerimizi tekrarlayacağız. Her türlü trigonometrik denklemi çözerken, en basit trigonometrik denklemlerin çözümüne indirgenirler.

Gruplar halinde yapılan bireysel ödevler kontrol edilir. Sunumun savunması “En basit trigonometrik denklemlerin çözümleri”

(Grubun çalışmaları bağımsız bir uzman tarafından değerlendirilir)

Öğrenme motivasyonu.

Öğretmen: Bulmacayı çözmek için yapmamız gereken işler var. Bunu çözdükten sonra bugün sınıfta çözmeyi öğreneceğimiz yeni denklem türünün adını öğreneceğiz.

Sorular tahtaya yansıtılır. Öğrenciler tahminde bulunur ve bağımsız bir uzman, cevap veren öğrencilerin puanlarını puan cetveline girer.

Bulmacayı çözen çocuklar “homojen” kelimesini okuyacaklar.

Yeni bilginin asimilasyonu.

Öğretmen: Dersin konusu “Homojen trigonometrik denklemler.”

Dersin konusunu bir deftere yazalım. Homojen trigonometrik denklemler birinci ve ikinci derecedendir.

Birinci dereceden homojen bir denklemin tanımını yazalım. Bu tür bir denklemin çözümüne ilişkin bir örnek gösteriyorum; birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için bir algoritma yaratıyorsunuz.

Formun denklemi A sinx + B cosx = 0 birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak adlandırılır.

Katsayılar eşitlendiğinde denklemin çözümünü ele alalım. A Ve V 0'dan farklıdır.

Örnek: sinx + cosx = 0

R Denklem teriminin her iki tarafını da cosx'e bölerek şunu elde ederiz:

Dikkat! Ancak bu ifade hiçbir yerde 0'a dönmüyorsa 0'a bölebilirsiniz. Kosinüs 0'a eşitse, katsayıların 0'dan farklı olması koşuluyla sinüs de 0'a eşit olacaktır, ancak sinüs ve kosinüsün farklı noktalarda sıfıra gittiğini biliyoruz. Dolayısıyla bu tür denklemlerin çözümünde bu işlem yapılabilir.

Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için algoritma: denklemin her iki tarafını da cosx, cosx 0'a bölmek

Formun denklemi A günah mx +B çünkü mx = 0 birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak da adlandırılır ve denklemin her iki tarafının kosinüs mx'e bölünmesini de çözer.

Formun denklemi A günah 2 x+B sinx cosx +C cos2x = 0 homojen denir trigonometrik denklem ikinci derece.

Örnek : günah 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

a katsayısı 0'dan farklıdır ve bu nedenle önceki denklem gibi cosx 0'a eşit değildir ve bu nedenle denklemin her iki tarafını da cos 2 x'e bölme yöntemini kullanabilirsiniz.

tg 2 x + 2tgx – 3 = 0 elde ederiz

Yeni bir değişken ekleyerek çözüyoruz, tgx = a, sonra denklemi elde ediyoruz

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Değiştirmeye geri dön

Cevap:

Eğer katsayı a = 0 ise denklem 2sinx cosx – 3cos2x = 0 formunu alır, cosx ortak faktörünü parantezlerden çıkararak çözeriz. Eğer katsayı c = 0 ise denklem sin2x +2sinx cosx = 0 formunu alır, bunu sinx ortak faktörünü parantezlerden çıkararak çözeriz. Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemi çözmek için algoritma:

Denklemin asin2 x terimini içerip içermediğine bakın.

Denklemde asin2 x terimi yer alıyorsa (yani a 0), denklem, denklemin her iki tarafının cos2x'e bölünmesi ve ardından yeni bir değişken eklenmesiyle çözülür.

Asin2 x terimi denklemde yer almıyorsa (yani a = 0), denklem çarpanlara ayırma yoluyla çözülür: cosx parantezlerden çıkarılır. a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 formundaki homojen denklemler aynı şekilde çözülür

Homojen trigonometrik denklemleri çözme algoritması ders kitabının 102. sayfasında yazılmıştır.

Beden eğitimi dakikası

Homojen trigonometrik denklemleri çözme becerilerinin oluşturulması

Sorunlu kitapların açılması sayfa 53

1. ve 2. gruplar 361-v sayılı kararı verir

3. ve 4. gruplar 363-v sayılı karara varır.

Çözümü tahtada gösterin, açıklayın, tamamlayın. Bağımsız bir uzman değerlendirir.

361-v numaralı problem kitabından örnekleri çözme
sinx – 3cosx = 0
Denklemin her iki tarafını da cosx 0'a bölersek şunu elde ederiz:

363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
Denklemin her iki tarafını cos2x'e bölersek tg2x + tanx – 2 = 0 elde ederiz

yeni bir değişken ekleyerek çöz
tgx = a olsun, o zaman denklemi elde ederiz
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
değiştirmeye geri dön

Bağımsız çalışma.

Denklemleri çözün.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Tamamlandığında bağımsız çalışma işleri değiştirin ve karşılıklı kontrol yapın. Doğru cevaplar tahtaya yansıtılır.

Sonra kiraya veriyorlar bağımsız uzman.

Kendin yap çözüm

Dersi özetlemek.

Derste ne tür trigonometrik denklemleri öğrendik?

Birinci ve ikinci derece trigonometrik denklemleri çözmek için algoritma.

Ev ödevi: § 20.3 okuyun. 361(g), 363(b), ek zorluk No. 380(a).

Bulmaca.

Doğru kelimeleri girerseniz trigonometrik denklem türlerinden birinin adını alacaksınız.

Denklemi doğru yapan değişkenin değeri? (Kök)

Açıların ölçü birimi? (Radyan)

Bir üründe sayısal faktör? (Katsayı)

Trigonometrik fonksiyonları inceleyen matematik dalı? (Trigonometri)

Trigonometrik fonksiyonları tanıtmak için hangi matematiksel modele ihtiyaç vardır? (Daire)

Hangi trigonometrik fonksiyon çifttir? (Kosinüs)

Gerçek eşitliğe ne denir? (Kimlik)

Bir değişkenle eşitlik? (Denklem)

Kökleri aynı olan denklemler? (eş değer)

Bir denklemin kökleri kümesi ? (Çözüm)

Skor sayfası

№
n\n

Öğretmenin soyadı, adı

Ev ödevi

Sunum

Bilişsel aktivite
ders çalışıyor

Denklemleri çözme

Bağımsız
İş

Ödev – 12 puan (3 denklem 4 x 3 = 12 ödev olarak verilmiştir)

Sunum – 1 puan

Öğrenci etkinliği – 1 cevap – 1 puan (maksimum 4 puan)

Denklem çözme 1 puan

Bağımsız çalışma – 4 puan

Grup derecelendirmesi:

“5” – 22 puan veya daha fazla
“4” – 18 – 21 puan
“3” – 12 – 17 puan

Durmak! Bu hantal formülü anlamaya çalışalım.

Güçteki bazı katsayılara sahip ilk değişken önce gelmelidir. Bizim durumumuzda öyle

Bizim durumumuzda öyle. Bulduğumuz gibi bu, ilk değişkendeki derecenin yakınsadığı anlamına gelir. Ve birinci dereceden ikinci değişken yer alıyor. Katsayı.

Bizde var.

İlk değişken bir kuvvettir ve ikinci değişken bir katsayı ile karelidir. Bu denklemdeki son terimdir.

Gördüğünüz gibi denklemimiz formül formundaki tanıma uyuyor.

Tanımın ikinci (sözlü) kısmına bakalım.

İki bilinmeyenimiz var ve. Burada birleşiyor.

Tüm şartları ele alalım. Bunlarda bilinmeyenlerin dereceleri toplamı aynı olmalıdır.

Derecelerin toplamı eşittir.

Güçlerin toplamı eşittir (at ve at).

Derecelerin toplamı eşittir.

Gördüğünüz gibi her şey uyuyor!!!

Şimdi tanımlama pratiği yapalım homojen denklemler.

Denklemlerden hangisinin homojen olduğunu belirleyin:

Homojen denklemler - sayılarla denklemler:

Denklemi ayrı ayrı ele alalım.

Her terimi çarpanlara ayırarak bölersek, şunu elde ederiz:

Ve bu denklem tamamen homojen denklemlerin tanımına girmektedir.

Homojen denklemler nasıl çözülür?

Örnek 2.

Denklemi ikiye bölelim.

Koşulumuza göre y eşit olamaz. Bu nedenle güvenle bölebiliriz

Değiştirme yaparak basit bir sonuç elde ederiz ikinci dereceden denklem:

Bu indirgenmiş ikinci dereceden bir denklem olduğu için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Ters değiştirmeyi yaptıktan sonra cevabı buluruz.

Cevap:

Örnek 3.

Denklemi (koşullara göre) bölelim.

Cevap:

Örnek 4.

Varsa bulun.

Burada bölmeniz değil çarpmanız gerekiyor. Denklemin tamamını şu şekilde çarpalım:

Hadi yerine koyalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

Ters değiştirmeyi yaptıktan sonra cevabı elde ederiz:

Cevap:

Homojen trigonometrik denklemlerin çözümü.

Homojen trigonometrik denklemlerin çözümü yukarıda açıklanan çözüm yöntemlerinden farklı değildir. Ancak burada diğer şeylerin yanı sıra biraz trigonometri bilmeniz gerekir. Ve trigonometrik denklemleri çözebilme (bunun için bölümü okuyabilirsiniz).

Örnekleri kullanarak bu tür denklemlere bakalım.

Örnek 5.

Denklemi çözün.

Tipik bir homojen denklem görüyoruz: ve bilinmeyenlerdir ve her terimdeki kuvvetlerinin toplamı eşittir.

Bu tür homojen denklemlerin çözülmesi zor değildir, ancak denklemleri bölmeden önce şu durumu düşünün:

Bu durumda denklem şu şekli alacaktır: yani. Ancak sinüs ve kosinüs aynı anda eşit olamaz çünkü temel trigonometrik özdeşliğe göre. Bu nedenle, onu güvenle ikiye ayırabiliriz:

Denklem verildiğine göre Vieta teoremine göre:

Cevap:

Örnek 6.

Denklemi çözün.

Örnekte olduğu gibi denklemi ikiye bölmeniz gerekir. Aşağıdaki durumlarda durumu ele alalım:

Ancak sinüs ve kosinüs aynı anda eşit olamaz çünkü temel trigonometrik özdeşliğe göre. Bu yüzden.

Hadi yerine koyalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

Ters yerine koyma işlemini yapalım ve bulalım:

Cevap:

Homojen üstel denklemlerin çözümü.

Homojen denklemler yukarıda tartışılanlarla aynı şekilde çözülür. Üstel denklemleri nasıl çözeceğinizi unuttuysanız ilgili bölüme () bakın!

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 7.

Denklemi çöz

Bunu şöyle hayal edelim:

İki değişkenli ve kuvvetlerin toplamı olan tipik bir homojen denklem görüyoruz. Denklemi ikiye ayıralım:

Gördüğünüz gibi, yerine koyma işlemini yaparak aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde ediyoruz (sıfıra bölme konusunda endişelenmenize gerek yok - her zaman kesinlikle sıfırdan büyüktür):

Vieta'nın teoremine göre:

Cevap: .

Örnek 8.

Denklemi çöz

Bunu şöyle hayal edelim:

Denklemi ikiye ayıralım:

Hadi yerine koyalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

Kök koşulu karşılamıyor. Ters yerine koyma işlemini yapalım ve bulalım:

Cevap:

HOMOJEN DENKLEMLER. ORTA SEVİYE

Öncelikle bir problem örneğini kullanarak şunu hatırlatmama izin verin. homojen denklemler nedir ve homojen denklemlerin çözümü nedir.

Sorunu çözün:

Varsa bulun.

Burada ilginç bir şeyi fark edebilirsiniz: Her terimi şuna bölersek şunu elde ederiz:

Yani, artık ayrı bir şey yok ve - şimdi denklemdeki değişken gerekli miktar. Ve bu, Vieta teoremi kullanılarak kolayca çözülebilen sıradan bir ikinci dereceden denklemdir: köklerin çarpımı eşittir ve toplam, ve sayılarıdır.

Cevap:

Formun denklemleri

homojen denir. Yani bu, her terimi bu bilinmeyenlerin kuvvetleri toplamına sahip olan iki bilinmeyenli bir denklemdir. Örneğin yukarıdaki örnekte bu miktar eşittir. Homojen denklemler bilinmeyenlerden birine şu dereceye kadar bölünerek çözülür:

Ve değişkenlerin daha sonra değiştirilmesi: . Böylece bir bilinmeyenli bir güç denklemi elde ederiz:

Çoğu zaman ikinci dereceden (yani ikinci dereceden) denklemlerle karşılaşırız ve bunları nasıl çözeceğimizi biliyoruz:

Denklemin tamamını bir değişkene bölebileceğimizi (ve çarpabileceğimizi) ancak bu değişkenin sıfıra eşit olamayacağına ikna olduğumuzda unutmayın! Mesela bulmamız istense bölmenin imkansız olduğunu hemen anlarız. Bunun çok açık olmadığı durumlarda bu değişkenin sıfıra eşit olduğu durumu ayrıca kontrol etmek gerekir. Örneğin:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Burada tipik bir homojen denklem görüyoruz: ve bilinmeyenlerdir ve her terimdeki kuvvetlerinin toplamı eşittir.

Ancak, bölmeden ve ikinci dereceden göreceli bir denklem elde etmeden önce, ne zaman olduğu durumunu düşünmeliyiz. Bu durumda denklem şu şekilde olacaktır: , yani. Ancak sinüs ve kosinüs aynı anda sıfıra eşit olamaz çünkü temel trigonometrik özdeşliğe göre: . Bu nedenle, onu güvenle şu şekilde bölebiliriz:

Umarım bu çözüm tamamen açıktır? Değilse, bölümü okuyun. Nereden geldiği belli değilse, bölüme daha erken dönmeniz gerekir.

Kendiniz karar verin:

1. Varsa bulun.
2. Varsa bulun.
3. Denklemi çözün.

Burada homojen denklemlerin çözümünü kısaca doğrudan yazacağım:

Çözümler:

Cevap: .

Ancak burada bölmek yerine çarpmamız gerekiyor:

Cevap:

Henüz trigonometrik denklemleri almadıysanız bu örneği atlayabilirsiniz.

Burada bölme işlemi yapmamız gerektiğine göre öncelikle yüzün sıfıra eşit olmadığından emin olalım:

Ve bu imkansızdır.

Cevap: .

HOMOJEN DENKLEMLER. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Tüm homojen denklemlerin çözümü, bilinmeyenlerden birinin kuvvetine ve değişkenlerin daha fazla değişmesine bölünmeye indirgenir.

Algoritma:

Bu video dersiyle öğrenciler homojen trigonometrik denklemler konusunu çalışabilecekler.

Tanımları verelim:

1) birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem sin x + b cos x = 0'a benzer;

2) ikinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0'a benzer.

a sin x + b cos x = 0 denklemini düşünün. Eğer a sıfıra eşitse denklem b cos x = 0 gibi görünecektir; b sıfıra eşitse denklem sin x = 0 gibi görünecektir. Bunlar en basit dediğimiz ve önceki konularda daha önce çözülmüş denklemlerdir.

Şimdi a ve b'nin sıfıra eşit olmadığı seçeneği düşünün. Denklemin parçalarını kosinüs x'e bölerek dönüşümü gerçekleştiriyoruz. Bir tg x + b = 0 alırsak, o zaman tg x - b/a'ya eşit olacaktır.

Yukarıdakilerden a sin mx + b cos mx = 0 denkleminin I dereceli homojen bir trigonometrik denklem olduğu sonucu çıkar. Bir denklemi çözmek için parçalarını cos mx'e bölün.

Örnek 1'e bakalım. 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0'ı çözün. Öncelikle denklemin parçalarını kosinüs (x/2)'ye bölün. Sinüs bölü kosinüs teğet olduğunu bilerek 7 tan (x/2) - 5 = 0 elde ederiz. İfadeyi dönüştürerek tan (x/2) değerinin 5/7'ye eşit olduğunu buluruz. Bu denklemin çözümü x = arktan a + πn şeklindedir, bizim durumumuzda x = 2 arktan (5/7) + 2πn.

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 denklemini düşünün:

1) sıfıra eşit olduğunda denklem b sin x cos x + c cos 2 x = 0 gibi görünecektir. Dönüştürerek cos x (b sin x + c cos x) = 0 ifadesini elde ederiz ve iki çözümü çözmeye devam ederiz. denklemler. Denklemin parçalarını kosinüs x'e böldükten sonra b tg x + c = 0 elde ederiz, bu da tg x = - c/b anlamına gelir. x = arktan a + πn olduğunu bildiğimizde, bu durumda çözüm x = arktan (- с/b) + πn olacaktır.

2) a sıfıra eşit değilse, denklemin kısımlarını kosinüs kareye bölerek ikinci dereceden olacak bir teğet içeren bir denklem elde ederiz. Bu denklem yeni bir değişken getirilerek çözülebilir.

3) c sıfıra eşit olduğunda denklem a sin 2 x + b sin x cos x = 0 formunu alacaktır. Bu denklem sinüs x'i parantezden çıkararak çözülebilir.

1. Denklemin sin 2 x içerip içermediğine bakın;

2. Denklem a sin 2 x terimini içeriyorsa, denklem her iki tarafı da kosinüs kareye bölerek ve ardından yeni bir değişken ekleyerek çözülebilir.

3. Denklem sin 2 x içermiyorsa denklem cosx'i parantezlerden çıkararak çözülebilir.

Örnek 2'yi ele alalım. Kosinüsü parantezlerden çıkaralım ve iki denklem elde edelim. İlk denklemin kökü x = π/2 + πn'dir. İkinci denklemi çözmek için bu denklemin parçalarını kosinüs x'e böleriz ve dönüşümle x = π/3 + πn elde ederiz. Cevap: x = π/2 + πn ve x = π/3 + πn.

Örnek 3'ü, 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 formundaki bir denklemi çözelim ve bunun - π'den π'ye kadar olan segmente ait köklerini bulalım. Çünkü Bu denklem homojen değildir, homojen hale getirmek gerekiyor. sin 2 x + cos 2 x = 1 formülünü kullanarak sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 denklemini elde ederiz. Denklemin tüm kısımlarını cos 2 x'e bölerek tg 2 2x + elde ederiz. 2tg 2x + 1 = 0 Yeni bir z = tan 2x değişkeninin girdisini kullanarak, kökü z = 1 olan denklemi çözeriz. Sonra tan 2x = 1 olur, bu da x = π/8 + (πn)/2 anlamına gelir. . Çünkü problemin koşullarına göre - π'den π'ye kadar olan segmente ait kökleri bulmanız gerekir, çözüm - π şeklinde olacaktır.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

METİN KOD ÇÖZME:

Homojen trigonometrik denklemler

Bugün “Homojen trigonometrik denklemlerin” nasıl çözüldüğüne bakacağız. Bunlar özel tipte denklemlerdir.

Tanımı tanıyalım.

Formun denklemi ve günah x+BçünküX = 0 (ve sinüs x artı be kosinüs x sıfıra eşittir) birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak adlandırılır;

formun denklemi ve günah 2 x+Bgünah xçünküX+larçünkü 2 X= 0 (ve sinüs kare x artı be sinüs x kosinüs x artı se kosinüs kare x eşittir sıfır) ikinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak adlandırılır.

Eğer a=0, o zaman denklem şu şekli alır BçünküX = 0.

Eğer B = 0 , sonra elde ederiz ve günah x= 0.

Bu denklemler temel trigonometriktir ve çözümlerini önceki konularımızda tartışmıştık.

düşünelim her iki katsayının da sıfıra eşit olmadığı durum. Denklemin her iki tarafını da bölelim AgünahX+ BçünküX = 0 üye üye çünküX.

X'in kosinüsü sıfır olmadığı için bunu yapabiliriz. Sonuçta eğer çünküX = 0 , o zaman denklem AgünahX+ BçünküX = 0 formu alacak AgünahX = 0 , A≠ 0, dolayısıyla günahX = 0 . Bu imkansız çünkü temel trigonometrik özdeşliğe göre günah 2 x+çünkü 2 X=1 .

Denklemin her iki tarafının bölünmesi AgünahX+ BçünküX = 0 üye üye çünküX, şunu elde ederiz: + =0

Dönüşümleri gerçekleştirelim:

1. Çünkü = tg x, o zaman =ve tg x

2 azaltmak çünküX, Daha sonra

Böylece aşağıdaki ifadeyi elde ederiz ve tg x + b =0.

Dönüşümü gerçekleştirelim:

1.b'yi ters işaretli ifadenin sağ tarafına taşıyın

ve tg x =- b

2. Çarpandan kurtulalım ve denklemin her iki tarafını a'ya bölerek

ten rengi x= -.

Sonuç: Formun denklemi bir günahMx+Bçünkümx = 0 (ve sinüs em x artı be kosinüs em x eşittir sıfır) birinci dereceden homojen trigonometrik denklem olarak da adlandırılır. Bunu çözmek için her iki tarafı da ikiye böleriz çünkümx.

ÖRNEK 1. 7 sin - 5 cos = 0 denklemini çözün (yedi sinüs x bölü iki eksi beş kosinüs x bölü iki eşittir sıfır)

Çözüm. Denklem teriminin her iki tarafını da cos'a bölersek, şunu elde ederiz:

1. = 7 tan (sinüs/kosinüs oranı bir teğet olduğundan, yedi sinüs x ikiye bölü kosinüs x ikiye eşittir 7 tan x ikiye eşittir)

2. -5 = -5 (cos kısaltmasıyla)

Bu şekilde denklemi elde ettik

7tg - 5 = 0, İfadeyi dönüştürelim, eksi beşi sağa kaydırıp işaretini değiştirelim.

Denklemi tg t = a biçimine indirgedik; burada t=, a =. Ve bu denklemin her değer için bir çözümü olduğundan A ve bu çözümler şu şekle sahiptir:

x = arktan a + πn ise denklemimizin çözümü şu şekilde olacaktır:

Arctg + πn, x'i bulun

x=2 arktan + 2πn.

Cevap: x=2 arktan + 2πn.

İkinci dereceden homojen trigonometrik denkleme geçelim

Agünah 2 x+b günah x çünkü x +İleçünkü 2 x= 0.

Birkaç durumu ele alalım.

I. Eğer a=0, o zaman denklem şu şekli alır BgünahXçünküX+larçünkü 2 X= 0.

e'yi çözerken Daha sonra denklemleri çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız. Onu çıkaracağız çünküX parantezlerin ötesinde şunu elde ederiz: çünküX(BgünahX+larçünküX)= 0 . Nerede çünküX= 0 veya

b günah x +İleçünkü x= 0. Ve bu denklemleri nasıl çözeceğimizi zaten biliyoruz.

Denklem teriminin her iki tarafını cosх'a bölelim, şunu elde ederiz:

1 (sinüs/kosinüs oranı bir teğet olduğundan).

Böylece denklemi elde ederiz: B tgx+c=0

Denklemi t= x, a = olmak üzere tg t = a formuna indirdik. Ve bu denklemin her değer için bir çözümü olduğundan A ve bu çözümler şu şekle sahiptir:

x = arktan a + πn ise denklemimizin çözümü şöyle olacaktır:

x = arktan + πn, .

II. Eğer a≠0, sonra denklemin her iki tarafını terim terime böleriz çünkü 2 X.

(Benzer şekilde tartışarak, birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem durumunda kosinüs x sıfıra gidemez).

III. Eğer c=0, o zaman denklem şu şekli alır Agünah 2 X+ BgünahXçünküX= 0. Bu denklem çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülebilir (çıkarıyoruz) günahX braketin ötesinde).

Bu, denklemi çözerken şu anlama gelir: Agünah 2 X+ BgünahXçünküX+larçünkü 2 X= 0 Algoritmayı takip edebilirsiniz:

ÖRNEK 2. Sinxcosx - cos 2 x= 0 denklemini çözün (sinüs x çarpı kosinüs x eksi üç çarpı kosinüs kare x'in kökü sıfıra eşittir).

Çözüm. Bunu çarpanlara ayıralım (cosx'i parantezlerin dışına çıkaralım). Aldık

cos x(sin x - cos x)= 0, yani cos x=0 veya sin x - cos x= 0.

Cevap: x =+ πn, x= + πn.

ÖRNEK 3. 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (üç sinüs kare iki X eksi iki kat sinüs iki X çarpı kosinüs iki X artı üç kosinüs kare iki X) denklemini çözün ve bunun köklerini bulun. aralık (- π;π).

Çözüm. Bu denklem homojen değil o yüzden bazı dönüşümler yapalım. Denklemin sağ tarafındaki 2 sayısını 2 1 çarpımı ile değiştiririz

Temel trigonometrik özdeşliğe göre sin 2 x + cos 2 x =1 olduğundan, o zaman

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = parantezleri açtığınızda şunu elde ederiz: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Bu, 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 denkleminin şu şekli alacağı anlamına gelir:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

günah 2 2x - 2 günah 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

İkinci dereceden homojen bir trigonometrik denklem elde ettik. Cos 2 2x'e göre terim terim bölme yöntemini uygulayalım:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Yeni bir değişken z= tan2х tanıtalım.

Elimizde z 2 - 2 z + 1 = 0 var. Bu ikinci dereceden bir denklemdir. Sol taraftaki kısaltılmış çarpma formülüne - farkın karesine () dikkat ederek (z - 1) 2 = 0 elde ederiz, yani. z = 1. Ters yerine koyma işlemine dönelim:

Denklemi tg t = a formuna indirdik; burada t= 2x, a =1. Ve bu denklemin her değer için bir çözümü olduğundan A ve bu çözümler şu şekle sahiptir:

x = arktan x a + πn ise denklemimizin çözümü şöyle olacaktır:

2х= arktan1 + πn,

x = + , (x, pi çarpı sekiz ve pi en çarpı ikinin toplamına eşittir).

Tek yapmamız gereken aralığın içerdiği x değerlerini bulmak

(- π; π), yani. çifte eşitsizliği karşılayın - π x π. Çünkü

x= +, sonra - π + π. Bu eşitsizliğin tüm kısımlarını π'ye bölüp 8 ile çarparsak şunu elde ederiz:

işareti eksi bir olarak değiştirerek birini sağa ve sola hareket ettirin

dörde bölerek elde ederiz,

Kolaylık sağlamak için tüm parçaları kesirlere ayırıyoruz

-

Bu eşitsizlik aşağıdaki n tamsayısıyla karşılanır: -2, -1, 0, 1

Son ayrıntı, matematikte Birleşik Devlet Sınavından C1 görevlerinin nasıl çözüleceği - Homojen trigonometrik denklemlerin çözümü. Bu son dersimizde bunları nasıl çözeceğinizi anlatacağız.

Bu denklemler nelerdir? Bunları genel hatlarıyla yazalım.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

burada 'a' ve 'b' bazı sabitlerdir. Bu denkleme birinci dereceden homojen trigonometrik denklem denir.

Birinci dereceden homojen trigonometrik denklem

Böyle bir denklemi çözmek için onu \cos x'e bölmeniz gerekir. Daha sonra forma girecek

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Böyle bir denklemin cevabı arktanjant kullanılarak kolaylıkla yazılabilir.

'\cos x ≠0' olduğuna dikkat edin. Bunu doğrulamak için denklemde kosinüs yerine sıfır koyarız ve sinüsün de sıfıra eşit olması gerektiğini buluruz. Ancak aynı anda sıfıra eşit olamazlar, bu da kosinüsün sıfır olmadığı anlamına gelir.

Bu yılın gerçek sınavındaki problemlerden bazıları homojen trigonometrik denklemle ilgiliydi. bağlantısını takip edin. Sorunun biraz basitleştirilmiş bir versiyonunu ele alacağız.

İlk örnek. Birinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemin çözümü

$$\sin x + \cos x = 0,$$

"\cos x"e bölün.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Tekrar ediyorum, Birleşik Devlet Sınavında da benzer bir görev vardı :) elbette yine de kökleri seçmeniz gerekiyor ama bu da herhangi bir özel zorluğa neden olmamalıdır.

Şimdi bir sonraki denklem türüne geçelim.

İkinci derecenin homojen trigonometrik denklemi

Genel olarak şöyle görünür:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

burada 'a, b, c' bazı sabitlerdir.

Bu tür denklemler "\cos^2 x" (yine sıfır değildir) ile bölünerek çözülür. Hemen bir örneğe bakalım.

İkinci örnek. İkinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemin çözümü

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

"\cos^2 x"'e bölün.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

't = \tg x'i değiştirelim.

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Ters değiştirme

$$\tg x = 3, \text( veya ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( veya ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Cevap alındı.

Üçüncü örnek. İkinci dereceden homojen bir trigonometrik denklemin çözümü

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Her şey yoluna girecek ama bu denklem homojen değil - sağ taraftaki '-2' bize engel oluyor. Ne yapalım? Temel trigonometrik özdeşliği kullanalım ve onu kullanarak '-2' yazalım.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ),$$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

"\cos^2 x"'e bölün.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Değiştirme 't= \tg x'.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Ters değiştirmeyi gerçekleştirdiğimizde şunu elde ederiz:

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( veya ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Bu, bu eğitimdeki son örnektir.

Her zamanki gibi şunu hatırlatayım: Eğitim bizim için her şeydir. Bir kişi ne kadar zeki olursa olsun, eğitim olmadan beceriler gelişmeyecektir. Sınav sırasında bu durum kaygı, hata ve zaman kaybıyla doludur (bu listeye kendiniz devam edin). Mutlaka çalışın!

Eğitim görevleri

Denklemleri çözün:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Bu, gerçek Birleşik Devlet Sınavı 2013'ün bir görevidir. Hiç kimse derecelerin özelliklerine ilişkin bilgiyi iptal etmedi, ancak unutursanız bir göz atın;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Yedinci dersteki formül işinize yarayacak.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Hepsi bu. Ve her zamanki gibi, son olarak: Yorumlarda sorular sorun, videoları izleyin, Birleşik Devlet Sınavının nasıl çözüleceğini öğrenin.