Սկսած հակառակ գագաթը) և ստացված արդյունքը բաժանել երկուսի: Սա այսպիսի տեսք ունի.

S = ½ * a * h,

Որտեղ:
S - եռանկյան մակերեսը,
a-ն նրա կողմի երկարությունն է,
h-ն այս կողմ իջեցված բարձրությունն է:

Կողքի երկարությունը և բարձրությունը պետք է ներկայացվեն նույն չափման միավորներով: Այս դեպքում եռանկյան մակերեսը կստացվի համապատասխան «» միավորներով:

Օրինակ.
20 սմ երկարությամբ սկալեն եռանկյան մի կողմում հակառակ գագաթից 10 սմ երկարությամբ ուղղահայացն իջեցված է։
Պահանջվում է եռանկյունու տարածքը:
Լուծում.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (սմ²):

Եթե ​​հայտնի են սանդղակի եռանկյունու ցանկացած երկու կողմերի երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, ապա օգտագործեք բանաձևը.

S = ½ * a * b * sinγ,

որտեղ a, b-ը երկու կամայական կողմերի երկարություններն են, իսկ γ-ը նրանց միջև եղած անկյունն է:

Գործնականում, օրինակ, հողամասերը չափելիս, վերը նշված բանաձևերի օգտագործումը երբեմն դժվար է, քանի որ այն պահանջում է լրացուցիչ կառուցում և անկյունների չափում:

Եթե ​​գիտեք սանդղակի եռանկյունու բոլոր երեք կողմերի երկարությունները, ապա օգտագործեք Հերոնի բանաձևը.

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - եռանկյան կողմերի երկարությունները,
p – կիսաշրջագիծ՝ p = (a+b+c)/2.

Եթե, բացի բոլոր կողմերի երկարություններից, հայտնի է նաև եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը, ապա օգտագործեք հետևյալ կոմպակտ բանաձևը.

որտեղ՝ r – ներգծված շրջանագծի շառավիղը (р – կիսաշրջագիծ):

Սանդղակի եռանկյունու մակերեսը և նրա կողմերի երկարությունը հաշվարկելու համար օգտագործեք բանաձևը.

որտեղ՝ R – շրջագծված շրջանագծի շառավիղը:

Եթե ​​հայտնի է եռանկյան կողմերից մեկի և երեք անկյունների երկարությունը (սկզբունքորեն երկուսը բավարար են. երրորդի արժեքը հաշվարկվում է եռանկյան երեք անկյունների գումարի հավասարությունից՝ 180º), ապա օգտագործեք. բանաձեւը:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

որտեղ α-ն a-ին հակառակ անկյան արժեքն է.
β, γ - եռանկյան մնացած երկու անկյունների արժեքները:

Գտնելու անհրաժեշտությունը տարբեր տարրերներառյալ տարածքները եռանկյուն, հայտնվել է մ.թ.ա շատ դարերում գիտուն աստղագետների շրջանում Հին Հունաստան. Քառակուսի եռանկյունկարելի է հաշվարկել տարբեր ձևերովօգտագործելով տարբեր բանաձևեր. Հաշվարկի մեթոդը կախված է նրանից, թե որ տարրերից եռանկյունհայտնի է.

Հրահանգներ

Եթե ​​պայմանից գիտենք երկու կողմերի b, c և նրանց կողմից կազմված անկյունի արժեքները, ապա մակերեսը. եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = (bcsin?)/2.

Եթե ​​պայմանից գիտենք երկու կողմերի a, b և դրանցով չձևավորված անկյան արժեքները, ապա մակերեսը. եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.
Անկյուն գտնելու՞մ, մե՞ղք. = bsin?/a, այնուհետև աղյուսակի օգնությամբ որոշեք անկյունը:
Գտնելով անկյունը?, ? = 180°-?-?.
Մենք գտնում ենք ինքնին տարածքը S = (absin?)/2:

Եթե ​​պայմանից գիտենք միայն երեք կողմերի արժեքները եռանկյուն a, b և c, ապա տարածքը եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է p = (a+b+c)/2

Եթե ​​խնդրի պայմաններից իմանանք բարձրությունը եռանկյուն h և այն կողմը, որին իջեցվել է այս բարձրությունը, ապա տարածքը եռանկյուն ABC բանաձևի համաձայն.
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2:

Եթե ​​իմանանք կողմերի իմաստները եռանկյուն a, b, c և այս մասին նկարագրված շառավիղը եռանկյուն R, ապա սրա տարածքը եռանկյուն ABC-ն որոշվում է բանաձևով.
S = abc/4R:
Եթե ​​հայտնի են երեք կողմերը a, b, c և մակագրվածի շառավիղը, ապա մակերեսը եռանկյուն ABC-ն հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = pr, որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է, p = (a+b+c)/2:

Եթե ​​ABC-ն հավասարակողմ է, ապա տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով.
S = (a^2v3)/4.
Եթե ​​ABC եռանկյունը հավասարաչափ է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = (cv(4a^2-c^2))/4, որտեղ c – եռանկյուն.
Եթե ​​ABC եռանկյունը ուղղանկյուն է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = ab/2, որտեղ a-ն և b-ն ոտքեր են եռանկյուն.
Եթե ​​ABC եռանկյունը ուղղանկյուն հավասարաչափ եռանկյուն է, ապա տարածքը որոշվում է բանաձևով.
S = c^2/4 = a^2/2, որտեղ c-ն հիպոթենուսն է եռանկյուն, a=b – ոտք.

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Աղբյուրներ:

• ինչպես չափել եռանկյան մակերեսը

Հուշում 3. Ինչպես գտնել եռանկյան մակերեսը, եթե անկյունը հայտնի է

Միայն մեկ պարամետր (անկյուն) իմանալը բավարար չէ տարածքը գտնելու համար tre քառակուսի . Եթե ​​կան լրացուցիչ չափումներ, ապա տարածքը որոշելու համար կարող եք ընտրել բանաձեւերից մեկը, որտեղ անկյունի արժեքը օգտագործվում է որպես հայտնի փոփոխականներից մեկը: Ամենահաճախ օգտագործվող բանաձևերից մի քանիսը տրված են ստորև:

Հրահանգներ

Եթե, ի լրումն երկու կողմերի կազմած անկյան (γ) չափի tre քառակուսի , հայտնի են նաև այս կողմերի երկարությունները (A և B), ապա քառակուսիՆկարի (S)-ը կարող է սահմանվել որպես այս հայտնի անկյան կողմերի երկարությունների և սինուսի արտադրյալի կեսը՝ S=½×A×B×sin(γ):

Եռանկյունն այսպիսին է երկրաչափական պատկեր, որը բաղկացած է երեք գծերից, որոնք միանում են նույն գծի վրա չգտնվող կետերին։ Գծերի միացման կետերը եռանկյան գագաթներն են, որոնք նշանակված են լատինական տառերով(օրինակ՝ A, B, C): Եռանկյան միացնող ուղիղ գծերը կոչվում են հատվածներ, որոնք նույնպես սովորաբար նշվում են լատինատառերով։ Առանձնացվում են եռանկյունների հետևյալ տեսակները.

• Ուղղանկյուն:
• Բութ.
• Սուր անկյունային.
• Բազմակողմանի.
• Հավասարակողմ.
• Isosceles.

Եռանկյունի մակերեսը հաշվարկելու ընդհանուր բանաձևեր

Երկարության և բարձրության վրա հիմնված եռանկյան տարածքի բանաձևը

S= a*h/2,
որտեղ a-ն եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որի մակերեսը պետք է գտնել, h-ը հիմքի վրա գծված բարձրության երկարությունն է:

Հերոնի բանաձեւը

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
որտեղ √ է քառակուսի արմատ, p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, a,b,c-ն եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունն է։ Եռանկյան կիսաշրջագիծը կարելի է հաշվարկել p=(a+b+c)/2 բանաձևով։

Եռանկյան տարածքի բանաձևը, որը հիմնված է հատվածի անկյան և երկարության վրա

S = (a*b*sin(α))/2,
Որտեղ b,c էեռանկյան կողմերի երկարությունը, sin(α) երկու կողմերի միջև անկյան սինուսն է։

Եռանկյան տարածքի բանաձևը, որը տրված է ներգծված շրջանագծի և երեք կողմերի շառավղով

S=p*r,
որտեղ p-ն այն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, որի մակերեսը պետք է գտնել, r-ն այս եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղն է:

Երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսի և դրա շուրջը շրջագծված շրջանի շառավիղի մակերեսի բանաձևը

S= (a*b*c)/4*R,
որտեղ a,b,c-ն եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի երկարությունն է, R-ն եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է:

Եռանկյան տարածքի բանաձևը, օգտագործելով կետերի դեկարտյան կոորդինատները

Կետերի դեկարտյան կոորդինատները կոորդինատներ են xOy համակարգում, որտեղ x-ը աբսցիսա է, y-ը օրդինատն է: Հարթության վրա դեկարտյան կոորդինատային համակարգը xOy-ը Ox և Oy փոխադարձ ուղղահայաց թվային առանցքներն են ընդհանուր սկիզբհղման կետը O կետում: Եթե այս հարթության վրա կետերի կոորդինատները տրված են A(x1, y1), B(x2, y2) և C(x3, y3) ձևերով, ապա կարող եք հաշվարկել տարածքի մակերեսը: եռանկյունին օգտագործելով հետևյալ բանաձևը, որը ստացվում է երկու վեկտորի վեկտորային արտադրյալից.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
որտեղ || հանդես է գալիս որպես մոդուլ:

Ինչպես գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը

Ուղղանկյուն եռանկյունը եռանկյուն է, որի մեկ անկյունը 90 աստիճան է: Եռանկյունը կարող է ունենալ միայն մեկ այդպիսի անկյուն։

Երկու կողմերում ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսի բանաձևը

S= a*b/2,
որտեղ a,b-ը ոտքերի երկարությունն է: Ոտքերը ուղիղ անկյան հարեւանությամբ գտնվող կողմերն են:

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսի բանաձևը հիմնված է հիպոթենուսի և սուր անկյան վրա

S = a*b*sin(α)/ 2,
որտեղ a, b-ն եռանկյան ոտքերն են, իսկ sin(α)-ն այն անկյան սինուսն է, որտեղ a, b ուղիղները հատվում են:

Կողքի և հակառակ անկյան վրա հիմնված ուղղանկյուն եռանկյան տարածքի բանաձևը

S = a*b/2*tg (β),
որտեղ a, b-ը եռանկյան ոտքերն են, tan(β)-ն այն անկյան շոշափումն է, որով a, b ոտքերը միացված են:

Ինչպես հաշվարկել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը

Հավասարաչափ եռանկյունին այն եռանկյունն է, որն ունի երկու հավասար կողմեր: Այս կողմերը կոչվում են կողմեր, իսկ մյուս կողմը հիմքն է: Հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ բանաձևերից մեկը.

Հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու հիմնական բանաձևը

S=h*c/2,
որտեղ c-ն եռանկյան հիմքն է, h-ը եռանկյան բարձրությունն է, որը իջեցվել է հիմքի վրա:

Կողքի և հիմքի վրա հիմնված հավասարաչափ եռանկյունու բանաձևը

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
որտեղ c-ն եռանկյան հիմքն է, a-ն հավասարաչափ եռանկյան կողմերից մեկի չափն է:

Ինչպես գտնել հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը

Հավասարակողմ եռանկյունը եռանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են: Հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել հետևյալ բանաձևը.
S = (√3*a*a)/4,
որտեղ a-ն հավասարակողմ եռանկյան կողմի երկարությունն է:

Վերոնշյալ բանաձևերը թույլ կտան հաշվարկել եռանկյունու անհրաժեշտ տարածքը: Կարևոր է հիշել, որ եռանկյունների տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվի առնել եռանկյունու տեսակը և առկա տվյալները, որոնք կարող են օգտագործվել հաշվարկի համար:

Եռանկյունի տարածքը որոշելու համար կարող եք օգտագործել տարբեր բանաձևեր. Բոլոր մեթոդներից ամենահեշտն ու ամենահաճախ օգտագործվողը բարձրությունը հիմքի երկարությամբ բազմապատկելն է, այնուհետև արդյունքը երկուսի բաժանելն է: Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը հեռու է միակից: Ստորև կարող եք կարդալ, թե ինչպես կարելի է գտնել եռանկյան մակերեսը տարբեր բանաձևերի միջոցով:

Առանձին-առանձին մենք կդիտարկենք եռանկյունների հատուկ տեսակների տարածքը հաշվարկելու եղանակներ՝ ուղղանկյուն, հավասարաչափ և հավասարակողմ: Մենք ուղեկցում ենք յուրաքանչյուր բանաձևի կարճ բացատրություն, որը կօգնի ձեզ հասկանալ դրա էությունը:

Եռանկյունի տարածքը գտնելու ունիվերսալ մեթոդներ

Ստորև բերված բանաձևերը օգտագործում են հատուկ նշում: Մենք կվերծանենք դրանցից յուրաքանչյուրը.

• a, b, c – մեր դիտարկած նկարի երեք կողմերի երկարությունները.
• r-ը շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է ներգծել մեր եռանկյունու մեջ.
• R-ը շրջանագծի շառավիղն է, որը կարելի է նկարագրել դրա շուրջը.
• α-ն b և c կողմերի կողմից ձևավորված անկյան մեծությունն է.
• β-ը a-ի և c-ի միջև անկյան մեծությունն է.
• γ-ն անկյան մեծությունն է, որը կազմված է a և b կողմերից;
• h-ն մեր եռանկյունու բարձրությունն է՝ իջեցված α անկյունից դեպի a կողմ;
• p – a, b և c կողմերի գումարի կեսը:

Տրամաբանորեն պարզ է, թե ինչու կարելի է այս կերպ գտնել եռանկյունու մակերեսը։ Եռանկյունը հեշտությամբ կարելի է լրացնել զուգահեռագծի մեջ, որտեղ եռանկյան մի կողմը կգործի որպես անկյունագիծ: Զուգահեռագծի մակերեսը հայտնաբերվում է նրա կողմերից մեկի երկարությունը բազմապատկելով դեպի դրան գծված բարձրության արժեքով: Անկյունագիծը այս պայմանական զուգահեռագիծը բաժանում է 2 միանման եռանկյունների։ Հետևաբար, ակնհայտ է, որ մեր սկզբնական եռանկյունու մակերեսը պետք է հավասար լինի այս օժանդակ զուգահեռագծի տարածքի կեսին:

S=½ a b sin γ

Ըստ այս բանաձևի՝ եռանկյան մակերեսը հայտնաբերվում է՝ բազմապատկելով նրա երկու կողմերի երկարությունները, այսինքն՝ a և b, նրանց կողմից ձևավորված անկյան սինուսով։ Այս բանաձևը տրամաբանորեն բխում է նախորդից։ Եթե ​​բարձրությունը β անկյանց իջեցնենք b կողմ, ապա, ըստ ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունների, երբ a կողմի երկարությունը բազմապատկենք γ անկյան սինուսով, կստանանք եռանկյան բարձրությունը, այսինքն՝ h. .

Քննարկվող գործչի մակերեսը հայտնաբերվում է՝ բազմապատկելով շրջանագծի շառավիղը, որը կարելի է դրանում գծագրել իր պարագծով: Այսինքն՝ գտնում ենք նշված շրջանագծի կիսաշրջագծի և շառավղի արտադրյալը։

S= a b c/4R

Ըստ այս բանաձևի՝ մեզ անհրաժեշտ արժեքը կարելի է գտնել՝ նկարի կողմերի արտադրյալը բաժանելով նրա շուրջը նկարագրված շրջանագծի 4 շառավղով։

Այս բանաձևերը համընդհանուր են, քանի որ դրանք հնարավորություն են տալիս որոշել ցանկացած եռանկյունու մակերեսը (սանդղակ, հավասարաչափ, հավասարակողմ, ուղղանկյուն): Դա կարելի է անել նաև ավելի բարդ հաշվարկների միջոցով, որոնց մասին մենք մանրամասն չենք անդրադառնա։

Հատուկ հատկություններով եռանկյունների տարածքները

Ինչպե՞ս գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը: Այս գործչի առանձնահատկությունն այն է, որ նրա երկու կողմերը միաժամանակ նրա բարձրությունն են։ Եթե ​​a-ն և b-ն ոտքեր են, իսկ c-ն դառնում է հիպոթենուս, ապա մենք գտնում ենք տարածքը հետևյալ կերպ.

Ինչպե՞ս գտնել հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը: Այն ունի երկու կողմ՝ a երկարությամբ և մեկ կողմ՝ b երկարությամբ։ Հետևաբար, նրա մակերեսը կարելի է որոշել՝ a կողմի քառակուսու արտադրյալը 2-ի բաժանելով γ անկյան սինուսի վրա։

Ինչպե՞ս գտնել հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը: Նրանում բոլոր կողմերի երկարությունը հավասար է a-ի, իսկ բոլոր անկյունների մեծությունը α է։ Նրա բարձրությունը հավասար է a կողմի երկարության արտադրյալի կեսին և 3-ի քառակուսի արմատին: Կանոնավոր եռանկյան մակերեսը գտնելու համար անհրաժեշտ է a կողմի քառակուսին բազմապատկել 3-ի քառակուսի արմատով և բաժանել 4.

Հրահանգներ

Կուսակցություններիսկ անկյունները համարվում են հիմնական տարրեր Ա. Եռանկյունն ամբողջությամբ սահմանվում է իր հետևյալ հիմնական տարրերից որևէ մեկով. կա՛մ երեք կողմ, կա՛մ մեկ կողմ և երկու անկյուն, կա՛մ երկու կողմ և նրանց միջև գտնվող անկյուն: Գոյության համար եռանկյունտրված երեք կողմերի՝ a, b, c, անհրաժեշտ և բավարար է՝ բավարարելու անհավասարություններ կոչվող անհավասարությունները. եռանկյուն:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

կառուցելու համար եռանկյուներեք կողմերում a, b, c, CB = a հատվածի C կետից անհրաժեշտ է գծել b շառավղով շրջանագիծ՝ օգտագործելով կողմնացույց: Այնուհետեւ նույն կերպ B կետից շրջանագիծ գծեք c կողմին հավասար շառավղով։ Նրանց հատման կետը A-ն ցանկալիի երրորդ գագաթն է եռանկյուն ABC, որտեղ AB=c, CB=a, CA=b - կողմերը եռանկյուն. Խնդիրն ունի , եթե a, b, c կողմերը բավարարում են անհավասարությունները եռանկյուննշված է 1-ին քայլում:

Այս կերպ կառուցված տարածք S եռանկյուն ABC-ի հետ հայտնի կուսակցություններ a, b, c, հաշվարկված Հերոնի բանաձևով.
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
որտեղ a, b, c կողմերն են եռանկյուն, p – կիսաշրջագիծ։
p = (a+b+c)/2

Եթե ​​եռանկյունը հավասարակողմ է, այսինքն՝ նրա բոլոր կողմերը հավասար են (a=b=c): Մակերեսը եռանկյունհաշվարկվում է բանաձևով.
S=(a^2 v3)/4

Եթե ​​եռանկյունը ուղղանկյուն է, այսինքն՝ նրա անկյուններից մեկը հավասար է 90°-ի, իսկ կազմող կողմերը ոտքեր են, երրորդ կողմը հիպոթենուսն է։ IN այս դեպքում քառակուսիհավասար է երկուսի բաժանված ոտքերի արտադրյալին:
S=ab/2

Գտնել քառակուսի եռանկյուն, կարող եք օգտագործել բազմաթիվ բանաձեւերից մեկը։ Ընտրեք բանաձև՝ կախված նրանից, թե ինչ տվյալներ են արդեն հայտնի։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• եռանկյան մակերեսը գտնելու բանաձևերի իմացություն

Հրահանգներ

Եթե ​​գիտեք կողմերից մեկի չափը և դրան հակառակ անկյանց դեպի այս կողմ իջեցված բարձրության արժեքը, ապա կարող եք գտնել տարածքը՝ օգտագործելով հետևյալը. S = a*h/2, որտեղ S տարածքն է։ եռանկյան a-ն եռանկյան կողմերից մեկն է, իսկ h-ն՝ բարձրությունը՝ դեպի a կողմը:

Եռանկյան մակերեսը որոշելու հայտնի մեթոդ կա, եթե հայտնի են նրա երեք կողմերը: Հերոնի բանաձեւն է։ Դրա գրանցումը պարզեցնելու համար ներմուծվում է միջանկյալ արժեք՝ կիսաշրջագիծ՝ p = (a+b+c)/2, որտեղ a, b, c - . Այնուհետև Հերոնի բանաձևը հետևյալն է՝ S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ աստիճանավորում։

Ենթադրենք, որ դուք գիտեք եռանկյան կողմերից մեկը և երեք անկյուն: Այնուհետև հեշտ է գտնել եռանկյան մակերեսը. S = a²sinα sinγ / (2sinβ), որտեղ β-ը a-ին հակառակ անկյունն է, իսկ α-ն և γ-ը կողքին հարող անկյուններն են:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Խնդրում ենք նկատի ունենալ

Ամենաընդհանուր բանաձեւը, որը հարմար է բոլոր դեպքերի համար, Հերոնի բանաձեւն է։

Աղբյուրներ:

Հուշում 3. Ինչպես գտնել երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսը

Եռանկյան մակերեսը գտնելը դպրոցական պլանաչափության ամենատարածված խնդիրներից է: Եռանկյան երեք կողմերը իմանալը բավական է ցանկացած եռանկյան մակերեսը որոշելու համար: Հավասարակողմ եռանկյունների հատուկ դեպքերում բավական է իմանալ համապատասխանաբար երկու և մի կողմի երկարությունները։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• եռանկյունների կողմերի երկարությունները, Հերոնի բանաձևը, կոսինուսի թեորեմ

Հրահանգներ

Հերոնի բանաձևը եռանկյան մակերեսի համար հետևյալն է. S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)): Եթե ​​գրենք p կիսաշրջագիծը, կստանանք՝ S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)(a+b-c. )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Եռանկյան մակերեսի համար կարող եք բանաձև ստանալ նկատառումներից, օրինակ՝ կիրառելով կոսինուսի թեորեմը:

Կոսինուսների թեորեմով AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC): Օգտագործելով ներկայացված նշումները, դրանք կարելի է գրել նաև b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC) ձևով: Հետևաբար, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Եռանկյան մակերեսը հայտնաբերվում է նաև S = a*c*sin(ABC)/2 բանաձևով՝ օգտագործելով երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը: ABC անկյան սինուսը կարող է արտահայտվել դրա միջոցով՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը՝ sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2): Սինուսը փոխարինելով տարածքի բանաձևով և այն դուրս գրելով: , կարող եք հասնել ABC եռանկյան մակերեսի բանաձևին:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Իրականացնել վերանորոգման աշխատանքներկարող է անհրաժեշտ լինել չափել քառակուսիպատերը Սա հեշտացնում է ներկի կամ պաստառի պահանջվող քանակի հաշվարկը: Չափումների համար լավագույնն է օգտագործել ժապավենը կամ չափիչ ժապավենը: Չափումները պետք է կատարվեն հետո պատերըհողին հավասարեցվեցին.

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - ռուլետկա;
• - սանդուղք:

Հրահանգներ

Հաշվելու համար քառակուսիպատերին, դուք պետք է իմանաք առաստաղների ճշգրիտ բարձրությունը, ինչպես նաև չափեք երկարությունը հատակի երկայնքով: Դա արվում է հետևյալ կերպ. վերցրեք մեկ սանտիմետր և դրեք այն հիմքի վրա: Սովորաբար սանտիմետրը բավարար չէ ամբողջ երկարության համար, այնպես որ ամրացրեք այն անկյունում, ապա արձակեք այն առավելագույն երկարությունը. Այս պահին մատիտով նշան դրեք, ստացված արդյունքը գրեք և հետագա չափումները կատարեք նույն կերպ՝ սկսած վերջին չափման կետից։

Ստանդարտ առաստաղներտիպիկներով՝ 2 մետր 80 սանտիմետր, 3 մետր և 3 մետր 20 սանտիմետր՝ կախված տնից։ Եթե ​​տունը կառուցվել է մինչև 50-ական թվականները, ապա, ամենայն հավանականությամբ, իրական բարձրությունը մի փոքր ավելի ցածր է, քան նշված է: Եթե ​​դուք հաշվարկում եք քառակուսիվերանորոգման աշխատանքների համար, ապա փոքր մատակարարումը չի վնասի, հաշվի առեք ստանդարտի հիման վրա: Եթե ​​դեռ պետք է իմանաք իրական բարձրություն- կատարել չափումներ. Սկզբունքը նման է երկարությունը չափելուն, բայց ձեզ հարկավոր է սանդուղք:

Բազմապատկեք ստացված ցուցանիշները՝ սա է քառակուսիքոնը պատերը. Ճիշտ է, երբ նկարչական աշխատանքներկամ դրա համար անհրաժեշտ է հանել քառակուսիդուռ և պատուհանների բացվածքներ. Դա անելու համար բացվածքի երկայնքով մի սանտիմետր դրեք: Եթե մենք խոսում ենքայն դռան մասին, որը դուք հետագայում պատրաստվում եք փոխել, ապա անցկացրեք այն հանվածով դռան շրջանակ, հաշվի առնելով միայն քառակուսիանմիջապես դեպի բացվածքը: Պատուհանի տարածքը հաշվարկվում է դրա շրջանակի պարագծի երկայնքով: հետո քառակուսիպատուհանի և դռների հաշվարկով, արդյունքը հանեք սենյակի ընդհանուր մակերեսից:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սենյակի երկարությունը և լայնությունը չափելն իրականացվում է երկու հոգու կողմից, դա հեշտացնում է սանտիմետրը կամ ժապավենի չափումը և, համապատասխանաբար, ավելի ճշգրիտ արդյունք ստանալը: Մի քանի անգամ կատարեք նույն չափումը, որպեսզի համոզվեք, որ ստացված թվերը ճշգրիտ են:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Եռանկյան ծավալը գտնելն իսկապես աննշան խնդիր է: Փաստն այն է, որ եռանկյունը երկչափ գործիչ է, այսինքն. այն ամբողջությամբ գտնվում է մեկ հարթության մեջ, ինչը նշանակում է, որ այն պարզապես ծավալ չունի։ Իհարկե, չես կարող գտնել մի բան, որը գոյություն չունի: Բայց եկեք չհանձնվենք։ Կարող ենք ընդունել հետևյալ ենթադրությունը՝ երկչափ գործչի ծավալը նրա մակերեսն է։ Մենք կփնտրենք եռանկյունու տարածքը:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• թերթ թուղթ, մատիտ, քանոն, հաշվիչ

Հրահանգներ

Քանոնով և մատիտով նկարիր թղթի վրա: Ուշադիր ուսումնասիրելով եռանկյունը՝ կարող եք համոզվել, որ այն իսկապես եռանկյուն չունի, քանի որ այն գծված է հարթության վրա։ Նշեք եռանկյան կողմերը՝ թող մի կողմը լինի «a», մյուս կողմը՝ «բ», իսկ երրորդ կողմը՝ «գ»: Եռանկյան գագաթները նշեք «A», «B» և «C» տառերով:

Չափեք եռանկյան ցանկացած կողմ քանոնով և գրեք արդյունքը: Դրանից հետո վերականգնեք չափված կողմի ուղղահայացը դրան հակառակ գագաթից, այդպիսի ուղղահայացը կլինի եռանկյան բարձրությունը: Նկարում ներկայացված դեպքում «h» ուղղահայացը վերականգնվում է «c» կողմին «A» գագաթից։ Ստացված բարձրությունը չափեք քանոնով և գրեք չափման արդյունքը։

Ձեզ համար կարող է դժվար լինել վերականգնել ճշգրիտ ուղղահայացը: Այս դեպքում դուք պետք է օգտագործեք այլ բանաձև. Չափեք եռանկյան բոլոր կողմերը քանոնով: Դրանից հետո հաշվարկեք «p» եռանկյան կիսաշրջագիծը՝ գումարելով կողմերի երկարությունները և դրանց գումարը կիսով չափ բաժանելով։ Ձեր տրամադրության տակ ունենալով կիսաշրջագծի արժեքը՝ կարող եք օգտագործել Հերոնի բանաձևը. Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել հետևյալի քառակուսի արմատը՝ p(p-a)(p-b)(p-c):

դուք ստացել եք պահանջվող արժեքըեռանկյունու մակերեսը. Եռանկյան ծավալը գտնելու խնդիրը չի լուծվել, բայց ինչպես վերը նշվեց, ծավալը լուծված չէ: Դուք կարող եք գտնել ծավալ, որն ըստ էության եռանկյուն է եռաչափ աշխարհում: Եթե ​​պատկերացնենք, որ մեր սկզբնական եռանկյունը վերածվել է եռաչափ բուրգի, ապա այդպիսի բուրգի ծավալը կլինի դրա հիմքի երկարության և եռանկյունու ստացված տարածքի արտադրյալը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ

Որքան ուշադիր չափեք, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինեն ձեր հաշվարկները:

Աղբյուրներ:

• Հաշվիչ «Ամեն ինչ ամեն ինչի համար» - տեղեկատու արժեքների պորտալ
• եռանկյունի ծավալը 2019 թ

Երեք կետերը, որոնք եզակիորեն սահմանում են եռանկյունը Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, նրա գագաթներն են։ Իմանալով դրանց դիրքը կոորդինատային առանցքներից յուրաքանչյուրի նկատմամբ, կարող եք հաշվարկել դրա ցանկացած պարամետր հարթ գործիչներառյալ և սահմանափակված իր պարագծով քառակուսի. Դա կարելի է անել մի քանի ձևով.

Հրահանգներ

Տարածքը հաշվարկելու համար օգտագործեք Հերոնի բանաձևը եռանկյուն. Այն ներառում է նկարի երեք կողմերի չափերը, այնպես որ սկսեք ձեր հաշվարկները . Յուրաքանչյուր կողմի երկարությունը պետք է հավասար լինի նրա ելուստների երկարությունների քառակուսիների գումարի արմատին կոորդինատային առանցքներ. Եթե ​​նշանակենք A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) և C(X3,Y3,Z3) կոորդինատները, ապա դրանց կողմերի երկարությունները կարող են արտահայտվել հետևյալ կերպ. AB = √((X1-): X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √((( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²):

Հաշվարկները պարզեցնելու համար ներկայացրեք օժանդակ փոփոխական՝ կիսաշրջագիծ (P): Այն փաստից, որ սա բոլոր կողմերի երկարությունների գումարի կեսն է. P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

Եռանկյունը բոլորին ծանոթ կերպար է: Եվ դա, չնայած դրա ձևերի հարուստ բազմազանությանը: Ուղղանկյուն, հավասարակողմ, սուր, հավասարաչափ, բութ: Նրանցից յուրաքանչյուրն ինչ-որ կերպ տարբեր է: Բայց յուրաքանչյուրի համար պետք է պարզել եռանկյունու մակերեսը:

Բոլոր եռանկյունների համար ընդհանուր բանաձևեր, որոնք օգտագործում են կողմերի երկարությունները կամ բարձրությունները

Դրանցում ընդունված նշանակումները՝ կողմեր՝ a, b, c; բարձրությունները համապատասխան կողմերի վրա a, n in, n հետ.

1. Եռանկյան մակերեսը հաշվարկվում է որպես ½-ի, կողմի և դրանից հանված բարձրության արտադրյալ: S = ½ * a * n a. Մյուս երկու կողմերի բանաձևերը պետք է գրվեն նույն կերպ:

2. Հերոնի բանաձեւը, որում հայտնվում է կիսաշրջագիծը (այն սովորաբար նշվում է p փոքր տառով, ի տարբերություն ամբողջ պարագծի)։ Կիսաշրջագիծը պետք է հաշվարկվի հետևյալ կերպ. գումարեք բոլոր կողմերը և բաժանեք դրանք 2-ի: Կիսաշրջագծի բանաձևը հետևյալն է. Նկարն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)):

3. Եթե դուք չեք ցանկանում օգտագործել կիսաշրջագիծ, ապա օգտակար կլինի բանաձեւը, որը պարունակում է միայն կողմերի երկարությունները՝ S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a. ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Այն մի փոքր ավելի երկար է, քան նախորդը, բայց դա կօգնի, եթե մոռացել եք, թե ինչպես գտնել կիսաշրջագիծը:

Ընդհանուր բանաձևեր, որոնք ներառում են եռանկյան անկյունները

Բանաձևերը կարդալու համար անհրաժեշտ նշումներ՝ α, β, γ - անկյուններ: Նրանք ընկած են համապատասխանաբար a, b, c կողմերում:

1. Ըստ դրա՝ երկու կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսը հավասար է եռանկյան մակերեսին։ Այսինքն՝ S = ½ a * b * sin γ: Մյուս երկու դեպքերի բանաձևերը պետք է գրվեն նույն ձևով:

2. Եռանկյան մակերեսը կարելի է հաշվարկել մի կողմից և երեք հայտնի անկյուններից: S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α):

3. Կա նաև մեկ հայտնի կողմ և երկու հարակից անկյուն ունեցող բանաձև: Այն կարծես այսպիսին է՝ S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)):

Վերջին երկու բանաձևերը ամենապարզը չեն: Նրանց հիշելը բավականին դժվար է։

Ընդհանուր բանաձևեր այն իրավիճակի համար, երբ հայտնի են ներգծված կամ շրջագծված շրջանագծերի շառավիղները

Լրացուցիչ նշանակումներ՝ r, R - շառավիղներ: Առաջինն օգտագործվում է ներգծված շրջանագծի շառավղով։ Երկրորդը նկարագրվածի համար է։

1. Առաջին բանաձևը, որով հաշվարկվում է եռանկյան մակերեսը, կապված է կիսաշրջագծի հետ: S = r * r. Գրելու մեկ այլ եղանակ է. S = ½ r * (a + b + c):

2. Երկրորդ դեպքում անհրաժեշտ կլինի բազմապատկել եռանկյան բոլոր կողմերը և բաժանել դրանք շրջագծված շրջանագծի շառավղով քառապատիկով։ IN բառացի արտահայտությունայն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = (a * b * c) / (4R):

3. Երրորդ իրավիճակը թույլ է տալիս անել առանց կողմերին իմանալու, բայց ձեզ անհրաժեշտ կլինեն բոլոր երեք անկյունների արժեքները: S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Հատուկ դեպք՝ ուղղանկյուն եռանկյուն

Սա ամենապարզ իրավիճակն է, քանի որ պահանջվում է միայն երկու ոտքերի երկարությունը։ Դրանք նշանակվում են լատիներեն a և b տառերով: Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է դրան ավելացված ուղղանկյան մակերեսի կեսին:

Մաթեմատիկորեն այն ունի հետևյալ տեսքը՝ S = ½ a * b. Հիշելը ամենահեշտն է։ Քանի որ այն կարծես ուղղանկյունի մակերեսի բանաձև է, հայտնվում է միայն կոտորակ, որը ցույց է տալիս կեսը:

Հատուկ դեպք՝ հավասարաչափ եռանկյուն

Քանի որ այն ունի երկու հավասար կողմեր, դրա տարածքի որոշ բանաձևեր որոշ չափով պարզեցված են թվում: Օրինակ, Հերոնի բանաձևը, որը հաշվարկում է հավասարաչափ եռանկյունու մակերեսը, ստանում է հետևյալ ձևը.

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)):

Եթե ​​փոխակերպեք այն, այն ավելի կարճ կդառնա: Այս դեպքում Հերոնի բանաձևը հավասարաչափ եռանկյունու համար գրված է հետևյալ կերպ.

S = ¼ √-ում (4 * a 2 - b 2):

Տարածքի բանաձևը մի փոքր ավելի պարզ է թվում, քան կամայական եռանկյունու դեպքում, եթե հայտնի են կողմերի միջև եղած անկյունը: S = ½ a 2 * sin β.

Հատուկ դեպք՝ հավասարակողմ եռանկյուն

Սովորաբար խնդիրների դեպքում դրա մասին կողմը հայտնի է կամ ինչ-որ կերպ կարելի է պարզել։ Այնուհետև նման եռանկյունու մակերեսը գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

S = (a 2 √3) / 4.

Տարածքը գտնելու խնդիրներ, եթե եռանկյունը պատկերված է վանդակավոր թղթի վրա

Ամենապարզ իրավիճակն այն է, երբ ուղղանկյուն եռանկյունը գծվում է այնպես, որ նրա ոտքերը համընկնեն թղթի գծերի հետ: Ապա դուք պարզապես պետք է հաշվեք բջիջների քանակը, որոնք տեղավորվում են ոտքերի մեջ: Այնուհետև բազմապատկեք դրանք և բաժանեք երկուսի:

Երբ եռանկյունը սուր է կամ բութ, այն պետք է գծել դեպի ուղղանկյուն: Այնուհետև ստացված գործիչը կունենա 3 եռանկյուն: Մեկը խնդրի մեջ տրվածն է։ Իսկ մյուս երկուսը օժանդակ են ու ուղղանկյուն։ Վերջին երկուսի տարածքները պետք է որոշվեն վերը նկարագրված մեթոդով: Այնուհետև հաշվարկեք ուղղանկյունի մակերեսը և դրանից հանեք օժանդակների համար հաշվարկվածները: Որոշվում է եռանկյունու տարածքը.

Իրավիճակը, երբ եռանկյան կողմերից ոչ մեկը չի համընկնում թղթի գծերի հետ, պարզվում է, որ շատ ավելի բարդ է: Այնուհետև այն պետք է գրվի ուղղանկյունի մեջ, որպեսզի սկզբնական գործչի գագաթները ընկնեն նրա կողքերին: Այս դեպքում կլինեն երեք օժանդակ ուղղանկյուն եռանկյուններ:

Հերոնի բանաձևի օգտագործմամբ խնդրի օրինակ

Վիճակ. Որոշ եռանկյուններ ունի հայտնի կողմեր: Նրանք հավասար են 3, 5 և 6 սմ-ի: Պետք է պարզել դրա տարածքը:

Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել եռանկյան մակերեսը վերը նշված բանաձևով: Քառակուսի արմատի տակ չորս թվերի արտադրյալն է՝ 7, 4, 2 և 1։ Այսինքն՝ մակերեսը √(4 * 14) = 2 √(14) է։

Եթե ​​ավելի մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, ապա կարող եք վերցնել 14-ի քառակուսի արմատը: Այն հավասար է 3,74-ի: Այնուհետև մակերեսը կլինի 7.48։

Պատասխանել. S = 2 √14 սմ 2 կամ 7,48 սմ 2:

Ուղղանկյուն եռանկյունու խնդրի օրինակ

Վիճակ. Ուղղանկյուն եռանկյան մեկ ոտքը 31 սմ-ով մեծ է երկրորդից: Դուք պետք է պարզեք դրանց երկարությունը, եթե եռանկյան մակերեսը 180 սմ 2 է:
Լուծում. Մենք ստիպված կլինենք լուծել երկու հավասարումների համակարգ. Առաջինը կապված է տարածքի հետ. Երկրորդը՝ ոտքերի հարաբերակցությամբ, որը տրված է խնդրի մեջ։
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Նախ, «ա»-ի արժեքը պետք է փոխարինվի առաջին հավասարման մեջ: Ստացվում է՝ 180 = ½ (+ 31-ում) * դյույմ։ Այն ունի միայն մեկ անհայտ մեծություն, ուստի այն հեշտ է լուծել: Փակագծերը բացելուց հետո ստանում ենք քառակուսային հավասարում 2 + 31 in - 360 = 0: Այն տալիս է երկու արժեք «in»-ի համար՝ 9 և - 40: Երկրորդ թիվը հարմար չէ որպես պատասխան, քանի որ եռանկյան կողմի երկարությունը չի կարող բացասական լինել: արժեքը։

Մնում է հաշվարկել երկրորդ ոտքը. ստացված թվին գումարել 31, Ստացվում է 40: Սրանք այն քանակներն են, որոնք փնտրվում են խնդրի մեջ:

Պատասխանել. Եռանկյան ոտքերը 9 և 40 սմ են։

Եռանկյան տարածքի, կողմի և անկյան միջով կողմ գտնելու խնդիր

Վիճակ. Որոշակի եռանկյունու մակերեսը 60 սմ 2 է։ Անհրաժեշտ է հաշվարկել դրա կողմերից մեկը, եթե երկրորդ կողմը 15 սմ է, իսկ նրանց միջև անկյունը 30º է:

Լուծում. Ընդունված նշումի հիման վրա ցանկալի կողմը «a» է, հայտնի կողմը՝ «b», տրված անկյունը՝ «γ»: Այնուհետև տարածքի բանաձևը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

60 = ½ a * 15 * մեղք 30º: Այստեղ 30 աստիճանի սինուսը 0,5 է։

Փոխակերպումներից հետո «a»-ն պարզվում է, որ հավասար է 60 / (0,5 * 0,5 * 15): Այսինքն՝ 16։

Պատասխանել. Պահանջվող կողմը 16 սմ է։

Խնդիր ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ներգծված քառակուսու մասին

Վիճակ. 24 սմ կողմ ունեցող քառակուսու գագաթը համընկնում է եռանկյան ուղիղ անկյան հետ։ Մյուս երկուսը պառկած են կողքերին: Երրորդը պատկանում է հիպոթենուսին։ Ոտքերից մեկի երկարությունը 42 սմ է: Որքա՞ն է ուղղանկյուն եռանկյունու մակերեսը:

Լուծում. Դիտարկենք երկուսը ուղղանկյուն եռանկյուն. Առաջինը առաջադրանքի մեջ նշվածն է: Երկրորդը հիմնված է սկզբնական եռանկյունու հայտնի ոտքի վրա։ Նրանք նման են, քանի որ ունեն ընդհանուր անկյուն և կազմված են զուգահեռ ուղիղներով։

Այնուհետև նրանց ոտքերի հարաբերությունները հավասար են։ Փոքր եռանկյան ոտքերը հավասար են 24 սմ (քառակուսու կողմը) և 18 սմ (տրված ոտքը 42 սմ հանել քառակուսու կողմը 24 սմ): Մեծ եռանկյունու համապատասխան ոտքերը 42 սմ և x սմ են, հենց այս «x»-ն է անհրաժեշտ եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու համար:

18/42 = 24 / x, այսինքն, x = 24 * 42 / 18 = 56 (սմ):

Այնուհետև մակերեսը հավասար է 56-ի և 42-ի արտադրյալին, որը բաժանվում է երկուսի, այսինքն՝ 1176 սմ 2։

Պատասխանել. Պահանջվող մակերեսը 1176 սմ 2 է։