“A Alın” video kursu başarılı olmak için gerekli tüm konuları içerir Birleşik Devlet Sınavını geçmek matematikte 60-65 puan. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor Püf Noktalarıçözümler, yararlı kopya sayfaları, geliştirme mekansal hayal gücü. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.

DÖRDÜNCÜLER.

§43. PARALELKENAR.

1. Paralelkenarın tanımı.

Bir çift paralel çizgiyi başka bir paralel çizgi çiftiyle kesersek, karşıt kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgen elde ederiz.

ABC ve EFNM dörtgenlerinde (Şekil 224) ВD || AC ve AB || CD;
EF || MN ve EM || FN.

Karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan dörtgene paralelkenar denir.

2. Paralelkenarın özellikleri.

Teorem. Paralelkenarın köşegeni onu iki eşit üçgene böler.

Bir ABC paralelkenarı olsun (Şekil 225), burada AB || CD ve Klima || ВD.

Köşegenin onu iki eşit üçgene böldüğünü kanıtlamanız gerekir.

ABC paralelkenarında CB köşegenini çizelim. Hadi bunu kanıtlayalım /\ CAB= /\ СДВ.

NE kenarı bu üçgenlerde ortaktır; / ABC = / BCD, paralel AB ve CD ve sekant CB ile iç çapraz açılar olarak; / DIA = / СВD, paralel AC ve ВD ve sekant CB'ye sahip iç çapraz açıları da sever (§ 38).

Buradan /\ KAB = /\ СДВ.

Aynı şekilde, AD köşegeninin paralelkenarı iki eşit ACD ve ABD üçgenine böleceği kanıtlanabilir.

Sonuçlar. 1 . Paralelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşittir.

/ bir = / D, bu CAB ve CDB üçgenlerinin eşitliğinden kaynaklanır.
Aynı şekilde / C = / İÇİNDE.

2. Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir.

AB = CD ve AC = BD, çünkü bunlar eşit üçgenlerin kenarlarıdır ve eşit açıların karşısında yer alırlar.

Teorem 2. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasında ikiye bölünür.

BC ve AD, ABC paralelkenarının köşegenleri olsun (Şekil 226). AO = OD ve CO = OB olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için, örneğin karşılıklı konumlanmış bazı üçgen çiftlerini karşılaştırın. /\ AOB ve /\ MORİNA.

Bu üçgenlerde AB = CD, paralelkenarın karşılıklı kenarları gibi;
/ 1 = / Şekil 2, paralel AB ve CD ve sekant AD ile çapraz uzanan iç açılar olarak;
/ 3 = / 4 aynı sebepten dolayı, AB || CD ve CB onların sekantıdır (§ 38).

Şunu takip ediyor /\ AOB = /\ MORİNA. Ve eşit üçgenlerde, eşit kenarlar eşit açıların karşısında yer alır. Bu nedenle AO = OD ve CO = OB.

Teorem 3. Paralelkenarın bir kenarına bitişik açıların toplamı eşittir 2 D .

Bunu kendin kanıtla.

3. Paralelkenarın işaretleri.

Teorem. Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde eşitse, bu dörtgen bir paralelkenardır.

ABC dörtgenini alalım (Çizim 227) AB = CD ve AC = BD. Bu koşul altında AB || olduğunu kanıtlayalım. CD ve Klima || ВD, yani dörtgen АВDC bir paralelkenardır.
Herhangi iki segmentle bağlantı kuralım zıt köşeler bu bir dörtgendir, örneğin C ve B. ABCD dörtgeni iki eşit üçgene bölünmüştür: /\ CAB ve /\ СДВ. Aslında duruma göre aynı CB kenarlarına sahiptirler, AB = CD ve AC = BD. Böylece, bir üçgenin üç kenarı sırasıyla diğerinin üç kenarına eşittir, bu nedenle /\ KAB = /\ СДВ.

Eşit üçgenlerde eşit açılar eşit kenarların karşısında bulunur, bu nedenle
/ 1 = / 2 ve / 3 = / 4.

Açılar 1 ve 2, CB düz çizgisinin AB ve CD düz çizgilerinin kesişiminde çapraz olarak uzanan iç açılardır. Bu nedenle AB || CD.

Aynı şekilde, 3 ve 4 numaralı açılar, CB çizgisinin CA ve BD çizgilerinin kesişiminde çapraz olarak uzanan iç açılardır, dolayısıyla CA || ВD (§ 35).

Dolayısıyla ABC dörtgeninin karşıt kenarları çiftler halinde paraleldir, dolayısıyla bir paralelkenardır ve bunun kanıtlanması gerekir.

Teorem 2. Bir dörtgenin karşılıklı iki kenarı eşit ve paralel ise bu dörtgen bir paralelkenardır.

AB = CD ve AB || olsun CD. Bu koşullar altında ABC dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayalım (Şekil 228).

C ve B köşelerini bir CB doğru parçasıyla birleştirelim. AB ve CD düz çizgilerinin paralelliğinden dolayı, çapraz uzanan iç açılar olarak 1 ve 2 açıları eşittir (§ 38).
Bu durumda CAB üçgeni CDB üçgenine eşittir, çünkü CB kenarları ortaktır,
Teoremin koşullarına göre AB = CD ve / 1 = / Kanıtlanmış göre 2. Bu üçgenlerin eşitliği, eşit üçgenlerde eşit kenarların karşısında yer aldıkları için 3 ve 4 numaralı açıların eşitliği anlamına gelir.

Ancak 3 ve 4 numaralı açılar, CB düz çizgisinin AC ve BD düz çizgilerinin kesişmesiyle oluşan iç çapraz açılardır, dolayısıyla AC || ВD (§ 35), yani dörtgen
ABC bir paralelkenardır.

Egzersizler.

1. Bir dörtgenin karşılıklı kesişme noktasındaki köşegenleri ikiye bölünürse, bu dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

2. Toplamı eşit olan bir dörtgenin olduğunu kanıtlayın. iç köşeler iki bitişik kenarın her birine bitişik olan 2'ye eşittir D, bir paralelkenar var.

3. İki kenarı ve aralarındaki açıyı kullanarak bir paralelkenar oluşturun:

a) bir paralelkenarın karşıt kenarlarının paralelliğini kullanmak;
b) bir paralelkenarın karşıt kenarlarının eşitliğini kullanarak.

4. İki bitişik kenarı ve bir köşegeni kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

5. İki köşegenini ve aralarındaki açıyı kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

6. Kenarını ve iki köşegenini kullanarak bir paralelkenar oluşturun.

Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir.

Paralelkenarın geri kalan özellikleri ondan çıktığı ve teoremler biçiminde kanıtlandığı için bu tanım zaten yeterlidir.

• Paralelkenarın temel özellikleri şunlardır:
• bir paralelkenar dışbükey bir dörtgendir;
• Bir paralelkenarın çiftler halinde eşit olan karşıt kenarları vardır;
• Paralelkenarda zıt açılar çiftler halinde eşittir;

Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Paralelkenar - dışbükey dörtgen Önce şu teoremi kanıtlayalım: paralelkenar dışbükey bir dörtgendir

. Bir çokgenin hangi tarafı düz bir çizgiye kadar uzatılırsa uzatılsın dışbükeydir, çokgenin diğer tüm kenarları bu düz çizginin aynı tarafında olacaktır.

AB'nin CD'nin karşı tarafı ve BC'nin AD'nin karşı tarafı olduğu bir ABCD paralelkenarı verilsin. O zaman paralelkenarın tanımından şu sonuç çıkar: AB || CD, BC || MS.

Paralel doğru parçalarının ortak noktaları yoktur ve kesişmezler. Bu, CD'nin AB'nin bir tarafında olduğu anlamına gelir. BC doğru parçası AB parçasının B noktasını CD parçasının C noktasıyla birleştirdiğinden ve AD parçası diğer AB ve CD noktalarını birleştirdiğinden, BC ve AD parçaları da AB çizgisinin CD'nin bulunduğu aynı tarafında yer alır. Böylece, üç kenarın tümü (CD, BC, AD) AB'nin aynı tarafında yer alır.

Benzer şekilde paralelkenarın diğer kenarlarına göre diğer üç kenarının da aynı tarafta olduğu kanıtlanmıştır.

Karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir Paralelkenarın özelliklerinden biri de Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve zıt açılar çiftler halinde eşittir

. Örneğin, ABCD paralelkenarı verilirse AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D olur. Bu teorem aşağıdaki şekilde kanıtlanmıştır.

Paralelkenar bir dörtgendir. Bu, iki köşegeni olduğu anlamına gelir. Paralelkenar dışbükey bir dörtgen olduğundan, herhangi biri onu iki üçgene böler. ABCD paralelkenarında, AC köşegeninin çizilmesiyle elde edilen ABC ve ADC üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerin ortak bir tarafı vardır - AC. BCA açısı açıya eşit

CAD paralel BC ve AD ile dikey olarak. AB ve CD paralel olduğunda BAC ve ACD açıları da dikey açılara eşittir. Bu nedenle iki açıda ve aralarındaki kenarda ∆ABC = ∆ADC olur.

B açısı D açısına karşılık gelir, yani ∠B = ∠D. Paralelkenarın A açısı iki açının toplamıdır: ∠BAC ve ∠CAD. C açısı ∠BCA ve ∠ACD'ye eşittir. Açı çiftleri birbirine eşit olduğundan ∠A = ∠C olur.

Böylece paralelkenarda karşılıklı kenarların ve açıların eşit olduğu kanıtlanmıştır.

Köşegenler ikiye bölünür

Paralelkenar dışbükey bir dörtgen olduğundan, iki köşegeni vardır ve bunlar kesişir. ABCD paralelkenarı verilsin, AC ve BD köşegenleri E noktasında kesişiyor. Bunların oluşturduğu ABE ve CDE üçgenlerini düşünün.

Bu üçgenlerin AB ve CD kenarları paralelkenarın karşıt kenarlarına eşittir. ABE açısı, AB ve CD paralel çizgileri ile çapraz uzanan CDE açısına eşittir. Aynı sebepten dolayı ∠BAE = ∠DCE. Bu, iki açıda ve aralarındaki kenarda ∆ABE = ∆CDE anlamına gelir.

Ayrıca AEB ve CED açılarının dikey olduğunu ve dolayısıyla birbirine eşit olduğunu da fark edebilirsiniz.

ABE ve CDE üçgenleri birbirine eşit olduğundan, bunlara karşılık gelen tüm elemanlar eşittir. İlk üçgenin AE tarafı ikincinin CE kenarına karşılık gelir, bu da AE = CE anlamına gelir. Benzer şekilde BE = DE. Her eşit parça çifti bir paralelkenarın köşegenini oluşturur. Böylece kanıtlanmıştır ki Paralelkenarın köşegenleri kesişim noktalarına göre ikiye bölünür.

Tıpkı Öklid geometrisinde olduğu gibi, nokta ve düz çizgi düzlem teorisinin ana unsurlarıdır, dolayısıyla paralelkenar da dışbükey dörtgenlerin temel şekillerinden biridir. Ondan, bir topun iplikleri gibi, "dikdörtgen", "kare", "eşkenar dörtgen" ve diğer geometrik büyüklükler kavramları akar.

paralelkenarın tanımı

dışbükey dörtgen, Her bir çifti paralel olan doğru parçalarından oluşan geometriye paralelkenar denir.

Klasik bir paralelkenarın neye benzediği bir ABCD dörtgeniyle tasvir edilmiştir. Kenarlara tabanlar (AB, BC, CD ve AD), herhangi bir köşeden bu köşenin karşısındaki kenara çizilen dikmeye yükseklik (BE ve BF), AC ve BD doğrularına köşegenler adı verilir.

Dikkat! Kare, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.

Kenarlar ve açılar: ilişkinin özellikleri

Genel olarak temel özellikler, atamanın kendisi tarafından önceden belirlenmiş teoremi ile kanıtlanırlar. Bu özellikler aşağıdaki gibidir:

1. Zıt taraflar çiftler halinde aynıdır.
2. Karşılıklı açılar çiftler halinde eşittir.

İspat: ABCD dörtgeninin AC düz çizgisine bölünmesiyle elde edilen ∆ABC ve ∆ADC'yi düşünün. ∠BCA=∠CAD ve ∠BAC=∠ACD, çünkü AC onlar için ortaktır ( dikey açılar sırasıyla BC||AD ve AB||CD için). Bundan şu sonuç çıkar: ∆ABC = ∆ADC (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti).

∆ABC'deki AB ve BC doğru parçaları çiftler halinde ∆ADC'deki CD ve AD doğrularına karşılık gelir, bu da onların aynı olduğu anlamına gelir: AB = CD, BC = AD. Dolayısıyla ∠B, ∠D'ye karşılık gelir ve eşittirler. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD de ikili özdeş olduğundan, ∠A = ∠C olur. Özelliği kanıtlanmıştır.

