Jednadžba tangente na graf funkcije

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
regija Čeljabinsk

Jednadžba tangente na graf funkcije

Članak je objavljen uz potporu hotelskog kompleksa ITAKA +. Boraveći u gradu brodograditelja Severodvinsk, nećete se suočiti s problemom pronalaska privremenog smještaja. , na stranici hotelski kompleks"ITAKA +" http://itakaplus.ru, možete jednostavno i brzo iznajmiti stan u gradu, za bilo koji period, uz dnevno plaćanje.

Na sadašnjoj fazi razvoj obrazovanja kao jedan od njegovih glavnih zadataka je formiranje kreativno promišljene osobnosti. Sposobnost učenika za kreativnost može se razviti samo ako su sustavno uključeni u temelje istraživačke djelatnosti. Temelj za korištenje svojih kreativnih moći, sposobnosti i talenta od strane učenika su formirana punopravna znanja i vještine. S tim u vezi, problem formiranja sustava temeljnih znanja i vještina o svakoj temi školskog kolegija matematike nije od male važnosti. Istodobno, cjelovite vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već njihovog pažljivo promišljenog sustava. U najširem smislu, sustav se shvaća kao skup međusobno povezanih međusobno povezanih elemenata koji imaju cjelovitost i stabilnu strukturu.

Razmotrimo metodologiju za podučavanje učenika kako sastaviti jednadžbu tangente na graf funkcije. U biti, svi problemi nalaženja tangentne jednadžbe svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, obitelji) ravnih linija odaberu oni od njih koji zadovoljavaju određeni zahtjev - tangenti su na graf određene funkcije. Štoviše, skup linija iz kojih se vrši odabir može se odrediti na dva načina:

a) točka koja leži na ravnini xOy (središnji snop ravnih linija);
b) nagib (paralelni snop ravnih linija).

U tom smislu, prilikom proučavanja teme "Tangensa na graf funkcije" kako bismo izolirali elemente sustava, identificirali smo dvije vrste zadataka:

1) problemi na tangenti, zadani točkom kroz koju ona prolazi;
2) problem na tangentnoj liniji koju daje njezin nagib.

Učenje rješavanja problema na tangentnoj liniji provedeno je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), te stoga jednadžba tangente ima oblik

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(usporedi s y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ova metodička tehnika, po našem mišljenju, omogućuje učenicima da brže i lakše razumiju gdje su koordinate trenutne točke zapisane u opća jednadžba tangente, a gdje su dodirne točke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f (x)

1. Apscisu dodirne točke označite slovom a.
2. Pronađite f (a).
3. Pronađite f "(x) i f" (a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a) u opću jednadžbu tangentne linije y = f (a) = f" (a) (x - a).

Ovaj se algoritam može sastaviti na temelju studentskog samostalnog odabira operacija i redoslijeda njihove provedbe.

Praksa je pokazala da sekvencijalno rješavanje svakog od ključnih problema uz pomoć algoritma omogućuje formiranje vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referenca bodova za akcije. Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji, koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identificirana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi kroz točku na krivulji (zadatak 1);
• tangenta prolazi točkom koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Napravite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki M (3; - 2).

Riješenje. Točka M (3; - 2) je točka dodira, budući da

1.a = 3 - apscisa točke dodira.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - jednadžba tangente.

Zadatak 2. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2 koja prolazi točkom M (- 3; 6).

Riješenje. Točka M (- 3; 6) nije tangentna točka, budući da je f (- 3) 6 (sl. 2).

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) je jednadžba tangentne linije.

Tangenta prolazi kroz točku M (- 3; 6), stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = - 4, tada je jednadžba tangente y = 4x + 18.

Ako je a = - 2, tada jednadžba tangente ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti, ključni zadaci bit će sljedeći:

• tangenta je paralelna s nekom ravnom crtom (problem 3);
• tangenta prolazi pod određenim kutom na zadanu ravnu crtu (4. zadatak).

Zadatak 3. Napiši jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s ravnom crtom y = 9x + 1.

Riješenje.

1.a - apscisa točke dodira.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f"(a) = 9 (uvjet paralelizma). Dakle, potrebno je riješiti jednadžbu 3a 2 - 6a = 9. Njezini korijeni su a = - 1, a = 3 (slika 3. ).

4.1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - jednadžba tangente;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - jednadžba tangente.

Zadatak 4. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod kutom od 45 ° do ravne crte y = 0 (slika 4).

Riješenje. Iz uvjeta f"(a) = tan 45° nalazimo a: a - 3 = 1^ a = 4.

1.a = 4 - apscisa točke dodira.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješavanje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva zadatka kao primjer.

1. Napišite jednadžbe tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente sijeku pod pravim kutom i jedna od njih dodiruje parabolu u točki s apscisom 3 (slika 5).

Riješenje. Budući da je dana apscisa dodirne točke, prvi dio rješenja svodi se na ključni zadatak 1.

1.a = 3 - apscisa tangentne točke jedne od stranica pravi kut.
2.f (3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednadžba prve tangente.

Neka a - kut nagiba prve tangente. Budući da su tangente okomite, onda je kut nagiba druge tangente. Iz jednadžbe y = 7x - 20 prve tangente imamo tg a = 7. Nađi

To znači da je nagib druge tangente.

Daljnje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je onda B (c; f (c)) točka dodira druge ravne linije

1. - apscisa druge dodirne točke.
2.
3.
4.
- jednadžba druge tangente.

Bilješka. Nagib tangente se može lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravaca k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Riješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscise točaka dodira zajedničkih tangenti, odnosno na rješavanje ključnog problema 1 u općem obliku, sastavljanje sustava jednadžbi i njegovo naknadno rješenje (slika 6.).

1. Neka je a apscisa dodirne točke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa dodirne točke koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Budući da su tangente uobičajene, onda

Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedničke tangente.

Glavni cilj razmatranih zadataka je pripremiti učenike za samoprepoznavanje vrste ključnog zadatka pri rješavanju više teške zadatke koje zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, uspoređivanja, generalizacije, hipoteze itd.). Ovi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo, kao primjer, problem (inverzan problemu 1) pronaći funkciju prema obitelji njezinih tangenta.

3. Za koje su b i c pravci y = x i y = - 2x tangenti na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Riješenje.

Neka je t apscisa dodirne točke pravca y = x s parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne točke ravne linije y = - 2x s parabolom y = x 2 + bx + c. Tada jednadžba tangente y = x poprima oblik y = (2t + b) x + c - t 2, a jednadžba tangente y = - 2x ima oblik y = (2p + b) x + c - str 2.

Sastavimo i riješimo sustav jednadžbi

Odgovor:

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Napišite jednadžbe tangenti povučenih na graf funkcije y = 2x 2 - 4x + 3 u točkama presjeka grafa s ravnom crtom y = x + 3.

Odgovor: y = - 4x + 3, y = 6x - 9,5.

2. Pri kojim vrijednostima a tangenta povučena na graf funkcije y = x 2 - ax u točki grafa s apscisom x 0 = 1 prolazi točkom M (2; 3)?

Odgovor: a = 0,5.

3. Za koje vrijednosti p linija y = px - 5 dodiruje krivulju y = 3x 2 - 4x - 2?

Odgovor: p 1 = - 10, p 2 = 2.

4. Pronađite sve zajedničke točke grafa funkcije y = 3x - x 3 i tangentu povučenu na ovaj graf kroz točku P (0; 16).

Odgovor: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. Pronađite najkraću udaljenost između parabole y = x 2 + 6x + 10 i ravne

Odgovor:

6. Na krivulji y = x 2 - x + 1 pronađite točku u kojoj je tangenta na graf paralelna s pravcem y - 3x + 1 = 0.

Odgovor: M (2; 3).

7. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = x 2 + 2x - | 4x | koji ga dodiruje u dvije točke. Napravite crtež.

Odgovor: y = 2x - 4.

8. Dokažite da pravac y = 2x - 1 ne siječe krivulju y = x 4 + 3x 2 + 2x. Pronađite udaljenost između njihovih najbližih točaka.

Odgovor:

9. Na paraboli y = x 2 uzete su dvije točke s apscisama x 1 = 1, x 2 = 3. Kroz te točke povučena je sekantna crta. U kojoj će točki parabole tangenta na nju biti paralelna s nacrtanom sekantom? Zapišite jednadžbe sekansa i tangente.

Odgovor: y = 4x - 3 - sekantna jednadžba; y = 4x - 4 - jednadžba tangente.

10. Pronađite kut q između tangenti na graf funkcije y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1, nacrtan u točkama s apscisama 0 i 1.

Odgovor: q = 45 °.

11. U kojim točkama tangenta na graf funkcije čini kut od 135 ° s osi Ox?

Odgovor: A (0; - 1), B (4; 3).

12.U točki A (1; 8) do krivulje povučena je tangenta. Pronađite duljinu tangente između koordinatnih osi.

Odgovor:

13. Napišite jednadžbu svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija y = x 2 - x + 1 i y = 2x 2 - x + 0,5.

Odgovor: y = - 3x i y = x.

14. Nađite udaljenost između tangenti na graf funkcije paralelne s osi apscise.

Odgovor:

15. Odredi pod kojim kutovima parabola y = x 2 + 2x - 8 siječe os apscise.

Odgovor: q 1 = arktan 6, q 2 = arktan (- 6).

16. Na grafu funkcije pronaći sve točke, od kojih tangenta u svakoj na ovaj graf siječe pozitivne poluosi koordinata, odsijecajući od njih jednake segmente.

Odgovor: A (- 3; 11).

17. Pravac y = 2x + 7 i parabola y = x 2 - 1 susreću se u točkama M i N. Nađi točku presjeka K pravaca tangentnih na parabolu u točkama M i N.

Odgovor: K (1; - 9).

18. Za koje vrijednosti b je pravac y = 9x + b tangent na graf funkcije y = x 3 - 3x + 15?

Odgovor: - 1; 31.

19. Za koje vrijednosti k pravac y = kx - 10 ima samo jednu zajedničku točku s grafom funkcije y = 2x 2 + 3x - 2? Za pronađene vrijednosti k odredite koordinate točke.

Odgovor: k 1 = - 5, A (- 2; 0); k 2 = 11, B (2; 12).

20. Pri kojim vrijednostima b tangenta povučena na graf funkcije y = bx 3 - 2x 2 - 4 u točki s apscisom x 0 = 2 prolazi točkom M (1; 8)?

Odgovor: b = - 3.

21. Parabola s vrhom na osi Ox dodiruje ravnu liniju koja prolazi kroz točke A (1; 2) i B (2; 4), u točki B. Pronađite jednadžbu parabole.

Odgovor:

22. Pri kojoj vrijednosti koeficijenta k parabola y = x 2 + kx + 1 dodiruje os Ox?

Odgovor: k = q 2.

23. Pronađite kutove između pravca y = x + 2 i krivulje y = 2x 2 + 4x - 3.

29. Pronađite udaljenost između tangenta generatora na graf funkcije s pozitivnim smjerom osi Ox, kutom od 45 °.

Odgovor:

30. Pronađite mjesto vrhova svih parabola oblika y = x 2 + ax + b koji dodiruju pravac y = 4x - 1.

Odgovor: pravac y = 4x + 3.

Književnost

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra i početak analize: 3600 zadataka za školarce i studente. - M., Drfa, 1999.
2. Mordkovich A. Četvrti seminar za mlade učitelje. Tema je "Izvedene aplikacije". - M., "Matematika", br. 21/94.
3. Formiranje znanja i vještina na temelju teorije postupne asimilacije mentalnih radnji. / Ed. P.Ya. Galperin, N.F. Talyzina. - M., Moskovsko državno sveučilište, 1968.

U današnjoj fazi razvoja obrazovanja, jedna od njegovih glavnih zadaća je formiranje kreativno promišljene osobnosti. Sposobnost učenika za kreativnost može se razviti samo ako su sustavno uključeni u temelje istraživačke djelatnosti. Temelj za korištenje svojih kreativnih moći, sposobnosti i talenta od strane učenika su formirana punopravna znanja i vještine. S tim u vezi, problem formiranja sustava temeljnih znanja i vještina o svakoj temi školski tečaj matematika je važna. Istodobno, cjelovite vještine trebale bi biti didaktički cilj ne pojedinačnih zadataka, već njihovog pažljivo promišljenog sustava. U najširem smislu, sustav se shvaća kao skup međusobno povezanih međusobno povezanih elemenata koji imaju cjelovitost i stabilnu strukturu.

Razmotrimo metodologiju za podučavanje učenika kako sastaviti jednadžbu tangente na graf funkcije. U biti, svi problemi nalaženja jednadžbe tangente svode se na potrebu da se iz skupa (snopa, obitelji) ravnih linija odaberu oni od njih koji zadovoljavaju određeni zahtjev - tangenti su na graf određene funkcije. Štoviše, skup linija iz kojih se vrši odabir može se odrediti na dva načina:

a) točka koja leži na ravnini xOy (središnji snop ravnih linija);
b) nagib (paralelni snop ravnih linija).

S tim u vezi, prilikom proučavanja teme "Tangenta na graf funkcije" kako bismo izolirali elemente sustava, identificirali smo dvije vrste zadataka:

1) problemi na tangenti, zadani točkom kroz koju ona prolazi;
2) problem na tangentnoj liniji koju daje njezin nagib.

Učenje rješavanja problema na tangentnoj liniji provedeno je pomoću algoritma koji je predložio A.G. Mordkovich. Njegova temeljna razlika od već poznatih je u tome što je apscisa tangentne točke označena slovom a (umjesto x0), te stoga jednadžba tangente ima oblik

y = f (a) + f "(a) (x - a)

(usporedi s y = f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Ova metodička tehnika, po našem mišljenju, omogućuje učenicima da brže i lakše razumiju gdje su koordinate trenutne točke zapisane u opća jednadžba tangente, a gdje su dodirne točke.

Algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f (x)

1. Apscisu dodirne točke označite slovom a.
2. Pronađite f (a).
3. Pronađite f "(x) i f" (a).
4. Zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a) u opću jednadžbu tangentne linije y = f (a) = f" (a) (x - a).

Ovaj se algoritam može sastaviti na temelju studentskog samostalnog odabira operacija i redoslijeda njihove provedbe.

Praksa je pokazala da sekvencijalno rješavanje svakog od ključnih problema uz pomoć algoritma omogućuje formiranje vještine pisanja jednadžbe tangente na graf funkcije u fazama, a koraci algoritma služe kao referenca bodova za akcije. Ovaj pristup odgovara teoriji postupnog formiranja mentalnih radnji, koju je razvio P.Ya. Galperin i N.F. Talyzina.

U prvoj vrsti zadataka identificirana su dva ključna zadatka:

• tangenta prolazi kroz točku na krivulji (zadatak 1);
• tangenta prolazi točkom koja ne leži na krivulji (problem 2).

Zadatak 1. Napravite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki M (3; - 2).

Riješenje. Točka M (3; - 2) je točka dodira, budući da

1.a = 3 - apscisa točke dodira.
2.f (3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f" (3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - jednadžba tangente.

Zadatak 2. Napišite jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = - x 2 - 4x + 2 koja prolazi točkom M (- 3; 6).

Riješenje. Točka M (- 3; 6) nije dodirna točka, budući da je f (- 3) 6 (slika 2).

2.f (a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f" (a) = - 2a - 4.
4.y = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) je jednadžba tangentne linije.

Tangenta prolazi kroz točku M (- 3; 6), stoga njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu tangente.

6 = - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Ako je a = - 4, tada je jednadžba tangente y = 4x + 18.

Ako je a = - 2, tada jednadžba tangente ima oblik y = 6.

U drugoj vrsti, ključni zadaci bit će sljedeći:

• tangenta je paralelna s nekom ravnom crtom (problem 3);
• tangenta prolazi pod određenim kutom na zadanu ravnu crtu (4. zadatak).

Zadatak 3. Napiši jednadžbe svih tangenti na graf funkcije y = x 3 - 3x 2 + 3, paralelno s ravnom crtom y = 9x + 1.

1.a - apscisa točke dodira.
2.f (a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f" (a) = 3a 2 - 6a.

Ali, s druge strane, f"(a) = 9 (uvjet paralelizma). Dakle, potrebno je riješiti jednadžbu 3a 2 - 6a = 9. Njezini korijeni su a = - 1, a = 3 (slika 3. ).

4.1) a = - 1;
2) f (- 1) = - 1;
3) f "(- 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - jednadžba tangente;

1) a = 3;
2) f (3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x - 24 - jednadžba tangente.

Zadatak 4. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y = 0,5x 2 - 3x + 1, koja prolazi pod kutom od 45 ° do ravne crte y = 0 (slika 4).

Riješenje. Iz uvjeta f "(a) = tan 45 ° nalazimo a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1.a = 4 - apscisa točke dodira.
2.f (4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4.y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x - 7 - jednadžba tangente.

Lako je pokazati da se rješavanje bilo kojeg drugog problema svodi na rješavanje jednog ili više ključnih problema. Razmotrite sljedeća dva zadatka kao primjer.

1. Napišite jednadžbe tangenti na parabolu y = 2x 2 - 5x - 2, ako se tangente sijeku pod pravim kutom i jedna od njih dodiruje parabolu u točki s apscisom 3 (slika 5).

Riješenje. Budući da je dana apscisa dodirne točke, prvi dio rješenja svodi se na ključni zadatak 1.

1.a = 3 - apscisa točke tangentnosti jedne od stranica pravog kuta.
2.f (3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f" (3) = 7.
4.y = 1 + 7 (x - 3), y = 7x - 20 - jednadžba prve tangente.

Neka je a kut nagiba prve tangente. Budući da su tangente okomite, onda je kut nagiba druge tangente. Iz jednadžbe y = 7x - 20 prve tangente imamo tg a = 7. Pronađite

To znači da je nagib druge tangente.

Daljnje rješenje svodi se na ključni zadatak 3.

Neka je onda B (c; f (c)) točka dodira druge ravne linije

1. - apscisa druge dodirne točke.
2.
3.
4.
- jednadžba druge tangente.

Bilješka. Nagib tangente se može lakše pronaći ako učenici znaju omjer koeficijenata okomitih pravaca k 1 k 2 = - 1.

2. Napišite jednadžbe svih zajedničkih tangenti na grafove funkcija

Riješenje. Zadatak se svodi na pronalaženje apscise točaka dodira zajedničkih tangenti, odnosno na rješavanje ključnog problema 1 u općem obliku, sastavljanje sustava jednadžbi i njegovo naknadno rješenje (slika 6.).

1. Neka je a apscisa dodirne točke koja leži na grafu funkcije y = x 2 + x + 1.
2.f (a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4.y = a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) = (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Neka je c apscisa dodirne točke koja leži na grafu funkcije
2.
3. f "(c) = c.
4.

Budući da su tangente uobičajene, onda

Dakle, y = x + 1 i y = - 3x - 3 su zajedničke tangente.

Glavni cilj razmatranih zadataka je pripremiti učenike za samoprepoznavanje vrste ključnog zadatka pri rješavanju složenijih problema koji zahtijevaju određene istraživačke vještine (sposobnost analize, uspoređivanja, generalizacije, postavljanja hipoteze i sl.). Ovi zadaci uključuju svaki zadatak u kojem je ključni zadatak uključen kao komponenta. Razmotrimo, kao primjer, problem (inverzan problemu 1) pronaći funkciju prema obitelji njezinih tangenta.

3. Za koje su b i c pravci y = x i y = - 2x tangenti na graf funkcije y = x 2 + bx + c?

Neka je t apscisa dodirne točke pravca y = x s parabolom y = x 2 + bx + c; p je apscisa dodirne točke ravne linije y = - 2x s parabolom y = x 2 + bx + c. Tada jednadžba tangente y = x poprima oblik y = (2t + b) x + c - t 2, a jednadžba tangente y = - 2x ima oblik y = (2p + b) x + c - str 2.

Sastavimo i riješimo sustav jednadžbi

Odgovor:

U članku se detaljno objašnjavaju definicije, geometrijsko značenje izvedenice s grafički simboli... Razmotrit će se jednadžba tangente s primjerima, pronaći jednadžbe tangente na krivulje 2. reda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Kut nagiba ravne crte y = k x + b naziva se kut α, koji se mjeri od pozitivnog smjera osi x do ravne crte y = k x + b u pozitivnom smjeru.

Na slici je smjer o x označen zelenom strelicom iu obliku zelenog luka, a kut nagiba crvenim lukom. Plava linija se odnosi na ravnu liniju.

Definicija 2

Nagib ravne linije y = k x + b naziva se brojčani koeficijent k.

Nagib je jednak tangenti nagiba ravne, drugim riječima, k = t g α.

• Kut nagiba ravne je 0 samo ako je paralelna s x, a nagib jednak nuli, jer je tangenta nule 0. Dakle, oblik jednadžbe će biti y = b.
• Ako je nagib ravne y = k x + b oštar, tada su uvjeti 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается pozitivan broj, jer vrijednost tangente zadovoljava uvjet t g α> 0, a graf se povećava.
• Ako je α = π 2, tada je položaj ravne linije okomit na x. Jednakost se određuje pomoću jednakosti x = c pri čemu je c realan broj.
• Ako je kut nagiba ravne y = k x + b tup, onda odgovara uvjetima π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sekantom se naziva pravac koji prolazi kroz 2 točke funkcije f (x). Drugim riječima, sekantna crta je ravna crta koja se povlači kroz bilo koje dvije točke na grafu zadane funkcije.

Slika pokazuje da je A B sekansa, a f (x) crna krivulja, α crveni luk, što znači kut nagiba sekante.

Kada je nagib ravne crte jednak tangenti kuta nagiba, vidi se da se tangenta iz pravokutnog trokuta ABC može naći u odnosu na suprotnu nogu susjednom.

Definicija 4

Dobivamo formulu za pronalaženje sekansa oblika:

k = tan α = BCAC = f (x B) - fx A x B - x A, gdje su apscise točaka A i B vrijednosti x A, x B i f (x A), f (x B) su funkcije vrijednosti u tim točkama.

Očito, nagib sekante određuje se pomoću jednakosti k = f (x B) - f (x A) x B - x A ili k = f (x A) - f (x B) x A - x B, a jednadžba se mora napisati kao y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ili
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sekanta vizualno dijeli graf na 3 dijela: lijevo od točke A, od A do B, desno od B. Slika ispod pokazuje da postoje tri sekante koje se smatraju podudarnim, odnosno postavljene koristeći sličnu jednadžbu.

Po definiciji je jasno da pravac i njegova sekansa u u ovom slučaju podudarati.

Sekansa može više puta presijecati graf zadane funkcije. Ako postoji jednadžba oblika y = 0 za sekantu, tada je broj točaka presjeka sa sinusoidom beskonačan.

Definicija 5

Tangenta na graf funkcije f (x) u točki x 0; f (x 0) naziva se ravna linija koja prolazi kroz danu točku x 0; f (x 0), uz prisutnost segmenta koji ima skup vrijednosti x blizu x 0.

Primjer 1

Pogledajmo pobliže primjer u nastavku. Tada se može vidjeti da se pravac definiran funkcijom y = x + 1 smatra tangentnom na y = 2 x u točki s koordinatama (1; 2). Radi jasnoće, potrebno je razmotriti grafove s vrijednostima bliskim (1; 2). Funkcija y = 2 x prikazana je crnom bojom, plava linija je tangentna linija, a crvena točka je točka presjeka.

Očito, y = 2 x spaja se s pravom y = x + 1.

Da bismo odredili tangentu, treba razmotriti ponašanje tangente AB s beskonačnim približavanjem točke B točki A. Radi jasnoće, predstavljamo sliku.

Sekansa AB, označena plavom linijom, teži položaju same tangente, a kut nagiba sekante α počet će težiti kutu nagiba same tangente α x.

Definicija 6

Tangenta na graf funkcije y = f (x) u točki A je granični položaj sekante A B kada B teži A, odnosno B → A.

Sada prelazimo na razmatranje geometrijskog značenja derivacije funkcije u točki.

Prijeđimo na razmatranje sekante A V za funkciju f (x), gdje su A i V s koordinatama x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), i ∆ x se označava kao prirast argumenta ... Sada funkcija ima oblik ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x). Radi jasnoće, dajmo primjer slike.

Uzmite u obzir primljeno pravokutni trokut A B C. Za rješenje koristimo definiciju tangente, odnosno dobivamo omjer ∆ y ∆ x = t g α. Iz definicije tangente slijedi da je lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x. Po pravilu derivacije u točki, imamo da se derivacija f (x) u točki x 0 naziva granicom omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, gdje je ∆ x → 0, tada označavamo kao f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ...

Slijedi da je f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdje je k x označen kao nagib tangente.

To jest, dobivamo da f '(x) može postojati u točki x 0 i, poput tangente na dani graf funkcije u točki tangentnosti jednakoj x 0, f 0 (x 0), gdje je vrijednost nagiba tangente u točki jednaka je derivaciji u točki x 0. Tada dobivamo da je k x = f "(x 0).

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u točki je da je dan koncept postojanja tangente na graf u istoj točki.

Da biste napisali jednadžbu bilo koje ravne linije na ravnini, morate imati nagib s točkom kroz koju ona prolazi. Njegova oznaka se uzima kao x 0 na raskrižju.

Jednadžba tangente na graf funkcije y = f (x) u točki x 0, f 0 (x 0) ima oblik y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Znači da konačna vrijednost derivacije f "(x 0), možete odrediti položaj tangente, odnosno okomito pod uvjetom lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ili uopće ništa za uvjet lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Položaj tangente ovisi o vrijednosti njenog nagiba kx = f "(x 0). Kada je paralelna s osi vola, dobivamo da je kk = 0, kada je paralelna s oy - kx = ∞, a oblik jednadžbe tangente x = x 0 raste pri kx> 0, opada za kx< 0 .

Primjer 2

Nacrtaj jednadžbu tangente na graf funkcije y = ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 u točki s koordinatama (1; 3) s određivanjem kuta nagib.

Riješenje

Po hipotezi imamo da je funkcija definirana za sve realne brojeve. Dobivamo da je točka s koordinatama zadanim uvjetom (1; 3) točka tangentnosti, tada je x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Potrebno je pronaći derivaciju u točki s vrijednošću - 1. Shvaćamo to

y "= ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Vrijednost f '(x) u točki tangente je nagib tangente, koji je jednak tangentu nagiba.

Tada je k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Slijedi da je α x = a r c t g 3 3 = π 6

Odgovor: tangentna jednadžba poprima oblik

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Radi jasnoće dat ćemo primjer u grafičkoj ilustraciji.

Crna se koristi za graf izvorne funkcije, plava boja- slika tangente, crvena točka - tangentna točka. Slika s desne strane prikazuje uvećani prikaz.

Primjer 3

Saznati postojanje tangente na graf zadane funkcije
y = 3 x - 1 5 + 1 u točki s koordinatama (1; 1). Sastavite jednadžbu i odredite kut nagiba.

Riješenje

Prema hipotezi, imamo da je domena zadane funkcije skup svih realnih brojeva.

Prijeđimo na traženje izvedenice

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ako je x 0 = 1, tada je f '(x) nedefinirano, ali su granice zapisane kao lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞, što znači postojanje vertikalne tangente na točka (1; 1).

Odgovor: jednadžba će dobiti oblik x = 1, pri čemu će kut nagiba biti jednak π 2.

Radi jasnoće, prikazat ćemo ga grafički.

Primjer 4

Pronađite točke na grafu funkcije y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, gdje je

1. Tangenta ne postoji;
2. Tangenta je paralelna s x;
3. Tangenta je paralelna s ravnom linijom y = 8 5 x + 4.

Riješenje

Potrebno je obratiti pozornost na domenu definicije. Po hipotezi imamo da je funkcija definirana na skupu svih realnih brojeva. Proširiti modul i riješiti sustav s intervalima x ∈ - ∞; 2 i [-2; + ∞). Shvaćamo to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Potrebno je razlikovati funkciju. mi to imamo

y "= - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Kada je x = - 2, onda derivacija ne postoji jer jednostrane granice nisu jednake u ovoj točki:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Izračunamo vrijednost funkcije u točki x = - 2, gdje to dobijemo

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, odnosno tangenta u točki ( - 2; - 2) neće postojati.
2. Tangenta je paralelna s x kada je nagib nula. Tada je kx = tan α x = f "(x 0). To jest, potrebno je pronaći vrijednosti takvog x kada ga derivacija funkcije okrene na nulu. To jest, vrijednosti f ' (x) bit će dodirne točke, gdje je tangenta paralelna s x ...

Kada je x ∈ - ∞; - 2, tada je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, a za x ∈ (- 2; + ∞) dobivamo 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

Izračunajte odgovarajuće vrijednosti funkcije

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dakle - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 se smatraju traženim točkama grafa funkcije.

Smatrati grafička slika rješenja.

Crna linija je graf funkcije, crvene točke su dodirne točke.

1. Kada su linije paralelne, nagibi su jednaki. Zatim trebate potražiti točke na grafu funkcije, gdje će nagib biti jednak vrijednosti 8 5. Da bismo to učinili, moramo riješiti jednadžbu oblika y "(x) = 8 5. Tada, ako je x ∈ - ∞; - 2, dobivamo da je - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ako je x ∈ ( - 2; + ∞), tada je 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Prva jednadžba nema korijen, budući da je diskriminant manje od nule... Hajde da to zapišemo

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Druga jednadžba, dakle, ima dva realna korijena

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

Prijeđimo na traženje vrijednosti funkcije. Shvaćamo to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Bodovi s vrijednostima - 1; 4 15,5; 8 3 su točke u kojima su tangente paralelne s pravcem y = 8 5 x + 4.

Odgovor: crna linija - graf funkcije, crvena linija - graf y = 8 5 x + 4, plava linija - tangente u točkama - 1; 4 15,5; 8 3.

Za zadane funkcije može postojati beskonačan broj tangenata.

Primjer 5

Napišite jednadžbe svih dostupnih tangentnih funkcija y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, koje se nalaze okomito na pravu liniju y = - 2 x + 1 2.

Riješenje

Za sastavljanje jednadžbe tangente potrebno je pronaći koeficijent i koordinate točke tangente, na temelju uvjeta okomitosti ravnih linija. Definicija je sljedeća: umnožak koeficijenata nagiba koji su okomiti na ravne je - 1, odnosno zapisuje se kao k x k ⊥ = - 1. Iz uvjeta imamo da je nagib okomit na pravu i jednak k ⊥ = - 2, tada je k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Sada morate pronaći koordinate točaka dodira. Trebate pronaći x, nakon čega je njegova vrijednost za danu funkciju. Imajte na umu da iz geometrijskog značenja derivacije u točki
x 0 dobivamo da je k x = y "(x 0). Iz ove jednakosti nalazimo vrijednosti x za točke dodira.

Shvaćamo to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "= = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx = y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 19

to trigonometrijska jednadžba koristit će se za izračunavanje ordinata dodirnih točaka.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ili 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ili x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z je skup cijelih brojeva.

Pronađeno x točaka dodira. Sada morate ići na potragu za vrijednostima y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ili y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ili y 0 = - 4 5 + 1 3

Otuda dobivamo da je 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 su dodirne točke.

Odgovor: potrebne jednadžbe bit će zapisane kao

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Za vizualni prikaz razmotrite funkciju i tangentu na koordinatnoj liniji.

Slika pokazuje da je mjesto funkcije u intervalu [- 10; 10], gdje je crna linija graf funkcije, a plave linije su tangente, koje se nalaze okomito na zadanu liniju oblika y = - 2 x + 1 2. Crvene točke su dodirne točke.

Kanonske jednadžbe krivulja reda 2 nisu jednovrijedne funkcije. Jednadžbe tangenti za njih sastavljene su prema dobro poznatim shemama.

Tangenta kružnice

Definirati kružnicu sa središtem u točki x c e n t e r; y c e n t e r i polumjer R primjenjuje se formula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Ova se jednakost može napisati kao unija dviju funkcija:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prva funkcija nalazi se na vrhu, a druga na dnu, kao što je prikazano na slici.

Sastaviti jednadžbu kružnice u točki x 0; y 0, koji se nalazi u gornjem ili donjem polukrugu, trebali biste pronaći jednadžbu grafa funkcije oblika y = R 2 - x - xcenter 2 + ycenter ili y = - R 2 - x - xcenter 2 + ycentar u naznačenoj točki.

Kada su u točkama x c e n t e r; y c e n t e r + R i x c e n t e r; y c e n t e r - R tangente mogu se dati jednadžbama y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R, a u točkama x c e n t e r + R; y c e n t e r i
x c e n t e r - R; y c e n t e r će biti paralelan oko y, tada ćemo dobiti jednadžbe oblika x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R.

Tangenta elipse

Kad elipsa ima središte u točki x c e n t e r; y c e n t e r s poluosama a i b, tada se može odrediti pomoću jednadžbe x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsa i krug mogu se označiti kombiniranjem dviju funkcija, odnosno gornje i donje poluelipse. Onda to dobivamo

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ako se tangente nalaze na vrhovima elipse, tada su paralelne oko x ili oko y. U nastavku, radi jasnoće, razmotrite sliku.

Primjer 6

Napišite jednadžbu tangente na elipsu x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 u točkama s x vrijednostima jednakim x = 2.

Riješenje

Potrebno je pronaći dodirne točke koje odgovaraju vrijednosti x = 2. Zamjenjujemo u postojeću jednadžbu elipse i dobivamo to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Zatim 2; 5 3 2 + 5 i 2; - 5 3 2 + 5 su dodirne točke koje pripadaju gornjoj i donjoj poluelipsi.

Okrenimo se pronalaženju i rješavanju jednadžbe elipse s obzirom na y. Shvaćamo to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Očito je da je gornja poluelipsa određena pomoću funkcije oblika y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, a donja y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Primijenimo standardni algoritam kako bismo formirali jednadžbu tangente na graf funkcije u točki. Zapisujemo da je jednadžba za prvu tangentu u točki 2; 5 3 2 + 5 imat će oblik

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dobivamo da je jednadžba druge tangente s vrijednošću u točki
2; - 5 3 2 + 5 poprima oblik

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "= = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafički se tangente označavaju na sljedeći način:

Tangenta na hiperbolu

Kada hiperbola ima središte u točki x c e n t e r; y c e n t e r i vrhovi x c e n t e r + α; y c e n t e r i x c e n t e r - α; y c e n t e r, nejednakost je specificirana x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ako je s vrhovima x c e n t e r; y c e n t e r + b i x c e n t e r; y c e n t e r - b, tada je zadana nejednakošću x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1.

Hiperbola se može predstaviti kao dvije kombinirane funkcije oblika

y = ba (x - xcentar) 2 - a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter ili y = ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycenter = - ba (x - xcenter) ) 2 + a 2 + ycentar

U prvom slučaju imamo da su tangente paralelne s y, au drugom paralelne s x.

Otuda slijedi da je za pronalaženje jednadžbe tangente na hiperbolu potrebno saznati kojoj funkciji pripada točka tangente. Da bi se to utvrdilo, potrebno je izvršiti zamjenu u jednadžbama i provjeriti jesu li jednake.

Primjer 7

Napišite jednadžbu tangente na hiperbolu x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 u točki 7; - 3 3 - 3.

Riješenje

Zapis rješenja pronalaženja hiperbole potrebno je transformirati pomoću 2 funkcije. Shvaćamo to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 i l i y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Potrebno je saznati kojoj funkciji pripada data točka s koordinatama 7; - 3 3 - 3.

Očito, da biste testirali prvu funkciju, trebate y (7) = 3 2

Za drugu funkciju imamo da je y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, što znači da točka pripada zadanom grafu . Odavde treba pronaći nagib.

Shvaćamo to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odgovor: tangentna jednadžba se može predstaviti kao

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Jasno je prikazano kako slijedi:

Parabola tangenta

Da biste sastavili jednadžbu tangente na parabolu y = ax 2 + bx + c u točki x 0, y (x 0), morate koristiti standardni algoritam, tada će jednadžba poprimiti oblik y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takva tangenta na vrhu je paralelna s x.

Parabolu x = a y 2 + b y + c treba navesti kao uniju dviju funkcija. Stoga je potrebno riješiti jednadžbu za y. Shvaćamo to

x = ay 2 + by + c ⇔ ay 2 + by + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Prikažimo grafički kao:

Da bismo saznali pripada li točka x 0, y (x 0) funkciji, nježno je postupati prema standardnom algoritmu. Takva će tangenta biti paralelna s oko y s obzirom na parabolu.

Primjer 8

Napišite jednadžbu tangente na graf x - 2 y 2 - 5 y + 3, kada imamo kut nagiba tangente od 150°.

Riješenje

Rješenje započinjemo predstavljanjem parabole kao dvije funkcije. Shvaćamo to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 xy = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Vrijednost nagiba jednaka je vrijednosti derivacije u točki x 0 ove funkcije i jednaka je tangenti nagiba.

dobivamo:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Odavde određujemo vrijednost x za točke dodira.

Prva funkcija bit će napisana kao

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Očito, nema pravih korijena, jer su dobili negativnu vrijednost. Zaključujemo da za takvu funkciju ne postoji tangenta s kutom od 150°.

Druga funkcija će biti zapisana kao

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Imamo da su dodirne točke 23 4; - 5 + 3 4.

Odgovor: tangentna jednadžba poprima oblik

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Prikažimo to grafički na sljedeći način:

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Tangenta je ravna linija , koji dodiruje graf funkcije u jednoj točki i čije su sve točke na najmanjoj udaljenosti od grafa funkcije. Stoga tangenta prolazi tangentu na graf funkcije pod određenim kutom i nekoliko tangenta pod različitim kutovima ne može proći kroz točku tangente. Tangentne jednadžbe i normalne jednadžbe na graf funkcije konstruiraju se pomoću derivacije.

Jednadžba tangente izvedena je iz jednadžbe ravne linije .

Izvodimo jednadžbu tangente, a zatim i jednadžbu normale na graf funkcije.

y = kx + b .

U njemu k je nagib.

Odavde dobivamo sljedeći zapis:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Vrijednost derivata f "(x 0 ) funkcije y = f(x) u točki x0 jednak nagibu k= tg φ tangenta na graf funkcije povučen kroz točku M0 (x 0 , y 0 ) , gdje y0 = f(x 0 ) ... Ovo je izvedenica geometrijskog značenja .

Dakle, možemo zamijeniti k na f "(x 0 ) i dobiti sljedeće jednadžba tangente na graf funkcije :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

U problemima sastavljanja jednadžbe tangentne linije na graf funkcije (a uskoro ćemo prijeći na njih) potrebno je jednadžbu dobivenu prema gornjoj formuli svesti na jednadžba ravne u općem obliku... Da biste to učinili, morate prenijeti sva slova i brojeve na lijeva strana jednadžba, a na desnoj strani ostavite nulu.

Sada o normalnoj jednadžbi. Normalan je ravna crta koja prolazi točkom tangente na graf funkcije okomita na tangentu. Normalna jednadžba :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Za zagrijavanje, prvi primjer treba riješiti samostalno, a zatim vidjeti rješenje. S razlogom se nadamo da ovaj zadatak neće biti "hladan tuš" za naše čitatelje.

Primjer 0. Napišite jednadžbu tangente i normalnu jednadžbu na graf funkcije u točki M (1, 1) .

Primjer 1. Napišite jednadžbu tangente i normalnu jednadžbu na graf funkcije ako je apscisa dodirne točke.

Nađimo derivaciju funkcije:

Sada imamo sve što je potrebno zamijeniti u unosu danom u teorijskoj referenci da bismo dobili jednadžbu tangente. dobivamo

U ovom primjeru imali smo sreće: pokazalo se da je nagib jednak nuli, pa odvojeno smanjite jednadžbu na opći pogled nije bilo potrebno. Sada možemo sastaviti normalnu jednadžbu:

Na slici ispod: graf funkcije bordo boje, tangenta Zelena boja, normalna je narančasta.

Sljedeći primjer također nije kompliciran: funkcija je, kao i u prethodnom, također polinom, ali nagib neće biti jednak nuli, pa će se dodati još jedan korak - dovođenje jednadžbe u opći oblik.

Primjer 2.

Riješenje. Pronađite ordinatu dodirne točke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Pronađite vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagibu tangente:

Sve dobivene podatke zamjenjujemo u "praznu formulu" i dobivamo jednadžbu tangente:

Dovodimo jednadžbu u opći oblik (na lijevoj strani skupljamo sva slova i brojeve osim nule, a na desnoj ostavljamo nulu):

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Primjer 3. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije, ako je apscisa točke tangente.

Riješenje. Pronađite ordinatu dodirne točke:

Nađimo derivaciju funkcije:

.

Pronađite vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagibu tangente:

.

Pronađite jednadžbu tangente:

Prije nego što dovedete jednadžbu u opći oblik, trebate je malo "pročešljati": pomnožite s 4. To činimo i dovodimo jednadžbu u opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Primjer 4. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije, ako je apscisa točke tangente.

Riješenje. Pronađite ordinatu dodirne točke:

.

Nađimo derivaciju funkcije:

Pronađite vrijednost derivacije u točki tangente, odnosno nagibu tangente:

.

Dobivamo jednadžbu tangentne linije:

Dovodimo jednadžbu u opći oblik:

Sastavljamo normalnu jednadžbu:

Uobičajena pogreška pri sastavljanju jednadžbi tangente i normale je ne primijetiti da je funkcija navedena u primjeru složena i izračunati njen izvod kao derivaciju jednostavne funkcije. Sljedeći primjeri su već iz složene funkcije(odgovarajuća lekcija će se otvoriti u novom prozoru).

Primjer 5. Napišite jednadžbu tangente i jednadžbu normale na graf funkcije, ako je apscisa točke tangente.

Riješenje. Pronađite ordinatu dodirne točke:

Pažnja! Ova funkcija- složena, budući da argument tangente (2 x) je sama po sebi funkcija. Stoga ćemo derivaciju funkcije pronaći kao derivaciju složene funkcije.

Primjer 1. Funkcija je dana f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) u točki grafa s apscisom x 0 = 1.

Riješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R ... Nađimo ga:

= (3x 2 + 4x- 5) ′ = 6 x + 4.

Zatim f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Tangentna jednadžba je:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Odgovor. y = 10x – 8.

Primjer 2. Funkcija je dana f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) paralelno s ravnom linijom y = 2x – 11.

Riješenje. Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R ... Nađimo ga:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) ′ = 3 x 2 – 6x + 2.

Budući da je tangenta na graf funkcije f(x) u točki s apscisom x 0 paralelno s ravnom crtom y = 2x- 11, tada je njegov nagib 2, tj. ( x 0) = 2. Nađimo ovu apscisu iz uvjeta da je 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ova jednakost vrijedi samo za x 0 = 0 i za x 0 = 2. Budući da u oba slučaja f(x 0) = 5, zatim pravac y = 2x + b dodiruje graf funkcije ili u točki (0; 5), ili u točki (2; 5).

U prvom slučaju vrijedi numerička jednakost 5 = 2 × 0 + b, gdje b= 5, au drugom slučaju brojčana jednakost vrijedi 5 = 2 × 2 + b, gdje b = 1.

Dakle, postoje dvije tangente y = 2x+ 5 i y = 2x+ 1 na graf funkcije f(x) paralelno s ravnom linijom y = 2x – 11.

Odgovor. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

Primjer 3. Funkcija je dana f(x) = x 2 – 6x+ 7. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije f(x) prolazeći kroz točku A (2; –5).

Riješenje. Jer f(2) –5, zatim točka A ne pripada grafu funkcije f(x). Neka bude x 0 - apscisa točke dodira.

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R ... Nađimo ga:

= (x 2 – 6x+ 1) ′ = 2 x – 6.

Zatim f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Tangentna jednadžba je:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Od točke A pripada tangentnoj liniji, zatim brojčana jednakost

–5 = (2x 0 - 6) × 2– x+ 7,

gdje x 0 = 0 ili x 0 = 4. To znači da kroz točku A možete nacrtati dvije tangente na graf funkcije f(x).

Ako x 0 = 0, tada tangentna jednadžba ima oblik y = –6x+ 7. Ako x 0 = 4, tada tangentna jednadžba ima oblik y = 2x – 9.

Odgovor. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

Primjer 4. Zadane funkcije f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 - 3. Napišimo jednadžbu zajedničke tangente na grafove ovih funkcija.

Riješenje. Neka bude x 1 - apscisa točke dodira željene ravne crte s grafom funkcije f(x), a x 2 - apscisa točke dodira iste ravne crte s grafom funkcije g(x).

Derivat funkcije f(x) postoji za bilo koji x R ... Nađimo ga:

= (x 2 – 2x+ 2) ′ = 2 x – 2.

Zatim f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Tangentna jednadžba je:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Pronađite derivaciju funkcije g(x):

= (–x 2 - 3) ′ = –2 x.