Rastgele bir piramidin yan yüzeyinin alanı, yan yüzlerinin alanlarının toplamına eşittir. Düzenli bir piramit durumunda bu alanı ifade etmek için özel bir formül vermek mantıklıdır. O halde bize, tabanında kenarı a'ya eşit olan düzgün bir n-gon bulunan düzenli bir piramit verilsin. Yan yüzün yüksekliği h olsun, buna da denir özlü söz piramitler. Bir yan yüzün alanı 1/2ah ve tamamı yan yüzey piramidin alanı n/2ha'ya eşittir. Na, piramidin tabanının çevresi olduğundan, bulunan formülü şu şekilde yazabiliriz:

Yan yüzey alanı Düzenli bir piramidin uzunluğu, kısa kenarının çarpımı ile tabanın çevresinin yarısına eşittir.

İlişkin toplam yüzey alanı, sonra tabanın alanını yan tarafa ekleriz.

Yazılı ve çevrelenmiş küre ve küre. Piramite yazılan kürenin merkezinin, piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemlerinin kesişme noktasında yer aldığına dikkat edilmelidir. Piramidin yakınında anlatılan kürenin merkezi, piramidin kenarlarının orta noktalarından geçen ve onlara dik olan düzlemlerin kesişiminde yer alır.

Kesilmiş piramit. Bir piramit tabanına paralel bir düzlemle kesilirse, kesme düzlemi ile taban arasında kalan kısma denir. kesik piramit.Şekil bir piramidi göstermektedir; kesme düzleminin üzerinde bulunan kısmını atarak kesik bir piramit elde ederiz. Atılan küçük piramidin, homotetiklik merkezinin tepede olduğu büyük piramitle homotetik olduğu açıktır. Benzerlik katsayısı yüksekliklerin oranına eşittir: k=h 2 /h 1 veya yan kenarlar veya diğer karşılık gelenler doğrusal boyutlar her iki piramit. Benzer şekillerin alanlarının doğrusal boyutlu kareler gibi ilişkili olduğunu biliyoruz; yani her iki piramidin tabanlarının alanları (yani kesik piramidin tabanlarının alanı) şu şekilde ilişkilidir:

Burada S 1 alt tabanın alanı, S 2 ise kesik piramidin üst tabanının alanıdır. Piramitlerin yan yüzeyleri de aynı ilişkidedir. Hacimler için de benzer bir kural mevcuttur.

Benzer cisimlerin hacimleri doğrusal boyutlarının küpleri gibi ilişkilidir; örneğin piramitlerin hacimleri, yükseklikleri ile taban alanlarının çarpımı olarak ilişkilidir ve buradan kuralımızın hemen elde edilmesi mümkündür. Tamamen genel niteliktedir ve hacmin her zaman uzunluğun üçüncü kuvveti boyutunda bir boyuta sahip olması gerçeğinden doğrudan kaynaklanır. Bu kuralı kullanarak, kesik bir piramidin hacmini tabanların yüksekliği ve alanı boyunca ifade eden bir formül elde ederiz.

Yüksekliği h ve taban alanları S 1 ve S 2 olan kesik bir piramit verilsin. Tam piramit şeklinde uzatıldığını düşünürsek, tam piramit ile küçük piramit arasındaki benzerlik katsayısı, S 2 /S 1 oranının kökü olarak kolaylıkla bulunabilir. Kesik bir piramidin yüksekliği h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) olarak ifade edilir. Şimdi kesik bir piramidin hacmini bulduk (V 1 ve V 2, tam ve küçük piramitlerin hacimlerini belirtir)

kesik piramidin hacmi formülü

Tabanların P 1 ve P 2 çevreleri ve apothem uzunluğu boyunca düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin S alanı için formülü türetelim. Hacim formülünü türetirken kullandığımız yöntemin aynısını kullanırız. Piramidi tamamlayan üst kısım P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1'e sahibiz, burada k benzerlik katsayısıdır, P 1 ve P 2 tabanların çevreleridir ve S 1 ve S 2 yan yüzeylerin alanlarıdır. ortaya çıkan piramidin tamamı ve üst kısmı sırasıyla. Yan yüzey için bulduğumuz (a 1 ve a 2 piramitlerin özleridir, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

düzenli kesik piramidin yan yüzey alanı formülü

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, duruşma ve/veya kamunun taleplerine veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının taleplerine dayanarak - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Silindir, iki paralel düzlemle sınırlanan geometrik bir cisimdir ve silindirik yüzey. Makalede silindirin alanının nasıl bulunacağından bahsedeceğiz ve formülü kullanarak örnek olarak çeşitli problemleri çözeceğiz.

Silindirin üç yüzeyi vardır: üst yüzey, taban ve yan yüzey.

Silindirin üst ve tabanı daire şeklindedir ve tanımlanması kolaydır.

Bir dairenin alanının πr 2'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, iki dairenin alanı için formül (silindirin üst ve tabanı) πr 2 + πr 2 = 2πr 2 olacaktır.

Silindirin üçüncü yan yüzeyi ise silindirin kavisli duvarıdır. Bu yüzeyi daha iyi hayal edebilmek için onu tanınabilir bir şekle dönüştürmeye çalışalım. Silindirin sıradan olduğunu hayal edin kalay, üst kapağı veya alt kısmı olmayan. Kutunun üst kısmından tabanına kadar yan duvarda dikey bir kesim yapalım (Şekilde 1. Adım) ve ortaya çıkan şekli mümkün olduğu kadar açmaya (düzeltmeye) çalışalım (2. Adım).

Ortaya çıkan kavanoz tamamen açıldıktan sonra tanıdık bir şekil göreceğiz (3. Adım), bu bir dikdörtgendir. Bir dikdörtgenin alanının hesaplanması kolaydır. Ama ondan önce bir anlığına orijinal silindire dönelim. Orijinal silindirin tepe noktası bir dairedir ve çevresinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz: L = 2πr. Şekilde kırmızı renkle işaretlenmiştir.

Silindirin yan duvarı tamamen açıldığında çevrenin ortaya çıkan dikdörtgenin uzunluğuna eşit olduğunu görüyoruz. Bu dikdörtgenin kenarları silindirin çevresi (L = 2πr) ve yüksekliği (h) olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı kenarlarının çarpımına eşittir - S = uzunluk x genişlik = L x h = 2πr x h = 2πrh. Sonuç olarak silindirin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için bir formül elde ettik.

Bir silindirin yan yüzey alanı formülü
S tarafı = 2πrh

Bir silindirin toplam yüzey alanı

Son olarak, üç yüzeyin de alanını toplarsak silindirin toplam yüzey alanı formülünü elde ederiz. Bir silindirin yüzey alanı, silindirin üst alanı + silindirin taban alanı + silindirin yan yüzeyinin alanına eşittir veya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bazen bu ifade 2πr (r + h) formülüyle aynı şekilde yazılır.

Bir silindirin toplam yüzey alanı formülü
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – silindirin yarıçapı, h – silindirin yüksekliği

Bir silindirin yüzey alanının hesaplanmasına örnekler

Yukarıdaki formülleri anlamak için örnekler kullanarak silindirin yüzey alanını hesaplamaya çalışalım.

1. Silindirin taban yarıçapı 2, yüksekliği 3'tür. Silindirin yan yüzeyinin alanını belirleyin.

Toplam yüzey alanı şu formül kullanılarak hesaplanır: S tarafı. = 2πrh

S tarafı = 2 * 3,14 * 2 * 3

S tarafı = 6,28 * 6

S tarafı = 37,68

Silindirin yan yüzey alanı 37,68'dir.

2. Yüksekliği 4 ve yarıçapı 6 ise silindirin yüzey alanı nasıl bulunur?

Toplam yüzey alanı şu formülle hesaplanır: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Problem 1. Piramidin toplam yüzey alanını bulun
• Problem 2. Düzenli üçgen piramidin yan yüzey alanını bulun

Sorun 1. Düzenli bir piramidin toplam yüzey alanını bulun

Çözüm.

Düzenli üçgen piramidin tabanında eşkenar üçgen bulunur.
Bu nedenle sorunu çözmek için normal üçgenin özelliklerini kullanacağız:

Alanı bulabileceğimiz yerden üçgenin yüksekliğini biliyoruz.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Taban alanının şuna eşit olacağı yerden:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Yan yüzün alanını bulmak için KM yüksekliğini hesaplıyoruz. Probleme göre OKM açısı 45 derecedir.
Böylece:
Tamam / MK = çünkü 45
Trigonometrik fonksiyonların değer tablosunu kullanalım ve bilinen değerleri yerine koyalım.

Tamam / MK = √2/2

Tamam'ın yazılı dairenin yarıçapına eşit olduğunu dikkate alalım. Daha sonra
Tamam = √3/6a
Tamam = √3/6 * 6/√3 = 1

Daha sonra
Tamam / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Yan yüzün alanı daha sonra üçgenin yüksekliğinin ve tabanının çarpımının yarısına eşittir.
Skenar = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Böylece piramidin toplam yüzey alanı şuna eşit olacaktır:
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Cevap: 3√3 + 18/√6

Sorun 2. Düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulun

Çözüm.

Düzenli üçgen piramidin tabanı eşkenar üçgen olduğundan AO, tabanı çevreleyen dairenin yarıçapıdır.
(Bundan sonra gelir)

Eşkenar üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı, özelliklerinden bulunabilir.

Dolayısıyla düzenli bir üçgen piramidin kenarlarının uzunluğu şuna eşit olacaktır:
AM2 = MO2 + AO2
piramidin yüksekliği koşulla bilinir (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Piramidin her tarafı ikizkenar üçgendir. Kare ikizkenar üçgen aşağıda sunulan ilk formülden buluyoruz

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 metrekare((556/3) - 64)
S = 8 metrekare(364/3)
S = 16 metrekare(91/3)

Düzgün bir piramidin üç yüzü de eşit olduğundan yan yüzey alanı şuna eşit olacaktır:
3S = 48 √(91/3)

Cevap: 48 √(91/3)

Problem 3. Düzenli bir piramidin toplam yüzey alanını bulun

Düzgün üçgen piramidin bir kenarı 3 cm olup, yan yüzü ile piramidin tabanı arasındaki açı 45 derecedir. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm.
Piramit düzgün olduğundan tabanında eşkenar üçgen bulunur. Bu nedenle tabanın alanı


Yani = 9 * √3/4

Yan yüzün alanını bulmak için KM yüksekliğini hesaplıyoruz. Probleme göre OKM açısı 45 derecedir.
Böylece:
Tamam / MK = çünkü 45
Haydi yararlanalım

tabanı bir çokgen olan çok yönlü bir şekildir ve geri kalan yüzler ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerle temsil edilir.

Taban kare ise piramit denir dörtgen, eğer bir üçgense – o zaman üçgen. Piramidin yüksekliği, üst kısmından tabana dik olarak çizilir. Alanı hesaplamak için de kullanılır özlü söz– üst kısmından alçaltılmış yan yüzün yüksekliği.
Bir piramidin yan yüzeyinin alanı formülü, yan yüzlerinin birbirine eşit alanlarının toplamıdır. Ancak bu hesaplama yöntemi çok nadir kullanılmaktadır. Temel olarak piramidin alanı, tabanın çevresi ve apothem aracılığıyla hesaplanır:

Bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Tabanı ABCDE ve tepesi F olan bir piramit verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çevresini bulalım. Tabanın tüm kenarları eşit olduğundan beşgenin çevresi şuna eşit olacaktır:
Artık piramidin yan alanını bulabilirsiniz:

Düzenli bir üçgen piramidin alanı

Düzenli bir üçgen piramit, düzenli bir üçgenin bulunduğu bir taban ve eşit alana sahip üç yan yüzden oluşur.
Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanı formülü hesaplanabilir farklı şekillerde. Çevre ve özdeyimi kullanarak olağan hesaplama formülünü uygulayabilir veya bir yüzün alanını bulup üçle çarpabilirsiniz. Piramidin yüzü üçgen olduğundan üçgenin alan formülünü uyguluyoruz. Bir öz ve tabanın uzunluğunu gerektirecektir. Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Apotemi a = 4 cm ve taban yüzü b = 2 cm olan bir piramit verildiğinde piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Öncelikle yan yüzlerden birinin alanını bulun. İÇİNDE bu durumda o:
Değerleri formülde değiştirin:
Düzenli bir piramitte tüm kenarlar aynı olduğundan piramidin yan yüzeyinin alanı üç yüzün alanlarının toplamına eşit olacaktır. Sırasıyla:

Kesilmiş bir piramidin alanı

Kesilmiş Bir piramit, bir piramit ve onun enine kesiti tabana paralel olarak oluşturulan bir çokyüzlüdür.
Kesik bir piramidin yan yüzey alanı formülü çok basittir. Alan, tabanların çevreleri ile apothemin toplamının yarısının çarpımına eşittir: