6.1. CONCEPTS DE BASE ET DÉFINITIONS

Lors de la résolution de divers problèmes de mathématiques et de physique, de biologie et de médecine, il n'est souvent pas possible d'établir immédiatement une relation fonctionnelle sous la forme d'une formule reliant variables, qui décrivent le processus étudié. Habituellement, vous devez utiliser des équations qui contiennent, en plus de la variable indépendante et de la fonction inconnue, également ses dérivées.

Définition. Une équation reliant une variable indépendante, une fonction inconnue et ses dérivées de divers ordres est appelée différentiel.

Une fonction inconnue est généralement notée y(x) ou simplement oui, et ses dérivés - oui", oui" etc.

D'autres désignations sont également possibles, par exemple : si oui= x(t), alors x"(t), x""(t)- ses dérivés, et t- variable indépendante.

Définition. Si une fonction dépend d'une variable, alors l'équation différentielle est dite ordinaire. Forme générale équation différentielle ordinaire:

ou

Les fonctions F Et F peut ne pas contenir certains arguments, mais pour que les équations soient différentielles, la présence d'une dérivée est indispensable.

Définition.L'ordre de l'équation différentielle est appelé l'ordre de la dérivée la plus élevée qu'il contient.

Par exemple, x 2 ans"- oui= 0, y" + péché X= 0 sont des équations du premier ordre, et oui"+ 2 oui"+ 5 oui= X- équation du second ordre.

Lors de la résolution d'équations différentielles, l'opération d'intégration est utilisée, qui est associée à l'apparition d'une constante arbitraire. Si l'action d'intégration est appliquée n fois, alors, évidemment, la solution contiendra n constantes arbitraires.

6.2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

Forme générale équation différentielle du premier ordre est déterminé par l'expression

L'équation ne peut pas contenir explicitement X Et oui, mais contient nécessairement y".

Si l'équation peut s'écrire

on obtient alors une équation différentielle du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

Définition. La solution générale de l’équation différentielle du premier ordre (6.3) (ou (6.4)) est l’ensemble des solutions , Où AVEC- constante arbitraire.

Le graphique de la solution d’une équation différentielle s’appelle courbe intégrale.

Donner une constante arbitraire AVEC valeurs différentes, des solutions partielles peuvent être obtenues. En surface xOydécision commune représente une famille de courbes intégrales correspondant à chaque solution particulière.

Si vous fixez un point UNE (x 0 , oui 0), par lequel doit passer la courbe intégrale, alors, en règle générale, à partir d'un ensemble de fonctions On peut en citer une : une solution privée.

Définition.Décision privée d'une équation différentielle est sa solution qui ne contient pas de constantes arbitraires.

Si est une solution générale, alors à partir de la condition

tu peux trouver une constante AVEC. La condition s'appelle condition initiale.

Le problème de trouver une solution particulière à l'équation différentielle (6.3) ou (6.4) satisfaisant la condition initiale à appelé Problème de Cauchy. Ce problème a-t-il toujours une solution ? La réponse est contenue dans le théorème suivant.

Théorème de Cauchy(théorème d'existence et d'unicité d'une solution). Laissez entrer l'équation différentielle oui"= f(x,y) fonction f(x,y) et elle

dérivée partielle défini et continu dans certains

région D, contenant un point Puis dans la région D existe

seule décisionéquation satisfaisant la condition initiale à

Le théorème de Cauchy stipule que sous certaines conditions, il existe une courbe intégrale unique oui= f(x), passant par un point Points auxquels les conditions du théorème ne sont pas remplies

Les Cauchies sont appelés spécial.À ces moments-là, ça casse F(x, y) ou.

Soit plusieurs courbes intégrales, soit aucune ne passe par un point singulier.

Définition. Si la solution (6.3), (6.4) se trouve sous la forme F(x, y, C)= 0, non autorisé par rapport à y, alors on l'appelle intégrale généraleéquation différentielle.

Le théorème de Cauchy garantit seulement qu'une solution existe. Puisqu'il n'existe pas de méthode unique pour trouver une solution, nous ne considérerons que certains types d'équations différentielles du premier ordre pouvant être intégrées dans quadratures

Définition. L'équation différentielle s'appelle intégrable en quadratures, si trouver sa solution revient à intégrer des fonctions.

6.2.1. Équations différentielles du premier ordre avec variables séparables

Définition. Une équation différentielle du premier ordre est appelée une équation avec variables séparables,

Le côté droit de l’équation (6.5) est le produit de deux fonctions dont chacune dépend d’une seule variable.

