Patvaļīgas piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar tās sānu virsmu laukumu summu. Ir jēga dot īpašu formulu šī laukuma izteikšanai regulāras piramīdas gadījumā. Tātad, dosim regulāru piramīdu, kuras pamatnē atrodas regulārs n-stūris, kura mala ir vienāda ar a. Lai h ir sānu virsmas augstums, ko sauc arī par to apotēms piramīdas. Vienas sānu virsmas laukums ir 1/2ah, un visa sānu virsma piramīdas laukums ir vienāds ar n/2ha Tā kā na ir piramīdas pamatnes perimetrs, tad atrasto formulu varam uzrakstīt formā:

Sānu virsmas laukums regulāras piramīdas reizinājums ir vienāds ar tās apotēmu un pusi no pamatnes perimetra.

Attiecībā uz kopējais virsmas laukums, tad mēs vienkārši pievienojam pamatnes laukumu sānu laukumam.

Ierakstīta un norobežota sfēra un sfēra. Jāņem vērā, ka piramīdā ierakstītās sfēras centrs atrodas piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plakņu krustpunktā. Aprakstītās sfēras centrs netālu no piramīdas atrodas plakņu krustpunktā, kas šķērso piramīdas malu viduspunktus un ir tām perpendikulāri.

Nocirsta piramīda. Ja piramīdu pārgriež plakne, kas ir paralēla tās pamatnei, tad starp griešanas plakni un pamatni norobežoto daļu sauc. nošķelta piramīda. Attēlā redzama piramīda, kas atmet tās daļu, kas atrodas virs griešanas plaknes, iegūstam nošķeltu piramīdu. Ir skaidrs, ka mazā izmestā piramīda ir homotētiska lielajai piramīdai ar viendabīguma centru virsotnē. Līdzības koeficients ir vienāds ar augstumu attiecību: k=h 2 /h 1, vai sānu malas, vai citu atbilstošu lineārie izmēri abas piramīdas. Mēs zinām, ka līdzīgu figūru laukumi ir saistīti kā lineāru izmēru kvadrāti; tātad abu piramīdu pamatu laukumi (t.i., nošķeltas piramīdas pamatu laukums) ir saistīti kā

Šeit S 1 ir apakšējās pamatnes laukums, un S 2 ir nošķeltas piramīdas augšējās pamatnes laukums. Piramīdu sānu virsmas ir vienādās attiecībās. Līdzīgs noteikums pastāv apjomiem.

Līdzīgu ķermeņu apjomi ir saistīti kā to lineāro izmēru kubi; piemēram, piramīdu tilpumi ir saistīti kā to augstumu un pamatu laukuma reizinājums, no kura uzreiz tiek iegūts mūsu likums. Tam ir pilnīgi vispārīgs raksturs un tiešā veidā izriet no tā, ka tilpumam vienmēr ir garuma trešās pakāpes dimensija. Izmantojot šo noteikumu, mēs iegūstam formulu, kas izsaka nošķeltas piramīdas tilpumu caur pamatņu augstumu un laukumu.

Dota nošķelta piramīda ar augstumu h un pamatnes laukumiem S 1 un S 2. Ja iedomājamies, ka tā ir paplašināta līdz pilnai piramīdai, tad kā attiecības S 2 /S 1 sakni var viegli atrast līdzības koeficientu starp pilno piramīdu un mazo piramīdu. Nocirstas piramīdas augstumu izsaka kā h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Tagad mums ir nošķeltas piramīdas tilpums (V 1 un V 2 apzīmē pilnās un mazās piramīdas tilpumus)

nošķeltas piramīdas tilpuma formula

Atvasināsim formulu regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukumam S caur pamatu perimetriem P 1 un P 2 un apotēmas garumu a. Mēs domājam tieši tādā pašā veidā, kā atvasinot tilpuma formulu. Piramīdas papildināšana augšējā daļa, mums ir P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, kur k ir līdzības koeficients, P 1 un P 2 ir pamatu perimetrs, un S 1 un S 2 ir sānu virsmu laukumi. attiecīgi visu iegūto piramīdu un tās augšējo daļu. Sānu virsmai mēs atrodam (a 1 un a 2 ir piramīdu apotēmi, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

regulāras nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukuma formula

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieprasījumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi e-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt jūs par unikālus piedāvājumus, akcijas un citi pasākumi un gaidāmie pasākumi.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Nepieciešamības gadījumā - likumā noteiktajā kārtībā, tiesvedības kārtībā, in tiesa, un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai Krievijas Federācijas valdības aģentūru pieprasījumiem - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Cilindrs ir ģeometrisks ķermenis, ko ierobežo divas paralēlas plaknes un cilindriska virsma. Rakstā mēs runāsim par to, kā atrast cilindra laukumu, un, izmantojot formulu, mēs kā piemēru atrisināsim vairākas problēmas.

Cilindram ir trīs virsmas: augšdaļa, pamatne un sānu virsma.

Cilindra augšdaļa un pamatne ir apļi, un tos ir viegli identificēt.

Ir zināms, ka apļa laukums ir vienāds ar πr 2. Tāpēc divu apļu laukuma (cilindra augšdaļa un pamatne) formula būs πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Trešā, cilindra sānu virsma, ir cilindra izliektā siena. Lai labāk iztēlotu šo virsmu, mēģināsim to pārveidot, lai iegūtu atpazīstamu formu. Iedomājieties, ka cilindrs ir parasts skārda, kam nav ne augšējā vāka, ne apakšas. Izdarīsim vertikālu griezumu sānu sienā no kārbas augšdaļas līdz pamatnei (attēlā 1. darbība) un mēģināsim pēc iespējas atvērt (iztaisnot) iegūto figūru (2. solis).

Pēc tam, kad iegūtā burka ir pilnībā atvērta, mēs redzēsim pazīstamu figūru (3. darbība), tas ir taisnstūris. Taisnstūra laukumu ir viegli aprēķināt. Bet pirms tam atgriezīsimies uz brīdi pie sākotnējā cilindra. Sākotnējā cilindra virsotne ir aplis, un mēs zinām, ka apkārtmērs tiek aprēķināts pēc formulas: L = 2πr. Attēlā tas ir atzīmēts sarkanā krāsā.

Kad cilindra sānu siena ir pilnībā atvērta, mēs redzam, ka apkārtmērs kļūst par iegūtā taisnstūra garumu. Šī taisnstūra malas būs apkārtmērs (L = 2πr) un cilindra augstums (h). Taisnstūra laukums ir vienāds ar tā malu reizinājumu - S = garums x platums = L x h = 2πr x h = 2πrh. Rezultātā mēs ieguvām formulu cilindra sānu virsmas laukuma aprēķināšanai.

Formula cilindra sānu virsmas laukumam
S pusē = 2πrh

Cilindra kopējais virsmas laukums

Visbeidzot, ja pievienojam visu trīs virsmu laukumu, mēs iegūstam cilindra kopējās virsmas laukuma formulu. Cilindra virsmas laukums ir vienāds ar cilindra augšdaļas laukumu + cilindra pamatnes laukumu + cilindra sānu virsmas laukumu vai S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Dažreiz šī izteiksme tiek uzrakstīta identiski formulai 2πr (r + h).

Formula cilindra kopējās virsmas laukumam
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – cilindra rādiuss, h – cilindra augstums

Cilindra virsmas laukuma aprēķināšanas piemēri

Lai saprastu iepriekš minētās formulas, mēģināsim aprēķināt cilindra virsmas laukumu, izmantojot piemērus.

1. Cilindra pamatnes rādiuss ir 2, augstums ir 3. Nosakiet cilindra sānu virsmas laukumu.

Kopējo virsmas laukumu aprēķina pēc formulas: S puse. = 2πrh

S pusē = 2 * 3,14 * 2 * 3

S pusē = 6,28 * 6

S pusē = 37,68

Cilindra sānu virsmas laukums ir 37,68.

2. Kā atrast cilindra virsmas laukumu, ja augstums ir 4 un rādiuss ir 6?

Kopējo virsmas laukumu aprēķina pēc formulas: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• 1. uzdevums. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu
• 2. uzdevums. Atrodiet regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukumu

1. problēma. Atrodiet parastās piramīdas kopējo virsmas laukumu

Risinājums.

Regulāras trīsstūrveida piramīdas pamatnē atrodas vienādmalu trīsstūris.
Tāpēc, lai atrisinātu problēmu, mēs izmantosim regulāra trīsstūra īpašības:

Mēs zinām trijstūra augstumu, no kurienes mēs varam atrast tā laukumu.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

No kurienes pamatnes laukums būs vienāds ar:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6/√3) 2
S = 3√3

Lai atrastu sānu virsmas laukumu, mēs aprēķinām augstumu KM. Saskaņā ar problēmu, leņķis OKM ir 45 grādi.
Tādējādi:
Labi / MK = cos 45
Izmantosim trigonometrisko funkciju vērtību tabulu un aizvietosim zināmās vērtības.

Labi / MK = √2/2

Ņemsim vērā, ka OK ir vienāds ar ierakstītā apļa rādiusu. Tad
Labi = √3/6a
Labi = √3/6 * 6/√3 = 1

Tad
Labi / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Tad sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no trijstūra augstuma un pamatnes reizinājuma.
Sside = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6

Tādējādi piramīdas kopējais virsmas laukums būs vienāds ar
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Atbilde: 3√3 + 18/√6

2. problēma. Atrodiet regulāras piramīdas sānu virsmas laukumu

Risinājums.

Tā kā regulāras trīsstūrveida piramīdas pamats ir vienādmalu trīsstūris, AO ir ap pamatni norobežotā riņķa rādiuss.
(Tas izriet no)

Ap vienādmalu trīsstūri apvilkta riņķa rādiusu var atrast pēc tā īpašībām

No kurienes regulāras trīsstūrveida piramīdas malu garums būs vienāds ar:
AM 2 = MO 2 + AO 2
piramīdas augstums ir zināms ar nosacījumu (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Katra piramīdas mala ir vienādsānu trīsstūris. Kvadrāts vienādsānu trīsstūris mēs atrodam no pirmās tālāk sniegtās formulas

S = 1/2 * 16 sqrt ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt ((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Tā kā visas trīs regulāras piramīdas skalas ir vienādas, sānu virsmas laukums būs vienāds ar
3S = 48 √ (91/3)

Atbilde: 48 √(91/3)

3. uzdevums. Atrodiet regulāras piramīdas kopējo virsmas laukumu

Regulāras trīsstūrveida piramīdas mala ir 3 cm, un leņķis starp sānu malu un piramīdas pamatni ir 45 grādi. Atrodiet piramīdas kopējo virsmas laukumu.

Risinājums.
Tā kā piramīda ir regulāra, tās pamatnē ir vienādmalu trīsstūris. Tāpēc pamatnes laukums ir


Tātad = 9 * √3/4

Lai atrastu sānu virsmas laukumu, mēs aprēķinām augstumu KM. Saskaņā ar problēmu, leņķis OKM ir 45 grādi.
Tādējādi:
Labi / MK = cos 45
Izmantosim priekšrocības

ir daudzšķautņaina figūra, kuras pamats ir daudzstūris, bet pārējās skaldnes attēlo trijstūri ar kopīgu virsotni.

Ja pamats ir kvadrāts, tad piramīdu sauc četrstūrveida, ja trīsstūris – tad trīsstūrveida. Piramīdas augstums ir novilkts no tās augšas perpendikulāri pamatnei. Izmanto arī platības aprēķināšanai apotēms– sānu virsmas augstums, nolaižot no augšas.
Piramīdas sānu virsmas laukuma formula ir tās sānu virsmu laukumu summa, kas ir vienādas viena ar otru. Tomēr šī aprēķina metode tiek izmantota ļoti reti. Būtībā piramīdas laukumu aprēķina caur pamatnes perimetru un apotēmu:

Apskatīsim piemēru piramīdas sānu virsmas laukuma aprēķināšanai.

Dota piramīda ar bāzi ABCDE un augšdaļu F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.
Atradīsim perimetru. Tā kā visas pamatnes malas ir vienādas, piecstūra perimetrs būs vienāds ar:
Tagad jūs varat atrast piramīdas sānu laukumu:

Regulāras trīsstūrveida piramīdas laukums

Regulāra trīsstūrveida piramīda sastāv no pamatnes, kurā atrodas regulārs trīsstūris, un trīs sānu skaldnes, kuru laukums ir vienāds.
Var aprēķināt regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukuma formulu dažādos veidos. Varat izmantot parasto aprēķina formulu, izmantojot perimetru un apotēmu, vai arī varat atrast vienas sejas laukumu un reizināt to ar trīs. Tā kā piramīdas seja ir trīsstūris, mēs izmantojam trijstūra laukuma formulu. Tam būs nepieciešams apotēms un pamatnes garums. Apskatīsim piemēru, kā aprēķināt regulāras trīsstūrveida piramīdas sānu virsmas laukumu.

Dota piramīda ar apotēmu a = 4 cm un pamatnes virsmu b = 2 cm. Atrodiet piramīdas sānu virsmas laukumu.
Vispirms atrodiet vienas sānu virsmas laukumu. IN šajā gadījumā viņa:
Aizvietojiet vērtības formulā:
Tā kā parastajā piramīdā visas malas ir vienādas, piramīdas sānu virsmas laukums būs vienāds ar trīs skaldņu laukumu summu. Attiecīgi:

Nošķeltas piramīdas laukums

Saīsināts Piramīda ir daudzskaldnis, ko veido piramīda un tās šķērsgriezums paralēli pamatnei.
Nošķeltas piramīdas sānu virsmas laukuma formula ir ļoti vienkārša. Laukums ir vienāds ar pusi no pamatu perimetru un apotēmas summas: