Üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti

Bir üçgenin bir kenarı ve iki komşu açısı sırasıyla başka bir üçgenin kenarına ve iki komşu açısına eşitse, bu üçgenler eşittir.

MN = PR N = R M = P

İlk kriterin ispatında olduğu gibi, üçgenlerin eşitliği için bu yeterli mi, tam uyumlu olabilir mi?

1. MN = PR olduğundan, bu segmentler, bitiş noktaları hizalanmışsa hizalanır.

2. N = R ve M = P olduğundan, \ (MK \) ve \ (NK \) ışınları, sırasıyla \ (PT \) ve \ (RT \) ışınlarının üzerine bindirilecektir.

3. Işınlar çakışırsa, kesişme noktaları \ (K \) ve \ (T \) çakışır.

4. Üçgenlerin tüm köşeleri hizalıdır, yani Δ MNK ve Δ PRT tamamen hizalıdır, yani eşittirler.

Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti

Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla diğer üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir.

MN = PR KN = TR MK = PT

Yine, Δ MNK ve Δ PRT üçgenlerini üst üste bindirerek birleştirmeye çalışalım ve buna karşılık gelen eşit kenarların, bu üçgenlerin karşılık gelen açılarının eşitliğini garanti ettiğinden ve tamamen çakışacaklarından emin olalım.

Örneğin, aynı segmentleri \ (MK \) ve \ (PT \) birleştirelim. \ (N \) ve \ (R \) noktalarının çakışmadığını varsayalım.

\ (O \), \ (NR \) doğru parçasının orta noktası olsun. Bu bilgilere göre MN = PR, KN = TR. Üçgenler \ (MNR \) ve \ (KNR \) ortak bir tabana \ (NR \) sahip ikizkenarlardır.

Bu nedenle, medyanları \ (MO \) ve \ (KO \) yüksekliklerdir, bu da onların \ (NR \)'ye dik olduğu anlamına gelir. Düz çizgiler \ (MO \) ve \ (KO \) çakışmaz, çünkü \ (M \), \ (K \), \ (O \) noktaları bir düz çizgi üzerinde uzanmaz. Ancak düz çizginin \ (NR \) noktasından \ (O \) ona dik olan sadece bir düz çizgi çizebilirsiniz. Bir çelişkiye geldik.

\ (N \) ve \ (R \) köşelerinin eşleşmesi gerektiği kanıtlanmıştır.

Üçüncü işaret, bir üçgeni çok güçlü, istikrarlı bir rakam olarak adlandırmamızı sağlar, bazen şöyle derler: üçgen - sert şekil ... Kenar uzunlukları değişmezse açılar da değişmez. Örneğin, bir dörtgenin böyle bir özelliği yoktur. Bu nedenle çeşitli destekler ve tahkimatlar üçgen yapılır.

Ancak bir tür istikrar, istikrar ve mükemmellik \ (3 \) kişi uzun süredir değerlendiriyor ve seçiyor.

Peri masalları bunun hakkında konuşur.

Orada “Üç Ayı”, “Üç Rüzgar”, “Üç Küçük Domuz”, “Üç Yoldaş”, “Üç Kardeş”, “Üç Şanslı Adam”, “Üç Usta”, “Üç Çareviç”, “Üç Arkadaş” ile tanışıyoruz. “Üç kahraman” ve diğerleri.

“Üç deneme”, “üç tavsiye”, “üç talimat”, “üç görüşme”, “üç dilek” yerine getirilir, “üç gün”, “üç gece”, “üç yıl” dayanmanız gerekir, git “üç devlet”, “Üç yeraltı krallığı” aracılığıyla, “üç teste” dayanın, “üç deniz” boyunca yelken açın.

Üst üste binebiliyorlarsa iki üçgenin eşit olduğu söylenir. Şekil 1, ABC ve A 1 B 1 C 1 eşit üçgenlerini göstermektedir. Bu üçgenlerin her biri, tamamen hizalanacak şekilde, yani üstleri ve yanları çiftler halinde eşleşecek şekilde diğerinin üzerine bindirilebilir. Bu üçgenlerin açılarının çiftler halinde eşleşeceği açıktır.

Böylece, eğer iki üçgen eşitse, o zaman bir üçgenin elemanları (yani kenarlar ve açılar) sırasıyla diğer üçgenin elemanlarına eşittir. Bunu not et sırasıyla eşit taraflara karşı eşit üçgenlerde(yani örtüşen) eşit açılara sahip, ve geri: karşılık gelen eşit açıların zıttı eşit kenarlardır.

Örneğin, Şekil 1'de gösterilen eşit ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinde, sırasıyla AB ve A 1 B 1 eşit kenarlarının karşısında, eşit C ve C 1 açıları bulunur. ABC ve А 1 × 1 С 1 üçgenlerinin eşitliği şu şekilde gösterilecektir: Δ ABC = Δ А 1 В 1 С 1. İki üçgenin eşitliğinin, bazı öğelerini karşılaştırarak kurulabileceği ortaya çıktı.

Teorem 1. Üçgenlerin eşitliğinin ilk işareti. Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı sırasıyla diğer üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu üçgenler eşittir (Şekil 2).

Kanıt. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 olan ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerini düşünün (bkz. Şekil 2). Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 olduğunu ispatlayalım.

∠ A = ∠ A 1 olduğundan, ABC üçgeni A 1 B 1 C 1 üçgeni üzerine bindirilebilir, böylece A köşesi A1 köşesi ile hizalanır ve AB ve AC kenarları sırasıyla ışınların üzerine bindirilir. A 1 B 1 ve A 1 C 1 . AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 olduğundan, AB tarafı A 1 B 1 tarafı ve AC tarafı - A 1 C 1 tarafı ile hizalanacaktır; özellikle, B ve B 1, C ve C 1 noktaları birleştirilecektir. Bu nedenle, BC ve B 1 C 1 kenarları birleştirilecektir. Yani, ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri tamamen uyumludur, yani eşittirler.

Teorem 2, benzer şekilde süperpozisyon yöntemiyle kanıtlanmıştır.

Teorem 2. Üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti. Bir üçgenin bir kenarı ve iki komşu açısı sırasıyla başka bir üçgenin kenarına ve iki bitişik açısına eşitse, bu üçgenler eşittir (Şekil 34).

Yorum Yap. Teorem 2, Teorem 3'ü kurmak için kullanılır.

Teorem 3. Bir üçgenin herhangi iki iç açısının toplamı 180°'den küçüktür.

Teorem 4, son teoremi takip eder.

Teorem 4. Dış köşe herhangi birinden daha büyük üçgen iç köşe yanında değil.

Teorem 5. Üçgenlerin eşitliğinin üçüncü işareti. Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla başka bir üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir ().

Örnek 1. ABC ve DEF üçgenlerinde (şekil 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm ABC ve DEF üçgenlerini karşılaştırın. DEF üçgenindeki açı kaç derecedir? açıya eşit V?

Çözüm. Bu üçgenler birinci öznitelikte eşittir. DEF üçgeninin F açısı, ABC üçgeninin B açısına eşittir, çünkü bu açılar karşılık gelen eşit DE ve AC kenarlarının karşısındadır.

Örnek 2. AB ve CD segmentleri (Şekil 5) her birinin ortası olan O noktasında kesişir. AC ayağı 6 m ise BD ayağı nedir?

Çözüm. AOC ve BOİ üçgenleri eşittir (birinci kritere göre): ∠ AOC = ∠ BOİ (dikey), AO = OB, CO = OD (koşula göre).
Bu üçgenlerin eşitliği, kenarlarının eşitliğini, yani AC = BD'yi ifade eder. Ancak AC = 6 m koşuluna göre BD = 6 m olduğundan.

İki üçgen için üç eşitlik işareti vardır. Bu yazımızda bunları teoremler halinde ele alacağız ve ispatlarını sunacağız. Bunu yapmak için, tamamen üst üste bindiklerinde rakamların eşit olacağını unutmayın.

ilk işaret

Teorem 1

Üçgenlerden birinin iki kenarı ve aralarındaki açı iki kenara ve aralarındaki açı diğerinde eşitse, iki üçgen eşit olacaktır.

Kanıt.

$ AB = A" B "$, $ AC = A" C "$ ve $ ∠A = ∠A" $ olan iki $ ABC $ ve $ A "B" C "$ üçgenini düşünün (Şekil 1).

Bu üçgenlerin $ A $ ve $ A "$ yüksekliklerini eşleştirelim. Bu köşelerdeki açılar birbirine eşit olduğu için $ AB $ ve $ AC $ kenarları sırasıyla $ A" B ışınları üzerinde örtüşecektir. "$ ve $ A" C " $. Bu kenarlar ikili olarak eşit olduğundan, sırasıyla $ AB $ ve $ AC $ kenarları $ A "B" $ ve $ A "C" $ kenarlarıyla çakışır ve bu nedenle $ B $ ve $ B "$ , $ C $ ve $ C "$ köşeleri eşleşecektir.

Bu nedenle, BC tarafı, $ B tarafı "C" $ ile tamamen çakışacaktır. Bu, üçgenlerin birbiriyle tamamen örtüşeceği anlamına gelir, bu da eşitlikleri anlamına gelir.

Teorem kanıtlanmıştır.

İkinci işaret

Teorem 2

İki açı ve üçgenlerden birinin ortak kenarı iki açıya ve diğerinde ortak kenarına eşitse, iki üçgen eşit olacaktır.

Kanıt.

$ AC = A" C "$ ve $ ∠A = ∠A" $, $ ∠C = ∠C "$ olan $ ABC $ ve $ A "B" C "$ üçgenlerini ele alalım (Şekil 2).

Bu üçgenlerin $AC $ ve $A "C" $ kenarlarını, $B $ ve $B "$ yükseklikleri üçgenin bir tarafında olacak şekilde birleştirelim. Bu kenarlardaki açılar ikili olarak eşit olduğundan, $ AB $ ve $ BC $ kenarları sırasıyla $ A "B" $ ve $ B "C" $ ışınlarının üzerine bindirilecektir. Bu nedenle, hem $ B $ noktası hem de $ B "$ noktası olacaktır. hizalanmış ışınların kesişim noktaları (örneğin, $ AB $ ve $ BC $ ışınları). Işınlar sadece bir kesişme noktasına sahip olabileceğinden $ B $ noktası $ B "$ noktasıyla çakışacaktır. Bu, üçgenlerin birbiriyle tamamen örtüşeceği, yani eşit oldukları anlamına gelir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Üçüncü işaret

Teorem 3

Üçgenlerden birinin üç kenarı diğerinin üç kenarına eşitse iki üçgen eşittir.

Kanıt.

$ AC = A" C "$, $ AB = A" B "$ ve $ BC = B" C "$ olan iki üçgen $ ABC $ ve $ A "B" C "$ düşünün (Şekil 3).

Kanıt.

Bu üçgenlerin $AC $ ve $A "C" $ kenarlarını birleştirelim, böylece $B $ ve $B "$ yükseklikleri üçgenin zıt taraflarında olsun. bu köşelerin ortaya çıkan düzenlemesi resimlerde.

İlk durum:

$ AB = A "B" $ olduğundan, $ ∠ABB "= ∠AB" B $ eşitliği doğru olacaktır. Benzer şekilde, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Ardından, toplam olarak $ ∠B = ∠B "$ elde ederiz.

İkinci durum:

$ AB = A "B" $ olduğundan, $ ∠ABB "= ∠AB" B $ eşitliği doğru olacaktır. Benzer şekilde, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Ardından, fark olarak $ ∠B = ∠B "$ elde ederiz.

Bu nedenle, Teorem 1'e göre bu üçgenler eşittir.

Üçüncü durum:

$ BC = B "C" $ olduğundan, $ ∠ABC = ∠AB "C $ eşitliği

Bu nedenle, Teorem 1'e göre bu üçgenler eşittir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Örnek görevler

örnek 1

Aşağıdaki resimdeki üçgenlerin eşitliğini kanıtlayınız.

Üç kenardaki üçgenlerin eşitliği için üçüncü kriter bir teorem olarak formüle edilmiştir.

teorem : Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla diğer üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir.

Kanıt. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 olduğu ΔABC ve ΔA 1 B 1 C 1'i düşünün. ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1 olduğunu ispatlayalım

ABC ve A 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 olan üçgenler olsun. ∆ABC'yi ∆A 1 B 1 C 1'e uygulayalım, böylece A köşesi A 1 ile çakışsın ve B ve B 1 köşeleri ve C ve C 1 köşeleri A 1 B 1 düz çizgisinin karşı taraflarında olsun. Üç durum mümkündür: 1) С 1 С ışını А 1 С 1 В 1 açısının içinden geçer (Şekil A)); 2) ışın С 1 С bu açının kenarlarından biriyle çakışır (şekil B)); ışın С 1 С, А 1 С 1 В 1 açısının dışından geçer (Şekil c)). İlk durumu ele alalım. Teoremin koşuluna göre, AC ve A 1 C 1, BC ve B 1 C 1 kenarları eşit olduğundan, A 1 C 1 C ve B 1 C 1 C üçgenleri ikizkenardır. Açıların özelliği ile ilgili teorem ile ikizkenar üçgen Ll = l2, l3 = l4; bu nedenle, lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1. Böylece, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = lC 1. Bu nedenle, ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri, üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretiyle eşittir.

Tahtaya yazmak:

Verilen:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, ВС = В 1 С 1

İspat et:ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Kanıt.∆ABC'yi ∆A 1 B 1 C 1'e uygularız, böylece A → A 1 ve B → B 1 ve C ve C 1, A 1 B 1 düz çizgisinin zıt taraflarında olur. Bir vaka düşünelim. ray С 1 С, РА 1 С 1 В 1 içinden geçer (Şekil a)).

АС = A 1 C 1, ВС = В 1 С 1 ¾> ΔА 1 С 1 С ve ΔВ 1 С 1 С - eşittir. L> ll = l2, l3 = l4 (Δ'ye eşit sv-wu açılarına göre), l> lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1 => AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = РС 1 ¾>

ΔABC = ΔА 1 × 1 С 1 üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre.

2.Romb. Tanım, özellikler, işaretler.

Eşkenar dörtgen bir tür dörtgendir.

Tanım: Eşkenar dörtgen, tüm kenarları eşit olan bir paralelkenar olarak adlandırılır.

Şekil, AB = BC = CD = DA olan bir ABCD paralelkenarını göstermektedir. Tanım olarak, bu paralelkenar bir eşkenar dörtgendir. AC ve BD eşkenar dörtgenin köşegenleridir. Bir eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, bir paralelkenarın tüm özellikleri ve nitelikleri onun için geçerlidir.

Özellikler:

1) Bir eşkenar dörtgende karşılıklı açılar eşittir (ÐA = ÐC, ÐB = ÐD)

2) Eşkenar dörtgenin köşegenleri kesişme noktası tarafından yarıya bölünür. (BО = ОD, AО = ОC)

3) Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir ve açıları yarıya iner. (AC DB, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODDC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO) ( özel mülk)

4) Bir tarafa bitişik açıların toplamı 180 0'dır (РA + РВ = РС + РD = РВ + РC = РА + РD = 180 0)

işaretler eşkenar dörtgen:

1) Paralelkenarın köşegenleri birbirine dik ise bu paralelkenar eşkenar dörtgendir.

2) Bir paralelkenarın köşegeni açılarını ikiye bölerse, bu paralelkenar eşkenar dörtgendir.

3) paralelkenarın tüm kenarları eşitse eşkenar dörtgendir.

Tahtaya yazmak.

Özellikler:

1) РA = РC, РB = РD 2) BО = ОD, AО = ОC

3) AC DB, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO

4) РA + РВ = РС + РД = РВ + РС = РА + РД = 180 0

Ters ifadeler işaretler eşkenar dörtgen:

1 ) ABCD - paralel-m ve АС DB ise, o zaman - ABCD - eşkenar dörtgen.

2) ABCD paralel-m ise ve AC ve DB açıortay ise, o zaman - ABCD bir eşkenar dörtgendir.

3) ABCD paralelse ve АС = DB ve BC = AD ise, o zaman - ABCD bir eşkenar dörtgendir.

Görev.