Stereometri çalışırken ana konulardan biri “Silindir”dir. Yan yüzeyin alanı, ana değilse de geometrik problemleri çözerken önemli bir formül olarak kabul edilir. Ancak örneklerde gezinmenize ve çeşitli teoremleri ispatlamanıza yardımcı olacak tanımları hatırlamak önemlidir.

Silindir konsepti

Öncelikle dikkate alınması gereken birkaç tanım var. Ancak bunları inceledikten sonra silindirin yan yüzeyinin alanı için formül sorusunu düşünmeye başlayabiliriz. Bu kayda dayanarak diğer ifadeler hesaplanabilir.

• Silindirik bir yüzey, mevcut bir eğri boyunca kayan, belirli bir yöne paralel hareket eden ve paralel kalan bir generatrix tarafından tanımlanan bir düzlem olarak anlaşılmaktadır.
• Ayrıca ikinci bir tanım daha vardır: silindirik bir yüzey, belirli bir eğriyi kesen bir dizi paralel çizgiden oluşur.
• Generatrix'e geleneksel olarak silindirin yüksekliği denir. Tabanın merkezinden geçen bir eksen etrafında hareket ettiğinde belirtilen geometrik gövde elde edilir.
• Eksen derken, şeklin her iki tabanından geçen düz bir çizgiyi kastediyoruz.
• Silindir, kesişen bir yan yüzey ve iki paralel düzlemle sınırlanan stereometrik bir gövdedir.

Bu hacimsel rakamın çeşitleri vardır:

1. Dairesel derken, kılavuzu daire olan bir silindiri kastediyoruz. Ana bileşenleri tabanın yarıçapı ve generatrixtir. İkincisi, şeklin yüksekliğine eşittir.
2. Düz bir silindir var. Adını, şekillendirme şeklinin tabanlara dik olmasından dolayı almıştır.
3. Üçüncü tip eğimli bir silindirdir. Ders kitaplarında bunun için başka bir isim bulabilirsiniz: "eğimli tabanı olan dairesel bir silindir." Bu rakam tabanın yarıçapı, minimum ve maksimum yüksekliklere göre belirlenir.
4. Eşkenar silindir, dairesel bir düzlemin eşit yüksekliğine ve çapına sahip bir gövde olarak anlaşılmaktadır.

Efsane

Geleneksel olarak silindirin ana "bileşenleri" şu şekilde adlandırılır:

• Tabanın yarıçapı R'dir (aynı zamanda stereometrik bir şeklin benzer değerinin yerini alır).
• Jeneratör - L.
• Yükseklik - H.
• Tabanın alanı S tabanıdır (yani dairenin belirtilen parametresini bulmak gerekir).
• Eğimli silindirin yükseklikleri h 1 , h 2'dir (minimum ve maksimum).
• Yan yüzey alanı S tarafıdır (açarsanız bir tür dikdörtgen elde edersiniz).
• Stereometrik bir şeklin hacmi V'dir.
• Toplam yüzey alanı - S.

Stereometrik bir şeklin "Bileşenleri"

Bir silindiri incelerken yan yüzey alanı önemli bir rol oynar. Bunun nedeni, bu formülün daha karmaşık birkaç başka formüle dahil edilmesidir. Bu nedenle teoride iyi bilgi sahibi olmak gerekir.

Şeklin ana bileşenleri şunlardır:

1. Yan yüzey. Bilindiği gibi genatrix'in belirli bir eğri boyunca hareket etmesi nedeniyle elde edilir.
2. Tam yüzey mevcut tabanları ve yan düzlemi içerir.
3. Bir silindirin kesiti, kural olarak, şeklin eksenine paralel yerleştirilmiş bir dikdörtgendir. Aksi takdirde buna uçak denir. Uzunluk ve genişliğin de diğer şekillerin bileşenleri olduğu ortaya çıktı. Yani geleneksel olarak bölümün uzunlukları jeneratörlerdir. Genişlik - stereometrik bir şeklin paralel akorları.
4. Eksenel kesit ile düzlemin gövdenin merkezinden geçen konumunu kastediyoruz.
5. Ve son olarak son bir tanım. Teğet, silindirin generatrisinden geçen ve eksenel bölüme dik açılarda bulunan bir düzlemdir. Bu durumda bir koşulun karşılanması gerekir. Belirtilen generatrix eksenel bölümün düzlemine dahil edilmelidir.

Silindirle çalışmanın temel formülleri

Bir silindirin yüzey alanının nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermek için stereometrik şeklin ana "bileşenlerini" ve bunları bulma formüllerini incelemek gerekir.

Bu formüller, ilk ifadelerin eğimli bir silindir için ve daha sonra düz bir silindir için verilmesi bakımından farklılık gösterir.

Demonte çözümlü örnekler

Silindirin yan yüzeyinin alanını bulmak gerekir. AC = 8 cm kesitinin köşegeni verilmiştir (ve ekseneldir). Generatrix ile temasa geçtiğinde ortaya çıkıyor< ACD = 30°

Çözüm. Köşegen ve açı değerleri bilindiğinden bu durumda:

• CD = AC*çünkü 30°.

Bir yorum. ACD üçgeni spesifik örnek, dikdörtgen. Bu, CD ve AC bölümünün mevcut açının kosinüsü olduğu anlamına gelir. Anlam trigonometrik fonksiyonlarözel bir tabloda bulunabilir.

Benzer şekilde AD değerini de bulabilirsiniz:

• AD = AC*sin 30°

Şimdi aşağıdaki formülasyonu kullanarak istenen sonucu hesaplamanız gerekir: silindirin yan yüzeyinin alanı, "pi", şeklin yarıçapı ve yüksekliğinin çarpımının sonucunun iki katına eşittir. Başka bir formül kullanılmalıdır: silindirin tabanının alanı. “Pi”nin yarıçapın karesiyle çarpılmasının sonucuna eşittir. Ve son olarak son formül: Toplam alanı yüzeyler. Önceki iki alanın toplamına eşittir.

Silindirler verilir. Hacimleri = 128*p cm³. Hangi silindir en küçük toplam yüzey alanına sahiptir?

Çözüm. Öncelikle bir şeklin hacmini ve yüksekliğini bulmak için formülleri kullanmanız gerekir.

Silindirin toplam yüzey alanı teoriden bilindiğinden formülünün uygulanması gerekir.

Ortaya çıkan formülü silindir alanının bir fonksiyonu olarak düşünürsek, minimum "göstergeye" uç noktada ulaşılacaktır. Son değeri elde etmek için farklılaşmayı kullanmalısınız.

Formüller, türevleri bulmak için özel bir tabloda görüntülenebilir. Daha sonra bulunan sonuç sıfıra eşitlenir ve denklemin çözümü bulunur.

Cevap: S min h = 1/32 cm, R = 64 cm'de elde edilecektir.

Stereometrik bir şekil verilmiştir - bir silindir ve bir bölüm. İkincisi, stereometrik gövdenin eksenine paralel yerleştirilecek şekilde gerçekleştirilir. Silindir şu parametrelere sahiptir: VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm Kesit ile eksen arasındaki mesafeyi bulmak gerekir.

Bir silindirin kesiti VSKM, yani bir dikdörtgen olarak anlaşıldığından, tarafı BM = h olur. VMC'nin dikkate alınması gerekir. Bir üçgen dik bir üçgendir. Bu ifadeye dayanarak MK = BC şeklindeki doğru varsayımı çıkarabiliriz.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

Buradan MK = BC = 8 cm olduğu sonucuna varabiliriz.

Bir sonraki adım, şeklin tabanından bir bölüm çizmektir. Ortaya çıkan düzlemi dikkate almak gerekir.

AD stereometrik bir şeklin çapıdır. Sorun ifadesinde belirtilen bölüme paraleldir.

BC, mevcut dikdörtgenin düzleminde bulunan düz bir çizgidir.

ABCD - yamuk. Bu özel durumda, etrafında bir daire çevrelendiği için ikizkenar olarak kabul edilir.

Ortaya çıkan yamuğun yüksekliğini bulursanız problemin başında verilen cevaba ulaşabilirsiniz. Yani: eksen ile çizilen bölüm arasındaki mesafeyi bulmak.

Bunu yapmak için AD ve OS değerlerini bulmanız gerekir.

Cevap: Bölüm eksenden 3 cm uzaktadır.

Malzemeyi pekiştirme görevleri

Bir silindir verildi. Yan yüzey alanı sonraki çözümde kullanılır. Diğer parametreler bilinmektedir. Taban alanı Q, eksenel kesit alanı M'dir. S'yi bulmak gerekir. Yani silindirin toplam alanıdır.

Bir silindir verildi. Yan yüzeyin alanı, problemin çözüm adımlarından birinde bulunmalıdır. Yükseklik = 4 cm, yarıçap = 2 cm olduğu bilinmektedir. Stereometrik şeklin toplam alanını bulmak gerekir.

Silindirle ilgili çok sayıda sorun vardır. İçlerinde vücudun yarıçapını ve yüksekliğini veya bölümünün türünü bulmanız gerekir. Ayrıca bazen bir silindirin alanını ve hacmini hesaplamanız gerekir.

Hangi cisim silindirdir?

Biliyorum Okul müfredatı tabanda bulunan dairesel bir silindir incelenmektedir. Ancak bu figürün eliptik görünümü de dikkat çekiyor. İsminden tabanının elips veya oval olacağı açıktır.

Silindirin iki tabanı vardır. Birbirlerine eşittirler ve tabanların karşılık gelen noktalarını birleştiren bölümlerle bağlanırlar. Bunlara silindirin jeneratörleri denir. Tüm jeneratörler birbirine paralel ve eşittir. Vücudun yan yüzeyini oluştururlar.

İÇİNDE Genel dava Silindir eğimli bir cisimdir. Jeneratörler tabanlarla dik açı yapıyorsa düz bir şekilden bahsediyoruz.

İlginç bir şekilde, dairesel bir silindir bir devrim gövdesidir. Bir dikdörtgenin kenarlarından birinin etrafında döndürülmesiyle elde edilir.

Silindirin ana elemanları

Silindirin ana elemanları buna benzer.

1. Yükseklik. Silindirin tabanları arasındaki en kısa mesafedir. Düz ise, yükseklik generatrix ile çakışır.
2. Yarıçap. Tabanda çizilebilecek olanla çakışıyor.
3. Eksen. Bu, her iki tabanın merkezlerini içeren düz bir çizgidir. Eksen her zaman tüm jeneratörlere paraleldir. Düz silindirde tabanlara diktir.
4. Eksenel bölüm. Bir silindir, bir eksen içeren bir düzlemle kesiştiğinde oluşur.
5. Teğet düzlem. Generatrislerin birinden geçer ve bu generatris boyunca çizilen eksenel kesite diktir.

Bir silindir, içine yazılan veya çevresinde tarif edilen bir prizmaya nasıl bağlanır?

Bazen bir silindirin alanını hesaplamanız gereken problemler olabilir, ancak ilgili prizmanın bazı elemanları bilinmektedir. Bu rakamların birbiriyle ilişkisi nedir?

Bir silindirin içine bir prizma yazılmışsa, tabanları eşit çokgenlerdir. Ayrıca silindirin karşılık gelen tabanlarına da yazılmıştır. Prizmanın yan kenarları jeneratörlerle çakışmaktadır.

Tanımlanan prizmanın tabanında düzenli çokgenler vardır. Tabanları olan silindirin daireleri etrafında tanımlanırlar. Prizmanın yüzlerini içeren düzlemler, jeneratörleri boyunca silindire temas eder.

Sağ dairesel bir silindir için yan yüzey ve taban alanında

Yan yüzeyi açarsanız bir dikdörtgen elde edersiniz. Yanları generatrix ve tabanın çevresi ile çakışacaktır. Dolayısıyla silindirin yan alanı bu iki miktarın çarpımına eşit olacaktır. Formülü yazarsanız aşağıdakileri elde edersiniz:

S tarafı = l * n,

burada n jeneratördür, l çevredir.

Ayrıca, son parametre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

ben = 2 π * r,

burada r dairenin yarıçapıdır, π ise 3,14'e eşit "pi" sayısıdır.

Taban bir daire olduğundan alanı aşağıdaki ifade kullanılarak hesaplanır:

S ana = π * r2 .

Dik dairesel bir silindirin tüm yüzeyinin alanında

İki taban ve bir yan yüzeyden oluştuğu için bu üç miktarın eklenmesi gerekir. Yani silindirin toplam alanı aşağıdaki formülle hesaplanacaktır:

S katı = 2 π * r * n + 2 π * r2 .

Genellikle farklı bir biçimde yazılır:

S katı = 2 π * r (n + r).

Eğik dairesel silindirin alanlarında

Tabanlara gelince, tüm formüller aynıdır çünkü bunlar hala daire şeklindedir. Ancak yan yüzey artık bir dikdörtgen vermiyor.

Eğimli bir silindirin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için, seçilen generatrise dik olacak olan generatriks ve bölümün çevre değerlerini çarpmanız gerekecektir.

Formül şuna benzer:

S tarafı = x * P,

burada x silindir generatrisinin uzunluğudur, P bölümün çevresidir.

Bu arada elips oluşturacak şekilde bir bölüm seçmek daha iyidir. Daha sonra çevresinin hesaplamaları basitleştirilecektir. Elipsin uzunluğu yaklaşık bir cevap veren bir formül kullanılarak hesaplanır. Ancak bir okul kursunun görevleri için genellikle yeterlidir:

l = π * (a + b),

burada “a” ve “b” elipsin yarı eksenleridir, yani merkezden elipsin en yakın ve en uzak noktalarına olan mesafedir.

Tüm yüzeyin alanı aşağıdaki ifade kullanılarak hesaplanmalıdır:

S katı = 2 π * r 2 + x * R.

Dik dairesel silindirin bazı bölümleri nelerdir?

Bir kesit bir eksenden geçtiğinde alanı, generatriks ile tabanın çapının çarpımı olarak belirlenir. Bu, kenarları belirlenen elemanlarla çakışan bir dikdörtgen şekline sahip olmasıyla açıklanmaktadır.

Eksenel olana paralel bir silindirin kesit alanını bulmak için ayrıca bir dikdörtgen formülüne ihtiyacınız olacaktır. Bu durumda, kenarlarından biri hala yükseklikle çakışacak, diğeri ise tabanın akoruna eşit olacaktır. İkincisi, taban boyunca kesit çizgisine denk gelir.

Kesit eksene dik olduğunda daireye benzer. Üstelik alanı şeklin tabanıyla aynı.

Eksene belirli bir açıda kesişmek de mümkündür. Daha sonra kesit bir oval veya bunun bir kısmı ile sonuçlanır.

Örnek problemler

Görev No.1. Taban alanı 12,56 cm2 olan düz bir silindir veriliyor. Yüksekliği 3 cm ise silindirin toplam alanını hesaplamak gerekir.

Çözüm. Dairesel düz bir silindirin toplam alanı için formülü kullanmak gerekir. Ancak veriden, yani tabanın yarıçapından yoksundur. Ancak dairenin alanı biliniyor. Bundan yarıçapı hesaplamak kolaydır.

Taban alanının pi'ye bölünmesiyle elde edilen bölümün kareköküne eşit olduğu ortaya çıkıyor. 12,56'yı 3,14'e böldüğümüzde sonuç 4 olur. Kare kök 4 üzerinden 2'dir. Dolayısıyla yarıçap tam olarak bu değere sahip olacaktır.

Cevap: S kat = 50,24 cm2.

Görev No.2. Yarıçapı 5 cm olan bir silindir eksene paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitten eksene olan mesafe 3 cm'dir. Silindirin yüksekliği 4 cm'dir. Kesit alanını bulmanız gerekir.

Çözüm. Kesit şekli dikdörtgendir. Taraflarından biri silindirin yüksekliğine, diğeri ise akora eşittir. Birinci miktar biliniyorsa ikincisinin bulunması gerekir.

Bunu yapmak için ek inşaat yapılması gerekir. Tabanda iki bölüm çiziyoruz. Her ikisi de dairenin merkezinden başlayacak. Birincisi kirişin merkezinde bitecek ve eksene olan bilinen mesafeye eşit olacaktır. İkincisi akorun sonundadır.

Bir dik üçgen elde edeceksiniz. Hipotenüs ve bacaklardan biri burada biliniyor. Hipotenüs yarıçapla çakışıyor. İkinci bacak akorun yarısına eşittir. Bilinmeyen bacağın 2 ile çarpılması istenen akor uzunluğunu verecektir. Değerini hesaplayalım.

Bilinmeyen kenarı bulmak için hipotenüsün ve bilinen kenarın karesini almanız, ikinciyi birinciden çıkarmanız ve karekökünü almanız gerekir. Kareler 25 ve 9'dur. Farkları 16'dır. Karekök alındıktan sonra 4 kalır. Bu istenilen ayaktır.

Akor 4 * 2 = 8 (cm)'ye eşit olacaktır. Artık kesit alanını hesaplayabilirsiniz: 8 * 4 = 32 (cm2).

Cevap: S haçı 32 cm2'ye eşittir.

Görev No.3. Silindirin eksenel kesit alanını hesaplamak gerekir. İçinde kenarı 10 cm olan bir küpün yazılı olduğu bilinmektedir.

Çözüm. Silindirin eksenel bölümü, küpün dört köşesinden geçen ve tabanlarının köşegenlerini içeren bir dikdörtgenle çakışmaktadır. Küpün tarafı silindirin generatrisidir ve tabanın köşegeni çapla çakışır. Bu iki miktarın çarpımı problemde bulmanız gereken alanı verecektir.

Çapı bulmak için küpün tabanının kare olduğu ve köşegeninin eşkenar oluşturduğu bilgisini kullanmanız gerekecektir. dik üçgen. Hipotenüsü, şeklin istenilen köşegenidir.

Bunu hesaplamak için Pisagor teoreminin formülüne ihtiyacınız olacak. Küpün bir kenarının karesini alıp 2 ile çarpmanız ve karekökünü almanız gerekir. Onun ikinci kuvveti yüzdür. 2 ile çarpıldığında iki yüz olur. 200'ün karekökü 10√2'dir.

Kesit yine kenarları 10 ve 10√2 olan bir dikdörtgendir. Bu değerler çarpılarak alanı kolaylıkla hesaplanabilir.

Cevap. S kesiti = 100√2 cm2.

Silindirin yan yüzeyinin alanı, tabanı 2π olan dikdörtgenin alanına eşittir R ve yükseklik silindirin yüksekliğine eşittir H, yani 2π sağ.

Silindirin toplam yüzeyi: 2π R 2 + 2π sağ= 2π R(R+ H).

Silindirin yan yüzeyinin alanı olarak alınır süpürme alanı yan yüzeyi.

Bu nedenle, dik dairesel bir silindirin yan yüzeyinin alanı, karşılık gelen dikdörtgenin alanına eşittir (Şekil) ve formülle hesaplanır.

S.b.c. = 2πRH, (1)

İki tabanının alanını silindirin yan yüzeyinin alanına eklersek silindirin toplam yüzey alanını elde ederiz.

S dolu =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Düz bir silindirin hacmi

burada Q tabanın alanıdır ve H silindirin yüksekliğidir.

Silindirin tabanının alanı Q olduğundan, alanları Q olan çevrelenmiş ve yazılı çokgen dizileri vardır. N ve Q' Nöyle ki

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N= S.

Tabanları yukarıda tartışılan tarif edilen ve yazılı çokgenler olan ve yan kenarları verilen silindirin generatrisine paralel olan ve H uzunluğuna sahip olan bir prizma dizisi oluşturalım. Bu prizmalar verilen silindir için çevrelenmiştir ve yazılmıştır. Hacimleri formüllerle bulunur

V N= S N H ve V' N= Q' N H.

Buradan,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' N H = QH.

Sonuçlar.
Dik dairesel bir silindirin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

V = πR2H

burada R, tabanın yarıçapıdır ve H, silindirin yüksekliğidir.

Dairesel bir silindirin tabanı R yarıçaplı bir daire olduğundan, Q = π R 2 olur ve dolayısıyla

Okulda incelenen dönme cisimleri silindir, koni ve toptur.

Matematikte Birleşik Devlet Sınavı ile ilgili bir problemde, bir koninin hacmini veya bir kürenin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, kendinizi şanslı sayın.

Silindir, koni ve kürenin hacim ve yüzey alanı formüllerini uygulayın. Hepsi masamızda. Kalbinle öğren. Burası stereometri bilgisinin başladığı yerdir.

Bazen manzarayı yukarıdan çizmek iyi olur. Veya bu problemde olduğu gibi aşağıdan.

2. Düzgün bir dörtgen piramit etrafında çevrelenen bir koninin hacmi, bu piramidin içine yazılan bir koninin hacminden kaç kat daha büyüktür?

Çok basit; görünümü aşağıdan çizin. Yarıçapın olduğunu görüyoruz daha büyük daire küçük olanın yarıçapından kat kat daha büyüktür. Her iki koninin yüksekliği aynıdır. Bu nedenle büyük koninin hacmi iki kat daha büyük olacaktır.

Bir diğer önemli nokta. B kısmındaki problemlerde şunu unutmayın Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri matematikte cevap tam sayı veya sonlu sayı olarak yazılır ondalık. Bu nedenle B kısmındaki cevabınızda veya olmamalıdır. Sayının yaklaşık değerini değiştirmeye de gerek yoktur! Kesinlikle küçülmeli! Bu amaçla bazı problemlerde görev şu şekilde formüle edilmiştir: "Silindirin yan yüzeyinin alanını bölerek bul."

Devrim cisimlerinin hacmi ve yüzey alanı formülleri başka nerede kullanılıyor? Elbette problem C2'de (16). Bunu da size anlatacağız.

Silindir (Yunanca'dan "rulo", "rulo" kelimelerinden gelir), dışarıdan silindirik adı verilen bir yüzey ve iki düzlemle sınırlanan geometrik bir cisimdir. Bu düzlemler şeklin yüzeyini keser ve birbirine paraleldir.

Silindirik bir yüzey, uzayda düz bir çizginin oluşturduğu bir yüzeydir. Bu hareketler, bu düz çizginin seçilen noktasının düzlem tipi bir eğri boyunca hareket edeceği şekildedir. Böyle bir düz çizgiye generatrix denir ve kavisli bir çizgiye kılavuz denir.

Silindir bir çift taban ve bir yan kısımdan oluşur. silindirik yüzey. Birkaç çeşit silindir vardır:

1. Dairesel, düz silindir. Böyle bir silindirin üretim hattına dik bir tabanı ve kılavuzu vardır ve

2. Eğimli silindir. Jeneratör hattı ile taban arasındaki açı düz değildir.

3. Farklı şekle sahip bir silindir. Hiperbolik, eliptik, parabolik ve diğerleri.

Bir silindirin alanı ve herhangi bir silindirin toplam yüzey alanı, bu şeklin tabanlarının alanları ile yan yüzeyin alanının eklenmesiyle bulunur.

Dairesel, düz bir silindir için silindirin toplam alanını hesaplama formülü:

Sp = 2pRh + 2pR2 = 2pR(h+R).

Yan yüzeyin alanı, tüm silindirin alanından biraz daha karmaşıktır; generatrix çizgisinin uzunluğunun dik bir düzlem tarafından oluşturulan bölümün çevresi ile çarpılmasıyla hesaplanır. generatrix çizgisine.

Dairesel, düz bir silindir için verilen silindir, bu nesnenin geliştirilmesiyle tanınır.

Bir gelişme, yüksekliği h ve uzunluğu P olan ve tabanın çevresine eşit olan bir dikdörtgendir.

Bundan, silindirin yanal alanının süpürme alanına eşit olduğu ve bu formül kullanılarak hesaplanabileceği sonucu çıkar:

Dairesel, düz bir silindir alırsak, bunun için:

P = 2p R ve Sb = 2p Rh.

Silindir eğimliyse, yan yüzeyin alanı, üretim hattının uzunluğunun ve bu üretim hattına dik olan bölümün çevresinin çarpımına eşit olmalıdır.

Ne yazık ki eğimli bir silindirin yan yüzey alanını yüksekliği ve taban parametreleri cinsinden ifade etmek için basit bir formül yoktur.

Silindiri hesaplamak için birkaç gerçeği bilmeniz gerekir. Düzlemi olan bir bölüm tabanlarla kesişiyorsa, böyle bir bölüm her zaman bir dikdörtgendir. Ancak bu dikdörtgenler bölümün konumuna bağlı olarak farklı olacaktır. Şeklin tabanlara dik olan eksenel bölümünün kenarlarından biri yüksekliğe, diğeri ise silindirin taban çapına eşittir. Ve buna göre böyle bir bölümün alanı, dikdörtgenin bir tarafının diğer tarafının birincisine dik ürününe veya belirli bir şeklin yüksekliği ile tabanının çapının ürününe eşittir.

Bölüm şeklin tabanlarına dikse ancak dönme ekseninden geçmiyorsa, bu bölümün alanı bu silindirin yüksekliğinin ve belirli bir akorun çarpımına eşit olacaktır. Bir akor elde etmek için silindirin tabanında bir daire oluşturmanız, bir yarıçap çizmeniz ve üzerine bölümün bulunduğu mesafeyi çizmeniz gerekir. Ve bu noktadan itibaren daire ile kesişme noktasından yarıçapa dik çizgiler çizmeniz gerekiyor. Kesişme noktaları merkeze bağlanır. Ve üçgenin tabanı istenen tabandır ve şu gibi seslerle aranır: “İki bacağın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir”:

C2 = A2 + B2.

Bölüm silindirin tabanını etkilemiyorsa ve silindirin kendisi dairesel ve düz ise bu bölümün alanı dairenin alanı olarak bulunur.

Çemberin alanı:

S çevre = 2p R2.

R'yi bulmak için C uzunluğunu 2n'ye bölmeniz gerekir:

R = C\2n, burada n pi'dir; daire verileriyle çalışmak için hesaplanan ve 3,14'e eşit bir matematiksel sabittir.