Tanım. Prizma tüm köşeleri iki paralel düzlemde bulunan bir çokyüzlüdür ve bu aynı iki düzlemde prizmanın iki yüzü bulunur, bunlar karşılık gelen paralel kenarlara sahip eşit çokgenlerdir ve bu düzlemlerde yer almayan tüm kenarlar paraleldir.

İki eşit yüzler denir prizma üsleri(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmanın diğer tüm yüzlerine denir yan yüzler(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tüm yan yüzler oluşur prizmanın yan yüzeyi .

Prizmanın tüm yan yüzleri paralelkenardır .

Tabanlarda yer almayan kenarlara prizmanın yan kenarları denir ( AA 1, BB 1, CC 1, GG 1, EE 1).

Prizma diyagonal uçları bir prizmanın aynı yüzünde yer almayan iki köşesi olan bir segmenttir (MS 1).

Prizmanın tabanlarını birleştiren ve her iki tabana aynı anda dik olan doğru parçasının uzunluğuna ne ad verilir? prizma yüksekliği .

Tanım:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Önce çaprazlama sırasına göre bir tabanın köşeleri gösterilir ve ardından aynı sırayla diğerinin köşeleri gösterilir; her bir yan kenarın uçları aynı harflerle gösterilir, yalnızca bir tabanda yer alan köşeler indekssiz harflerle ve diğerinde - indeksli)

Prizmanın adı, tabanındaki şekildeki açıların sayısıyla ilişkilidir, örneğin Şekil 1'de tabanda bir beşgen vardır, dolayısıyla prizmaya denir beşgen prizma. Ama çünkü böyle bir prizmanın 7 yüzü vardır, o zaman yediyüzlü(2 yüz - prizmanın tabanları, 5 yüz - paralelkenarlar, - yan yüzleri)

Düz prizmalar arasında göze çarpıyor özel görünüm: doğru prizmalar.

Düz prizmaya denir doğru, tabanları düzgün çokgenler ise.

Paralel borulu

Dikdörtgen paralel yüzlü- tabanı dikdörtgen olan sağ paralel yüzlü.

Özellikler ve teoremler:

,

burada d karenin köşegenidir;
a karenin kenarıdır.

Bir prizma fikri şu şekilde verilir:

• çeşitli mimari yapılar;
• çocuk oyuncakları;
• ambalaj kutuları;
• tasarımcı öğeleri vb.

Prizmanın toplam ve yan yüzeyinin alanı

S dolu = S tarafı + 2S ana,

Nerede S dolu- toplam yüzey alanı, S tarafı-yan yüzey alanı, S tabanı- üs alanı

Düz bir prizmanın yan yüzey alanı, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir..

S tarafı= P temel * h,

Nerede S tarafı-düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı,

P ana - düz bir prizmanın tabanının çevresi,

h, düz prizmanın yan kenara eşit yüksekliğidir.

Prizma hacmi

Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

İÇİNDE okul müfredatı Bir stereometri kursunda, üç boyutlu şekillerin incelenmesi genellikle basit bir geometrik cisimle (bir prizmanın çokyüzlüsü) başlar. Tabanlarının rolü paralel düzlemlerde uzanan 2 eşit çokgen tarafından gerçekleştirilir. Özel bir durum, düzenli bir dörtgen prizmadır. Tabanları, kenarları dik olan, paralelkenar (veya prizma eğimli değilse dikdörtgen) şeklinde olan 2 özdeş normal dörtgendir.

Bir prizma neye benziyor?

Düzenli bir dörtgen prizma, tabanları 2 kare olan ve yan yüzleri dikdörtgenlerle temsil edilen bir altıgendir. Bunun başka bir adı geometrik şekil- düz paralel yüzlü.

Aşağıda dörtgen prizmayı gösteren bir çizim gösterilmektedir.

Resimde de görebilirsiniz temel elementler geometrik gövdenin oluştuğu. Bunlar şunları içerir:

Bazen geometri problemlerinde kesit kavramıyla karşılaşabilirsiniz. Tanım şu şekilde olacaktır: bir bölüm, bir kesme düzlemine ait hacimsel bir gövdenin tüm noktalarıdır. Bölüm dik olabilir (şeklin kenarlarıyla 90 derecelik bir açıyla kesişir). Dikdörtgenler prizması için, tabanın 2 kenarından ve köşegenlerinden geçen çapraz bir bölüm de dikkate alınır (yapılabilecek maksimum bölüm sayısı 2'dir).

Kesit, kesme düzlemi tabanlara veya yan yüzlere paralel olmayacak şekilde çizilirse sonuç kesik bir prizma olur.

Verilen prizmatik elemanları bulmak için çeşitli ilişkiler ve formüller kullanılır. Bunlardan bazıları planimetri dersinden bilinmektedir (örneğin bir prizmanın tabanının alanını bulmak için karenin alan formülünü hatırlamak yeterlidir).

Yüzey alanı ve hacim

Formülü kullanarak bir prizmanın hacmini belirlemek için tabanının ve yüksekliğinin alanını bilmeniz gerekir:

V = Sbas h

Düzenli bir tetrahedral prizmanın tabanı bir kenarı olan bir kare olduğundan A, Formülü daha ayrıntılı biçimde yazabilirsiniz:

V = a²·h

Bir küpten bahsediyorsak - normal bir prizma eşit uzunluk, genişlik ve yükseklik, hacim şu şekilde hesaplanır:

Bir prizmanın yan yüzey alanını nasıl bulacağınızı anlamak için onun gelişimini hayal etmeniz gerekir.

Çizimden açıkça görülüyor ki yan yüzey 4 eşit dikdörtgenden oluşur. Alanı, tabanın çevresinin ve şeklin yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır:

S tarafı = Pozn h

Karenin çevresinin eşit olduğunu dikkate alırsak P = 4a, formül şu şekli alır:

S tarafı = 4a saat

Küp için:

Kenar = 4a²

Prizmanın toplam yüzey alanını hesaplamak için yan alana 2 taban alanı eklemeniz gerekir:

Tam = Yan Taraf + 2K Ana

Dörtgen düzenli prizmayla ilgili olarak formül şöyle görünür:

Toplam = 4a h + 2a²

Bir küpün yüzey alanı için:

Tam = 6a²

Hacmi veya yüzey alanını bilerek geometrik bir cismin bireysel elemanlarını hesaplayabilirsiniz.

Prizma elemanlarını bulma

Çoğu zaman hacmin verildiği veya yan yüzey alanının değerinin bilindiği, tabanın yan tarafının uzunluğunun veya yüksekliğinin belirlenmesinin gerekli olduğu problemler vardır. Bu gibi durumlarda formüller türetilebilir:

• taban yan uzunluğu: a = Skenar / 4h = √(V / h);
• yükseklik veya yan kaburga uzunluğu: h = Syan / 4a = V / a²;
• taban alanı: Sbas = V/h;
• yan yüz alanı: Taraf gr = Yan taraf / 4.

Çapraz bölümün ne kadar alana sahip olduğunu belirlemek için köşegenin uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. Bir kare için d = a√2. Bundan şu sonuç çıkıyor:

Sdiag = ah√2

Bir prizmanın köşegenini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

dödülü = √(2a² + h²)

Verilen ilişkilerin nasıl uygulanacağını anlamak için birkaç basit görevi uygulayabilir ve çözebilirsiniz.

Çözümlü problem örnekleri

Matematikte devlet final sınavlarında bulunan bazı görevler.

Görev 1.

Kum, düzenli dörtgen prizma şeklindeki bir kutuya dökülür. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir. Tabanı iki kat daha uzun olan aynı şekle sahip bir kaba koyarsanız kum seviyesi ne olur?

Aşağıdaki gibi gerekçelendirilmelidir. Birinci ve ikinci kaplardaki kum miktarı değişmedi yani içlerindeki hacim aynı. Tabanın uzunluğunu şu şekilde belirtebilirsiniz: A. Bu durumda ilk kutu için maddenin hacmi şöyle olacaktır:

V₁ = ha² = 10a²

İkinci kutu için tabanın uzunluğu 2a, ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

O zamandan beri V₁ = V₂ ifadeleri eşitleyebiliriz:

10a² = 4ha²

Denklemin her iki tarafını da a² azaltınca şunu elde ederiz:

Sonuç olarak yeni seviye kum olacak h = 10 / 4 = 2,5 santimetre.

Görev 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ doğru bir prizmadır. BD = AB₁ = 6√2 olduğu bilinmektedir. Vücudun toplam yüzey alanını bulun.

Hangi unsurların bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir şekil çizebilirsiniz.

Düzenli bir prizmadan bahsettiğimize göre tabanda köşegeni 6√2 olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı boyuta sahiptir, bu nedenle yan yüz de tabana eşit bir kare şekline sahiptir. Üç boyutun da (uzunluk, genişlik ve yükseklik) eşit olduğu ortaya çıktı. ABCDA₁B₁C₁D₁'nin bir küp olduğu sonucuna varabiliriz.

Herhangi bir kenarın uzunluğu bilinen bir köşegen aracılığıyla belirlenir:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Toplam yüzey alanı küp formülü kullanılarak bulunur:

Tam = 6a² = 6 6² = 216

Görev 3.

Oda yenileniyor. Zemininin 9 m² alana sahip kare şeklinde olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir. 1 m² 50 rubleye mal olursa, bir odayı duvar kağıdıyla kaplamanın en düşük maliyeti nedir?

Zemin ve tavan kare yani düzgün dörtgen olduğundan ve duvarları yatay yüzeylere dik olduğundan düzgün prizma olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gereklidir.

Odanın uzunluğu bir = √9 = 3 M.

Alan duvar kağıdıyla kaplanacak Kenar = 4 3 2,5 = 30 m².

Bu oda için en düşük duvar kağıdı maliyeti 50.30 = 1500 ruble

Böylece sorunları çözmek için dikdörtgen prizma Bir kare ve dikdörtgenin alanını ve çevresini hesaplayabilmek, hacim ve yüzey alanı bulma formüllerini bilmek yeterlidir.

Bir küpün alanı nasıl bulunur

Çokyüzlüler

Stereometri çalışmasının ana amacı mekansal cisimlerdir. Vücut belirli bir yüzeyle sınırlı uzayın bir bölümünü temsil eder.

Çokyüzlü yüzeyi sonlu sayıda düz çokgenden oluşan bir cisimdir. Bir çokyüzlü, yüzeyindeki her düzlem çokgenin düzleminin bir tarafında yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Böyle bir düzlemin ve bir çokyüzlünün yüzeyinin ortak kısmına denir. kenar. Dışbükey bir çokyüzlünün yüzleri düz dışbükey çokgenlerdir. Yüzlerin kenarlarına denir çokyüzlünün kenarları ve köşeler çokyüzlünün köşeleri.

Örneğin bir küp, yüzleri olan altı kareden oluşur. 12 kenar (karelerin kenarları) ve 8 köşe (karelerin üst kısımları) içerir.

En basit çokyüzlüler, daha fazla inceleyeceğimiz prizmalar ve piramitlerdir.

Prizma

Prizmanın tanımı ve özellikleri

Prizma paralel öteleme ile birleştirilen paralel düzlemlerde uzanan iki düz çokgenden ve bu çokgenlerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan bir çokyüzlüdür. Çokgenlere denir prizma üsleri ve çokgenlerin karşılık gelen köşelerini birleştiren bölümler prizmanın yan kenarları.

Prizma yüksekliği tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafeye denir (). Bir prizmanın aynı yüze ait olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? prizma diyagonal(). Prizma denir n-karbon, eğer tabanı bir n-gon içeriyorsa.

Herhangi bir prizma, prizmanın tabanlarının paralel öteleme ile birleştirilmesinden kaynaklanan aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Prizmanın tabanları eşittir.

2. Prizmanın yan kenarları paralel ve eşittir.

Prizmanın yüzeyi tabanlardan oluşur ve yan yüzey. Prizmanın yan yüzeyi paralelkenarlardan oluşur (bu prizmanın özelliklerinden kaynaklanır). Bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, yan yüzlerin alanlarının toplamıdır.

Düz prizma

Prizma denir doğrudan yan kenarları tabanlara dik ise. Aksi takdirde prizma denir eğimli.

Dik prizmanın yüzleri dikdörtgendir. Düz prizmanın yüksekliği yan yüzlerine eşittir.

Tam prizma yüzeyi yan yüzey alanı ile taban alanlarının toplamına denir.

Doğru prizma ile tabanında düzgün bir çokgen bulunan dik prizma denir.

Teorem 13.1. Düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, çevrenin çarpımına ve prizmanın yüksekliğine (veya aynı olan yan kenara) eşittir.

Kanıt. Sağ prizmanın yan yüzleri dikdörtgenlerdir; tabanları prizmanın tabanlarındaki çokgenlerin kenarlarıdır ve yükseklikleri prizmanın yan kenarlarıdır. O halde tanım gereği yan yüzey alanı şöyledir:

,

düz prizmanın tabanının çevresi nerede?

Paralel borulu

Paralelkenarlar prizmanın tabanlarında bulunuyorsa buna denir. paralel yüzlü. Paralelkenarın tüm yüzleri paralelkenardır. Bu durumda paralel yüzün karşıt yüzleri paralel ve eşittir.

Teorem 13.2. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve kesişme noktasıyla ikiye bölünür.

Kanıt. Örneğin iki keyfi köşegen düşünün ve . Çünkü bir paralelyüzün yüzleri paralelkenardır, o zaman ve , bu da To'ya göre üçüncüye paralel iki düz çizgi olduğu anlamına gelir. Ayrıca bu, düz doğruların ve aynı düzlemde (düzlem) yer aldığı anlamına gelir. Bu düzlem paralel düzlemlerle ve paralel doğrular boyunca kesişir ve . Dolayısıyla, bir dörtgen bir paralelkenardır ve paralelkenarın özelliği gereği köşegenleri kesişir ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünür ki bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüzlüye denir dikdörtgen paralel yüzlü. Dikdörtgen paralel borunun tüm yüzleri dikdörtgendir. Dikdörtgen bir paralel borunun paralel olmayan kenarlarının uzunluklarına denir. doğrusal boyutlar(ölçümler). Bu tür üç boyut vardır (genişlik, yükseklik, uzunluk).

Teorem 13.3. Dikdörtgen bir paralel boruda herhangi bir köşegenin karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir. (Pisagor T'nin iki kez uygulanmasıyla kanıtlanmıştır).

Tüm kenarları eşit olan dikdörtgen paralelyüzlüye ne ad verilir? küp.

Görevler

13.1 Kaç tane köşegeni var? N-karbon prizması

13.2 Eğik bir üçgen prizmada yan kenarlar arasındaki mesafeler 37, 13 ve 40'tır. Büyük kenar ile karşı kenar arasındaki mesafeyi bulun.

13.3 Düzenli bir üçgen prizmanın alt tabanının yanından, yan yüzleri aralarında bir açıyla bölümler boyunca kesişen bir düzlem çizilir. Bu düzlemin prizmanın tabanına olan eğim açısını bulun.

Çeşitli şekillerin (noktalar, çizgiler, açılar, iki boyutlu ve üç boyutlu nesneler) özelliklerini, boyutlarını ve göreceli konumlarını inceleyen bir matematik dalı. Öğretme kolaylığı için geometri planimetri ve stereometriye ayrılmıştır. İÇİNDE… … Collier Ansiklopedisi

Üçten büyük boyutlu uzayların geometrisi; Bu terim, geometrisi orijinal olarak üç boyut durumu için geliştirilen ve ancak daha sonra n>3 boyut sayısına, özellikle de Öklid uzayına genelleştirilen uzaylara uygulanır. Matematik Ansiklopedisi

N-boyutlu Öklid geometrisi, Öklid geometrisinin daha boyutlu bir uzaya genelleştirilmesidir. Rağmen fiziksel alanüç boyutludur ve insan duyuları üç boyutu, N-boyutunu algılayacak şekilde tasarlanmıştır... ... Vikipedi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Pyramidatsu (anlamlar). Makalenin bu bölümünün güvenilirliği sorgulanmıştır. Bu bölümde belirtilen bilgilerin doğruluğunu teyit etmelisiniz. Tartışma sayfasında açıklamalar olabilir... Vikipedi

- Modellemede kullanılan (Constructive Solid Geometry, CSG) teknolojisi katılar. Yapıcı blok geometrisi her zaman olmasa da çoğu zaman 3D grafiklerde ve CAD'de modellemenin yoludur. Karmaşık bir sahne oluşturmanıza veya... Vikipedi

Yapıcı Katı Geometri (CSG), katıların modellenmesinde kullanılan bir teknolojidir. Yapıcı blok geometrisi her zaman olmasa da çoğu zaman 3D grafiklerde ve CAD'de modellemenin yoludur. O... ... Vikipedi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Cilt (anlamlar). Hacim, kapladığı alan alanının kapasitesini karakterize eden bir kümenin (ölçü) toplamsal bir fonksiyonudur. Başlangıçta ortaya çıktı ve katı kurallar olmadan uygulandı... ... Vikipedi

Küp Türü Düzenli çokyüzlü Yüz kare Köşeler Kenarlar Yüzler ... Wikipedia

Hacim, kapladığı alan alanının kapasitesini karakterize eden bir kümenin (ölçü) toplamsal bir fonksiyonudur. Başlangıçta, üç boyutlu Öklid uzayının üç boyutlu cisimleriyle ilgili olarak kesin bir tanım olmaksızın ortaya çıktı ve uygulandı.... ... Vikipedi

Herhangi bir çokgenin her bir tarafı tam olarak başka bir çokgenin (... ... Collier Ansiklopedisi

Kitaplar

• Tablolar seti. Geometri. 10. sınıf. 14 tablo + metodoloji, . Tablolar 680 x 980 mm ölçülerinde kalın baskılı karton üzerine basılmaktadır. Kit, aşağıdakileri içeren bir broşür içerir: metodolojik öneriler

öğretmen için.
14 sayfalık eğitici albüm.…
Tanım 1. Prizmatik yüzey
Teorem 1. Prizmatik bir yüzeyin paralel kesitleri hakkında
Tanım 2. Prizmatik bir yüzeyin dik kesiti
Tanım 3. Prizma
Tanım 4. Prizma yüksekliği

Tanım 5. Sağ prizma
Teorem 2. Prizmanın yan yüzeyinin alanı
Paralel borulu:
Tanım 6. Paralel borulu
Teorem 3. Paralel borunun köşegenlerinin kesişimi hakkında
Tanım 7. Sağ paralel yüzlü
Tanım 8. Dikdörtgen paralel yüzlü
Tanım 9. Paralel borunun ölçümleri
Tanım 10. Küp
Tanım 11. Rhombohedron
Teorem 4. Dikdörtgen bir paralel borunun köşegenleri üzerinde
Teorem 5. Prizmanın hacmi

Prizma Teorem 6. Düz prizmanın hacmi
Teorem 7. Dikdörtgen paralel borunun hacmi iki yüzü (tabanları) paralel düzlemlerde bulunan ve bu yüzlerde bulunmayan kenarları birbirine paralel olan bir çokyüzlüdür..
Tabanlar dışındaki yüzlere denir yanal Yan yüzlerin ve tabanların kenarlarına denir prizma kaburgaları, kenarların uçlarına denir prizmanın köşeleri. Yan kaburgalar Tabanlara ait olmayan kenarlara denir. Yan yüzlerin birleşimine denir prizmanın yan yüzeyi ve tüm yüzlerin birleşimine denir prizmanın tüm yüzeyi. Prizma yüksekliğiüst taban noktasından alt taban düzlemine bırakılan dikmeye veya bu dikmenin uzunluğuna denir. Doğrudan prizma Yan kenarları taban düzlemlerine dik olan prizmaya denir.

Doğru
tabanında düzenli bir çokgen bulunan düz prizma (Şekil 3) denir.
Tanımlar:
l - yan kaburga;
P - taban çevresi;
S o - taban alanı;
H - yükseklik;
P^ - dikey kesit çevresi;
S p prizmanın toplam yüzeyinin alanıdır.

Tanım 2 . Prizmatik bir yüzeyin dik bir kesiti, bu yüzeyin kenarlarına dik bir düzlemle kesitidir. Önceki teoreme göre, aynı prizmatik yüzeyin tüm dik bölümleri eşit çokgenler olacaktır.

Tanım 3 . Prizma, prizmatik bir yüzey ve birbirine paralel (ancak prizmatik yüzeyin kenarlarına paralel olmayan) iki düzlemle sınırlanan bir çokyüzlüdür.
Bu son düzlemlerde yer alan yüzlere denir prizma üsleri; prizmatik yüzeye ait yüzler - yan yüzler; prizmatik yüzeyin kenarları - prizmanın yan kaburgaları. Önceki teoreme göre prizmanın tabanı eşit çokgenler. Prizmanın tüm yan yüzleri - paralelkenarlar; tüm yan kaburgalar birbirine eşittir.
Açıkçası, ABCDE prizmasının tabanı ve AA" kenarlarından birinin boyutu ve yönü verilirse, o zaman BB", CC", ... AA" kenarına eşit ve paralel kenarlar çizerek bir prizma oluşturmak mümkündür. .

Tanım 4 . Bir prizmanın yüksekliği, tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir (HH").

Tanım 5 . Tabanları prizmatik yüzeyin dik bölümleri ise prizmaya düz denir. Bu durumda prizmanın yüksekliği elbette yan kaburga; yan kenarlar olacak dikdörtgenler.
Prizmalar yan yüz sayısına göre sınıflandırılabilir. eşit sayıçokgenin taban görevi gören kenarları. Böylece prizmalar üçgen, dörtgen, beşgen vb. olabilir.

Teorem 2 . Prizmanın yan yüzeyinin alanı, yan kenarın ürününe ve dik bölümün çevresine eşittir.
ABCDEA"B"C"D"E" belirli bir prizma olsun ve dik kesitini abcde etsin, böylece ab, bc, .. parçaları yan kenarlarına dik olsun. ABA"B" yüzü bir paralelkenardır; alanı AA tabanının çarpımına ab ile çakışan bir yüksekliğe eşittir; ВСВ "С" yüzünün alanı, ВВ" tabanının bc yüksekliğine göre çarpımına eşittir, vb. Sonuç olarak, yan yüzey (yani yan yüzlerin alanlarının toplamı) çarpıma eşittir yan kenarın, diğer bir deyişle, toplam uzunluk ab+bc+cd+de+ea tutarı için AA", BB", .. segmentleri.