Mari bekerja dengan persamaan kuadratik. Ini adalah persamaan yang sangat popular! Dalam sangat Pandangan umum persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Sebagai contoh:

Di sini A =1; b = 3; c = -4

Di sini A =2; b = -0,5; c = 2,2

Di sini A =-3; b = 6; c = -18

Nah, anda faham...

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik? Jika anda mempunyai persamaan kuadratik di hadapan anda dalam bentuk ini, maka semuanya mudah. Mari kita ingat Kata ajaib diskriminasi . Jarang pelajar sekolah menengah tidak mendengar perkataan ini! Ungkapan "kami menyelesaikan melalui diskriminasi" menimbulkan keyakinan dan keyakinan. Kerana tidak perlu mengharapkan helah daripada diskriminasi! Ia mudah dan bebas masalah untuk digunakan. Jadi, formula untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti ini:

Ungkapan di bawah tanda akar adalah satu diskriminasi. Seperti yang anda lihat, untuk mencari X, kami menggunakan hanya a, b dan c. Itu. pekali daripada persamaan kuadratik. Hanya dengan berhati-hati menggantikan nilai a, b dan c Ini adalah formula yang kami kira. Mari kita ganti dengan tanda-tanda anda sendiri! Sebagai contoh, untuk persamaan pertama A =1; b = 3; c= -4. Di sini kami menulisnya:

Contoh hampir diselesaikan:

Itu sahaja.

Apakah kes yang mungkin berlaku apabila menggunakan formula ini? Terdapat hanya tiga kes.

1. Diskriminasi adalah positif. Ini bermakna akar boleh diekstrak daripadanya. Sama ada akar diekstrak dengan baik atau buruk adalah persoalan lain. Apa yang penting ialah apa yang diekstrak secara prinsip. Maka persamaan kuadratik anda mempunyai dua punca. Dua penyelesaian berbeza.

2. Diskriminasi adalah sifar. Kemudian anda mempunyai satu penyelesaian. Tegasnya, ini bukan satu akar, tetapi dua serupa. Tetapi ini memainkan peranan dalam ketidaksamaan, di mana kita akan mengkaji isu itu dengan lebih terperinci.

3. Diskriminasi adalah negatif. daripada nombor negatif Punca kuasa dua tidak diekstrak. Baiklah. Ini bermakna tiada penyelesaian.

Semuanya sangat mudah. Dan apa, anda fikir mustahil untuk membuat kesilapan? Nah, ya, bagaimana...
Kesilapan yang paling biasa ialah kekeliruan dengan nilai tanda a, b dan c. Atau sebaliknya, bukan dengan tanda-tanda mereka (di mana untuk mengelirukan?), Tetapi dengan penggantian nilai negatif ke dalam formula untuk mengira akar. Apa yang membantu di sini ialah rakaman terperinci formula dengan nombor tertentu. Sekiranya terdapat masalah dengan pengiraan, berbuat demikian!

Katakan kita perlu menyelesaikan contoh berikut:

Di sini a = -6; b = -5; c = -1

Katakan anda tahu bahawa anda jarang mendapat jawapan pada kali pertama.

Nah, jangan malas. Ia akan mengambil masa kira-kira 30 saat untuk menulis baris tambahan Dan bilangan ralat akan berkurangan secara mendadak. Jadi kami menulis secara terperinci, dengan semua kurungan dan tanda:

Nampak sangat sukar untuk menulis dengan teliti. Tetapi nampaknya begitu sahaja. Mencubanya. Baik, atau pilih. Apa yang lebih baik, cepat atau betul? Selain itu, saya akan membahagiakan awak. Selepas beberapa ketika, tidak perlu menulis segala-galanya dengan berhati-hati. Ia akan berjaya dengan sendirinya. Terutama jika anda menggunakan teknik praktikal, yang diterangkan di bawah. Contoh jahat dengan sekumpulan tolak ini boleh diselesaikan dengan mudah dan tanpa ralat!

Jadi, cara menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi yang kita ingat. Atau mereka belajar, yang juga bagus. Anda tahu cara menentukan dengan betul a, b dan c. Adakah anda tahu bagaimana? dengan penuh perhatian menggantikannya ke dalam formula akar dan dengan penuh perhatian mengira hasilnya. Anda faham bahawa kata kunci di sini ialah dengan penuh perhatian?

Walau bagaimanapun, persamaan kuadratik selalunya kelihatan sedikit berbeza. Sebagai contoh, seperti ini:

ini persamaan kuadratik tidak lengkap . Mereka juga boleh diselesaikan melalui diskriminasi. Anda hanya perlu memahami dengan betul apa yang mereka sama dengan di sini. a, b dan c.

Adakah anda telah memikirkannya? Dalam contoh pertama a = 1; b = -4; A c? Ia tidak ada sama sekali! Ya, betul. Dalam matematik ini bermakna c = 0 ! Itu sahaja. Gantikan sifar ke dalam formula sebaliknya c, dan kita akan berjaya. Begitu juga dengan contoh kedua. Cuma kami tidak mempunyai sifar di sini Dengan, A b !

Tetapi persamaan kuadratik yang tidak lengkap boleh diselesaikan dengan lebih mudah. Tanpa sebarang diskriminasi. Mari kita pertimbangkan persamaan tidak lengkap pertama. Apa yang boleh anda lakukan di sebelah kiri? Anda boleh mengeluarkan X daripada kurungan! Mari kita keluarkan.

Dan apa dari ini? Dan hakikat bahawa produk itu sama dengan sifar jika dan hanya jika mana-mana faktor sama dengan sifar! Tidak percaya saya? Okey, kemudian temukan dua nombor bukan sifar yang, apabila didarab, akan memberikan sifar!
Tidak berfungsi? itu sahaja...
Oleh itu, kami boleh menulis dengan yakin: x = 0, atau x = 4

Semua. Ini akan menjadi punca persamaan kita. Kedua-duanya sesuai. Apabila menggantikan mana-mana daripadanya ke dalam persamaan asal, kita mendapat identiti yang betul 0 = 0. Seperti yang anda lihat, penyelesaiannya adalah lebih mudah daripada menggunakan diskriminasi.

Persamaan kedua juga boleh diselesaikan dengan mudah. Gerakkan 9 ke sebelah kanan. Kita mendapatkan:

Yang tinggal hanyalah mengekstrak akar daripada 9, dan itu sahaja. Ia akan menjadi:

Juga dua akar . x = +3 dan x = -3.

Ini adalah bagaimana semua persamaan kuadratik yang tidak lengkap diselesaikan. Sama ada dengan meletakkan X daripada kurungan, atau pemindahan mudah nombor ke kanan dan kemudian mengeluarkan akarnya.
Sangat sukar untuk mengelirukan teknik ini. Semata-mata kerana dalam kes pertama anda perlu mengekstrak akar X, yang entah bagaimana tidak dapat difahami, dan dalam kes kedua tiada apa-apa yang perlu diambil dari kurungan...

Sekarang perhatikan teknik praktikal yang secara mendadak mengurangkan bilangan ralat. Yang sama yang disebabkan oleh ketidakpedulian... Yang kemudiannya menjadi menyakitkan dan menyinggung perasaan...

Pelantikan pertama. Jangan malas sebelum menyelesaikan persamaan kuadratik dan bawa ke bentuk piawai. Apakah maksud ini?
Katakan bahawa selepas semua transformasi anda mendapat persamaan berikut:

Jangan tergesa-gesa untuk menulis formula akar! Anda hampir pasti akan mendapat kemungkinan bercampur aduk a, b dan c. Bina contoh dengan betul. Pertama, X kuasa dua, kemudian tanpa kuasa dua, kemudian sebutan bebas. seperti ini:

Dan sekali lagi, jangan tergesa-gesa! Tolak di hadapan X kuasa dua benar-benar boleh mengganggu anda. Mudah lupa... Buang tolak. Bagaimana? Ya, seperti yang diajar dalam topik sebelum ini! Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Tetapi kini anda boleh menulis formula untuk akar dengan selamat, mengira diskriminasi dan menyelesaikan contoh. Tentukan sendiri. Anda kini sepatutnya mempunyai akar 2 dan -1.

Penerimaan kedua. Periksa akarnya! Mengikut teorem Vieta. Jangan takut, saya akan menerangkan semuanya! Menyemak perkara terakhir persamaan. Itu. yang kami gunakan untuk menulis formula akar. Jika (seperti dalam contoh ini) pekali a = 1, menyemak akar adalah mudah. Ia cukup untuk membiak mereka. Hasilnya mestilah ahli percuma, i.e. dalam kes kami -2. Sila ambil perhatian, bukan 2, tetapi -2! Ahli percuma dengan tanda anda . Jika ia tidak berjaya, ini bermakna mereka sudah kacau di suatu tempat. Cari kesilapan. Jika ia berfungsi, anda perlu menambah akar. Semakan terakhir dan terakhir. Pekali sepatutnya b Dengan bertentangan biasa. Dalam kes kami -1+2 = +1. Satu pekali b, yang berada di hadapan X, adalah sama dengan -1. Jadi, semuanya betul!
Sayang sekali bahawa ini sangat mudah hanya untuk contoh di mana x kuasa dua adalah tulen, dengan pekali a = 1. Tetapi sekurang-kurangnya semak persamaan sedemikian! Semua kurang kesilapan kehendak.

Penerimaan ketiga. Jika persamaan anda mempunyai pekali pecahan, hapuskan pecahan itu! Darabkan persamaan dengan penyebut biasa, seperti yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya. Apabila bekerja dengan pecahan, ralat terus menjalar atas sebab tertentu...

Ngomong-ngomong, saya berjanji untuk memudahkan contoh jahat dengan banyak kelemahan. Tolonglah! Ini dia.

Untuk tidak keliru dengan tolak, kita darabkan persamaan dengan -1. Kita mendapatkan:

Itu sahaja! Menyelesaikan adalah keseronokan!

Jadi, mari kita ringkaskan topik tersebut.

Nasihat praktikal:

1. Sebelum menyelesaikan, kami membawa persamaan kuadratik kepada bentuk piawai dan membinanya Betul.

2. Jika terdapat pekali negatif di hadapan kuasa dua X, kita menghapuskannya dengan mendarab keseluruhan persamaan dengan -1.

3. Jika pekali adalah pecahan, kita menghapuskan pecahan dengan mendarabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sepadan.

4. Jika x kuasa dua adalah tulen, pekalinya adalah sama dengan satu, penyelesaiannya boleh disahkan dengan mudah menggunakan teorem Vieta. Lakukannya!

Persamaan pecahan. ODZ.

Kami terus menguasai persamaan. Kita sudah tahu bagaimana untuk bekerja dengan persamaan linear dan kuadratik. Pandangan terakhir kiri - persamaan pecahan. Atau mereka juga dipanggil lebih terhormat - pecahan persamaan rasional . Ia adalah sama.

Persamaan pecahan.

Seperti namanya, persamaan ini semestinya mengandungi pecahan. Tetapi bukan hanya pecahan, tetapi pecahan yang mempunyai tidak diketahui dalam penyebut. Sekurang-kurangnya dalam satu. Sebagai contoh:

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa jika penyebutnya sahaja nombor, ini adalah persamaan linear.

Bagaimana untuk membuat keputusan persamaan pecahan? Pertama sekali, buang pecahan! Selepas ini, persamaan paling kerap bertukar menjadi linear atau kuadratik. Dan kemudian kita tahu apa yang perlu dilakukan... Dalam sesetengah kes, ia boleh bertukar menjadi identiti, seperti 5=5 atau ungkapan yang salah, seperti 7=2. Tetapi ini jarang berlaku. Saya akan sebutkan ini di bawah.

Tetapi bagaimana untuk menghilangkan pecahan!? Sangat ringkas. Mengaplikasikan transformasi yang sama.

Kita perlu mendarabkan keseluruhan persamaan dengan ungkapan yang sama. Supaya semua penyebut dikurangkan! Segala-galanya akan segera menjadi lebih mudah. Biar saya jelaskan dengan contoh. Mari kita perlu menyelesaikan persamaan:

Seperti yang diajar dalam kelas junior? Kami memindahkan segala-galanya ke satu pihak, membawanya ke penyebut yang sama, dsb. Lupakan caranya mimpi ngeri! Inilah yang perlu anda lakukan apabila anda menambah atau menolak pecahan. Atau anda bekerja dengan ketidaksamaan. Dan dalam persamaan, kita segera mendarab kedua-dua belah dengan ungkapan yang akan memberi kita peluang untuk mengurangkan semua penyebut (iaitu, pada dasarnya, dengan penyebut biasa). Dan apakah ungkapan ini?

Di sebelah kiri, mengurangkan penyebut memerlukan pendaraban dengan x+2. Dan di sebelah kanan, pendaraban dengan 2 diperlukan Ini bermakna bahawa persamaan mesti didarab dengan 2(x+2). gandakan:

Ini ialah pendaraban biasa bagi pecahan, tetapi saya akan menerangkannya secara terperinci:

Sila ambil perhatian bahawa saya tidak membuka kurungan lagi (x + 2)! Jadi, secara keseluruhannya, saya menulisnya:

Di sebelah kiri ia menguncup sepenuhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Manakah yang diperlukan! Selepas pengurangan kita dapat linear persamaan:

Dan semua orang boleh menyelesaikan persamaan ini! x = 2.

Mari kita selesaikan contoh lain, sedikit lebih rumit:

Jika kita ingat bahawa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1, kita boleh menulis:

Dan sekali lagi kita menyingkirkan perkara yang kita tidak suka - pecahan.

Kita melihat bahawa untuk mengurangkan penyebut dengan X, kita perlu mendarab pecahan dengan (x – 2). Dan segelintir bukan penghalang kepada kami. Baik, mari kita membiak. Semua sebelah kiri dan semua sebelah kanan:

Tanda kurung lagi (x – 2) Saya tidak mendedahkan. Saya bekerja dengan kurungan secara keseluruhan seolah-olah ia adalah satu nombor! Ini mesti sentiasa dilakukan, jika tidak, tiada apa yang akan dikurangkan.

Dengan perasaan kepuasan yang mendalam kami mengurangkan (x – 2) dan kita mendapat persamaan tanpa sebarang pecahan, dengan pembaris!

Sekarang mari buka kurungan:

Kami membawa yang serupa, alihkan semuanya ke sebelah kiri dan dapatkan:

Persamaan kuadratik klasik. Tetapi tolak di hadapan adalah tidak baik. Anda sentiasa boleh menyingkirkannya dengan mendarab atau membahagi dengan -1. Tetapi jika anda melihat dengan teliti pada contoh, anda akan mendapati bahawa adalah lebih baik untuk membahagikan persamaan ini dengan -2! Dalam satu masa, tolak akan hilang, dan kemungkinan akan menjadi lebih menarik! Bahagikan dengan -2. Di sebelah kiri - istilah dengan sebutan, dan di sebelah kanan - hanya bahagikan sifar dengan -2, sifar dan kita dapat:

Kami menyelesaikan melalui diskriminasi dan menyemak menggunakan teorem Vieta. Kita mendapatkan x = 1 dan x = 3. Dua akar.

Seperti yang anda lihat, dalam kes pertama persamaan selepas transformasi menjadi linear, tetapi di sini ia menjadi kuadratik. Ia berlaku bahawa selepas menyingkirkan pecahan, semua X dikurangkan. Sesuatu yang kekal, seperti 5=5. Maksudnya begitu x boleh jadi apa-apa. Apa pun ia tetap akan berkurangan. Dan ternyata kebenaran tulen, 5=5. Tetapi, selepas menyingkirkan pecahan, ia mungkin menjadi tidak benar sama sekali, seperti 2=7. Dan ini bermakna bahawa tiada penyelesaian! Mana-mana X ternyata tidak benar.

Menyedari penyelesaian utama persamaan pecahan ? Ia mudah dan logik. Kami menukar ungkapan asal supaya semua yang kami tidak suka hilang. Atau ia mengganggu. DALAM dalam kes ini ini adalah pecahan. Kami akan melakukan perkara yang sama dengan semua jenis contoh kompleks dengan logaritma, sinus dan kengerian lain. Kami Sentiasa Mari kita singkirkan semua ini.

Walau bagaimanapun, kita perlu menukar ungkapan asal ke arah yang kita perlukan mengikut peraturan, ya... Penguasaannya ialah persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Jadi kami menguasainya.

Sekarang kita akan belajar cara memintas salah satu daripadanya serangan hendap utama pada Peperiksaan Negeri Bersatu! Tetapi pertama, mari kita lihat sama ada anda jatuh ke dalamnya atau tidak?

Mari lihat contoh mudah:

Perkara itu sudah biasa, kita darabkan kedua-dua belah pihak (x – 2), kita mendapatkan:

Saya ingatkan anda, dengan kurungan (x – 2) Kami bekerja seolah-olah dengan satu, ungkapan integral!

Di sini saya tidak lagi menulis satu dalam penyebut, ia tidak bermaruah... Dan saya tidak melukis kurungan dalam penyebut, kecuali x – 2 tiada apa-apa, anda tidak perlu melukis. Mari kita pendekkan:

Buka kurungan, gerakkan semuanya ke kiri, dan berikan yang serupa:

Kami menyelesaikan, menyemak, kami mendapat dua punca. x = 2 Dan x = 3. Hebat.

Katakan tugasan mengatakan untuk menuliskan punca, atau jumlahnya jika terdapat lebih daripada satu punca. Apa yang akan kita tulis?

Jika anda memutuskan jawapannya ialah 5, anda telah diserang hendap. Dan tugas itu tidak akan dikreditkan kepada anda. Mereka bekerja dengan sia-sia... Jawapan yang betul ialah 3.

Apa masalahnya?! Dan anda cuba melakukan pemeriksaan. Gantikan nilai yang tidak diketahui ke dalam asal contoh. Dan jika pada x = 3 semuanya akan berkembang bersama dengan hebat, kita dapat 9 = 9, kemudian bila x = 2 Ia akan menjadi pembahagian dengan sifar! Perkara yang anda tidak boleh lakukan sama sekali. Bermakna x = 2 bukan penyelesaian, dan tidak diambil kira dalam jawapan. Ini adalah apa yang dipanggil akar luar atau tambahan. Kami hanya membuangnya. Akar akhir adalah satu. x = 3.

Macam mana?! – Saya mendengar seruan marah. Kami telah diajar bahawa persamaan boleh didarab dengan ungkapan! Ini adalah transformasi yang sama!

Ya, sama. Di bawah keadaan kecil - ungkapan yang kita darab (bahagi) - berbeza daripada sifar. A x – 2 di x = 2 sama dengan sifar! Jadi semuanya adil.

Dan sekarang apa yang boleh saya lakukan?! Jangan darab dengan ungkapan? Adakah saya perlu menyemak setiap kali? Sekali lagi ia tidak jelas!

dengan tenang! Jangan panik!

Dalam keadaan yang sukar ini, tiga huruf ajaib akan menyelamatkan kita. Saya tahu apa yang awak fikirkan. Betul! ini ODZ . Bidang Nilai yang Boleh Diterima.

Adalah diketahui bahawa ia adalah versi tertentu kesamaan ax 2 + bx + c = o, di mana a, b dan c adalah pekali nyata untuk x tidak diketahui, dan di mana a ≠ o, dan b dan c akan menjadi sifar - serentak atau secara berasingan. Contohnya, c = o, b ≠ o atau sebaliknya. Kami hampir teringat definisi persamaan kuadratik.

Trinomial darjah kedua ialah sifar. Pekali pertamanya a ≠ o, b dan c boleh mengambil sebarang nilai. Nilai pembolehubah x kemudiannya ialah apabila penggantian mengubahnya menjadi kesamaan berangka yang betul. Mari kita fokus pada punca sebenar, walaupun persamaan juga boleh menjadi penyelesaian Adalah lazim untuk memanggil persamaan lengkap di mana tiada satu pun pekali adalah sama dengan o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Mari kita selesaikan satu contoh. 2x 2 -9x-5 = oh, kita dapati
D = 81+40 = 121,
D adalah positif, yang bermaksud terdapat punca, x 1 = (9+√121):4 = 5, dan x 2 kedua = (9-√121):4 = -o.5. Menyemak akan membantu memastikan ia betul.

Berikut ialah penyelesaian langkah demi langkah kepada persamaan kuadratik

Dengan menggunakan diskriminasi, anda boleh menyelesaikan sebarang persamaan di sebelah kiri yang terdapat trinomial kuadratik yang diketahui untuk ≠ o. Dalam contoh kita. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Mari kita pertimbangkan apakah persamaan tidak lengkap darjah kedua

1. ax 2 +in = o. Sebutan bebas, pekali c pada x 0, adalah sama dengan sifar di sini, dalam ≠ o.
   Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis ini? Mari kita ambil x keluar dari kurungan. Mari kita ingat apabila hasil darab dua faktor bersamaan dengan sifar.
   x(ax+b) = o, ini boleh jadi apabila x = o atau apabila ax+b = o.
   Setelah menyelesaikan ke-2 kita mempunyai x = -в/а.
   Akibatnya, kita mempunyai punca x 1 = 0, mengikut pengiraan x 2 = -b/a.
2. Sekarang pekali x adalah sama dengan o, dan c tidak sama (≠) o.
   x 2 +c = o. Mari kita gerakkan c ke sebelah kanan kesamaan, kita dapat x 2 = -с. Persamaan ini hanya mempunyai punca sebenar apabila -c nombor positif(dengan ‹ o),
   x 1 kemudiannya sama dengan √(-c), masing-masing, x 2 ialah -√(-c). Jika tidak, persamaan itu tidak mempunyai punca sama sekali.
3. Pilihan terakhir: b = c = o, iaitu, ax 2 = o. Sememangnya, persamaan mudah sedemikian mempunyai satu punca, x = o.

Kes khas

Kami melihat cara menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap, dan sekarang mari kita ambil sebarang jenis.

• Dalam persamaan kuadratik lengkap, pekali kedua bagi x ialah nombor genap.
  Biarkan k = o.5b. Kami mempunyai formula untuk mengira diskriminasi dan punca.
  D/4 = k 2 - ac, punca dikira sebagai x 1,2 = (-k±√(D/4))/a untuk D › o.
  x = -k/a pada D = o.
  Tiada akar untuk D ‹ o.
• Terdapat persamaan kuadratik, apabila pekali x kuasa dua adalah sama dengan 1, ia biasanya ditulis x 2 + рх + q = o. Semua formula di atas digunakan untuk mereka, tetapi pengiraannya agak mudah.
  Contoh, x 2 -4x-9 = 0. Kira D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Di samping itu, ia adalah mudah untuk digunakan pada yang diberikan Ia mengatakan bahawa jumlah punca persamaan adalah sama dengan -p, pekali kedua dengan tolak (bermaksud. tanda bertentangan), dan hasil darab akar-akar yang sama ini akan sama dengan q, sebutan bebas. Lihat betapa mudahnya untuk menentukan punca persamaan ini secara lisan. Untuk pekali tidak dikurangkan (untuk semua pekali tidak sama dengan sifar), teorem ini terpakai seperti berikut: jumlah x 1 + x 2 adalah sama dengan -b/a, hasil darab x 1 · x 2 adalah sama dengan c/a.

Jumlah bagi sebutan bebas c dan pekali pertama a adalah sama dengan pekali b. Dalam keadaan ini, persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu punca (mudah dibuktikan), yang pertama semestinya sama dengan -1, dan yang kedua -c/a, jika wujud. Anda boleh menyemak sendiri cara menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Semudah pai. Pekali mungkin berada dalam hubungan tertentu antara satu sama lain

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Jumlah semua pekali adalah sama dengan o.
  Punca-punca persamaan tersebut ialah 1 dan c/a. Contoh, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Terdapat beberapa cara lain untuk menyelesaikan pelbagai persamaan darjah kedua. Di sini, sebagai contoh, ialah kaedah untuk mengekstrak segi empat sama lengkap daripada polinomial tertentu. Terdapat beberapa kaedah grafik. Apabila anda sering berurusan dengan contoh sedemikian, anda akan belajar untuk "klik" mereka seperti benih, kerana semua kaedah datang ke fikiran secara automatik.

DALAM masyarakat moden keupayaan untuk melaksanakan operasi dengan persamaan yang mengandungi kuasa dua pembolehubah boleh berguna dalam banyak bidang aktiviti dan digunakan secara meluas dalam amalan dalam perkembangan saintifik dan teknikal. Bukti ini boleh didapati dalam reka bentuk kapal laut dan sungai, pesawat dan peluru berpandu. Menggunakan pengiraan sedemikian, trajektori pergerakan yang paling banyak badan yang berbeza, termasuk objek angkasa. Contoh dengan penyelesaian persamaan kuadratik digunakan bukan sahaja dalam ramalan ekonomi, dalam reka bentuk dan pembinaan bangunan, tetapi juga dalam keadaan harian yang paling biasa. Mereka mungkin diperlukan semasa perjalanan mendaki, di acara sukan, di kedai semasa membuat pembelian dan dalam situasi biasa yang lain.

Mari kita pecahkan ungkapan kepada faktor komponennya

Darjah persamaan ditentukan nilai maksimum darjah pembolehubah yang terkandung dalam ungkapan ini. Jika ia sama dengan 2, maka persamaan sedemikian dipanggil kuadratik.

Jika kita bercakap dalam bahasa formula, maka ungkapan yang ditunjukkan, tidak kira bagaimana rupanya, sentiasa boleh dibawa ke bentuk apabila sebelah kiri ungkapan terdiri daripada tiga istilah. Antaranya: ax 2 (iaitu pembolehubah kuasa dua dengan pekalinya), bx (yang tidak diketahui tanpa segi empat sama dengan pekalinya) dan c (komponen bebas, iaitu nombor biasa). Semua ini di sebelah kanan adalah sama dengan 0. Dalam kes apabila polinomial tersebut tidak mempunyai salah satu sebutan konstituennya, kecuali ax 2, ia dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap. Contoh dengan penyelesaian masalah sedemikian, nilai pembolehubah yang mudah dicari, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ungkapan itu kelihatan seperti mempunyai dua sebutan di sebelah kanan, lebih tepat ax 2 dan bx, cara paling mudah untuk mencari x ialah dengan meletakkan pembolehubah keluar dari kurungan. Sekarang persamaan kita akan kelihatan seperti ini: x(ax+b). Seterusnya, menjadi jelas bahawa sama ada x=0, atau masalah datang untuk mencari pembolehubah daripada ungkapan berikut: ax+b=0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat pendaraban. Peraturan menyatakan bahawa hasil darab dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satu daripadanya adalah sifar.

Contoh

x=0 atau 8x - 3 = 0

Hasilnya, kita mendapat dua punca persamaan: 0 dan 0.375.

Persamaan seperti ini boleh menggambarkan pergerakan badan di bawah pengaruh graviti, yang mula bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asal koordinat. Di sini tatatanda matematik mengambil bentuk berikut: y = v 0 t + gt 2 /2. Dengan menggantikan nilai yang diperlukan, menyamakan bahagian kanan dengan 0 dan mencari kemungkinan yang tidak diketahui, anda boleh mengetahui masa yang berlalu dari saat badan naik ke saat ia jatuh, serta banyak kuantiti lain. Tetapi kita akan bercakap tentang perkara ini kemudian.

Memfaktorkan Ekspresi

Peraturan yang diterangkan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan lebih banyak lagi kes yang sukar. Mari kita lihat contoh penyelesaian persamaan kuadratik jenis ini.

X 2 - 33x + 200 = 0

ini trinomial kuadratik selesai. Pertama, mari kita ubah ungkapan dan faktorkannya. Terdapat dua daripadanya: (x-8) dan (x-25) = 0. Akibatnya, kita mempunyai dua punca 8 dan 25.

Contoh dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dalam gred 9 membenarkan kaedah ini untuk mencari pembolehubah dalam ungkapan bukan sahaja bagi urutan kedua, malah bagi susunan ketiga dan keempat.

Contohnya: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Apabila memfaktorkan sisi kanan ke dalam faktor dengan pembolehubah, terdapat tiga daripadanya, iaitu (x+1), (x-3) dan (x+ 3).

Akibatnya, menjadi jelas bahawa persamaan ini mempunyai tiga punca: -3; -1; 3.

Punca kuasa dua

Satu lagi kes persamaan tidak lengkap susunan kedua ialah ungkapan yang diwakili dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga bahagian kanan dibina daripada komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai pembolehubah, istilah bebas dipindahkan ke sebelah kanan, dan selepas itu punca kuasa dua diekstrak dari kedua-dua belah kesamaan. Perlu diingatkan bahawa dalam kes ini biasanya terdapat dua punca persamaan. Satu-satunya pengecualian boleh menjadi kesamaan yang tidak mengandungi istilah dengan sama sekali, dengan pembolehubah adalah sama dengan sifar, serta varian ungkapan apabila sebelah kanan adalah negatif. Dalam kes kedua, tiada penyelesaian sama sekali, kerana tindakan di atas tidak boleh dilakukan dengan akar. Contoh penyelesaian kepada persamaan kuadratik jenis ini perlu dipertimbangkan.

Dalam kes ini, punca persamaan akan menjadi nombor -4 dan 4.

Pengiraan keluasan tanah

Keperluan untuk pengiraan seperti ini muncul pada zaman dahulu, kerana perkembangan matematik pada zaman yang jauh itu sebahagian besarnya ditentukan oleh keperluan untuk menentukan dengan ketepatan yang paling besar kawasan dan perimeter plot tanah.

Kita juga harus mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan kuadratik berdasarkan masalah seperti ini.

Jadi, katakan terdapat sebidang tanah berbentuk segi empat tepat, yang panjangnya 16 meter lebih besar daripada lebarnya. Anda harus mencari panjang, lebar dan perimeter tapak jika anda tahu bahawa keluasannya ialah 612 m2.

Untuk bermula, mari kita buat persamaan yang diperlukan dahulu. Mari kita nyatakan dengan x lebar kawasan itu, maka panjangnya ialah (x+16). Daripada apa yang telah ditulis, kawasan itu ditentukan oleh ungkapan x(x+16), yang, mengikut syarat masalah kita, ialah 612. Ini bermakna x(x+16) = 612.

Menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, dan ungkapan ini adalah tepat, tidak boleh dilakukan dengan cara yang sama. kenapa? Walaupun bahagian kiri masih mengandungi dua faktor, produk mereka tidak sama sekali 0, jadi kaedah berbeza digunakan di sini.

Diskriminasi

Pertama sekali, mari kita buat transformasi yang diperlukan, kemudian penampilan ungkapan ini akan kelihatan seperti ini: x 2 + 16x - 612 = 0. Ini bermakna kita telah menerima ungkapan dalam bentuk yang sepadan dengan piawaian yang dinyatakan sebelum ini, di mana a=1, b=16, c=-612.

Ini boleh menjadi contoh penyelesaian persamaan kuadratik menggunakan diskriminasi. Di sini pengiraan yang diperlukan dihasilkan mengikut skema: D = b 2 - 4ac. Kuantiti tambahan ini bukan sahaja membolehkan untuk mencari kuantiti yang diperlukan dalam persamaan tertib kedua, ia menentukan kuantiti pilihan yang mungkin. Jika D>0, terdapat dua daripadanya; untuk D=0 terdapat satu punca. Dalam kes D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Mengenai akar dan formulanya

Dalam kes kami, diskriminasi adalah sama dengan: 256 - 4(-612) = 2704. Ini menunjukkan bahawa masalah kami mempunyai jawapan. Jika anda tahu k, penyelesaian persamaan kuadratik mesti diteruskan menggunakan formula di bawah. Ia membolehkan anda mengira akar.

Ini bermakna dalam kes yang dibentangkan: x 1 =18, x 2 =-34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak boleh menjadi penyelesaian, kerana dimensi plot tanah tidak boleh diukur dalam kuantiti negatif, yang bermaksud x (iaitu, lebar plot) ialah 18 m Dari sini kita mengira panjang: 18 +16=34, dan perimeter 2(34+ 18)=104(m2).

Contoh dan tugasan

Kami meneruskan kajian kami tentang persamaan kuadratik. Contoh dan penyelesaian terperinci beberapa daripadanya akan diberikan di bawah.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Mari kita alihkan segala-galanya ke sebelah kiri kesamaan, buat transformasi, iaitu, kita akan mendapat jenis persamaan yang biasanya dipanggil standard, dan menyamakannya dengan sifar.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Menambah yang serupa, kita tentukan diskriminasi: D = 49 - 48 = 1. Ini bermakna persamaan kita akan mempunyai dua punca. Mari kita mengira mereka mengikut formula di atas, yang bermaksud bahawa yang pertama daripada mereka akan sama dengan 4/3, dan yang kedua kepada 1.

2) Sekarang mari kita selesaikan misteri yang berbeza.

Mari kita ketahui sama ada terdapat sebarang punca di sini x 2 - 4x + 5 = 1? Untuk mendapatkan jawapan yang komprehensif, mari kita kurangkan polinomial kepada bentuk biasa yang sepadan dan kirakan diskriminasi. Dalam contoh di atas, tidak perlu menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana ini bukan intipati masalah sama sekali. Dalam kes ini, D = 16 - 20 = -4, yang bermaksud tidak ada akar.

Teorem Vieta

Persamaan kuadratik Adalah mudah untuk menyelesaikan melalui formula di atas dan diskriminasi, apabila punca kuasa dua diambil daripada nilai yang terakhir. Tetapi ini tidak selalu berlaku. Walau bagaimanapun, terdapat banyak cara untuk mendapatkan nilai pembolehubah dalam kes ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan teorem Vieta. Dia dinamakan sempena yang hidup pada abad ke-16 di Perancis dan mencipta kerjaya yang cemerlang berkat bakat matematik dan hubungannya di mahkamah. Potretnya boleh dilihat dalam artikel.

Corak yang diperhatikan oleh orang Perancis terkenal itu adalah seperti berikut. Dia membuktikan bahawa punca-punca persamaan menambah secara berangka kepada -p=b/a, dan hasil darabnya sepadan dengan q=c/a.

Sekarang mari kita lihat tugas-tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Untuk kesederhanaan, mari kita ubah ungkapan:

x 2 + 7x - 18 = 0

Mari kita gunakan teorem Vieta, ini akan memberi kita perkara berikut: jumlah punca ialah -7, dan hasil darabnya ialah -18. Dari sini kita dapati bahawa punca persamaan ialah nombor -9 dan 2. Selepas menyemak, kami akan memastikan bahawa nilai pembolehubah ini benar-benar sesuai dengan ungkapan.

Graf parabola dan persamaan

Konsep fungsi kuadratik dan persamaan kuadratik adalah berkait rapat. Contoh-contoh ini telah pun diberikan sebelum ini. Sekarang mari kita lihat beberapa teka-teki matematik dengan lebih terperinci. Mana-mana persamaan jenis yang diterangkan boleh diwakili secara visual. Hubungan sedemikian, dilukis sebagai graf, dipanggil parabola. Pelbagai jenisnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Mana-mana parabola mempunyai bucu, iaitu titik dari mana cabang-cabangnya muncul. Jika a>0, mereka pergi tinggi kepada infiniti, dan apabila a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Perwakilan visual fungsi membantu menyelesaikan sebarang persamaan, termasuk persamaan kuadratik. Kaedah ini dipanggil grafik. Dan nilai pembolehubah x ialah koordinat absis pada titik di mana garis graf bersilang dengan 0x. Koordinat puncak boleh didapati menggunakan formula yang baru diberi x 0 = -b/2a. Dan dengan menggantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal fungsi, anda boleh mengetahui y 0, iaitu, koordinat kedua bucu parabola, yang tergolong dalam paksi ordinat.

Persilangan cabang parabola dengan paksi absis

Terdapat banyak contoh penyelesaian persamaan kuadratik, tetapi terdapat juga pola umum. Mari lihat mereka. Adalah jelas bahawa persilangan graf dengan paksi 0x untuk a>0 adalah mungkin hanya jika 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Daripada graf parabola anda juga boleh menentukan punca. Begitu juga sebaliknya. Iaitu, jika anda mendapat imej visual fungsi kuadratik Ia tidak mudah, anda boleh menyamakan bahagian kanan ungkapan dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang terhasil. Dan mengetahui titik persilangan dengan paksi 0x, lebih mudah untuk membina graf.

Dari sejarah

Menggunakan persamaan yang mengandungi pembolehubah kuasa dua, pada zaman dahulu mereka bukan sahaja membuat pengiraan matematik dan menentukan luas angka geometri. Orang dahulu memerlukan pengiraan sedemikian untuk penemuan besar dalam bidang fizik dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang dicadangkan oleh saintis moden, penduduk Babylon adalah antara yang pertama menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku empat abad sebelum era kita. Sudah tentu, pengiraan mereka berbeza secara radikal daripada yang diterima sekarang dan ternyata lebih primitif. Sebagai contoh, ahli matematik Mesopotamia tidak tahu tentang kewujudan nombor negatif. Mereka juga tidak biasa dengan kehalusan lain yang mana-mana pelajar sekolah moden tahu.

Mungkin lebih awal daripada saintis Babylon, orang bijak dari India Baudhayama mula menyelesaikan persamaan kuadratik. Ini berlaku kira-kira lapan abad sebelum era Kristus. Benar, persamaan tertib kedua, kaedah penyelesaian yang dia berikan, adalah yang paling mudah. Selain beliau, ahli matematik Cina juga berminat dengan soalan yang sama pada zaman dahulu. Di Eropah, persamaan kuadratik mula diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudiannya ia digunakan dalam karya mereka oleh saintis hebat seperti Newton, Descartes dan ramai lagi.

Persamaan kuadratik - mudah untuk diselesaikan! *Selepas ini dirujuk sebagai “KU”. Kawan-kawan, nampaknya tidak ada yang lebih mudah dalam matematik daripada menyelesaikan persamaan sedemikian. Tetapi sesuatu memberitahu saya bahawa ramai orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tera atas permintaan Yandex berikan setiap bulan. Inilah yang berlaku, lihat:

Apakah maksudnya? Ini bermakna kira-kira 70,000 orang sebulan sedang mencari maklumat ini, dan ini adalah musim panas, dan apa yang akan berlaku semasa tahun persekolahan - akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak menghairankan, kerana lelaki dan perempuan yang lulus dari sekolah lama dahulu dan sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu sedang mencari maklumat ini, dan pelajar sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.

Walaupun terdapat banyak tapak yang memberitahu anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk turut menyumbang dan menerbitkan bahan tersebut. Pertama, saya mahu pelawat datang ke tapak saya berdasarkan permintaan ini; kedua, dalam artikel lain, apabila topik "KU" muncul, saya akan memberikan pautan kepada artikel ini; ketiga, saya akan memberitahu anda lebih sedikit tentang penyelesaiannya daripada yang biasanya dinyatakan di tapak lain. Mari kita mulakan! Kandungan artikel:

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:

di mana pekali a,bdan c ialah nombor arbitrari, dengan a≠0.

DALAM kursus sekolah bahan diberikan dalam bentuk berikut - persamaan secara konvensional dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Mereka mempunyai dua akar.

2. *Mempunyai satu punca sahaja.

3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu diperhatikan terutamanya di sini bahawa mereka tidak mempunyai akar sebenar

Bagaimanakah akar dikira? Cuma!

Kami mengira diskriminasi. Di bawah perkataan "mengerikan" ini terdapat formula yang sangat mudah:

Rumus akar adalah seperti berikut:

*Anda perlu mengetahui formula ini dengan hati.

Anda boleh segera menulis dan menyelesaikan:

Contoh:

1. Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.

2. Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.

3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Mari kita lihat persamaan:

Oleh pada kesempatan ini, apabila diskriminasi adalah sama dengan sifar, kursus sekolah mengatakan bahawa satu akar diperolehi, di sini ia sama dengan sembilan. Semuanya betul, memang begitu, tetapi...

Idea ini agak tidak betul. Sebenarnya, terdapat dua akar. Ya, ya, jangan terkejut, anda mendapat dua punca yang sama, dan untuk menjadi tepat secara matematik, maka jawapannya harus menulis dua punca:

x 1 = 3 x 2 = 3

Tetapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah anda boleh menuliskannya dan mengatakan bahawa terdapat satu akar.

Sekarang contoh seterusnya:

Seperti yang kita tahu, punca nombor negatif tidak boleh diambil, jadi tiada penyelesaian dalam kes ini.

Itulah keseluruhan proses keputusan.

Fungsi kuadratik.

Ini menunjukkan rupa penyelesaian secara geometri. Ini amat penting untuk difahami (pada masa hadapan, dalam salah satu artikel kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik).

Ini adalah fungsi borang:

di mana x dan y ialah pembolehubah

a, b, c – nombor yang diberi, dengan ≠ 0

Graf ialah parabola:

Iaitu, ternyata bahawa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan "y" sama dengan sifar, kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi x. Terdapat dua daripada perkara ini (diskriminan adalah positif), satu (diskriminan adalah sifar) dan tiada (diskriminasi adalah negatif). Butiran tentang fungsi kuadratik Anda boleh melihat artikel oleh Inna Feldman.

Mari lihat contoh:

Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Jawapan: x 1 = 8 x 2 = –12

*Adalah mungkin untuk membahagikan sisi kiri dan kanan persamaan dengan serta-merta dengan 2, iaitu, memudahkannya. Pengiraan akan lebih mudah.

Contoh 2: buat keputusan x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Kami mendapati bahawa x 1 = 11 dan x 2 = 11

Ia dibenarkan untuk menulis x = 11 dalam jawapan.

Jawapan: x = 11

Contoh 3: buat keputusan x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminasi adalah negatif, tiada penyelesaian dalam nombor nyata.

Jawapan: tiada penyelesaian

Diskriminasi adalah negatif. Ada penyelesaiannya!

Di sini kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan dalam kes apabila diskriminasi negatif diperoleh. Adakah anda tahu apa-apa tentang nombor kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara terperinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apakah peranan dan keperluan khusus mereka dalam matematik ini adalah topik untuk artikel berasingan yang besar.

Konsep nombor kompleks.

Sedikit teori.

Nombor kompleks z ialah nombor bagi bentuk

z = a + bi

di mana a dan b ialah nombor nyata, i ialah unit khayalan yang dipanggil.

a+bi – ini adalah NOMBOR TUNGGAL, bukan tambahan.

Unit khayalan adalah sama dengan punca tolak satu:

Sekarang pertimbangkan persamaan:

Kami mendapat dua akar konjugat.

Persamaan kuadratik tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan kes khas, ini adalah apabila pekali "b" atau "c" bersamaan dengan sifar (atau kedua-duanya sama dengan sifar). Mereka boleh diselesaikan dengan mudah tanpa sebarang isu diskriminasi.

Kes 1. Pekali b = 0.

Persamaan menjadi:

Mari tukar:

Contoh:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Kes 2. Pekali c = 0.

Persamaan menjadi:

Mari kita ubah dan pemfaktoran:

*Produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar.

Contoh:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Kes 3. Pekali b = 0 dan c = 0.

Di sini adalah jelas bahawa penyelesaian kepada persamaan akan sentiasa x = 0.

Sifat berguna dan corak pekali.

Terdapat sifat yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pekali yang besar.

Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a + b+ c = 0, Itu

- jika bagi pekali persamaan Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang

a+ s =b, Itu

Ciri-ciri ini membantu membuat keputusan jenis tertentu persamaan

Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Jumlah kemungkinan ialah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, yang bermaksud

Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Kesaksamaan dipegang a+ s =b, Bermakna

Keteraturan pekali.

1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali "c" secara berangka sama dengan pekali "a", maka puncanya adalah sama.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jika dalam persamaan ax 2 – bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jika dalam Pers. ax 2 + bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali "a", maka akarnya adalah sama

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jika dalam persamaan ax 2 – bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali c secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Contoh. Pertimbangkan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorem Vieta.

Teorem Vieta dinamakan sempena ahli matematik Perancis terkenal Francois Vieta. Menggunakan teorem Vieta, kita boleh menyatakan jumlah dan hasil darab punca KU sewenang-wenangnya dari segi pekalinya.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Secara keseluruhan, nombor 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah puncanya. Dengan kemahiran tertentu, menggunakan teorem yang dibentangkan, anda boleh menyelesaikan banyak persamaan kuadratik secara lisan serta-merta.

Teorem Vieta, sebagai tambahan. Ia adalah mudah kerana selepas menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara biasa (melalui diskriminasi), punca yang terhasil boleh disemak. Saya mengesyorkan melakukan ini sentiasa.

KAEDAH PENGANGKUTAN

Dengan kaedah ini, pekali "a" didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila punca-punca persamaan boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.

Jika A± b+c≠ 0, maka teknik pemindahan digunakan, contohnya:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Menggunakan teorem Vieta dalam persamaan (2), adalah mudah untuk menentukan bahawa x 1 = 10 x 2 = 1

Akar-akar persamaan yang terhasil mesti dibahagikan dengan 2 (memandangkan kedua-duanya "dilemparkan" daripada x 2), kita dapat

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

Apakah rasionalnya? Lihat apa yang berlaku.

Diskriminasi persamaan (1) dan (2) adalah sama:

Jika anda melihat punca-punca persamaan, anda hanya mendapat penyebut yang berbeza, dan hasilnya bergantung tepat pada pekali x 2:

Yang kedua (diubah suai) mempunyai akar yang 2 kali lebih besar.

Oleh itu, kami membahagikan hasilnya dengan 2.

*Jika kita melancarkan semula ketiga-tiga, kita akan membahagikan hasilnya dengan 3, dsb.

Jawapan: x 1 = 5 x 2 = 0.5

Sq. ur-ie dan Peperiksaan Negeri Bersepadu.

Saya akan memberitahu anda secara ringkas tentang kepentingannya - ANDA MESTI BOLEH MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berfikir, anda perlu mengetahui formula akar dan diskriminasi dengan hati. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu adalah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik (termasuk geometri).

Sesuatu yang patut diberi perhatian!

1. Bentuk penulisan persamaan boleh "tersirat". Sebagai contoh, entri berikut mungkin:

15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.

Anda perlu membawanya ke bentuk standard (supaya tidak keliru semasa menyelesaikan).

2. Ingat bahawa x ialah kuantiti yang tidak diketahui dan ia boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.

Dalam artikel ini kita akan melihat penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap.

Tetapi pertama, mari kita ulang apa persamaan yang dipanggil kuadratik. Persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana x ialah pembolehubah, dan pekali a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ≠ 0, dipanggil segi empat sama. Seperti yang kita lihat, pekali untuk x 2 tidak sama dengan sifar, dan oleh itu pekali untuk x atau sebutan bebas boleh sama dengan sifar, dalam hal ini kita mendapat persamaan kuadratik yang tidak lengkap.

Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:

1) Jika b = 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c = 0;

2) Jika b ≠ 0, c = 0, maka ax 2 + bx = 0;

3) Jika b = 0, c = 0, maka ax 2 = 0.

• Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan, kita memindahkan sebutan bebas c ke sebelah kanan persamaan, kita dapat

ax 2 = ‒s. Oleh kerana a ≠ 0, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, maka x 2 = ‒c/a.

Jika ‒с/а > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca

x = ±√(–c/a) .

Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Mari kita cuba memahami dengan contoh bagaimana untuk menyelesaikan persamaan tersebut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 ‒ 32 = 0.

Jawapan: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.

Jawapan: persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

• Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.

Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx = 0, mari kita memfaktorkannya, iaitu, ambil x daripada kurungan, kita dapat x(ax + b) = 0. Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama. kepada sifar. Kemudian sama ada x = 0, atau ax + b = 0. Menyelesaikan persamaan ax + b = 0, kita dapat ax = - b, dari mana x = - b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx = 0 sentiasa mempunyai dua punca x 1 = 0 dan x 2 = ‒ b/a. Lihat rupa penyelesaian kepada persamaan jenis ini dalam rajah.

Mari kita satukan pengetahuan kita dengan contoh khusus.

Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 atau 3x – 12 = 0

Jawapan: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Persamaan jenis ketiga ax 2 = 0 diselesaikan dengan sangat mudah.

Jika ax 2 = 0, maka x 2 = 0. Persamaan mempunyai dua punca yang sama x 1 = 0, x 2 = 0.

Untuk kejelasan, mari lihat gambar rajah.

Marilah kita pastikan semasa menyelesaikan Contoh 4 bahawa persamaan jenis ini boleh diselesaikan dengan sangat mudah.

Contoh 4. Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.

Jawapan: x 1, 2 = 0.

Ia tidak selalu jelas dengan segera jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang perlu kita selesaikan. Pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 5. Selesaikan persamaan

Mari kita darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya, iaitu, dengan 30

Mari kita mengurangkannya

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Jom buka kurungan

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Mari kita berikan yang serupa

Mari kita gerakkan 99 dari sebelah kiri persamaan ke kanan, menukar tanda ke sebaliknya

Jawapan: tiada akar.

Kami melihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Saya berharap bahawa sekarang anda tidak akan menghadapi sebarang kesulitan dengan tugasan sedemikian. Berhati-hati apabila menentukan jenis persamaan kuadratik yang tidak lengkap, maka anda akan berjaya.

Jika anda mempunyai soalan mengenai topik ini, daftarlah untuk pelajaran saya, kami akan menyelesaikan masalah yang timbul bersama-sama.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.