Bir şeklin köşegenlerinin özellikleri

Ana özellik Bir paralelkenarın bu çizgilerinin kesişme noktası onları ikiye böler.

İspat: ABCD şeklinin AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası olsun. İki orantılı üçgen oluştururlar - ∆ABE ve ∆CDE.

AB=CD zıt oldukları için. Doğrulara ve kesenlere göre ∠ABE = ∠CDE ve ∠BAE = ∠DCE.

İkinci eşitlik kriterine göre ∆ABE = ∆CDE. Bu, ∆ABE ve ∆CDE elemanlarının: AE = CE, BE = DE olduğu ve aynı zamanda AC ve BD'nin orantılı parçaları olduğu anlamına gelir. Özelliği kanıtlanmıştır.

Bitişik köşelerin özellikleri

Bitişik kenarların açılarının toplamı 180°'ye eşittir, çünkü paralel doğruların ve bir çaprazın aynı tarafında yer alırlar. ABCD dörtgeni için:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180°

Ortayörün özellikleri:

1. bir tarafa indirilmiş, diktir;
2. zıt köşelerin paralel açıortayları vardır;
3. bir açıortay çizilerek elde edilen üçgen ikizkenar olacaktır.

Teoremi kullanarak bir paralelkenarın karakteristik özelliklerinin belirlenmesi

Bu şeklin özellikleri, aşağıdakileri ifade eden ana teoreminden kaynaklanmaktadır: bir dörtgen bir paralelkenar olarak kabul edilir köşegenlerinin kesişmesi durumunda ve bu nokta onları eşit parçalara böler.

İspat: ABCD dörtgeninin AC ve BD doğrularının kesiştiğine izin verin; ∠AED = ∠BEC ve AE+CE=AC BE+DE=BD olduğuna göre, ∆AED = ∆BEC (üçgenlerin eşitliğine ilişkin ilk kritere göre). Yani ∠EAD = ∠ECB. Bunlar aynı zamanda AD ve BC doğruları için AC keseninin iç çapraz açılarıdır. Dolayısıyla paralelliğin tanımı gereği - AD || M.Ö. BC ve CD doğrularının da benzer bir özelliği türetilmiştir. Teorem kanıtlandı.

Bir şeklin alanının hesaplanması

Bu rakamın alanı çeşitli yöntemlerle bulundu En basitlerinden biri: yüksekliğin ve çizildiği tabanın çarpılması.

Kanıt: B ve C köşelerinden BE ve CF dikmelerini çizin. AB = CD ve BE = CF olduğundan ∆ABE ve ∆DCF eşittir. ABCD, orantılı rakamlardan oluştuğu için EBCF dikdörtgeninin boyutuna eşittir: S ABE ve S EBCD'nin yanı sıra S DCF ve S EBCD. Bundan şu sonuç çıkıyor: bunun alanı geometrik şekil dikdörtgenle aynı şekilde bulunur:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paralelkenarın alanının genel formülünü belirlemek için yüksekliği şu şekilde gösterelim: hb ve yan - B. Sırasıyla:

Alanı bulmanın diğer yolları

Alan hesaplamaları paralelkenarın kenarları ve açı boyunca Oluşturdukları yöntem ise bilinen ikinci yöntemdir.

,

Spr-ma - alan;

a ve b onun kenarlarıdır

α, a ve b bölümleri arasındaki açıdır.

Bu yöntem pratik olarak ilkine dayanmaktadır, ancak bilinmemesi durumunda. her zaman kesiliyor dik üçgen parametreleri trigonometrik özdeşlikler tarafından bulunan, yani . İlişkiyi dönüştürerek şunu elde ederiz. Birinci yöntemin denkleminde yüksekliği bu çarpımla değiştirip bu formülün geçerliliğine dair bir kanıt elde ediyoruz.

Paralelkenarın köşegenleri ve açısı boyunca, kesiştiklerinde oluşturdukları alanı da bulabilirsiniz.

Kanıt: AC ve BD dört üçgen oluşturacak şekilde kesişir: ABE, BEC, CDE ve AED. Toplamları bu dörtgenin alanına eşittir.

