ഈ പാഠം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകൾകൂടെ വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൂട്ടിച്ചേർക്കാമെന്നും കുറയ്ക്കാമെന്നും ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കണം പൊതു വിഭജനം. ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരേ നിയമങ്ങൾ പാലിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതേ സമയം, ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതും കുറയ്ക്കുന്നതും എട്ടാം ക്ലാസ് കോഴ്സിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമായ വിഷയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. അതിൽ ഈ വിഷയംഭാവിയിൽ നിങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന ബീജഗണിത കോഴ്‌സിന്റെ പല വിഷയങ്ങളിലും ഇത് കാണപ്പെടും. പാഠത്തിന്റെ ഭാഗമായി, വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും, കൂടാതെ നിരവധി സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

ഉദാഹരണം 1ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഓർക്കുക. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കണം. സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പൊതുവായ ഘടകമാണ് ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതംയഥാർത്ഥ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ (LCM).

നിർവ്വചനം

രണ്ട് സംഖ്യകളാലും ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ.

LCM കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ വികസിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ, തുടർന്ന് രണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെയും വികാസത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രധാന ഘടകങ്ങളും തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

; . അപ്പോൾ സംഖ്യകളുടെ LCM-ൽ രണ്ട് 2-ഉം രണ്ട് 3-ഉം ഉണ്ടായിരിക്കണം: .

പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ഒരു അധിക ഘടകം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (വാസ്തവത്തിൽ, പൊതുവായ വിഭാഗത്തെ അനുബന്ധ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക).

അപ്പോൾ ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അധിക ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. മുമ്പത്തെ പാഠങ്ങളിൽ ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും പഠിച്ച അതേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: .

ഉത്തരം:.

വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക. ആദ്യം സംഖ്യകളാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുക: .

പരിഹാരം:

പരിഹാര അൽഗോരിതം മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് സമാനമാണ്. ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കായി ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്: അവയിൽ ഓരോന്നിനും അധിക ഘടകങ്ങളും.

.

ഉത്തരം:.

അതിനാൽ നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള അൽഗോരിതം:

1. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പൊതുവിഭാഗം കണ്ടെത്തുക.

2. ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കുമുള്ള അധിക ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക (ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് പൊതു വിഭാഗത്തെ ഹരിച്ചുകൊണ്ട്).

3. ഉചിതമായ അധിക ഘടകങ്ങളാൽ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക.

4. ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ അടങ്ങിയ ഒരു ഉദാഹരണം ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക അക്ഷര പ്രയോഗങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 3ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുക: .

പരിഹാരം:

രണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലെയും അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, നിങ്ങൾ അക്കങ്ങൾക്കായി ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തെ കണ്ടെത്തണം. അന്തിമ പൊതുവിഭാഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: അതിനാൽ ഈ ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്:

ഉത്തരം:.

ഉദാഹരണം 4ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് "വഞ്ചിക്കാൻ" കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ (നിങ്ങൾക്ക് അത് ഫാക്ടർ ചെയ്യാനോ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനോ കഴിയില്ല), തുടർന്ന് നിങ്ങൾ രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു പൊതു വിഭാഗമായി എടുക്കണം.

ഉത്തരം:.

പൊതുവേ, അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യം ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തെ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 5ലളിതമാക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ആദ്യം യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കണം (പൊതു വിഭാഗത്തെ ലളിതമാക്കാൻ).

ഈ പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ:

അപ്പോൾ പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: .

ഞങ്ങൾ അധിക ഘടകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ഈ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉത്തരം:.

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പരിഹരിക്കും.

ഉദാഹരണം 6ലളിതമാക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:.

ഉദാഹരണം 7ലളിതമാക്കുക: .

പരിഹാരം:

.

ഉത്തരം:.

രണ്ടല്ല, മൂന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർത്ത ഒരു ഉദാഹരണം ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക (എല്ലാത്തിനുമുപരി, സങ്കലനത്തിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ കൂടുതൽഭിന്നസംഖ്യകൾ അതേപടി നിലനിൽക്കും).

ഉദാഹരണം 8ലളിതമാക്കുക: .

$\frac63$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ പരിഗണിക്കുക. $\frac63 =6:3 = 2$ ആയതിനാൽ അതിന്റെ മൂല്യം 2 ആണ്. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. വ്യക്തമായും, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറിയിട്ടില്ല, അതിനാൽ $\frac(12)(6)$ എന്നത് y ആയി 2 ന് തുല്യമാണ്. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഗുണിക്കുക 3-ന് ശേഷം $\frac(18)(9)$, അല്ലെങ്കിൽ 27-ന് ശേഷം $\frac(162)(81)$ അല്ലെങ്കിൽ 101-ൽ നേടുകയും $\frac(606)(303)$ നേടുകയും ചെയ്യുക. ഈ ഓരോ സന്ദർഭത്തിലും, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം 2 ആണ്. ഇതിനർത്ഥം അത് മാറിയിട്ടില്ല എന്നാണ്.

മറ്റ് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിലും ഇതേ പാറ്റേൺ നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. $\frac(120)(60)$ (2 ന് തുല്യം) എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ($\frac(60)(30)$ ന്റെ ഫലം), അല്ലെങ്കിൽ 3 ($\ ന്റെ ഫലം frac(40)(20) $), അല്ലെങ്കിൽ 4 കൊണ്ട് ($\frac(30)(15)$) എന്നിങ്ങനെ, തുടർന്ന് ഓരോ സാഹചര്യത്തിലും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറ്റമില്ലാതെ 2 ന് തുല്യമായി തുടരുന്നു.

തുല്യമല്ലാത്ത ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ഈ നിയമം ബാധകമാണ്. മുഴുവൻ സംഖ്യ.

$\frac(1)(3)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് $\frac(2)(6)$ ലഭിക്കും, അതായത് ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറിയിട്ടില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, നിങ്ങൾ കേക്കിനെ 3 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് അവയിലൊന്ന് എടുക്കുകയോ 6 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് 2 ഭാഗങ്ങൾ എടുക്കുകയോ ചെയ്താൽ, രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ അളവിൽ പൈ ലഭിക്കും. അതിനാൽ, $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$ എന്നീ സംഖ്യകൾ സമാനമാണ്. നമുക്ക് ഒരു പൊതു നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം.

ഏതെങ്കിലും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യാം, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറില്ല.

ഈ നിയമം വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, വലിയ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് അനുവദിക്കുന്നു, പക്ഷേ എല്ലായ്പ്പോഴും അല്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, $\frac(126)(189)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 63 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് $\frac(2)(3)$ ഫ്രാക്ഷൻ നേടാം, അത് കണക്കുകൂട്ടാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി. $\frac(155)(31)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 31 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ $\frac(5)(1)$ അല്ലെങ്കിൽ 5, 5:1=5 മുതൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം നേരിട്ടു ഡിനോമിനേറ്റർ 1 ആയ ഒരു അംശം. അത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകൾ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു. ഏത് സംഖ്യയെയും 1 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്നും അതിന്റെ മൂല്യം മാറില്ലെന്നും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. അതായത്, $\frac(273)(1)$ എന്നത് 273 ന് തുല്യമാണ്; $\frac(509993)(1)$ 509993 എന്നിങ്ങനെയാണ്. അതിനാൽ, ഓരോ പൂർണ്ണസംഖ്യയും 1 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ ഹരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

അത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച്, അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ 1 ന് തുല്യമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുമായും സമാനമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്റെ പ്രയോജനം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ചോദിച്ചേക്കാം, അതിന് വരിയുടെ കീഴിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കും, കാരണം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. എന്നാൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് കൂടുതൽ കാര്യക്ഷമമായി ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കാൻ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾഞങ്ങൾ രണ്ട് പൂർണ്ണസംഖ്യകളും കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ ഭിന്നസംഖ്യകൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, പഠിക്കാൻ വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുക. $\frac(1)(3)$, $\frac(1)(5)$ എന്നിവ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക.

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ചേർക്കാനാവൂ എന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. അതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളെ അവയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ എങ്ങനെ അത്തരം ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണമെന്ന് നാം പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും അതിന്റെ മൂല്യം മാറ്റാതെ തന്നെ അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാമെന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾക്ക് വീണ്ടും ആവശ്യമാണ്.

ആദ്യം, $\frac(1)(3)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. നമുക്ക് $\frac(5)(15)$ ലഭിക്കും, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറിയിട്ടില്ല. അപ്പോൾ നമ്മൾ $\frac(1)(5)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. നമുക്ക് $\frac(3)(15)$ ലഭിക്കും, വീണ്ടും ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം മാറിയിട്ടില്ല. അതിനാൽ, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിലേക്ക് ഈ സിസ്റ്റം പ്രയോഗിക്കാൻ നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം.

നമുക്ക് $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഭിന്നസംഖ്യകളാക്കി മാറ്റുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളെയും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്, ഇതിനായി നമ്മൾ ആദ്യത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 12 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേത് 4 കൊണ്ടും മൂന്നാമത്തേത് 3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, നമുക്ക് $\frac(36) ലഭിക്കുന്നു. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, ഇത് $\frac(55)(12)$ ന് തുല്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഒഴിവാക്കണമെങ്കിൽ അനുചിതമായ അംശം, ഇത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗവും അടങ്ങുന്ന ഒരു സംഖ്യയാക്കി മാറ്റാം: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ അല്ലെങ്കിൽ $4\frac( 7)( 12)$.

അനുവദിക്കുന്ന എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പഠിച്ചത് നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളുടെ കാര്യത്തിലും സാധുവാണ്. അതിനാൽ, -1: 3 എന്നത് $\frac(-1)(3)$ എന്നും 1: (-3) എന്നത് $\frac(1)(-3)$ എന്നും എഴുതാം.

ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് ഫലം കൊണ്ട് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളായി ഹരിക്കുന്നതും ആയതിനാൽ, രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും നമുക്ക് ഉത്തരം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ ലഭിക്കും. അതാണ്

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ അല്ലെങ്കിൽ $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. ഈ രീതിയിൽ എഴുതുമ്പോൾ മൈനസ് ചിഹ്നം മുഴുവൻ ഭിന്നസംഖ്യയെയും മൊത്തത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അല്ലാതെ ന്യൂമറേറ്ററിനോ ഡിനോമിനേറ്ററിനോ വെവ്വേറെയല്ല.

മറുവശത്ത്, (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ എന്ന് എഴുതാം, കൂടാതെ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, തുടർന്ന് $\frac(-1)(-3)$ എന്നത് $+\frac(1)(3)$ എന്ന് എഴുതാം.

പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷനുകളുടെ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും പോലെ തന്നെ നെഗറ്റീവ് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും നടക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, എന്താണ് $1- 1\frac13$? നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകളെയും ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിച്ച് $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ നേടാം. ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, അതായത് $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, അല്ലെങ്കിൽ $-\frac(1)(3)$.

രസതന്ത്രം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജീവശാസ്ത്രം തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിൽ പോലും കാണാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ശാസ്ത്രങ്ങളിലൊന്നാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം. ഈ ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പഠനം ചില മാനസിക ഗുണങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കാനും ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാനുള്ള കഴിവ് മെച്ചപ്പെടുത്താനും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. "ഗണിതശാസ്ത്രം" എന്ന കോഴ്‌സിൽ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്ന വിഷയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും. പല വിദ്യാർത്ഥികളും പഠിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ഈ വിഷയം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങളുടെ ലേഖനം സഹായിക്കും.

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം

നിങ്ങൾക്ക് വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന അതേ സംഖ്യകളാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ. പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നിന്നുള്ള അവയുടെ വ്യത്യാസം ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ സാന്നിധ്യത്തിലാണ്. അതുകൊണ്ടാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, അവയുടെ ചില സവിശേഷതകളും നിയമങ്ങളും നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കലാണ്, അവയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഒരേ സംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലളിതമായ നിയമം അറിയാമെങ്കിൽ ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല:

• ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, കുറച്ച ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ട ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ എഴുതുകയും ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി വിടുകയും ചെയ്യുന്നു: k / m - b / m = (k-b) / m.

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

കുറച്ച ഭിന്നസംഖ്യ "7" ന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്ന "3" ന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ കുറയ്ക്കുക, നമുക്ക് "4" ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യ ഉത്തരത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ എഴുതുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ഉണ്ടായിരുന്ന അതേ നമ്പർ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഇടുന്നു - "19".

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം അത്തരം കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

"3", "8", "2", "7" എന്നിങ്ങനെ എല്ലാ തുടർന്നുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും ന്യൂമറേറ്ററുകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ "29" എന്ന കുറച്ച ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന്. തൽഫലമായി, ഉത്തരത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്ന "9" ഫലം നമുക്ക് ലഭിക്കും, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഈ എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലുള്ള സംഖ്യ എഴുതുന്നു - "47".

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിനൊപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നു

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും ഒരേ തത്വമനുസരിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്.

• ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ തുകയുടെ ന്യൂമറേറ്ററാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി നിലനിൽക്കും: k/m + b/m = (k + b)/m.

ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നോക്കാം:

1/4 + 2/4 = 3/4.

ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ആദ്യ പദത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് - "1" - ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ചേർക്കുന്നു - "2". ഫലം - "3" - തുകയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉണ്ടായിരുന്നതുപോലെ തന്നെ അവശേഷിക്കുന്നു - "4".

വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളും അവയുടെ കുറയ്ക്കലും

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, അറിയുന്നത് ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ, അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനം നടത്തണമെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? പല ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികളും ഇത്തരം ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണ്. എന്നാൽ ഇവിടെയും, പരിഹാരത്തിന്റെ തത്വം നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇനി ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കില്ല. ഇവിടെയും ഒരു നിയമമുണ്ട്, അതില്ലാതെ അത്തരം ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പരിഹാരം അസാധ്യമാണ്.

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, അവ ഒരേ ചെറിയ ഡിനോമിനേറ്ററായി ചുരുക്കണം.



ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശദമായി സംസാരിക്കും.

ഫ്രാക്ഷൻ പ്രോപ്പർട്ടി

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് നിരവധി ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, ലായനിയിൽ നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചോ ഗുണിച്ചോ ശേഷം, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 2/3 ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് "6", "9", "12" മുതലായ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം, അതായത്, "3" ന്റെ ഗുണിതമായ ഏത് സംഖ്യയും പോലെയാകാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും "2" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് 4/6 ന്റെ ഒരു അംശം ലഭിക്കും. യഥാർത്ഥ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും "3" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് ശേഷം, നമുക്ക് 6/9 ലഭിക്കും, കൂടാതെ "4" എന്ന സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായ പ്രവർത്തനം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് 8/12 ലഭിക്കും. ഒരു സമവാക്യത്തിൽ, ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് ഒന്നിലധികം ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൊണ്ടുവരാം

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് നിരവധി ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാമെന്ന് പരിഗണിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ എടുക്കുക. അവയ്‌ക്കെല്ലാം ഏത് സംഖ്യയാണ് ഡിനോമിനേറ്ററായി മാറുന്നതെന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, ലഭ്യമായ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കാം.

ഭിന്നസംഖ്യ 1/2 ന്റെയും 2/3 ഭിന്നസംഖ്യയുടെയും ഡിനോമിനേറ്റർ ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. 7/9 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് രണ്ട് ഘടകങ്ങളുണ്ട് 7/9 = 7/(3 x 3), ഭിന്നസംഖ്യയുടെ 5/6 = 5/(2 x 3). ഈ നാല് ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കും ഏതൊക്കെ ഘടകങ്ങൾ ഏറ്റവും ചെറുതായിരിക്കുമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് ഡിനോമിനേറ്ററിൽ “2” എന്ന സംഖ്യ ഉള്ളതിനാൽ, അത് എല്ലാ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലും ഉണ്ടായിരിക്കണം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം, 7/9 ഭിന്നസംഖ്യയിൽ രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ ഉണ്ട്, അതായത് അവ ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഉണ്ടായിരിക്കണം എന്നാണ്. മേൽപ്പറഞ്ഞവ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു: 3, 2, 3 കൂടാതെ 3 x 2 x 3 = 18 ന് തുല്യമാണ്.



ആദ്യ ഭാഗം പരിഗണിക്കുക - 1/2. അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ "2" അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒരൊറ്റ "3" ഇല്ല, എന്നാൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, പക്ഷേ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിനെ രണ്ട് ട്രിപ്പിൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

അതുപോലെ, ശേഷിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു.

• 2/3 - ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒന്ന് മൂന്ന്, ഒന്ന് രണ്ട് എന്നിവ കാണുന്നില്ല:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 അല്ലെങ്കിൽ 7/(3 x 3) - ഡിനോമിനേറ്ററിന് രണ്ടെണ്ണം നഷ്ടമായിരിക്കുന്നു:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 അല്ലെങ്കിൽ 5/(2 x 3) - ഡിനോമിനേറ്ററിന് ഒരു ട്രിപ്പിൾ നഷ്ടമായിരിക്കുന്നു:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

എല്ലാം ഒരുമിച്ച് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:



വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം, കൂട്ടിച്ചേർക്കാം

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനോ കുറയ്ക്കുന്നതിനോ, അവ ഒരേ വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കണം, തുടർന്ന് ഇതിനകം വിവരിച്ച അതേ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഗണിക്കുക: 4/18 - 3/15.

18, 15 എന്നിവയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

• 18 എന്ന സംഖ്യയിൽ 3 x 2 x 3 അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
• 15 എന്ന സംഖ്യയിൽ 5 x 3 അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
• പൊതുവായ ഗുണിതത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘടകങ്ങൾ 5 x 3 x 3 x 2 = 90 അടങ്ങിയിരിക്കും.

ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തിയതിനുശേഷം, ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു ഘടകം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ മാത്രമല്ല, ന്യൂമറേറ്ററും ഗുണിക്കേണ്ട സംഖ്യ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അധിക ഘടകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ട ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ (സാധാരണ ഗുണിതം) സംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ ഹരിക്കുന്നു.

• 90-നെ 15 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ "6" 3/15-ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും.
• 90-നെ 18 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ "5" 4/18-ന്റെ ഗുണിതമായിരിക്കും.

ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന്റെ അടുത്ത ഘട്ടം ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയും "90" എന്ന വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക എന്നതാണ്.

ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് എങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

ചെറിയ സംഖ്യകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ നിങ്ങൾക്ക് പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കാനാകും.



അതുപോലെ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുകയും വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

വ്യവകലനവും പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഭാഗങ്ങളുള്ളതും

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കലും അവയുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഞങ്ങൾ ഇതിനകം വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കും മുഴുവൻ ഭാഗം? വീണ്ടും, നമുക്ക് കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം:

• പൂർണ്ണസംഖ്യയുള്ള എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും അനുചിതമായവയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. സംസാരിക്കുന്നു ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, മുഴുവൻ ഭാഗവും നീക്കം ചെയ്യുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗത്തിന്റെ എണ്ണം ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം ലഭിക്കുന്ന സംഖ്യ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററാണ്. ഡിനോമിനേറ്റർ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.
• ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് വ്യത്യസ്‌ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവ അതേ രീതിയിൽ ചുരുക്കണം.
• ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കലോ കുറയ്ക്കലോ നടത്തുക.
• തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കുമ്പോൾ, മുഴുവൻ ഭാഗവും തിരഞ്ഞെടുക്കുക.



നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഭാഗങ്ങൾക്കൊപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും കഴിയുന്ന മറ്റൊരു മാർഗമുണ്ട്. ഇതിനായി, പ്രവർത്തനങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വെവ്വേറെയും ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി വെവ്വേറെ നടത്തുകയും ഫലങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് രേഖപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.



മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ വ്യത്യസ്‌തമാകുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അളവിലേക്ക് ചുരുക്കണം, തുടർന്ന് ഉദാഹരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഘട്ടങ്ങൾ പാലിക്കുക.

ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നു

ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മറ്റൊരു ഇനം, ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ നിന്ന് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ട സാഹചര്യമാണ്. സമാനമായ ഉദാഹരണംപരിഹരിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഇവിടെ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. അത് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കൂടാതെ കുറയ്ക്കേണ്ട ഭിന്നസംഖ്യയിലുള്ള അത്തരമൊരു ഡിനോമിനേറ്ററും. അടുത്തതായി, ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കുന്നതിന് സമാനമായ ഒരു വ്യവകലനം ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

ഈ ലേഖനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറയ്ക്കൽ (ഗ്രേഡ് 6) കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമാണ്, അവ തുടർന്നുള്ള ക്ലാസുകളിൽ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. ഫംഗ്ഷനുകൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ മുതലായവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് പിന്നീട് ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിനാൽ, മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ മനസിലാക്കുകയും മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന അടുത്ത പ്രവർത്തനം കുറയ്ക്കലാണ്. ഈ മെറ്റീരിയലിന്റെ ഭാഗമായി, സമാനവും വ്യത്യസ്തവുമായ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എങ്ങനെ ശരിയായി കണക്കാക്കാമെന്നും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാമെന്നും തിരിച്ചും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. എല്ലാ ഉദാഹരണങ്ങളും ടാസ്ക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ കലാശിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയുള്ളൂവെന്ന് മുൻകൂട്ടി വ്യക്തമാക്കാം.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഒരു ചിത്രീകരണ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമുക്ക് ഉടൻ ആരംഭിക്കാം: എട്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ആപ്പിൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. നമുക്ക് അഞ്ച് ഭാഗങ്ങൾ പ്ലേറ്റിൽ ഉപേക്ഷിച്ച് അതിൽ രണ്ടെണ്ണം എടുക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനം ഇതുപോലെ എഴുതാം:

5 - 2 = 3 ആയതിനാൽ ഞങ്ങൾ 3 എട്ടാം സ്ഥാനത്താണ് അവസാനിക്കുന്നത്. അത് 5 8 - 2 8 = 3 8 ആയി മാറുന്നു.

അതുവഴി ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണംഡിനോമിനേറ്ററുകൾ തുല്യമായ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്കായി കുറയ്ക്കൽ നിയമം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കൃത്യമായി കണ്ടു. നമുക്ക് അത് രൂപപ്പെടുത്താം.

നിർവ്വചനം 1

ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഒന്നിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ മറ്റൊന്നിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ഡിനോമിനേറ്റർ അതേപടി വിടുകയും വേണം. ഈ നിയമം ഒരു b - c b = a - c b എന്ന് എഴുതാം.

ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കും.

നമുക്ക് വ്യക്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ എടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

ഭിന്നസംഖ്യ 24 15 പൊതു ഭിന്നസംഖ്യ 17 15 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക.

പരിഹാരം

ഈ ഭിന്നസംഖ്യകൾക്ക് ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ ഉള്ളതായി നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത് 24 ൽ നിന്ന് 17 കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്. നമുക്ക് 7 ലഭിക്കുകയും അതിലേക്ക് ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, നമുക്ക് 7 15 ലഭിക്കും.

ഞങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇതുപോലെ എഴുതാം: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

ആവശ്യമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാം അല്ലെങ്കിൽ കണക്കുകൂട്ടാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാക്കുന്നതിന് അനുചിതമായ ഒന്നിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ ഭാഗവും വേർതിരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക 37 12 - 15 12 .

പരിഹാരം

മുകളിൽ വിവരിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് (വിഭജനത്തിന്റെ അടയാളങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്തപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് നേരത്തെ സംസാരിച്ചു). ഉത്തരം കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് 11 6 ലഭിക്കും. ഇതൊരു അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ ഭാഗവും തിരഞ്ഞെടുക്കും: 11 6 \u003d 1 5 6.

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

അത്തരമൊരു ഗണിത പ്രവർത്തനം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മുകളിൽ വിവരിച്ചതിലേക്ക് ചുരുക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആവശ്യമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക. നമുക്ക് നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്താം:

നിർവ്വചനം 2

വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അവയെ ഒരേ ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് ന്യൂമറേറ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 3

2 9 ൽ നിന്ന് 1 15 കുറയ്ക്കുക.

പരിഹാരം

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്, നിങ്ങൾ അവയെ ഏറ്റവും ചെറുതാക്കി കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട് സാമാന്യ ബോധം. എ.ടി ഈ കാര്യംഎൻഒസി 45 ആണ്. ആദ്യ ഭാഗത്തിന്, 5 ന്റെ അധിക ഘടകം ആവശ്യമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിന് - 3.

നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളുണ്ട് ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ, നേരത്തെ വിവരിച്ച അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അവയുടെ വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

പരിഹാരത്തിന്റെ ഒരു ഹ്രസ്വ റെക്കോർഡ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

ആവശ്യമെങ്കിൽ ഫലം കുറയ്ക്കുന്നതിനോ അതിൽ നിന്ന് ഒരു മുഴുവൻ ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനോ അവഗണിക്കരുത്. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല.

ഉദാഹരണം 4

വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക 19 9 - 7 36 .

പരിഹാരം

ഞങ്ങൾ വ്യവസ്ഥയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന പൊതു വിഭാഗമായ 36-ലേക്ക് കൊണ്ടുവരുകയും യഥാക്രമം 76 9, 7 36 എന്നിവ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഉത്തരം പരിഗണിക്കുന്നു: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

23 12 ലഭിക്കുന്നതിന് ഫലം 3 കുറയ്ക്കാം. ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ വലുതാണ്, അതായത് നമുക്ക് മുഴുവൻ ഭാഗവും വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും. അവസാന ഉത്തരം 1 11 12 ആണ്.

മുഴുവൻ പരിഹാരത്തിന്റെയും സംഗ്രഹം 19 9 - 7 36 = 1 11 12 ആണ്.

ഒരു പൊതു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം

ഈ പ്രവർത്തനം എളുപ്പത്തിൽ കുറയ്ക്കാനും കഴിയും ലളിതമായ കുറയ്ക്കൽസാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിച്ച് ഇത് ചെയ്യാം. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം കാണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5

83 21 - 3 വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

3 എന്നത് 3 1 ന് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലെ കണക്കാക്കാം: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

വ്യവസ്ഥയിൽ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ആദ്യം അതിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അത് ഒരു മിക്സഡ് സംഖ്യയായി എഴുതുന്നു. അപ്പോൾ മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണം വ്യത്യസ്തമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

83 21 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് 83 21 \u003d 3 20 21 ലഭിക്കും.

ഇപ്പോൾ അതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാം

ഈ പ്രവർത്തനം മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായി ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങൾ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ ഭിന്നസംഖ്യയായി മാറ്റിയെഴുതുന്നു, രണ്ടും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഇത് വ്യക്തമാക്കാം.

ഉദാഹരണം 6

വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക: 7 - 5 3 .

പരിഹാരം

നമുക്ക് 7 ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ 7 1 ആക്കാം. ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുകയും അന്തിമഫലം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും അതിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഭാഗം വേർതിരിച്ചെടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട്. പ്രശ്നത്തിലെ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും വലിയ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ ഇതിന് ഉപയോഗിക്കാവുന്ന ചില ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

നിർവ്വചനം 3

കുറയ്ക്കേണ്ട ഭിന്നസംഖ്യ ശരിയാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ കുറയ്ക്കുന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം, അതിലൊന്ന് 1 ന് തുല്യമാണ്. അതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ ഐക്യത്തിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുകയും ഉത്തരം നേടുകയും വേണം.

ഉദാഹരണം 7

1 065 - 13 62 വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം

കുറയ്ക്കേണ്ട ഭിന്നസംഖ്യ ശരിയാണ്, കാരണം അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിനേക്കാൾ കുറവ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് 1065 ൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം കുറയ്ക്കുകയും അതിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുകയും വേണം: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

ഇനി ഉത്തരം കണ്ടെത്തണം. വ്യവകലനത്തിന്റെ ഗുണഗണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം 1064 + 1 - 13 62 എന്ന് എഴുതാം. ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ വ്യത്യാസം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ യൂണിറ്റിനെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു 1 1 .

1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62 എന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് 1064 നെ കുറിച്ച് ഓർത്ത് ഉത്തരം രൂപപ്പെടുത്താം: 1064 49 62 .

ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു പഴയ വഴിഇത് സൗകര്യപ്രദമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കാൻ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇതാ:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 64 = 1064

ഉത്തരം ഒന്നുതന്നെയാണ്, പക്ഷേ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

നമുക്ക് കുറയ്ക്കേണ്ട സന്ദർഭം ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു ശരിയായ അംശം. ഇത് തെറ്റാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു മിക്സഡ് നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി, പരിചിതമായ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് കുറയ്ക്കുക.

ഉദാഹരണം 8

വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുക 644 - 73 5 .

പരിഹാരം

രണ്ടാമത്തെ ഭാഗം അനുചിതമാണ്, മുഴുവൻ ഭാഗവും അതിൽ നിന്ന് വേർതിരിക്കേണ്ടതാണ്.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് സമാനമായി കണക്കാക്കുന്നു: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ കുറയ്ക്കൽ ഗുണങ്ങൾ

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ വ്യവകലനത്തിന് ഉള്ള ഗുണങ്ങൾ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള കേസുകൾക്കും ബാധകമാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 9

വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക 24 4 - 3 2 - 5 6 .

പരിഹാരം

ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു തുക കുറയ്ക്കുന്നത് വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ സമാനമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ 25 4 - 3 2 വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് അതിൽ നിന്ന് അവസാന ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുക:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

അതിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഭാഗം വേർതിരിച്ച് ഉത്തരം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. ഫലം 3 11 12 ആണ്.

മുഴുവൻ പരിഹാരത്തിന്റെയും സംക്ഷിപ്ത സംഗ്രഹം:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

പദപ്രയോഗത്തിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടുമ്പോൾ അവയെ തരം അനുസരിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 10

98 + 17 20 - 5 + 3 5 വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

വ്യവകലനത്തിന്റെയും സങ്കലനത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാം: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പൂർത്തിയാക്കാം: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ആമയെക്കാൾ പത്തിരട്ടി വേഗത്തിലാണ് അക്കില്ലസ് ഓടുന്നത്, അതിന് ആയിരം അടി പിന്നിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അക്കില്ലസ് ഈ ദൂരം ഓടുന്ന സമയത്ത്, ആമ ഒരേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അക്കില്ലസ് നൂറ് ചുവടുകൾ ഓടുമ്പോൾ, ആമ മറ്റൊരു പത്ത് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. പ്രക്രിയ അനിശ്ചിതമായി തുടരും, അക്കില്ലസ് ഒരിക്കലും ആമയെ പിടിക്കില്ല.

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാ തുടർന്നുള്ള തലമുറകൾക്കും ഒരു ലോജിക്കൽ ഷോക്കായി മാറി. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ, ഡയോജെനിസ്, കാന്ത്, ഹെഗൽ, ഗിൽബർട്ട്... ഇവരെല്ലാം ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സെനോയുടെ അപ്പോറിയകളായി കണക്കാക്കി. ഞെട്ടൽ വളരെ ശക്തമായിരുന്നു " ... ഇപ്പോൾ ചർച്ചകൾ തുടരുന്നു, വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു അഭിപ്രായത്തിലേക്ക് വരാൻ ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന് ഇതുവരെ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല ... ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം, സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം, പുതിയ ഭൗതികവും ദാർശനികവുമായ സമീപനങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ പഠനത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു. ; അവയൊന്നും പ്രശ്നത്തിന് സാർവത്രികമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പരിഹാരമായില്ല ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. തങ്ങൾ വഞ്ചിക്കപ്പെടുകയാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ വഞ്ചന എന്താണെന്ന് ആർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, സെനോ തന്റെ അപ്പോറിയയിൽ മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കി. ഈ പരിവർത്തനം സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് പകരം പ്രയോഗിക്കുന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം, അളവിന്റെ വേരിയബിൾ യൂണിറ്റുകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഒന്നുകിൽ ഇതുവരെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് സെനോയുടെ അപ്പോറിയയിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തിയുടെ പ്രയോഗം നമ്മെ ഒരു കെണിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. നാം, ചിന്തയുടെ ജഡത്വത്താൽ, സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകൾ പരസ്പര ബന്ധത്തിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഭൗതികമായ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അക്കില്ലസ് ആമയെ പിടിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ സമയം മന്ദഗതിയിലായതായി തോന്നുന്നു. സമയം നിലച്ചാൽ, അക്കില്ലസിന് ആമയെ മറികടക്കാൻ കഴിയില്ല.

നമ്മൾ പരിചിതമായ യുക്തിയിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാം ശരിയാകും. അക്കില്ലസ് സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ ഓടുന്നു. അതിന്റെ പാതയുടെ ഓരോ തുടർന്നുള്ള സെഗ്‌മെന്റും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി ചെറുതാണ്. അതനുസരിച്ച്, അതിനെ മറികടക്കാൻ ചെലവഴിച്ച സമയം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി കുറവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ "അനന്തം" എന്ന ആശയം പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "അക്കില്ലസ് അനന്തമായി ആമയെ മറികടക്കും" എന്ന് പറയുന്നത് ശരിയാകും.

ഈ ലോജിക്കൽ കെണി എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം? സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകളിൽ തുടരുക, പരസ്പര മൂല്യങ്ങളിലേക്ക് മാറരുത്. സെനോയുടെ ഭാഷയിൽ, ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ആയിരം ചുവടുകൾ ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അടുത്ത സമയ ഇടവേളയിൽ, ആദ്യത്തേതിന് തുല്യമായി, അക്കില്ലസ് മറ്റൊരു ആയിരം പടികൾ ഓടും, ആമ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ഇപ്പോൾ ആമയെക്കാൾ എണ്ണൂറ് അടി മുന്നിലാണ് അക്കില്ലസ്.

ഈ സമീപനം യുക്തിപരമായ വിരോധാഭാസങ്ങളില്ലാതെ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് പ്രശ്നത്തിന് പൂർണ്ണമായ പരിഹാരമല്ല. പ്രകാശവേഗത്തിന്റെ അതിരുകടക്കാനാവാത്തതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഐൻസ്റ്റീന്റെ പ്രസ്താവന, സെനോയുടെ അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസും ആമയും" പോലെയാണ്. ഈ പ്രശ്നം പഠിക്കാനും പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യാനും പരിഹരിക്കാനും ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിയും കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല. പരിഹാരം തേടേണ്ടത് അനന്തമായ സംഖ്യകളിലല്ല, മറിച്ച് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിലാണ്.

സെനോയുടെ മറ്റൊരു രസകരമായ അപ്പോറിയ പറക്കുന്ന അമ്പടയാളത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു:

പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ചലനരഹിതമാണ്, കാരണം ഓരോ നിമിഷവും അത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എല്ലാ സമയത്തും അത് വിശ്രമിക്കുന്നതിനാൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിശ്രമത്തിലാണ്.

ഈ അപ്പോറിയയിൽ, ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസം വളരെ ലളിതമായി മറികടക്കുന്നു - ഓരോ നിമിഷവും പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ നിലകൊള്ളുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും, അത് വാസ്തവത്തിൽ ചലനമാണ്. ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട മറ്റൊരു കാര്യമുണ്ട്. റോഡിലെ ഒരു കാറിന്റെ ഒരു ഫോട്ടോയിൽ നിന്ന്, അതിന്റെ ചലനത്തിന്റെ വസ്തുതയോ അതിലേക്കുള്ള ദൂരമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. കാറിന്റെ ചലനത്തിന്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരേ പോയിന്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ അവ ഉപയോഗിക്കാനാവില്ല. കാറിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ സമയം ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്നുള്ള ചലനത്തിന്റെ വസ്തുത നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല (സ്വാഭാവികമായും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അധിക ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്, ത്രികോണമിതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും). ഞാൻ എന്തിലാണ് ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ, സമയത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും ബഹിരാകാശത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ പാടില്ലാത്ത വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളാണ്, കാരണം അവ പര്യവേക്ഷണത്തിന് വ്യത്യസ്ത അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു.

2018 ജൂലൈ 4 ബുധനാഴ്ച

സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ വിക്കിപീഡിയയിൽ നന്നായി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "സെറ്റിന് രണ്ട് സമാന ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്", എന്നാൽ സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സെറ്റിനെ "മൾട്ടിസെറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം അസംബന്ധത്തിന്റെ യുക്തി യുക്തിബോധമുള്ള ആളുകൾക്ക് ഒരിക്കലും മനസ്സിലാകില്ല. "പൂർണ്ണമായി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് മനസ്സ് വിട്ടുനിൽക്കുന്ന സംസാരിക്കുന്ന തത്തകളുടെയും പരിശീലനം ലഭിച്ച കുരങ്ങുകളുടെയും തലമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണ പരിശീലകരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അവരുടെ അസംബന്ധ ആശയങ്ങൾ നമ്മോട് പ്രസംഗിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് പാലം പണിത എൻജിനീയർമാർ പാലത്തിന്റെ പരീക്ഷണങ്ങൾക്കിടെ പാലത്തിനടിയിൽ ബോട്ടിൽ കയറിയിരുന്നു. പാലം തകർന്നാൽ, സാധാരണക്കാരനായ എഞ്ചിനീയർ തന്റെ സൃഷ്ടിയുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾക്കടിയിൽ മരിച്ചു. പാലത്തിന് ഭാരം താങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കഴിവുള്ള എഞ്ചിനീയർ മറ്റ് പാലങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "എന്നെ ശ്രദ്ധിക്കൂ, ഞാൻ വീട്ടിലാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു" എന്ന വാക്യത്തിന് പിന്നിൽ എങ്ങനെ ഒളിച്ചാലും, അവയെ യാഥാർത്ഥ്യവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൊക്കിൾക്കൊടിയുണ്ട്. ഈ പൊക്കിൾക്കൊടി പണമാണ്. നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് തന്നെ പ്രയോഗിക്കാം.

ഗണിതശാസ്ത്രം നന്നായി പഠിച്ച ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കാഷ് ഡെസ്കിൽ ഇരുന്നു, ശമ്പളം നൽകുന്നു. ഇവിടെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ പണത്തിനായി നമ്മുടെ അടുക്കൽ വരുന്നു. ഞങ്ങൾ അവനു മുഴുവൻ തുകയും കണക്കാക്കുകയും അത് ഞങ്ങളുടെ മേശപ്പുറത്ത് വ്യത്യസ്ത കൂമ്പാരങ്ങളാക്കി വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിന്റെ ബില്ലുകൾ ഇടുന്നു. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഓരോ ചിതയിൽ നിന്നും ഒരു ബില്ല് എടുത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അവന്റെ "ഗണിത ശമ്പള സെറ്റ്" നൽകുന്നു. ഒരേ മൂലകങ്ങളില്ലാത്ത ഗണം സമാന ഘടകങ്ങളുള്ള ഗണത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ബാക്കി ബില്ലുകൾ അയാൾക്ക് ലഭിക്കൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രം വിശദീകരിക്കുന്നു. ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്.

ഒന്നാമതായി, ഡെപ്യൂട്ടിമാരുടെ യുക്തി പ്രവർത്തിക്കും: "നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മറ്റുള്ളവർക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ എനിക്കല്ല!" കൂടാതെ, ഒരേ മൂല്യത്തിലുള്ള ബാങ്ക് നോട്ടുകളിൽ വ്യത്യസ്ത ബാങ്ക് നോട്ട് നമ്പറുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഉറപ്പുനൽകാൻ തുടങ്ങും, അതിനർത്ഥം അവ ഒരേ ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല എന്നാണ്. ശരി, ഞങ്ങൾ ശമ്പളം നാണയങ്ങളിൽ കണക്കാക്കുന്നു - നാണയങ്ങളിൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെ ഞെട്ടിപ്പിക്കുന്ന രീതിയിൽ തിരിച്ചുവിളിക്കാൻ തുടങ്ങും: വ്യത്യസ്ത നാണയങ്ങളിൽ ഉണ്ട് വ്യത്യസ്ത തുകഓരോ നാണയത്തിന്റെയും അഴുക്കും ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയും ആറ്റോമിക് ക്രമീകരണവും അദ്വിതീയമാണ്...

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉണ്ട് താൽപ്പര്യം ചോദിക്കുക: ഒരു മൾട്ടിസെറ്റിന്റെ മൂലകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളായി മാറുന്നതിനും തിരിച്ചും അതിനപ്പുറത്തുള്ള അതിർത്തി എവിടെയാണ്? അത്തരമൊരു ലൈൻ നിലവിലില്ല - എല്ലാം ജമാന്മാരാണ് തീരുമാനിക്കുന്നത്, ഇവിടെ ശാസ്ത്രം അടുത്തില്ല.

ഇവിടെ നോക്കുക. ഒരേ ഫീൽഡ് ഏരിയയുള്ള ഫുട്ബോൾ സ്റ്റേഡിയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. വയലുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മൾട്ടിസെറ്റ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഒരേ സ്റ്റേഡിയങ്ങളുടെ പേരുകൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പേരുകൾ വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ നമുക്ക് ധാരാളം ലഭിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരേ സമയം ഒരേ ഘടകങ്ങൾ ഒരു കൂട്ടവും മൾട്ടിസെറ്റും ആണ്. എത്ര ശരിയാണ്? ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ഷാമൻ-ഷുള്ളർ തന്റെ സ്ലീവിൽ നിന്ന് ഒരു ട്രംപ് എയ്‌സ് എടുത്ത് ഒരു സെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ മൾട്ടിസെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ ഞങ്ങളോട് പറയാൻ തുടങ്ങുന്നു. എന്തായാലും താൻ പറഞ്ഞത് ശരിയാണെന്ന് അവൻ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും.

ആധുനിക ജമാന്മാർ സെറ്റ് തിയറിയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിയാൽ മതി: ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? "ഒറ്റ മുഴുവനായി സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നത്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒറ്റ മൊത്തത്തിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്നൊന്നും കൂടാതെ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.

2018 മാർച്ച് 18 ഞായർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്ത ഒരു ടാംബോറിനൊപ്പം ജമാന്മാരുടെ നൃത്തമാണ്. അതെ, ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും അത് ഉപയോഗിക്കാനും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ അതിനായി അവർ ജമാന്മാരാണ്, അവരുടെ പിൻഗാമികളെ അവരുടെ കഴിവുകളും ജ്ഞാനവും പഠിപ്പിക്കാൻ, അല്ലാത്തപക്ഷം ജമാന്മാർ മരിക്കും.

തെളിവ് വേണോ? വിക്കിപീഡിയ തുറന്ന് "ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന താൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അവൾ നിലവിലില്ല. ഏത് സംഖ്യയുടെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിൽ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങളാണ് ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്ന സഹായത്തോടെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ചുമതല ഇതുപോലെയാണ്: "ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക." ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ജമാന്മാർക്ക് ഇത് പ്രാഥമികമായി ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യുമെന്നും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 12345 എന്ന നമ്പർ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ക്രമത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു കടലാസിൽ നമ്പർ എഴുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ നമ്പർ ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്തു. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

2. ലഭിച്ച ഒരു ചിത്രം ഞങ്ങൾ വെവ്വേറെ നമ്പറുകളുള്ള നിരവധി ചിത്രങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മുറിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനമല്ല.

3. വ്യക്തിഗത ഗ്രാഫിക് പ്രതീകങ്ങൾ അക്കങ്ങളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ അത് ഗണിതമാണ്.

12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 15 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷാമൻമാരുടെ "കട്ടിംഗ് ആൻഡ് തയ്യൽ കോഴ്സുകൾ" ഇവയാണ്. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഏത് നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിലാണ് നമ്മൾ സംഖ്യ എഴുതുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. അതിനാൽ, ഇൻ വ്യത്യസ്ത സംവിധാനങ്ങൾകണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമ്പർ സിസ്റ്റം സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സബ്സ്ക്രിപ്റ്റായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 12345 എന്ന വലിയ സംഖ്യയിൽ, എന്റെ തലയെ കബളിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള നമ്പർ 26 പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ ബൈനറി, ഒക്ടൽ, ഡെസിമൽ, ഹെക്സാഡെസിമൽ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ എഴുതാം. ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ ഓരോ ഘട്ടവും പരിഗണിക്കില്ല, ഞങ്ങൾ അത് ഇതിനകം ചെയ്തു. ഫലം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫലത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മീറ്ററിലും സെന്റിമീറ്ററിലും കണ്ടെത്തുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നതുപോലെയാണ്.

എല്ലാ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലെയും പൂജ്യം ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമില്ല. എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് അനുകൂലമായ മറ്റൊരു വാദമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ഒരു ചോദ്യം: ഒരു സംഖ്യയല്ലാത്തതിനെ ഗണിതത്തിൽ എങ്ങനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്? എന്താണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, അക്കങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നിലവിലില്ല? ജമാന്മാർക്ക്, എനിക്ക് ഇത് അനുവദിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക്, ഇല്ല. യാഥാർത്ഥ്യം അക്കങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല.

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളാണെന്നതിന്റെ തെളിവായി ലഭിച്ച ഫലം കണക്കാക്കണം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരേ അളവിലുള്ള വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുള്ള ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങൾഅവയെ താരതമ്യം ചെയ്ത ശേഷം, അതിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല.

എന്താണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം? അപ്പോഴാണ് ഫലം ഗണിത പ്രവർത്തനംസംഖ്യയുടെ മൂല്യം, ഉപയോഗിച്ച അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റ്, ആരാണ് ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നത് എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.