Il est logique de passer à parler opérations avec des fractions algébriques. Avec des fractions algébriques définies prochaines étapes: addition, soustraction, multiplication, division et élévation à diplôme naturel. De plus, toutes ces actions sont fermées, en ce sens qu'à la suite de leur exécution, une fraction algébrique est obtenue. Examinons chacun d'eux dans l'ordre.

Oui, il convient de noter tout de suite que les actions avec des fractions algébriques sont des généralisations des actions correspondantes avec des fractions ordinaires. Par conséquent, les règles correspondantes coïncident presque mot pour mot avec les règles d'addition et de soustraction, de multiplication, de division et d'exponentiation. fractions ordinaires.

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Ajouter des fractions algébriques

L'addition d'éventuelles fractions algébriques s'inscrit dans l'un des deux cas suivants : dans le premier, les fractions avec mêmes dénominateurs, dans le second - avec des différents. Commençons par la règle d'addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs.

Pour additionner des fractions algébriques avec des dénominateurs similaires, vous ajoutez les numérateurs et laissez le dénominateur identique.

La règle annoncée permet de passer de l'addition de fractions algébriques à l'addition de polynômes trouvés dans les numérateurs. Par exemple, .

Pour additionner des fractions algébriques avec différents dénominateurs vous devez agir selon la règle suivante : les amener à dénominateur commun, puis additionnez les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs.

Par exemple, lors de l'addition de fractions algébriques et qu'elles doivent d'abord être ramenées à un dénominateur commun, elles prendront ainsi la forme Et en conséquence, après quoi est effectuée l'addition de ces fractions avec les mêmes dénominateurs : .

Soustraction

L'action suivante, soustraire des fractions algébriques, est effectuée de la même manière que l'addition. Si les dénominateurs des fractions algébriques originales sont les mêmes, il vous suffit alors de soustraire les polynômes dans les numérateurs et de laisser le dénominateur identique. Si les dénominateurs sont différents, la réduction à un dénominateur commun est d'abord effectuée, après quoi les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs sont soustraites.

Donnons des exemples.

Soustrayons les fractions algébriques et , leurs dénominateurs sont les mêmes, donc . La fraction algébrique résultante peut être encore réduite : .

Soustrayons maintenant la fraction de la fraction. Ces fractions algébriques ont des dénominateurs différents, nous les ramenons donc d'abord à un dénominateur commun, qui en dans ce cas est 5·x·(x-1) , nous avons Et . Il ne reste plus qu'à soustraire :

Multiplier des fractions algébriques

Les fractions algébriques peuvent être multipliées. Cette action s'effectue de la même manière que la multiplication de fractions ordinaires selon la règle suivante : pour multiplier des fractions algébriques, vous devez multiplier les numérateurs séparément et les dénominateurs séparément.

Donnons un exemple. Multiplions la fraction algébrique par la fraction . D'après la règle énoncée, nous avons . Il reste à transformer la fraction résultante en fraction algébrique, pour ce faire dans ce cas il faut multiplier un monôme et un polynôme (et dans cas général- multiplication de polynômes) au numérateur et au dénominateur : .

Il est à noter qu'avant de multiplier des fractions algébriques, il est conseillé de factoriser les polynômes présents dans leurs numérateurs et dénominateurs. Cela est dû à la possibilité de réduire la fraction résultante. Par exemple,
.

Cette action est discutée plus en détail dans l'article.

Division

Passons aux opérations avec des fractions algébriques. La prochaine étape consiste à diviser des fractions algébriques. La règle suivante réduit la division des fractions algébriques à la multiplication : pour diviser une fraction algébrique par une autre, il faut multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde.

Une fraction algébrique, l'inverse d'une fraction donnée, est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont inversés. Autrement dit, deux fractions algébriques sont considérées comme mutuellement inverses si leur produit est identiquement égal à un (par analogie avec).

Donnons un exemple. Faisons la division . La fraction réciproque du diviseur est . Ainsi, .

Pour des informations plus détaillées, référez-vous à l'article mentionné dans le paragraphe précédent : multiplication et division de fractions algébriques.

Élever une fraction algébrique à une puissance

Enfin, nous passons à la dernière action avec les fractions algébriques : l'élévation à une puissance naturelle. , ainsi que la façon dont nous avons défini la multiplication des fractions algébriques, permet d'écrire la règle pour élever une fraction algébrique à une puissance : il faut élever séparément le numérateur à cette puissance, et séparément le dénominateur.

Montrons un exemple d'exécution de cette action. Élevons la fraction algébrique à la puissance seconde. D'après la règle ci-dessus, nous avons . Il reste à élever le monôme du numérateur à une puissance, et également à élever le polynôme du dénominateur à une puissance, ce qui donnera une fraction algébrique de la forme .

La solution à d'autres exemples typiques est présentée dans l'article élevant une fraction algébrique à une puissance.

Références.

• Algèbre: manuel pour la 8ème année. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova] ; édité par S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : je vais. - ISBN978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. À 14h00 Partie 1. Manuel pour les étudiants établissements d'enseignement/ A.G. Mordkovitch. - 11e éd., effacée. - M. : Mnémosyne, 2009. - 215 p. : ill. ISBN978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques) : Proc. allocation.- M.; Plus haut école, 1984.-351 p., ill.

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Objectifs : répéter la règle de multiplication des fractions ordinaires et apprendre à appliquer cette règle pour multiplier des fractions ; consolider les compétences de réduction des fractions et les propriétés des puissances avec les mêmes bases lors d'exercices.

Progression de la leçon

I. Analyse des travaux de tests.

1. Indiquez les erreurs commises par les étudiants lors du test.

2. Résolvez les tâches qui ont causé des difficultés aux étudiants.

II. Travail oral.

1. Répétez les propriétés des diplômes avec les mêmes bases :

2. Présenter comme une puissance avec une base

Passez en revue la propriété de base d’une fraction et utilisez cette propriété pour réduire des fractions.

III. Explications du nouveau matériel.

1. Montrons que l'égalité

vrai pour toutes les valeurs admissibles des variables, c'est-à-dire pour b≠0 et d≠0.

2. Règle: Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier leurs numérateurs et multiplier leurs dénominateurs et écrire le premier produit comme numérateur et le second comme dénominateur de la fraction.

3. Considérez la solution des exemples 1, 2, 3 et 4 aux pages 26-27 du manuel.

4. La règle de multiplication des fractions s'applique au produit de trois facteurs ou plus.

Par exemple:

1. Résolvez le numéro 108 (oralement).

2. Résolvez le n° 109 (a, c, e) au tableau et dans les cahiers.

Les élèves décident seuls, puis la solution est vérifiée.

3. Résolvez le numéro 112 (c; d; f).

Devoir à la maison: étudier le paragraphe 5 (1-4) ; résoudre le n° 109 (b ; d ; f),

N° 112 (a ; b ; d), n° 118 (a ; c ; d), n° 119 (b ; d), n° 120 (a ; c).

Leçon 2

Objectifs : dériver la règle pour élever une fraction à une puissance et apprendre aux élèves à appliquer cette règle lors de la réalisation d'exercices ; consolider la règle de multiplication des fractions et les compétences de réduction des fractions, développer la pensée logique des élèves.

Progression de la leçon

I. Travail oral.

4. Vérifiez devoirs sélectivement à partir de cahiers.

II. Apprendre du nouveau matériel.

1. Considérez la question de l’élévation d’une fraction à une puissance. Prouvons que

2. Règle. Pour élever une fraction à une puissance, il faut élever le numérateur et le dénominateur à cette puissance et écrire le premier résultat au numérateur et le second au dénominateur de la fraction.

3. Analysez la solution de l'exemple 5 à la page 28 du manuel :

III. Faire des exercices.

1. Résolvez le numéro 115 oralement.

2. Résolvez vous-même le numéro 116 en vérifiant ou en commentant sur place.

IV. Travail indépendant (10 min).

V. Résumé de la leçon.

1. Formez une règle pour multiplier les fractions.

2. Formez une règle pour élever une fraction à une puissance.

Devoirs: apprendre les règles du paragraphe 5 ; résoudre le n° 117, le n° 121 (a ; d), le n° 122 (a ; c), le n° 123 (a), le n° 124, le n° 130 (a ; b).

Il est évident que les nombres avec puissances peuvent s’additionner comme les autres quantités , en les ajoutant les uns après les autres avec leurs signes.

Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chances puissances égales de variables identiques peuvent être ajoutés ou soustraits.

Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est égale à 5a 2.

Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.

Mais les diplômes diverses variables Et divers diplômes variables identiques, doivent être composés en les ajoutant avec leurs signes.

Ainsi, la somme de 2 et de 3 est la somme de 2 + 3.

Il est évident que le carré de a et le cube de a ne sont pas égaux au double du carré de a, mais au double du cube de a.

La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.

Soustraction les puissances s'effectuent de la même manière que l'addition, sauf que les signes des sous-tranches doivent être modifiés en conséquence.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(une - h) 6 - 2(une - h) 6 = 3(une - h) 6

Des pouvoirs multiplicateurs

Les nombres avec puissances peuvent être multipliés, comme les autres quantités, en les écrivant les uns après les autres, avec ou sans signe de multiplication entre eux.

Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ une m = une m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
une 2 b 3 oui 2 ⋅ une 3 b 2 oui = une 2 b 3 oui 2 une 3 b 2 oui

Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant des variables identiques.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.

En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, alors le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à montant degrés de termes.

Donc, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.

Donc, a n .a m = a m+n .

Pour a n , a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n ;

Et a m est pris comme facteur autant de fois que le degré m est égal ;

C'est pourquoi, les puissances ayant les mêmes bases peuvent être multipliées en ajoutant les exposants des puissances.

Donc, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Et x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 oui 3 ⋅ b 4 oui = b 6 oui 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliez (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multipliez (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont négatif.

1. Donc, a -2 .a -3 = a -5 . Cela peut s'écrire (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Si a + b sont multipliés par a - b, le résultat sera a 2 - b 2 : c'est-à-dire

Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.

Si vous multipliez la somme et la différence de deux nombres pour obtenir carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans quatrième degrés.

Donc, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(une 2 - oui 2)⋅(une 2 + oui 2) = une 4 - oui 4.
(une 4 - oui 4)⋅(une 4 + oui 4) = une 8 - oui 8.

Division des diplômes

Les nombres dotés de puissances peuvent être divisés comme les autres nombres, en soustrayant du dividende ou en les plaçant sous forme de fraction.

Ainsi, a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à a 3.

Ou:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Écrire un 5 divisé par un 3 ressemble à $\frac(a^5)(a^3)$. Mais cela équivaut à un 2 . Dans une série de chiffres
une +4 , une +3 , une +2 , une +1 , une 0 , une -1 , une -2 , une -3 , une -4 .
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence indicateurs de nombres divisibles.

Lors de la division de degrés ayant la même base, leurs exposants sont soustraits..

Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. Autrement dit, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Et a n+1:a = a n+1-1 = a n . Autrement dit, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ou:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

La règle est également vraie pour les nombres avec négatif valeurs des degrés.
Le résultat de la division d’un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2 :\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Il faut très bien maîtriser la multiplication et la division des puissances, puisque de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.

Exemples de résolution d'exemples avec des fractions contenant des nombres avec des puissances

1. Réduisez les exposants de $\frac(5a^4)(3a^2)$ Réponse : $\frac(5a^2)(3)$.

2. Diminuez les exposants de $\frac(6x^6)(3x^5)$. Réponse : $\frac(2x)(1)$ ou 2x.

3. Réduisez les exposants a 2 /a 3 et a -3 /a -4 et ramenez-les à un dénominateur commun.
a 2 .a -4 est a -2 le premier numérateur.
a 3 .a -3 est a 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est a -1 , le numérateur commun.
Après simplification : a -2 /a -1 et 1/a -1 .

4. Réduisez les exposants 2a 4 /5a 3 et 2 /a 4 et ramenez-les à un dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 /5a 7 et 5a 5 /5a 7 ou 2a 3 /5a 2 et 5/5a 2.

5. Multipliez (a 3 + b)/b 4 par (a - b)/3.

6. Multipliez (a 5 + 1)/x 2 par (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliez b 4 /a -2 par h -3 /x et a n /y -3 .

8. Divisez un 4 /y 3 par un 3 /y 2 . Réponse : a/o.

9. Divisez (h 3 - 1)/d 4 par (d n + 1)/h.

Formules de diplômes utilisé dans le processus de réduction et de simplification d'expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inégalités.

Nombre c est n-ième puissance d'un nombre un Quand:

Opérations avec diplômes.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'ajoutent :

suis·une n = une m + n .

2. Lors de la division de degrés avec la même base, leurs exposants sont soustraits :

3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. Le degré d'une fraction est égal au rapport des degrés du dividende et du diviseur :

(une/b) n = une n /b n .

5. En élevant une puissance à une puissance, les exposants sont multipliés :

(une m) n = une m n .

Chaque formule ci-dessus est vraie dans le sens de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Opérations avec racines.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine d'un rapport est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre radical à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de racine dans n une fois et en même temps, intégrer n la puissance ième est un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de racine dans n extraire la racine en même temps n-ème puissance d'un nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Un degré avec un exposant négatif. La puissance d'un certain nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme un divisé par la puissance du même nombre avec un exposant égal à valeur absolue indicateur non positif :

Formule suis:a n =a m - n peut être utilisé non seulement pour m> n, mais aussi avec m< n.

Par exemple. un4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pour formuler suis:a n =a m - n est devenu juste quand m=n, la présence de zéro degré est requise.

Un diplôme avec un indice nul. La puissance de tout nombre différent de zéro avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Degré avec un exposant fractionnaire. Pour augmenter un vrai nombre UN au degré m/n, vous devez extraire la racine n le degré de m-ème puissance de ce nombre UN.

Leçon sur le thème : "Règles de multiplication et de division des puissances avec des exposants identiques et différents. Exemples"

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Objectif de la leçon : apprendre à effectuer des opérations avec des puissances de nombres.

Rappelons d’abord la notion de « pouvoir du nombre ». Une expression de la forme $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ peut être représentée par $a^n$.

L'inverse est également vrai : $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Cette égalité s’appelle « l’enregistrement du diplôme comme un produit ». Cela nous aidera à déterminer comment multiplier et diviser les pouvoirs.
Souviens-toi:
un– la base du diplôme.
n– exposant.
Si n=1, ce qui signifie le nombre UN a pris une fois et par conséquent : $a^n= 1$.
Si n= 0, alors $a^0= 1$.

Nous pouvons découvrir pourquoi cela se produit lorsque nous nous familiarisons avec les règles de multiplication et de division des pouvoirs.

Règles de multiplication

Exemple.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Cette propriété est pratique à utiliser pour simplifier le travail lors de l'augmentation d'un nombre à une puissance supérieure.
Exemple.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Si des degrés avec des bases différentes, mais le même exposant sont multipliés.
Pour obtenir $a^n * b^n$, nous écrivons les degrés sous forme de produit : $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Si nous échangeons les facteurs et comptons les paires résultantes, nous obtenons : $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Donc $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Exemple.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Règles de division

Nous avons donc besoin $\frac(a^n)(a^m)$, Où n>m.

Écrivons les degrés sous forme de fraction :

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Réduisons maintenant la fraction.

Il s'avère que : $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Moyens, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Cette propriété aidera à expliquer la situation dans laquelle un nombre est élevé à la puissance zéro. Supposons que n=m, alors $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Exemples.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Les bases du diplôme sont différentes, les indicateurs sont les mêmes.
Disons que nous avons besoin de $\frac(a^n)( b^n)$. Écrivons les puissances des nombres sous forme de fractions :

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Exemple.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.