Oh-oh-oh-oh-oh ... و قلع، اگر شما جمله را خود خوانده =) اما پس از آن آرامش کمک خواهد کرد، به خصوص امروز خرید لوازم جانبی تطبیق. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله ذهنی شاد داشته باشم.

موقعیت نسبی دو خط مستقیم

موردی که حضار همراه با گروه کر می خوانند. دو خط مستقیم می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد:;

3) یا در یک نقطه تلاقی می کنند:.

کمک برای Dummies : لطفا علامت ریاضی تقاطع را به خاطر بسپارید، بسیار رایج خواهد بود. رکورد نشان می دهد که خط با خط در یک نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط مستقیم را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط مستقیم منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی تعداد "لامبدا" وجود دارد که برابری ها برقرار است

خطوط مستقیم را در نظر بگیرید و از ضرایب مربوطه سه معادله بسازید:. از هر معادله برمی‌آید که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله با کاهش 2، معادله یکسانی بدست می آید:.

حالت دوم، زمانی که خطوط موازی هستند:

دو خط مستقیم موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها برای متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، کاملاً واضح است که.

و مورد سوم، هنگامی که خطوط قطع می شوند:

دو خط مستقیم اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب آنها برای متغیرها متناسب نباشد، یعنی چنین مقدار لامبدا وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، سیستم را می سازیم:

از معادله اول نتیجه می شود که و از معادله دوم: پس سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه: خطوط همدیگر را قطع می کنند

در مسائل عملی، می توانید از طرح راه حلی که به تازگی در نظر گرفته شده است استفاده کنید. به هر حال، بسیار شبیه به الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در درس در نظر گرفتیم. مفهوم وابستگی خطی (غیر) بردارها. اساس بردارها... اما بسته بندی متمدن تری وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط مستقیم را پیدا کنید:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط مستقیم را پیدا می کنیم: .

، بنابراین بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی را با اشاره گر در چهارراه قرار می دهم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای جاودانه =)

ب) بردارهای جهت خطوط مستقیم را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که یا موازی هستند یا منطبق هستند. در اینجا نیز نیازی به شمارش تعیین کننده نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند، در حالی که.

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط مستقیم را بیابید:

بیایید تعیین کننده متشکل از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم:
بنابراین بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی یا منطبق هستند.

ضریب تناسب "لامبدا" به راحتی از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حال بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) چگونه مشکلی که به صورت شفاهی در نظر گرفته شده است را در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه دلیلی نمی بینم که چیزی برای آن پیشنهاد کنم تصمیم مستقلبهتر است یک آجر مهم دیگر در پی هندسی گذاشته شود:

چگونه یک خط مستقیم به موازات یک خط داده شده بسازیم؟

برای ندانستن این ساده ترین کاربلبل دزد را به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. یک خط مستقیم موازی را که از یک نقطه می گذرد معادل کنید.

راه حل: حرف راست مجهول را نشان می دهیم. شرایط در مورد او چه می گوید؟ خط مستقیم از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط مستقیم موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت دهنده خط مستقیم «تسه» برای ساخت خط مستقیم «د» نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تأیید تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله به دست آمده را برآورده می کند یا خیر.

بررسی تحلیلی در بیشتر موارد به صورت شفاهی آسان است. به دو معادله نگاه کنید، بسیاری از شما به سرعت موازی خطوط مستقیم را بدون هیچ ترسیمی متوجه خواهید شد.

مثال‌هایی برای راه‌حل‌هایی که امروز خودتان انجام دهید، خلاقانه خواهد بود. چون هنوز باید با بابا یاگا رقابت کنی و او هم که می دانی عاشق انواع معماهاست.

مثال 3

معادله خط مستقیمی را بسازید که از نقطه ای موازی با خط مستقیم عبور می کند اگر

یک راه حل منطقی و نه چندان منطقی وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط مستقیم موازی کار کرده ایم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد منطبق شدن خطوط مستقیم جالب نیست، بنابراین مشکلی را در نظر بگیرید که از آن به خوبی برای شما شناخته شده است برنامه آموزشی مدرسه:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در یک نقطه قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل است سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

خیلی برای شما معنای هندسی سیستم دو معادلات خطیبا دو مجهولدو خط مستقیم متقاطع (اغلب) روی یک صفحه هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

راه گرافیکی این است که به سادگی خطوط داده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست:. برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله خط مستقیم جایگزین کنید، آنها باید هم آنجا و هم آنجا قرار بگیرند. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه حل سیستم است. اساساً ما به یک روش گرافیکی برای حل نگاه کردیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم چنین تصمیمی بگیرند، نکته این است که برای رسیدن به یک نقاشی درست و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی از خطوط مستقیم چندان آسان نیست، و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در قلمرو سی در خارج از صفحه نوت بوک قرار داشته باشد.

بنابراین بهتر است با استفاده از روش تحلیلی به دنبال نقطه تقاطع باشیم. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترم به ترم معادلات استفاده شد. برای ایجاد مهارت های مرتبط، از درس دیدن کنید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

بررسی بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله در سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. تقسیم کار به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل شرایط نشان می دهد که چه چیزی لازم است:
1) معادله خط مستقیم را بسازید.
2) معادله خط مستقیم را بسازید.
3) موقعیت نسبی خطوط مستقیم را بیابید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تقاطع را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم اقدامات معمولی برای بسیاری از مسائل هندسی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

راه حل و پاسخ کامل در پایان آموزش:

یک جفت کفش هنوز کهنه نشده است که به بخش دوم درس رسیدیم:

خطوط مستقیم عمود بر هم. فاصله از نقطه به خط.
زاویه بین خطوط مستقیم

بیایید با یک کار معمولی و بسیار مهم شروع کنیم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات این یکی بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط مستقیم عمود بر یک خط معین بسازیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. یک خط عمود بر یک نقطه را برابر کنید.

راه حل: به شرط معلوم است که. خوب است که بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنیم. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله "حذف" بردار عادی: که بردار جهت خط مستقیم خواهد بود.

اجازه دهید معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار جهت بسازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را گسترش دهیم:

هوم ... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات خارج کنید و با کمک حاصل ضرب نقطه ای بردارهاما به این نتیجه می رسیم که خطوط مستقیم در واقع عمود هستند:.

به هر حال، شما می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله به دست آمده را برآورده می کند یا خیر .

باز هم انجام چک به صورت شفاهی آسان است.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را پیدا کنید و اشاره کنید.

این یک مثال برای راه حلی است که خودتان انجام دهید. چندین عمل در کار وجود دارد، بنابراین راحت است که راه حل را نقطه به نقطه ترسیم کنید.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

پیش روی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما این است که از کوتاه ترین راه به آن برسیم. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر رانندگی در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم طول خط عمود است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "ro" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم را پیدا کنید

راه حل: تنها چیزی که لازم است این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کنید و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید طراحی را اجرا کنیم:

فاصله نقطه تا خط پیدا شده دقیقاً به اندازه طول خط قرمز است. اگر نقاشی را روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد بکشید. = 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

کار دیگری را برای همان طرح اولیه در نظر بگیرید:

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با یک نقطه متقارن نسبت به یک خط مستقیم است ... من پیشنهاد می کنم اقدامات را خودتان انجام دهید، اما یک الگوریتم راه حل با نتایج متوسط ​​را تعیین می کنم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به طور مفصل در این درس پوشش داده شده است.

3) نقطه نقطه وسط پاره خط است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات نقطه وسط قطعهما پیدا می کنیم.

بررسی اینکه فاصله نیز 2.2 واحد است، اضافی نخواهد بود.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما در برج یک ماشین حساب کوچک کمک بزرگی می کند و به شما امکان می دهد بشمارید. کسرهای رایج... مکرر توصیه می شود، توصیه خواهد کرد و دوباره.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای راه حل مستقل است. اجازه دهید یک اشاره کوچک به شما بدهم: راه های بی نهایت زیادی برای حل آن وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم شما به خوبی توانستید نبوغ خود را پراکنده کنید.

زاویه بین دو خط مستقیم

هر زاویه ای یک گیره است:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم به عنوان کوچکترین زاویه در نظر گرفته می شود که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز به عنوان زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع محاسبه نمی شود. و همسایه «سبز» او را چنین می دانند یا مخالف جهت گیریگوشه "زرشکی".

اگر خطوط مستقیم عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اول، جهتی که در آن گوشه پیمایش می شود اساساً مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، به عنوان مثال، اگر.

چرا این را گفتم؟ به نظر می رسد که می توان از مفهوم معمول زاویه چشم پوشی کرد. واقعیت این است که در فرمول هایی که زوایای آن را پیدا می کنیم، به راحتی می توانید نتیجه منفی بگیرید و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در نقاشی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط مستقیم را پیدا کنید

راه حلو روش یک

دو خط مستقیم را در نظر بگیرید که با معادلات به صورت کلی داده می شود:

اگر مستقیم عمود نیست، سپس جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج دقت کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت خطوط مستقیم:

اگر مخرج فرمول ناپدید شود و بردارها متعامد و خطوط مستقیم عمود باشند. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط مستقیم در فرمول بندی قید شد.

با توجه به موارد فوق ، تهیه راه حل در دو مرحله راحت است:

1) حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط مستقیم را محاسبه کنید:
، به این معنی که خطوط مستقیم عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط مستقیم با فرمول بدست می آید:

با استفاده از تابع معکوس، به راحتی می توان خود گوشه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (نگاه کنید به. نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً هم بر حسب درجه و هم بر حسب رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، پس منهای، اشکالی ندارد. در اینجا یک تصویر هندسی است:

جای تعجب نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در بیان مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "پیچش" زاویه با آن آغاز شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط مستقیم را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. ، و ضرایب از معادله اول گرفته شده است. به طور خلاصه، شما باید با یک خط مستقیم شروع کنید .

فاصله از نقطه به خط طول عمود کاهش یافته از نقطه به خط است. در هندسه توصیفی با استفاده از الگوریتم زیر به صورت گرافیکی تعیین می شود.

الگوریتم

1. خط مستقیم به موقعیتی منتقل می شود که در آن موازی با هر صفحه نمایشی خواهد بود. برای این، از روش های تبدیل پیش بینی های متعامد استفاده می شود.
2. از یک نقطه، یک عمود بر یک خط مستقیم رسم می شود. این ساختار بر اساس قضیه طرح ریزی زاویه راست است.
3. طول یک عمود با تبدیل برجستگی های آن یا با استفاده از روش مثلث قائم الزاویه تعیین می شود.

شکل زیر یک رسم پیچیده از نقطه M و خط b را نشان می دهد که توسط قطعه CD تعریف شده است. لازم است فاصله بین آنها را پیدا کنید.

طبق الگوریتم ما، اولین کاری که باید انجام دهیم این است که خط را به موقعیتی موازی با صفحه طرح ریزی منتقل کنیم. درک این نکته مهم است که پس از تبدیل ها، فاصله واقعی بین نقطه و خط نباید تغییر کند. به همین دلیل است که استفاده از روش جایگزینی هواپیماها در اینجا راحت است که به معنای حرکت ارقام در فضا نیست.

نتایج مرحله اول ساخت در زیر نشان داده شده است. شکل نشان می دهد که چگونه یک صفحه فرونتال اضافی P 4 به موازات b معرفی می شود. V سیستم جدید(P 1, P 4) نقاط C "" 1، D "" 1، M "" 1 در همان فاصله از محور X 1 قرار دارند که C "، D "، M "" از محور X .

با اجرای بخش دوم الگوریتم، از M "" 1 عمود بر M "" 1 N "" 1 را به خط مستقیم b "" 1 پایین می آوریم، زیرا زاویه راست MND بین b و MN بر روی صفحه P 4 پیش بینی می شود. در اندازه کامل در خط ارتباطی، موقعیت نقطه N را تعیین می کنیم و طرح M" N "بخش MN را انجام می دهیم.

در مرحله نهایی، باید مقدار بخش MN را با پیش بینی های آن M "N" و M "" 1 N "" 1 تعیین کنید. برای این ما می سازیم راست گوشه M "" 1 N "" 1 N 0، که در آن پایه N "" 1 N 0 برابر است با تفاوت (Y M 1 - Y N 1) حذف نقاط M "و N" از محور X 1. طول هیپوتانوز M "" 1 N 0 مثلث M "" 1 N "" 1 N 0 با فاصله مورد نظر از M تا b مطابقت دارد.

راه حل دوم

• به موازات CD، ما یک صفحه جلویی جدید P 4 را معرفی می کنیم. پی 1 را در امتداد محور X 1 و X 1 ∥C "D" را قطع می کند. مطابق با روش جایگزینی هواپیماها، پیش بینی نقاط C "" 1، D "" 1 و M "" 1 را همانطور که در شکل نشان داده شده است تعیین می کنیم.
• عمود بر C "" 1 D "" 1 ساخت اضافی صفحه افقیП 5، که روی آن خط b در نقطه C "2 = b" 2 پیش بینی می شود.
• فاصله بین نقطه M و خط b با طول قطعه M "2 C" 2 که با رنگ قرمز مشخص شده است تعیین می شود.

وظایف مشابه:

این مقاله در مورد موضوع صحبت می کند « فاصله از نقطه به خط », تعیین فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم با مثال های مصور با روش مختصات در نظر گرفته شده است. هر بلوک از نظریه در پایان نمونه هایی از حل مسائل مشابه را نشان داده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم از طریق تعریف فاصله از یک نقطه تا یک نقطه پیدا می شود. بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم.

بگذارید یک خط مستقیم a و یک نقطه M 1 وجود داشته باشد که به یک خط مستقیم داده شده تعلق ندارد. خط b را از آن رسم کنید که بر خط a عمود است. نقطه تلاقی خطوط H 1 در نظر گرفته می شود. دریافتیم که M 1 H 1 عمود است که از نقطه M 1 به خط a کاهش یافته است.

تعریف 1

فاصله از نقطه М 1 تا خط aفاصله بین نقاط M 1 و H 1 نامیده می شود.

رکوردهای تعریف با شکل طول عمود وجود دارد.

تعریف 2

فاصله از نقطه به خططول عمود رسم شده از یک نقطه معین به یک خط مستقیم مشخص است.

تعاریف معادل هستند. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مشخص است که فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم کوچکترین فاصله ممکن است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

اگر نقطه Q را که روی خط مستقیم a قرار دارد، که با نقطه M 1 منطبق نیست، در نظر بگیریم، دریافتیم که قطعه M 1 Q مایل نامیده می شود، از M 1 به خط a کاهش یافته است. باید تعیین کرد که عمود از نقطه M 1 کمتر از هر خط مایل دیگری است که از نقطه به خط مستقیم کشیده شده است.

برای اثبات این موضوع، مثلثی M 1 Q 1 H 1 را در نظر بگیرید که در آن M 1 Q 1 افت فشار است. مشخص است که طول آن همیشه از طول هر یک از پاها بیشتر است. ما آن M 1 H 1 را داریم< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

داده های اولیه برای یافتن از یک نقطه به یک خط مستقیم به شما امکان می دهد از چندین روش حل استفاده کنید: از طریق قضیه فیثاغورث، تعیین سینوس، کسینوس، مماس یک زاویه و غیره. اکثر وظایف از این نوع در مدرسه در درس هندسه حل می شود.

هنگامی که هنگام یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم، امکان ورود به سیستم مختصات مستطیلی وجود داشته باشد، از روش مختصات استفاده می شود. در این پاراگراف دو روش اصلی برای یافتن فاصله مورد نظر از یک نقطه معین را در نظر خواهیم گرفت.

روش اول شامل یافتن فاصله به صورت عمود رسم شده از M 1 به خط مستقیم a است. روش دوم از معادله معمولی خط مستقیم a برای یافتن فاصله مورد نظر استفاده می کند.

اگر نقطه ای در صفحه با مختصات M 1 (x 1، y 1) در یک سیستم مختصات مستطیلی، خط مستقیم a وجود دارد و باید فاصله M 1 H 1 را پیدا کنید، می توانید به دو روش محاسبه کنید. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

راه اول

اگر مختصات نقطه H 1 برابر با x 2، y 2 وجود داشته باشد، فاصله از نقطه تا خط مستقیم با توجه به مختصات فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 محاسبه می شود. + (y 2 - y 1) 2.

حال به سراغ یافتن مختصات نقطه H 1 می رویم.

مشخص است که یک خط مستقیم در O x y با معادله یک خط مستقیم در یک صفحه مطابقت دارد. بیایید از طریق نوشتن معادله کلی یک خط مستقیم یا معادله با شیب، یک خط مستقیم را مشخص کنیم. معادله خط مستقیمی را می‌سازیم که از نقطه M 1 عمود بر خط مستقیم a می‌گذرد. خط مستقیم با راش b نشان داده می شود. H 1 نقطه تلاقی خطوط مستقیم a و b است، به این معنی که برای تعیین مختصات باید از مقاله ای استفاده کنید که در آن در سوالدر مورد مختصات نقاط تقاطع دو خط مستقیم.

مشاهده می شود که الگوریتم برای یافتن فاصله از یک نقطه معین M 1 (x 1, y 1) تا یک خط مستقیم a با توجه به نقاط انجام می شود:

تعریف 3

• پیدا کردن معادله کلی خط مستقیم a، با شکل A 1 x + B 1 y + C 1 = 0، یا معادله ای با شیب، با شکل y = k 1 x + b 1.
• به دست آوردن یک معادله کلی از خط مستقیم b، به شکل A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا معادله ای با شیب y = k 2 x + b 2، اگر خط مستقیم b نقطه M 1 را قطع کند. و عمود بر خط مستقیم داده شده a است.
• تعیین مختصات x 2، y 2 نقطه H 1، که نقطه تلاقی a و b است، برای این، یک سیستم معادلات خطی حل می شود A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• محاسبه فاصله مورد نیاز از یک نقطه تا یک خط مستقیم با استفاده از فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

راه دوم

این قضیه می تواند به پاسخ به سؤال یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم معین در یک صفحه کمک کند.

قضیه

سیستم مختصات مستطیلی دارای O xy دارای یک نقطه M 1 (x 1, y 1) است که از آن یک خط مستقیم a به صفحه رسم می شود که با معادله نرمال صفحه که به شکل cos α x + cos است به دست می آید. β y - p = 0، برابر با مدول مقدار بدست آمده در سمت چپ معادله معمولی خط مستقیم، محاسبه شده در x = x 1، y = y 1، به این معنی که M 1 H 1 = cos α x 1 + cos β y 1 - p.

اثبات

خط a مطابق با معادله نرمال صفحه است که به شکل cos α x + cos β y - p = 0 است، سپس n → = (cos α، cos β) بردار نرمال خط a در فاصله در نظر گرفته می شود. از مبدا تا خط a با واحد p ... لازم است تمام داده ها را در شکل نمایش دهید، یک نقطه با مختصات M 1 (x 1، y 1) اضافه کنید، که در آن بردار شعاع نقطه M 1 - O M 1 → = (x 1، y 1) است. لازم است یک خط مستقیم از یک نقطه به یک خط مستقیم بکشیم که آن را با M 1 H 1 نشان می دهیم. لازم است پیش بینی های M 2 و H 2 نقاط M 1 و H 2 را بر روی یک خط مستقیم که از نقطه O با بردار جهت به شکل n → = (cos α, cos β) می گذرد نشان دهیم و طرح عددی بردار به صورت OM 1 → = (x 1, y 1) به جهت n → = (cos α, cos β) به صورت npn → OM 1 → نشان داده می شود.

تغییرات به محل خود نقطه M 1 بستگی دارد. شکل زیر را در نظر بگیرید.

ما نتایج را با استفاده از فرمول M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p ثابت می کنیم. سپس تساوی را به این شکل کاهش می دهیم M 1 H 1 = cos α x 1 + cos β y 1 - p تا n p n → O M → 1 = cos α x 1 + cos β y 1 به دست آوریم.

حاصل ضرب اسکالر بردارها در نتیجه فرمول تبدیل شده ای به شکل n →، OM → 1 = n → npn → OM 1 → = 1 npn → OM 1 → = npn → OM 1 → به دست می دهد که یک محصول به صورت مختصات است. به شکل n →، OM 1 → = cos α x 1 + cos β y 1. از این رو، به دست می آوریم که n p n → O M 1 → = cos α x 1 + cos β y 1. نتیجه می شود که M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α x 1 + cos β y 1 - p. قضیه ثابت می شود.

دریافتیم که برای یافتن فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a در هواپیما، باید چندین عمل را انجام دهید:

تعریف 4

• به دست آوردن معادله عادی خط مستقیم a cos α x + cos β y - p = 0، مشروط بر اینکه در کار نباشد.
• محاسبه عبارت cos α · x 1 + cos β · y 1 - p، که در آن مقدار به دست آمده M 1 H 1 می گیرد.

اجازه دهید این روش ها را برای حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه اعمال کنیم.

مثال 1

فاصله نقطه با مختصات M 1 (- 1، 2) تا خط مستقیم 4 x - 3 y + 35 = 0 را بیابید.

راه حل

بیایید روش اول را برای حل اعمال کنیم.

برای انجام این کار، لازم است معادله کلی خط مستقیم b، که از نقطه معین M 1 (- 1، 2)، عمود بر خط مستقیم 4 x - 3 y + 35 = 0 عبور می کند، پیدا کنید. از شرایطی که خط b عمود بر خط a است، مشاهده می شود، سپس بردار جهت آن دارای مختصاتی برابر با (4، - 3) است. بنابراین، ما این فرصت را داریم که معادله متعارف خط مستقیم b را روی صفحه بنویسیم، زیرا مختصاتی از نقطه M 1 متعلق به خط مستقیم b وجود دارد. مختصات بردار جهت خط راست را تعیین کنید. x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 بدست می آوریم. معادله متعارف حاصل باید به معادله عمومی تبدیل شود. سپس آن را دریافت می کنیم

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) = 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

اجازه دهید مختصات نقاط تقاطع خطوط مستقیم را پیدا کنیم که به عنوان نام H 1 در نظر می گیریم. تحولات به این صورت است:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

با توجه به موارد فوق، مختصات نقطه H 1 (- 5; 5) است.

لازم است فاصله نقطه M 1 تا خط a محاسبه شود. مختصات نقاط M 1 (- 1, 2) و H 1 (- 5, 5) را داریم، سپس در فرمول پیدا کردن فاصله جایگزین می کنیم و به این نتیجه می رسیم که

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

راه حل دوم

برای حل به روشی دیگر باید معادله عادی خط مستقیم را به دست آورد. ضریب نرمال سازی را ارزیابی کنید و هر دو طرف معادله را 4 x - 3 y + 35 = 0 ضرب کنید. از این نتیجه می گیریم که ضریب نرمال کننده - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 است، و معادله نرمال به شکل - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - خواهد بود. 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0.

با توجه به الگوریتم محاسبه، لازم است معادله عادی خط مستقیم را به دست آوریم و آن را با مقادیر x = - 1، y = 2 محاسبه کنیم. سپس آن را دریافت می کنیم

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 = - 5

از این رو، متوجه می شویم که فاصله از نقطه M 1 (- 1، 2) تا خط مستقیم داده شده 4 x - 3 y + 35 = 0 دارای مقدار - 5 = 5 است.

پاسخ: 5 .

مشاهده می شود که در این روش استفاده از معادله عادی یک خط مستقیم مهم است، زیرا این روش کوتاه ترین است. اما روش اول از این نظر راحت است که منسجم و منطقی است، اگرچه امتیازات محاسباتی بیشتری دارد.

مثال 2

در صفحه یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با نقطه M 1 (8، 0) و یک خط مستقیم y = 1 2 x + 1 وجود دارد. فاصله یک نقطه معین تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل

راه حل در راه اول به معنی کاهش معادله داده شده با شیب به معادله است. نمای کلی... برای سادگی، می توانید آن را متفاوت انجام دهید.

اگر حاصل ضرب شیب خطوط عمود بر یک مقدار باشد، پس شیبخط عمود بر y = 1 2 x + 1 مقدار 2 دارد. اکنون معادله خط مستقیمی را که از نقطه ای با مختصات M 1 (8، 0) می گذرد، بدست می آوریم. داریم که y - 0 = - 2 (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16.

ما به یافتن مختصات نقطه H 1 می رویم، یعنی نقاط تقاطع y = - 2 x + 16 و y = 1 2 x + 1. ما یک سیستم معادلات می سازیم و به دست می آوریم:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6، 4)

نتیجه این است که فاصله از نقطه با مختصات M 1 (8, 0) تا خط مستقیم y = 1 2 x + 1 برابر است با فاصله از نقطه شروع و نقطه پایان با مختصات M 1 (8, 0) و H 1 (6، 4) ... بیایید محاسبه کنیم و دریافت کنیم که M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

راه حل در راه دوم این است که از یک معادله با ضریب به حالت عادی آن برسیم. یعنی y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 را دریافت می کنیم، سپس مقدار ضریب نرمال کننده - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 خواهد بود. به این ترتیب معادله عادی خط به شکل - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 است. بیایید از نقطه M 1 8، 0 تا یک خط مستقیم به شکل - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 محاسبه کنیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

پاسخ: 2 5 .

مثال 3

لازم است فاصله از نقطه با مختصات M 1 (- 2، 4) تا خطوط مستقیم 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0 محاسبه شود.

راه حل

معادله شکل عادی خط مستقیم 2 x - 3 = 0 را به دست می آوریم:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

سپس به محاسبه فاصله از نقطه M 1 - 2، 4 تا خط مستقیم x - 3 2 = 0 ادامه می دهیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادله خط مستقیم y + 1 = 0 دارای ضریب نرمال کننده -1 است. این بدان معنی است که معادله به شکل - y - 1 = 0 خواهد بود. ما به محاسبه فاصله از نقطه M 1 (- 2، 4) تا خط مستقیم - y - 1 = 0 ادامه می دهیم. دریافت می کنیم که برابر است با - 4 - 1 = 5.

پاسخ: 3 1 2 و 5.

یافتن فاصله از نقطه مشخصی از هواپیما تا را با جزئیات در نظر بگیرید محورهای مختصات O x و O y.

در یک سیستم مختصات مستطیلی در محور O y معادله ای از یک خط مستقیم وجود دارد که ناقص است و به شکل x = 0 و Ox - y = 0 است. معادلات برای محورهای مختصات عادی هستند، سپس باید فاصله نقطه را با مختصات M 1 x 1، y 1 تا خطوط مستقیم پیدا کنید. این کار بر اساس فرمول های M 1 H 1 = x 1 و M 1 H 1 = y 1 انجام می شود. شکل زیر را در نظر بگیرید.

مثال 4

فاصله نقطه M 1 (6، - 7) تا خطوط مختصات واقع در صفحه O x y را بیابید.

راه حل

از آنجایی که معادله y = 0 به خط مستقیم O x اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 را با مختصات داده شده، به این خط مستقیم با استفاده از فرمول. ما 6 = 6 را دریافت می کنیم.

از آنجایی که معادله x = 0 به خط مستقیم O y اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 تا این خط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید. سپس دریافت می کنیم که - 7 = 7.

پاسخ:فاصله M 1 تا O x دارای مقدار 6 و از M 1 تا O y دارای مقدار 7 است.

وقتی در فضای سه بعدی نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) داریم، لازم است فاصله نقطه A تا خط a را پیدا کنیم.

دو روش را در نظر بگیرید که به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم a واقع در فضا را محاسبه کنید. حالت اول فاصله نقطه M 1 تا خط مستقیم را در نظر می گیرد که نقطه روی خط مستقیم H 1 نامیده می شود و پایه عمود رسم شده از نقطه M 1 به خط مستقیم a است. مورد دوم نشان می دهد که نقاط این صفحه را باید به عنوان ارتفاع متوازی الاضلاع جستجو کرد.

راه اول

از این تعریف داریم که فاصله از نقطه M 1 واقع در خط مستقیم a ، طول عمود بر M 1 H 1 است ، سپس با مختصات یافت شده نقطه H 1 به دست می آوریم. فاصله بین M 1 (x 1, y 1, z 1 ) و H 1 (x 1, y 1, z 1) بر اساس فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

دریافتیم که کل راه حل برای یافتن مختصات قاعده عمود رسم شده از М 1 به خط a می رود. این کار به صورت زیر انجام می شود: H 1 نقطه ای است که خط a با صفحه ای که از نقطه داده شده می گذرد تلاقی می کند.

از این رو، الگوریتم برای تعیین فاصله از نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1) تا خط a در فضا متضمن چندین نقطه است:

تعریف 5

• ترسیم معادله صفحه χ به عنوان معادله ای از صفحه ای که از نقطه معینی که عمود بر خط مستقیم است می گذرد.
• تعیین مختصات (x 2, y 2, z 2) متعلق به نقطه H 1 که نقطه تقاطع خط مستقیم a و صفحه χ است.
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم با استفاده از فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

راه دوم

از شرط یک خط مستقیم a داریم، سپس می‌توانیم بردار جهت a → = a x، a y، a z را با مختصات x 3، y 3، z 3 و یک نقطه M 3 متعلق به خط مستقیم a تعیین کنیم. اگر مختصات نقاط M 1 (x 1، y 1) و M 3 x 3، y 3، z 3 وجود داشته باشد، می توانید M 3 M 1 → محاسبه کنید:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3)

لازم است بردارهای a → = ax، ay، az و M 3 M 1 → = x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3 را از نقطه M 3 به تعویق بیندازید، وصل کنید و متوازی الاضلاع بدست آورید. شکل. M 1 H 1 ارتفاع متوازی الاضلاع است.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

داریم که ارتفاع M 1 H 1 فاصله مورد نظر است، سپس باید آن را با فرمول پیدا کرد. یعنی ما به دنبال M 1 H 1 هستیم.

بیایید مساحت متوازی الاضلاع را برای حرف S مشخص کنیم، با فرمول با استفاده از بردار a → = (a x، a y، a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 یافت می شود. y 1 - y 3، z 1 - z 3. فرمول مساحت S = a → × M 3 M 1 → است. همچنین مساحت شکل برابر است با حاصل ضرب طول اضلاع آن در ارتفاع، به دست می آید که S = a → M 1 H 1 با a → = ax 2 + ay 2 + az 2 که طول بردار a → = (ax, ay, az) که برابر است با ضلع متوازی الاضلاع. بنابراین، M 1 H 1 فاصله یک نقطه تا یک خط است. با فرمول M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → یافت می شود.

برای یافتن فاصله از نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) تا یک خط مستقیم a در فضا، باید چندین مرحله از الگوریتم را انجام داد:

تعریف 6

• تعیین بردار جهت دهنده خط مستقیم a - a → = (a x, a y, a z);
• محاسبه طول بردار جهت a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• به دست آوردن مختصات x 3, y 3, z 3 متعلق به نقطه M 3 واقع در خط مستقیم a.
• محاسبه مختصات بردار M 3 M 1 →;
• یافتن حاصل ضرب برداری بردارهای a → (ax, ay, az) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 به صورت a → × M 3 M 1 → = i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 برای بدست آوردن طول با فرمول a → × M 3 M 1 →;
• محاسبه فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a →.

حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم در فضا

فاصله نقطه با مختصات M 1 2, - 4, - 1 تا خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 را بیابید.

راه حل

روش اول با نوشتن معادله صفحه χ که از M 1 می گذرد و عمود بر یک نقطه داده شده شروع می شود. ما یک عبارت از فرم را دریافت می کنیم:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

لازم است مختصات نقطه H 1 را که نقطه تقاطع با صفحه χ به خط مشخص شده توسط شرط است، پیدا کنید. شما باید از متعارف به متقاطع بروید. سپس یک سیستم معادلات به شکل زیر بدست می آوریم:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) = 2 y 5 (x + 1) = 2 (z + 5) 5 y = - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

لازم است سیستم x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 محاسبه شود. 2 x - y + 5 z = 3 با روش کرامر، سپس به این نتیجه می رسیم:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

از این رو ما آن H 1 را داریم (1، - 1، 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

راه دوم این است که با جستجوی مختصات در معادله متعارف شروع کنید. برای این کار باید به مخرج کسر توجه کنید. سپس a → = 2، - 1، 5 بردار جهت خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 است. لازم است طول را با فرمول a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 محاسبه کنید.

واضح است که خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 نقطه M 3 (- 1, 0, - 5) را قطع می کند، از این رو داریم که بردار با مبدا M 3 (- 1, 0) , - 5) و انتهای آن در نقطه M 1 2, - 4, - 1 M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 است. حاصلضرب برداری a → = (2، - 1، 5) و M 3 M 1 → = (3، - 4، 4) را بیابید.

عبارتی به شکل a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 J → = 16 i → + 7 j → - 5 k →

دریافت می کنیم که طول حاصلضرب برداری → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 است.

ما تمام داده ها را برای استفاده از فرمول محاسبه فاصله از یک نقطه برای یک خط مستقیم داریم، بنابراین آن را اعمال می کنیم و به دست می آوریم:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

پاسخ: 11 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید