منطقی است که به صحبت کردن ادامه دهیم عملیات با کسرهای جبری. با کسرهای جبری تعریف شده است اقدامات زیر: جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به درجه طبیعی. علاوه بر این، تمام این اقدامات بسته هستند، به این معنا که در نتیجه اجرای آنها یک کسری جبری به دست می آید. بیایید به ترتیب به هر یک از آنها نگاه کنیم.

بله، فوراً شایان ذکر است که اعمال با کسرهای جبری تعمیم اعمال مربوطه با کسرهای معمولی است. بنابراین، قوانین مربوطه تقریبا کلمه به کلمه با قوانین انجام جمع و تفریق، ضرب، تقسیم و توان منطبق است. کسرهای معمولی.

پیمایش صفحه.

اضافه کردن کسرهای جبری

جمع هر کسر جبری در یکی از دو حالت زیر قرار می گیرد: در حالت اول، کسری با مخرج های مشابه، در دوم - با موارد مختلف. بیایید با قانون جمع کسری با مخرج مشابه شروع کنیم.

برای جمع کردن کسرهای جبری با مخرج مشابه، اعداد را جمع کرده و مخرج را ثابت می‌گذارید.

قانون اعلام شده به شما امکان می دهد از جمع کسرهای جبری به جمع چندجمله ای های موجود در اعداد حرکت کنید. مثلا، .

برای اضافه کردن کسرهای جبری با مخرج های مختلفشما باید طبق قانون زیر عمل کنید: آنها را به سمت هدایت کنید مخرج مشترک، سپس کسرهای به دست آمده را با مخرج های یکسان اضافه کنید.

به عنوان مثال، هنگام جمع کردن کسرهای جبری و ابتدا باید آنها را به یک مخرج مشترک آورد، در نتیجه به شکل و به ترتیب پس از آن جمع این کسرها با مخرج های یکسان انجام می شود: .

منها کردن

عمل بعدی، تفریق کسرهای جبری، مشابه جمع انجام می شود. اگر مخرج کسرهای جبری اصلی یکسان است، فقط باید چندجمله‌ای را از اعداد کم کنید و مخرج را ثابت نگه دارید. اگر مخرج ها متفاوت باشند، ابتدا کاهش به مخرج مشترک انجام می شود و پس از آن کسرهای به دست آمده با مخرج های یکسان کم می شوند.

بیایید مثال بزنیم.

اجازه دهید کسرهای جبری را کم کنیم و مخرج آنها یکسان است، بنابراین. کسر جبری حاصل را می توان بیشتر کاهش داد: .

حالا بیایید کسر را از کسر کم کنیم. این کسرهای جبری مخرج های مختلفی دارند، بنابراین ابتدا آنها را به یک مخرج مشترک می آوریم که در در این مورد 5·x·(x-1) است، ما داریم و . تنها کاری که باید انجام شود تفریق است:

ضرب کسرهای جبری

کسرهای جبری را می توان ضرب کرد. این عمل به طور مشابه با ضرب کسرهای معمولی طبق قانون زیر انجام می شود: برای ضرب کسرهای جبری، باید اعداد را جداگانه و مخرج ها را جداگانه ضرب کنید.

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید کسر جبری را در کسر ضرب کنیم. طبق قاعده اعلام شده داریم . باقی مانده است که کسر حاصل را به تبدیل کنیم کسر جبری، برای انجام این کار در این مورد باید یک تک جمله ای و چند جمله ای را ضرب کنید (و در مورد کلی- ضرب چند جمله ای ها) در صورت و مخرج: .

شایان ذکر است که قبل از ضرب کسرهای جبری، توصیه می شود چند جمله ای های موجود در صورت و مخرج آنها را فاکتور بگیرید. این به دلیل امکان کاهش کسر حاصل است. مثلا،
.

این عمل با جزئیات بیشتری در مقاله مورد بحث قرار گرفته است.

بخش

بیایید به سراغ عملیات با کسرهای جبری برویم. مرحله بعدی تقسیم کسرهای جبری است. قانون زیر تقسیم کسرهای جبری را به ضرب تقلیل می دهد: برای تقسیم یک کسر جبری بر کسر دیگر، باید کسر اول را در متقابل کسر دوم ضرب کنید.

کسری جبری، معکوس کسر معین، کسری است که صورت و مخرج آن عوض شده است. به عبارت دیگر، دو کسر جبری به طور متقابل معکوس در نظر گرفته می شوند که حاصلضرب آنها برابر با یک باشد (بر اساس قیاس با).

بیایید یک مثال بزنیم. بیایید تقسیم را انجام دهیم . کسری متقابل مقسوم علیه است. بدین ترتیب، .

برای اطلاع دقیق تر به مقاله ذکر شده در بند قبل مراجعه کنید: ضرب و تقسیم کسرهای جبری.

افزایش کسری جبری به توان

در نهایت، ما به آخرین عمل با کسرهای جبری می رویم - افزایش به یک توان طبیعی. و همچنین روشی که ما ضرب کسرهای جبری را تعریف کردیم، به ما امکان می دهد قانون افزایش کسری جبری را به توان بنویسیم: شما باید صورت را جداگانه به این توان و مخرج را جداگانه افزایش دهید.

بیایید نمونه ای از انجام این عمل را نشان دهیم. بیایید کسر جبری را به توان دوم برسانیم. طبق قانون فوق داریم . باقی می ماند که تک جمله ای در صورت را به توان برسانیم، و همچنین چند جمله ای را در مخرج به توانی برسانیم، که کسری جبری از شکل را به دست می دهد. .

راه حل سایر مثال های معمولی در مقاله افزایش کسری جبری به توان نشان داده شده است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.
• گوسف وی. ا.، موردکوویچ آ. جی.ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد مدارس فنی می شوند): Proc. کمک هزینه.- م. بالاتر مدرسه، 1984.-351 ص.، ill.

حق چاپ توسط دانش آموزان باهوش

تمامی حقوق محفوظ است.
توسط قانون کپی رایت محافظت می شود. هیچ بخشی از www.site، از جمله مواد داخلیو ظاهر را نمی توان به هر شکلی تکثیر کرد یا بدون اجازه کتبی قبلی صاحب حق چاپ استفاده کرد.

اهداف: قانون ضرب کسرهای معمولی را تکرار کنید و نحوه اعمال این قانون را برای ضرب هر کسری آموزش دهید. مهارت های کاهش کسرها و ویژگی های توان ها را با پایه های یکسان در طول تمرینات تقویت کنید.

در طول کلاس ها

I. تجزیه و تحلیل کار تست.

1. اشتباهات دانش آموزان در آزمون را مشخص کنید.

2. حل تکالیفی که برای دانش آموزان مشکل ایجاد می کرد.

II. کار شفاهی.

1. خواص درجه ها را با پایه های مشابه تکرار کنید:

2. به عنوان یک قدرت با پایه ارائه شود

ویژگی اصلی یک کسر را مرور کنید و از این ویژگی برای کاهش کسرها استفاده کنید.

III. توضیحات مطالب جدید

1. اجازه دهید ثابت کنیم که برابری

برای هر مقدار مجاز متغیرها، یعنی برای b≠0 و d≠0 درست است.

2. قانون: برای ضرب کسری در کسری باید اعداد آن ها را ضرب و مخرج آن ها را ضرب کنید و حاصل ضرب اول را به عنوان صورت و دومی را به عنوان مخرج کسر بنویسید.

3. راه حل مثال های 1، 2، 3 و 4 در صفحات 26-27 کتاب درسی را در نظر بگیرید.

4. قاعده ضرب کسرها بر حاصل ضرب سه عامل یا چند عامل صدق می کند.

مثلا:

1. حل شماره 108 (شفاهی).

2. شماره 109 (الف، ج، ه) را روی تخته و در دفتر حل کنید.

دانش آموزان خودشان تصمیم می گیرند، سپس راه حل بررسی می شود.

3. حل شماره 112 (ج؛ د؛ و).

تکلیف خانه: مطالعه بند 5 (1-4); حل شماره 109 (b; d; f)،

شماره 112 (الف؛ ب؛ د)، شماره 118 (الف؛ ج؛ د)، شماره 119 (ب؛ د)، شماره 120 (الف؛ ج).

درس 2

اهداف: قانون افزایش کسری به توان را استخراج کنید و به دانش آموزان آموزش دهید که این قانون را هنگام انجام تمرینات اعمال کنند. قواعد ضرب کسرها و مهارت های کاهش کسری را تثبیت کنید، تفکر منطقی دانش آموزان را توسعه دهید.

در طول کلاس ها

I. کار شفاهی.

4. بررسی کنید مشق شبانتخابی از نوت بوک

II. یادگیری مطالب جدید.

1. مسئله افزایش کسری به توان را در نظر بگیرید. این را ثابت کنیم

2. قانون. برای رساندن کسری به توان، باید صورت و مخرج را به این توان برسانید و نتیجه اول را در صورت، و دومی را در مخرج کسر بنویسید.

3. حل مثال 5 صفحه 28 کتاب درسی را تجزیه و تحلیل کنید:

III. انجام تمرینات.

1. شماره 115 را به صورت شفاهی حل کنید.

2. شماره 116 را خودتان با بررسی یا نظر در محل حل کنید.

IV. کار مستقل (10 دقیقه).

V. خلاصه درس.

1. یک قانون برای ضرب کسرها تشکیل دهید.

2. یک قانون برای افزایش کسری به توان تشکیل دهید.

مشق شب:قوانین بند 5 را بیاموزید. حل شماره 117، شماره 121 (الف؛ د)، شماره 122 (الف؛ ج)، شماره 123 (الف)، شماره 124، شماره 130 (الف؛ ب).

بدیهی است که اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر اضافه کرد ، با اضافه کردن آنها یکی پس از دیگری با نشانه هایشان.

بنابراین، مجموع a 3 و b 2 یک 3 + b 2 است.
مجموع a 3 - b n و h 5 -d 4 a 3 - b n + h 5 - d 4 است.

شانس قدرت برابر متغیرهای یکسانرا می توان اضافه یا کم کرد.

بنابراین، مجموع 2a 2 و 3a 2 برابر با 5a 2 است.

همچنین واضح است که اگر دو مربع a یا سه مربع a یا پنج مربع a بگیرید.

اما درجات متغیرهای مختلفو درجات مختلف متغیرهای یکسان، باید با اضافه کردن آنها با علائم آنها ترکیب شود.

بنابراین، مجموع 2 و 3 حاصل جمع 2 + a 3 است.

بدیهی است که مربع a و مکعب a برابر با دو برابر مربع a نیست، بلکه برابر با دو برابر مکعب a است.

مجموع a 3 b n و 3a 5 b 6 a 3 b n + 3a 5 b 6 است.

منها کردنقدرت‌ها به همان روش جمع انجام می‌شوند، با این تفاوت که علائم فرعی باید بر این اساس تغییر کند.

یا:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

ضرب قدرت

اعداد دارای توان را می توان مانند مقادیر دیگر با نوشتن پشت سر هم با علامت ضرب یا بدون علامت ضرب بین آنها ضرب کرد.

بنابراین، حاصل ضرب a 3 در b 2 a 3 b 2 یا aaabb است.

یا:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

نتیجه در مثال آخر را می توان با اضافه کردن متغیرهای یکسان مرتب کرد.
این عبارت به شکل a 5 b 5 y 3 خواهد بود.

با مقایسه چندین عدد (متغیر) با توان ها، می بینیم که اگر هر دو از آنها ضرب شوند، نتیجه یک عدد (متغیر) با توانی برابر با میزاندرجات اصطلاحات

بنابراین، a 2.a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

در اینجا 5 توان حاصل ضرب است، برابر با 2 + 3، مجموع توان های جمله ها.

بنابراین، a n .a m = a m+n.

برای a n، a به عنوان ضریب به اندازه توان n در نظر گرفته می شود.

و m به تعداد دفعاتی که درجه m برابر است به عنوان ضریب در نظر گرفته می شود.

از همین رو، توان های با پایه های یکسان را می توان با جمع توان های توان ها ضرب کرد.

بنابراین، a 2.a 6 = a 2+6 = a 8. و x 3.x 2.x = x 3+2+1 = x 6.

یا:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ضرب (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
پاسخ: x 4 - y 4.
ضرب (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

این قاعده برای اعدادی که توان آنها هستند نیز صادق است منفی.

1. بنابراین، a -2 .a -3 = a -5. این را می توان به صورت (1/aa) نوشت.(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m.

3. a -n .a m = a m-n.

اگر a + b در a - b ضرب شود، نتیجه a 2 - b 2 خواهد بود: یعنی

حاصل ضرب مجموع یا تفاضل دو عدد برابر است با مجموع یا اختلاف مجذورهای آنها.

اگر مجموع و تفاضل دو عدد افزایش یافته را در ضرب کنید مربع، نتیجه برابر با مجموع یا اختلاف این اعداد در خواهد بود چهارمدرجه.

بنابراین، (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

تقسیم درجات

اعداد دارای توان را می توان مانند سایر اعداد با تفریق از سود تقسیمی یا با قرار دادن آنها به صورت کسری تقسیم کرد.

بنابراین، a 3 b 2 تقسیم بر b 2 برابر با a 3 است.

یا:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

نوشتن 5 تقسیم بر 3 شبیه $\frac(a^5)(a^3)$ است. اما این برابر با 2 است. در یک سری اعداد
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
هر عددی را می توان بر عدد دیگری تقسیم کرد و توان آن برابر خواهد بود تفاوتشاخص های اعداد بخش پذیر

هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود..

بنابراین، y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. یعنی $\frac(yyy)(yy) = y$.

و a n+1:a = a n+1-1 = a n. یعنی $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

یا:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b +y) n-3

این قانون برای اعداد با نیز صادق است منفیمقادیر درجه
حاصل تقسیم 5- بر 3- یک -2 است.
همچنین، $\frac(1)(aaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (aa) $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 یا $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

لازم است که ضرب و تقسیم توان ها را به خوبی تسلط داشته باشیم، زیرا چنین عملیاتی در جبر بسیار استفاده می شود.

نمونه هایی از حل مثال با کسرهای حاوی اعداد با توان

1. نماها را با $\frac(5a^4)(3a^2)$ کاهش دهید پاسخ: $\frac(5a^2)(3)$.

2. نماها را با $\frac(6x^6)(3x^5)$ کاهش دهید. پاسخ: $\frac(2x)(1)$ یا 2x.

3. توان های a 2 /a 3 و a -3 /a -4 را کاهش داده و به یک مخرج مشترک بیاورید.
a 2 .a -4 عدد اول -2 است.
a 3 .a -3 0 = 1 است، که دومین عدد است.
a 3 .a -4 یک -1 است، عدد مشترک.
پس از ساده سازی: a -2 /a -1 و 1/a -1 .

4. توان 2a 4 /5a 3 و 2 /a 4 را کاهش دهید و به یک مخرج مشترک بیاورید.
پاسخ: 2a 3 /5a 7 و 5a 5 /5a 7 یا 2a 3 /5a 2 و 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 را در (a - b)/3 ضرب کنید.

6. (a 5 + 1)/x 2 را در (b 2 - 1)/(x + a) ضرب کنید.

7. b 4 /a -2 را در h -3 /x و a n /y -3 ضرب کنید.

8. 4 /y 3 را بر 3 /y 2 تقسیم کنید. پاسخ: یک

9. (h 3 - 1)/d 4 را بر (d n + 1)/h تقسیم کنید.

فرمول های مدرکدر فرآیند کاهش و ساده سازی عبارات پیچیده، در حل معادلات و نابرابری ها استفاده می شود.

عدد جاست n-ام قدرت یک عدد آچه زمانی:

عملیات با درجه.

1. با ضرب درجات در پایه یکسان، شاخص های آنها جمع می شود:

صبح·a n = a m + n .

2. هنگام تقسیم درجه با پایه یکسان، توان آنها کم می شود:

3. درجه حاصلضرب 2 یا چند عامل برابر است با حاصل ضرب درجات این عوامل:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. درجه کسری برابر است با نسبت درجات سود تقسیمی و مقسوم:

(a/b) n = a n /b n .

5. با افزایش توان به توان، نماها ضرب می شوند:

(a m) n = a m n .

هر فرمول بالا در جهت های چپ به راست و بالعکس صادق است.

مثلا. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

عملیات با ریشه

1. ریشه حاصلضرب چند عامل برابر است با حاصل ضرب ریشه این عوامل:

2. ریشه یک نسبت برابر است با نسبت سود و مقسوم علیه ریشه:

3. هنگام بالا بردن ریشه به توان کافی است عدد رادیکال را به این توان برسانید:

4. اگر درجه ریشه در را افزایش دهید nیک بار و در همان زمان ساخت به nتوان دهم یک عدد رادیکال است، سپس مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

5. اگر درجه ریشه در را کاهش دهید nریشه را همزمان استخراج کنید n-ام توان یک عدد رادیکال، آنگاه مقدار ریشه تغییر نخواهد کرد:

درجه با توان منفی.توان یک عدد معین با یک توان غیر مثبت (عدد صحیح) به صورت تقسیم بر توان همان عدد با توانی برابر با قدر مطلقشاخص غیر مثبت:

فرمول صبح:a n =a m - nرا می توان نه تنها برای متر> n، بلکه با متر< n.

مثلا. آ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

به فرمول صبح:a n =a m - nزمانی عادلانه شد m=n، وجود درجه صفر الزامی است.

مدرک با شاخص صفر.توان هر عددی که مساوی صفر نباشد با توان صفر برابر با یک است.

مثلا. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

درجه با توان کسری.برای بالا بردن یک عدد واقعی آبه درجه m/n، باید ریشه را استخراج کنید nدرجه ام متر-ام قدرت این عدد آ.

درس با موضوع: "قوانین ضرب و تقسیم توان ها با توان های یکسان و متفاوت. مثال ها"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، نقدها، خواسته های خود را فراموش نکنید. تمام مواد توسط یک برنامه ضد ویروس بررسی شده است.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال کلاس هفتم
راهنمای کتاب درسی Yu.N. کتابچه راهنمای Makarycheva برای کتاب درسی توسط A.G. موردکوویچ

هدف درس: یادگیری انجام عملیات با قدرت اعداد.

ابتدا بیایید مفهوم "قدرت عدد" را به یاد بیاوریم. عبارتی به شکل $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n)$ می تواند به صورت $a^n$ نمایش داده شود.

عکس آن نیز صادق است: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

این برابری "ثبت درجه به عنوان یک محصول" نامیده می شود. این به ما کمک می کند تا تعیین کنیم که چگونه توان ها را ضرب و تقسیم کنیم.
یاد آوردن:
آ- مبنای مدرک تحصیلی
n- توان
اگر n=1، که به معنی عدد است آیک بار گرفت و بر این اساس: $a^n= 1$.
اگر n=0، سپس $a^0= 1$.

وقتی با قواعد ضرب و تقسیم قوا آشنا شویم می توانیم علت این اتفاق را دریابیم.

قوانین ضرب

مثال.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

استفاده از این ویژگی برای ساده کردن کار هنگام بالا بردن یک عدد به توان بالاتر راحت است.
مثال.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ب) اگر درجاتی با پایه های متفاوت ولی توان یکسان ضرب شوند.
برای به دست آوردن $a^n * b^n$، درجه ها را به عنوان یک حاصل می نویسیم: $\underbrace(a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace(b * b * \ldots * b) _(m )$.
اگر فاکتورها را عوض کنیم و جفت های حاصل را بشماریم، به دست می آید: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

بنابراین $a^n * b^n= (a * b)^n$.

مثال.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

قوانین بخش

بنابراین، ما نیاز داریم $\frac(a^n)(a^m)$، جایی که n>m.

بیایید درجات را به صورت کسری بنویسیم:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

حالا بیایید کسر را کاهش دهیم.

معلوم می شود: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
به معنای، $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

این ویژگی به توضیح وضعیت افزایش یک عدد به توان صفر کمک می کند. بیایید این را فرض کنیم n=m، سپس $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

مثال ها.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

ب) مبانی درجه متفاوت است، شاخص ها یکسان است.
فرض کنید $\frac(a^n)(b^n)$ ضروری است. بیایید توان اعداد را به صورت کسری بنویسیم:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$.

مثال.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.