Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne. Također, paralelogram ima sljedeća svojstva: nasuprotne stranice su jednake, nasuprotni kutovi su jednaki, a zbroj svih kutova je 360 ​​stupnjeva.

Trebat će vam

• Poznavanje geometrije.

upute

1. Zamislimo da je jedan od kutova paralelograma dan i da je jednak A. Nađimo vrijednosti preostala 3. Prema svojstvu paralelograma suprotni kutovi su jednaki. To znači da je kut nasuprot zadanom jednak zadanom i da mu je vrijednost jednaka A.

2. Pronađimo preostala dva ugla. Budući da je zbroj svih kutova u paralelogramu jednak 360 stupnjeva, a nasuprotni kutovi su međusobno jednaki, ispada da je kut koji pripada istoj stranici kao i zadana jednak (360 - 2A)/2. Pa, ili nakon reforme dobivamo 180 - A. Dakle, u paralelogramu su dva kuta jednaka A, a druga dva kuta jednaka su 180 - A.

Bilješka!
Vrijednost jednog kuta ne smije biti veća od 180 stupnjeva. Dobivene vrijednosti kuta mogu se lako provjeriti. Da biste to učinili, zbrojite ih i, ako je zbroj 360, sve je točno izračunato.

Koristan savjet
Pravokutnik i romb su posebni slučajevi paralelograma, stoga na njih vrijede sva svojstva i načini izračunavanja kutova.

Problem 1. Jedan od kutova paralelograma je 65°. Odredite preostale kutove paralelograma.

∠C =∠A = 65° kao suprotni kutovi paralelograma.

∠A +∠B = 180° kao kutovi uz jednu stranicu paralelograma.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° kao suprotni kutovi paralelograma.

Odgovor: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Zadatak 2. Zbroj dvaju kutova paralelograma je 220°. Odredite kutove paralelograma.

Kako paralelogram ima 2 jednaka oštra kuta i 2 jednaka tupa kuta, dan nam je zbroj dvaju tupih kutova, tj. ∠B +∠D = 220°. Tada je ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° kao kutovi uz jednu stranicu paralelograma, pa je ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Tada je ∠C =∠A = 70°.

Odgovor: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Zadatak 3. Jedan od kutova paralelograma je 3 puta veći od drugog. Odredite kutove paralelograma.

Neka je ∠A =x. Tada je ∠B = 3x. Znajući da je zbroj kutova paralelograma uz jednu od njegovih stranica 180°, napravit ćemo jednadžbu.

x = 180 : 4;

Dobivamo: ∠A = x = 45°, i ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki, dakle,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Odgovor: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Zadatak 4. Dokažite da ako četverokut ima dvije paralelne i jednake stranice, onda je taj četverokut paralelogram.

Dokaz.

Nacrtajmo dijagonalu BD i razmotrimo Δ ADB i Δ CBD.

AD = BC prema uvjetu. BD strana je uobičajena. ∠1 = ∠2 kao unutarnje poprečno leže s paralelnim (po uvjetu) pravcima AD i BC i sekantom BD. Dakle, Δ ADB = Δ CBD na dvije stranice i kut između njih (1. znak jednakosti trokuta). U sukladnim trokutima pripadni su kutovi jednaki, što znači ∠3 =∠4. A ovi kutovi su unutarnji kutovi koji leže poprečno s ravnim linijama AB i CD i sekantom BD. To znači da su pravci AB i CD paralelni. Dakle, u ovom četverokutu ABCD nasuprotne stranice su paralelne u parovima, dakle, po definiciji je ABCD paralelogram, što je i trebalo dokazati.

Zadatak 5. Dvije stranice paralelograma su u omjeru 2 : 5, a opseg je 3,5 m. Odredite stranice paralelograma.

∙ (AB + AD).

Označimo jedan dio s x. tada je AB = 2x, AD = 5x metara. Znajući da je opseg paralelograma 3,5 m, stvaramo jednadžbu:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Jedan dio je 0,25 m. Tada je AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 m; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 m.

Ispitivanje.

Opseg paralelograma P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Kako su nasuprotne stranice paralelograma jednake, onda je CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Odgovor: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Kao što su u euklidskoj geometriji točka i pravac glavni elementi teorije ravnina, tako je paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četverokuta. Iz njega, poput niti iz lopte, proizlaze pojmovi "pravokutnik", "kvadrat", "romb" i druge geometrijske veličine.

U kontaktu s

Definicija paralelograma

konveksni četverokut, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram prikazuje četverokut ABCD. Stranice se nazivaju bazama (AB, BC, CD i AD), okomica povučena iz bilo kojeg vrha na stranicu suprotnu od tog vrha naziva se visina (BE i BF), pravci AC i BD nazivaju se dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravokutnik su posebni slučajevi paralelograma.

Stranice i kutovi: značajke odnosa

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određena samom oznakom, dokazuju se teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Stranice koje su nasuprotne jednake su u paru.
2. Kutovi nasuprot jedan drugome jednaki su u parovima.

Dokaz: Promotrimo ∆ABC i ∆ADC, koji se dobiju dijeljenjem četverokuta ABCD s pravcem AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, budući da im je AC zajednički ( okomiti kutovi za BC||AD odnosno AB||CD). Iz toga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi znak jednakosti trokuta).

Dužci AB i BC u ∆ABC odgovaraju u paru pravcima CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Budući da je ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su također u paru identični, tada je ∠A = ∠C. Svojstvo je dokazano.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna značajka ovih pravaca paralelograma: sjecište ih dijeli na pola.

Dokaz: Neka je i. sjecište dijagonala AC i BD figure ABCD. Oni tvore dva sumjerljiva trokuta - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD jer su suprotni. Prema pravcima i sekantima je ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Po drugom kriteriju jednakosti je ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i ujedno su proporcionalni dijelovi AC i BD. Svojstvo je dokazano.

Značajke susjednih uglova

Susjedni kutovi imaju zbroj kutova jednak 180°, budući da leže s iste strane paralelnih pravaca i transverzale. Za četverokut ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , spušteni na jednu stranu, okomiti su;
2. nasuprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobiven povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakterističnih svojstava paralelograma pomoću teorema

Karakteristike ove figure proizlaze iz njenog glavnog teoreme, koji kaže sljedeće: četverokut se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ta ih točka dijeli na jednake segmente.

Dokaz: neka se pravci AC i BD četverokuta ABCD sijeku u t.j. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (po prvom kriteriju jednakosti trokuta). Odnosno, ∠EAD = ∠ECB. Oni su također unutarnji križni kutovi sekante AC za pravce AD ​​i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || prije Krista Također se izvodi slično svojstvo pravaca BC i CD. Teorem je dokazan.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure pronađeno na nekoliko metoda jedan od najjednostavnijih: množenje visine i baze na koju je povučena.

Dokaz: iz vrhova B i C povući okomice BE i CF. ∆ABE i ∆DCF su jednake jer je AB = CD i BE = CF. ABCD je po veličini jednak pravokutniku EBCF, jer se sastoje od sumjerljivih likova: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz ovoga slijedi da je područje ovog geometrijski lik nalazi se na isti način kao i pravokutnik:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Da bismo odredili opću formulu za površinu paralelograma, označimo visinu kao hb, a strana - b. Odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Izračuni površina kroz stranice paralelograma i kut, koji oni tvore, druga je poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α je kut između odsječaka a i b.

Ova se metoda praktički temelji na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsiječe pravokutni trokut, čiji se parametri nalaze pomoću trigonometrijskih identiteta, tj. Transformirajući relaciju, dobivamo . U jednadžbi prve metode visinu zamijenimo ovim umnoškom i dobijemo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i kut, koje stvaraju kada se sijeku, također možete pronaći područje.

Dokaz: AC i BD sijeku se tako da tvore četiri trokuta: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbroj jednak je površini ovog četverokuta.

Površina svakog od ovih ∆ može se pronaći izrazom , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , izračuni koriste jednu vrijednost sinusa. To je . Budući da je AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2, formula površine se svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Značajke sastavnih dijelova ovog četverokuta našle su primjenu u vektorskoj algebri, naime zbrajanje dvaju vektora. Pravilo paralelograma kaže da ako su dati vektoriINesu kolinearni, tada će njihov zbroj biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: od proizvoljno odabranog početka - tj. - konstruirati vektore i . Zatim konstruiramo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili sumi.

Formule za izračunavanje parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sljedećim uvjetima:

1. a i b, α - strane i kut između njih;
2. d 1 i d 2, γ - dijagonale i na mjestu njihova sjecišta;
3. h a i h b - visine spuštene na stranice a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
uz dijagonale i kosinus kuta između njih
po dijagonalama i stranicama
kroz visinu i suprotni vrh
Određivanje duljina dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih

Paralelogram je četverokut u kojem su nasuprotne stranice u paru paralelne.

Paralelogram ima sva svojstva četverokuta, ali osim toga ima i svoja razlikovna obilježja. Poznavajući ih, lako možemo pronaći i stranice i kutove paralelograma.

Svojstva paralelograma

1. Zbroj kutova u svakom paralelogramu, kao iu svakom četverokutu, iznosi 360°.
2. Srednje crte paralelograma i njegove dijagonale sijeku se u jednoj točki i njome se raspolavljaju. Ta se točka obično naziva središtem simetrije paralelograma.
3. Suprotne stranice paralelograma uvijek su jednake.
4. Također, ova figura uvijek ima jednake suprotne kutove.
5. Zbroj kutova koji priliježu bilo kojoj stranici paralelograma uvijek je 180°.
6. Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbroju kvadrata njegovih dviju susjednih stranica. To se izražava formulom:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, a i b susjedne stranice.
7. Kosinus tupog kuta uvijek je manji od nule.

Kako pomoću ovih svojstava u praksi pronaći kutove zadanog paralelograma? A koje nam druge formule mogu pomoći u tome? Pogledajmo konkretne zadatke koji zahtijevaju: pronaći kutove paralelograma.

Pronalaženje kutova paralelograma

Slučaj 1. Mjera tupog kuta je poznata, potrebno je pronaći oštar kut.

Primjer: U paralelogramu ABCD kut A iznosi 120°. Odredite mjere preostalih kutova.

Riješenje: Pomoću svojstva br. 5 možemo pronaći mjeru kuta B susjednog kuta zadanog u zadatku. Bit će jednako:

• 180°-120°= 60°

I sada, koristeći svojstvo br. 4, utvrđujemo da su dva preostala kuta C i D suprotna kutovima koje smo već pronašli. Kut C je nasuprot kutu A, kut D je nasuprot kutu B. Dakle, oni su u paru jednaki.

• Odgovor: B = 60°, C = 120°, D=60°

Slučaj 2. Poznate su duljine stranica i dijagonala

U ovom slučaju moramo koristiti teorem kosinusa.

Prvo možemo pomoću formule izračunati kosinus kuta koji nam je potreban, a zatim pomoću posebne tablice pronaći čemu je jednak sam kut.

Za oštar kut formula je:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), gdje je
• a je željeni oštri kut,
• A i B su stranice paralelograma,
• d - manja dijagonala

Za tupi kut, formula se malo mijenja:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), gdje je
• ß je tup kut,
• A i B su strane
• D - velika dijagonala

Primjer: potrebno je pronaći oštar kut paralelograma čije su stranice 6 cm i 3 cm, a manja dijagonala 5,2 cm.

Zamijenite vrijednosti u formulu da biste pronašli akutni kut:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Iz tablice saznajemo da je željeni kut 60°.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, odnosno leže na paralelnim pravcima (slika 1).

Teorem 1. O svojstvima stranica i kutova paralelograma. U paralelogramu su nasuprotne stranice jednake, nasuprotni kutovi su jednaki, a zbroj kutova uz jednu stranicu paralelograma je 180°.

Dokaz. U tom paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC i dobijemo dva trokuta ABC i ADC (slika 2).

Ti su trokuti jednaki jer je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (križni kutovi za paralelne pravce), a stranica AC je zajednička. Iz jednakosti Δ ABC = Δ ADC slijedi da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Zbroj kutova koji priliježu jednoj stranici, na primjer kutovi A i D, jednaki su 180° kao jednostrani. za paralelne pravce. Teorem je dokazan.

Komentar. Jednakost suprotnih stranica paralelograma znači da su odsječci paralela odsječeni paralelnima jednaki.

Posljedica 1. Ako su dva pravca paralelna, tada su sve točke na jednom pravcu jednako udaljene od drugog pravca.

Dokaz. Doista, neka || b (slika 3).

Povucimo okomice BA i CD na pravac a iz neke dvije točke B i C pravca b. Budući da je AB || CD, tada je lik ABCD paralelogram, pa je prema tome AB = CD.

Udaljenost između dva paralelna pravca je udaljenost proizvoljne točke na jednom od pravaca do drugog pravca.

Prema onome što je dokazano, jednaka je duljini okomice povučene iz neke točke jednog od usporednih pravaca na drugi pravac.

Primjer 1. Opseg paralelograma je 122 cm. Jedna mu je stranica 25 cm veća od druge. Odredite stranice paralelograma.

Riješenje. Prema teoremu 1, suprotne stranice paralelograma su jednake. Označimo jednu stranu paralelograma s x, a drugu s y. Zatim, prema uvjetu $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rješavajući ovaj sustav, dobivamo x = 43, y = 18 Dakle, stranice paralelograma su 18, 43, 18 i 43 cm.

Primjer 2.

Riješenje. Neka slika 4 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo AB s x, a BC s y. Prema uvjetu, opseg paralelograma je 10 cm, tj. 2(x + y) = 10, odnosno x + y = 5. Opseg trokuta ABD je 8 cm. A kako je AB + AD = x + y = 5 zatim BD = 8 - 5 = 3. Dakle, BD = 3 cm.

Primjer 3. Odredite kutove paralelograma, znajući da je jedan od njih za 50° veći od drugog.

Riješenje. Neka slika 5 ispunjava uvjete zadatka.

Označimo stupanjsku mjeru kuta A s x. Zatim stupanjska mjera kut D jednak je x + 50°.

Kutovi BAD i ADC su jednostrani unutarnji kutovi s paralelnim pravcima AB i DC i sekantom AD. Tada će zbroj ovih imenovanih kutova biti 180°, tj.
x + x + 50° = 180°, ili x = 65°. Dakle, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primjer 4. Stranice paralelograma su 4,5 dm i 1,2 dm. Iz vrha oštrog kuta povučena je simetrala. Na koje dijelove se dijeli? velika strana paralelogram?

Riješenje. Neka slika 6 ispunjava uvjete zadatka.

AE je simetrala šiljastog kuta paralelograma. Stoga je ∠ 1 = ∠ 2.