6.1. Concepts de base et définitions

Lors de la résolution de divers problèmes de mathématiques et de physique, de biologie et de médecine, il est assez souvent possible d'établir immédiatement une dépendance fonctionnelle dans la formule qui lie les variables décrivant le processus à l'étude. Il est également nécessaire d'utiliser des équations contenant, à l'exception d'une variable indépendante et d'une fonction inconnue, ainsi que de ses dérivés.

Définition.L'équation reliant une variable indépendante, une fonction inconnue et ses dérivées de commandes diverses, s'appelle différentiel.

Fonction inconnue désignée habituellement y (x)ou simplement y,et ses dérivés - y ", y "etc.

D'autres désignations sont possibles, par exemple: si y.\u003d x (t) x "(t), x" "(t)- ses dérivés, et t.- Variable indépendante.

Définition.Si la fonction dépend d'une variable, l'équation différentielle est appelée ordinaire. Forme générale Équation différentielle ordinaire:

ou alors

Les fonctions F.et f.peut ne pas contenir des arguments, mais pour que les équations soient différentielles, la présence de dérivé.

Définition.Ordre de l'équation différentiellel'ordre du dérivé plus ancien inclus dans elle est appelé.

Par example, x 2 Y "- y.\u003d 0, y "+ péché x.\u003d 0 - les équations de première commande, et y "+ 2 y "+ 5 y.= x.- l'équation du second ordre.

Lors de la résolution d'équations différentielles, une opération d'intégration est utilisée, associée à l'apparition d'une constante arbitraire. Si l'action d'intégration est appliquée n.une fois, alors, évidemment, dans la décision sera contenue n.constante arbitraire.

6.2. Équations différentielles de premier ordre

Forme générale equation différentielle de premier ordredéterminé par l'expression

L'équation peut ne pas contenir explicitement x.et y,mais nécessairement contient. "

Si l'équation peut être écrite comme

il est obtenu par une équation différentielle de premier ordre, autorisée par rapport à la dérivée.

Définition.La solution générale de l'équation différentielle de premier ordre (6.3) (ou (6.4)) est une variété de solutions. où DE- constante arbitraire.

Le tableau de la résolution d'une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Donner une constante arbitraire DEdiverses valeurs, vous pouvez obtenir des solutions privées. À la surface xOY.la solution générale est une famille de courbes intégrées correspondant à chaque solution privée.

Si vous définissez le point A (x 0, y 0),À travers lequel la courbe intégrale doit être tenue, alors, en règle générale, de diverses fonctions Vous pouvez allouer une - une solution particulière.

Définition.Décision privéel'équation différentielle est une solution qui ne contient pas de constantes arbitraires.

Si un est une solution générale alors de la condition

peut être trouvé permanent DE.Distribuer condition initiale.

La tâche de trouver une solution privée d'une équation différentielle (6.3) ou (6.4) satisfaire à la condition initiale pour appelé tâche de Cauchy.Cette tâche a-t-elle toujours une solution? La réponse contient le théorème suivant.

Théorème de Cauchy(Théorème de l'existence et de l'unicité de la décision). Supposons dans l'équation différentielle y "= f (x, y)une fonction f (x, y)et elle

dérivé privé défini et continu dans certains

région RÉ,contenant un point Puis dans la zone RÉ.existe

la seule solution à l'équation satisfaisant la condition initiale pour

Le théorème de Cauchy fait valoir que dans certaines conditions, il y a une courbe intégrale unique. y.= f (x),passer à travers le point Points dans lesquels les conditions du théorème ne sont pas remplies

Cauchy, appelée spécial.À ces points tolèrent des pauses f.(x, y) ou.

À travers un point spécial, soit plusieurs courbes intégrées, soit n'importe quel.

Définition.Si la décision (6.3), (6.4) trouvée sous la forme de f.(x, y, C)\u003d 0, non autorisé par rapport à y, alors il est appelé intégral communeÉquation différentielle.

Le théorème de Cauchy ne garantit que la solution. Comme il n'existe pas de méthode unique de trouver une solution, nous ne considérerons que certains types d'équations différentielles de premier ordre intégrables dans quadratures.

Définition.L'équation différentielle est appelée intégrable en quadraturessi la conclusion est réduite à l'intégration des fonctions.

6.2.1. Équations différentielles du premier ordre avec variables de séparation

Définition.L'équation différentielle du premier ordre s'appelle l'équation avec variables divisées

Le côté droit de l'équation (6.5) est un produit de deux fonctions, chacun dépendant que sur une variable.

Par exemple, équation est l'équation avec la séparation

misi Variables
une équation

ne peut être soumis en tant que (6.5).

Étant donné que , réécrire (6.5) sous la forme

À partir de cette équation, nous obtenons une équation différentielle avec des variables séparées, dans lesquelles il existe des fonctions avec des différentiels dépendant uniquement de la variable correspondante:

Intégration du sol que nous avons

où c \u003d. C 2 - C 1 - constante arbitraire. L'expression (6.6) est une intégrale commune de l'équation (6.5).

Partage des deux parties de l'équation (6.5) sur, nous pouvons perdre ces solutions dans lesquelles En effet, si pour

cette Évidemment, la solution d'équation (6.5).

Exemple 1.Trouver le formateur d'équation de solution

état: y.\u003d 6 o x.= 2 (Y.(2) = 6).

Décision.Remplacer u "ondulé . Multiplier les deux parties sur

dx,puisque avec une intégration supplémentaire ne peut être laissée dx.dans le dénominateur:

puis diviser les deux parties sur nous obtenons l'équation,

qui peut être intégré. Nous intégrons:

Puis ; Potentialisation, nous obtenons y \u003d c. (x + 1) -

solution.

Selon les données primaires, nous définissons une constante arbitraire, les substituant à une décision générale

Enfin obtenir y.\u003d 2 (x + 1) - une solution privée. Considérez quelques autres exemples d'équations de résolution de variables de séparation.

Exemple 2.Trouver une solution à l'équation

Décision.Étant donné que , obtenir .

Intégrer les deux parties de l'équation, nous aurons

de

Exemple 3.Trouver une solution à l'équation Décision.Nous divisons toutes les deux parties de l'équation sur ces facteurs, qui dépendent de la variable, qui ne correspond pas à la variable sous le signe de la différence, c'est-à-dire et intégrer. Alors nous obtenons

et enfin

Exemple 4.Trouver une solution à l'équation

Décision.Savoir, chassant. Séparation

lim variables. Puis

Intégrer, obtenir

Commenter.Dans les exemples 1 et 2, la fonction souhaitée y.exprimé expressément (solution générale). Dans les exemples 3 et 4 - implicitement (intégral commun). À l'avenir, la forme de décision ne sera pas spécifiée.

Exemple 5.Trouver une solution à l'équation Décision.

Exemple 6.Trouver une solution à l'équation satisfaisant

État vous)= 1.

Décision.Nous écrivons une équation sous la forme

Multiplier les deux parties de l'équation sur dx.et sur, nous obtenons

L'intégration des deux parties de l'équation (l'intégration du côté droit est prise en pièces), nous obtenons

Mais par condition y.\u003d 1 x.= e.. Puis

Substitut les valeurs trouvées DEen règle générale:

L'expression résultante s'appelle une solution privée de l'équation différentielle.

6.2.2. Équations différentielles uniformes de premier ordre

Définition.La première équation différentielle de commande est appelée homogènesi cela peut être représenté comme

Donnons un algorithme pour résoudre une équation homogène.

1. facile y.nous introduisons de nouvelles fonctions et donc,

2.Dans les termes de la fonction u.l'équation (6.7) prend

i.E. Remplacement réduit une équation homogène à l'équation avec des variables de séparation.

3. Équation (6.8), nous vous trouvons d'abord, puis y.\u003d Ux.

Exemple 1.Résoudre l'équation Décision.Nous écrivons une équation sous la forme

Nous produisons une substitution:
Puis

Remplacer

Multipliez sur DX: Nous divisons par x.et sur ensuite

Intégrer les deux parties de l'équation en fonction des variables correspondantes, nous aurons

ou, retour aux anciennes variables, finalement obtenir

Exemple 2.Résoudre l'équation Décision.Laisser être ensuite

Nous divisons les deux parties de l'équation sur x 2: Nous allons révéler les crochets et regrouper les termes:

En tournant vers les anciennes variables, nous arriverons au résultat final:

Exemple 3.Trouver une solution à l'équation étant donné que

Décision.Effectuer un remplacement standard recevoir

ou alors

ou alors

Cela signifie qu'une solution particulière a la forme Exemple 4. Trouver une solution à l'équation

Décision.

Exemple 5.Trouver une solution à l'équation Décision.

Travail indépendant

Trouvez la solution d'équations différentielles avec des variables de séparation (1-9).

Trouver une solution aux équations différentielles homogènes (9-18).

6.2.3. Quelques applications d'équations différentielles de premier ordre

Tâche sur la carie radioactive

Le taux de décroissance RA (radium) à chaque moment de temps est proportionnel à sa masse de trésorerie. Trouvez la loi de la décroissance radioactive du RA, s'il est connu qu'au moment initial, une demi-vie de Ra est également égale à 1590 ans.

Décision.Laissez le tour être pour le moment x.= x (t)g, et Ensuite, le taux de décomposition est égal

Sous la condition de la tâche

où k.

Séparés dans les dernières variables d'équation et intégrant, nous obtenons

de

Pour déterminer C.nous utilisons la condition initiale: quand .

Puis et cela signifie

Coefficient de proportionnalité k.déterminez à partir de la condition supplémentaire:

Avoir

D'ici et la formule désirée

Problème pour la reproduction de bactéries

Le taux de reproduction des bactéries est proportionnel à leur nombre. Au début, il y avait 100 bactéries. Pendant 3 heures, leur nombre a doublé. Trouvez la dépendance du nombre de bactéries à partir de temps. Combien de fois le nombre de bactéries augmente pendant 9 heures?

Décision.Laisser être x.- le nombre de bactéries à l'époque t.Puis, selon la condition,

où k.- Coefficient de proportionnalité.

D'ici De la condition on sait que . Ça veut dire

De la condition supplémentaire . Puis

Une fonction:

Donc pour t.= 9 x.\u003d 800, c'est-à-dire, pendant 9 heures, le nombre de bactéries a augmenté 8 fois.

La tâche d'augmenter la quantité d'enzyme

Dans la culture de la levure de la bière, la vitesse de l'enzyme existante est proportionnelle à son nombre initial x.Quantité initiale d'enzyme uNE.pendant une heure doublée. Trouver une dépendance

x (t).

Décision.Par la condition, l'équation différentielle du processus est

d'ici

Mais . Ça veut dire C.= uNE.et alors

Il est également connu que

D'où,

6.3. Équations différentielles du deuxième ordre

6.3.1. Concepts de base

Définition.Équation de second ordre différentielun rapport qui lie une variable indépendante, la fonction souhaitée et ses premier et second dérivés sont appelés.

Dans des cas particuliers, il peut y avoir non X, w.ou Y ". Cependant, la deuxième équation d'ordre doit nécessairement contenir U». Dans le cas général, l'équation différentielle de second ordre est écrite sous la forme:

ou, si possible, sous la forme, résolue par rapport au deuxième dérivé:

Comme dans le cas de l'équation du premier ordre, la deuxième équation d'ordonnance peut exister dans des solutions communes et privées. La solution générale a la forme:

Trouver une solution privée

sous les conditions initiales - demandées

chiffres) appelé tâche de Cauchy.Géométriquement, cela signifie qu'il est nécessaire de trouver une courbe intégrée. w.= y (x),passer à travers un point spécifié et avoir à ce stade qui touche

profitez de la direction de l'axe positif BŒUF.ensemble. e. (Fig. 6.1). Le problème de Cauchy a une seule décision si le côté droit de l'équation (6.10), insurgé

rovena et a des dérivés privés continus y, u "dans certains quartiers du point de départ

Trouver constant Inclus dans une solution particulière, vous devez résoudre le système.

Figure. 6.1.Courbe intégrale

I. Equations différentielles ordinaires

1.1. Concepts de base et définitions

L'équation différentielle s'appelle une équation reliant une variable indépendante x., fonction souhaitée y. et ses dérivés ou des différentiels.

L'équation symboliquement différentielle est écrite comme suit:

F (x, y, y ") \u003d 0, f (x, y, y") \u003d 0, f (x, y, y, y, y, y, .., y (n)) \u003d 0

L'équation différentielle est appelée ordinaire si la fonction souhaitée dépend d'une variable indépendante.

En résolvant l'équation différentielle Cette fonctionnalité est appelée qui attire cette équation à l'identité.

Ordre de l'équation différentielle appelé l'ordre du dérivé plus ancien entrant dans cette équation

Exemples.

1. Considérez l'équation différentielle de premier ordre

Par la solution de cette équation, la fonction y \u003d 5 ln x. Vraiment, substituant y " Dans l'équation, nous obtenons - identité.

Et cela signifie que la fonction y \u003d 5 ln x est la solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y "- 5Y" + 6Y \u003d 0. La fonction est la solution de cette équation.

En effet.

En substituant ces expressions à l'équation, nous obtenons: - - identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégrer les équations différentielles Le processus de recherche de solutions d'équations différentielles est appelé.

La solution générale de l'équation différentielle appelé le type de type Ce qui inclut tant de constantes arbitraires indépendantes, quelle est l'ordre de l'équation.

Solution spéciale de l'équation différentielle La solution obtenue à partir de la solution globale est appelée avec diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs des constantes arbitraires sont sous certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le tableau d'une solution privée de l'équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1.Iti Solution privée de l'équation différentielle de première commande

xdx + mady \u003d 0, si un y.\u003d 4 x. = 3.

Décision. Intégrer les deux parties de l'équation, nous obtenons

Commenter. Une constante arbitraire avec l'intégration résultante peut être représentée sous n'importe quelle forme commode pour de nouvelles transformations. Dans ce cas, en tenant compte de l'équation du cercle canonique une constante arbitraire avec commodément présente sous la forme.

- Solution générale de l'équation différentielle.

Équation de solution privée satisfaisant les conditions initiales y. \u003d 4 x. \u003d 3 provient de la substitution totale des conditions initiales dans la solution générale: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; C \u003d 5.

Substituer C \u003d 5 dans la solution générale, nous obtenons x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière à une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales spécifiées.

2. Trouver une solution générale de l'équation différentielle

Par la solution de cette équation est une fonction de l'espèce où c est une constante arbitraire. En effet, substituer dans les équations, nous obtenons: ,.

Par conséquent, cette équation différentielle a un ensemble infini de solutions, car à différentes valeurs de constante avec égalité détermine diverses solutions de l'équation.

Par exemple, vous pouvez vous assurer que les fonctions peuvent être vérifiées. sont des solutions de l'équation.

La tâche dans laquelle il est nécessaire de trouver une solution particulière de l'équation y "\u003d f (x, y) Condition primaire satisfaisante y (x 0) \u003d y 0, appelé la tâche de Cauchy.

Équation y "\u003d f (x, y)Satisfaire la condition initiale y (x 0) \u003d y 0s'appelle la solution du problème de la Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, selon ces définitions, résoudre la tâche de Cauchy y "\u003d f (x, y) étant donné que y (x 0) \u003d y 0signifie trouver une courbe d'équation intégrale y "\u003d f (x, y) qui passe à travers le point spécifié M 0 (x 0,y 0).

II. Équations différentielles de premier ordre

2.1. Concepts de base

L'équation différentielle du premier ordre s'appelle l'équation des espèces F (x, y, y ") \u003d 0.

L'équation différentielle de premier ordre comprend le premier dérivé et n'inclut pas les dérivés d'ordre supérieur.

L'équation y "\u003d f (x, y) Il s'appelle l'équation de premier ordre, autorisée par rapport à la dérivée.

La solution générale de l'équation différentielle de la première commande est appelée fonction de la forme contenant une constante arbitraire.

Exemple.Considérons l'équation différentielle du premier ordre.

En résolvant cette équation est une fonction.

En effet, remplacer dans cette équation, sa signification, nous obtenons

c'est à dire 3x \u003d 3x.

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l'équation de toute constante C.

Trouvez une solution privée de cette équation qui satisfait à la condition initiale y (1) \u003d 1 Substituer les conditions initiales x \u003d 1, y \u003d 1 En règle générale de l'équation, nous obtenons d'où C \u003d 0..

Ainsi, une solution particulière à obtenir de la substitution générale à cette équation obtenue C \u003d 0. - Solution privée.

2.2. Équations différentielles avec variables de séparation

L'équation différentielle avec des variables de séparation s'appelle l'équation de la forme: y "\u003d f (x) g (y) ou à travers des différentiels où f (x) et g (y)- fonctions spécifiées.

Pour ceux y.pour lequel l'équation y "\u003d f (x) g (y) équivalent à l'équation dans lequel la variable y. Il n'est présent que dans le côté gauche et la variable x n'est que dans la partie droite. Ils disent "dans l'équation y "\u003d f (x) g (y Nous avons divisé les variables. "

Afficher l'équation appelé équation avec des variables séparées.

Intégrer les deux parties de l'équation par x., obtenir G (y) \u003d f (x) + c- Solution générale de l'équation où G (y) et F (x) - certaines fonctions primitives et f (x), C. constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle de premier ordre avec des variables de séparation

Exemple 1.

Résoudre l'équation y "\u003d xy

Décision. Fonction dérivée y " Remplacer sur

nous avons divisé les variables

nous intégrons les deux parties de l'égalité:

Exemple 2.

2YY "\u003d 1- 3x 2, si un y 0 \u003d 3 pour x 0 \u003d 1

Cette équation avec des variables séparées. Imaginez-le dans des différentiels. Pour ce faire, réécrivez cette équation sous la forme D'ici

Intégrer les deux parties de la dernière égalité, nous trouverons

Substituer les valeurs initiales x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3trouve DE 9=1-1+C.. C \u003d 9.

Par conséquent, l'intégrale privé souhaité sera ou alors

Exemple 3.

Rendre l'équation de la courbe passant à travers le point M (2; -3) et avoir une tangente avec un coefficient angulaire

Décision. Selon la condition

Ceci est une équation avec des variables de séparation. Partage de variables, obtenez:

Intégrer les deux parties de l'équation, nous obtenons:

En utilisant les conditions initiales x \u003d 2. et y \u003d - 3 Trouve C.:

Par conséquent, l'équation souhaitée est

2.3. Équations différentielles linéaires de premier ordre

L'équation différentielle linéaire du premier ordre s'appelle l'équation de la vue y "\u003d f (x) y + g (x)

où f (x) et g (x) - certaines fonctions spécifiées.

Si un g (x) \u003d 0l'équation différentielle linéaire est appelée homogène et a la forme: y "\u003d f (x) y

Si l'équation est y "\u003d f (x) y + g (x) appelé inomogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y "\u003d f (x) y défini par la formule: où DE - constante arbitraire.

En particulier, si C \u003d 0,alors la solution est y \u003d 0. Si l'équation linéaire homogène a la forme y "\u003d ky Où k. - une certaine constante, sa solution générale a la forme :.

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y "\u003d f (x) y + g (x) formule définie ,

ceux. De même, la somme de la solution globale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation de vue inhomogène linéaire y "\u003d kx + b,

où k. et b.- Certains chiffres et solution privée seront une fonction constante. Par conséquent, la solution générale a la forme.

Exemple. Résoudre l'équation y "+ 2Y +3 \u003d 0

Décision. Imaginez une équation sous la forme y "\u003d -2y - 3 Où k \u003d -2, b \u003d -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, lorsque c est une constante arbitraire.

2.4. La solution d'équations différentielles linéaires du premier ordre de Bernoulli

Trouver une solution générale d'une équation différentielle linéaire de premier ordre y "\u003d f (x) y + g (x) Il s'agit de résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y \u003d uv.où u. et v. - fonctions inconnues de x.. Cette méthode de solution s'appelle la méthode Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire de premier ordre

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Entrez la substitution y \u003d uv..

2. Différencier cette égalité y "\u003d u" v + uv "

3. Substituer y. et y " Dans cette équation: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)ou alors u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. grouper les membres de l'équation afin que u. Sortez pour les accolades:

5. Depuis le support, l'assimilant à zéro, trouvez une fonctionnalité

C'est l'équation avec des variables de séparation:

Nous divisons les variables et obtenez-en:

De . .

6. Substituer la valeur v.dans l'équation (à partir de la revendication 4):

et trouver une fonction de l'équation variable de séparation:

7. Enregistrez une solution générale sous la forme: . .

Exemple 1.

Trouver une solution privée de l'équation y "\u003d -2y +3 \u003d 0 si un y \u003d 1. pour x \u003d 0.

Décision. Je le résolve par substitution y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Substitution y.et y " Dans cette équation, nous obtenons

Grognant les deuxième et troisième trimestres de la partie gauche de l'équation, je résumerai l'usine u. pour les accolades

L'expression entre parenthèses équivaut à zéro et, après avoir résolu l'équation obtenue, nous trouvons une fonction v \u003d v (x)

Équation reçue avec des variables séparées. Nous intégrons les deux parties de cette équation: trouver une fonction v.:

Nous substituons la valeur v. Nous aurons l'équation:

Ceci est une équation avec des variables séparées. Nous intégrons les deux parties de l'équation: Trouver une fonctionnalité u \u003d u (x, c) Trouver une solution générale: Trouvez une solution privée qui satisfait aux conditions initiales y \u003d 1. pour x \u003d 0.:

III. Équations différentielles des ordres supérieurs

3.1. Concepts de base et définitions

L'équation différentielle du second ordre est appelée une équation contenant des dérivés non plus élevée que le second ordre. Dans le cas général, l'équation différentielle de second ordre est écrite sous la forme: F (x, y, y ", y") \u003d 0

La solution générale de l'équation différentielle de second ordre s'appelle la fonction de la forme dans laquelle deux constantes arbitraires C 1 et C 2..

Une solution particulière à l'équation différentielle du second ordre s'appelle une solution obtenue du général avec certaines valeurs de constante arbitraire C 1 et C 2..

3.2. Équations différentielles linéaires homogènes de second ordre avec coefficients permanents.

Équation différentielle de second ordre linéaire homogène avec coefficients constants Appelé l'équation de la vue y "+ py" + qy \u003d 0où p.et q.- Valeurs permanentes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles de second ordre homogènes avec des coefficients constants

1. Enregistrez l'équation différentielle sous la forme: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Créez son équation caractéristique, indiquant y " à travers r 2., y " à travers r, y.en 1: r 2 + pr + q \u003d 0

Ou déjà résolu par rapport au dérivé, ou ils peuvent être résolus par rapport à la dérivée .

Solution générale des équations différentielles du type sur l'intervalle X.Ce qui est spécifié peut être trouvé en faisant appel à la participation des deux parties de cette égalité.

Recevoir .

Si vous regardez les propriétés d'une intégrale incertaine, nous trouverons la solution générale souhaitée:

y \u003d f (x) + c,

où F (x) - une des fonctions primitives f (x) À l'intervalle X., mais DE - constante arbitraire.

Notez que dans la plupart des tâches, l'intervalle X. N'indiquez pas. Cela signifie que la décision doit être trouvée pour tous x.sous lequel la fonction souhaitée y.et l'équation initiale a du sens.

Si vous devez calculer une solution particulière d'une équation différentielle qui satisfait à la condition initiale y (x 0) \u003d y 0, puis après avoir calculé l'intégrale général y \u003d f (x) + ctoujours besoin de déterminer la valeur de constante C \u003d c 0En utilisant la condition initiale. Ceux-ci., Constanta C \u003d c 0 Déterminer de l'équation F (x 0) + c \u003d y 0et la solution privée souhaitée de l'équation différentielle prendra la forme:

y \u003d f (x) + c 0.

Considérons un exemple:

Nous trouvons une solution générale de l'équation différentielle, vérifiez l'exactitude du résultat. Nous trouvons une solution privée de cette équation, qui satisferait la condition initiale.

Décision:

Après avoir intégré l'équation différentielle spécifiée, nous obtenons:

.

Prenez cette intégrale par intégration par parties:

Donc C'est une solution générale d'une équation différentielle.

Pour vous assurer que le résultat est valide, faites un chèque. Pour ce faire, nous substituons la solution que nous avons trouvée dans l'équation spécifiée:

.

C'est quand L'équation initiale se transforme en identité:

par conséquent, la solution globale de l'équation différentielle a été déterminée correctement.

La solution que nous avons trouvée est une solution générale de l'équation différentielle pour chaque valeur valide de l'argument. x..

Il reste à calculer la décision privée de l'ODU, qui satisferait la condition initiale. En d'autres termes, il est nécessaire de calculer la valeur de la constante DEAu cours de laquelle l'égalité sera vraie:

.

.

Puis, substituant C \u003d 2. En général, la décision de l'ODU, nous obtenons une solution particulière à une équation différentielle, qui satisfait à la condition d'origine:

.

Équation différentielle ordinaire peut être résolu par rapport à la dérivée, divisant 2 parties d'égalité sur f (x). Cette transformation sera équivalente si f (x) ne se transforme pas en zéro sans x. De l'intervalle de l'intégration de l'équation différentielle X..

La situation est probablement lorsque certaines valeurs de l'argument x. ∈ X. Les fonctions f (x) et g (x)en même temps se transformer en zéro. Pour de telles valeurs x. La solution générale de l'équation différentielle sera n'importe quelle fonction y.qui est défini en eux, parce que .

Si pour certaines valeurs de l'argument x. ∈ X. La condition est effectuée, cela signifie que dans ce cas, il n'y a pas de solution.

Pour tous les autres x. De l'intervalle X. La solution générale de l'équation différentielle est déterminée à partir de l'équation convertie.

Nous analyserons sur les exemples:

Exemple 1.

Nous trouvons une décision générale de l'ODE: .

Décision.

Sur les propriétés des fonctions élémentaires de base, il est clair que la fonction du logarithme naturel est définie pour des valeurs non négatives de l'argument, de sorte que la portée de la détermination de l'expression ln (x + 3) Il y a un intervalle x. > -3 . Cela signifie que l'équation différentielle spécifiée a du sens pour x. > -3 . Avec ces valeurs de l'argument, l'expression x + 3. ne se tourne pas vers zéro, vous pouvez donc résoudre l'ode par rapport à la dérivée, séparant 2 parties sur x + 3..

Recevoir .

Ensuite, nous intégrons l'équation différentielle résultante résolue par rapport à la dérivée: . Pour prendre cette intégrale, nous utilisons la méthode de résumer le signe différentiel.