Par exemple, l'équation est une équation avec séparation

mélangé avec des variables
et l'équation

ne peut pas être représenté sous la forme (6.5).

Étant donné que , on réécrit (6.5) sous la forme

De cette équation on obtient une équation différentielle à variables séparées, dans laquelle les différentielles sont des fonctions qui dépendent uniquement de la variable correspondante :

En intégrant terme par terme, on a

où C = C 2 - C 1 - constante arbitraire. L'expression (6.6) est l'intégrale générale de l'équation (6.5).

En divisant les deux côtés de l'équation (6.5) par, nous pouvons perdre les solutions pour lesquelles, En effet, si à

Que est évidemment une solution à l’équation (6.5).

Exemple 1. Trouver une solution à l'équation qui satisfait

condition: oui= 6 à X= 2 (oui(2) = 6).

Solution. Nous remplacerons oui" alors . Multipliez les deux côtés par

dx, car lors d'une intégration plus poussée, il est impossible de quitter dx au dénominateur :

puis diviser les deux parties par on obtient l'équation,

qui peut être intégré. Intégrons :

Alors ; en potentialisant, on obtient y = C. (x + 1) - ob-

solution générale.

En utilisant les données initiales, nous déterminons une constante arbitraire, en les remplaçant dans la solution générale

Finalement on obtient oui= 2(x + 1) est une solution particulière. Examinons quelques exemples supplémentaires de résolution d'équations avec des variables séparables.

Exemple 2. Trouver la solution de l'équation

Solution.Étant donné que , on a .

En intégrant les deux côtés de l’équation, nous avons

où

Exemple 3. Trouver la solution de l'équation Solution. Nous divisons les deux côtés de l'équation en facteurs qui dépendent d'une variable qui ne coïncide pas avec la variable sous le signe différentiel, c'est-à-dire et intégrer. Ensuite, nous obtenons

et enfin

Exemple 4. Trouver la solution de l'équation

Solution. Savoir ce que nous obtiendrons. Section

variables limitées. Alors

En intégrant, on obtient

Commentaire. Dans les exemples 1 et 2, la fonction requise est oui exprimée explicitement (solution générale). Dans les exemples 3 et 4 - implicitement (intégrale générale). A l’avenir, la forme de la décision ne sera pas précisée.

Exemple 5. Trouver la solution de l'équation Solution.

Exemple 6. Trouver la solution de l'équation , satisfaisant

condition vous)= 1.

Solution.Écrivons l'équation sous la forme

En multipliant les deux côtés de l'équation par dx et ainsi de suite, nous obtenons

En intégrant les deux côtés de l'équation (l'intégrale du côté droit est prise par parties), on obtient

Mais selon la condition oui= 1 à X= e. Alors

Remplaçons les valeurs trouvées AVECà la solution générale :

L’expression résultante est appelée solution partielle de l’équation différentielle.

6.2.2. Équations différentielles homogènes du premier ordre

Définition. L'équation différentielle du premier ordre s'appelle homogène, si cela peut être représenté sous la forme

Présentons un algorithme pour résoudre une équation homogène.

1.Au lieu de cela oui introduisons une nouvelle fonctionEnsuite et donc

2.En termes de fonction toi l'équation (6.7) prend la forme

c'est-à-dire que le remplacement réduit équation homogèneà une équation à variables séparables.

3. En résolvant l’équation (6.8), nous trouvons d’abord u puis oui= ux.

Exemple 1. Résous l'équation Solution.Écrivons l'équation sous la forme

On fait la substitution :
Alors

Nous remplacerons

Multiplier par dx : Diviser par X et sur Alors

Après avoir intégré les deux côtés de l’équation sur les variables correspondantes, nous avons

ou, en revenant aux anciennes variables, on obtient finalement

Exemple 2.Résous l'équation Solution.Laisser Alors

Divisons les deux côtés de l'équation par x2 : Ouvrons les parenthèses et réorganisons les termes :

En passant aux anciennes variables, nous arrivons au résultat final :

Exemple 3.Trouver la solution de l'équation étant donné que

Solution.Effectuer un remplacement standard on a

ou

ou

Cela signifie que la solution particulière a la forme Exemple 4. Trouver la solution de l'équation

Solution.

Exemple 5.Trouver la solution de l'équation Solution.

Travail indépendant

Trouver des solutions aux équations différentielles avec des variables séparables (1-9).

Trouver une solution aux équations différentielles homogènes (9-18).

6.2.3. Quelques applications des équations différentielles du premier ordre

Problème de désintégration radioactive

Le taux de désintégration de Ra (radium) à chaque instant est proportionnel à sa masse disponible. Trouvez la loi de la désintégration radioactive de Ra si l'on sait qu'au moment initial il y avait Ra et que la demi-vie de Ra est de 1590 ans.

Solution. Soit à l'instant la masse Ra X= x(t) g, et Alors le taux de désintégration Ra est égal à

Selon les conditions du problème

Où k

En séparant les variables dans la dernière équation et en intégrant, nous obtenons

où

Pour déterminer C on utilise la condition initiale : quand .

Alors et donc,

Facteur de proportionnalité k déterminé à partir de condition supplémentaire:

Nous avons

D'ici et la formule requise

Problème de taux de reproduction bactérienne

Le taux de reproduction des bactéries est proportionnel à leur nombre. Au début, il y avait 100 bactéries. En 3 heures, leur nombre a doublé. Trouvez la dépendance du nombre de bactéries en fonction du temps. Combien de fois le nombre de bactéries va-t-il augmenter en 9 heures ?

Solution. Laisser X- nombre de bactéries à la fois t. Alors, selon la condition,

Où k- coefficient de proportionnalité.

D'ici De la condition, on sait que . Moyens,

De la condition supplémentaire . Alors

La fonction que vous recherchez :

Donc quand t= 9 X= 800, c'est-à-dire qu'en 9 heures, le nombre de bactéries a augmenté 8 fois.

Le problème de l'augmentation de la quantité d'enzyme

Dans une culture de levure de bière, le taux de croissance de l'enzyme active est proportionnel à sa quantité initiale X. Quantité initiale d'enzyme un doublé en une heure. Trouver une dépendance

x(t).

Solution. Par condition, l'équation différentielle du processus a la forme

d'ici

Mais . Moyens, C= un et puis

On sait aussi que

Ainsi,

6.3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU DEUXIÈME ORDRE

6.3.1. Concepts de base

Définition.Équation différentielle du second ordre s'appelle une relation reliant la variable indépendante, la fonction souhaitée et ses dérivées première et seconde.

Dans des cas particuliers, x peut manquer dans l'équation, à ou y". Cependant, une équation du second ordre doit nécessairement contenir y." Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit :

ou, si possible, sous la forme résolue par rapport à la dérivée seconde :

Comme dans le cas d’une équation du premier ordre, pour une équation du second ordre il peut y avoir des solutions générales et particulières. La solution générale est :

Trouver une solution particulière

dans des conditions initiales - données

numéros) est appelé Problème de Cauchy. Géométriquement, cela signifie que nous devons trouver la courbe intégrale à= oui(x), passant par un point donné et ayant une tangente en ce point qui est

s'aligne avec la direction de l'axe positif Bœuf angle spécifié. e. (Fig. 6.1). Le problème de Cauchy a une solution unique si le membre de droite de l’équation (6.10), incessant

est discontinu et a des dérivées partielles continues par rapport à euh, euh" dans un quartier du point de départ

Pour trouver des constantes inclus dans une solution privée, le système doit être résolu

Riz. 6.1. Courbe intégrale

I. Équations différentielles ordinaires

1.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle est une équation qui relie une variable indépendante X, la fonction requise oui et ses dérivés ou différentiels.

Symboliquement, l'équation différentielle s'écrit comme suit :

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Une équation différentielle est dite ordinaire si la fonction recherchée dépend d'une variable indépendante.

Résoudre une équation différentielle s'appelle une fonction qui transforme cette équation en une identité.

L'ordre de l'équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée incluse dans cette équation

Exemples.

1. Considérons une équation différentielle du premier ordre

La solution de cette équation est la fonction y = 5 ln x. En effet, en substituant oui" dans l’équation, nous obtenons l’identité.

Et cela signifie que la fonction y = 5 ln x– est une solution de cette équation différentielle.

2. Considérons l'équation différentielle du second ordre y" - 5y" +6y = 0. La fonction est la solution de cette équation.

Vraiment, .

En substituant ces expressions dans l'équation, on obtient : , – identité.

Et cela signifie que la fonction est la solution de cette équation différentielle.

Intégration d'équations différentielles est le processus de recherche de solutions aux équations différentielles.

Solution générale de l'équation différentielle appelée fonction de la forme , qui comprend autant de constantes arbitraires indépendantes que l'ordre de l'équation.

Solution partielle de l'équation différentielle est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour diverses valeurs numériques de constantes arbitraires. Les valeurs de constantes arbitraires se trouvent à certaines valeurs initiales de l'argument et de la fonction.

Le graphique d'une solution particulière à une équation différentielle est appelé courbe intégrale.

Exemples

1. Trouver une solution particulière à une équation différentielle du premier ordre

xdx + ydy = 0, Si oui= 4 à X = 3.

Solution. En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient

Commentaire. Une constante arbitraire C obtenue à la suite de l'intégration peut être représentée sous n'importe quelle forme pratique pour des transformations ultérieures. Dans ce cas, compte tenu de l'équation canonique d'un cercle, il convient de représenter une constante arbitraire C sous la forme .

- solution générale de l'équation différentielle.

Solution particulière de l'équation satisfaisant les conditions initiales oui = 4 à X = 3 est trouvé à partir du général en substituant les conditions initiales dans la solution générale : 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

En substituant C=5 dans la solution générale, on obtient x 2 + y 2 = 5 2 .

Il s'agit d'une solution particulière d'une équation différentielle obtenue à partir d'une solution générale dans des conditions initiales données.

2. Trouver la solution générale de l'équation différentielle

La solution de cette équation est n’importe quelle fonction de la forme , où C est une constante arbitraire. En effet, en substituant , dans les équations, on obtient : , .

Par conséquent, cette équation différentielle a un nombre infini de solutions, puisque pour différentes valeurs de la constante C, l'égalité détermine différentes solutions à l'équation.

Par exemple, par substitution directe vous pouvez vérifier que les fonctions sont des solutions à l’équation.

Un problème dans lequel vous devez trouver une solution particulière à l'équation y" = f(x,y) satisfaisant la condition initiale y(x 0) = y 0, s'appelle le problème de Cauchy.

Résoudre l'équation y" = f(x,y), satisfaisant la condition initiale, y(x 0) = y 0, est appelé une solution au problème de Cauchy.

La solution du problème de Cauchy a une signification géométrique simple. En effet, d'après ces définitions, résoudre le problème de Cauchy y" = f(x,y)étant donné que y(x 0) = y 0, signifie trouver la courbe intégrale de l'équation y" = f(x,y) qui passe par un point donné M 0 (x 0,oui 0).

II. Équations différentielles du premier ordre

2.1. Concepts de base

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme F(x,y,y") = 0.

Une équation différentielle du premier ordre inclut la dérivée première et n'inclut pas les dérivées d'ordre supérieur.

L'équation y" = f(x,y) est appelée une équation du premier ordre résolue par rapport à la dérivée.

La solution générale d'une équation différentielle du premier ordre est une fonction de la forme , qui contient une constante arbitraire.

Exemple. Considérons une équation différentielle du premier ordre.

La solution de cette équation est la fonction.

En effet, en remplaçant cette équation par sa valeur, on obtient

c'est 3x=3x

Par conséquent, la fonction est une solution générale de l’équation pour toute constante C.

Trouver une solution particulière à cette équation qui satisfait la condition initiale y(1)=1 Remplacement des conditions initiales x = 1, y =1 dans la solution générale de l’équation, on obtient d’où C=0.

Ainsi, on obtient une solution particulière à partir de la solution générale en substituant dans cette équation la valeur résultante C=0– solution privée.

2.2. Équations différentielles à variables séparables

Une équation différentielle à variables séparables est une équation de la forme : y"=f(x)g(y) ou par différentiels, où f(x) Et g(y)– fonctions spécifiées.

Pour ceux oui, pour lequel , l'équation y"=f(x)g(y) est équivalent à l'équation, dans lequel la variable oui est présente uniquement sur le côté gauche et la variable x est uniquement sur le côté droit. Ils disent : « dans l'équation. y"=f(x)g(y Séparons les variables."

Équation de la forme appelée équation à variables séparées.

Intégrer les deux côtés de l’équation Par X, on a G(y) = F(x) + C est la solution générale de l'équation, où G(y) Et F(x)– quelques primitives, respectivement, de fonctions et f(x), C constante arbitraire.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle du premier ordre à variables séparables

Exemple 1

Résous l'équation y" = xy

Solution. Dérivée d'une fonction oui" remplacez-le par

séparons les variables

Intégrons les deux côtés de l'égalité :

Exemple 2

2aa" = 1- 3x 2, Si oui 0 = 3à x0 = 1

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Imaginons-le en différentiels. Pour ce faire, on réécrit cette équation sous la forme D'ici

En intégrant les deux côtés de la dernière égalité, on trouve

Remplacement des valeurs initiales x 0 = 1, y 0 = 3 nous trouverons AVEC 9=1-1+C, c'est à dire. C = 9.

Par conséquent, l’intégrale partielle requise sera ou

Exemple 3

Écrire une équation pour une courbe passant par un point M(2;-3) et ayant une tangente avec un coefficient angulaire

Solution. Selon l'état

Il s'agit d'une équation à variables séparables. En divisant les variables, on obtient :

En intégrant les deux côtés de l’équation, on obtient :

En utilisant les conditions initiales, x = 2 Et y = - 3 nous trouverons C:

Par conséquent, l’équation recherchée a la forme

2.3. Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme y" = f(x)y + g(x)

Où f(x) Et g(x)- quelques fonctions spécifiées.

Si g(x)=0 alors l'équation différentielle linéaire est dite homogène et a la forme : y" = f(x)y

Si alors l'équation y" = f(x)y + g(x) est dit hétérogène.

Solution générale d'une équation différentielle homogène linéaire y" = f(x)y est donné par la formule : où AVEC– constante arbitraire.

En particulier, si C =0, alors la solution est y = 0 Si une équation linéaire homogène a la forme y" = ky Où k est une constante, alors sa solution générale a la forme : .

Solution générale d'une équation différentielle inhomogène linéaire y" = f(x)y + g(x) est donné par la formule ,

ceux. est égal à la somme de la solution générale de l'équation homogène linéaire correspondante et de la solution particulière de cette équation.

Pour une équation linéaire inhomogène de la forme y" = kx + b,

Où k Et b- certains nombres et une solution particulière seront une fonction constante. La solution générale est donc de la forme .

Exemple. Résous l'équation y" + 2y +3 = 0

Solution. Représentons l'équation sous la forme y" = -2y - 3 Où k = -2, b= -3 La solution générale est donnée par la formule.

Par conséquent, où C est une constante arbitraire.

2.4. Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méthode de Bernoulli

Trouver une solution générale à une équation différentielle linéaire du premier ordre y" = f(x)y + g(x) se réduit à résoudre deux équations différentielles avec des variables séparées par substitution y=uv, Où toi Et v- fonctions inconnues de X. Cette méthode de résolution est appelée méthode de Bernoulli.

Algorithme de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre

y" = f(x)y + g(x)

1. Entrez le remplacement y=uv.

2. Différencier cette égalité y" = u"v + uv"

3. Remplacer oui Et oui" dans cette équation : u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Regroupez les termes de l'équation de manière à ce que toi retirez-le des parenthèses :

5. À partir du support, en l'assimilant à zéro, trouvez la fonction

Il s'agit d'une équation séparable :

Divisons les variables et obtenons :

Où . .

6. Remplacez la valeur résultante v dans l'équation (de l'étape 4) :

et trouvez la fonction C'est une équation à variables séparables :

7. Écrivez la solution générale sous la forme : , c'est à dire. .

Exemple 1

Trouver une solution particulière à l'équation y" = -2y +3 = 0 Si y=1à x = 0

Solution. Résolvons-le en utilisant la substitution y=uv,.y" = u"v + uv"

Remplacement oui Et oui" dans cette équation, on obtient

En regroupant les deuxième et troisième termes du côté gauche de l'équation, on retire le facteur commun toi hors parenthèses

Nous assimilons l'expression entre parenthèses à zéro et, après avoir résolu l'équation résultante, nous trouvons la fonction v = v(x)

Nous obtenons une équation avec des variables séparées. Intégrons les deux côtés de cette équation : Trouvez la fonction v:

Remplaçons la valeur résultante v dans l'équation on obtient :

Il s'agit d'une équation à variables séparées. Intégrons les deux côtés de l'équation : Trouvons la fonction u = u(x,c) Trouvons une solution générale : Trouvons une solution particulière à l'équation qui satisfait aux conditions initiales y = 1à x = 0:

III. Équations différentielles d'ordre supérieur

3.1. Concepts et définitions de base

Une équation différentielle du second ordre est une équation contenant des dérivées ne dépassant pas le second ordre. Dans le cas général, une équation différentielle du second ordre s’écrit : F(x,y,y",y") = 0

La solution générale d'une équation différentielle du second ordre est fonction de la forme , qui comprend deux constantes arbitraires C1 Et C2.

Une solution particulière d'une équation différentielle du second ordre est une solution obtenue à partir d'une solution générale pour certaines valeurs de constantes arbitraires C1 Et C2.

3.2. Equations différentielles homogènes linéaires du second ordre avec coefficients constants.

Équation différentielle homogène linéaire du second ordre à coefficients constants appelé une équation de la forme y" + py" + qy = 0, Où p Et q- des valeurs constantes.

Algorithme de résolution d'équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants

1. Écrivez l'équation différentielle sous la forme : y" + py" + qy = 0.

2. Créez son équation caractéristique, désignant oui"à travers r2, oui"à travers r, oui en 1: r 2 + pr + q = 0

Soit ils ont déjà été résolus par rapport à la dérivée, soit ils peuvent être résolus par rapport à la dérivée .

Solution générale des équations différentielles du type sur l'intervalle X, qui est donné, peut être trouvé en prenant l’intégrale des deux côtés de cette égalité.

On a .

Si l'on regarde les propriétés de l'intégrale indéfinie, on trouve la solution générale souhaitée :

y = F(x) + C,

Où F(x)- un des fonctions primitives f(x) entre X, UN AVEC- constante arbitraire.

Veuillez noter que dans la plupart des problèmes, l'intervalle X n'indique pas. Cela signifie qu’une solution doit être trouvée pour tout le monde. X, pour lequel et la fonction souhaitée oui, et l'équation originale a du sens.

Si vous devez calculer une solution particulière à une équation différentielle qui satisfait la condition initiale y(x 0) = y 0, puis après avoir calculé l'intégrale générale y = F(x) + C, il faut encore déterminer la valeur de la constante C = C0, en utilisant la condition initiale. C'est-à-dire une constante C = C0 déterminé à partir de l'équation F(x 0) + C = y 0, et la solution partielle souhaitée de l'équation différentielle prendra la forme :

y = F(x) + C0.

Regardons un exemple :

Trouvons une solution générale à l'équation différentielle et vérifions l'exactitude du résultat. Trouvons une solution particulière à cette équation qui satisferait la condition initiale.

Solution:

Après avoir intégré l’équation différentielle donnée, nous obtenons :

.

Prenons cette intégrale en utilisant la méthode d'intégration par parties :

Que., est une solution générale de l'équation différentielle.

Pour nous assurer que le résultat est correct, effectuons une vérification. Pour ce faire, nous substituons la solution que nous avons trouvée dans l'équation donnée :

.

C'est quand l'équation originale se transforme en identité :

par conséquent, la solution générale de l’équation différentielle a été déterminée correctement.

La solution que nous avons trouvée est une solution générale de l’équation différentielle pour chaque valeur réelle de l’argument X.

Il reste à calculer une solution particulière de l'ODE qui satisferait la condition initiale. Autrement dit, il faut calculer la valeur de la constante AVEC, auquel l'égalité sera vraie :

.

.

Ensuite, en remplaçant C = 2 dans la solution générale de l'ODE, on obtient une solution particulière de l'équation différentielle qui satisfait la condition initiale :

.

Équation différentielle ordinaire peut être résolu pour la dérivée en divisant les 2 côtés de l'équation par f(x). Cette transformation sera équivalente si f(x) ne revient en aucun cas à zéro Xà partir de l'intervalle d'intégration de l'équation différentielle X.

Il existe des situations probables où, pour certaines valeurs de l'argument X ∈ X les fonctions f(x) Et g(x) deviennent simultanément nuls. Pour valeurs similaires X la solution générale d'une équation différentielle est n'importe quelle fonction oui, qui y est défini, car .

Si pour certaines valeurs d'argument X ∈ X la condition est satisfaite, ce qui signifie que dans ce cas l'ODE n'a pas de solutions.

Pour tout le monde X de l'intervalle X la solution générale de l'équation différentielle est déterminée à partir de l'équation transformée.

Regardons des exemples :

Exemple 1.

Trouvons une solution générale à l'ODE : .

Solution.

D'après les propriétés des fonctions élémentaires de base, il ressort clairement que la fonction logarithme népérien est définie pour des valeurs non négatives de l'argument, donc le domaine de définition de l'expression ln(x+3) il y a un intervalle X > -3 . Cela signifie que l’équation différentielle donnée a du sens pour X > -3 . Pour ces valeurs d'argument, l'expression x+3 ne disparaît pas, vous pouvez donc résoudre l'ODE pour la dérivée en divisant les 2 parties par x + 3.

On a .

Ensuite, nous intégrons l'équation différentielle résultante, résolue par rapport à la dérivée : . Pour prendre cette intégrale, nous utilisons la méthode de subsomption du signe différentiel.