Definicije:

Ekstremum imenovan maksimum oz najmanjša vrednost funkcije na dani množici.

Ekstremna točka je točka, na kateri je dosežena največja ali najmanjša vrednost funkcije.

Najvišja točka je točka, na kateri je dosežen največja vrednost funkcije.

Najmanjša točka je točka, na kateri je dosežena najmanjša vrednost funkcije.

Razlaga.

Na sliki v bližini točke x = 3 funkcija doseže največjo vrednost (to pomeni, da v bližini te določene točke ni višje točke). V okolici x = 8 ima spet največjo vrednost (ponovno pojasnimo: v tej okolici ni točke višje). Na teh točkah se povečanje umakne zmanjšanju. To so največje število točk:

x max = 3, x max = 8.

V bližini točke x = 5 je dosežena minimalna vrednost funkcije (to pomeni, da v bližini x = 5 ni točke spodaj). Na tej točki se zmanjšanje spremeni v povečanje. To je najmanjša točka:

Največje in najmanjše točke so ekstremne točke funkcije, in vrednosti funkcije na teh točkah so njene skrajnosti.

Kritične in stacionarne točke funkcije:

Nujen pogoj za ekstrem:

Zadosten pogoj za ekstrem:

Na segmentu funkcija l = f(x) lahko doseže svojo najmanjšo ali največjo vrednost na kritičnih točkah ali na koncih segmenta .

Algoritem za študij zvezne funkcijel = f(x) za monotonost in ekstreme:

Razmislite o naslednji sliki.

Prikazuje graf funkcije y = x^3 – 3*x^2. Oglejmo si nek interval, ki vsebuje točko x = 0, na primer od -1 do 1. Takšen interval imenujemo tudi okolica točke x = 0. Kot je razvidno iz grafa, je v tej okolici funkcija y = x ^3 – 3*x^2 ima največjo vrednost ravno v točki x = 0.

Maksimalne in minimalne funkcije

V tem primeru se točka x = 0 imenuje največja točka funkcije. Po analogiji s tem se točka x = 2 imenuje točka minimuma funkcije y = x^3 – 3*x^2. Ker obstaja soseska te točke, v kateri bo vrednost na tej točki minimalna med vsemi drugimi vrednostmi iz te soseske.

Pika maksimum funkcija f(x) se imenuje točka x0, pod pogojem, da obstaja soseska točke x0, tako da za vse x, ki niso enaki x0 iz te soseščine, velja neenakost f(x)< f(x0).

Pika najmanj funkcija f(x) se imenuje točka x0, pod pogojem, da obstaja soseska točke x0, tako da za vse x, ki niso enaki x0 iz te soseščine, velja neenakost f(x) > f(x0).

V točkah maksimuma in minimuma funkcij je vrednost odvoda funkcije enaka nič. Vendar to ni zadosten pogoj za obstoj funkcije v maksimalni ali minimalni točki.

Na primer, funkcija y = x^3 v točki x = 0 ima odvod enak nič. Toda točka x = 0 ni najmanjša ali največja točka funkcije. Kot veste, funkcija y = x^3 narašča vzdolž celotne numerične osi.

Tako bosta najmanjša in največja točka vedno med koreninami enačbe f’(x) = 0. Vendar ne bodo vse korenine te enačbe največje ali najmanjše točke.

Stacionarne in kritične točke

Točke, v katerih je vrednost odvoda funkcije enaka nič, imenujemo stacionarne točke. Obstajajo lahko tudi točke maksimuma ali minimuma v točkah, kjer odvod funkcije sploh ne obstaja. Na primer, y = |x| v točki x = 0 ima minimum, vendar odvod na tej točki ne obstaja. Ta točka bo kritična točka funkcije.

Kritične točke funkcije so točke, v katerih je odvod enak nič ali pa odvod na tej točki ne obstaja, to pomeni, da je funkcija v tej točki nediferenciabilna. Da bi našli maksimum ali minimum funkcije, mora biti izpolnjen zadosten pogoj.

Naj bo f(x) neka diferenciabilna funkcija na intervalu (a;b). Točka x0 pripada temu intervalu in f’(x0) = 0. Potem:

1. če pri prehodu skozi stacionarno točko x0 funkcija f(x) in njen odvod spremenita predznak iz “plus” v “minus”, potem je točka x0 največja točka funkcije.

2. če pri prehodu skozi stacionarno točko x0 funkcija f(x) in njen odvod spremenita predznak iz “minus” v “plus”, potem je točka x0 točka minimuma funkcije.

Kritične točke– to so točke, v katerih je odvod funkcije enak nič ali ne obstaja. Če je odvod enak 0, potem funkcija na tej točki vzame lokalni minimum ali maksimum. Na grafu v takih točkah ima funkcija vodoravno asimptoto, to pomeni, da je tangenta vzporedna z osjo Ox.

Takšne točke se imenujejo stacionarni. Če vidite "grbo" ali "luknjo" na grafu zvezne funkcije, ne pozabite, da je maksimum ali minimum dosežen na kritični točki. Vzemimo za primer naslednjo nalogo.

Primer 1. Poiščite kritične točke funkcije y=2x^3-3x^2+5.
rešitev.

Algoritem za iskanje kritičnih točk je naslednji:

Torej ima funkcija dve kritični točki. Nato, če morate preučiti funkcijo, potem določimo predznak odvoda levo in desno od kritične točke. Če odvod spremeni predznak iz "-" v "+" pri prehodu skozi kritično točko, potem funkcija zavzame lokalni minimum . Če je od "+" do "-", naj.

lokalni maksimum Druga vrsta kritičnih točk

to so ničle imenovalca ulomkov in iracionalnih funkcij


Logaritemske in trigonometrične funkcije, ki v teh točkah niso definirane Tretja vrsta kritičnih točk
imajo delno zvezne funkcije in module.

Na primer, katera koli funkcija modula ima minimum ali maksimum na prelomni točki.
Na primer modul y = | x -5 | v točki x = 5 ima minimum (kritično točko).

Izpeljanka v njem ne obstaja, ampak ima desno in levo vrednost 1 oziroma -1.

1)
2)
3)
4)
5)

Poskusite določiti kritične točke funkcij
Če je odgovor y, dobite vrednost
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1. potem že veš kako najti kritične točke

in biti sposoben opraviti preprost test ali teste. Domena funkcije, izračunaj njen odvod, poišči domeno odvoda funkcije, najdi točke

obračanje odvoda na nič, dokaži, da najdene točke pripadajo domeni definicije izvorne funkcije. Domena funkcije, izračunaj njen odvod, poišči domeno odvoda funkcije, najdi 1. primer Ugotovite kritično

funkcije y = (x - 3)²·(x-2). Rešitev Poiščite domeno funkcije v v tem primeru brez omejitev: x ∈ (-∞; +∞); Izračunajte odvod y’. Po pravilih za razlikovanje produkta dveh imamo: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3)·(x - 2) + (x - 3)²·1. Kasneje se izkaže kvadratna enačba

Poiščite področje definicije odvoda funkcije: x ∈ (-∞; +∞) Rešite enačbo 3 x² – 16 x + 21 = 0, da ugotovite, pri katerem postane nič: 3 x² – 16 x +. 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Torej gre odvod na nič pri vrednostih x enakih 3 in 7/3.

Ugotovite, ali najdeni pripadajo Domena funkcije, izračunaj njen odvod, poišči domeno odvoda funkcije, najdi domena definicije izvorne funkcije. Ker je x (-∞; +∞), potem oboje Domena funkcije, izračunaj njen odvod, poišči domeno odvoda funkcije, najdi so kritični.

Primer 2: Prepoznavanje kritičnega Domena funkcije, izračunaj njen odvod, poišči domeno odvoda funkcije, najdi funkcije y = x² – 2/x.

Rešitev Domena funkcije: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), ker je x v imenovalcu Izračunajte odvod y’ = 2 x + 2/x².

Domena definicije odvoda funkcije je enaka kot pri izvirniku: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Rešite enačbo 2 x + 2/x² = 0: 2 x = -2/x² → x = -1.

Torej gre odvod na nič pri x = -1. Potreben, a ne zadosten pogoj za kritičnost je izpolnjen. Ker x=-1 pade v interval (-∞; 0) ∪ (0; +∞), potem je ta točka kritična.

Viri:

• Kritični obseg prodaje, pcsThreshold

Mnoge ženske trpijo zaradi predmenstrualnega sindroma, ki se kaže ne le v bolečih občutkih, ampak tudi v povečanem apetitu. Kot rezultat kritični dnevi lahko znatno upočasni proces hujšanja.

Vzroki za povečan apetit med menstruacijo

Vzrok za povečanje apetita med menstruacijo je sprememba splošne hormonske ravni v ženskem telesu. Nekaj ​​dni pred nastopom menstruacije se raven hormona progesterona dvigne, telo se prilagodi možnosti in poskuša narediti dodatne zaloge energije v obliki maščobnih oblog, tudi če ženska sedi. Tako so spremembe teže v kritičnih dneh normalne.

Kako jesti med menstruacijo

V teh dneh poskusite ne jesti sladkarij, slaščic in druge visokokalorične hrane, ki vsebuje "hitro" hrano. Njihov presežek se bo takoj odložil v maščobo. V tem obdobju si marsikatera ženska res želi jesti čokolado, v tem primeru lahko kupite temno čokolado in si privoščite nekaj rezin, vendar ne več. Med menstruacijo ne smete uživati ​​alkoholnih pijač, marinad, kislih kumaric, prekajenega mesa, semen in oreščkov. Na splošno je treba kumarice in prekajeno hrano omejiti v prehrani 6-8 dni pred začetkom menstruacije, saj takšni izdelki povečajo zaloge vode v telesu, za to obdobje pa je značilno povečano kopičenje tekočine. Če želite zmanjšati količino soli v vaši prehrani, jo dodajte čim manj pripravljeni hrani.

Priporočljivo je uživanje mlečnih izdelkov z nizko vsebnostjo maščob, rastlinske hrane in žit. Fižol, kuhan krompir, riž - koristni bodo izdelki, ki vsebujejo "počasne" ogljikove hidrate. Morski sadeži, jetra, ribe, govedina, perutnina, jajca, stročnice in suho sadje bodo pomagali nadomestiti izgubo železa. Pšenični otrobi bodo koristni. Naravna reakcija med menstruacijo je otekanje. Lahka diuretična zelišča bodo pomagala popraviti stanje: bazilika, koper, peteršilj, zelena. Lahko jih uporabimo kot začimbo. V drugi polovici cikla je priporočljivo uživati ​​beljakovinsko hrano (pusto meso in ribe, mlečni izdelki), količino ogljikovih hidratov v prehrani pa čim bolj zmanjšati.

Ekonomski koncept kritičnega volumna prodaja ustreza položaju podjetja na trgu, kjer so prihodki od prodaje blaga minimalni. To stanje imenujemo točka preloma, ko povpraševanje po izdelkih upade in dobiček komaj pokriva stroške. Za določitev kritične prostornine prodaja, uporabite več metod.

Navodila

Delovni cikel ni omejen na njegove dejavnosti – proizvodnjo ali storitve. To je kompleksno delo določene strukture, vključno z delom glavnega osebja, vodstvenega osebja, vodstvenega osebja itd., Pa tudi ekonomistov, katerih naloga je finančno analizo podjetja.

Namen te analize je izračunati določene količine, ki tako ali drugače vplivajo na velikost končnega dobička. to različne vrste obseg proizvodnje in prodaje, polni in povprečni, kazalniki povpraševanja itd. Glavna naloga je ugotoviti obseg proizvodnje, pri katerem je vzpostavljeno stabilno razmerje med stroški in dobičkom.

Najmanjša glasnost prodaja, pri katerem prihodki v celoti pokrijejo stroške, ne povečajo pa se pravičnost podjetje se imenuje kritična količina prodaja. Obstajajo tri metode za izračun metode tega kazalnika: metoda enačb, metoda mejnega dohodka in grafična.

Za določitev kritične prostornine prodaja po prvi metodi sestavite enačbo oblike: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, kjer je: Вп – prihodek od prodaja in ;Zper in Zpos – spremenljivi in ​​stalni stroški; Pp – dobiček iz prodaja in.

Po drugi metodi, prvi mandat, prihodki od prodaja, ga predstavite kot produkt mejnega dohodka na enoto blaga in obsega prodaja, enako velja za variabilne stroške. Fiksni stroški velja za celotno serijo blaga, zato pustite to komponento skupno: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Iz te enačbe izrazite vrednost N in dobili boste kritično prostornino prodaja:N = Zpos/(MD – Zper1), kjer so Zper1 variabilni stroški na enoto blaga.

Grafična metoda vključuje konstruiranje. Se nanaša na koordinatna ravnina dve vrstici: funkcija prihodkov od prodaja minus funkcija stroškov in dobička. Na abscisno os nanesite obseg proizvodnje, na ordinatno os pa dohodek od pripadajoče količine blaga, izražen v denarnih enotah. Presečišče teh črt ustreza kritičnemu volumnu prodaja, prelomni položaj.

Viri:

• kako definirati kritično delo

Kritično mišljenje je skupek sodb, na podlagi katerih se oblikujejo določeni zaključki in se podaja ocena predmetov kritike. Posebej je značilen za raziskovalce in znanstvenike vseh vej znanosti. Kritično mišljenje zavzema višjo raven v primerjavi z običajnim mišljenjem.

Vrednost izkušenj pri razvijanju kritičnega mišljenja

Težko je analizirati in sklepati o nečem, česar ne razumeš dobro. Da bi se torej naučili kritično razmišljati, je treba predmete preučevati v najrazličnejših povezavah in odnosih z drugimi pojavi. in velik pomen v tem primeru ima znanje o informacijah o takih predmetih, sposobnost gradnje logičnih verig sodb in sprejemanja razumnih zaključkov.

Na primer presoja vrednosti umetniško delo mogoče samo s poznavanjem precej drugih sadov literarne dejavnosti. Hkrati pa je dobro biti strokovnjak za zgodovino človekovega razvoja, nastajanje literature in literarno kritiko. V izolaciji od zgodovinskega konteksta lahko delo izgubi svoj predvideni pomen. Da bi bila ocena umetniškega dela dovolj popolna in utemeljena, je treba uporabiti tudi svoje literarno znanje, ki vključuje pravila konstrukcije. literarno besedilo znotraj posameznih žanrov sistem različnih literarnih tehnik, razvrščanje in analiziranje obstoječih slogov in smeri v literaturi itd. Hkrati je pomembno preučiti notranjo logiko zapleta, zaporedje dejanj, razporeditev in interakcijo likov v umetniškem delu.

Značilnosti kritičnega mišljenja

Druge značilnosti kritičnega mišljenja vključujejo naslednje:
- znanje o preučevanem predmetu je le izhodišče za nadaljnjo možgansko aktivnost, povezano z gradnjo logičnih verig;
- dosledno zgrajeno in zdravorazumsko razmišljanje vodi k prepoznavanju resničnih in napačnih informacij o preučevanem predmetu;
- kritično mišljenje je vedno povezano z ocenjevanjem razpoložljivih informacij o ta predmet in ustreznih zaključkov, je ocena povezana z obstoječimi veščinami.

Za razliko od navadnega mišljenja kritično mišljenje ni podvrženo slepi veri. Kritično mišljenje vam omogoča, da s pomočjo celotnega sistema sodb o predmetu kritike razumete njegovo bistvo, prepoznate resnično znanje o njem in ovržete lažna. Temelji na logičnosti, globini in popolnosti študije, resničnosti, ustreznosti in doslednosti sodb. V tem primeru so očitne in že dolgo dokazane trditve sprejete kot postulati in ne zahtevajo ponovnega dokazovanja in vrednotenja.

V prejšnjih razpravah sploh nismo uporabljali tehničnih metod diferencialnega računa.

Težko je ne priznati, da so naše osnovne metode enostavnejše in bolj neposredne od metod analize. Na splošno je pri obravnavi določenega znanstvenega problema bolje izhajati iz njega posamezne značilnosti kot se zanašati samo na splošne metode, čeprav po drugi strani splošno načelo, ki pojasnjuje pomen uporabljenih posebnih postopkov, bi seveda moral vedno imeti vodilno vlogo. Ravno v tem je pomen metod diferencialnega računa pri obravnavi ekstremnih problemov. Opaženo v moderna znanostželja po splošnosti predstavlja le eno plat zadeve, saj tisto, kar je v matematiki resnično vitalnega pomena, brez dvoma določajo individualne značilnosti obravnavanih problemov in uporabljenih metod.

V njegovem zgodovinski razvoj Na diferencialni račun so močno vplivale posamezne težave, povezane z iskanjem največjih in najmanjših vrednosti količin. Povezavo med ekstremnimi problemi in diferencialnim računom lahko razumemo na naslednji način. V poglavju VIII se bomo lotili podrobne študije odvoda f"(x) funkcije f(x) in njegovega geometrijskega pomena. Tam bomo videli, da je, na kratko, odvod f"(x) naklon tangenta na krivuljo y = f(x) v točki (x, y). Geometrično je očitno, da na največjih ali najmanjših točkah gladke krivulje y = f(x) tangenta na krivuljo mora biti vsekakor vodoravna, to pomeni, da mora biti naklon enak nič. Tako dobimo pogoj za ekstremne točke f"(x) = 0.

Da bi jasno razumeli, kaj pomeni izničenje odvoda f"(x), si oglejte krivuljo, prikazano na sliki 191. Tu vidimo pet točk A, B, C, D, ?, v katerih je tangenta na krivuljo vodoravna ; označimo ustrezne vrednosti f(x) na teh točkah z a, b, c, d, e. Najvišja vrednost f(x) (znotraj območja prikazanega na risbi) je dosežena v točki D, najmanjša v točki A. V točki B je maksimum - v smislu, da v vseh točkah neka soseska točke B je vrednost f(x) manjša od b, čeprav je v točkah blizu D vrednost f(x) še vedno večja od b. Zaradi tega je običajno reči, da je v točki B relativni maksimum funkcije f(x), medtem ko je v točki D - absolutni maksimum. Na enak način je v točki C relativni minimum, in na točki A - absolutni minimum. Končno, kar zadeva točko E, v njej ni niti maksimuma niti minimuma, čeprav je v njej enakost še vedno uresničena f"(x) = Q, Iz tega sledi, da je izničenje odvoda f"(x). potrebno, ampak sploh ne dovolj pogoj za pojav ekstrema gladke funkcije f(x); z drugimi besedami, na kateri koli točki, kjer obstaja ekstrem (absolutni ali relativni), se enakost zagotovo zgodi f"(x) = 0, vendar ne na vseh točkah f"(x) = 0, mora biti ekstrem. Tiste točke, v katerih odvod f"(x) izgine, ne glede na to, ali je v njih ekstrem, imenujemo stacionarni. Nadaljnja analiza vodi do bolj ali manj kompleksnih pogojev, ki zadevajo višje odvode funkcije f(x) in popolnoma karakterizirajo maksimume, minimume in druge stacionarne točke.