Mga Kahulugan:

Extremum tinatawag na maximum o pinakamababang halaga mga function sa isang naibigay na set.

Extremum na punto ay ang punto kung saan naabot ang maximum o minimum na halaga ng function.

Pinakamataas na punto ay ang punto kung saan ito ay nakamit pinakamataas na halaga mga function.

Pinakamababang punto ay ang punto kung saan naabot ang pinakamababang halaga ng function.

Paliwanag.

Sa figure, sa paligid ng puntong x = 3, ang pag-andar ay umabot sa pinakamataas na halaga nito (iyon ay, sa paligid ng partikular na puntong ito ay walang mas mataas na punto). Sa kapitbahayan ng x = 8, muli itong may pinakamataas na halaga (linawin natin muli: nasa lugar na ito na walang mas mataas na punto). Sa mga puntong ito, ang pagtaas ay nagbibigay daan sa pagbaba. Ang mga ito ay ang pinakamataas na puntos:

x max = 3, x max = 8.

Sa paligid ng puntong x = 5, ang pinakamababang halaga ng function ay naabot (iyon ay, sa paligid ng x = 5 walang punto sa ibaba). Sa puntong ito ang pagbaba ay nagbibigay daan sa pagtaas. Ito ang pinakamababang punto:

Ang pinakamataas at pinakamababang puntos ay matinding mga punto ng pag-andar, at ang mga halaga ng function sa mga puntong ito ay nito sukdulan.

Mga kritikal at nakatigil na punto ng function:

Mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum:

Sapat na kondisyon para sa isang extremum:

Sa isang segment ang function y = f(x) ay maaaring maabot ang pinakamababa o pinakamataas na halaga nito alinman sa mga kritikal na punto o sa mga dulo ng segment.

Algorithm para sa pag-aaral ng tuluy-tuloy na functiony = f(x) para sa monotonicity at extrema:

Isaalang-alang ang sumusunod na pigura.

Ipinapakita nito ang graph ng function na y = x^3 – 3*x^2. Isaalang-alang natin ang ilang pagitan na naglalaman ng puntong x = 0, halimbawa mula -1 hanggang 1. Ang ganitong pagitan ay tinatawag ding neighborhood ng point x = 0. Gaya ng makikita sa graph, sa neighborhood na ito ang function na y = x ^3 – 3*x^2 ay tumatagal ng pinakamalaking halaga nang tumpak sa puntong x = 0.

Pinakamataas at pinakamababang pag-andar

Sa kasong ito, ang puntong x = 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function. Sa pamamagitan ng pagkakatulad dito, ang puntong x = 2 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function na y = x^3 – 3*x^2. Dahil mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito kung saan ang halaga sa puntong ito ay magiging minimal sa lahat ng iba pang mga halaga mula sa kapitbahayan na ito.

Dot maximum Ang function na f(x) ay tinatawag na point x0, sa kondisyon na mayroong isang neighborhood ng point x0 na para sa lahat ng x na hindi katumbas ng x0 mula sa neighborhood na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) ay nagtataglay< f(x0).

Dot pinakamababa Ang function na f(x) ay tinatawag na point x0, sa kondisyon na mayroong isang neighborhood ng point x0 na para sa lahat ng x na hindi katumbas ng x0 mula sa neighborhood na ito, ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x) > f(x0) ay nagtataglay.

Sa mga punto ng maximum at minimum ng mga function, ang halaga ng derivative ng function ay zero. Ngunit hindi ito sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng isang function sa maximum o minimum na punto.

Halimbawa, ang function na y = x^3 sa puntong x = 0 ay may derivative na katumbas ng zero. Ngunit ang puntong x = 0 ay hindi ang pinakamababa o pinakamataas na punto ng function. Tulad ng alam mo, ang function na y = x^3 ay tumataas kasama ang buong numerical axis.

Kaya, ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ay palaging magiging kabilang sa mga ugat ng equation na f'(x) = 0. Ngunit hindi lahat ng mga ugat ng equation na ito ay magiging pinakamataas o pinakamababang puntos.

Nakatigil at kritikal na mga punto

Ang mga punto kung saan ang halaga ng derivative ng function ay zero ay tinatawag na mga nakatigil na puntos. Maaaring mayroon ding mga punto ng maximum o minimum sa mga punto kung saan ang derivative ng function ay wala sa lahat. Halimbawa, y = |x| sa puntong x = 0 ay may pinakamababa, ngunit ang derivative ay hindi umiiral sa puntong ito. Ang puntong ito ang magiging kritikal na punto ng function.

Ang mga kritikal na punto ng isang function ay ang mga punto kung saan ang derivative ay katumbas ng zero, o ang derivative ay hindi umiiral sa puntong ito, iyon ay, ang function sa puntong ito ay hindi nakikilala. Upang mahanap ang maximum o minimum ng isang function, isang sapat na kundisyon ang dapat matugunan.

Hayaang ang f(x) ay ilang naiba-iba na function sa pagitan (a;b). Ang puntong x0 ay kabilang sa pagitan na ito at f’(x0) = 0. Pagkatapos:

1. kung, kapag dumadaan sa isang nakatigil na punto x0, ang function na f(x) at ang derivative nito ay nagbabago ng sign, mula sa "plus" hanggang sa "minus", kung gayon ang puntong x0 ay ang pinakamataas na punto ng function.

2. kung, kapag dumadaan sa isang nakatigil na punto x0, ang function na f(x) at ang derivative nito ay nagbabago ng sign, mula sa "minus" hanggang sa "plus", kung gayon ang point x0 ay ang pinakamababang punto ng function.

Mga kritikal na puntos– ito ang mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay katumbas ng zero o wala. Kung ang derivative ay katumbas ng 0 kung gayon ang function sa puntong ito ay tumatagal lokal na minimum o maximum. Sa graph sa naturang mga punto ang function ay may pahalang na asymptote, iyon ay, ang padaplis ay parallel sa Ox axis.

Ang ganitong mga punto ay tinatawag nakatigil. Kung makakita ka ng "umbok" o "butas" sa graph ng isang tuluy-tuloy na function, tandaan na ang maximum o minimum ay naabot sa isang kritikal na punto. Kunin natin ang sumusunod na gawain bilang isang halimbawa.

Halimbawa 1. Hanapin ang mga kritikal na punto ng function na y=2x^3-3x^2+5.
Solusyon. Ang algorithm para sa paghahanap ng mga kritikal na puntos ay ang mga sumusunod:

Kaya ang function ay may dalawang kritikal na puntos.

Susunod, kung kailangan mong pag-aralan ang isang function, pagkatapos ay tinutukoy namin ang sign ng derivative sa kaliwa at sa kanan ng kritikal na punto. Kung ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa "-" hanggang sa "+" kapag dumadaan sa kritikal na punto, ang function ay tumatagal lokal na minimum. Kung mula sa "+" hanggang "-" ay dapat lokal na maximum.

Pangalawang uri ng mga kritikal na puntos ito ang mga zero ng denominator ng fractional at irrational functions

Logarithmic at trigonometric function na hindi tinukoy sa mga puntong ito


Ikatlong uri ng mga kritikal na puntos may piecewise na tuloy-tuloy na function at modules.
Halimbawa, ang anumang module-function ay may minimum o maximum sa break point.

Halimbawa module y = | x -5 |
sa puntong x = 5 ay may pinakamababa (kritikal na punto).

Ang derivative ay hindi umiiral dito, ngunit sa kanan at kaliwa ay tumatagal ng halaga 1 at -1, ayon sa pagkakabanggit.

1)
2)
3)
4)
5)

Subukan upang matukoy ang mga kritikal na punto ng mga function
Kung ang sagot ay y nakukuha mo ang halaga
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. tapos alam mo na kung paano makahanap ng mga kritikal na puntos

at makayanan ang isang simpleng pagsubok o pagsubok. Domain ng isang function, kalkulahin ang derivative nito, hanapin ang domain ng derivative ng isang function, hanapin puntos

ginagawang zero ang derivative, patunayan na ang mga nahanap na puntos ay nabibilang sa domain ng kahulugan ng orihinal na function. Domain ng isang function, kalkulahin ang derivative nito, hanapin ang domain ng derivative ng isang function, hanapin Halimbawa 1 Tukuyin ang kritikal

mga function y = (x - 3)²·(x-2). Solusyon Hanapin ang domain ng function sa sa kasong ito walang mga paghihigpit: x ∈ (-∞; +∞) Kalkulahin ang derivative ng y’. Ayon sa mga patakaran para sa pagkakaiba ng produkto ng dalawa, mayroon tayong: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Pagkatapos nito ay lumabas quadratic equation

Hanapin ang domain ng kahulugan ng derivative ng function: x ∈ (-∞; +∞ Solve the equation 3 x² – 16 x + 21 = 0 para malaman kung saan ito nagiging zero: 3 x² – 16 x +). 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Kaya, ang derivative ay napupunta sa zero sa mga halaga ng x katumbas ng 3 at 7/3.

Tukuyin kung nabibilang ang mga natagpuan Domain ng isang function, kalkulahin ang derivative nito, hanapin ang domain ng derivative ng isang function, hanapin domain ng kahulugan ng orihinal na function. Dahil x (-∞; +∞), pagkatapos ay pareho sa mga ito Domain ng isang function, kalkulahin ang derivative nito, hanapin ang domain ng derivative ng isang function, hanapin ay kritikal.

Halimbawa 2: Tukuyin ang kritikal Domain ng isang function, kalkulahin ang derivative nito, hanapin ang domain ng derivative ng isang function, hanapin mga function y = x² – 2/x.

SolutionDomain ng function: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), dahil ang x ay nasa denominator. Kalkulahin ang derivative y’ = 2 x + 2/x².

Ang domain ng kahulugan ng derivative ng function ay kapareho ng sa orihinal: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞ Solve the equation 2 x + 2/x² = 0: 2 x =). -2/x² → x = -1.

Kaya, ang derivative ay napupunta sa zero sa x = -1. Ang kinakailangan ngunit hindi sapat na kondisyon para sa pagiging kritikal ay natutugunan. Dahil ang x=-1 ay nahuhulog sa pagitan (-∞; 0) ∪ (0; +∞), kung gayon ang puntong ito ay kritikal.

Mga Pinagmulan:

• Kritikal na dami ng benta, pcsThreshold

Maraming kababaihan ang nagdurusa sa premenstrual syndrome, na ipinakita hindi lamang sa pamamagitan ng masakit na sensasyon, kundi pati na rin sa pagtaas ng gana. Bilang resulta kritikal na araw maaaring makabuluhang pabagalin ang proseso ng pagbaba ng timbang.

Mga dahilan para sa pagtaas ng gana sa panahon ng regla

Ang dahilan para sa pagtaas ng gana sa panahon ng regla ay isang pagbabago sa pangkalahatang mga antas ng hormonal sa babaeng katawan. Ilang araw bago ang pagsisimula ng regla, ang antas ng hormone progesterone ay tumataas, ang katawan ay nag-aayos sa posibilidad at sinusubukang gumawa ng karagdagang mga reserbang enerhiya sa anyo ng mga deposito ng taba, kahit na ang babae ay nakaupo. Kaya, ang mga pagbabago sa timbang sa mga kritikal na araw ay normal.

Paano kumain sa panahon ng iyong regla

Subukang huwag kumain ng mga matatamis, confectionery at iba pang mga pagkaing mataas ang calorie na naglalaman ng mga “mabilis” na pagkain sa mga araw na ito. Ang kanilang labis ay agad na idedeposito sa taba. Sa panahong ito, maraming kababaihan ang talagang gustong kumain ng tsokolate sa kasong ito, maaari kang bumili ng maitim na tsokolate at ituring ang iyong sarili sa ilang mga hiwa, ngunit wala na. Sa panahon ng iyong regla, hindi ka dapat uminom ng mga inuming may alkohol, marinade, atsara, pinausukang pagkain, buto at mani. Sa pangkalahatan, ang mga atsara at pinausukang pagkain ay dapat na limitado sa diyeta 6-8 araw bago magsimula ang regla, dahil ang mga naturang produkto ay nagdaragdag ng mga reserbang tubig sa katawan, at ang panahong ito ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtaas ng akumulasyon ng likido. Upang bawasan ang dami ng asin sa iyong diyeta, magdagdag ng kaunting halaga nito sa mga inihandang pagkain.

Inirerekomenda na ubusin ang mababang taba na mga produkto ng pagawaan ng gatas, mga pagkaing halaman, at mga cereal. Beans, pinakuluang patatas, bigas - ang mga produkto na naglalaman ng "mabagal" na carbohydrates ay magiging kapaki-pakinabang. Ang pagkaing-dagat, atay, isda, karne ng baka, manok, itlog, munggo, at mga pinatuyong prutas ay makatutulong na mapunan ang mga pagkawala ng bakal. Ang wheat bran ay magiging kapaki-pakinabang. Ang isang natural na reaksyon sa panahon ng regla ay pamamaga. Ang mga light diuretic herbs ay makakatulong na itama ang kondisyon: basil, dill, perehil, kintsay. Maaari silang magamit bilang isang pampalasa. Sa ikalawang kalahati ng cycle, inirerekumenda na ubusin ang mga pagkaing protina (lean meat at isda, mga produkto ng pagawaan ng gatas), at ang dami ng carbohydrates sa diyeta ay dapat mabawasan hangga't maaari.

Pang-ekonomiyang konsepto ng kritikal na dami benta tumutugma sa posisyon ng negosyo sa merkado, kung saan ang kita mula sa pagbebenta ng mga kalakal ay minimal. Ang sitwasyong ito ay tinatawag na break-even point, kapag bumababa ang demand para sa mga produkto at halos hindi na sakop ng kita ang mga gastos. Upang matukoy ang kritikal na dami benta, gumamit ng ilang paraan.

Mga tagubilin

Ang siklo ng trabaho ay hindi limitado sa mga aktibidad nito - produksyon o serbisyo. Ito ay isang kumplikadong gawain ng isang tiyak na istraktura, kabilang ang gawain ng pangunahing tauhan, kawani ng pamamahala, kawani ng pamamahala, atbp., pati na rin ang mga ekonomista, na ang gawain ay pagsusuri sa pananalapi mga negosyo.

Ang layunin ng pagsusuri na ito ay upang kalkulahin ang ilang mga dami na, sa isang antas o iba pa, ay nakakaapekto sa laki ng huling kita. Ito iba't ibang uri dami ng produksyon at benta, buo at karaniwan, mga tagapagpahiwatig ng demand, atbp. Ang pangunahing gawain ay upang matukoy ang dami ng produksyon kung saan itinatag ang isang matatag na ugnayan sa pagitan ng mga gastos at kita.

Pinakamababang dami benta, kung saan ang kita ay ganap na sumasakop sa mga gastos, ngunit hindi tumataas equity Ang kumpanya ay tinatawag na kritikal na dami benta. Mayroong tatlong mga pamamaraan para sa pagkalkula ng paraan ng tagapagpahiwatig na ito: ang paraan ng mga equation, marginal na kita at graphical.

Upang matukoy ang kritikal na dami benta ayon sa unang paraan, lumikha ng isang equation ng form: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, kung saan: Вп – kita mula sa benta at ;Zper at Zpos – variable at pare-pareho ang gastos; benta At.

Ayon sa isa pang paraan, ang unang termino, kita mula sa benta, ipakita ito bilang produkto ng marginal na kita sa bawat yunit ng mga kalakal at dami benta, ang parehong naaangkop sa mga variable na gastos. Mga nakapirming gastos ilapat sa buong batch ng mga produkto, kaya iwanan ang bahaging ito na karaniwan: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Ipahayag ang halaga ng N mula sa equation na ito at makuha mo ang kritikal na dami benta:N = Zpos/(MD – Zper1), kung saan ang Zper1 ay ang mga variable na gastos sa bawat yunit ng mga kalakal.

Ang graphical na paraan ay nagsasangkot ng pagbuo. Mag-apply sa coordinate plane dalawang linya: ang function ng kita mula sa benta bawasan ang parehong gastos at kita function. Sa abscissa axis, i-plot ang volume ng produksyon, at sa ordinate axis, ang kita mula sa kaukulang dami ng mga kalakal, na ipinahayag sa monetary units. Ang intersection point ng mga linyang ito ay tumutugma sa kritikal na volume benta, break-even na posisyon.

Mga Pinagmulan:

• kung paano tukuyin ang kritikal na gawain

Ang kritikal na pag-iisip ay isang hanay ng mga paghatol na batay sa kung saan ang ilang mga konklusyon ay nabuo at isang pagtatasa ng mga bagay ng pagpuna. Ito ay partikular na katangian ng mga mananaliksik at siyentipiko ng lahat ng sangay ng agham. Ang kritikal na pag-iisip ay sumasakop sa isang mas mataas na antas kumpara sa ordinaryong pag-iisip.

Ang halaga ng karanasan sa pagbuo ng kritikal na pag-iisip

Mahirap pag-aralan at gumawa ng mga konklusyon tungkol sa isang bagay na hindi mo naiintindihan ng mabuti. Samakatuwid, upang matutong mag-isip nang kritikal, kinakailangan na pag-aralan ang mga bagay sa lahat ng uri ng koneksyon at relasyon sa iba pang mga phenomena. At gayundin malaking halaga sa kasong ito, may kaalaman sa impormasyon tungkol sa mga naturang bagay, ang kakayahang bumuo ng mga lohikal na kadena ng mga paghatol at gumuhit ng mga makatwirang konklusyon.

Halimbawa, ang paghusga sa halaga gawa ng sining ay posible lamang sa pamamagitan ng pag-alam ng marami sa iba pang mga bunga ng aktibidad na pampanitikan. Kasabay nito, magandang maging eksperto sa kasaysayan ng pag-unlad ng tao, pagbuo ng panitikan at kritisismong pampanitikan. Sa paghihiwalay sa kontekstong pangkasaysayan, ang isang akda ay maaaring mawala ang nilalayon nitong kahulugan. Upang ang pagtatasa ng isang likhang sining ay maging sapat na kumpleto at makatwiran, kinakailangan ding gamitin ang iyong kaalaman sa panitikan, na kinabibilangan ng mga tuntunin sa pagbuo. tekstong pampanitikan sa loob ng mga indibidwal na genre, isang sistema ng iba't ibang mga pamamaraan sa panitikan, pag-uuri at pagsusuri ng mga umiiral na istilo at uso sa panitikan, atbp. Kasabay nito, mahalagang pag-aralan ang panloob na lohika ng balangkas, ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, ang pag-aayos at pakikipag-ugnayan ng mga karakter sa isang gawa ng sining.

Mga tampok ng kritikal na pag-iisip

Ang iba pang mga tampok ng kritikal na pag-iisip ay kinabibilangan ng mga sumusunod:
- Ang kaalaman tungkol sa bagay na pinag-aaralan ay panimulang punto lamang para sa karagdagang aktibidad ng utak na nauugnay sa pagbuo ng mga lohikal na kadena;
- ang tuluy-tuloy na binuo at ang pangangatwiran ng sentido komun ay humahantong sa pagkakakilanlan ng totoo at maling impormasyon tungkol sa bagay na pinag-aaralan;
- Ang kritikal na pag-iisip ay palaging nauugnay sa pagtatasa ng magagamit na impormasyon tungkol sa bagay na ito at mga kaukulang konklusyon, ang pagtatasa, naman, ay nauugnay sa mga umiiral na kasanayan.

Hindi tulad ng ordinaryong pag-iisip, ang kritikal na pag-iisip ay hindi napapailalim sa bulag na pananampalataya. Ang kritikal na pag-iisip ay nagpapahintulot, sa tulong ng isang buong sistema ng paghuhusga tungkol sa layunin ng kritisismo, na maunawaan ang kakanyahan nito, kilalanin ang tunay na kaalaman tungkol dito at pabulaanan ang mga mali. Ito ay batay sa lohika, lalim at pagkakumpleto ng pag-aaral, katotohanan, kasapatan at pagkakapare-pareho ng mga paghatol. Sa kasong ito, ang mga malinaw at matagal nang napatunayan na mga pahayag ay tinatanggap bilang mga postulate at hindi nangangailangan ng paulit-ulit na patunay at pagsusuri.

Sa mga nakaraang talakayan ay hindi namin ginamit ang mga teknikal na pamamaraan ng differential calculus.

Mahirap na hindi aminin na ang ating mga pamamaraan sa elementarya ay mas simple at mas direkta kaysa sa mga pamamaraan ng pagsusuri. Sa pangkalahatan, kapag nakikitungo sa isang partikular na problemang pang-agham, mas mahusay na magpatuloy mula dito indibidwal na katangian kaysa umasa lamang pangkalahatang pamamaraan, bagaman, sa kabilang banda, pangkalahatang prinsipyo, na nililinaw ang kahulugan ng mga espesyal na pamamaraang inilapat, siyempre, ay dapat palaging gumaganap ng isang nangungunang papel. Ito ang tiyak na kahalagahan ng mga pamamaraan ng differential calculus kapag isinasaalang-alang ang matinding problema. Naobserbahan sa modernong agham ang pagnanais para sa pangkalahatan ay kumakatawan lamang sa isang bahagi ng bagay, dahil ang tunay na mahalaga sa matematika ay, walang anumang pag-aalinlangan, na tinutukoy ng mga indibidwal na katangian ng mga problemang isinasaalang-alang at ang mga pamamaraang ginagamit.

Sa kanyang makasaysayang pag-unlad Ang differential calculus ay lubos na naiimpluwensyahan ng mga indibidwal na problema na nauugnay sa paghahanap ng pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng mga dami. Ang koneksyon sa pagitan ng matinding problema at differential calculus ay mauunawaan bilang mga sumusunod. Sa Kabanata VIII ay sasabak tayo sa isang detalyadong pag-aaral ng derivative f"(x) ng function na f(x) at ang geometric na kahulugan nito. Doon ay makikita natin na, sa madaling sabi, ang derivative f"(x) ay ang slope ng ang padaplis sa kurba y = f(x) sa punto (x, y). Ito ay geometrically halata na sa pinakamataas o pinakamababang punto ng isang makinis na kurba y = f(x) ang padaplis sa kurba ay dapat na tiyak na pahalang, ibig sabihin, ang slope ay dapat na zero. Kaya, nakukuha namin ang kundisyon para sa mga extremum point f"(x) = 0.

Upang malinaw na maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng paglaho ng derivative na f"(x), isaalang-alang ang kurba na ipinapakita sa Fig. 191. Nakikita natin dito ang limang punto A, B, C, D, ?, kung saan ang padaplis sa kurba ay pahalang. ; tukuyin natin ang mga katumbas na halaga ng f(x) sa mga puntong ito sa pamamagitan ng a, b, c, d, e. Pinakamataas na halaga f(x) (sa loob ng lugar na ipinapakita sa drawing) ay nakakamit sa punto D, ang pinakamaliit sa puntong A. Sa punto B mayroong maximum - sa kahulugan na sa lahat ng punto ilang kapitbahayan puntos B, ang halaga ng f(x) ay mas mababa sa b, bagama't sa mga puntong malapit sa D, ang halaga ng f(x) ay mas malaki pa rin sa b. Para sa kadahilanang ito, kaugalian na sabihin na sa punto B ay mayroon kamag-anak na maximum ng pag-andar f(x), samantalang sa punto D - ganap na maximum. Sa parehong paraan, sa punto C mayroong kamag-anak na minimum, at sa puntong A - ganap na minimum. Sa wakas, para sa punto E, walang maximum o minimum dito, kahit na ang pagkakapantay-pantay ay natanto pa rin dito. f"(x) = Q, Kasunod nito na ang paglalaho ng derivative f"(x) ay kailangan, ngunit hindi sa lahat sapat kundisyon para sa paglitaw ng isang extremum ng isang makinis na function f(x); sa madaling salita, sa anumang punto kung saan mayroong isang extremum (ganap o kamag-anak), ang pagkakapantay-pantay ay tiyak na magaganap f"(x) = 0, ngunit hindi sa bawat punto kung saan f"(x) = 0, dapat ay isang extremum. Ang mga puntong iyon kung saan nawawala ang derivative f"(x), kahit na mayroong extremum sa kanila, ay tinatawag na nakatigil. Ang karagdagang pagsusuri ay humahantong sa mas marami o hindi gaanong kumplikadong mga kondisyon tungkol sa mas mataas na mga derivative ng function na f(x) at ganap na nailalarawan ang maxima, minima at iba pang nakatigil na mga punto.