Bu ∆'ların her birinin alanı, a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB olmak üzere ifadeyle bulunabilir. O zamandan beri hesaplamalar tek bir sinüs değeri kullanıyor. Yani. AE+CE=AC= d 1 ve BE+DE=BD= d 2 olduğundan alan formülü şu şekilde azalır:

.

Vektör cebirinde uygulama

Bu dörtgeni oluşturan parçaların özellikleri, vektör cebirinde, yani iki vektörün toplanmasında uygulama alanı bulmuştur. Paralelkenar kuralı şunu belirtir: vektörler verilirseVeOlumsuzeşdoğrusal ise, bunların toplamı, tabanları bu vektörlere karşılık gelen bu şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Kanıt: keyfi olarak seçilmiş bir başlangıçtan - yani. - vektörler oluşturun ve . Daha sonra, OA ve OB bölümlerinin kenar olduğu bir paralelkenar OASV oluşturuyoruz. Dolayısıyla işletim sistemi vektöre veya toplama dayalıdır.

Paralelkenarın parametrelerini hesaplamak için formüller

Kimlikler aşağıdaki koşullar altında verilir:

1. a ve b, α - taraflar ve aralarındaki açı;
2. d 1 ve d 2, γ - köşegenler ve kesişme noktalarında;
3. h a ve h b - a ve b taraflarına indirilen yükseklikler;

Parametre	Formül
Tarafları bulmak
köşegenler boyunca ve aralarındaki açının kosinüsü
köşegenler ve kenarlar boyunca
yükseklik ve karşı tepe noktası boyunca
Köşegen uzunluğunu bulma
yanlarda ve aralarındaki tepenin büyüklüğü

Orta seviye

Paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare (2019)

1. Paralelkenar

Bileşik kelime "paralelkenar" mı? Ve arkasında çok basit bir figür yatıyor.

Yani iki paralel çizgi aldık:

İki kişi daha geçti:

Ve içeride bir paralelkenar var!

Paralelkenarın özellikleri nelerdir?

Paralelkenarın özellikleri.

Yani, eğer probleme bir paralelkenar verilirse ne kullanabilirsiniz?

Aşağıdaki teorem bu soruyu yanıtlıyor:

Her şeyi ayrıntılı olarak çizelim.

Bu ne anlama geliyor teoremin ilk noktası? Ve gerçek şu ki, eğer bir paralelkenarınız varsa o zaman kesinlikle

İkinci nokta, eğer bir paralelkenar varsa, o zaman yine kesinlikle:

Son olarak üçüncü nokta, eğer bir paralelkenarınız varsa, şunları yaptığınızdan emin olun:

Seçeneklerin ne kadar zengin olduğunu görüyor musunuz? Problemde ne kullanılmalı? Görevin sorusuna odaklanmaya çalışın veya her şeyi tek tek deneyin; bazı "anahtarlar" işe yarayacaktır.

Şimdi kendimize başka bir soru soralım: Bir paralelkenarı "görerek" nasıl tanıyabiliriz? Bir dörtgene paralelkenar "başlığı" verme hakkına sahip olmamız için ona ne olması gerekir?

Paralelkenarın çeşitli işaretleri bu soruyu yanıtlıyor.

Paralelkenarın işaretleri.

Dikkat! Haydi başlayalım.

Paralelkenar.

Lütfen unutmayın: Probleminizde en az bir işaret bulduysanız, o zaman kesinlikle bir paralelkenarınız var demektir ve bir paralelkenarın tüm özelliklerini kullanabilirsiniz.

2. Dikdörtgen

Sanırım bu senin için hiç haber olmayacak

İlk soru: Dikdörtgen paralelkenar mıdır?

Elbette öyle! Sonuçta onda - işaretimiz 3'ü hatırlıyor musunuz?

Ve buradan elbette, herhangi bir paralelkenarda olduğu gibi bir dikdörtgende köşegenlerin kesişme noktasına göre ikiye bölündüğü sonucu çıkıyor.

Ancak dikdörtgenin kendine özgü bir özelliği de var.

Dikdörtgen özelliği

Bu özellik neden ayırt edici? Çünkü başka hiçbir paralelkenarın köşegenleri eşit değildir. Daha açık bir şekilde formüle edelim.

Lütfen dikkat: Bir dikdörtgenin dikdörtgen olabilmesi için önce bir paralelkenar haline gelmesi ve ardından köşegenlerin eşitliğini göstermesi gerekir.

3. Elmas

Ve yine soru: Eşkenar dörtgen bir paralelkenar mıdır, değil midir?

Tam sağda - bir paralelkenar, çünkü ve (özellik 2'yi hatırlayın).

Ve yine, eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğuna göre, bir paralelkenarın tüm özelliklerine sahip olması gerekir. Bu, bir eşkenar dörtgende zıt açıların eşit, karşıt kenarların paralel olduğu ve köşegenlerin kesişme noktasında ikiye bölündüğü anlamına gelir.

Eşkenar dörtgenin özellikleri

Resme bakın:

Dikdörtgende olduğu gibi, bu özellikler farklıdır, yani bu özelliklerin her biri için bunun sadece bir paralelkenar değil, eşkenar dörtgen olduğu sonucuna varabiliriz.

Bir elmasın işaretleri

Ve yine dikkat edin: Sadece köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgen değil, bir paralelkenar da olmalıdır. Emin olmak:

Hayır, elbette, köşegenleri dik olmasına ve köşegen, açıların açıortayı olmasına rağmen. Ancak... köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünmez, bu nedenle - bir paralelkenar DEĞİLDİR ve dolayısıyla bir eşkenar dörtgen DEĞİLDİR.

Yani kare aynı anda hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgendir. Bakalım ne olacak.

Nedeni açık mı? - eşkenar dörtgen, A açısının açıortayıdır ve bu da eşittir. Bu, (ve aynı zamanda) iki açıya bölündüğü anlamına gelir.

Aslında bu oldukça açık: Bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir; Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir ve genel olarak köşegenlerden oluşan bir paralelkenar, kesişme noktasıyla ikiye bölünür.

ORTA SEVİYE

Dörtgenlerin özellikleri. Paralelkenar

Paralelkenarın özellikleri

Dikkat! Kelimeler " paralelkenarın özellikleri"yani eğer görevinizdeyseniz Orada paralelkenar ise aşağıdakilerin tümü kullanılabilir.

Paralelkenarın özelliklerine ilişkin teorem.

Herhangi bir paralelkenarda:

Başka bir deyişle, tüm bunların neden doğru olduğunu anlayalım. KANITLAYACAĞIZ teorem.

Peki neden 1) doğru?

Paralelkenar ise:

• çapraz gibi uzanmak
• haç gibi yatıyor.

Bu şu anlama gelir: (Kriter II'ye göre: ve - genel.)

İşte bu kadar, bu kadar! - kanıtladı.

Ama bu arada! Ayrıca 2) kanıtladık!

Neden? Ama (resme bakın), tam da bu yüzden.

Sadece 3 tane kaldı).

Bunu yapmak için hala ikinci bir köşegen çizmeniz gerekiyor.

Ve şimdi bunu - II karakteristiğine göre görüyoruz (açılar ve "aralarındaki" kenar).

Özellikleri kanıtlanmış! Gelelim işaretlere.

Paralelkenarın işaretleri

Paralelkenar işaretinin, bir şeklin paralelkenar olduğunu nasıl anlarsınız sorusuna yanıt verdiğini hatırlayın.

Simgelerde şöyle:

Neden? Nedenini anlamak güzel olurdu - bu kadar yeter. Ama bakın:

1. işaretin neden doğru olduğunu bulduk.

Eh, daha da kolay! Tekrar bir köşegen çizelim.

Bunun anlamı:

VE Aynı zamanda kolaydır. Ama...farklı!

Araç, . Vay! Ama aynı zamanda - sekantlı dahili tek taraflı!

Bu nedenle gerçek şu anlama gelir.

Ve eğer diğer taraftan bakarsanız, o zaman - dahili tek taraflı ve sekantlı! İşte bu yüzden.

Ne kadar harika olduğunu görüyor musun?

Ve yine basit:

Tamamen aynı ve.

Lütfen aklınızda bulundurun: eğer bulduysan en azından probleminizde bir paralelkenarın bir işareti varsa, o zaman Kesinlikle paralelkenar ve kullanabilirsiniz herkes Paralelkenarın özellikleri.

Tam netlik için şemaya bakın:

Dörtgenlerin özellikleri. Dikdörtgen.

Dikdörtgenin özellikleri:

Nokta 1) oldukça açıktır - sonuçta işaret 3 () basitçe yerine getirilir

Ve nokta 2) - çok önemli. Öyleyse bunu kanıtlayalım

Bu, iki tarafta (ve - genel) anlamına gelir.

Üçgenler eşit olduğuna göre hipotenüsleri de eşittir.

Bunu kanıtladı!

Ve hayal edin, köşegenlerin eşitliği dikdörtgenin tüm paralelkenarlar arasında ayırt edici bir özelliğidir. Yani bu ifade doğrudur^

Nedenini anlayalım mı?

Bu, (paralelkenarın açıları anlamına gelir) anlamına gelir. Ama bunun bir paralelkenar olduğunu ve dolayısıyla olduğunu bir kez daha hatırlayalım.

Araç, . Tabii ki, her biri bunu takip ediyor! Sonuçta toplamda vermeleri gerekiyor!

Böylece şunu kanıtladılar: paralelkenar aniden (!) köşegenler eşit çıkıyor, o zaman bu tam olarak bir dikdörtgen.

Ancak! Dikkat etmek! hakkında konuşuyoruz paralelkenarlar! Sadece herhangi biri değil köşegenleri eşit olan bir dörtgen bir dikdörtgendir ve sadece paralelkenar!

Dörtgenlerin özellikleri. Eşkenar dörtgen

Ve yine soru: Eşkenar dörtgen bir paralelkenar mıdır, değil midir?

Tam sağda - bir paralelkenar var çünkü (2. özelliğimizi hatırlayın).

Ve yine, eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan, bir paralelkenarın tüm özelliklerine sahip olması gerekir. Bu, bir eşkenar dörtgende zıt açıların eşit, karşıt kenarların paralel olduğu ve köşegenlerin kesişme noktasında ikiye bölündüğü anlamına gelir.

Ama aynı zamanda özel nitelikler de var. Formüle edelim.

Eşkenar dörtgenin özellikleri

Neden? Eşkenar dörtgen bir paralelkenar olduğundan köşegenleri ikiye bölünür.

Neden? Evet, bu yüzden!

Başka bir deyişle, köşegenlerin eşkenar dörtgenin köşelerinin ortaortayları olduğu ortaya çıktı.

Dikdörtgende olduğu gibi bu özellikler ayırt edici, bunların her biri aynı zamanda bir eşkenar dörtgen işaretidir.

Bir elmasın işaretleri.

Bu neden? Ve bak,

Bunun anlamı ikisi birden Bu üçgenler ikizkenardır.

Bir eşkenar dörtgenin eşkenar dörtgen olabilmesi için önce bir paralelkenar "olması" ve ardından özellik 1 veya özellik 2'yi sergilemesi gerekir.

Dörtgenlerin özellikleri. Kare

Yani kare aynı anda hem dikdörtgen hem de eşkenar dörtgendir. Bakalım ne olacak.

Nedeni açık mı? Bir kare - bir eşkenar dörtgen - eşit bir açının açıortayıdır. Bu, (ve aynı zamanda) iki açıya bölündüğü anlamına gelir.

Aslında bu oldukça açık: Bir dikdörtgenin köşegenleri eşittir; Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir ve genel olarak köşegenlerden oluşan bir paralelkenar, kesişme noktasıyla ikiye bölünür.

Neden? Pisagor teoremini şuna uygulayalım...

ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Paralelkenarın özellikleri:

1. Karşılıklı kenarlar eşittir: , .
2. Karşılıklı açılar eşittir: , .
3. Bir taraftaki açıların toplamı şuna eşit olur: , .
4. Köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünür: .

Dikdörtgenin özellikleri:

1. Dikdörtgenin köşegenleri eşittir: .
2. Dikdörtgen bir paralelkenardır (dikdörtgen için paralelkenarın tüm özellikleri karşılanır).

Bir eşkenar dörtgenin özellikleri:

1. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri diktir: .
2. Bir eşkenar dörtgenin köşegenleri, açılarının ortaortaylarıdır: ; ; ; .
3. Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır (eşkenar dörtgen için paralelkenarın tüm özellikleri karşılanır).

Bir karenin özellikleri:

Bir kare aynı zamanda bir eşkenar dörtgen ve bir dikdörtgendir, bu nedenle bir kare için bir dikdörtgenin ve bir eşkenar dörtgenin tüm özellikleri karşılanır. Ve ayrıca.