Bahagian tapak

Pilihan Editor:

Mengiklankan

rumah - Perabot

Penyelesaian persamaan integer pecahan. Persamaan pecahan-rasional. Algoritma penyelesaian

Dalam artikel ini saya akan tunjukkan kepada anda algoritma untuk menyelesaikan tujuh jenis persamaan rasional, yang dikurangkan kepada kuasa dua dengan cara perubahan pembolehubah. Dalam kebanyakan kes, transformasi yang membawa kepada penggantian adalah sangat tidak penting, dan agak sukar untuk meneka tentangnya sendiri.

Untuk setiap jenis persamaan, saya akan menerangkan cara membuat perubahan pembolehubah di dalamnya, dan kemudian saya akan menunjukkan penyelesaian terperinci dalam tutorial video yang sepadan.

Anda mempunyai peluang untuk terus menyelesaikan persamaan itu sendiri, dan kemudian semak penyelesaian anda dengan tutorial video.

Jadi, mari kita mulakan.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Perhatikan bahawa hasil darab empat kurungan berada di sebelah kiri persamaan, dan nombornya berada di sebelah kanan.

1. Mari kumpulkan kurungan dengan dua supaya jumlah sebutan bebas adalah sama.

2. Perbanyakkan mereka.

3. Mari kita perkenalkan perubahan pembolehubah.

Dalam persamaan kami, kami mengumpulkan kurungan pertama dengan yang ketiga, dan yang kedua dengan yang keempat, sejak (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Pada ketika ini, perubahan berubah menjadi jelas:

Kami mendapat persamaan

Jawapan:

2 .

Persamaan jenis ini adalah serupa dengan yang sebelumnya dengan satu perbezaan: di sebelah kanan persamaan ialah hasil darab nombor dengan. Dan ia diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza:

1. Kami mengumpulkan kurungan dengan dua supaya hasil darab istilah bebas adalah sama.

2. Kami mendarab setiap pasangan kurungan.

3. Daripada setiap faktor, kita ambil x daripada kurungan.

4. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan .

5. Kami memperkenalkan perubahan pembolehubah.

Dalam persamaan ini, kami mengumpulkan kurungan pertama dengan yang keempat, dan yang kedua dengan yang ketiga, kerana:

Ambil perhatian bahawa dalam setiap kurungan pekali pada dan sebutan bebas adalah sama. Mari kita keluarkan pengganda daripada setiap kurungan:

Oleh kerana x=0 bukan punca persamaan asal, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan . Kita mendapatkan:

Kami mendapat persamaan:

Jawapan:

3 .

Perhatikan bahawa penyebut kedua-dua pecahan mengandungi trinomial segi empat sama, yang pekali pendahuluan dan jangka bebasnya adalah sama. Kami mengeluarkan, seperti dalam persamaan jenis kedua, x keluar dari kurungan. Kita mendapatkan:

Bahagikan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan x:

Sekarang kita boleh memperkenalkan perubahan pembolehubah:

Kami mendapat persamaan untuk pembolehubah t:

4 .

Perhatikan bahawa pekali persamaan adalah simetri berkenaan dengan pusat. Persamaan sedemikian dipanggil boleh dikembalikan .

Untuk menyelesaikannya

1. Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan (Kita boleh lakukan ini kerana x=0 bukan punca persamaan.) Kita dapat:

2. Kumpulkan istilah dengan cara ini:

3. Dalam setiap kumpulan, kami mengambil faktor sepunya:

4. Mari perkenalkan pengganti:

5. Mari kita ungkapkan ungkapan dalam sebutan t:

Dari sini

Kami mendapat persamaan untuk t:

Jawapan:

5. Persamaan homogen.

Persamaan yang mempunyai struktur homogen boleh ditemui semasa menyelesaikan eksponen, logaritma dan persamaan trigonometri, jadi ia perlu diiktiraf.

Persamaan homogen mempunyai struktur berikut:

Dalam kesamaan ini, A, B dan C ialah nombor, dan ungkapan yang sama ditunjukkan oleh segi empat sama dan bulatan. Iaitu, di sebelah kiri persamaan homogen ialah jumlah monomial yang mempunyai darjah yang sama (dalam kes ini darjah monomial ialah 2), dan tiada istilah bebas.

Untuk menyelesaikan persamaan homogen, kita bahagikan kedua-dua belah dengan

Perhatian! Apabila membahagikan sisi kanan dan kiri persamaan dengan ungkapan yang mengandungi yang tidak diketahui, anda boleh kehilangan punca. Oleh itu, adalah perlu untuk menyemak sama ada punca-punca ungkapan yang kita bahagikan kedua-dua bahagian persamaan adalah punca-punca persamaan asal.

Jom jalan dulu. Kami mendapat persamaan:

Sekarang kami memperkenalkan penggantian pembolehubah:

Permudahkan ungkapan dan dapatkan bi persamaan kuadratik berkenaan dengan t:

Jawapan: atau

7 .

Persamaan ini mempunyai struktur berikut:

Untuk menyelesaikannya, anda perlu memilih petak penuh di sebelah kiri persamaan.

Untuk memilih petak penuh, anda perlu menambah atau menolak hasil darab. Kemudian kita mendapat kuasa dua jumlah atau perbezaan. Ini penting untuk penggantian pembolehubah yang berjaya.

Mari mulakan dengan mencari produk berganda. Ia akan menjadi kunci untuk menggantikan pembolehubah. Dalam persamaan kita, hasil gandaan ialah

Sekarang mari kita fikirkan apa yang lebih mudah untuk kita miliki - kuasa dua jumlah atau perbezaan. Pertimbangkan, sebagai permulaan, jumlah ungkapan:

Cemerlang! ungkapan ini betul-betul sama dengan dua kali ganda produk. Kemudian, untuk mendapatkan kuasa dua jumlah dalam kurungan, anda perlu menambah dan menolak hasil darab:

Ringkasnya, ini adalah persamaan di mana terdapat sekurang-kurangnya satu dengan pembolehubah dalam penyebutnya.

Sebagai contoh:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Contoh bukan persamaan rasional pecahan:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Bagaimanakah persamaan rasional pecahan diselesaikan?

Perkara utama yang perlu diingat tentang persamaan rasional pecahan ialah anda perlu menulis di dalamnya. Dan selepas mencari akarnya, pastikan anda menyemaknya untuk kebolehterimaan. Jika tidak, akar luar mungkin muncul, dan keseluruhan penyelesaian akan dianggap tidak betul.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Tulis dan "selesaikan" ODZ.

Darab setiap sebutan persamaan dengan penyebut biasa dan mengurangkan pecahan yang terhasil. Penyebut akan hilang.

Tulis persamaan tanpa membuka kurungan.

Selesaikan persamaan yang terhasil.

Semak akar yang ditemui dengan ODZ.

Tulis sebagai tindak balas akar yang lulus ujian dalam langkah 7.

Jangan menghafal algoritma, 3-5 persamaan diselesaikan - dan ia akan diingati dengan sendirinya.

Contoh . Selesaikan persamaan rasional pecahan \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Penyelesaian:

Jawapan: \(3\).

Contoh . Cari punca bagi persamaan rasional pecahan \(=0\)

Penyelesaian:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Kami menulis dan "menyelesaikan" ODZ. Kembangkan \(x^2+7x+10\) ke dalam formula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Nasib baik \(x_1\) dan \(x_2\) telah kami temui.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Jelas sekali, penyebut sepunya bagi pecahan: \((x+2)(x+5)\). Kami mendarabkan keseluruhan persamaan dengannya.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Kami mengurangkan pecahan
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Membuka kurungan
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Kami mempersembahkan seperti istilah
\(2x^2+9x-5=0\)		Mencari punca-punca persamaan
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Salah satu akar tidak sesuai di bawah ODZ, jadi sebagai tindak balas kami hanya menulis akar kedua.

Jawapan: \(\frac(1)(2)\).

Objektif Pelajaran:

Tutorial:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan;
untuk mempertimbangkan pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan;
pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar;
untuk mengajar penyelesaian persamaan rasional pecahan mengikut algoritma;
menyemak tahap asimilasi topik dengan menjalankan kerja ujian.

Membangunkan:

pembangunan keupayaan untuk beroperasi dengan betul dengan pengetahuan yang diperoleh, untuk berfikir secara logik;
pembangunan kemahiran intelek dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan dan generalisasi;
pembangunan inisiatif, keupayaan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ;
pembangunan pemikiran kritis;
pembangunan kemahiran penyelidikan.

Memupuk:

pendidikan minat kognitif dalam subjek;
pendidikan kemerdekaan dalam membuat keputusan Objektif Pembelajaran;
pendidikan kemahuan dan ketabahan untuk mencapai keputusan akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penerangan tentang bahan baharu.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

Apa khabar semua! Persamaan ditulis di papan hitam, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Yang mana tidak dan mengapa?

Persamaan di mana bahagian kiri dan kanan adalah ungkapan rasional pecahan dipanggil persamaan rasional pecahan. Pada pendapat anda, apakah yang akan kita pelajari hari ini dalam pelajaran? Merumus tajuk pelajaran. Oleh itu, kami membuka buku nota dan menulis topik pelajaran "Penyelesaian persamaan rasional pecahan".

2. Aktualisasi pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang kita perlukan untuk mengkaji topik baru. Sila jawab soalan berikut:

Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)
Apakah persamaan #1 dipanggil? ( Linear.) Kaedah penyelesaian persamaan linear. (Semua dengan pergerakan yang tidak diketahui sebelah kiri persamaan, semua nombor - ke kanan. Bawa seperti syarat. Cari pengganda yang tidak diketahui).
Apakah yang dipanggil Persamaan 3? ( Segi empat.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. ( Pemilihan segi empat sama penuh, mengikut formula, menggunakan teorem Vieta dan akibatnya.)
Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua hubungan.) Harta utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu benar, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)
Apakah sifat yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika dalam persamaan kita memindahkan istilah dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, maka kita mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua bahagian persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, maka persamaan akan diperolehi yang bersamaan dengan yang diberikan.)
Bilakah pecahan sama dengan sifar? ( Pecahan adalah sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar.)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota dan di papan tulis.

Jawab: 10.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan menggunakan sifat asas kadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Jawab: 3;4.

Sekarang cuba selesaikan persamaan #7 dalam salah satu cara.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Jawab: 0;5;-2.			Jawab: 5;-2.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Sehingga kini, pelajar masih belum memenuhi konsep akar luar, adalah sangat sukar untuk mereka memahami mengapa ini berlaku. Sekiranya tiada seorang pun di dalam kelas dapat memberikan penjelasan yang jelas tentang situasi ini, maka guru akan mengemukakan soalan-soalan yang memimpin.

Bagaimanakah persamaan No. 2 dan 4 berbeza daripada persamaan No. 5,6,7? ( Dalam persamaan No. 2 dan 4 dalam penyebut nombor, No. 5-7 - ungkapan dengan pembolehubah.)
Apakah punca persamaan itu? ( Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi kesamaan sebenar.)
Bagaimana untuk mengetahui sama ada nombor adalah punca persamaan? ( Buat semakan.)

Semasa membuat ujian, sesetengah pelajar menyedari bahawa mereka perlu membahagi dengan sifar. Mereka membuat kesimpulan bahawa nombor 0 dan 5 bukanlah punca persamaan ini. Persoalannya timbul: adakah terdapat cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan yang menghapuskan ralat ini? Ya, kaedah ini adalah berdasarkan syarat bahawa pecahan adalah sama dengan sifar.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, jadi 5 ialah punca luar.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Jawab: -2.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak sendiri merumuskan algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

Gerakkan semuanya ke kiri.
Bawa pecahan kepada penyebut biasa.
Bina satu sistem: pecahan adalah sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar.
Selesaikan persamaan.
Periksa ketidaksamaan untuk mengecualikan akar luar.
Tulis jawapannya.

Perbincangan: bagaimana untuk memformalkan penyelesaian jika sifat asas perkadaran digunakan dan pendaraban kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya. (Tambah penyelesaian: kecualikan daripada akarnya yang menjadikan penyebut biasa kepada sifar).

4. Pemahaman utama bahan baharu.

Kerja dalam pasangan. Pelajar memilih cara untuk menyelesaikan persamaan itu sendiri, bergantung kepada jenis persamaan. Tugas dari buku teks "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b, c, i); No. 601(a, e, g). Guru mengawal pelaksanaan tugas, menjawab soalan yang timbul, dan memberi bantuan kepada pelajar yang berprestasi rendah. Ujian kendiri: Jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 ialah punca luar. Jawapan:3.

c) 2 ialah punca luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

g) Jawapan: 1; 1.5.

5. Pernyataan kerja rumah.

Baca item 25 daripada buku teks, analisis contoh 1-3.
Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.
Selesaikan dalam buku nota No. 600 (a, d, e); No. 601 (g, h).
Cuba selesaikan #696(a) (pilihan).

6. Pemenuhan tugas kawalan pada topik yang dipelajari.

Kerja-kerja dilakukan pada helaian.

Contoh pekerjaan:

A) Antara persamaan yang manakah adalah rasional pecahan?

B) Pecahan adalah sifar apabila pengangkanya ____________________ dan penyebutnya ialah _______________________.

S) Adakah nombor -3 punca Persamaan #6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria penilaian tugas:

"5" diberikan jika pelajar menyelesaikan lebih daripada 90% tugasan dengan betul.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" diberikan kepada pelajar yang menyelesaikan kurang daripada 50% tugasan.
Gred 2 tidak dimasukkan ke dalam jurnal, 3 adalah pilihan.

7. Refleksi.

Pada risalah dengan kerja bebas, letakkan:

1 - jika pelajaran itu menarik dan boleh difahami oleh anda;
2 - menarik, tetapi tidak jelas;
3 - tidak menarik, tetapi boleh difahami;
4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana untuk menyelesaikan persamaan ini cara yang berbeza, menguji pengetahuan mereka dengan bantuan latihan kerja bebas. Anda akan mempelajari hasil kerja bebas dalam pelajaran seterusnya, di rumah anda akan berpeluang untuk menyatukan pengetahuan yang diperoleh.

Apakah kaedah untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, pada pendapat anda, lebih mudah, lebih mudah diakses, lebih rasional? Tanpa mengira kaedah menyelesaikan persamaan rasional pecahan, apakah yang tidak boleh dilupakan? Apakah "kelicikan" persamaan rasional pecahan?

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.

"Penyelesaian persamaan rasional pecahan"

Objektif Pelajaran:

Tutorial:

pembentukan konsep persamaan rasional pecahan; untuk mempertimbangkan pelbagai cara untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan; pertimbangkan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan, termasuk syarat pecahan itu sama dengan sifar; untuk mengajar penyelesaian persamaan rasional pecahan mengikut algoritma; menyemak tahap asimilasi topik dengan menjalankan kerja ujian.

Membangunkan:

pembangunan keupayaan untuk beroperasi dengan betul dengan pengetahuan yang diperoleh, untuk berfikir secara logik; pembangunan kemahiran intelek dan operasi mental - analisis, sintesis, perbandingan dan generalisasi; pembangunan inisiatif, keupayaan untuk membuat keputusan, tidak berhenti di situ; pembangunan pemikiran kritis; pembangunan kemahiran penyelidikan.

Memupuk:

pendidikan minat kognitif dalam subjek; pendidikan kemerdekaan dalam menyelesaikan masalah pendidikan; pendidikan kemahuan dan ketabahan untuk mencapai keputusan akhir.

Jenis pelajaran: pelajaran - penerangan tentang bahan baharu.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

Apa khabar semua! Persamaan ditulis di papan hitam, lihat dengan teliti. Bolehkah anda menyelesaikan semua persamaan ini? Yang mana tidak dan mengapa?

2. Aktualisasi pengetahuan. Tinjauan hadapan, kerja lisan dengan kelas.

Dan sekarang kita akan mengulangi bahan teori utama yang kita perlukan untuk mengkaji topik baru. Sila jawab soalan berikut:

1. Apakah persamaan? ( Kesamaan dengan pembolehubah atau pembolehubah.)

2. Apakah yang dipanggil Persamaan #1? ( Linear.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear. ( Gerakkan semua yang tidak diketahui ke sebelah kiri persamaan, semua nombor ke kanan. Bawa seperti syarat. Cari pengganda yang tidak diketahui).

3. Apakah yang dipanggil Persamaan #3? ( Segi empat.) Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik. ( Pemilihan segi empat sama penuh, mengikut formula, menggunakan teorem Vieta dan akibatnya.)

4. Apakah perkadaran? ( Kesamaan dua hubungan.) Harta utama perkadaran. ( Jika perkadaran itu benar, maka hasil darab sebutan ekstremnya adalah sama dengan hasil darab sebutan tengah.)

5. Apakah sifat yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan? ( 1. Jika dalam persamaan kita memindahkan istilah dari satu bahagian ke bahagian lain, menukar tandanya, maka kita mendapat persamaan yang setara dengan yang diberikan. 2. Jika kedua-dua bahagian persamaan didarab atau dibahagikan dengan nombor bukan sifar yang sama, maka persamaan akan diperolehi yang bersamaan dengan yang diberikan.)

6. Bilakah pecahan bersamaan dengan sifar? ( Pecahan adalah sifar apabila pengangkanya sifar dan penyebutnya bukan sifar.)

3. Penjelasan bahan baharu.

Selesaikan persamaan No. 2 dalam buku nota dan di papan tulis.

Jawab: 10.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan menggunakan sifat asas kadaran? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Selesaikan persamaan No. 4 dalam buku nota dan di papan tulis.

Jawab: 1,5.

Apakah persamaan rasional pecahan yang boleh anda cuba selesaikan dengan mendarab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut? (No. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Jawab: 3;4.

Sekarang cuba selesaikan persamaan #7 dalam salah satu cara.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Jawab: 0;5;-2.			Jawab: 5;-2.

Terangkan mengapa ini berlaku? Mengapakah terdapat tiga punca dalam satu kes dan dua dalam kes yang lain? Apakah nombor punca bagi persamaan rasional pecahan ini?

Dalam persamaan No. 2 dan 4 dalam penyebut nombor, No. 5-7 - ungkapan dengan pembolehubah

Nilai pembolehubah di mana persamaan menjadi kesamaan sebenar

Buat semakan

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Jika x=5, maka x(x-5)=0, jadi 5 ialah punca luar.

Jika x=-2, maka x(x-5)≠0.

Jawab: -2.

Mari cuba rumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan dengan cara ini. Kanak-kanak sendiri merumuskan algoritma.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan:

1. Gerakkan semuanya ke sebelah kiri.

2. Bawa pecahan kepada penyebut sepunya.

3. Buat sistem: pecahan adalah sama dengan sifar apabila pengangkanya sama dengan sifar, dan penyebutnya tidak sama dengan sifar.

4. Selesaikan persamaan.

5. Semak ketaksamaan untuk mengecualikan akar luar.

6. Tulis jawapan.

4. Pemahaman utama bahan baharu.

Kerja dalam pasangan. Pelajar memilih cara untuk menyelesaikan persamaan itu sendiri, bergantung kepada jenis persamaan. Tugas dari buku teks "Algebra 8", 2007: No. 000 (b, c, i); No. 000(a, e, g). Guru mengawal pelaksanaan tugas, menjawab soalan yang timbul, dan memberi bantuan kepada pelajar yang berprestasi rendah. Ujian kendiri: Jawapan ditulis di papan tulis.

b) 2 ialah punca luar. Jawapan:3.

c) 2 ialah punca luar. Jawapan: 1.5.

a) Jawapan: -12.5.

g) Jawapan: 1; 1.5.

5. Pernyataan kerja rumah.

2. Ketahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan rasional pecahan.

3. Selesaikan dalam buku nota No. 000 (a, d, e); No. 000(g, h).

4. Cuba selesaikan No. 000(a) (pilihan).

6. Pemenuhan tugas kawalan pada topik yang dipelajari.

Kerja-kerja dilakukan pada helaian.

Contoh pekerjaan:

A) Antara persamaan yang manakah adalah rasional pecahan?

B) Pecahan adalah sifar apabila pengangkanya ____________________ dan penyebutnya ialah _______________________.

S) Adakah nombor -3 punca Persamaan #6?

D) Selesaikan persamaan No. 7.

Kriteria penilaian tugas:

"5" diberikan jika pelajar menyelesaikan lebih daripada 90% tugasan dengan betul. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" diberikan kepada pelajar yang menyelesaikan kurang daripada 50% tugasan. Gred 2 tidak dimasukkan ke dalam jurnal, 3 adalah pilihan.

7. Refleksi.

Pada risalah dengan kerja bebas, letakkan:

1 - jika pelajaran itu menarik dan boleh difahami oleh anda; 2 - menarik, tetapi tidak jelas; 3 - tidak menarik, tetapi boleh difahami; 4 - tidak menarik, tidak jelas.

8. Merumuskan pelajaran.

Jadi, hari ini dalam pelajaran kita berkenalan dengan persamaan rasional pecahan, belajar bagaimana menyelesaikan persamaan ini dalam pelbagai cara, menguji pengetahuan kita dengan bantuan kerja bebas pendidikan. Anda akan mempelajari hasil kerja bebas dalam pelajaran seterusnya, di rumah anda akan berpeluang untuk menyatukan pengetahuan yang diperoleh.

Terima kasih semua, pelajaran sudah tamat.

T. Kosyakova,
sekolah N№ 80, Krasnodar

Penyelesaian persamaan kuadratik dan pecahan-rasional yang mengandungi parameter

Pelajaran 4

Topik pelajaran:

Tujuan pelajaran: untuk membentuk keupayaan untuk menyelesaikan persamaan pecahan-rasional yang mengandungi parameter.

Jenis pelajaran: pengenalan bahan baru.

1. (Lisan.) Selesaikan persamaan:

Contoh 1. Selesaikan Persamaan

Penyelesaian.

Cari nilai yang tidak sah a:

Jawab. Sekiranya jika a = – 19 , maka tiada akar.

Contoh 2. Selesaikan Persamaan

Penyelesaian.

Cari nilai parameter yang tidak sah a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Jawab. Sekiranya a = 5 a № 5 , kemudian x=10– a .

Contoh 3. Pada apa nilai parameter b persamaan Ia ada:

a) dua akar b) satu-satunya akar?

Penyelesaian.

1) Cari nilai parameter tidak sah b :

x= b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 atau b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 atau b = – 2.

2) Selesaikan persamaan x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

Tidak termasuk nilai parameter tidak sah b , kita dapati bahawa persamaan mempunyai dua punca, jika b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, tetapi ini ialah nilai parameter yang tidak sah b ; jika b 2 –1=0 , iaitu b=1 atau.

Jawapan: a) jika b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , kemudian dua akar; b) jika b=1 atau b=-1 , maka satu-satunya akar.

Kerja bebas

Pilihan 1

Selesaikan persamaan:

Pilihan 2

Selesaikan persamaan:

Jawapan

DALAM 1. bagaimana jika a=3 , maka tiada akar; jika b) jika jika a № 2 , maka tiada akar.

DALAM 2. Sekiranya a=2 , maka tiada akar; jika a=0 , maka tiada akar; jika
b) jika a=– 1 , maka persamaan kehilangan maknanya; jika kemudian tidak ada akar;
jika

Kerja rumah.

Selesaikan persamaan:

Jawapan: a) Jika a № –2 , kemudian x= a ; jika a=–2 , maka tiada penyelesaian; b) jika a № –2 , kemudian x=2; jika a=–2 , maka tiada penyelesaian; c) jika a=–2 , kemudian x- sebarang nombor selain daripada 3 ; jika a № –2 , kemudian x=2; d) jika a=–8 , maka tiada akar; jika a=2 , maka tiada akar; jika

Pelajaran 5

Topik pelajaran:"Penyelesaian Persamaan Pecahan-Rasional yang Mengandungi Parameter".

Objektif Pelajaran:

belajar menyelesaikan persamaan dengan keadaan bukan piawai;
asimilasi sedar oleh pelajar tentang konsep algebra dan hubungan antara mereka.

Jenis pelajaran: sistematisasi dan generalisasi.

Menyemak kerja rumah.

Contoh 1. Selesaikan Persamaan

a) relatif kepada x; b) relatif kepada y.

Penyelesaian.

a) Cari nilai yang tidak sah y: y=0, x=y, y2=y2 –2y,

y=0– nilai parameter tidak sah y.

Sekiranya y№ 0 , kemudian x=y-2; jika y=0, maka persamaan kehilangan maknanya.

b) Cari nilai parameter tidak sah x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– nilai parameter tidak sah x; y(2+x-y)=0, y=0 atau y=2+x;

y=0 tidak memenuhi syarat y(y–x)№ 0 .

Jawapan: a) jika y=0, maka persamaan kehilangan maknanya; jika y№ 0 , kemudian x=y-2; b) jika x=0 x№ 0 , kemudian y=2+x .

Contoh 2. Untuk apakah nilai integer parameter a adalah punca persamaan tergolong dalam selang

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Sekiranya a № 0 atau a № – 1 , kemudian

Jawapan: 5 .

Contoh 3. Cari secara relatif x keseluruhan penyelesaian persamaan

Jawab. Sekiranya y=0, maka persamaan itu tidak masuk akal; jika y=–1, kemudian x- sebarang integer selain sifar; jika y# 0, y# – 1, maka tiada penyelesaian.

Contoh 4 Selesaikan Persamaan dengan parameter a dan b .

Sekiranya a№ – b , kemudian

Jawab. Sekiranya a= 0 atau b= 0 , maka persamaan kehilangan maknanya; jika a№ 0,b№ 0, a=-b , kemudian x- sebarang nombor selain sifar; jika a№ 0,b№ 0,a№ -b kemudian x=-a, x=-b .

Contoh 5. Buktikan bahawa untuk sebarang nilai bukan sifar bagi parameter n, persamaan mempunyai satu punca sama dengan – n .

Penyelesaian.

i.e. x=-n, yang perlu dibuktikan.

Kerja rumah.

1. Cari keseluruhan penyelesaian persamaan

2. Pada apa nilai parameter c persamaan Ia ada:
a) dua akar b) satu-satunya akar?

3. Cari semua punca integer bagi persamaan jika a O N .

4. Selesaikan persamaan 3xy - 5x + 5y = 7: a) secara relatif y; b) secara relatif x .

1. Persamaan dipenuhi oleh sebarang nilai integer sama x dan y selain daripada sifar.
2. a) Bila
b) pada atau
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Jika kemudian tidak ada akar; jika
b) jika kemudian tidak ada akar; jika

Ujian

Pilihan 1

1. Tentukan jenis persamaan 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 di: a) c=-3; b) c=2 ; dalam) c=4 .

2. Selesaikan persamaan: a) x 2 –bx=0; b) cx 2 –6x+1=0; dalam)

3. Selesaikan persamaan 3x-xy-2y=1:

a) secara relatif x ;
b) secara relatif y .

nx 2 - 26x + n \u003d 0, mengetahui bahawa parameter n hanya mengambil nilai integer.

5. Untuk nilai b apakah persamaan itu Ia ada:

a) dua akar
b) satu-satunya akar?

Pilihan 2

1. Tentukan jenis persamaan 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 di: a) c=-4 ; b) c=7 ; dalam) c=1 .

2. Selesaikan persamaan: a) y 2 +cy=0 ; b) ny2 –8y+2=0; dalam)

3. Selesaikan persamaan 6x-xy+2y=5:

a) secara relatif x ;
b) secara relatif y .

4. Cari punca integer bagi persamaan nx 2 -22x+2n=0 , mengetahui bahawa parameter n hanya mengambil nilai integer.

5. Untuk apakah nilai parameter a persamaan Ia ada:

a) dua akar
b) satu-satunya akar?

Jawapan

DALAM 1. 1. a) Persamaan linear;
b) persamaan kuadratik tidak lengkap; c) persamaan kuadratik.
2. a) Jika b=0, kemudian x=0; jika b#0, kemudian x=0, x=b;
b) jika cО (9;+Ґ ), maka tiada akar;
c) jika a=–4 , maka persamaan kehilangan maknanya; jika a№ –4 , kemudian x=- a .
3. a) Jika y=3, maka tiada akar; jika);
b) a=–3, a=1.

Tugas tambahan

Selesaikan persamaan:

kesusasteraan

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Mengenai parameter dari awal lagi. - Tutor, Bil 2/1991, hlm. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Syarat yang perlu dalam tugasan dengan parameter. – Kvant, No. 11/1991, hlm. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavai V.V. Penyelesaian masalah, mengandungi parameter. Bahagian 2. - M., Perspektif, 1990, hlm. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Lima ratus empat belas tugas dengan parameter. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Tugasan dengan parameter. - M., Pendidikan, 1986.

Baca:

Mengapa bermimpi darah: tafsiran dari buku impian Bagaimana untuk meredakan kemarahan dan mengapa penting untuk melakukannya Apakah maksud seseorang itu marah Manana nama kewarganegaraan apa Bagaimana untuk belajar untuk menahan emosi - nasihat daripada ahli psikologi, cadangan praktikal Keupayaan untuk mengawal emosi anda Petikan tentang cinta yang tidak berbalas Surat tentang cinta yang tidak berbalas untuk seorang gadis

Baca: