منطقی است که به صحبت کردن ادامه دهیم اعمال با کسرهای جبری... با کسرهای جبری، اقدامات زیر: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به درجه طبیعی... علاوه بر این، تمام این اقدامات بسته است، به این معنا که در نتیجه اجرای آنها، کسری جبری به دست می آید. بیایید به ترتیب هر یک از آنها را بررسی کنیم.

بله، شایان ذکر است که اقدامات با کسرهای جبری تعمیم اعمال مربوطه با کسرهای معمولی است. بنابراین، قوانین مربوطه تقریباً به معنای واقعی کلمه با قوانین انجام جمع و تفریق، ضرب، تقسیم و توان منطبق است. کسرهای رایج.

پیمایش صفحه.

جمع کسرهای جبری

جمع هر کسر جبری با یکی از دو حالت زیر مطابقت دارد: در حالت اول، کسری با همان مخرج ها، در دوم - با موارد مختلف. بیایید با قانون جمع کسری با مخرج یکسان شروع کنیم.

برای جمع کردن کسرهای جبری با مخرج یکسان، اعداد را جمع کنید و مخرج را ثابت بگذارید.

قانون صداگذاری شده به شما امکان می دهد از جمع کسرهای جبری به جمع چند جمله ای در اعداد بروید. مثلا، .

برای افزودن کسرهای جبری با مخرج های مختلفشما باید طبق قانون زیر عمل کنید: آنها را به مخرج مشترک، و سپس کسرهای به دست آمده را با مخرج های یکسان اضافه کنید.

به عنوان مثال، هنگام جمع کردن کسرهای جبری و ابتدا باید آنها را به یک مخرج مشترک کاهش داد، در نتیجه به شکل و به ترتیب پس از آن جمع این کسرها با مخرج های یکسان انجام می شود:.

منها کردن

مرحله بعدی - تفریق کسرهای جبری - به همان روش جمع انجام می شود. اگر مخرج کسرهای جبری اصلی یکسان باشد، فقط باید چندجمله‌ای را از اعداد کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید. اگر مخرج ها متفاوت باشند، ابتدا تقلیل به مخرج مشترک انجام می شود و پس از آن، کسرهای حاصل با مخرج یکسان تفریق می شود.

در اینجا چند نمونه آورده شده است.

اجازه دهید کسرهای جبری را تفریق کنیم و مخرج آنها یکسان است، بنابراین. کسر جبری حاصل را می توان بیشتر کاهش داد: .

حالا بیایید کسر را از کسر کم کنیم. اینها کسرهای جبری با مخرج های مختلف هستند، بنابراین، ابتدا آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم، که در این حالت 5 x (x-1) است، ما داریم و ... باقی مانده است که تفریق را انجام دهیم:

ضرب کسرهای جبری

کسرهای جبری را می توان ضرب کرد. این عمل به طور مشابه با ضرب کسرهای معمولی مطابق قانون زیر انجام می شود: برای ضرب کسرهای جبری، باید اعداد را به طور جداگانه و جداگانه - مخرج ها را ضرب کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید یک کسر جبری را در یک کسری ضرب کنیم. طبق قاعده اعلام شده داریم ... باقی مانده است که کسر حاصل را به تبدیل کنیم کسر جبری، برای این کار، در این مورد، لازم است ضرب یک جمله و چند جمله ای (و در مورد کلی- ضرب چند جمله ای ها) در صورت و مخرج: .

شایان ذکر است که قبل از ضرب کسرهای جبری، مطلوب است که چندجمله ای ها را در صورت و مخرج آنها فاکتور بگیرید. این به دلیل امکان کاهش کسر حاصل است. مثلا،
.

این عمل با جزئیات بیشتری در مقاله مورد بحث قرار گرفته است.

بخش

بیایید به عملیات با کسرهای جبری برویم. مرحله بعدی تقسیم کسرهای جبری است. قانون بعدی تقسیم کسرهای جبری را به ضرب کاهش می دهد: برای تقسیم یک کسر جبری بر دیگری، باید کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب کنید.

کسری جبری معکوس به کسر معین به عنوان کسری با مکان های صورت و مخرج دوباره مرتب شده است. به عبارت دیگر، دو کسر جبری به طور متقابل معکوس در نظر گرفته می‌شوند که حاصلضرب آن‌ها برابر با یک باشد (بر اساس قیاس با).

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید تقسیم را انجام دهیم ... کسری معکوس بر مقسوم علیه وجود دارد. بدین ترتیب، .

برای اطلاعات بیشتر به مقاله ضرب و تقسیم کسرهای جبری در بند قبل مراجعه کنید.

افزایش کسری جبری به توان

در نهایت، ما به آخرین عمل با کسرهای جبری می رویم - افزایش به یک توان طبیعی. و همچنین نحوه تعریف ضرب کسرهای جبری به ما امکان می دهد قانون افزایش کسری جبری را به توان بنویسیم: شما باید صورت را به این توان به طور جداگانه و جداگانه - مخرج را افزایش دهید.

بیایید نمونه ای از این عمل را نشان دهیم. اجازه دهید کسر جبری را به توان دوم برسانیم. طبق قانون فوق داریم ... باقی مانده است که تک جمله ای در صورت را به توان برسانیم، و همچنین چند جمله ای را در مخرج به توان برسانیم، که کسری جبری از شکل را به دست می دهد. .

حل نمونه های معمولی دیگر در مقاله افزایش کسری جبری به توان نشان داده شده است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:مطالعه. برای 8 سی سی آموزش عمومی. مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 1387 .-- 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovichجبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شده. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 p .: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G.ریاضی (دفترچه راهنمای متقاضیان آموزشکده فنی): کتاب درسی. کتابچه راهنمای کاربر - M . بالاتر. shk., 1984.-351 p., ill.

حق چاپ توسط دانش آموزان باهوش

تمامی حقوق محفوظ است.
توسط قانون کپی رایت محافظت می شود. هیچ بخشی از سایت www.site، از جمله مواد داخلیو طراحی خارجی، نمی تواند به هیچ شکلی تکثیر شود یا بدون اجازه کتبی قبلی صاحب حق چاپ استفاده شود.

اهداف: تکرار قانون ضرب کسرهای معمولی و آموزش نحوه اعمال این قانون برای ضرب هر کسری. برای تثبیت مهارت های کاهش کسرها و خواص درجه ها با پایه های یکسان در طول تمرین.

در طول کلاس ها

I. تجزیه و تحلیل آزمون.

1. اشتباهات دانش آموزان در آزمون را مشخص کنید.

2. حل تکالیفی که برای دانش آموزان مشکل ایجاد می کرد.

II. کار شفاهی.

1. خواص درجه ها را با پایه های مشابه تکرار کنید:

2. ارائه به عنوان مدرک با پایه

ویژگی اصلی یک کسر را تکرار کنید و از این ویژگی برای کاهش کسرها استفاده کنید.

III. توضیحات مطالب جدید

1. اجازه دهید ثابت کنیم که برابری

برای هر مقدار مجاز متغیرها، یعنی برای b ≠ 0 و d ≠ 0 صادق است.

2. قاعده: برای ضرب کسری در کسری باید اعداد آن ها را ضرب و مخرج آن ها را ضرب کنید و حاصل ضرب اول را به عنوان صورت و دومی را به عنوان مخرج کسر بنویسید.

3. حل مثال های 1، 2، 3 و 4 در صفحات 26-27 آموزش را در نظر بگیرید.

4. قاعده ضرب کسرها بر حاصل ضرب سه عامل یا چند عامل صدق می کند.

مثلا:

1. حل شماره 108 (شفاهی).

2. عدد 109 (الف، ج، ه) را روی تخته و در دفتر حل کنید.

دانش آموزان خود تصمیم می گیرند، سپس راه حل بررسی می شود.

3. حل شماره 112 (ج؛ د؛ و).

مشق شب: مورد مطالعه 5 (1-4); حل شماره 109 (b; d; f)،

شماره 112 (الف؛ ب؛ ه)، شماره 118 (الف؛ ج؛ ه)، شماره 119 (ب؛ د)، شماره 120 (الف؛ ج).

درس 2

اهداف: استنباط قانون افزایش کسری به توان و آموزش به دانش آموزان برای اعمال این قانون هنگام انجام تمرینات. برای تحکیم قانون ضرب کسرها و مهارت های کاهش کسری، برای توسعه تفکر منطقی دانش آموزان.

در طول کلاس ها

I. کار شفاهی.

4. بررسی کنید مشق شبتوسط نوت بوک به صورت انتخابی

II. یادگیری مطالب جدید.

1. مسئله افزایش کسری به توان را در نظر بگیرید. اجازه دهید این را ثابت کنیم

2. قاعده... برای رساندن کسر به توان لازم است که صورت و مخرج را به این توان برسانیم و نتیجه اول را در صورت و دومی را در مخرج کسر بنویسیم.

3. راه حل مثال 5 در صفحه 28 آموزش را تجزیه کنید:

III. ورزش.

1. شماره 115 را شفاهی تصمیم بگیرید.

2. شماره 116 را مستقلاً با تأیید یا با اظهار نظر در محل تصمیم بگیرید.

IV. کار مستقل (10 دقیقه).

V. خلاصه درس.

1. یک قانون برای ضرب کسرها تشکیل دهید.

2. یک قانون برای افزایش کسری به توان تشکیل دهید.

تکلیف خانه:قوانین بند 5 را یاد بگیرید. حل شماره 117، شماره 121 (الف؛ د)، شماره 122 (الف؛ ج)، شماره 123 (الف)، شماره 124، شماره 130 (الف؛ ب).

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن یک به یک آنها با علائم آنها.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس همان درجات متغیرهای مشابهرا می توان اضافه یا کم کرد.

بنابراین، مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه شدن آنها با علائم آنها اضافه شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردندرجه به همان روش جمع انجام می شود، با این تفاوت که علائم تفریق باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر کمیت ها با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن همان متغیرها مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو عدد از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با مجموعدرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است، برابر با 2 + 3، مجموع توان های جمله ها.

بنابراین، a n .a m = a m + n.

برای n، a به عنوان ضریب به تعداد برابر برابر توان n در نظر گرفته می شود.

و m، به اندازه توان m به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، درجه با ساقه های یکسان را می توان با جمع کردن توان ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2 + 6 = a 8. و x 3 .x 2.x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قانون برای اعدادی نیز صادق است که توان آنها عبارتند از - منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1 / aa) نوشت. (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 می شود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا تفاضل مجذورهای آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یابد مربع، نتیجه برابر با مجموع یا تفاضل این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد توانی را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از مقسوم علیه یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر است با 3.

یا:
$ \ فراک (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ فراک (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

یک 5 تقسیم بر 3 شبیه $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $ است. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4، a +3، a +2، a +1، a 0، a -1، a -2، a -3، a -4.
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتنماهای اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه ها با پایه یکسان، شاخص های آنها کم می شود..

بنابراین، y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

و a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. یعنی $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجات
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین $ \ frac (1) (aaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 یا $ h ^ 2: \ فرک (1) (h) = h ^ 2. \ فرک (h) (1) = h ^ 3 $

لازم است ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشت، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. کاهش توان در $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ پاسخ: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. نماها را در $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $ کاهش دهید. پاسخ: $ \ frac (2x) (1) $ یا 2x.

3. توان های a 2 / a 3 و a -3 / a -4 را کاهش داده و به مخرج مشترک بیاورید.
a 2.a -4 یک عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، دومین عدد.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 / a -1 و 1 / a -1.

4. توان 2a 4 / 5a 3 و 2 / a 4 را کاهش داده و به مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 / 5a 7 و 5a 5 / 5a 7 یا 2a 3 / 5a 2 و 5 / 5a 2.

5. (a 3 + b) / b 4 را در (a - b) / 3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1) / x 2 را در (b 2 - 1) / (x + a) ضرب کنید.

7. b 4 / a -2 را در h -3 / x و a n / y -3 ضرب کنید.

8. 4 / y 3 را بر 3 / y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک / سال

9. (h 3 - 1) / d 4 را بر (d n + 1) / h تقسیم کنید.

فرمول های قدرتدر فرآیند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

عدد جهست یک n-ام قدرت عدد آچه زمانی:

عملیات با درجه.

1. با ضرب درجات با پایه یکسان، شاخص های آنها جمع می شوند:

صبحA n = a m + n.

2. در تقسیم درجات با پایه یکسان، شاخص های آنها کم می شود:

3. درجه حاصلضرب 2 یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل:

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. توان کسری برابر است با نسبت توان تقسیم کننده و مقسوم:

(a / b) n = a n / b n.

5. با بالا بردن درجه به یک درجه، نماها ضرب می شوند:

(a m) n = a m n.

هر یک از فرمول های بالا از چپ به راست و بالعکس صادق است.

مثلا. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

عملیات ریشه

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه رابطه برابر است با نسبت سود و مقسوم علیه ریشه:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است که عدد ریشه را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهید nیک بار و همزمان ساخت nقدرت -امین شماره ریشه، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهید nریشه را یکبار و همزمان استخراج کنید n-ام توان عدد رادیکال، پس مقدار ریشه تغییر نمی کند:

درجه با توان منفیتوان یک عدد با یک نما غیر مثبت (کل) به عنوان یک واحد تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلقشاخص غیر مثبت:

فرمول صبح: a n = a m - nرا می توان نه تنها برای متر> n، بلکه در متر< n.

مثلا. آ4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

به طوری که فرمول صبح: a n = a m - nزمانی عادلانه شد m = n، وجود درجه صفر مورد نیاز است.

نمره صفر.توان هر عدد غیر صفر با توان صفر برابر است با یک.

مثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

توان کسری.برای نصب یک عدد واقعی آبه درجه m / n، باید ریشه را استخراج کنید n- درجه از متر-مین توان این عدد آ.

درس با موضوع: "قوانین ضرب و تقسیم درجات با شاخص های یکسان و متفاوت. مثال ها"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نظرات، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس هفتم
راهنمای کتاب درسی Yu.N. کتابچه راهنمای Makarycheva برای کتاب درسی A.G. موردکوویچ

هدف درس: یاد بگیرید که چگونه اعمال را با قدرت های عدد انجام دهید.

برای شروع، بیایید مفهوم "درجه عدد" را به خاطر بسپاریم. عبارتی مانند $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $ را می توان به صورت $ a ^ n $ نشان داد.

عکس آن نیز صادق است: $ a ^ n = \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) $.

این برابری را "نشان دادن درجه به عنوان یک محصول" می نامند. این به ما کمک می کند تا نحوه ضرب و تقسیم درجه را تعیین کنیم.
یاد آوردن:
آپایه مدرک است.
n- توان
اگر n = 1بنابراین، تعداد آیک بار گرفت و بر این اساس: $ a ^ n = 1 $.
اگر n = 0، سپس $ a ^ 0 = 1 $.

چرا این اتفاق می افتد، وقتی با قوانین ضرب و تقسیم قوا آشنا شویم می توانیم بفهمیم.

قوانین ضرب

مثال.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

استفاده از این ویژگی برای ساده کردن کار هنگام بالا بردن یک عدد به توان بزرگ بسیار راحت است.
مثال.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ب) اگر درجات با مبناهای مختلف اما توان یکسان ضرب شوند.
برای $ a ^ n * b ^ n $، درجات را به عنوان یک محصول بنویسید: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n) * \ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ ( متر) دلار.
اگر فاکتورها را عوض کنیم و جفت‌های حاصل را بشماریم، به دست می‌آییم: $ \ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ ldots * (a * b)) _ (n) $.

بنابراین، $ a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n $.

مثال.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

قوانین بخش

بنابراین، لازم است $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) $، جایی که n> m.

بیایید توان ها را به صورت کسری بنویسیم:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (m)) $.

حالا بیایید کسر را لغو کنیم.

معلوم می شود: $ \ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n-m) = a ^ (n-m) $.
به معنای، $ \ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) $.

این ویژگی به توضیح وضعیت افزایش یک عدد به توان صفر کمک می کند. این را فرض کنیم n = m، سپس $ a ^ 0 = a ^ (n-n) = \ frac (a ^ n) (a ^ n) = 1 $.

مثال ها.
$ \ فراک (3 ^ 3) (3 ^ 2) = 3 ^ (3-2) = 3 ^ 1 = 3 $.

$ \ فراک (2 ^ 2) (2 ^ 2) = 2 ^ (2-2) = 2 ^ 0 = 1 $.

ب) مبانی درجه متفاوت است، شاخص ها یکسان است.
فرض کنید به $ \ frac (a ^ n) (b ^ n) $ نیاز دارید. بیایید توان اعداد را به صورت کسری بنویسیم:

$ \ frac (\ underbrace (a * a * \ ldots * a) _ (n)) (\ underbrace (b * b * \ ldots * b) _ (n)) $.

مثال.
$ \ فراک (4 ^ 3) (2 ^ 3) = (\ frac (4) (2)) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8 $.