Paralelkenar, karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan bir dörtgendir. Ayrıca bir paralelkenar şu özelliklere sahiptir: karşılıklı kenarlar eşittir, zıt açılar eşittir ve tüm açıların toplamı 360 derecedir.

İhtiyacın olacak

• Geometri bilgisi.

Talimatlar

1. Paralelkenarın açılarından birinin verildiğini ve A'ya eşit olduğunu düşünelim. Geriye kalan 3'ün değerlerini bulalım. Paralelkenarın özelliğine göre karşılıklı açılar eşittir. Bu, verilen açının karşısındaki açının verilen açıya eşit olduğu ve değerinin A'ya eşit olduğu anlamına gelir.

2. Kalan iki köşeyi bulalım. Paralelkenarda tüm açıların toplamı 360 dereceye eşit olduğundan ve karşıt açılar birbirine eşit olduğundan verilen kenarla aynı tarafa ait açının (360 - 2A)/2'ye eşit olduğu ortaya çıkar. Peki ya reformdan sonra 180 - A elde ederiz. Yani bir paralelkenarda iki açı A'ya, diğer iki açı da 180 - A'ya eşittir.

Not!
Bir açının değeri 180 dereceyi aşamaz. Elde edilen açı değerleri kolaylıkla doğrulanabilir. Bunu yapmak için bunları toplayın ve toplam 360 ise her şey doğru hesaplanır.

Yararlı tavsiye
Bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen bir paralelkenarın özel durumlarıdır; bu nedenle, açıların hesaplanmasına yönelik tüm özellikler ve yöntemler bunlar için geçerlidir.

Sorun 1. Paralelkenarın açılarından biri 65°'dir. Paralelkenarın kalan açılarını bulun.

∠C =∠A = 65° paralelkenarın zıt açılarıdır.

Paralelkenarın bir kenarına bitişik açı olarak ∠A +∠B = 180°.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

Bir paralelkenarın zıt açıları olarak ∠D =∠B = 115°.

Cevap: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Görev 2. Paralelkenarın iki açısının toplamı 220°'dir. Paralelkenarın açılarını bulun.

Bir paralelkenarın 2 eşit dar açısı ve 2 eşit geniş açısı olduğundan, bize iki geniş açının toplamı verilir; ∠B +∠D = 220°. O zaman ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

Paralelkenarın bir kenarına bitişik açılar olarak ∠A + ∠B = 180°, yani ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. O halde ∠C =∠A = 70°.

Cevap: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Görev 3. Paralelkenarın açılarından biri diğerinin 3 katıdır. Paralelkenarın açılarını bulun.

∠A =x olsun. O zaman ∠B = 3x. Bir paralelkenarın bir kenarına bitişik açılarının toplamının 180° olduğunu bilerek bir denklem oluşturacağız.

x = 180 : 4;

Şunu elde ederiz: ∠A = x = 45° ve ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir, dolayısıyla

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Cevap: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Görev 4. Bir dörtgenin iki paralel ve eşit kenarı varsa bu dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

Kanıt.

BD köşegenini çizelim ve Δ ADB ve Δ CBD'yi düşünelim.

AD = BC koşula göre. BD tarafı yaygındır. ∠1 = ∠2 paralel (koşullara göre) AD ve BC çizgileri ve sekant BD ile iç çapraz uzanma olarak. Bu nedenle iki tarafta Δ ADB = Δ CBD ve aralarındaki açı (üçgenlerin eşitliğinin 1. işareti). Eş üçgenlerde karşılık gelen açılar eşittir, yani ∠3 =∠4. Ve bu açılar AB ve CD düz çizgileri ve BD sekantıyla çapraz uzanan iç açılardır. Bu AB ve CD doğrularının paralel olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, bu ABCD dörtgeninde karşıt taraflar çiftler halinde paraleldir, dolayısıyla tanım gereği ABCD bir paralelkenardır ve bunun kanıtlanması gerekir.

Görev 5. Paralelkenarın iki kenarının oranı 2'dir : 5 ve çevresi 3,5 m olan paralelkenarın kenarlarını bulun.

∙ (AB + AD).

Bir kısmı x ile gösterelim. o zaman AB = 2x, AD = 5x metre. Paralelkenarın çevresinin 3,5 m olduğunu bilerek denklemi oluşturuyoruz:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Bir kısım 0,25 m ise AB = 2'dir. ∙ 0,25 = 0,5m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Muayene.

Paralelkenarın çevresi P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan CD = AB = 0,25 m; BC = MS = 1,25 m.

Cevap: CD = AB = 0,25 m; BC = MS = 1,25 m.

Tıpkı Öklid geometrisinde olduğu gibi, düzlem teorisinin ana unsurları bir nokta ve düz bir çizgidir, dolayısıyla paralelkenar da dışbükey dörtgenlerin temel şekillerinden biridir. Ondan, bir topun iplikleri gibi, "dikdörtgen", "kare", "eşkenar dörtgen" ve diğer geometrik büyüklükler kavramları akar.

Temas halinde

paralelkenarın tanımı

dışbükey dörtgen, Her bir çifti paralel olan doğru parçalarından oluşan geometriye paralelkenar denir.

Klasik bir paralelkenarın neye benzediği bir ABCD dörtgeniyle tasvir edilmiştir. Kenarlara tabanlar (AB, BC, CD ve AD), herhangi bir köşeden bu köşenin karşısındaki kenara çizilen dikmeye yükseklik (BE ve BF), AC ve BD doğrularına köşegenler adı verilir.

Dikkat! Kare, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen paralelkenarın özel durumlarıdır.

Kenarlar ve açılar: ilişkinin özellikleri

Genel olarak temel özellikler, atamanın kendisi tarafından önceden belirlenmiş teoremi ile kanıtlanırlar. Bu özellikler aşağıdaki gibidir:

1. Zıt taraflar çiftler halinde aynıdır.
2. Karşılıklı açılar çiftler halinde eşittir.

İspat: ABCD dörtgeninin AC düz çizgisine bölünmesiyle elde edilen ∆ABC ve ∆ADC'yi düşünün. ∠BCA=∠CAD ve ∠BAC=∠ACD, çünkü AC onlar için ortaktır ( dikey açılar sırasıyla BC||AD ve AB||CD için). Bundan şu sonuç çıkar: ∆ABC = ∆ADC (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti).

∆ABC'deki AB ve BC doğru parçaları çiftler halinde ∆ADC'deki CD ve AD doğrularına karşılık gelir, bu da onların aynı olduğu anlamına gelir: AB = CD, BC = AD. Dolayısıyla ∠B, ∠D'ye karşılık gelir ve eşittirler. ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD de ikili özdeş olduğundan, ∠A = ∠C olur. Özelliği kanıtlanmıştır.

Bir şeklin köşegenlerinin özellikleri

Ana özellik Bir paralelkenarın bu çizgilerinin: kesişme noktası onları ikiye böler.

İspat: ABCD şeklinin AC ve BD köşegenlerinin kesişme noktası olsun. İki orantılı üçgen oluştururlar - ∆ABE ve ∆CDE.

AB=CD zıt oldukları için. Doğrulara ve sekantlara göre ∠ABE = ∠CDE ve ∠BAE = ∠DCE.

Eşitliğin ikinci kriterine göre ∆ABE = ∆CDE. Bu, ∆ABE ve ∆CDE elemanlarının: AE = CE, BE = DE olduğu ve aynı zamanda AC ve BD'nin orantılı parçaları olduğu anlamına gelir. Özelliği kanıtlanmıştır.

Bitişik köşelerin özellikleri

Bitişik kenarların açılarının toplamı 180°'ye eşittir, çünkü paralel doğruların ve bir çaprazın aynı tarafında yer alırlar. ABCD dörtgeni için:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180°

Ortayörün özellikleri:

1. bir tarafa indirilmiş, diktir;
2. zıt köşelerin paralel açıortayları vardır;
3. bir açıortay çizilerek elde edilen üçgen ikizkenar olacaktır.

Teoremi kullanarak bir paralelkenarın karakteristik özelliklerinin belirlenmesi

Bu şeklin özellikleri, aşağıdakileri ifade eden ana teoreminden kaynaklanmaktadır: bir dörtgen bir paralelkenar olarak kabul edilir köşegenlerinin kesişmesi durumunda ve bu nokta onları eşit parçalara böler.

İspat: ABCD dörtgeninin AC ve BD doğrularının kesiştiğine izin verin; ∠AED = ∠BEC ve AE+CE=AC BE+DE=BD olduğuna göre, ∆AED = ∆BEC (üçgenlerin eşitliğine ilişkin ilk kritere göre). Yani ∠EAD = ∠ECB. Bunlar aynı zamanda AD ve BC doğruları için AC keseninin iç çapraz açılarıdır. Dolayısıyla paralelliğin tanımı gereği - AD || M.Ö. BC ve CD doğrularının da benzer bir özelliği türetilmiştir. Teorem kanıtlandı.

Bir şeklin alanının hesaplanması

Bu rakamın alanı çeşitli yöntemlerle bulundu En basitlerinden biri: yüksekliğin ve çizildiği tabanın çarpılması.

Kanıt: B ve C köşelerinden BE ve CF dikmelerini çizin. AB = CD ve BE = CF olduğundan ∆ABE ve ∆DCF eşittir. ABCD, orantılı rakamlardan oluştuğu için EBCF dikdörtgeninin boyutuna eşittir: S ABE ve S EBCD'nin yanı sıra S DCF ve S EBCD. Bundan şu sonuç çıkıyor: bunun alanı geometrik şekil dikdörtgenle aynı şekilde bulunur:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Paralelkenarın alanının genel formülünü belirlemek için yüksekliği şu şekilde gösterelim: hb ve yan - B. Sırasıyla:

Alanı bulmanın diğer yolları

Alan hesaplamaları paralelkenarın kenarları ve açı boyunca Oluşturdukları yöntem ise bilinen ikinci yöntemdir.

,

Spr-ma - alan;

a ve b onun kenarlarıdır

α, a ve b bölümleri arasındaki açıdır.

Bu yöntem pratik olarak ilkine dayanmaktadır, ancak bilinmemesi durumunda. her zaman kesiliyor dik üçgen parametreleri trigonometrik özdeşlikler tarafından bulunan, yani . İlişkiyi dönüştürerek şunu elde ederiz. Birinci yöntemin denkleminde yüksekliği bu çarpımla değiştirip bu formülün geçerliliğinin kanıtını elde ediyoruz.

Paralelkenarın köşegenleri ve açısı boyunca, kesiştiklerinde oluşturdukları alanı da bulabilirsiniz.

Kanıt: AC ve BD dört üçgen oluşturacak şekilde kesişir: ABE, BEC, CDE ve AED. Toplamları bu dörtgenin alanına eşittir.

Bu ∆'ların her birinin alanı, a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB olmak üzere ifadeyle bulunabilir. O zamandan beri hesaplamalar tek bir sinüs değeri kullanıyor. Yani . AE+CE=AC= d 1 ve BE+DE=BD= d 2 olduğundan alan formülü şu şekilde azalır:

.

Vektör cebirinde uygulama

Bu dörtgeni oluşturan parçaların özellikleri, vektör cebirinde, yani iki vektörün toplanmasında uygulama alanı bulmuştur. Paralelkenar kuralı şunu belirtir: vektörler verilirseVeOlumsuzeşdoğrusal ise, bunların toplamı, tabanları bu vektörlere karşılık gelen bu şeklin köşegenine eşit olacaktır.

Kanıt: keyfi olarak seçilmiş bir başlangıçtan - yani. - vektörler oluşturun ve . Daha sonra, OA ve OB bölümlerinin kenar olduğu bir paralelkenar OASV oluşturuyoruz. Dolayısıyla işletim sistemi vektöre veya toplama dayalıdır.

Paralelkenarın parametrelerini hesaplamak için formüller

Kimlikler aşağıdaki koşullar altında verilir:

1. a ve b, α - taraflar ve aralarındaki açı;
2. d 1 ve d 2, γ - köşegenler ve kesişme noktalarında;
3. h a ve h b - a ve b taraflarına indirilen yükseklikler;

Parametre	Formül
Tarafları bulmak
köşegenler boyunca ve aralarındaki açının kosinüsü
köşegenler ve kenarlar boyunca
yükseklik ve karşı tepe noktası boyunca
Köşegen uzunluğunu bulma
yanlarda ve aralarındaki tepenin büyüklüğü

Paralelkenar, karşılıklı kenarların çiftler halinde paralel olduğu bir dörtgendir.

Paralelkenar dörtgenlerin tüm özelliklerine sahiptir, ancak buna ek olarak kendine ait özellikleri de vardır. ayırt edici özellikleri. Bunları bildiğimiz için paralelkenarın hem kenarlarını hem de açılarını kolaylıkla bulabiliriz.

Paralelkenarın özellikleri

1. Herhangi bir dörtgende olduğu gibi herhangi bir paralelkenarın açılarının toplamı 360°'dir.
2. Paralelkenarın orta çizgileri ve köşegenleri bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye bölünür. Bu noktaya genellikle paralelkenarın simetri merkezi denir.
3. Paralelkenarın karşılıklı kenarları her zaman eşittir.
4. Ayrıca bu şeklin her zaman eşit zıt açıları vardır.
5. Paralelkenarın herhangi bir kenarına komşu olan açıların toplamı her zaman 180°'dir.
6. Paralelkenarın köşegenlerinin karelerinin toplamı, bitişik iki kenarın karelerinin toplamının iki katına eşittir. Bu, aşağıdaki formülle ifade edilir:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), burada d 1 ve d 2 köşegenlerdir, a ve b bitişik kenarlardır.
7. Geniş açının kosinüsü her zaman sıfırdan küçüktür.

Bu özellikleri pratikte kullanarak belirli bir paralelkenarın açıları nasıl bulunur? Peki başka hangi formüller bu konuda bize yardımcı olabilir? Aşağıdakileri gerektiren belirli görevlere bakalım: bir paralelkenarın açılarını bulma.

Paralelkenarın açılarını bulma

Durum 1. Geniş açının ölçüsü biliniyor; dar açıyı bulmamız gerekiyor.

Örnek: ABCD paralelkenarında A açısı 120°'dir. Kalan açıların ölçüsünü bulun.

Çözüm: 5 numaralı özelliği kullanarak görevde verilen açıya komşu olan B açısının ölçüsünü bulabiliriz. Şuna eşit olacaktır:

• 180°-120°= 60°

Ve şimdi, 4 numaralı özelliği kullanarak, kalan iki C ve D açısının, daha önce bulduğumuz açılara zıt olduğunu belirliyoruz. C açısı A açısının karşısında, D açısı B açısının karşısındadır. Bu nedenle çiftler halinde eşittirler.

• Cevap: B = 60°, C = 120°, D=60°

Durum 2. Kenarların ve köşegenlerin uzunlukları biliniyor

Bu durumda kosinüs teoremini kullanmamız gerekir.

Önce ihtiyacımız olan açının kosinüsünü bir formül kullanarak hesaplayabilir, ardından özel bir tablo kullanarak açının neye eşit olduğunu bulabiliriz.

İçin dar açı formül şudur:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), burada
• a istenilen dar açıdır,
• A ve B paralelkenarın kenarlarıdır,
• d - daha küçük diyagonal

Geniş bir açı için formül biraz değişir:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), burada
• ß geniş bir açıdır,
• A ve B kenarlardır
• D - büyük diyagonal

Örnek: Kenarları 6 cm ve 3 cm olan ve daha küçük köşegeni 5,2 cm olan bir paralelkenarın dar açısını bulmanız gerekir.

Dar açıyı bulmak için değerleri formülde değiştirin:

• kosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• kosa = 1/2. Tablodan istenilen açının 60° olduğunu görüyoruz.

Paralelkenar, karşıt kenarları paralel olan, yani paralel çizgiler üzerinde uzanan bir dörtgendir (Şekil 1).

Teorem 1. Paralelkenarın kenarları ve açılarının özellikleri. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir, karşılıklı açılar eşittir ve paralelkenarın bir kenarına komşu açıların toplamı 180°'dir.

Kanıt. Bu ABCD paralelkenarında bir AC köşegeni çiziyoruz ve iki ABC ve ADC üçgeni elde ediyoruz (Şekil 2).

∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (paralel çizgiler için çapraz açılar) ve AC tarafı ortak olduğundan bu üçgenler eşittir. Δ ABC = Δ ADC eşitliğinden AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D sonucu çıkar. Bir tarafa komşu olan açıların, örneğin A ve D açılarının toplamı, tek taraflı olarak 180°'ye eşittir. paralel çizgiler için. Teorem kanıtlandı.

Yorum. Bir paralelkenarın karşıt kenarlarının eşitliği, paralel olanlarla kesilen paralel parçalarının eşit olduğu anlamına gelir.

Sonuç 1. Eğer iki doğru paralelse, bir doğru üzerindeki tüm noktalar diğer doğruya aynı uzaklıkta olur.

Kanıt. Aslında, bir || b (Şekil 3).

b doğrusunun bazı iki B ve C noktasından a düz çizgisine BA ve CD dik çizgileri çizelim. AB'den beri || CD ise ABCD şekli bir paralelkenardır ve bu nedenle AB = CD'dir.

İki paralel çizgi arasındaki mesafe, çizgilerden birinin üzerindeki rastgele bir noktadan diğer çizgiye olan mesafedir.

Kanıtlanmış olana göre paralel doğrulardan birinin bir noktasından diğer doğruya çizilen dikmenin uzunluğuna eşittir.

Örnek 1. Paralelkenarın çevresi 122 cm olup bir kenarı diğerinden 25 cm daha büyüktür.

Çözüm. Teorem 1'e göre paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir. Paralelkenarın bir tarafını x, diğer tarafını y ile gösterelim. Daha sonra $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right koşuluna göre.$$ Bu sistemi çözerek x = 43, y = 18 elde ederiz. Böylece paralelkenarın kenarları 18, 43, 18 ve 43 cm olur.

Örnek 2.

Çözüm. Şekil 4'ün problemin koşullarını sağlamasına izin verin.

AB'yi x ile, BC'yi y ile gösterelim. Koşula göre paralelkenarın çevresi 10 cm yani 2(x + y) = 10 veya x + y = 5'tir. ABD üçgeninin çevresi 8 cm'dir. Ve AB + AD = x + y = olduğundan. 5 sonra BD = 8 - 5 = 3. Yani BD = 3 cm.

Örnek 3. Birinin diğerinden 50° büyük olduğunu bilerek paralelkenarın açılarını bulun.

Çözüm. Şekil 5 problemin koşullarını karşılasın.

A açısının derece ölçüsünü x ile gösterelim. Daha sonra derece ölçüsü D açısı x + 50°'ye eşittir.

BAD ve ADC açıları, AB ve DC paralel çizgileri ve AD kesenleri olan tek taraflı iç açılardır. O zaman adı geçen bu açıların toplamı 180° olacaktır.
x + x + 50° = 180° veya x = 65°. Böylece, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Örnek 4. Paralelkenarın kenarları 4,5 dm ve 1,2 dm'dir. Bir dar açının tepe noktasından bir açıortay çizilir. Hangi parçalara ayrılır? büyük taraf paralelkenar?

Çözüm. Şekil 6 problemin koşullarını karşılasın.

AE, paralelkenarın dar açısının açıortayıdır. Bu nedenle, ∠ 1 = ∠ 2.