Sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation, bilang karagdagan sa mga root formula, may iba pang kapaki-pakinabang na mga ugnayan na ibinibigay Ang teorama ni Vieta. Sa artikulong ito ay magbibigay kami ng isang pagbabalangkas at patunay ng teorama ni Vieta para sa quadratic equation. Susunod na isasaalang-alang natin ang teorem na kabaliktaran sa teorama ni Vieta. Pagkatapos nito, susuriin namin ang mga solusyon sa pinakakaraniwang mga halimbawa. Sa wakas, isinulat namin ang mga formula ng Vieta na tumutukoy sa kaugnayan sa pagitan ng mga tunay na ugat algebraic equation degree n at mga coefficient nito.

Pag-navigate sa pahina.

Ang teorama, pagbabalangkas, patunay ni Vieta

Mula sa mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation a·x 2 +b·x+c=0 ng form, kung saan D=b 2 −4·a·c, ang mga sumusunod na relasyon ay sumusunod: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Ang mga resultang ito ay nakumpirma Ang teorama ni Vieta:

Teorama.

Kung Ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation a x 2 +b x+c=0, kung gayon ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng ratio ng mga coefficient b at a na kinuha mula sa kabaligtaran ng tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng ratio ng mga coefficient c at a, iyon ay, .

Patunay.

Isasagawa namin ang patunay ng teorama ng Vieta ayon sa sumusunod na pamamaraan: bubuuin namin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation gamit ang mga kilalang formula ng ugat, pagkatapos ay babaguhin namin ang mga resultang expression at siguraduhin na ang mga ito ay katumbas ng − b/a at c/a, ayon sa pagkakabanggit.

Magsimula tayo sa kabuuan ng mga ugat at buuin ito. Ngayon binabawasan namin ang mga fraction sa karaniwang denominador, mayroon kami. Sa numerator ng resultang fraction, pagkatapos nito:. Sa wakas, pagkatapos ng 2, makuha namin. Pinatutunayan nito ang unang kaugnayan ng teorama ni Vieta para sa kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation. Lumipat tayo sa pangalawa.

Binubuo namin ang produkto ng mga ugat ng quadratic equation: . Ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction, huling piraso maaaring isulat bilang . Ngayon, pinaparami namin ang isang bracket sa isang bracket sa numerator, ngunit mas mabilis na i-collapse ang produktong ito sa pamamagitan ng square difference formula, Kaya . Pagkatapos, pag-alala, ginagawa namin ang susunod na paglipat. At dahil ang discriminant ng quadratic equation ay tumutugma sa formula D=b 2 −4·a·c, sa halip na D sa huling fraction ay maaari nating palitan ang b 2 −4·a·c, makuha natin. Matapos buksan ang mga panaklong at paghahagis magkatulad na termino dumating tayo sa fraction , at ang pagbabawas nito ng 4·a ay nagbibigay ng . Pinatutunayan nito ang pangalawang kaugnayan ng teorama ni Vieta para sa produkto ng mga ugat.

Kung aalisin natin ang mga paliwanag, ang patunay ng theorem ni Vieta ay magkakaroon ng laconic form:
,
.

Nananatili lamang na tandaan na kung ang discriminant ay katumbas ng zero, ang quadratic equation ay may isang ugat. Gayunpaman, kung ipagpalagay natin na ang equation sa kasong ito ay may dalawang magkatulad na ugat, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay mula sa teorama ni Vieta ay nananatili rin. Sa katunayan, kapag D=0 ang ugat ng quadratic equation ay katumbas ng , pagkatapos at , at dahil D=0, iyon ay, b 2 −4·a·c=0, kung saan b 2 =4·a·c, pagkatapos .

Sa pagsasagawa, ang theorem ng Vieta ay kadalasang ginagamit kaugnay ng pinababang quadratic equation (na may leading coefficient na katumbas ng 1) ng anyong x 2 +p·x+q=0. Minsan ito ay binabalangkas para sa mga parisukat na equation na ganito lamang ang uri, na hindi nililimitahan ang pangkalahatan, dahil ang anumang quadratic na equation ay maaaring palitan ng isang katumbas na equation sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng isang di-zero na numerong a. Ibigay natin ang kaukulang pagbabalangkas ng teorama ni Vieta:

Teorama.

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0 ay katumbas ng koepisyent ng x na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino, iyon ay, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Theorem converse to Vieta's theorem

Ang pangalawang pormulasyon ng teorama ni Vieta, na ibinigay sa nakaraang talata, ay nagpapahiwatig na kung ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p x+q=0, kung gayon ang mga ugnayang x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Sa kabilang banda, mula sa mga nakasulat na relasyon x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q sumusunod na ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng quadratic equation x 2 +p x+q=0. Sa madaling salita, totoo ang kabaligtaran ng teorama ni Vieta. Buuin natin ito sa anyo ng isang teorama at patunayan ito.

Teorama.

Kung ang mga numerong x 1 at x 2 ay tulad ng x 1 +x 2 =−p at x 1 · x 2 =q, kung gayon ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p · x+q =0.

Patunay.

Pagkatapos palitan ang mga coefficients p at q sa equation x 2 +p·x+q=0 sa kanilang mga expression sa pamamagitan ng x 1 at x 2, ito ay binago sa isang katumbas na equation.

Palitan natin ang numerong x 1 sa halip na x sa resultang equation, at mayroon tayong pagkakapantay-pantay x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, na para sa alinmang x 1 at x 2 ay kumakatawan sa tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0=0, dahil x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Samakatuwid, ang x 1 ay ang ugat ng equation x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, na nangangahulugang x 1 ang ugat ng katumbas na equation x 2 +p·x+q=0.

Kung sa equation x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 palitan ang numerong x 2 sa halip na x, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ito ay isang tunay na pagkakapantay-pantay, dahil x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Samakatuwid, ang x 2 ay isang ugat din ng equation x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, at samakatuwid ang mga equation x 2 +p·x+q=0.

Kinukumpleto nito ang patunay ng theorem, kabaligtaran ng teorama Vieta.

Mga halimbawa ng paggamit ng teorama ni Vieta

Oras na para pag-usapan ang praktikal na aplikasyon ng theorem ni Vieta at ang converse theorem nito. Sa seksyong ito susuriin namin ang mga solusyon sa ilan sa mga pinakakaraniwang halimbawa.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng paglalapat ng theorem converse sa theorem ni Vieta. Maginhawang gamitin upang suriin kung ang ibinigay na dalawang numero ay mga ugat ng isang ibinigay na quadratic equation. Sa kasong ito, ang kanilang kabuuan at pagkakaiba ay kinakalkula, pagkatapos nito ay nasuri ang bisa ng mga relasyon. Kung ang parehong mga ugnayang ito ay nasiyahan, kung gayon sa bisa ng teorama ay nakikipag-usap sa teorama ni Vieta, napagpasyahan na ang mga bilang na ito ay ang mga ugat ng equation. Kung ang hindi bababa sa isa sa mga relasyon ay hindi nasiyahan, kung gayon ang mga numerong ito ay hindi ang mga ugat ng quadratic equation. Maaaring gamitin ang diskarteng ito kapag nilulutas ang mga quadratic equation upang suriin ang mga ugat na natagpuan.

Halimbawa.

Alin sa mga pares ng mga numero 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2) o 3) ang isang pares ng mga ugat ng quadratic equation 4 x 2 −16 x+9=0?

Solusyon.

Ang mga coefficient ng ibinigay na quadratic equation 4 x 2 −16 x+9=0 ay a=4, b=−16, c=9. Ayon sa teorama ni Vieta, ang kabuuan ng mga ugat ng isang quadratic equation ay dapat na katumbas ng −b/a, iyon ay, 16/4=4, at ang produkto ng mga ugat ay dapat na katumbas ng c/a, iyon ay, 9 /4.

Ngayon kalkulahin natin ang kabuuan at produkto ng mga numero sa bawat isa sa tatlong ibinigay na mga pares, at ihambing ang mga ito sa mga halaga na nakuha lang natin.

Sa unang kaso mayroon tayong x 1 +x 2 =−5+3=−2. Ang resultang halaga ay iba sa 4, kaya walang karagdagang pag-verify ang maaaring isagawa, ngunit gamit ang theorem na kabaligtaran sa Vieta's theorem, ang isa ay maaaring agad na tapusin na ang unang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation.

Lumipat tayo sa pangalawang kaso. Dito, iyon ay, ang unang kondisyon ay natutugunan. Sinusuri namin ang pangalawang kundisyon: ang resultang halaga ay iba sa 9/4. Dahil dito, ang pangalawang pares ng mga numero ay hindi isang pares ng mga ugat ng quadratic equation.

May natitira pang huling kaso. Dito at. Ang parehong mga kondisyon ay natutugunan, kaya ang mga numerong ito na x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation.

Sagot:

Ang kabaligtaran ng teorama ni Vieta ay maaaring gamitin sa pagsasanay upang mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation. Karaniwan, ang mga integer na ugat ng ibinigay na mga quadratic equation na may mga integer coefficient ay pinipili, dahil sa ibang mga kaso ito ay medyo mahirap gawin. Sa kasong ito, ginagamit nila ang katotohanan na kung ang kabuuan ng dalawang numero ay katumbas ng pangalawang koepisyent ng isang quadratic equation, na kinuha gamit ang isang minus sign, at ang produkto ng mga numerong ito ay katumbas ng libreng termino, kung gayon ang mga numerong ito ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito. Unawain natin ito gamit ang isang halimbawa.

Kunin natin ang quadratic equation x 2 −5 x+6=0. Upang ang mga numerong x 1 at x 2 ay maging mga ugat ng equation na ito, dapat masiyahan ang dalawang equalities: x 1 + x 2 =5 at x 1 · x 2 =6. Ang natitira na lang ay piliin ang mga naturang numero. SA sa kasong ito ito ay medyo simpleng gawin: ang mga naturang numero ay 2 at 3, dahil 2+3=5 at 2·3=6. Kaya, ang 2 at 3 ay ang mga ugat ng quadratic equation na ito.

Ang theorem inverse sa Vieta's theorem ay lalong madaling gamitin upang mahanap ang pangalawang ugat ng isang ibinigay na quadratic equation kapag ang isa sa mga ugat ay kilala na o halata na. Sa kasong ito, ang pangalawang ugat ay matatagpuan mula sa alinman sa mga relasyon.

Halimbawa, kunin natin ang quadratic equation na 512 x 2 −509 x −3=0. Dito madaling makita na ang pagkakaisa ay ang ugat ng equation, dahil ang kabuuan ng mga coefficient ng quadratic equation na ito ay katumbas ng zero. Kaya x 1 = 1. Ang pangalawang ugat na x 2 ay matatagpuan, halimbawa, mula sa ugnayang x 1 ·x 2 =c/a. Mayroon kaming 1 x 2 =−3/512, kung saan ang x 2 =−3/512. Ito ay kung paano namin natukoy ang parehong mga ugat ng quadratic equation: 1 at −3/512.

Malinaw na ang pagpili ng mga ugat ay ipinapayong lamang sa mga pinakasimpleng kaso. Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang mga ugat, maaari mong ilapat ang mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng discriminant.

Isa pang bagay praktikal na aplikasyon Ang theorem, converse sa Vieta's theorem, ay binubuo sa pagbubuo ng mga quadratic equation na ibinigay sa mga ugat na x 1 at x 2. Upang gawin ito, sapat na upang kalkulahin ang kabuuan ng mga ugat, na nagbibigay ng koepisyent ng x na may kabaligtaran na tanda ng ibinigay na quadratic equation, at ang produkto ng mga ugat, na nagbibigay ng libreng termino.

Halimbawa.

Sumulat ng isang quadratic equation na ang mga ugat ay −11 at 23.

Solusyon.

Tukuyin natin ang x 1 =−11 at x 2 =23. Kinakalkula namin ang kabuuan at produkto ng mga numerong ito: x 1 +x 2 =12 at x 1 ·x 2 =−253. Samakatuwid, ang mga ipinahiwatig na numero ay ang mga ugat ng pinababang quadratic equation na may pangalawang koepisyent na −12 at isang libreng termino na −253. Ibig sabihin, x 2 −12·x−253=0 ang kinakailangang equation.

Sagot:

x 2 −12·x−253=0 .

Ang teorama ni Vieta ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga problema na may kaugnayan sa mga palatandaan ng mga ugat ng quadratic equation. Paano nauugnay ang teorama ni Vieta sa mga palatandaan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +p·x+q=0? Narito ang dalawang nauugnay na pahayag:

• Kung ang libreng termino q ay positibong numero at kung ang isang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang alinman sa mga ito ay parehong positibo o parehong negatibo.
• Kung ang libreng termino q ay isang negatibong numero at kung ang quadratic equation ay may tunay na mga ugat, kung gayon ang kanilang mga palatandaan ay iba, sa madaling salita, ang isang ugat ay positibo at ang isa ay negatibo.

Ang mga pahayag na ito ay sumusunod mula sa formula x 1 · x 2 =q, pati na rin ang mga patakaran ng positibong multiplikasyon, mga negatibong numero at mga numero na may iba't ibang mga palatandaan. Tingnan natin ang mga halimbawa ng kanilang aplikasyon.

Halimbawa.

R ito ay positibo. Gamit ang discriminant formula makikita natin ang D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, ang halaga ng expression na r 2 +8 ay positibo para sa anumang tunay na r, kaya D>0 para sa anumang tunay na r. Dahil dito, ang orihinal na quadratic equation ay may dalawang ugat para sa alinman tunay na mga halaga parameter r.

Ngayon alamin natin kung kailan mayroon na ang mga ugat iba't ibang palatandaan. Kung ang mga palatandaan ng mga ugat ay naiiba, kung gayon ang kanilang produkto ay negatibo, at ayon sa Vieta's theorem, ang produkto ng mga ugat ng pinababang quadratic equation ay katumbas ng libreng termino. Samakatuwid, kami ay interesado sa mga halagang iyon ng r kung saan ang libreng termino r−1 ay negatibo. Kaya, upang mahanap ang mga halaga ng r na interesado kami, kailangan namin magpasya linear inequality r−1<0 , откуда находим r<1 .

Sagot:

sa r<1 .

Mga formula ng Vieta

Sa itaas ay napag-usapan namin ang tungkol sa teorama ni Vieta para sa isang parisukat na equation at sinuri ang mga ugnayang iginiit nito. Ngunit may mga formula na nag-uugnay sa mga tunay na ugat at koepisyent ng hindi lamang mga quadratic na equation, kundi pati na rin ang mga cubic equation, mga equation ng ika-apat na degree, at sa pangkalahatan, algebraic equation degree n. Tinatawag sila Mga formula ni Vieta.

Isulat natin ang pormula ng Vieta para sa isang algebraic equation ng degree n ng form, at ipagpalagay natin na ito ay may n tunay na mga ugat x 1, x 2, ..., x n (kabilang sa mga ito ay maaaring may mga coinciding):

Maaaring makuha ang mga formula ni Vieta theorem sa decomposition ng isang polynomial sa linear factor, pati na rin ang kahulugan ng equal polynomials sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng lahat ng kaukulang coefficient nito. Kaya ang polynomial at ang pagpapalawak nito sa mga linear na kadahilanan ng anyo ay pantay. Binubuksan ang mga bracket sa huling produkto at itinutumbas ang kaukulang coefficient, nakukuha namin ang mga formula ng Vieta.

Sa partikular, para sa n=2 mayroon na tayong pamilyar na mga formula ng Vieta para sa isang quadratic equation.

Para sa isang cubic equation, ang mga formula ng Vieta ay may anyo

Nananatili lamang na tandaan na sa kaliwang bahagi ng mga formula ni Vieta ay mayroong tinatawag na elementarya simetriko polynomial.

Mga sanggunian.

• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. ika-8 baitang. Sa 2 oras Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich. - 11th ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Ika-10 baitang: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; inedit ni A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 2010.- 368 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Ang pagtukoy sa kabuuan ng mga ugat ng isang equation ay isa sa mga kinakailangang hakbang sa paglutas ng mga quadratic equation (mga equation ng anyong ax² + bx + c = 0, kung saan ang mga exponent a, b at c ay mga arbitrary na numero, at a ? 0) na may ang suporta ng teorama ni Vieta.

Mga tagubilin

1. Isulat ang quadratic equation bilang ax² + bx + c = 0 Halimbawa: Initial equation: 12 + x² = 8x Tamang nakasulat na equation: x² - 8x + 12 = 0

2. Ilapat ang teorama ng Vieta, ayon sa kung saan ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay magiging katumbas ng bilang na "b" na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang kanilang produkto ay magiging katumbas ng bilang na "c". , b = -8, c = 12, ayon sa pagkakabanggit: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Alamin kung ang mga ugat ng mga equation ay tama o negatibong mga numero. Kung pareho ang produkto at ang kabuuan ng mga ugat ay mga positibong numero, ang lahat ng mga ugat ay isang wastong numero. Kung ang produkto ng mga ugat ay regular at ang kabuuan ng mga ugat ay isang negatibong numero, kung gayon ang parehong mga ugat ay negatibo. Kung ang produkto ng mga ugat ay negatibo, kung gayon ang isang ugat ay may "+" na tanda, at ang isa ay may "-" na senyales Sa kasong ito, kailangan mong gumamit ng karagdagang panuntunan: "Kung ang kabuuan ng mga ugat ay positibo bilang, ang mas malaking ugat sa modulus ay positibo rin, at kung ang kabuuan ng mga ugat ay isang negatibong numero ay isang ugat na may mas malaking ganap na halaga - negatibo.” Halimbawa: Sa equation na isinasaalang-alang, ang kabuuan at ang produkto ay tama mga numero: 8 at 12, na nangangahulugang parehong mga ugat ay positibong numero.

4. Lutasin ang nagresultang sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pagpili ng mga ugat. Ito ay magiging mas maginhawa upang simulan ang pagpili sa mga kadahilanan, at pagkatapos, upang suriin, palitan ang anumang pares ng mga kadahilanan sa pangalawang equation at suriin kung ang kabuuan ng mga ugat na ito ay tumutugma sa solusyon Halimbawa: x1∗x2=12 Angkop na mga pares ng Ang mga ugat ay magiging, ayon sa pagkakabanggit: 12 at 1, 6 at 2, 4 at 3Suriin ang mga resultang pares gamit ang equation na x1+x2=8. Pares 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Alinsunod dito, ang mga ugat ng equation ay ang mga numero 6 at 8.

Ang equation ay isang pagkakapantay-pantay ng anyong f(x,y,…)=g(x,y,..), kung saan ang f at g ay mga function ng isa o higit pang mga variable. Upang matuklasan ang ugat ng isang equation ay nangangahulugan ng pagtuklas ng isang hanay ng mga argumento kung saan ang pagkakapantay-pantay na ito ay nasiyahan.

Kakailanganin mo

• Kaalaman sa pagsusuri sa matematika.

Mga tagubilin

1. Posibleng mayroon kang equation ng form: x+2=x/5. Una, ilipat natin ang lahat ng mga bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa, binabago ang tanda ng bahagi sa kabaligtaran. Magkakaroon ng zero sa kanang bahagi ng equation na ito, ibig sabihin, nakukuha natin ang sumusunod: x+2-x/5 = 0.

2. Ipakita natin ang mga katulad na termino. Nakukuha namin ang sumusunod: 4x/5 + 2 = 0.

3. Susunod, mula sa nagresultang pinababang equation ay mahahanap natin ang hindi kilalang termino, sa kasong ito ito ay x. Ang resultang halaga ng hindi kilalang variable ay magiging solusyon sa paunang equation. Sa kasong ito, nakukuha natin ang sumusunod: x = -2.5.

Video sa paksa

pansinin mo!
Bilang resulta ng solusyon, maaaring lumitaw ang mga karagdagang ugat. Hindi sila magiging solusyon sa paunang equation, kahit na nalutas mo ang lahat nang positibo. Tiyaking suriin ang lahat ng mga solusyon na natatanggap mo.

Kapaki-pakinabang na payo
Palaging suriin ang nakuha na mga halaga para sa hindi alam. Magagawa ito sa pamamagitan lamang ng pagpapalit ng resultang halaga sa paunang equation. Kung tama ang pagkakapantay-pantay, tama ang solusyon.

Ang teorama ni Vieta ay nagtatatag ng direktang koneksyon sa pagitan ng mga ugat (x1 at x2) at mga exponent (b at c, d) ng isang equation na may uri na bx2+cx+d=0. Sa tulong ng teorama na ito, posible, nang hindi tinutukoy ang kahulugan ng mga ugat, upang kalkulahin ang kanilang kabuuan, matapang na nagsasalita, sa isip. Walang mahirap tungkol dito, ang pangunahing bagay ay malaman ang ilang mga patakaran.

Kakailanganin mo

• - calculator;
• - papel para sa mga tala.

Mga tagubilin

1. Dalhin ang quadratic equation sa ilalim ng pag-aaral sa isang karaniwang anyo, upang ang lahat ng exponents ay nasa pababang pagkakasunud-sunod, iyon ay, una ang pinakamataas na degree ay x2, at sa dulo ang zero degree ay x0. Ang equation ay kukuha ng anyo: b*x2 + c*x1 + d*x0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. Suriin ang hindi negatibiti ng discriminant. Ang pagsusuri na ito ay kinakailangan upang matiyak na ang equation ay may mga ugat. Ang D (discriminant) ay nasa anyo: D = c2 – 4*b*d. Mayroong ilang mga pagpipilian dito. D – discriminant – tama, na nangangahulugan na ang equation ay may dalawang ugat. D ay katumbas ng zero, ito ay sumusunod na mayroong isang ugat, ngunit ito ay dalawahan, iyon ay, x1 = x2. Ang D ay negatibo, para sa kursong algebra ng paaralan ang kundisyong ito ay nangangahulugan na walang mga ugat, para sa mas mataas na matematika ay may mga ugat, ngunit sila ay kumplikado.

3. Tukuyin ang kabuuan ng mga ugat ng equation. Gamit ang theorem ni Vieta, ito ay madaling gawin: b*x2+c*x+d = 0. Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay direktang proporsyonal sa “–c” at inversely proportional sa exponent na “b”. Ibig sabihin, x1+x2 = -c/b. Tukuyin ang produkto ng mga ugat ayon sa pormulasyon - ang produkto ng mga ugat ng isang equation ay direktang proporsyonal sa “d” at inversely proportional sa indicator na “b”: x1*x2 = d/b.

pansinin mo!
Kung nakatanggap ka ng negatibong diskriminasyon, hindi ito nangangahulugan na walang mga ugat. Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng equation ay ang tinatawag na kumplikadong mga ugat. Ang teorama ni Vieta ay naaangkop din sa kasong ito, ngunit ang anyo nito ay bahagyang mababago: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Kapaki-pakinabang na payo
Kung ikaw ay nahaharap hindi sa isang quadratic equation, ngunit may isang cubic o equation ng degree n: b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, pagkatapos ay kalkulahin ang kabuuan o produkto ng mga ugat ng equation, maaari mo ring gamitin nang tama ang theorem ng Vieta :1. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Kung, kapag pinapalitan ang isang numero sa isang equation, nakuha ang tamang pagkakapantay-pantay, ang nasabing numero ay tinatawag na ugat. Ang mga ugat ay maaaring regular, negatibo o zero. Sa bawat hanay ng mga ugat ng equation, ang maximum at minimum ay nakikilala.

Mga tagubilin

1. Hanapin ang lahat ng mga ugat ng equation, piliin ang negatibo sa kanila, kung mayroon man. Sabihin nating binigyan tayo ng quadratic equation 2x?-3x+1=0. Ilapat ang formula para sa paghahanap ng mga ugat ng isang quadratic equation: x(1,2)=/2=/2=/2, pagkatapos x1=2, x2=1. Madaling mapansin na walang mga negatibo sa kanila.

2. Maaari mo ring mahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation gamit ang Vieta's theorem. Ayon sa theorem na ito, x1+x1=-b, x1?x2=c, kung saan b at c ang mga exponents ng equation na x?+bx+c=0, ayon sa pagkakabanggit. Sa pamamagitan ng paglalapat ng teorama na ito, posibleng hindi kalkulahin ang discriminant b?-4ac, na sa ilang mga kaso ay maaaring makabuluhang gawing simple ang problema.

3. Kung sa isang quadratic equation ang exponent sa x ay pantay, maaari mong gamitin hindi ang pangunahing, ngunit isang pinaikling formula upang mahanap ang mga ugat. Kung ang pangunahing pormula ay mukhang x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, pagkatapos ay sa pinaikling anyo ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/a. Kung walang dummy term sa isang quadratic equation, medyo madaling alisin ang x sa mga bracket. At paminsan-minsan ang kaliwang bahagi ay natitiklop sa isang kumpletong parisukat: x?+2x+1=(x+1)?.

4. Mayroong mga uri ng mga equation na nagbibigay hindi lamang isang numero, ngunit isang buong grupo ng mga solusyon. Sabihin nating mga trigonometric equation. Kaya, ang resulta para sa equation na 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 ay magiging x=?/4+?k, kung saan ang k ay isang integer. Iyon ay, kapag pinapalitan ang anumang integer na halaga ng parameter k, ang argumentong x ay makakatugon sa ibinigay na equation.

5. Sa mga problema sa trigonometrya, maaaring kailanganin mong hanapin ang lahat ng negatibong ugat o ang pinakamataas sa mga negatibo. Upang malutas ang mga naturang problema, ginagamit ang lohikal na pangangatwiran o ang paraan ng induction ng matematika. Isaksak ang ilang integer value para sa k sa expression na x=?/4+?k at obserbahan kung paano gumagana ang argumento. Sa pamamagitan ng paraan, ang pinakamalaking negatibong ugat sa nakaraang equation ay magiging x=-3?/4 na may k=1.

Video sa paksa

pansinin mo!
Sa halimbawang ito, isinasaalang-alang namin ang isang bersyon ng isang quadratic equation kung saan ang a=1. Upang malutas ang isang kumpletong quadratic equation gamit ang parehong paraan, kung saan ang a&ne 1, kailangan mong lumikha ng isang auxiliary equation, na nagdadala ng "a" sa pagkakaisa.

Kapaki-pakinabang na payo
Gamitin ang pamamaraang ito ng paglutas ng mga equation upang mabilis na matuklasan ang mga ugat. Makakatulong din ito kung kailangan mong lutasin ang isang equation sa iyong ulo nang hindi kumukuha ng mga tala.

Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

(Recall: ang pinababang quadratic equation ay isang equation kung saan ang unang coefficient ay 1).

Paliwanag:

Hayaan ang quadratic equation palakol 2 +bx +c Ang = 0 ay may mga ugat X 1 at X 2. Pagkatapos, ayon sa teorama ni Vieta:

Halimbawa 1:

Ang ibinigay na equation x 2 – 7x + 10 = 0 ay may mga ugat 2 at 5.

Ang kabuuan ng mga ugat ay 7 at ang produkto ay 10.

At sa aming equation ang pangalawang koepisyent ay -7, at ang libreng termino ay 10.

Kaya, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Kadalasan mayroong mga quadratic equation na madaling kalkulahin gamit ang teorem ng Vieta - bukod dito, mas madaling kalkulahin ang mga ito sa tulong nito. Madali itong i-verify pareho sa nakaraang halimbawa at sa susunod.

Halimbawa 2. Lutasin ang quadratic equation X 2 – 2X – 24 = 0.

Solusyon .

Inilapat namin ang teorama ni Vieta at isulat ang dalawang pagkakakilanlan:

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

Pinipili namin ang mga salik para sa –24 upang ang kanilang kabuuan ay katumbas ng 2. Pagkatapos ng ilang pag-iisip, makikita natin ang: 6 at –4. Suriin natin:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Tulad ng napansin mo, sa pagsasagawa, ang kakanyahan ng teorama ng Vieta ay upang mabulok ang libreng termino sa ibinigay na quadratic equation sa mga salik na ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda.

Ang mga salik na ito ang magiging ugat.

Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng aming quadratic equation ay 6 at –4. X 1 = 6, X 2 = –4.

Sagot:

Halimbawa 3. Lutasin natin ang quadratic equation na 3x 2 + 2x – 5 = 0.

Solusyon .

Dito hindi tayo nakikitungo sa isang pinababang quadratic equation. Ngunit ang mga naturang equation ay maaari ding malutas gamit ang Vieta's theorem kung ang kanilang mga coefficient ay balanse - halimbawa, kung ang kabuuan ng una at ikatlong coefficient ay katumbas ng pangalawa na may kabaligtaran na tanda.

3 + (–5) = –2.

Ang mga coefficient ng equation ay balanse: ang kabuuan ng una at ikatlong termino ay katumbas ng pangalawa na may kabaligtaran na tanda:

Alinsunod sa teorama ni Vieta
x 1 + x 2 = –2/3

x 1 x 2 = –5/3.

Kailangan nating maghanap ng dalawang numero na ang kabuuan ay –2/3 at produkto –5/3. Ang mga numerong ito ang magiging ugat ng equation.
Ang unang numero ay nahulaan kaagad: ito ay 1. Pagkatapos ng lahat, kapag x = 1, ang equation ay nagiging pinakasimpleng karagdagan at pagbabawas:
3 + 2 – 5 = 0. Paano mahahanap ang pangalawang ugat?

Katawanin natin ang 1 bilang 3/3 upang ang lahat ng mga numero ay may parehong denominator: mas madali sa ganoong paraan. At ang mga karagdagang aksyon ay agad na lumitaw. Kung x 1 = 3/3, kung gayon:

3/3 + x 2 = –2/3.

Lutasin natin ang isang simpleng equation:

x 2 = –2/3 – 3/3.

Sagot: x 1 = 1; x 2 = –5/3 Halimbawa 4: Lutasin ang Quadratic Equation 7 2 – 6Halimbawa 4: Lutasin ang Quadratic Equation 7 – 1 = 0.

x

Solusyon: X Ang isang ugat ay nahayag kaagad - nakakakuha ito ng iyong mata:

1 = 1 (dahil ang simpleng aritmetika ay lumalabas na: 7 – 6 – 1 = 0).
7 + (– 1) = 6.

Ang mga coefficient ng equation ay balanse: ang kabuuan ng una at pangatlo ay katumbas ng pangalawa na may kabaligtaran na tanda:

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

Palitan ang halaga x 1 sa alinman sa dalawang expression na ito at hanapin ang x 2:

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Sagot: X 1 = 1; X 2 = –1/7

Discriminant ng pinababang quadratic equation.

Ang discriminant ng pinababang quadratic equation ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng isang pangkalahatang formula o ng isang pinasimple:

SaD = 0, ang mga ugat ng equation sa itaas ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Kung si D< 0, то уравнение не имеет корней.

Kung D = 0, ang equation ay may isang ugat.

Kung D > 0, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.