Kā pievienot frakcijas ar dažādiem saucējiem, ir likums. Vesela skaitļa dalīšana ar veselu skaitli. Parastās frakcijas. Divīzija ar atlikušo daļu

Jūsu bērns atveda mājasdarbs no skolas, un jūs nezināt, kā to atrisināt? Tad šī mini apmācība ir domāta tieši jums!

Kā pievienot decimāldaļas

Kolonnā ērtāk pievienot decimāldaļas. Lai veiktu papildināšanu decimāldaļas, jums jāievēro viens vienkāršs noteikums:

• Ciparam jābūt zem cipara, komatam zem komata.

Kā redzat piemērā, veselas vienības atrodas zem cita, desmitās un simtdaļas atrodas zem cita. Tagad mēs saskaitām skaitļus, neņemot vērā komatu. Ko darīt ar komatu? Komats tiek pārvietots uz vietu, kur tas stāvēja veselu skaitļu vietā.

Saskaitot frakcijas ar vienādiem saucējiem

Lai veiktu saskaitīšanu ar kopsaucēju, jums jāsaglabā saucējs nemainīts, jāatrod skaitītāju summa un jāiegūst daļa, kas būs kopsumma.

Saskaitot frakcijas ar dažādiem saucējiem, izmantojot kopīgā daudzkārtēja atrašanas metodi

Vispirms jāaplūko saucēji. Saucēji ir dažādi, vai tie nav dalāmi, vai ne pirmskaitļi... Vispirms jums jāpiesaista viens kopsaucējs, lai to izdarītu, ir vairāki veidi:

• 1/3 + 3/4 \u003d 13/12, lai atrisinātu šo piemēru, jāatrod mazākais kopējais vairākkārtējs (LCM), kas dalīsies ar 2 saucējiem. Lai apzīmētu mazāko a un b reizinājumu - LCM (a; b). IN šo piemēru LCM (3; 4) \u003d 12. Mēs pārbaudām: 12: 3 \u003d 4; 12: 4 \u003d 3.
• Mēs reizinām faktorus un saskaitām iegūtos skaitļus, iegūstam 13/12 - ne pareiza frakcija.

• Lai nepareizu daļu pārveidotu par pareizu, daliet skaitītāju ar saucēju, mēs iegūstam veselu skaitli 1, atlikums 1 ir skaitītājs un 12 ir saucējs.

Frakciju pievienošana, reizinot ar krustojumu

Ir vēl viens veids, kā pievienot frakcijas ar dažādiem saucējiem, izmantojot formulu “cross to cross”. Tas ir garantēts veids, kā izlīdzināt saucējus, tāpēc jums jāreizina skaitītāji ar vienas daļas saucēju un otrādi. Ja jūs esat tikai ieslēgts sākotnējais posms mācoties frakcijas, šī metode ir vienkāršākā un precīzākā, kā iegūt pareizu rezultātu, pievienojot frakcijas ar dažādiem saucējiem.

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Elojas Zenons noformulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir aporija "Ahileja un bruņurupucis". Tas izklausās šādi:

Pieņemsim, ka Ahilejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahilejam, lai veiktu šo distanci, bruņurupucis rāpo simts pakāpienus tajā pašā virzienā. Kad Ahilejs noskrien simts soļus, bruņurupucis pārmeklē vēl desmit pakāpienus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahilejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šis pamatojums bija loģisks šoks visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Hilberts ... Visi viņi vienā vai otrā veidā uzskatīja par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... pašreiz diskusijas turpinās, zinātnieku aprindām vēl nav izdevies nonākt pie kopēja viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētei tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fiziskās un filozofiskās pieejas. ; neviens no viņiem nav kļuvis par vispārpieņemtu jautājuma risinājumu ..."[Vikipēdija, Zenona Aporija"]. Visi saprot, ka viņus apmāna, bet neviens nesaprot, kas ir maldi.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri parādīja pāreju no lieluma uz. Šī pāreja ietver piemērošanu konstantu vietā. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgu mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zeno aporijai. Piemērojot mūsu parasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, domājot par inerci, abpusējam piemēro nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās kā laika dilatācija, līdz tā pilnībā apstājas brīdī, kad Ahilejs atrodas vienā līmenī ar bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahilejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja apgriežam pierasto loģiku, viss nostājas savās vietās. Ahilejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa segments ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi laiks, kas pavadīts tā pārvarēšanai, ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējais. Ja mēs šajā situācijā izmantojam jēdzienu "bezgalība", tad būtu pareizi teikt: "Ahileja bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci".

Kā jūs varat izvairīties no šiem loģiskajiem slazdiem? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nedodieties atpakaļ. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kurā Ahilejs veiks tūkstoš soļus, bruņurupucis rāpos simts pakāpienus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahilejs veiks vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis pārmeklēs simts soļus. Tagad Ahilejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina paziņojums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zeno aporijai "Ahilejs un bruņurupucis". Mums vēl ir jāizpēta, jāpārdomā un jāatrisina šī problēma. Un risinājums jāmeklē nevis bezgalīgi lielā skaitā, bet gan mērvienībās.

Vēl viena interesanta aporija Zeno stāsta par lidojošo bultiņu:

Lidojošā bulta ir nekustīga, jo ik brīdi tā ir miera stāvoklī un, tā kā tā ir miera stāvoklī katrā brīdī, tā vienmēr ir miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek ar skaidrību, ka katrā laika brīdī lidojošā bulta atpūšas dažādos kosmosa punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās pārvietošanās faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laikos, bet attālumu no tiem nevar noteikt. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, jums ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienlaikus uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, taču no tām nav iespējams noteikt pārvietošanās faktu (protams, aprēķiniem joprojām ir nepieciešami papildu dati, trigonometrija palīdzēs jūs). Ko es gribu pagriezt Īpaša uzmanība, tāpēc ir tā, ka divi laika punkti un divi telpas punkti ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu jaukt, jo tās sniedz dažādas iespējas pētījumiem.

trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Atšķirība starp kopu un multiset ir ļoti labi aprakstīta Wikipedia. Mēs skatāmies.

Kā redzat, "komplektā nedrīkst būt divi identiski elementi", bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par "multiset". Šādu absurda loģiku saprātīgas būtnes nekad nesapratīs. Tādā līmenī runā papagaiļi un apmācīti pērtiķi, kuriem trūkst inteliģences no vārda "absolūti". Matemātiķi darbojas kā parastie treneri, sludinot mums savas absurdās idejas.

Reiz tilta testu laikā tilta būvētāji inženieri atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, nespējīgais inženieris nomira zem sava radījuma drupām. Ja tilts izturētu slodzi, talantīgs inženieris būvētu citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "čur, es esmu mājā" vai drīzāk "matemātika studē abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas nesaraujami savieno tos ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Mēs ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam saskaitām visu summu un izklājam uz mūsu galda dažādās kaudzēs, kurās mēs ievietojam vienas nominālvērtības rēķinus. Tad mēs paņemam vienu rēķinu no katras kaudzes un pasniedzam matemātiķim viņa “matemātisko algas kopumu”. Mēs izskaidrojam matemātiku, ka pārējos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad viņš pierāda, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, darbosies deputātu loģika: "Jūs to varat piemērot citiem, jūs nevarat to piemērot man!" Turklāt mēs sāksim mums apliecināt, ka vienas nominālvērtības banknotēs ir dažādi nominālvērtību numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vieniem un tiem pašiem elementiem. Labi, skaitīsim algu monētās - uz monētām nav ciparu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: uz dažādām monētām ir atšķirīga summa katras monētas netīrumi, kristāla struktūra un atomu izvietojums ir unikāls ...

Un tagad man ir visvairāk interese Jautājiet: kur ir līnija, aiz kuras multiset elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Šādas līnijas nav - visu izšķir šamaņi, zinātne te nemaz netālu gulēja.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar tādu pašu laukumu. Lauku laukums ir vienāds, tas nozīmē, ka mums ir daudzskaitlis. Bet, ja ņemam vērā to pašu stadionu nosaukumus, mēs iegūstam daudz, jo nosaukumi ir atšķirīgi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa vienlaikus ir gan kopa, gan multiset. Kā tas ir pareizi? Un šeit matemātiķis-šamanis-šāvējs izvelk no piedurknes trumpja dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par kopumu, vai par multiset. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, sasaistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: ar ko viena kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez jebkādiem "domājamiem kā par vienu veselumu" vai "nedomājamam kopumā".

svētdiena, 2018. gada 18. marts

Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, taču tāpēc viņi ir šamaņi, lai iemācītu saviem pēcnācējiem viņu prasmes un gudrību, pretējā gadījumā šamaņi vienkārši izmirs.

Nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapas ciparu summu. Tā neeksistē. Matemātikā nav formulas, pēc kuras jūs varētu atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiskie simboli, ar kuras palīdzību mēs pierakstām skaitļus un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas apzīmē jebkuru skaitli". Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi - tas ir elementāri.

Apskatīsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Tāpēc mums būs numurs 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Pārejam secīgi visas darbības.

1. Mēs pierakstām numuru uz papīra. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli par grafisko skaitļa simbolu. Šī nav matemātiska darbība.

2. Mēs sagriežam vienu iegūto attēlu vairākos attēlos ar atsevišķiem numuriem. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.

3. Konvertējiet atsevišķus grafiskos simbolus uz skaitļiem. Šī nav matemātiska darbība.

4. Saskaitiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.

12345 ciparu summa ir 15. Tie ir matemātiķu izmantotie šamaņu "griešanas un šūšanas kursi". Bet tas vēl nav viss.

No matemātikas viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā mēs rakstām skaitli. Tātad, iekšā dažādas sistēmas rēķinot viena un tā paša skaitļa ciparu summu, tā būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma ir norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. Ar lielu skaitu 12345 es negribu mānīt galvu, apsveriet skaitli 26 no raksta par. Uzrakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neskatīsimies uz katru soli mikroskopā, mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.

Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tas pats, kas, ja jūs iegūtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus, nosakot taisnstūra laukumu metros un centimetros.

Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienāda, un tai nav ciparu summas. Tas ir vēl viens arguments tam, ka. Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā tiek noteikts kaut kas tāds, kas nav skaitlis? Kas, matemātiķiem, pastāv tikai cipari? Šamaņiem es to varu atļaut, bet zinātniekiem - nē. Realitāte nebūt nav saistīta ar skaitļiem.

Rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja noved pie vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša lieluma mērvienībām dažādi rezultāti pēc to salīdzināšanas tas nozīmē, ka tam nav nekāda sakara ar matemātiku.

Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad rezultāts matemātiskā darbība nav atkarīgs no skaitļa vērtības, izmantotās mērvienības un no tā, kurš veic šo darbību.

Atver durvis un saka:

Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Meitene! Šī ir laboratorija, lai pētītu dvēseles bezšķirīgo svētumu debesīs pacelšanās laikā! Halo augšā un bulta uz augšu. Kāda vēl tualete?

Sieviete ... Nimbus augšā un lejupvērstā bultiņa ir vīrieši.

Ja jums ir šāds dizaina mākslas darbs jūsu acu priekšā vairākas reizes dienā,

Tad nav pārsteigums, ka pēkšņi automašīnā atrodat dīvainu ikonu:

Personīgi es pielieku pūles sev, lai kakojošā cilvēkā (viena bilde) es redzētu mīnus četrus grādus (vairāku attēlu kompozīcija: mīnus zīme, ceturtais numurs, grādu apzīmējums). Un es nedomāju, ka šī meitene ir dumja, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir grafisku attēlu uztveres stereotips. To matemātiķi mums nemitīgi māca. Lūk, piemērs.

1A nav "mīnus četri grādi" vai "viens a". Tas ir "cilvēks pooping" vai skaitlis "divdesmit seši" heksadecimālā apzīmējumā. Tie cilvēki, kas pastāvīgi strādā šajā skaitļu sistēmā, automātiski uztver skaitli un burtu kā vienu grafisku simbolu.

Piezīme! Pirms rakstāt savu galīgo atbildi, pārliecinieties, vai varat samazināt saņemto daļu.

Frakciju atņemšana ar tādu pašu saucēju, piemēri:

,

,

Atņemot pareizo daļu no vienas.

Ja no vienības ir nepieciešams atņemt daļu, kas ir pareizi, vienība tiek pārnesta nepareizas daļas formā, tās saucējs ir vienāds ar atņemamās daļas saucēju.

Pareizas daļas atņemšanas piemērs no vienas:

Atņemtās frakcijas saucējs = 7 , t.i., mēs pārstāvam vienību kā nepareizu daļu 7/7 un atņemam to saskaņā ar likumu, ar kuru atņem frakcijas ar vienādiem saucējiem.

Pareizas daļas atņemšana no veselā skaitļa.

Frakciju atņemšanas noteikumi - pareizi no vesela skaitļa (dabiskais skaitlis):

• Dotās frakcijas, kurās ir vesela skaitļa daļa, mēs pārtulkojam nepareizās. Mēs iegūstam normālus terminus (nav svarīgi, vai tiem ir atšķirīgi saucēji), kurus mēs skaitām pēc iepriekš dotajiem noteikumiem;
• Tālāk mēs aprēķinām saņemto frakciju starpību. Rezultātā mēs gandrīz atradīsim atbildi;
• Mēs veicam apgriezto pārveidošanu, tas ir, mēs atbrīvojamies no nepareizās frakcijas - mēs izvēlamies visu daļu frakcijā.

No veselā skaitļa atņemiet pareizo daļu: attēlojiet dabisko skaitli kā jauktu skaitli. Tie. mēs ieņemam vienību dabiskajā skaitlī un pārvēršam to neregulāras daļas formā, saucējs ir tāds pats kā atņemtajai daļai.

Frakciju atņemšanas piemērs:

Piemērā mēs nomainījām vienību ar nepareizu daļu 7/7 un 3 vietā pierakstījām jauktu skaitli un no frakcionētās daļas atņemām daļu.

Frakciju atņemšana ar dažādiem saucējiem.

Vai, citiem vārdiem sakot, dažādu frakciju atņemšana.

Noteikums frakciju atņemšanai ar dažādiem saucējiem.Lai atņemtu frakcijas ar dažādiem saucējiem, vispirms ir nepieciešams šīs frakcijas novest līdz zemākajam kopsaucējam (LCN) un tikai pēc tam veikt atņemšanu kā ar frakcijām ar tādu pašu saucēju.

Vairāku frakciju kopsaucējs ir LCM (vismazāk izplatīts vairākkārtējs) dabiskie skaitļi, kas ir šo frakciju saucēji.

Uzmanību! Ja iekšā galīgā frakcija Tā kā skaitītājam un saucējam ir kopīgi faktori, daļa ir jāatceļ. Slikta daļa ir vislabāk attēlota kā jaukta daļa. Atņemšanas rezultāta atstāšana, kur iespējams, neatceļot daļu, ir nepabeigts piemēra risinājums!

Procedūra frakciju atņemšanai ar dažādiem saucējiem.

• atrast LCM visiem saucējiem;
• ielieciet papildu faktorus visām frakcijām;
• reizināt visus skaitītājus ar papildu koeficientu;
• mēs ierakstām iegūtos produktus skaitītājā, parakstot kopsaucēju visās daļās;
• atņem frakciju skaitītājus, zem starpības parakstot kopsaucēju.

Tādā pašā veidā tiek veikta frakciju saskaitīšana un atņemšana, ja skaitītājā ir burti.

Frakciju atņemšana, piemēri:

Jauktu frakciju atņemšana.

Kad atņemot jauktās frakcijas (skaitļi) atsevišķi no visas daļas, atņemiet visu daļu un atņemiet daļu no frakcijas.

Pirmais variants ir atņemt jauktās frakcijas.

Ja daļējas daļas tas pats nosauktā un atņemtās daļas daļas skaitītājs (no tā atņemt) ≥ atņemtās (atņemt) daļējās daļas skaitītājs.

Piemēram:

Otrā iespēja ir atņemt jauktās frakcijas.

Kad frakcionētas daļas savādāk saucēji. Sākumā frakcionētās daļas mēs novedam pie kopsaucēja, un pēc tam mēs atņemam visu daļu no veseluma un daļu no frakcionētās daļas.

Piemēram:

Trešā jaukto frakciju atņemšanas iespēja.

Samazinātā daļa ir mazāka par atņemto daļu.

Piemērs:

Tā kā frakcionētajām daļām ir dažādi saucēji, kas nozīmē, tāpat kā otrajā variantā, mēs vispirms parastās frakcijas novedam pie kopsaucēja.

Atņemto daļu daļas skaitītājs ir mazāks nekā atņemto daļu daļas skaitītājs.3 < 14. Tātad, mēs ņemam vienību no visas daļas un novedam šo vienību neregulāras frakcijas formā ar tas pats saucējs un skaitītājs = 18.

Skaitītājā no labās puses mēs uzrakstām skaitītāju summu, pēc tam no labās puses atveram skaitītājā iekavas, tas ir, mēs visu reizinām un dodam līdzīgus. Mēs saucējā neatveram iekavas. Ir ierasts atstāt darbu saucējos. Mēs iegūstam:

Viena no vissvarīgākajām zinātnēm, kuras pielietojumu var redzēt tādās disciplīnās kā ķīmija, fizika un pat bioloģija, ir matemātika. Šīs zinātnes izpēte ļauj attīstīt dažas garīgās īpašības, uzlabot spēju koncentrēties. Viena no tēmām, kurai "Matemātikas" kursā ir jāpievērš īpaša uzmanība, ir frakciju saskaitīšana un atņemšana. Daudziem studentiem ir grūti to izpētīt. Varbūt mūsu raksts palīdzēs jums labāk izprast šo tēmu. Kā atņemt frakcijas ar vienādiem saucējiem Frakcijas ir tie paši skaitļi, ar kuriem var iegūt dažādas darbības... Viņi atšķiras no veseliem skaitļiem saucēja klātbūtnē. Tāpēc, veicot darbības ar daļām, jums jāizpēta dažas to funkcijas un noteikumi. Vienkāršākais gadījums ir parasto frakciju atņemšana, kuru saucējus attēlo kā vienu un to pašu skaitli. Šī darbība nebūs sarežģīta, ja zināt vienkāršu likumu: Lai no vienas frakcijas atņemtu otro, no samazinātās daļas skaitītāja jāatņem atņemtās daļas skaitītājs. Mēs ierakstām šo skaitli starpības skaitītājā un saucēju atstājam to pašu: k / m - b / m \u003d (k-b) / m. Frakciju, kuru saucēji ir vienādi, atņemšanas piemēri 7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19. Lai iegūtu "4", atņemiet no atdalītās frakcijas "3" skaitītāju no frakcijas "7" skaitītāja. Mēs ierakstām šo skaitli atbildes skaitītājā, un saucējā mēs ievietojam to pašu skaitli, kas bija pirmās un otrās daļas saucējos - "19". Zemāk redzamajā attēlā ir parādīti vēl daži līdzīgi piemēri. Apsveriet sarežģītāku piemēru, kur tiek atņemtas frakcijas ar vienādiem saucējiem: 29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47. No samazinātās daļas "29" skaitītāja, pēc kārtas atņemot visu nākamo daļu skaitītājus - "3", "8", "2", "7". Rezultātā mēs iegūstam rezultātu "9", kuru ierakstām atbildes skaitītājā, un saucējā pierakstām skaitli, kas atrodas visu šo frakciju saucējos - "47". Pievienojot frakcijas ar tādu pašu saucēju Parasto frakciju saskaitīšana un atņemšana tiek veikta pēc tā paša principa. Lai pievienotu frakcijas, kuru saucēji ir vienādi, jums jāpievieno skaitītāji. Rezultātā iegūtais skaitlis ir summas skaitītājs, un saucējs paliek nemainīgs: k / m + b / m \u003d (k + b) / m. Apskatīsim, kā tas izskatās, ar piemēru: 1/4 + 2/4 = 3/4. Frakcijas pirmā termina skaitītājam - "1" - pievienojiet frakcijas otrā termina skaitītāju - "2". Rezultāts - "3" - tiek ierakstīts summas skaitītājā, un saucējs ir tāds pats kā daļās - "4". Daļas ar dažādiem saucējiem un to atņemšana Mēs jau esam pārbaudījuši darbību ar daļām, kurām ir viens un tas pats saucējs. Kā redzat, zinot vienkāršus noteikumus, ir diezgan viegli atrisināt šādus piemērus. Bet ko tad, ja jums ir jāveic darbība ar daļām, kurām ir dažādi saucēji? Daudzi vidusskolēni ir sajaukti ar šiem piemēriem. Bet pat šeit, ja jūs zināt risinājuma principu, piemēri jums vairs nebūs grūti. Šeit ir arī noteikums, bez kura šādu frakciju risināšana ir vienkārši neiespējama. Lai atņemtu frakcijas ar dažādiem saucējiem, jums tās jānoved pie tā paša zemākā saucēja. Mēs vairāk runāsim par to, kā to izdarīt. Frakcijas īpašība Lai vienā un tajā pašā saucējā nogādātu vairākas frakcijas, šķīdumā jāizmanto galvenā frakcijas īpašība: pēc skaitītāja un saucēja dalīšanas vai reizināšanas ar to pašu skaitli jūs iegūstat daļu, kas ir vienāda ar doto. Tā, piemēram, daļai 2/3 var būt tādi saucēji kā "6", "9", "12" utt., Tas ir, tas var būt jebkura skaitļa forma, kas ir "3" reizinājums. Pēc tam, kad mēs reizinām skaitītāju un saucēju ar "2", mēs iegūstam daļu 4/6. Pēc tam, kad mēs reizinām sākotnējās daļas skaitītāju un saucēju ar "3", mēs iegūstam 6/9, un, ja mēs veicam to pašu darbību ar skaitli "4", mēs iegūstam 8/12. Ar vienu vienlīdzību to var rakstīt šādi: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12… Kā pārvērst vairākas frakcijas vienā saucējā Apsvērsim, kā vairākas frakcijas novest pie viena saucēja. Piemēram, ņemsim frakcijas, kas parādītas zemāk esošajā attēlā. Pirmkārt, jums jānosaka, kurš skaitlis var kļūt par saucēju visiem tiem. Lai to atvieglotu, mēs faktorizējam pieejamos saucējus. Nevar dalīt koeficientu 1/2 un 2/3. Saucējam 7/9 ir divi faktori 7/9 \u003d 7 / (3 x 3), frakcijas saucējs 5/6 \u003d 5 / (2 x 3). Tagad ir jānosaka, kuri faktori būs vismazākie visām šīm četrām daļām. Tā kā saucēja pirmajā frakcijā ir skaitlis "2", kas nozīmē, ka tai jābūt visos saucējos, 7/9 frakcijā ir divi trīskārši, kas nozīmē, ka abiem jābūt arī saucējā. Ņemot vērā iepriekš minēto, mēs nosakām, ka saucējs sastāv no trim faktoriem: 3, 2, 3 un ir vienāds ar 3 x 2 x 3 \u003d 18. Apsveriet pirmo daļu - 1/2. Tās saucējā ir "2", bet nav viena cipara "3", bet tiem jābūt diviem. Lai to izdarītu, mēs reizinām saucēju ar diviem trīskāršiem, bet, atbilstoši frakcijas īpašībai, mums arī reizināt skaitītāju ar diviem trīskāršiem: 1/2 \u003d (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) \u003d 9/18. Līdzīgi mēs veicam darbības ar atlikušajām daļām. 2/3 - saucējā trūkst viena trīs un viena divas: 2/3 \u003d (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) \u003d 12/18. 7/9 vai 7 / (3 x 3) - saucējā nav divu: 7/9 \u003d (7 x 2) / (9 x 2) \u003d 14/18. 5/6 vai 5 / (2 x 3) - saucējam trūkst trīs: 5/6 \u003d (5 x 3) / (6 x 3) \u003d 15/18. Kopā tas izskatās šādi: Kā atņemt un saskaitīt frakcijas ar dažādiem saucējiem Kā jau minēts iepriekš, lai saskaitītu vai atņemtu frakcijas ar dažādiem saucējiem, tās jāsamazina līdz vienam un tam pašam saucējam un pēc tam jāizmanto noteikumi par to, kā atņemt frakcijas ar tādu pašu saucēju, kas jau ir aprakstīts. Apskatīsim šo piemēru: 4/18 - 3/15. Atrodiet 18 un 15 daudzkārtni: Numuru 18 veido 3 x 2 x 3. Skaitlis 15 sastāv no 5 x 3. Kopējais daudzkārtnis būs 5 x 3 x 3 x 2 \u003d 90. Pēc saucēja atrašanas ir jāaprēķina koeficients, kas katrai daļai būs atšķirīgs, tas ir, skaitlis, ar kuru būs jāreizina ne tikai saucējs, bet arī skaitītājs. Lai to izdarītu, mēs sadalām atrasto skaitli (kopējo daudzkārtni) ar tās frakcijas saucēju, kurai jānosaka papildu faktori. 90 dalīts ar 15. Iegūtais skaitlis "6" būs koeficients 3/15. 90 dalīts ar 18. Rezultātā iegūtais skaitlis "5" būs reizinātājs skaitlim 4/18. Nākamais solis mūsu risinājumā ir katras frakcijas novirzīšana uz saucēju "90". Kā tas tiek darīts, mēs jau esam apsprieduši. Apskatīsim, kā tas ir rakstīts piemērā: (4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) \u003d 20/90 - 18/90 \u003d 2/90 \u003d 1/45. Ja frakcijas ir ar maziem skaitļiem, tad var noteikt kopsaucēju, kā parādīts zemāk redzamajā piemērā. Līdzīgi to ražo un tam ir dažādi saucēji. Atņemšana un veselas daļas Mēs jau detalizēti aplūkojām frakciju atņemšanu un to pievienošanu. Bet kā atņemt, ja daļai ir visa daļa? Vēlreiz izmantosim dažus noteikumus: Visas frakcijas, kurām ir vesela skaitļa daļa, jāpārvērš par nepareizām. Runājot vienkāršiem vārdiem, noņemiet visu daļu. Lai to izdarītu, reiziniet veselās daļas numuru ar frakcijas saucēju, pievienojiet iegūto produktu skaitītājam. Pēc šīm darbībām iegūtais skaitlis ir nepareizās daļas skaitītājs. Saucējs paliek nemainīgs. Ja daļām ir atšķirīgi saucēji, jums tās jānoved pie viena un tā paša. Saskaitiet vai atņemiet tos pašus saucējus. Ja saņemat nepareizu daļu, atlasiet visu daļu. Ir vēl viens veids, kā jūs varat saskaitīt un atņemt daļas ar veselām daļām. Šim nolūkam darbības tiek veiktas atsevišķi ar veselām daļām un atsevišķi darbības ar daļām, un rezultāti tiek reģistrēti kopā. Iepriekš minētais piemērs sastāv no daļām, kurām ir viens un tas pats saucējs. Gadījumā, ja saucēji ir atšķirīgi, tie jāsamazina līdz vieniem un pēc tam jāveic darbības, kā parādīts piemērā. Frakciju atņemšana no veselā skaitļa Vēl viens no darbību veidiem ar daļām ir gadījums, kad daļa ir jāatņem no pirmā acu uzmetiena līdzīgs piemērs šķiet grūti atrisināt. Tomēr šeit viss ir diezgan vienkārši. Lai to atrisinātu, vesels skaitlis jāpārvērš par daļu un ar tādu pašu saucēju, kas atrodas atņemtajā frakcijā. Tālāk mēs veicam atņemšanu, kas ir līdzīga atņemšanai, ar tiem pašiem saucējiem. Piemēram, tas izskatās šādi: 7 - 4/9 \u003d (7 x 9) / 9 - 4/9 \u003d 53/9 - 4/9 \u003d 49/9. Šajā rakstā sniegtā frakciju atņemšana (6. pakāpe) ir pamats sarežģītāku piemēru risināšanai, kas tiek apsvērti nākamajās klasēs. Šīs tēmas zināšanas pēc tam tiek izmantotas, lai atrisinātu funkcijas, atvasinājumus utt. Tāpēc ir ļoti svarīgi saprast un saprast iepriekš aprakstītās darbības ar daļām. Darbības ar daļām. Uzmanību! Ir papildu materiāli 555. īpašajā sadaļā. Tiem, kas ir "ne pārāk ..." Un tiem, kas ir "ļoti vienmērīgi ...") Tātad, kas ir frakcijas, frakciju veidi, pārveidojumi - mēs atcerējāmies. Sāksim ķerties pie galvenā jautājuma. Ko jūs varat darīt ar daļām? Jā, viss, kas ir ar parastajiem skaitļiem. Saskaitīt, atņemt, reizināt, dalīt. Visas šīs darbības ar aiz komata frakcijas neatšķiras no darbībām ar veseliem skaitļiem. Patiesībā tāpēc viņi ir labi, aiz komata. Vienīgais ir tas, ka komats ir jāliek pareizi. Jaukti skaitļi, kā jau teicu, vairumam darbību ir maz noderīgas. Tie joprojām jāpārvērš parastās frakcijās. Bet darbības ar parastās frakcijas būs viltīgāks. Un vēl daudz svarīgāk! Ļaujiet man jums atgādināt: visas darbības ar frakcionētiem izteicieniem ar burtiem, sinusiem, nezināmiem utt. un tā tālāk neatšķiras no darbībām ar parastajām daļām! Daļējas operācijas ir pamats visai algebrai. Šī iemesla dēļ mēs šeit ļoti detalizēti analizēsim visu šo aritmētiku. Frakciju saskaitīšana un atņemšana. Ikviens var saskaitīt (atņemt) frakcijas ar vienādiem saucējiem (es ļoti ceru!). Nu, ļaujiet man jums atgādināt pilnīgi aizmāršīgi: saskaitot (atņemot) saucēju nemainās. Skaitītāji tiek saskaitīti (atņemti), lai iegūtu rezultāta skaitītāju. Tips: Īsāk sakot, in vispārējs skats: Un, ja saucēji ir atšķirīgi? Tad, izmantojot frakcijas pamatīpašību (šeit tas atkal noderēja!), Mēs saucējus padarām vienādus! Piemēram: Šeit mums bija jāizveido 4/10 daļa no 2/5. Vienīgā nolūkā padarīt saucējus vienādus. Ņemiet vērā, ka katram gadījumam 2/5 un 4/10 ir tā pati frakcija! Tikai 2/5 mums ir neērti, un 4/10 vispār nav nekas. Starp citu, tā ir visu matemātikas problēmu risināšanas būtība. Kad mēs esam no neērti izteicieni dara tas pats, bet jau ērts risinājumam. Vēl viens piemērs: Situācija ir līdzīga. Šeit mēs izveidojam 48 no 16. Vienkārši reizinot ar 3. Tas viss ir skaidrs. Bet šeit mēs saskārāmies ar kaut ko līdzīgu: Kā būt ?! Deviņus no septiņiem ir grūti uztaisīt! Bet mēs esam gudri, mēs zinām noteikumus! Mēs pārveidojamies katrsdaļu, lai saucēji kļūtu vienādi. To sauc par "novest pie kopsaucējs»: Kā! Kā es zināju par 63? Ļoti vienkārši! 63 ir skaitlis, kas vienmērīgi dalās ar 7 un 9 vienlaikus. Šādu skaitli vienmēr var iegūt, reizinot saucējus. Ja reizināsim kādu skaitli, piemēram, ar 7, tad rezultāts noteikti dalīsies ar 7! Ja jums jāpievieno (jāatņem) vairākas frakcijas, tas nav jādara pa pāriem, pa soļiem. Jums vienkārši jāatrod saucējs, kas ir kopīgs visām frakcijām, un katra frakcija jānogādā tieši šajā saucējā. Piemēram: Un kas ir kopsaucējs? Var, protams, reizināt 2, 4, 8 un 16. Mēs saņemam 1024. Murgs. Vieglāk ir saprast, ka 16 ir pilnīgi dalāms ar 2, 4 un 8. Tāpēc no šiem skaitļiem ir viegli iegūt 16. Šis skaitlis būs kopsaucējs. 1/2 pārvērtīsies par 8/16, 3/4 par 12/16 utt. Starp citu, ja par kopsaucēju ņemsim 1024, arī viss izdosies, galu galā viss saruks. Tikai ne visi tiks pie šī mērķa, aprēķinu dēļ ... Pabeidziet piemēru pats. Nav logaritms ... Vajadzētu būt 29/16. Tātad, ceru, ka frakciju saskaitīšana (atņemšana) ir skaidra? Protams, ir vieglāk strādāt saīsinātā versijā, ar papildu faktoriem. Bet šis prieks ir pieejams tiem, kas godīgi strādāja zemākas pakāpes... Un es neko neaizmirsu. Un tagad mēs darīsim tās pašas darbības, bet ne ar daļām, bet ar frakcionēti izteicieni... Šeit būs jauns grābeklis, jā ... Tātad mums jāpievieno divi daļēji izteicieni: Mums jāpadara vienādi arī saucēji. Un tikai ar palīdzību pavairošana! Tātad frakcijas pamatīpašība nosaka. Tāpēc es nevaru vienu pievienot nosaukuma pirmajai daļai. (bet tas būtu jauki!). Bet, ja reizināt saucējus, redzat, viss augs kopā! Tātad mēs pierakstām frakcijas līniju, mēs atstājam tukšu vietu uz augšu, pēc tam to pievienojam un zemāk mēs uzrakstām saucēju reizinājumu, lai neaizmirstu: Un, protams, mēs neko nepavairojam labajā pusē, neatveram iekavas! Un tagad, aplūkojot labās puses kopsaucēju, mēs izdomājam: lai pirmajā reizinājumā iegūtu saucēju x (x + 1), šīs daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar (x + 1) ). Un otrajā daļā - pa x. Lūk, kas notiek: Piezīme! Šeit parādījās iekavas! Tas ir grābeklis, uz kura kāpj daudzi. Protams, ne iekavās, bet to neesamībā. Iekavas parādās tāpēc, ka mēs vairojamies vesels skaitītājs un vesels saucējs! Un nevis viņu atsevišķie gabali ... Labās puses skaitītājā mēs ierakstām skaitītāju summu, viss ir kā skaitliskās daļās, tad mēs atveram iekavas labās puses skaitītājā, t.i. mēs visu reizinām un dodam līdzīgus. Kronšteinu atvēršana saucējos, kaut ko reizināt nav nepieciešama! Kopumā darbs saucējos (jebkuros) vienmēr ir patīkamāks! Mēs iegūstam: Tātad mēs saņēmām atbildi. Šķiet, ka process ir garš un grūts, taču tas ir atkarīgs no prakses. Atrisiniet piemērus, pierodiet, viss kļūs vienkāršs. Tie, kas savlaicīgi apguvuši frakcijas, visas šīs darbības veic ar vienu roku, mašīnā! Un vēl viena piezīme. Daudzi slaveni nodarbojas ar frakcijām, bet pieķeras piemēriem ar vesels numuri. Piemēram: 2 + 1/2 + 3/4 \u003d? Kur piestiprināt deuci? Nekur nav jāpiestiprina, jāizveido daļa no diviem. Tas nav viegli, tas ir ļoti vienkārši! 2 \u003d 2/1. Kā šis. Jebkuru veselu skaitli var ierakstīt kā daļu. Skaitītājs ir pats skaitlis, saucējs ir viens. 7 ir 7/1, 3 ir 3/1 utt. Līdzīgi ir ar burtiem. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 utt. Un tad mēs strādājam ar šīm daļām saskaņā ar visiem noteikumiem. Nu, turklāt - atņemot frakcijas, zināšanas ir atsvaidzinātas. Mēs atkārtojām frakciju pārveidošanu no viena veida uz citu. Jūs varat un pārbaudīt. Vai mēs nedaudz atrisināsim?) Aprēķināt: Atbildes (nesakārtoti): 71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6 Frakciju reizināšana / dalīšana - nākamajā nodarbībā. Ir arī uzdevumi visām darbībām ar daļām. Ja jums patīk šī vietne ... Starp citu, man jums ir vēl pāris interesantas vietnes.) Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju pārbaudi. Mācīšanās - ar interesi!) jūs varat iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Parakstieties uz durvīm

 

---

Lasīt:
Projekts "mājās gatavots brūkleņu tīrīšanas veids" Mājas magoņu kūka: labākās receptes Kā atriebties cilvēkam, kurš tevi aizvainoja, sabojā ienaidnieka dzīvi Kā garšīgi pagatavot saldētus dārzeņus, netērējot daudz laika un pūļu Kā tiek aprēķināts piespēļu rezultāts