Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

• Izobraževalno: razširiti študentovo razumevanje propozicionalne algebre, predstaviti logične operacije in tabele resnic.
• Razvojni:
razvijati sposobnost študentov za delovanje s pojmi in simboliko matematične logike; nadaljevanje oblikovanja logičnega mišljenja; razviti kognitivno aktivnost; širjenje obzorja učencev.
• Izobraževalni:
razvijati sposobnost izražanja svojega mnenja; privzgojiti veščine samostojnega dela.

VRSTA POUKA: kombinirani pouk - razlaga nove snovi, ki ji sledi utrjevanje pridobljenega znanja.

TRAJANJE LEKCIJE: 40 minut.

MATERIALNO TEHNIČNA OSNOVA:

• interaktivna tabla SmartBoard.
• Aplikacija MS Windows - PowerPoint 2007.
• Različica elektronske ure, ki jo je pripravil učitelj (predstavitev v PowerPoint 2007).
• Kartice z nalogami, ki jih pripravi učitelj.

UČNI NAČRT:

JAZ. Organiziranje časa- 1 min.

II. Določitev ciljev lekcije - 2 min.

III. Posodabljanje znanja - 9 min.

IV. Predstavitev novega gradiva - 15 min.

V. Utrjevanje preučenega gradiva - 8 min.

VI. Refleksija "Nedokončani stavki" - 3 min.

VII. Zaključek. Domača naloga - 2 min.

MED POUKOM

I. Organizacijski trenutek.

Pozdrav, označevanje odsotnih od pouka.

Diapozitiv 1

Še naprej preučujemo razdelek "Logični jezik". Današnja lekcija je posvečena temi "Logične izjave". Začnimo s preverjanjem Domača naloga(preberejo se pesmi učencev, ki vsebujejo veliko logičnih veznikov (operacij) in ugotovijo, da je možno poljubno informacijo nedvoumno interpretirati na podlagi algebre logike).

Tako je cilj naše lekcije preučiti logične operacije in ugotoviti, da je mogoče poljubne informacije nedvoumno interpretirati na podlagi algebre logike. Toda najprej morate ponoviti gradivo, naučeno v zadnji lekciji.

III. Posodabljanje znanja (frontalno anketiranje).

Naloga 1. Delo s kartami (podajte kratke odgovore na zastavljena vprašanja). (logika)

• Zdravo!
• Aksiom ne zahteva dokaza.
• Dežuje.
• Kakšna je temperatura zunaj?
• Rubelj je denarna enota Rusije.
• Niti ribe ne morete brez težav potegniti iz ribnika.
• Število 2 ni delitelj števila 9.
• Število x ni večje od 2.

7. Ugotovite resničnost ali lažnost izjave:

• Računalništvo se uči v srednješolskem tečaju.
• "E" je šesta črka v abecedi.
• Kvadrat je romb.
• Kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov katet.
• Vsota kotov trikotnika je 1900.
• 12+14 > 30.
• Pingvini živijo na severnem tečaju Zemlje.
• 23+12=5*7.

Kaj je torej izjava? (Izjavni stavek, za katerega lahko rečemo, da je resničen ali napačen.)

Kaj je preprosta izjava? (Izjava se imenuje preprosta (elementarna), če noben njen del ni izjava.)

Kaj je sestavljena izjava? (Sestavljena izjava je sestavljena iz preproste izjave, povezane z logičnimi vezniki (operacijami).)

Naloga 2. Sestavite sestavljene izjave iz preprostih izjav: "A = Petya bere knjigo", "B = Petya pije čaj." (na ekranu - diapozitiv 2)

Nadaljujmo z delom.

Naloga 3. V naslednjih trditvah označite preproste trditve in vsako označite s črko:

1. Pozimi gredo otroci na drsanje ali smučanje. (slide 3)
2. Ni res, da se Sonce giblje okoli Zemlje. (diapozitiv 4)
3. Število 15 je deljivo s 3, če in samo če je vsota števk števila 15 deljiva s 3. (diapozitiv 5)
4. Če je bila včeraj nedelja, potem Dima včeraj ni bil v šoli in je ves dan hodil. (diapozitiv 6)

IV. Predstavitevnov material.

V prejšnjih nalogah so bili uporabljeni različni logični vezniki: »in«, »ali«, »ne«, »če: potem:«, »če in samo če:«. V algebrski logiki imajo logični vezniki in ustrezne logične operacije posebna imena. Razmislimo o 3 osnovnih logičnih operacijah - inverziji, konjunkciji in disjunkciji, s pomočjo katerih lahko dobite sestavljene izjave. (diapozitiv 7)

Vsaka logična operacija je definirana s tabelo, imenovano tabela resnic. Tabela resnice logičnega izraza je tabela, v kateri so na levi strani zapisane vse možne kombinacije vrednosti izvornih podatkov, na desni strani pa vrednost izraza za vsako kombinacijo.

Negacija je logična operacija, ki vsako preprosto (elementarno) izjavo poveže z novo izjavo, katere pomen je nasproten prvotnemu. ( zdrs 8)

Oglejmo si pravilo za konstrukcijo negacije preproste izjave.

pravilo: Pri konstruiranju negacije na preprosto izjavo se uporabi besedna zveza "to ni res" ali pa je negacija zgrajena v predikat, nato se predikatu doda delček "ne" in beseda "vse" zamenjati z "nekateri" in obratno.

Naloga 4. Konstruirajte inverzijo (negacijo) na preprosto izjavo:

1. A = Doma imam računalnik. ( zdrs 9)
2. A = Vsi fantje 11. razreda so odlični učenci.
3. Ali bo izjava negacija: "Vsi fantje v 11. razredu niso odlični učenci." ( zdrs 10)

Izjava »Vsi fantje 11. razreda niso odlični učenci« ni zanikanje izjave »Vsi fantje 11. razreda so odlični učenci«. Trditev »Vsi fantje 11. razreda so odlični učenci« je napačna, negacija napačne trditve pa mora biti resnična izjava. Toda trditev »Vsi fantje v 11. razredu niso odličnjaki« ne drži, saj so med učenci 11. razreda tako odličnjaki kot tudi neodličnjaki.

Negacijo lahko grafično predstavimo kot množico. ( diapozitiv 11)

Razmislimo o naslednji logični operaciji - konjunkciji. Izjava, sestavljena iz dveh izjav s kombiniranjem z veznikom "in", se imenuje veznik ali logično množenje (poleg tega se uporabljajo vezniki - a, ampak, čeprav).

Konjunkcija- logična operacija, ki vsaki dve osnovni izjavi poveže z novo izjavo, ki je resnična, če in samo če sta resnični obe začetni izjavi. ( zdrs 12)

Grafično lahko konjunkcijo predstavimo kot množico. ( zdrs 13)

Razmislimo o naslednji logični operaciji - disjunkciji. Izjava, sestavljena iz dveh izjav, združenih z veznikom "ali", se imenuje disjunkcija ali logični dodatek.

Disjunkcija- logična operacija, ki vsaki dve osnovni izjavi poveže z novo izjavo, ki je napačna, če in samo če sta oba začetna stavka napačna. ( zdrs 14)

Grafično lahko disjunkcijo predstavimo kot množico. ( zdrs 15)

Torej, katere so tri osnovne operacije, ki smo se jih naučili? ( zdrs 16)

Poskusimo novo znanje uporabiti pri reševanju testa.

V. Utrjevanje preučene snovi (delo na tabli).

Naloga 5. Povežite diagram in njegovo oznako.( zdrs 17)

Naloga 6. Obstajata dve preprosti trditvi: A = »Število 10 je sodo«, B = »Volk je rastlinojed«. Iz njih sestavite vse možne sestavljene trditve in ugotovite njihovo resničnost.

Odgovor: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

Naloga 8. Podani sta dve preprosti izjavi: A = "Rubelj je valuta Rusije," B = "Grivna je valuta Združenih držav." Katere trditve so resnične?

4)A proti B

Odgovori: 1) 0; 2) 1; trideset; 4) 1.

VI. Odsev "Nedokončani stavki."

• Lekcija se mi je zdela zanimiva, ker:
• Pri lekciji mi je bilo najbolj všeč:
• Zame je bilo novo:

VII. Zaključek. Domača naloga.

Ocenjuje se delo razreda kot celote in posameznih učencev, ki so se pri pouku izkazali.

Domača naloga:

1) Naučite se osnovnih definicij, poznajte notacije.

2) Izmislite si preproste besede. (Skupaj naj bo 5 sklopov po dve trditvi). Iz njih sestavite vse vrste sestavljenih trditev in ugotovite njihovo resničnost.

Seznam uporabljenih materialov:

1. Računalništvo in IKT. 10-11 razred. Raven profila. 1. del: 10. razred: učbenik za splošnoizobraževalne ustanove / M.E. Fioshin, A.A. Ressin - M.: Bustard, 2008
2. Matematične osnove računalništva. Učbenik /E.V. Andreeva, L.L. Bosova, I.N. Falina - M.: BINOM. Laboratorij znanja, 2007
3. Materiali učitelja računalništva N.P. Pospelova, Mestna izobraževalna ustanova Srednja šola št. 22, Soči
4. Fragmenti predstavitve učitelja računalništva K.Yu Polyakova.

Izjava je bolj zapletena tvorba kot ime. Ko izjave razčlenimo na enostavnejše dele, vedno dobimo eno ali drugo ime. Recimo, izjava "Sonce je zvezda" vključuje imeni "Sonce" in "zvezda" kot svoja dela.

Izjava- slovnično pravilen stavek, vzet skupaj s pomenom (vsebino), ki ga izraža in je resničen ali neresničen.

Koncept izreka je eden od prvotnih, ključni pojmi logika. Kot taka ne dovoljuje natančna definicija, ki je enako uporabna v različnih delih.

Trditev velja za resnično, če opis, ki ga daje, ustreza resničnemu stanju, za napačno pa, če mu ne ustreza. »Resnično« in »napačno« se imenujeta »resnične vrednosti izjav«.

Iz posameznih izjav različne poti lahko sestavite nove izjave.

Na primer, iz izjav »Veter piha« in »Dežuje« lahko sestavite bolj zapletene izjave »Veter piha in dežuje«, »Ali veter piha ali dežuje«, »Če dežuje, potem veter piha«. «, itd.

Izjava se imenuje preprosto, razen če vključuje druge izjave kot svoje dele.

Izjava se imenuje Sem zapletena, če je pridobljen z uporabo logičnih veznikov iz drugih enostavnejših stavkov.

Upoštevajmo največ pomembne načine sestavljanje kompleksnih izjav.

Negativna izjava je sestavljen iz začetne izjave in zanikanja, običajno izraženega z besedama »ne«, »to ni res«. Negativna izjava je torej kompleksna izjava: kot svoj del vključuje izjavo, ki je drugačna od nje. Na primer, negacija izjave "10 je sodo število" je izjava "10 ni sodo število" (ali: "Ni res, da je 10 sodo število").

Označimo izjave s črkami A, B, C,... Polni pomen pojma negacije izjave nam daje pogoj: če je trditev A resnična, je njena negacija napačna, če pa je A napačna, njegova negacija je resnična. Na primer, ker je »1 pozitivno celo število« resnično, je njegova negacija »1 ni pozitivno celo število« napačna, in ker je »1 praštevilo« napačna, je njena negacija »1 ni praštevilo« prav.

Povezovanje dveh izjav z besedo "in" ustvari zapleteno izjavo, imenovano veznik. Izjave, povezane na ta način, se imenujejo "členi veznika".

Na primer, če trditvi "Danes je vroče" in "Včeraj je bilo hladno" združimo na ta način, dobimo veznik "Danes je vroče in včeraj je bilo hladno."

Konjunkcija je resnična le, če sta resnični obe izjavi, ki sta vanjo vključeni; če je vsaj eden od njenih členov napačen, je celotna konjunkcija napačna.

V običajnem jeziku sta dve izjavi povezani z veznikom »in«, kadar sta vsebinsko ali pomensko povezani. Narava te povezave ni povsem jasna, je pa jasno, da veznika »On je hodil v plašču, jaz pa sem hodil na univerzo« ne bi imeli za izraz, ki ima pomen in je lahko resničen ali neresničen. Čeprav trditvi »2 je praštevilo« in »Moskva je Veliko mesto” so resnični, nismo nagnjeni k temu, da bi njihova konjunkcija “2 je praštevilo in Moskva je veliko mesto” resnična, saj njene sestavne izjave niso pomensko povezane. S poenostavitvijo pomena veznika in drugih logičnih veznikov ter v ta namen opustitvijo nejasnega koncepta »povezovanja izjav po pomenu« logika pomen teh veznikov razširi in razjasni.

Povezovanje dveh izjav z besedo "ali" daje disjunkcija te izjave. Izjave, ki tvorijo disjunkcijo, se imenujejo "člani disjunkcije". .

Beseda "ali" ima v vsakdanjem jeziku dva različna pomena. Včasih pomeni "eno ali drugo ali oba", včasih pa "eno ali drugo, ne pa oboje." Na primer izjava "To sezono želim iti na " Pikova dama“ali k Aidi” dopušča možnost dvakratnega obiska opere. Izjava "Študira na Univerzi v Moskvi ali Jaroslavlju" pomeni, da se je oseba sklicevala na študij samo na eni od teh univerz.

Prvi občutek "ali" se imenuje neizključno. V tem smislu disjunkcija dveh izjav pomeni, da je vsaj ena od teh izjav resnična, ne glede na to, ali sta obe resnični ali ne. Posneto v drugo ekskluzivno, ali stroga, disjunkcija dveh izjav navaja, da je ena od izjav resnična, druga pa napačna.

Neizključna disjunkcija je resnična, če je vsaj ena od njenih sestavnih izjav resnična, in napačna le, če sta oba njena člana napačna.

Ekskluzivna disjunkcija je resnična, če je resničen samo eden od njenih členov, napačna pa je, če sta resnična oba ali sta oba napačna.

V logiki in matematiki se beseda "ali" skoraj vedno uporablja v neizključnem pomenu.

Pogojna izjava - zapletena izjava, običajno oblikovana z uporabo veznika "če ... potem ..." in ugotavlja, da je en dogodek, stanje itd. v enem ali drugem smislu osnova ali pogoj za drugega.

Na primer: "Če je ogenj, potem je tudi dim", "Če je število deljivo z 9, je deljivo s 3" itd.

Pogojni stavek je sestavljen iz dveh preprostejših stavkov. Pokliče se tisti, pred katerim je beseda "če". osnova, oz predhodnik(prejšnji), se kliče izjava, ki sledi besedi "to". posledica, oz posledično(naknadno).

S potrditvijo pogojne izjave najprej mislimo, da ne more biti, da se zgodi tisto, kar je povedano v njeni osnovi, in da tisto, kar je povedano v posledici, ni odsotno. Z drugimi besedami, ne more se zgoditi, da bi bil antecedent resničen, konsekvent pa napačen.

V smislu pogojne izjave sta običajno definirana pojma zadostni in nujni pogoji: antecedent (podlaga) je zadosten pogoj za konsekvent (posledico), konsekvent pa je potreben pogoj za predhodnik. Na primer, resničnost pogojne izjave »Če je izbira racionalna, potem je izbrana najboljša od razpoložljivih alternativ« pomeni, da je racionalnost zadosten razlog za izbiro najboljše od razpoložljivih možnosti in da je izbira takšne možnosti nujen pogoj za njegovo racionalnost.

Tipična funkcija pogojne izjave je utemeljitev ene izjave s sklicevanjem na drugo izjavo. Na primer, dejstvo, da je srebro električno prevodno, je mogoče utemeljiti s sklicevanjem na dejstvo, da je kovina: "Če je srebro kovina, je električno prevodno."

Povezavo med utemeljitvenim in upravičenim (temeljem in posledico), izraženim s pogojnikom, je težko opredeliti v splošni pogled in le včasih je njegova narava relativno jasna. Ta povezava je lahko najprej povezava logične posledice, ki poteka med premisami in zaključkom pravilnega zaključka (»Če so vsa živa mnogocelična bitja smrtna in je meduza tako bitje, potem je smrtna«); drugič, po zakonu narave ("Če je telo izpostavljeno trenju, se bo začelo segrevati"); tretjič, vzročna povezava ("Če je Luna ob novi luni v vozlišču svoje orbite, Sončev mrk"); četrtič, družbeni vzorec, pravilo, tradicija (»Če se spremeni družba, se spremeni tudi človek«, »Če je nasvet razumen, se ga je treba držati«) itd.

Povezavo, izraženo s pogojno izjavo, navadno spremlja prepričanje, da posledica »sledi« z določeno nujnostjo iz razloga in da obstaja neka splošna zakonitost, ki bi jo lahko, ko bi jo lahko oblikovali, logično izpeljala iz razloga. razlog.

Na primer, zdi se, da pogojna izjava "Če je bizmut kovina, je duktilna" predpostavlja splošni zakon "Vse kovine so duktilne", zaradi česar je posledica te izjave logična posledica njenega predhodnika.

Tako v običajnem jeziku kot v jeziku znanosti lahko pogojna izjava poleg funkcije utemeljitve opravlja tudi številne druge naloge: oblikuje pogoj, ki ni povezan z nobenim implicitnim splošnim zakonom ali pravilom (»Če Hočem, razrezal bom svoj plašč«); posnemite nekaj zaporedja ("Če je bilo lansko poletje suho, potem je letos deževno"); izrazite nezaupanje v nenavadni obliki ("Če rešite ta problem, bom dokazal zadnji Fermatov izrek"); opozicija (»Če bezeg raste na vrtu, potem stric živi v Kijevu«) itd. Številne in heterogene funkcije pogojne izjave bistveno otežijo njeno analizo.

Uporaba pogojnih stavkov je povezana z določenimi psihološkimi dejavniki. Takšno trditev običajno oblikujemo le, če ne vemo z gotovostjo, ali sta njen predhodnik in konsekvent resnična ali napačna. V nasprotnem primeru se zdi njena uporaba nenaravna (»Če je vata kovina, je električno prevodna«).

Pogojna izjava je zelo široka uporaba na vseh področjih razmišljanja. V logiki je običajno predstavljen z implikativni izrek, oz posledice. Hkrati pa logika razjasni, sistematizira in poenostavi uporabo »če ..., potem ...« ter jo osvobodi vpliva psiholoških dejavnikov.

Logika je abstrahirana zlasti iz dejstva, da je povezavo med razlogom in posledico, značilno za pogojno izjavo, odvisno od sobesedila, mogoče izraziti z uporabo ne le »če ... potem ...«, temveč tudi z drugimi jezikovnimi pomeni.

Na primer: »Ker je voda tekočina, prenaša pritisk v vse smeri enakomerno«, »Čeprav plastelin ni kovina, je plastičen«, »Če bi bil les kovina, bi bil električno prevoden« itd. Te in podobne izjave so v jeziku logike predstavljene z implikacijo, čeprav uporaba »če ... potem ...« v njih ne bi bila povsem naravna.

Z uveljavljanjem implikacije trdimo, da se ne more zgoditi, da bi obstajala njena podlaga, posledica pa bi bila odsotna. Z drugimi besedami, implikacija je napačna le, če je njen razlog resničen in njena posledica napačna.

Ta definicija predpostavlja, tako kot prejšnje definicije povezovalnikov, da je vsaka izjava resnična ali napačna in da je resnična vrednost kompleksne izjave odvisna samo od resničnih vrednosti njenih sestavnih izjav in načina njihove povezave.

Implikacija je resnična, kadar sta njen razlog in posledica resnična ali napačna; resnična je, če je njen razlog napačen in njena posledica resnična. Samo v četrtem primeru, ko je razlog resničen in posledica napačna, je implikacija napačna.

Implikacija ne pomeni, da sta izjavi A in B vsebinsko nekako povezani. Če je B resničen, je izjava "če A, potem B" resnična ne glede na to, ali je A resničen ali napačen in ali je pomensko povezan z B ali ne.

Na primer, naslednje trditve veljajo za resnične: "Če je na Soncu življenje, potem je dvakrat dva enako štiri", "Če je Volga jezero, potem je Tokio velika vas," itd. Pravilna je tudi pogojna izjava ko je A napačen, hkrati pa spet ni razlike, ali je B resničen ali ne in ali je vsebinsko povezan z A ali ne. Resnične izjave vključujejo: "Če je Sonce kocka, potem je Zemlja trikotnik," "Če sta dva in dva enaka pet, potem je Tokio majhno mesto" itd.

Pri običajnem razmišljanju je malo verjetno, da bi vse te izjave veljale za smiselne in še manj za resnične.

Čeprav je implikacija uporabna za številne namene, ni povsem skladna z običajnim razumevanjem pogojne povezave. Implikacija zajema veliko pomembnih značilnosti logičnega obnašanja pogojnega stavka, vendar hkrati ni dovolj ustrezen opis le-tega.

V zadnjega pol stoletja so bili odločni poskusi reforme teorije implikacij. Pri tem ni šlo za opustitev opisanega koncepta implikacije, temveč za uvedbo ob njem drugega koncepta, ki ne upošteva le resničnostnih vrednosti izjav, temveč tudi njihovo vsebinsko povezanost.

Tesno povezano z implikacijo enakovrednost, ki se včasih imenuje "dvojna implikacija".

Enakovrednost- zapletena izjava "A, če in samo če B", sestavljena iz izjav A in B in razčlenjena na dve implikaciji: "če A, potem B" in "če B, potem A". Na primer: "Trikotnik je enakostranični, če in samo če je enakokoten." Izraz »enakovrednost« označuje tudi veznik »..., če in samo če ...«, s pomočjo katerega se iz dveh izjav tvori dana kompleksna izjava. Namesto »če in samo če« se lahko v ta namen uporabi »če in samo če«, »če in samo če« itd.

Če so logični povezovalci definirani v smislu resnice in laži, je enakovrednost resnična, če in samo če imata obe njeni sestavni stvari enako resničnostno vrednost, to je, ko sta obe resnični in obe napačni. V skladu s tem je enakovrednost napačna, če je ena od trditev, vključenih vanjo, resnična, druga pa napačna.

Pri obravnavi načinov oblikovanja zapletenih izjav iz preprostih ni bila upoštevana notranja struktura preprostih izjav. Vzeli so jih kot nerazgradljive delce z eno lastnostjo: biti resnični ali napačni. Preprosti izreki

Ni naključje, da jih včasih imenujemo atomske: iz njih, kot iz elementarnih opek, s pomočjo logičnih veznikov "in", "ali" itd., Zgrajene so različne kompleksne ("molekularne") izjave.

Zdaj bi se morali posvetiti vprašanju notranja struktura, ali notranja struktura samih preprostih izjav: iz katerih posebnih delov so sestavljeni in kako so ti deli med seboj povezani.

Takoj je treba poudariti, da je preproste izjave mogoče razstaviti na njihove sestavne dele na različne načine. Rezultat dekompozicije je odvisen od namena, za katerega se izvaja, to je od koncepta logičnega sklepanja (logične posledice), v okviru katerega se takšne trditve analizirajo.

Posebno zanimanje za kategorične izjave je razloženo predvsem z dejstvom, da se je razvoj logike kot znanosti začel s preučevanjem njihovih logičnih povezav. Poleg tega se izjave te vrste pogosto uporabljajo v našem sklepanju. Teorija logičnih povezav kategoričnih izjav se običajno imenuje silogistični.

Na primer, v izjavi »Vsi dinozavri so izumrli« je atribut »izumrl« pripisan dinozavrom. V predlogu "Nekateri dinozavri so leteli" se pripisuje sposobnost letenja določene vrste dinozavri. Trditev "Vsi kometi niso asteroidi" zanika prisotnost atributa "biti asteroid" v vsakem od kometov. Trditev »Nekatere živali niso rastlinojede« zanika rastlinojedost nekaterih živali.

Če zanemarimo kvantitativne značilnosti, ki jih vsebuje kategorična izjava in so izražene z besedama "vsi" in "nekateri", dobimo dve različici takšnih izjav: pritrdilno in negativno. Njihova struktura:

"S je P" in "S ni P"

kjer črka S predstavlja ime predmeta, o katerem govorimo o v izjavi, črka P pa je ime lastnosti, ki je lastna ali ni lastna temu predmetu.

Imenuje se ime predmeta, na katerega se sklicuje kategorična izjava predmet, ime njegovega atributa pa je predikat. Subjekt in povedek se imenujeta pogoji kategorične trditve in jih povezujejo vezniki »je« ali »ni« (»je« ali »ni« itd.). Na primer, v izjavi "Sonce je zvezda" sta izraza imeni "Sonce" in "zvezda" (prvo od njih je subjekt izjave, drugo je njen predikat), beseda "je ” je veznik.

Preproste izjave, kot je "S je (ni) P", se imenujejo atributivne: vključujejo pripis (pripis) neke lastnosti predmetu.

Atributivne izjave so v nasprotju z izjavami o razmerjih, v katerih se razmerja vzpostavljajo med dvema ali več predmeti: »Tri so manj kot pet«, »Kijev je večji od Odese«, »Pomlad je boljša od jeseni«, »Pariz se nahaja med Moskvo in New York« itd. Izjave o razmerjih igrajo pomembno vlogo v znanosti, zlasti v matematiki. Niso zvodljivi na kategorične trditve, saj razmerja med več predmeti (kot so »enakopraven«, »ljubi«, »toplejši«, »je med« itd.) niso zvodljiva na lastnosti posameznih predmetov. Ena od pomembnih pomanjkljivosti tradicionalne logike je bila, da je menila, da so sodbe o odnosih zvodljive na sodbe o lastnostih.

V kategorični izjavi povezava med predmetom in atributom ni samo vzpostavljena, ampak tudi določena kvantitativna značilnost predmet izreka. V izjavah, kot je "Vsi S so (niso) P," beseda "vsi" pomeni "vsak od predmetov ustreznega razreda." V izjavah, kot je »Nekateri S so (niso) P,« je beseda »nekateri« uporabljena v neizključnem pomenu in pomeni »nekateri ali morda vsi«. V izključnem pomenu beseda »nekateri« pomeni »samo nekateri« ali »nekateri, vendar ne vsi«. Razliko med obema pomenima te besede lahko ponazorimo z izjavo "Nekatere zvezde so zvezde." V neizključnem smislu pomeni "Nekatere, morda vse zvezde so zvezde" in je očitno res. V svojem izključevalnem smislu ta izjava pomeni "Le nekatere zvezde so zvezde" in je očitno napačna.

V kategoričnih izjavah se potrjuje ali zanika pripadnost nekaterih značilnosti obravnavanim predmetom in je navedeno, ali govorimo o vseh teh predmetih ali o nekaterih od njih.

Tako so možne štiri vrste kategoričnih izjav:

Vsi S so P - na splošno pritrdilna izjava,

Nekateri S so P - določena pritrdilna izjava,

Vsi S niso P - na splošno negativna izjava,

Nekateri S niso P - določena negativna izjava.

Kategorične trditve lahko obravnavamo kot rezultate zamenjave nekaterih imen v naslednje izraze s presledki (elipse): »Vsi ... so ...«, »Nekateri ... so ...«, »Vsi ... so ne ...« in »Nekateri ... niso ...«. Vsak od teh izrazov je logična konstanta (logična operacija), ki nam omogoča, da iz dveh imen pridobimo izjavo. Na primer, če zamenjamo imena "leteči" in "ptice" namesto pik, dobimo naslednje izjave: "Vsi, ki letijo, so ptice", "Nekateri leteči so ptice",

Sklepanja

"Vse, kar leti, niso ptice" in "Nekateri, ki letijo, niso ptice." Prva in tretja trditev sta napačni, druga in četrta pa pravi.

Sklepanja

»Iz ene kapljice vode lahko človek, ki zna logično razmišljati, sklepa o obstoju Atlantskega oceana ali Niagarskih slapov, tudi če ni nikoli videl ne enega ne drugega in nikoli slišal zanju ... Z nohti osebe, ob rokah, čevljih, pregibu hlač na kolenih, ob odebelitvi kože na velikih in kazalec, po izrazu obraza in manšetah srajce - iz takih malenkosti ni težko uganiti njegov poklic. In ni dvoma, da bo vse to skupaj poučenega opazovalca spodbudilo k pravilnim zaključkom.«

To je citat iz političnega članka najbolj znanega detektiva in svetovalca v svetovni literaturi Sherlocka Holmesa. Temelji najmanjše podrobnosti, gradil je logično brezhibne verige sklepanja in reševal zapletene zločine, pogosto ne da bi zapustil svoje stanovanje na Baker Street. Holmes je uporabil deduktivno metodo, ki jo je sam ustvaril in ki je, kot je verjel njegov prijatelj dr. Watson, pripeljala reševanje zločinov na rob eksaktne znanosti.

Seveda je Holmes nekoliko pretiraval s pomenom dedukcije v forenzični znanosti, a njegovo razmišljanje o deduktivni metodi je opravilo svoje. "Odbitek" iz posebnega izraza, ki ga poznajo le redki, se je spremenil v pogosto uporabljen in celo moden koncept. Popularizacija umetnosti pravilnega sklepanja, predvsem pa deduktivnega sklepanja, ni nič manjša Holmesova zasluga kot vsi zločini, ki jih je razrešil. Uspelo mu je "dati logiki čar sanj, ki se prebijajo skozi kristalni labirint možnih odbitkov do enega samega svetlečega zaključka" (V. Nabokov).

Odbitek je poseben primer sklepanja.

IN v širšem smislusklepanje - logična operacija, zaradi katere iz ene ali več sprejetih izjav (premis) dobimo novo trditev - zaključek (sklep, posledica).

Odvisno od tega, ali obstaja povezava med premisami in zaključkom logična posledica, lahko ločimo dve vrsti sklepanja.

V jedru deduktivno sklepanje leži logična zakonitost, zaradi katere sklep z logično nujnostjo sledi iz sprejetih premis.

Posebnost tak sklep je, da vedno vodi od resničnih premis do resničnega zaključka.

IN induktivno sklepanje povezava med premisami in zaključkom ne temelji na zakonu logike, ampak na nekaterih dejanskih ali psiholoških osnovah, ki niso zgolj formalne narave.

Pri takem sklepanju sklep ne sledi logično iz premis in lahko vsebuje informacije, ki jih te ne vsebujejo. Zanesljivost premis torej ne pomeni tudi zanesljivosti iz njih induktivno izpeljane izjave. Indukcija poda le verjetno, oz verjetno, zaključki, ki jih je treba dodatno preveriti.

Deduktivni sklepi vključujejo na primer naslednje:

Če dežuje, so tla mokra. Dežuje.

Tla so mokra.

Če je helij kovina, je električno prevoden. Helij ni električno prevoden.

Helij ni kovina.

Črta, ki ločuje premise od zaključka, kot običajno nadomešča besedo »zato«.

Primeri indukcije vključujejo sklepanje:

Argentina je republika; Brazilija je republika; Venezuela je republika; Ekvador je republika.

Argentina, Brazilija, Venezuela, Ekvador so države Latinske Amerike.

Vse latinskoameriške države so republike .

Italija je republika, Portugalska je republika, Finska je republika, Francija je republika.

Italija, Portugalska, Finska, Francija so zahodnoevropske države.

Vse zahodnoevropske države so republike.

Indukcija ne zagotavlja popolnega jamstva za pridobivanje nove resnice iz obstoječih. Največje, o čemer lahko govorimo, je določena stopnja verjetnosti izpeljane izjave. Torej so premise prvega in drugega induktivnega sklepa resnične, vendar je sklep prvega od njih resničen, drugega pa napačen. Dejansko so vse latinskoameriške države republike; toda med zahodnoevropskimi državami niso samo republike, ampak tudi monarhije, na primer Anglija, Belgija in Španija.

Sklepanja

Posebej značilne dedukcije so logični prehodi od splošnega znanja k posameznim, kot so:

Vse kovine so duktilne. Baker je kovina.

Baker je duktilen.

V vseh primerih, ko je treba nekatere pojave obravnavati na podlagi že znanega splošno pravilo in da izpeljemo potreben zaključek glede teh pojavov, sklepamo v obliki odbitka. Sklepanje, ki vodi od znanja o nekaterih predmetih (zasebno znanje) do znanja o vseh predmetih določenega razreda ( splošno znanje), so tipične indukcije. Vedno obstaja možnost, da se posploševanje izkaže za prenagljeno in neutemeljeno (»Napoleon je poveljnik; Suvorov je poveljnik; to pomeni, da je vsak človek poveljnik«).

Pri tem dedukcije ne moremo identificirati s prehodom od splošnega k posameznemu, indukcije pa s prehodom od posameznega k splošnemu.

V argumentu: »Shakespeare je pisal sonete; torej ni res, da Shakespeare ni pisal sonetov.« Dedukcija je, ni pa prehoda od splošnega k posebnemu. Utemeljitev »Če je aluminij plastika ali glina plastika, potem je aluminij plastika« je, kot se običajno misli, induktivna, vendar ni prehoda od posameznega k splošnemu.

Dedukcija je izpeljava sklepov, ki so enako zanesljivi kot sprejete premise, indukcija je izpeljava verjetnih (verjetnih) sklepov. Induktivno sklepanje vključuje tako prehode od posameznega k splošnemu kot tudi analogijo, metode za ugotavljanje vzročnih zvez, potrditev posledic, namensko utemeljitev itd.

Posebno zanimanje za deduktivno sklepanje je razumljivo. Omogočajo vam pridobivanje novih resnic iz obstoječega znanja, poleg tega s pomočjo čistega sklepanja, brez zatekanja k izkušnjam, intuiciji, zdravi pameti itd. Dedukcija zagotavlja stoodstotno jamstvo za uspeh in ne zagotavlja le enega ali druga - morda celo velika - verjetnost pravega zaključka. Če izhajamo iz resničnih premis in sklepamo deduktivno, bomo zagotovo pridobili zanesljivo znanje v vseh primerih.

Ob poudarjanju pomena dedukcije v procesu razkrivanja in utemeljevanja vednosti je ne gre ločiti od indukcije in slednje podcenjevati. Skoraj vsi splošne določbe, vključno z znanstvenimi zakoni, so rezultati induktivne generalizacije. V tem smislu je indukcija osnova našega znanja. Sama po sebi sicer ne zagotavlja njene resničnosti in veljavnosti, ampak poraja domneve, jih povezuje z izkušnjami in jim s tem daje določeno verodostojnost, bolj ali manj visoka stopnja verjetnosti. Izkušnje so vir in temelj človeškega znanja. Indukcija, ki izhaja iz izkušenj, je nujno sredstvo za njeno posploševanje in sistematizacijo.

LOGIČNI ZAKONI

Odsek

Koncept logičnega zakona

Logični zakoni so osnova človeškega mišljenja. Določajo, kdaj druge izjave logično sledijo iz nekaterih izjav, in predstavljajo tisti nevidni železni okvir, na katerem sloni dosledno razmišljanje in brez katerega se spremeni v kaotičen, nepovezan govor. Brez logičnega zakona je nemogoče razumeti, kaj je logična posledica in s tem kaj je dokaz.

Pravilno ali, kot običajno pravijo, logično razmišljanje je razmišljanje po zakonih logike, po tistih abstraktnih vzorcih, ki jih določajo. To pojasnjuje pomen teh zakonov.

Homogene logične zakone združujemo v logične sisteme, ki jih običajno imenujemo tudi »logike«. Vsak od njih poda opis logična struktura določen fragment ali tip našega sklepanja.

Na primer, zakoni, ki opisujejo logične povezave izjav, neodvisno od notranje strukture slednjih, so združeni v sistem, imenovan "propozicijska logika". Logični zakoni, ki določajo povezave kategoričnih izjav, tvorijo logični sistem, imenovan "logika kategoričnih izjav" ali "silogistika" itd.

Logični zakoni so objektivni in niso odvisni od volje in zavesti človeka. Niso rezultat dogovora med ljudmi, neke posebej razvite ali spontano oblikovane konvencije. Niso produkt nekakšnega »svetovnega duha«, kot je nekoč verjel Platon. Moč zakonov logike nad človekom, njihova obvezna sila za pravilno razmišljanje, je posledica dejstva, da predstavljajo odsev človeškega razmišljanja o resničnem svetu in stoletnih izkušnjah njegovega spoznavanja in preoblikovanja s strani človeka.

Kot vsi drugi znanstveni zakoni so tudi logični zakoni univerzalni in potrebni. Delujejo vedno in povsod, enako veljajo za vse ljudi in za vsa obdobja. Predstavniki

Koncept logičnega zakona

različnih narodov in različne kulture, moški in ženske, stari Egipčani in sodobni Polinezijci se z vidika logike svojega razmišljanja ne razlikujejo drug od drugega.

Nujnost, ki je del logičnih zakonov, je v nekem smislu še bolj nujna in nespremenljiva kot naravna ali fizična nujnost. Nemogoče si je niti predstavljati, da bi logično nujno lahko bilo drugače. Če je nekaj v nasprotju z naravnimi zakoni in je fizično nemogoče, potem noben inženir, ne glede na to, kako nadarjen je, tega ne bo mogel izvesti. Če pa je nekaj v nasprotju z zakoni logike in je logično nemogoče, potem ne le inženir - tudi vsemogočno bitje, če bi se nenadoma pojavilo, tega ne bi moglo oživiti.

Kot smo že omenili, pri pravilnem sklepanju zaključek sledi iz premis z logično nujnostjo in splošna shema Takšno razmišljanje je logični zakon.

Število shem pravilnega sklepanja (logičnih zakonov) je neskončno. Mnoge od teh shem so nam znane iz prakse sklepanja. Uporabljamo jih intuitivno, ne da bi se zavedali, da vsako pravilno sklepanje uporablja enega ali drugega logičnega zakona.

Preden vstopite splošni koncept logičnega zakona podajamo več primerov shem sklepanja, ki predstavljajo logične zakone. Namesto spremenljivk A, B, C, ..., ki jih običajno uporabljamo za označevanje izjav, bomo uporabili, kot je bilo v antiki, besedi »prvi« in »drugi«, ki bosta nadomestili spremenljivki.

»Če obstaja prvo, potem obstaja drugo; tam je prvi; zato obstaja drugi." Ta shema sklepanja nam omogoča, da preidemo od izjave o pogojni izjavi ("Če obstaja prva, potem obstaja druga") in izjave o njeni osnovi ("Obstaja prva") k izjavi posledice ( "Obstaja drugi"). Zlasti po tej shemi poteka sklepanje: »Če se led segreje, se stopi; led se segreje; zato se topi."

Druga shema pravilnega sklepanja: »Zgodi se bodisi prvo bodisi drugo; tam je prvi; to pomeni, da drugega ni." Skozi to shemo se iz dveh medsebojno izključujočih alternativ in ugotavljanja, katera od njiju velja, izvede prehod na negacijo druge možnosti. Na primer: »Bodisi je bil Dostojevski rojen v Moskvi ali pa v Sankt Peterburgu. Dostojevski se je rodil v Moskvi. To pomeni, da ni res, da je bil rojen v St. V ameriškem vesternu »Dobri, slabi in grdi« en slab lik reče drugemu: »Zapomni si, svet je razdeljen na dva dela: na tiste, ki držijo revolver, in na tiste, ki kopajo. Zdaj imam revolver, zato vzemite lopato. To razmišljanje temelji tudi na navedeni shemi.

In zadnji predhodni primer logičnega zakona ali splošne sheme pravilnega razmišljanja: "Je prvo ali drugo. Toda prvi ni. To pomeni, da velja slednje.” Namesto izraza »prvi« zamenjajmo stavek »Dan je«, namesto »drugega« pa stavek »Noč je«. Iz abstraktnega diagrama dobimo razmišljanje: »Ali je dan ali je noč. Ni pa res, da je podnevi.

Zdaj je torej noč."

To je nekaj enostavna vezja pravilno sklepanje, ki ponazarja koncept logičnega zakona. Na stotine in stotine podobnih shem sedi v naših glavah, čeprav se tega ne zavedamo. Na podlagi njih sklepamo logično, oziroma pravilno.

Zakon logike (logični zakon)- izraz, ki vključuje le logične konstante in spremenljivke namesto smiselnih delov in je resničen na katerem koli področju sklepanja.

Vzemimo za primer izraz, sestavljen samo iz spremenljivk in logičnih konstant, izraz: »Če A, potem B; pomeni, če ne A, potem ne B.« Logične konstante tukaj so propozicionalni vezniki »če, potem« in »ne«. Spremenljivki A in B predstavljata nekaj izjav. Recimo, da je A izjava "Obstaja vzrok", B pa je izjava "Obstaja posledica." S to specifično vsebino dobimo sklepanje: »Če obstaja vzrok, potem obstaja tudi posledica; To pomeni, da če ni učinka, potem ni vzroka.” Nadalje predpostavimo, da je namesto A zamenjana izjava »Število je deljivo s šest«, namesto B pa zamenjana izjava »Število je deljivo s tri«. S to specifično vsebino dobimo na podlagi obravnavanega diagrama sklepanje: »Če je število deljivo s šest, je deljivo s tri. Torej, če število ni deljivo s tri, ni deljivo s šest." Ne glede na to, katere druge trditve nadomestimo spremenljivki A in B, če so te trditve resnične, bo sklep, izpeljan iz njih, resničen.

V logiki je običajno pridržek, da območje predmetov, o katerih se izvaja sklepanje in o katerem govorijo izjave, nadomeščene v logični zakon, ne more biti prazno: vsebovati mora vsaj en predmet. V nasprotnem primeru lahko sklepanje po shemi, ki je zakon logike, vodi od pravih premis do napačnega zaključka.

Na primer, iz resničnih premis »Vsi sloni so živali« in »Vsi sloni imajo rilo« po zakonu logike sledi pravi sklep »Nekatere živali imajo rilo«. Toda če je zadevna domena predmetov prazna, upoštevanje zakona logike ne zagotavlja pravega zaključka glede na resnične premise. Razmišljali bomo po isti shemi, a tokrat o gorah zlata. Naj zaključimo: »Vse zlate gore so gore; vse zlate gore so zlate; zato so nekatere gore zlate.” Obe premisi tega sklepa sta resnični. Toda njegov sklep »Nekatere gore so zlate« je očitno napačen: zlate gore ni.

Koncept logičnega zakona

Za sklepanje na podlagi zakona logike sta torej značilni dve značilnosti:

Takšno sklepanje vedno vodi od resničnih premis do resničnega zaključka;

Posledica izhaja iz premis z logično nujnostjo.

Imenuje se tudi logični zakon logična tavtologija.

Logična tavtologija- izraz, ki ostane resničen, ne glede na to, o katerih predmetih se razpravlja, ali izraz "vedno resničen".

Na primer, vsi rezultati zamenjav v logični zakon dvojne negacije "Če A, potem ni res, da ni A" so resnične izjave: "Če je saja črna, potem ni res, da ni črna," "Če človek trepeta od strahu, potem ni res, da ne trepeta od strahu," itd.

Kot že rečeno, je pojem logičnega zakona neposredno povezan s pojmom logične implikacije: sklep logično izhaja iz sprejetih premis, če je z njimi povezan z logičnim zakonom. Na primer, iz premis »Če A, potem B« in »Če B, potem C« logično sledi sklep »Če A, potem C«, saj izraz »Če A, potem B, in če B, potem C, potem če A, potem C" predstavlja logični zakon, namreč tranzitivni zakon(tranzitivnost). Recimo, iz premis »Če je oseba oče, potem je starš« in »Če je oseba starš, potem je oče ali mati,« po tem zakonu sledi posledica: »Če je oseba je oče, potem je oče ali mati."

Logično zaporedje- razmerje med premisami in zaključkom sklepanja, katerega splošna shema je logični zakon.

Ker povezava logične implikacije temelji na logičnem zakonu, sta zanjo značilni dve značilnosti:

Logična posledica vodi od pravih premis le do pravega zaključka;

Sklep, ki izhaja iz premis, sledi iz njih z logično nujnostjo.

Vsi logični zakoni ne opredeljujejo neposredno koncepta logične posledice. Obstajajo zakoni, ki opisujejo druge logične povezave: »in«, »ali«, »to ni res« itd. in so le posredno povezani z razmerjem logične implikacije. To je zlasti zakon protislovja, ki ga obravnavamo spodaj: »Ni res, da samovoljno sprejeta izjava in

Pametne misli pridejo šele, ko so bile neumnosti že storjene.

Samo tisti, ki delajo absurdne poskuse, bodo lahko dosegli nemogoče. Albert Einstein

Dobri prijatelji, dobre knjige in speča vest - to je idealno življenje. Mark Twain

Ne morete se vrniti v preteklost in spremeniti svojega začetka, lahko pa začnete zdaj in spremenite cilj.

Ob natančnejšem pregledu mi na splošno postane jasno, da tiste spremembe, za katere se zdi, da prihajajo s časom, v resnici niso nikakršne spremembe: spremeni se le moj pogled na stvari. (Franz Kafka)

In čeprav je skušnjava velika, da bi ubrali dve cesti hkrati, ne morete igrati s hudičem in Bogom z enim kompletom kart ...

Cenite tiste, s katerimi ste lahko to, kar ste.
Brez mask, izpustov in ambicij.
In pazite nanje, poslala vam jih je usoda.
Navsezadnje jih je le nekaj v tvojem življenju

Za pritrdilen odgovor je dovolj le ena beseda - "da". Vse druge besede so izmišljene, da rečejo ne. Don Aminado

Vprašajte osebo: "Kaj je sreča?" in izvedeli boste, kaj najbolj pogreša.

Če želite razumeti življenje, potem ne verjemite temu, kar govorijo in pišejo, ampak opazujte in čutite. Anton Čehov

Nič ni bolj uničujočega in nevzdržnejšega na svetu kot nedelovanje in čakanje.

Uresničite svoje sanje, delajte na idejah. Tisti, ki so se vam smejali, vam bodo začeli zavidati.

Rekordi so zato, da jih podiramo.

Ni vam treba izgubljati časa, ampak investirajte vanj.

Zgodovina človeštva je zgodovina dokaj majhnega števila ljudi, ki so verjeli vase.

Ste se potisnili na rob? Ne vidiš smisla več živeti? To pomeni, da ste že blizu ... Blizu odločitve, da dosežete dno, da se od njega odrinete in se odločite, da boste večno srečni ... Zato se dna ne bojte - izkoristite ga ...

Če ste pošteni in odkriti, vas bodo ljudje prevarali; še vedno bodite pošteni in odkriti.

Človek le redko kaj uspe, če mu njegova dejavnost ne prinaša veselja. Dale Carnegie

Če je v tvoji duši ostala vsaj ena cvetoča veja, bo na njej vedno sedela pojoča ptica (vzhodna modrost).

Eden od zakonov življenja pravi, da takoj ko se ena vrata zaprejo, se druga odprejo. Toda težava je v tem, da gledamo na zaklenjena vrata in nismo pozorni na odprta. Andre Gide

Ne obsojajte človeka, dokler se z njim osebno ne pogovorite, kajti vse, kar slišite, so govorice. Michael Jackson.

Najprej te ignorirajo, potem se ti smejijo, nato se kregajo s teboj, nato zmagaš. Mahatma Gandhi

Človeško življenje je razdeljeno na dve polovici: v prvi polovici težijo naprej k drugi, med drugo pa nazaj k prvi.

Kako si lahko pomagate, če sami ne storite ničesar? Vozite lahko le premikajoče se vozilo

Vse bo. Šele ko se za to odločiš.

Na tem svetu lahko iščeš vse razen ljubezni in smrti... Sami te bodo našli, ko pride čas.

Notranje zadovoljstvo kljub okoliškemu svetu trpljenja je zelo dragocena dobrina. Sridhar Maharaj

Začnite zdaj živeti življenje, ki bi ga radi videli na koncu. Mark Avrelij

Vsak dan moramo živeti, kot da je zadnji trenutek. Nimamo vaje - imamo življenje. Ne začnemo v ponedeljek - živimo danes.

Vsak trenutek življenja je nova priložnost.

Leto kasneje boste na svet gledali z drugimi očmi in tudi to drevo, ki raste blizu vaše hiše, se vam bo zdelo drugačno.

Ni vam treba iskati sreče – to morate biti. Osho

Skoraj vsaka zgodba o uspehu, ki jo poznam, se je začela z osebo, ki je ležala na hrbtu, poražena zaradi neuspeha. Jim Rohn

Vsako dolgo potovanje se začne z enim, prvim korakom.

Nihče ni boljši od tebe. Nihče ni pametnejši od tebe. Samo začeli so prej. Brian Tracy

Tisti, ki teče, pade. Kdor se plazi, ne pade. Plinij starejši

Samo razumeti morate, da živite v prihodnosti, in takoj se boste znašli tam.

Raje se odločim živeti kot obstajati. James Alan Hetfield

Ko ceniš to, kar imaš, in ne živiš v iskanju idealov, takrat boš resnično srečen..

Samo slabši od nas mislijo slabo o nas, boljši od nas pa preprosto nimajo časa za nas. Omar Khayyam

Včasih nas od sreče loči en klic... En pogovor... Ena izpoved...

S priznanjem svoje šibkosti človek postane močan. Onre Balzac

Kdor poniža svojega duha, močnejši od tega ki osvaja mesta.

Ko pride priložnost, jo moraš zgrabiti. In ko ste ga zgrabili, dosegli uspeh - uživajte. Občutite veselje. In pustite, da vas vsi okoli vas sesajo, da ste kreteni, ko za vas niso dali niti centa. In potem - odidi. lepa In pusti vse v šoku.

Nikoli ne obupajte. In če ste že padli v obup, potem nadaljujte z delom v obupu.

Odločilni korak naprej je rezultat dobrega udarca od zadaj!

V Rusiji moraš biti slaven ali bogat, da te obravnavajo tako kot v Evropi. Konstantin Raikin

Vse je odvisno od vašega odnosa. (Chuck Norris)

Nobeno razmišljanje človeku ne more pokazati poti, ki je ne želi videti Romain Rolland

To, v kar verjameš, postane tvoj svet. Richard Matheson

Dobro je tam, kjer nas ni. Nismo več v preteklosti in zato se zdi lepo. Anton Čehov

Bogati postanejo še bogatejši, ker se naučijo premagovati finančne težave. Vidijo jih kot priložnost za učenje, rast, razvoj in obogatitev.

Vsak ima svoj pekel - ni nujno, da je to ogenj in katran! Naš pekel je zapravljeno življenje! Kam vodijo sanje

Ni pomembno, kako trdo delate, glavna stvar je rezultat.

Samo mama ima najbolj prijazne roke, najnežnejši nasmeh in najbolj ljubeče srce ...

Zmagovalci v življenju vedno razmišljajo v duhu: zmorem, hočem, jaz. Zgube pa svoje razpršene misli osredotočajo na to, kaj bi lahko imeli, kaj bi lahko naredili ali česa ne morejo. Z drugimi besedami, zmagovalci vedno prevzamejo odgovornost, poraženci pa za svoje neuspehe krivijo okoliščine ali druge ljudi. Denis Whately.

Življenje je gora, gor greš počasi, greš hitro dol. Guy de Maupassant

Ljudje se tako bojijo narediti korak proti novemu življenju, da so pripravljeni zamižati pred vsem, kar jim ne ustreza. A to je še bolj strašno: nekega dne se zbuditi in spoznati, da vse v bližini ni isto, ni isto, ni isto ... Bernard Shaw

Prijateljstva in zaupanja se ne kupuje in ne prodaja.

Vedno, v vsaki minuti svojega življenja, tudi ko ste popolnoma srečni, imejte en odnos do ljudi okoli sebe: - V vsakem primeru bom naredil, kar hočem, s tabo ali brez tebe.

Na svetu lahko izbiraš samo med osamljenostjo in vulgarnostjo. Arthur Schopenhauer

Le na stvari je treba pogledati drugače, pa bo življenje steklo v drugo smer.

Železo je magnetu reklo tole: Najbolj te sovražim, ker privlačiš, ne da bi imel dovolj moči, da te vleče za sabo! Friedrich Nietzsche

Nauči se živeti tudi takrat, ko življenje postane neznosno. N. Ostrovskega

Slika, ki jo vidite v svojih mislih, bo sčasoma postala vaše življenje.

"Prvo polovico svojega življenja se sprašuješ, česa si sposoben, drugo pa - kdo to potrebuje?"

Nikoli ni prepozno, da si postavite nov cilj ali uresničite nove sanje.

Nadzirajte svojo usodo ali pa jo bo nekdo drug.

videti lepoto v grdem,
glej poplave reke v potokih ...
ki zna biti srečen v vsakdanjem življenju,
res je srečen človek! E. Asadov

Modreca so vprašali:

Koliko vrst prijateljstva obstaja?

Štiri, je odgovoril.
Prijatelji so kot hrana - potrebujete jih vsak dan.
Prijatelji so kot zdravilo; iščeš jih, ko se počutiš slabo.
Obstajajo prijatelji, kot bolezen, sami te iščejo.
Toda prijatelji so kot zrak - ne morete jih videti, vendar so vedno s tabo.

Postala bom oseba, kakršna želim postati – če bom verjela, da bom to postala. Gandhi

Odprite svoje srce in poslušajte, o čem sanja. Sledite svojim sanjam, kajti le preko tistih, ki se ne sramujejo samega sebe, se bo razodela Gospodova slava. Paulo Coelho

Če bi vas ovrgli, se ni treba bati; Boti se je treba nečesa drugega – biti nerazumljen. Immanuel Kant

Bodite realni – zahtevajte nemogoče! Che Guevara

Ne odložite svojih načrtov, če zunaj dežuje.
Ne obupajte nad svojimi sanjami, če ljudje ne verjamejo vame.
Pojdite proti naravi in ​​ljudem. Ti si oseba. Ti si močan.
In ne pozabite - ni nedosegljivih ciljev - obstaja visok koeficient lenobe, pomanjkanje iznajdljivosti in zaloga izgovorov.

Ali vi ustvarite svet ali pa svet ustvari vas. Jack Nicholson

Všeč mi je, ko se ljudje kar tako nasmehnejo. Na primer, se vozite z avtobusom in vidite osebo, ki gleda skozi okno ali piše SMS in se smehlja. Tvoja duša se počuti tako dobro. In sam se želim nasmehniti.

Izjava je bolj zapletena tvorba kot ime. Ko izjave razčlenimo na enostavnejše dele, vedno dobimo eno ali drugo ime. Recimo, izjava "Sonce je zvezda" vključuje imeni "Sonce" in "zvezda" kot svoja dela.

izjava - slovnično pravilen stavek, vzet skupaj s pomenom (vsebino), ki ga izraža in je resničen ali neresničen.

Pojem izjave je eden od začetnih, ključnih pojmov sodobne logike. Kot taka ne omogoča natančne opredelitve, ki bi bila enako uporabna v različnih delih.

Trditev velja za resnično, če opis, ki ga daje, ustreza resničnemu stanju, za napačno pa, če mu ne ustreza. »Resnično« in »napačno« se imenujeta »resnične vrednosti izjav«.

Iz posameznih izjav je mogoče na različne načine sestaviti nove izjave. Na primer, iz izjav »Veter piha« in »Dežuje« lahko sestavite bolj zapletene izjave »Veter piha in dežuje«, »Ali veter piha ali dežuje«, »Če dežuje, potem piha veter« itd.

Izjava se imenuje preprosto, razen če vključuje druge izjave kot svoje dele.

Izjava se imenuje kompleks,če je pridobljen z uporabo logičnih veznikov iz drugih enostavnejših stavkov.

Razmislimo o najpomembnejših načinih sestavljanja kompleksnih izjav.

Negativna izjava je sestavljen iz začetne izjave in zanikanja, običajno izraženega z besedama »ne«, »to ni res«. Negativna izjava je torej kompleksna izjava: kot svoj del vključuje izjavo, ki je drugačna od nje. Na primer, negacija izjave "10 je sodo število" je izjava "10 ni sodo število" (ali: "Ni res, da je 10 sodo število").

Trditve označimo s črkami A, B, C,... Poln pomen koncepta zanikanja izjave daje pogoj: če izjava A je res, je njegova negacija napačna in če A je napačen, njegova negacija je resnična. Na primer, ker je izjava »1 je pozitivno celo število« resnična, je njena negacija »1 ni pozitivno celo število« napačna, in ker je »1 praštevilo« napačna, njena negacija »1 ni praštevilo« ” je res.

Povezovanje dveh izjav z besedo "in" ustvari zapleteno izjavo, imenovano veznik. Izjave, povezane na ta način, se imenujejo "členi veznika".

Na primer, če trditvi "Danes je vroče" in "Včeraj je bilo hladno" združimo na ta način, dobimo veznik "Danes je vroče in včeraj je bilo hladno."

Konjunkcija je resnična le, če sta resnični obe izjavi, ki sta vanjo vključeni; če je vsaj eden od njenih členov napačen, je celotna konjunkcija napačna.

V običajnem jeziku sta dve izjavi povezani z veznikom »in«, kadar sta vsebinsko ali pomensko povezani. Narava te povezave ni povsem jasna, je pa jasno, da veznika »On je hodil v plašču, jaz pa sem hodil na univerzo« ne bi imeli za izraz, ki ima pomen in je lahko resničen ali neresničen. Čeprav sta izjavi "2 je praštevilo" in "Moskva je veliko mesto" resnični, nismo nagnjeni k temu, da je njuna konjunkcija "2 je praštevilo in Moskva je veliko mesto" resnična, saj komponente te izjave niso pomensko povezane. S poenostavitvijo pomena veznika in drugih logičnih veznikov ter v ta namen opustitvijo nejasnega koncepta »povezovanja izjav po pomenu« logika pomen teh veznikov razširi in konkretizira.

Povezovanje dveh izjav z besedo "ali" daje disjunkcija te izjave. Izjave, ki tvorijo disjunkcijo, se imenujejo "člani disjunkcije".

Beseda "ali" ima v vsakdanjem jeziku dva različna pomena. Včasih pomeni "eno ali drugo ali oba", včasih pa "eno ali drugo, ne pa oboje." Na primer, izjava "To sezono želim iti na Pikovo damo ali Aido" dopušča možnost dvakratnega obiska onere. Izjava »Študira na Univerzi v Moskvi ali Jaroslavlju« pomeni, da omenjena oseba študira samo na eni od teh univerz.

Prvi občutek "ali" se imenuje neizključno. V tem smislu disjunkcija dveh izjav pomeni, da je vsaj ena od teh izjav resnična, ne glede na to, ali sta obe resnični ali ne. Posneto v drugo ekskluzivno ali v strogem smislu, disjunkcija dveh izjav navaja, da je ena od izjav resnična, druga pa napačna.

Neizključna disjunkcija je resnična, če je vsaj ena od njenih sestavnih izjav resnična, in napačna le, če sta oba njena člana napačna.

Ekskluzivna disjunkcija je resnična, če je resničen samo eden od njenih členov, napačna pa je, če sta resnična oba ali sta oba napačna.

V logiki in matematiki se beseda "ali" skoraj vedno uporablja v neizključnem pomenu.

Pogojna izjava - zapletena izjava, običajno oblikovana z uporabo veznika "če ..., potem ..." in ugotavlja, da en dogodek, stanje itd. je v enem ali drugem smislu osnova ali pogoj za drugo.

Na primer: "Če je ogenj, potem je tudi dim", "Če je število deljivo z 9, je deljivo s 3" itd.

Pogojni stavek je sestavljen iz dveh preprostejših stavkov. Pokliče se tisti, pred katerim je beseda "če". osnova, oz predhodnik(prejšnji), se kliče izjava, ki sledi besedi "to". posledica, oz posledično(naknadno).

S potrditvijo pogojne izjave najprej mislimo, da ne more biti, da se zgodi tisto, kar je povedano v njeni osnovi, in da tisto, kar je povedano v posledici, ni odsotno. Z drugimi besedami, ne more se zgoditi, da bi bil antecedent resničen, konsekvent pa napačen.

V smislu pogojne izjave sta običajno opredeljena pojma zadostni in nujni pogoji: predhodnik (podlaga) je zadosten pogoj za konsekvent (posledico), konsekvent pa je nujen pogoj za antecedent. Na primer, resničnost pogojne izjave »Če je izbira racionalna, potem je izbrana najboljša od razpoložljivih alternativ« pomeni, da je racionalnost zadosten razlog za izbiro najboljše od razpoložljivih možnosti in da je izbira takšne možnosti nujen pogoj za njegovo racionalnost.

Tipična funkcija pogojne izjave je utemeljitev ene izjave s sklicevanjem na drugo izjavo. Na primer, dejstvo, da je srebro električno prevodno, je mogoče utemeljiti s sklicevanjem na dejstvo, da je kovina: "Če je srebro kovina, je električno prevodno."

Povezavo med ozemljitvijo in ozemljitvijo (podlago in posledico), izraženo s pogojnikom, je težko na splošno označiti in le včasih je njena narava relativno jasna. Ta povezava je lahko najprej povezava logične posledice, ki poteka med premisami in zaključkom pravilnega zaključka (»Če so vsa živa mnogocelična bitja smrtna in je meduza tako bitje, potem je smrtna«); drugič, po zakonu narave ("Če je telo izpostavljeno trenju, se bo začelo segrevati"); tretjič, vzročna povezava (»če je luna ob mlaju v vozlišču svoje orbite, nastopi sončni mrk«); četrtič, družbena rednost, pravilo, tradicija itd. (»Če se spremeni družba, se spremeni tudi človek«, »Če je nasvet razumen, ga je treba uresničiti«).

Povezavo, izraženo s pogojno izjavo, navadno spremlja prepričanje, da posledica »sledi« z določeno nujnostjo iz razloga in da obstaja neka splošna zakonitost, ki bi jo lahko, ko bi jo lahko oblikovali, logično izpeljala iz razloga. razlog.

Zdi se na primer, da pogojna izjava »Če je bizmut kovina je plastična« predpostavlja splošni zakon »Nobena kovina ni plastična«, zaradi česar je posledica te izjave logična posledica njenega predhodnika.

Tako v običajnem jeziku kot v jeziku znanosti lahko pogojna izjava poleg funkcije utemeljitve opravlja tudi številne druge naloge: oblikuje pogoj, ki ni povezan z nobenim implicitnim splošnim zakonom ali pravilom (»Če Hočem, razrezal bom svoj plašč«); zabeležite poljubno zaporedje ("Če je bilo lansko poletje suho, potem je letos deževno"); izrazite nezaupanje v nenavadni obliki ("Če rešite ta problem, bom dokazal zadnji Fermatov izrek"); opozicija ("Če bezeg raste na vrtu, potem fant živi v Kijevu") itd. Raznolikost in heterogenost funkcij pogojne izjave močno otežuje njeno analizo.

Uporaba pogojnih stavkov je povezana z določenimi psihološkimi dejavniki. Tako trditev običajno oblikujemo le, če ne vemo z gotovostjo, ali sta njen predhodnik in konsekvent resnična ali napačna. V nasprotnem primeru se zdi njena uporaba nenaravna (»Če je vata kovina, je električni prevodnik«).

Pogojna izjava najde zelo široko uporabo na vseh področjih sklepanja. V logiki je običajno predstavljen z implikativna izjava, oz posledice. Hkrati logika razjasni, sistematizira in poenostavi uporabo "če ..., potem ..." in jo osvobodi vpliva psiholoških dejavnikov.

Logika je abstrahirana zlasti iz dejstva, da se povezava med razlogom in posledico, značilna za pogojno izjavo, odvisno od konteksta, lahko izrazi ne le z uporabo "če ..., potem ...", ampak tudi z drugimi jezikovna sredstva. Na primer: »Ker je voda tekočina, enakomerno prenaša pritisk v vse smeri«, »Čeprav plastelin ni kovina, je plastičen«, »Če bi bil les kovina, bi bil električno prevoden« itd. Te in podobne izjave so v jeziku logike predstavljene z implikacijo, čeprav uporaba »če ..., potem ...« v njih ne bi bila povsem naravna.

Z uveljavljanjem implikacije zatrjujemo, da se ne more zgoditi, da je njena podlaga prisotna, posledica pa odsotna. Z drugimi besedami, implikacija je napačna le, če je njen razlog resničen in njena posledica napačna.

Ta definicija predpostavlja, tako kot prejšnje definicije veznikov, da je vsaka izjava bodisi resnična bodisi napačna in da je resničnostna vrednost kompleksne izjave odvisna le od resničnostnih vrednosti sestavnih izjav in načina njihove povezave.

Implikacija je resnična, kadar sta njen razlog in posledica resnična ali napačna; resnična je, če je njen razlog napačen in njena posledica resnična. Samo v četrtem primeru, ko je razlog resničen in posledica napačna, je implikacija napačna.

Ni implicirano, da izjave A in IN so med seboj nekako vsebinsko povezane. Če je res IN izjava "če A, to IN" res ne glede na to, ali A resnična ali neresnična in je pomensko povezana z IN ali ne.

Na primer, veljajo naslednje trditve za resnične: "Če je na Soncu življenje, potem je dva in dva enako štiri", "Če je Volga jezero, potem je Tokio velika vas" itd. Pogojna izjava velja tudi, ko A lažno in spet ravnodušno resnično IN ali ne in ali je vsebinsko povezana z A ali ne. Resnične izjave vključujejo: "Če je Sonce kocka, potem je Zemlja trikotnik," "Če sta dva in dva enaka pet, potem je Tokio majhno mesto" itd.

Pri običajnem razmišljanju je malo verjetno, da bi vse te izjave veljale za smiselne in še manj za resnične.

Čeprav je implikacija uporabna za številne namene, ni povsem skladna z običajnim razumevanjem pogojne povezave. Implikacija zajema veliko pomembnih značilnosti logičnega obnašanja pogojnega stavka, vendar hkrati ni dovolj ustrezen opis le-tega.

V zadnjega pol stoletja so bili odločni poskusi reforme teorije implikacij. Pri tem ni šlo za opustitev opisanega koncepta implikacije, temveč za uvedbo ob njem drugega koncepta, ki ne upošteva le resničnostnih vrednosti izjav, temveč tudi njihovo vsebinsko povezanost.

Tesno povezano z implikacijo enakovrednost, včasih imenovano "dvojna implikacija".

Ekvivalenca je zapletena izjava »A če in samo če B«, oblikovana iz izjav Li B in razčlenjena na dve implikaciji: »če A, nato B« in »če B, potem A". Na primer: "Trikotnik je enakostranični, če in samo če je enakokoten." Izraz »enakovrednost« označuje tudi veznik »..., če in samo če ...«, s pomočjo katerega se iz dveh izjav tvori dana kompleksna izjava. Namesto »če in samo če« se lahko v ta namen uporabi »če in samo če«, »če in samo če« itd.

Če so logični povezovalci definirani v smislu resnice in neresničnosti, je enakovrednost resnična, če in samo če imata obe sestavni izjavi enako resničnostno vrednost, tj. ko sta oba resnična ali oba napačna. V skladu s tem je enakovrednost napačna, če je ena od trditev, vključenih vanjo, resnična, druga pa napačna.

Propozicijska logika , imenovana tudi propozicionalna logika, je veja matematike in logike, ki preučuje logične oblike kompleksnih izjav, zgrajenih iz preprostih ali elementarnih izjav z uporabo logičnih operacij.

Propozicionalna logika abstrahira vsebino izjav in preučuje njihovo resničnostno vrednost, to je, ali je izjava resnična ali napačna.

Zgornja slika je ilustracija pojava, znanega kot paradoks lažnivca. Hkrati pa so po mnenju avtorja projekta tovrstni paradoksi možni le v okoljih, ki niso osvobojena političnih problemov, kjer je lahko nekdo a priori označen za lažnivca. V naravnem večplastnem svetu pri predmetu »resnica« ali »neresnica« se ocenjujejo samo posamezne izjave . In kasneje v tej lekciji se boste predstavili možnost, da sami ocenite številne izjave o tej temi (in nato poglejte pravilne odgovore). Vključno s kompleksnimi izjavami, v katerih so enostavnejši med seboj povezani z znaki logičnih operacij. Toda najprej razmislimo o teh operacijah na samih izjavah.

Propozicijska logika se uporablja v računalništvu in programiranju v obliki deklariranja logičnih spremenljivk in dodeljevanja logičnih vrednosti "false" ali "true", od katerih je odvisen potek nadaljnjega izvajanja programa. V majhnih programih, kjer je vključena samo ena logična spremenljivka, se logična spremenljivka pogosto imenuje "zastavica", pomen pa je "zastavica dvignjena", ko je vrednost spremenljivke "true" in "zastavica navzdol". vrednost te spremenljivke je "false". V velikih programih, v katerih je več ali celo veliko logičnih spremenljivk, morajo strokovnjaki pripraviti imena za logične spremenljivke v obliki stavkov in pomenska obremenitev, ki jih razlikuje od drugih logičnih spremenljivk in je razumljiv drugim strokovnjakom, ki bodo brali besedilo tega programa.

Tako lahko logično spremenljivko z imenom »UserRegistered« (ali njen analog v angleškem jeziku) deklariramo v obliki izjave, ki ji lahko dodelimo logično vrednost »true«, če so izpolnjeni pogoji, da so bili poslani registracijski podatki. uporabnik in te podatke program prepozna kot veljavne. Pri nadaljnjih izračunih se lahko vrednosti spremenljivk spreminjajo glede na logično vrednost (true ali false) spremenljivke UserRegistered. V drugih primerih lahko spremenljivki, na primer z imenom »Več kot trije dnevi pred dnevom«, pred določenim blokom izračunov dodelite vrednost »True«, med nadaljnjim izvajanjem programa pa je ta vrednost lahko shrani ali spremeni v »false« in napredek nadaljnjega izvajanja je odvisen od vrednosti te spremenljivke programov.

Če program uporablja več logičnih spremenljivk, katerih imena so v obliki stavkov in so iz njih zgrajeni bolj zapleteni stavki, potem je program veliko lažje razviti, če pred razvojem zapišemo vse operacije iz stavkov. v obliki formul, ki se uporabljajo v logiki stavkov, kot jih počnemo med to lekcijo bomo naredili.

Logične operacije na stavkih

Pri matematičnih izjavah lahko vedno izbiramo med dvema različnima alternativama, »resnično« in »napačno«, toda za izjave v »besednem« jeziku sta pojma »resnica« in »napaka« nekoliko bolj nejasna. Vendar na primer besedne oblike, kot sta "Pojdi domov" in "Ali dežuje?", niso izjave. Zato je jasno, da izjave so besedne oblike, v katerih se nekaj pove . Vprašalni ali vzklični stavki, pozivi, pa tudi želje ali zahteve niso izjave. Ni jih mogoče ovrednotiti z vrednostma "true" in "false".

Nasprotno, izjave lahko obravnavamo kot količine, ki imajo lahko dva pomena: "resnično" in "napačno".

Na primer, podane so naslednje sodbe: "pes je žival", "Pariz je glavno mesto Italije", "3

Prvo od teh trditev lahko ovrednotimo s simbolom »true«, drugo z »false«, tretjo z »true« in četrto z »false«. Ta razlaga izjav je predmet propozicionalne algebre. Trditve bomo označevali z velikimi črkami z latinskimi črkami A, B, ..., in njihove pomene, to je resnično in napačno IN in L. V običajnem govoru se uporabljajo povezave med izjavami "in", "ali" in drugimi.

Te povezave omogočajo, da s povezovanjem različnih izjav med seboj tvorijo nove izjave - kompleksne izjave . Na primer veznik "in". Naj bodo podane izjave: " π več kot 3" in izjava " π manj kot 4". Lahko organizirate novo - kompleksno izjavo " π več kot 3 in π manj kot 4". Izjava "če π iracionalno torej π ² je tudi iracionalen" dobimo s povezavo dveh izjav z veznikom "če - potem". Končno lahko iz katere koli izjave pridobimo novo - kompleksno izjavo - z zanikanjem prvotne izjave.

Upoštevanje izjav kot količin, ki prevzamejo pomen IN in L, bomo definirali naprej logične operacije na izjavah , ki nam omogočajo, da iz teh izjav pridobimo nove kompleksne izjave.

Naj sta podani dve poljubni izjavi A in B.

1 . Prva logična operacija na teh izjavah - konjunkcija - predstavlja tvorbo nove izjave, ki jo bomo označili A ∧ B in kar je res, če in samo če A in B so resnične. V običajnem govoru ta operacija ustreza povezavi izjav z veznikom "in".

Tabela resnic za konjunkcijo:

2 . Druga logična operacija na stavkih A in B- disjunkcija izražena kot A ∨ B, je definiran na naslednji način: resničen je, če in samo če je resnična vsaj ena od prvotnih trditev. V navadnem govoru ta operacija ustreza povezovalnim izjavam z veznikom "ali". Vendar pa imamo tukaj neločljivi "ali", ki se razume v smislu "ali ali", ko A in B oboje ne more biti res. Pri definiranju propozicijske logike A ∨ B res tako, če je resnična samo ena od trditev, kot tudi če sta resnični obe trditvi A in B.

Resnična tabela za disjunkcijo:

3 . Tretja logična operacija na izjavah A in B, izraženo kot A → B; tako dobljena izjava je napačna, če in samo če A res, ampak B lažno. A klical s paketom , B - posledica , in izjava A → B - naslednje , imenovano tudi implikacija. V običajnem govoru ta operacija ustreza vezniku »če-potem«: »če A, To B". Toda v definiciji propozicionalne logike je ta izjava vedno resnična, ne glede na to, ali je izjava resnična ali napačna B. To okoliščino lahko na kratko formuliramo takole: "iz lažnega vse sledi." V zameno, če A res, ampak B je napačna, potem celotna izjava A → B lažno. Res bo, če in samo če A, In B so resnične. Na kratko, to lahko formuliramo takole: "lažno ne more slediti iz resničnega."

Tabela resnic, ki ji je treba slediti (implikacija):

4 . Četrta logična operacija na izjavah, natančneje na eni izjavi, se imenuje negacija izjave A in je označena z ~ A(lahko najdete tudi uporabo ne simbola ~, temveč simbola ¬, kot tudi nadrezovanje zgoraj A). ~ A obstaja izjava, ki je napačna, ko A res in res kdaj A lažno.

Tabela resnic za negacijo:

5 . In končno, peta logična operacija na izjavah se imenuje enakovrednost in je označena A ↔ B. Nastala izjava A ↔ B izjava je resnična, če in samo če A in B oba sta resnična ali oba sta napačna.

Tabela resnic za enakovrednost:

Večina programskih jezikov ima posebne simbole za označevanje logičnih pomenov stavkov; v skoraj vseh jezikih so zapisani kot resnični in napačni.

Povzemimo zgoraj navedeno. Propozicijska logika preučuje povezave, ki so popolnoma določene z načinom, kako so nekatere izjave zgrajene iz drugih, imenovane elementarne. V tem primeru se osnovne izjave obravnavajo kot celote in jih ni mogoče razstaviti na dele.

V spodnji preglednici sistematizirajmo imena, oznake in pomen logičnih operacij na stavkih (kmalu jih bomo spet potrebovali za reševanje primerov).

Res za logične operacije zakoni logike algebre, ki se lahko uporablja za poenostavitev logičnih izrazov. Opozoriti je treba, da se v propozicionalni logiki abstrahiramo od semantične vsebine izjave in se omejimo na to, da jo obravnavamo s stališča, da je resnična ali napačna.

Primer 1.

1) (2 = 2) IN (7 = 7) ;

2) Ne (15;

3) ("bor" = "hrast") ALI ("češnja" = "javor");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (Ne(15 20) ;

6) ("Oči so dane, da vidijo") In ("Pod tretjim nadstropjem je drugo nadstropje");

7) (6/2 = 3) ALI (7*5 = 20) .

1) Pomen izjave v prvih oklepajih je »resničen«, pomen izraza v drugih oklepajih je prav tako resničen. Oba stavka sta povezana z logično operacijo "IN" (glej pravila za to operacijo zgoraj), zato je logična vrednost tega celotnega stavka "true".

2) Pomen izjave v oklepajih je »napačen«. Pred to izjavo je logična operacija negacije, zato je logični pomen te celotne izjave "true".

3) Pomen izjave v prvem oklepaju je »napačen«, pomen izjave v drugem oklepaju je prav tako »napačen«. Stavki so povezani z logično operacijo "ALI" in noben stavek nima vrednosti "true". Zato je logični pomen te celotne izjave »napačen«.

4) Pomen izjave v oklepaju je »napačen«. Pred to izjavo sledi logična operacija negacije. Zato je logični pomen te celotne izjave "resničen".

5) Izjava v notranjih oklepajih je v prvih oklepajih zanikana. Ta izjava v notranjih oklepajih ima pomen "false", zato bo imela njena negacija logični pomen "true". Izjava v drugem oklepaju pomeni "napačno". Ti dve izjavi sta povezani z logično operacijo "IN", torej dobimo "true IN false". Zato je logični pomen te celotne izjave »napačen«.

6) Pomen izjave v prvem oklepaju je »resničen«, pomen izjave v drugem oklepaju je prav tako »resničen«. Ti dve izjavi sta povezani z logično operacijo "IN", torej dobimo "resnično IN resnico". Zato je logični pomen te celotne izjave "resničen".

7) Pomen izjave v prvih oklepajih je »resnično«. Pomen izjave v drugem oklepaju je "napačen". Ti dve izjavi sta povezani z logično operacijo "ALI", to je "true OR false". Zato je logični pomen te celotne izjave "resničen".

Primer 2. Napišite naslednje zapletene izjave z uporabo logičnih operacij:

1) "Uporabnik ni registriran";

2) »Danes je nedelja in nekateri zaposleni so v službi«;

3) "Uporabnik je registriran, če in samo če se podatki, ki jih je posredoval, štejejo za veljavne."

1) str- enojni stavek “Uporabnik je registriran”, logična operacija: ;

2) str- posamezna izjava "Danes je nedelja", q- "Nekaj ​​zaposlenih je na delu", logična operacija: ;

3) str- enotna izjava "Uporabnik je registriran", q- »Podatki, ki jih je poslal uporabnik, so bili ugotovljeni kot veljavni«, logična operacija: .

Sami rešite primere propozicijske logike in si nato oglejte rešitve

Primer 3. Izračunajte logične vrednosti naslednjih izjav:

1) (»V minuti je 70 sekund«) ALI (»Delujoča ura kaže čas«);

2) (28 > 7) IN (300/5 = 60) ;

3) ("TV - električni aparat") In ("Steklo - les");

4) Ne ((300 > 100) ALI ("Z vodo se lahko odžejate"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Primer 4. Z uporabo logičnih operacij zapišite naslednje kompleksne izjave in izračunajte njihove logične vrednosti:

1) "Če ura ne kaže pravilno, potem lahko prideš v razred ob napačnem času";

2) "V ogledalu lahko vidite svoj odsev in Pariz, glavno mesto ZDA";

Primer 5. Določite logično vrednost izraza

(str → q) ↔ (r → s) ,

str = "278 > 5" ,

q= "Jabolko = pomaranča",

str = "0 = 9" ,

s= "Klobuk pokriva glavo".

Propozicijske logične formule

Pojem logične oblike kompleksne izjave pojasnimo s pojmom propozicijske logične formule .

V primerih 1 in 2 smo se naučili pisati kompleksne izjave z uporabo logičnih operacij. Pravzaprav se imenujejo propozicionalne logične formule.

Za označevanje izjav, kot v omenjenem primeru, bomo še naprej uporabljali črke

str, q, r, ..., str 1 , q 1 , r 1 , ...

Te črke bodo igrale vlogo spremenljivk, ki vzamejo vrednosti resnice "true" in "false" kot vrednosti. Te spremenljivke imenujemo tudi propozicionalne spremenljivke. Poklicali jih bomo naprej elementarne formule oz atomi .

Za konstruiranje propozicionalnih logičnih formul se poleg zgoraj navedenih črk uporabljajo znaki logičnih operacij

~, ∧, ∨, →, ↔,

kot tudi simbole, ki omogočajo nedvoumno branje formul - levi in ​​desni oklepaj.

Koncept propozicijske logične formule definirajmo ga takole:

1) elementarne formule (atomi) so formule propozicijske logike;

2) če A in B- propozicionalne logične formule, nato ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) so tudi formule propozicijske logike;

3) samo tisti izrazi so propozicionalne logične formule, za katere to izhaja iz 1) in 2).

Definicija propozicionalne logične formule vsebuje seznam pravil za oblikovanje teh formul. V skladu z definicijo je vsaka propozicijska logična formula bodisi atom ali pa je tvorjena iz atomov kot rezultat dosledne uporabe pravila 2).

Primer 6. Pustiti str- ena izjava (atom) “Vsa racionalna števila so realna”, q- "Nekatera realna števila so racionalna števila" r- "nekatera racionalna števila so realna." Prevedite naslednje formule propozicionalne logike v obliko verbalnih izjav:

6) .

1) "ni realnih števil, ki bi bila racionalna";

2) "če niso vsa racionalna števila realna, potem ne racionalna števila, ki veljajo«;

3) »če so vsa racionalna števila realna, potem so nekatera realna števila racionalna števila in nekatera racionalna števila realna«;

4) »vsa realna števila so racionalna števila in nekatera realna števila so racionalna števila in nekatera racionalna števila so realna števila«;

5) »vsa racionalna števila so realna, če in samo če ni res, da niso vsa racionalna števila realna«;

6) "ni res, da niso vsa racionalna števila realna in ni realnih števil, ki bi bila racionalna, ali ni racionalnih števil, ki bi bila realna."

Primer 7. Ustvarite tabelo resnic za propozicionalno logično formulo , ki jih v tabeli lahko označimo f .

rešitev. Tabelo resnic začnemo sestavljati tako, da zabeležimo vrednosti (»true« ali »false«) za posamezne izjave (atome) str , q in r. Vse možne vrednosti so zapisane v osmih vrsticah tabele. Nadalje, ko določamo vrednosti operacije implikacije in se premikamo v desno v tabeli, se spomnimo, da je vrednost enaka "false", ko "false" sledi iz "true".

Upoštevajte, da noben atom nima oblike ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Kompleksne formule imajo to vrsto.

Število oklepajev v propozicionalnih logičnih formulah lahko zmanjšamo, če to sprejmemo

1) v kompleksna formula zunanji par oklepajev bomo izpustili;

2) razporedimo znake logičnih operacij "po prednostnem vrstnem redu":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Na tem seznamu ima znak ↔ največji obseg, znak ~ pa najmanjši obseg. Obseg operacijskega znaka se nanaša na tiste dele formule propozicijske logike, na katere se nanaša pojav zadevnega znaka (na katerega deluje). Tako je mogoče v kateri koli formuli izpustiti tiste pare oklepajev, ki jih je mogoče obnoviti ob upoštevanju "vrstnega reda". In pri obnavljanju oklepajev se najprej postavijo vsi oklepaji, ki se nanašajo na vse pojavitve znaka ~ (premikamo se od leve proti desni), nato na vse pojavitve znaka ∧ itd.

Primer 8. Obnovite oklepaje v formuli propozicijske logike B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

rešitev. Oklepaji se obnovijo korak za korakom na naslednji način:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Vsake formule propozicijske logike ni mogoče zapisati brez oklepajev. Na primer v formulah A → (B → C) in ~( A → B) nadaljnje izključevanje oklepajev ni mogoče.

Tavtologije in protislovja

Logične tavtologije (ali preprosto tavtologije) so formule propozicionalne logike, tako da če črke poljubno zamenjamo z izjavami (resničnimi ali napačnimi), bo rezultat vedno resnična izjava.

Ker je resničnost ali napačnost zapletenih izjav odvisna samo od pomenov in ne od vsebine izjav, od katerih vsaka ustreza določeni črki, lahko preverimo, ali je dana izjava tavtologija, na naslednji način. V izrazu, ki se preučuje, sta vrednosti 1 in 0 (oziroma »true« in »false«) nadomeščeni s črkami na vse možne načine, logične vrednosti izrazov pa se izračunajo z uporabo logičnih operacij. Če so vse te vrednosti enake 1, potem je izraz, ki ga proučujemo, tavtologija, in če vsaj ena zamenjava daje 0, potem to ni tavtologija.

Tako se imenuje propozicionalna logična formula, ki ima vrednost "true" za katero koli porazdelitev vrednosti atomov, vključenih v to formulo. identična pravi formuli oz tavtologija .

Nasprotni pomen je logično protislovje. Če so vse vrednosti izjav enake 0, potem je izraz logično protislovje.

Tako se imenuje propozicionalna logična formula, ki ima vrednost "false" za katero koli porazdelitev vrednosti atomov, vključenih v to formulo. enako napačna formula oz protislovje .

Poleg tavtologij in logičnih protislovij obstajajo formule propozicijske logike, ki niso niti tavtologije niti protislovja.

Primer 9. Sestavite tabelo resnic za propozicionalno logično formulo in ugotovite, ali je tavtologija, protislovje ali ne eno ne drugo.

rešitev. Ustvarimo tabelo resnic:

V pomenih implikacije ne najdemo vrstice, v kateri "true" implicira "false". Vse vrednosti izvirne izjave so enake "true". Posledično je ta formula propozicijske logike tavtologija.