Õppetund nr 4

Teema: “Kirjeldav statistika. Tunnuste mitmekesisuse näitajad kokku"

Peamised kriteeriumid tunnuse mitmekesisuse kohta statistilises populatsioonis on: piir, amplituud, keskmine standardhälve, võnketegur ja variatsioonitegur. Eelmises õppetükis arutati, et keskmised väärtused annavad ainult uuritava tunnuse üldistatud karakteristikud kokku ja ei võta arvesse selle üksikute variantide väärtusi: miinimum- ja maksimumväärtused, üle keskmise, allapoole. keskmine jne.

Näide. Kahe erineva numbrijada keskmised väärtused: -100; -20; 100; 20 ja 0,1; -0,2; 0,1 on absoluutselt identsed ja võrdsedKOHTA.Nende suhteliste keskmiste järjestuste andmete hajuvusvahemikud on aga väga erinevad.

Loetletud tunnuse mitmekesisuse kriteeriumide kindlaksmääramisel võetakse eelkõige arvesse selle väärtust statistilise üldkogumi üksikutes elementides.

Tunnuse varieerumise mõõtmise indikaatorid on absoluutne Ja sugulane. Variatsiooni absoluutnäitajate hulka kuuluvad: varieeruvuse vahemik, piir, standardhälve, dispersioon. Variatsioonitegur ja võnketegur viitavad suhtelistele variatsioonimõõtudele.

Limiit (lim) – See on kriteerium, mille määravad variatsiooniseeria variandi äärmuslikud väärtused. Teisisõnu, see kriteerium on piiratud atribuudi minimaalse ja maksimaalse väärtusega:

Amplituud (am) või variatsiooni vahemik - See on äärmuslike võimaluste erinevus. Selle kriteeriumi arvutamiseks lahutatakse atribuudi maksimaalsest väärtusest selle minimaalne väärtus, mis võimaldab meil hinnata valiku hajumise astet:

Piiri ja amplituudi kui varieeruvuse kriteeriumide puuduseks on see, et need sõltuvad täielikult variatsioonirea karakteristiku äärmuslikest väärtustest. Sel juhul ei võeta seeriasiseseid atribuutide väärtuste kõikumisi arvesse.

Kõige täielikuma kirjelduse tunnuse mitmekesisusest statistilises populatsioonis annab standardhälve(sigma), mis on optsiooni keskmisest väärtusest kõrvalekaldumise üldine mõõt. Sageli nimetatakse standardhälvet standardhälve.

Standardhälve põhineb iga valiku võrdlusel antud üldkogumi aritmeetilise keskmisega. Kuna agregaadis on alati valikuid nii vähem kui ka rohkem, siis märgiga "" kõrvalekallete summa tühistatakse märgiga "" kõrvalekallete summa võrra, st. kõigi kõrvalekallete summa on null. Et vältida erinevuste märkide mõju, võetakse kõrvalekalded aritmeetilisest keskmisest ruudust, s.o. . Ruuthälvete summa ei võrdu nulliga. Muutuvust mõõtva koefitsiendi saamiseks võtke ruutude summa keskmine - seda väärtust nimetatakse hälbed:

Sisuliselt on dispersioon tunnuse üksikute väärtuste kõrvalekallete keskmine ruut selle keskmisest väärtusest. Dispersioon – standardhälbe ruut.

Dispersioon on mõõtmete suurus (nimetatakse). Seega, kui arvurea variandid on väljendatud meetrites, siis dispersioon annab ruutmeetreid; kui variandid on väljendatud kilogrammides, siis dispersioon annab selle mõõdu ruudu (kg 2) jne.

Standardhälve– dispersiooni ruutjuur:

, siis dispersiooni ja standardhälbe arvutamisel murdosa nimetaja asemeltuleb panna.

Standardhälbe arvutamise võib jagada kuueks etapiks, mis tuleb läbi viia kindlas järjestuses:

Standardhälbe rakendamine:

a) variatsiooniridade varieeruvuse hindamiseks ja aritmeetiliste keskmiste tüüpilisuse (representatiivsuse) võrdlevaks hindamiseks. See on vajalik diferentsiaaldiagnostikas sümptomite stabiilsuse määramisel.

b) rekonstrueerida variatsioonirida, s.o. alusel selle sageduskarakteristiku taastamine kolm sigma reeglit. Vaheajal (М±3σ) 99,7% seeria kõigist variantidest asuvad intervallis (М±2σ) - 95,5% ja vahemikus (М±1σ) - 68,3% rea variant(joonis 1).

c) "hüpikakna" valikute tuvastamiseks

d) määrata normi ja patoloogia parameetrid sigma hinnangute abil

e) variatsioonikoefitsiendi arvutamiseks

f) arvutada aritmeetilise keskmise keskmine viga.

Et iseloomustada mis tahes populatsiooni, millel onnormaaljaotuse tüüp , piisab kahe parameetri teadmisest: aritmeetilisest keskmisest ja standardhälbest.

Joonis 1. Kolme sigma reegel

Näide.

Pediaatrias kasutatakse standardhälvet laste füüsilise arengu hindamiseks, võrreldes konkreetse lapse andmeid vastavate standardnäitajatega. Standardiks võetakse tervete laste füüsilise arengu aritmeetiline keskmine. Näitajate võrdlemine standarditega toimub spetsiaalsete tabelite abil, milles on toodud standardid koos neile vastavate sigma skaaladega. Arvatakse, et kui lapse füüsilise arengu näitaja jääb normi (aritmeetilise keskmise) ±σ piiresse, siis füüsiline areng laps (selle näitaja järgi) vastab normile. Kui indikaator jääb normi ±2σ piiresse, siis on normist väike kõrvalekalle. Kui näitaja ületab neid piire, erineb lapse füüsiline areng normist järsult (patoloogia on võimalik).

Lisaks absoluutväärtustes väljendatud variatsiooninäitajatele kasutatakse statistilistes uuringutes suhtelistes väärtustes väljendatud variatsiooninäitajaid. võnkekoefitsient - see on variatsioonivahemiku ja tunnuse keskmise väärtuse suhe. Variatsioonikoefitsient - on standardhälbe suhe keskmine märk. Tavaliselt väljendatakse neid väärtusi protsentides.

Suhteliste variatsiooniindeksite arvutamise valemid:

Ülaltoodud valemitest on selge, et mida suurem on koefitsient V on nullile lähemal, seda väiksem on iseloomulike väärtuste kõikumine. Mida rohkem V, seda muutuvam on märk.

Statistilises praktikas kasutatakse kõige sagedamini variatsioonikordajat. Seda ei kasutata mitte ainult varieeruvuse võrdlevaks hindamiseks, vaid ka populatsiooni homogeensuse iseloomustamiseks. Populatsioon loetakse homogeenseks, kui variatsioonikordaja ei ületa 33% (normaallähedaste jaotuste korral). Aritmeetiliselt neutraliseerib σ ja aritmeetilise keskmise suhe mõju absoluutväärtus need omadused ja protsentuaalne suhe muudab variatsioonikordaja mõõtmeteta (nimeta) suuruseks.

Saadud variatsioonikordaja väärtust hinnatakse vastavalt tunnuse mitmekesisuse astme ligikaudsele gradatsioonile:

nõrk - kuni 10%

Keskmine – 10–20%

Tugev - üle 20%

Variatsioonikoefitsiendi kasutamine on soovitatav juhtudel, kui on vaja võrrelda erineva suuruse ja mõõtmetega omadusi.

Variatsioonikoefitsiendi ja muude hajuvuskriteeriumide erinevus on selgelt näidatud näide.

Tabel 1

Tööstusettevõtete töötajate koosseis

Näites toodud statistiliste tunnuste põhjal saame teha järelduse ettevõtte töötajate vanuselise koosseisu ja haridustaseme suhtelise homogeensuse kohta, arvestades uuritava kontingendi madalat ametialast stabiilsust. On lihtne mõista, et katse hinnata neid sotsiaalseid suundumusi standardhälbe järgi viiks ekslikule järeldusele ning katse võrrelda raamatupidamistunnuseid "töökogemus" ja "vanus" raamatupidamisnäitajaga "haridus" oleks üldiselt nende omaduste heterogeensuse tõttu valed.

Mediaan ja protsentiilid

Järjekorraliste (asukoha) jaotuste puhul, kus rea keskkoha kriteeriumiks on mediaan, ei saa standardhälvet ja dispersiooni kasutada variandi dispersiooni tunnustena.

Sama kehtib ka avatud variatsiooni seeriate kohta. See asjaolu on tingitud asjaolust, et hälbeid, millest dispersioon ja σ arvutatakse, mõõdetakse aritmeetilisest keskmisest, mida ei arvutata avatud variatsiooniridades ja kvalitatiivsete tunnuste jaotuste jadades. Seetõttu kasutatakse jaotuste tihendatud kirjelduse jaoks teist hajumise parameetrit - kvantiil(sünonüüm - "protsentiil"), sobib kvalitatiivsete ja kvantitatiivsete omaduste kirjeldamiseks nende mis tahes jaotusvormis. Seda parameetrit saab kasutada ka kvantitatiivsete tunnuste teisendamiseks kvalitatiivseteks. Sel juhul määratakse sellised hinnangud sõltuvalt sellest, millisele kvantiili järjekorrale konkreetne valik vastab.

Biomeditsiiniliste uuringute praktikas kasutatakse kõige sagedamini järgmisi kvantiile:

– mediaan;

, – kvartiilid (kvartiilid), kus – alumine kvartiil, – ülemine kvartiil.

Kvantiilid jagavad variatsioonirea võimalike muutuste ala teatud intervallideks. Mediaan (kvantiil) on variant, mis on variatsioonirea keskel ja jagab selle seeria pooleks kaheks võrdseks osaks ( 0,5 Ja 0,5 ). Kvartiil jagab seeria neljaks osaks: esimene osa (alumine kvartiil) on optsioon, mis eraldab optsioonid, mille arvväärtused ei ületa 25% maksimaalsest võimalikust. see seeria, kvartiil eraldab valikud, mille arvväärtus on kuni 50% maksimaalsest võimalikust. Ülemine kvartiil () eraldab valikud kuni 75% maksimaalsetest võimalikest väärtustest.

Asümmeetrilise jaotuse korral muutuja aritmeetilise keskmise suhtes, selle iseloomustamiseks kasutatakse mediaani ja kvartiile. Sel juhul kasutatakse keskmise väärtuse kuvamiseks järgmist vormi - meh (;). Näiteks, on uuritav tunnus – „periood, mil laps hakkas iseseisvalt kõndima“ – jaotus õpperühmas asümmeetriliselt. Samal ajal vastab alumine kvartiil () kõndimise algusele - 9,5 kuud, mediaan - 11 kuud, ülemine kvartiil () - 12 kuud. Vastavalt sellele esitatakse määratud atribuudi keskmise trendi tunnuseks 11 (9,5; 12) kuud.

Õppetulemuste statistilise olulisuse hindamine

Andmete statistilise olulisuse all mõistetakse seda, mil määral need vastavad kuvatavale reaalsusele, s.t. statistiliselt olulised andmed on need, mis ei moonuta ja kajastavad õigesti objektiivset tegelikkust.

Uurimistulemuste statistilise olulisuse hindamine tähendab määramist, millise tõenäosusega on võimalik valimikogumilt saadud tulemusi üle kanda kogu üldkogumile. Statistilise olulisuse hindamine on vajalik, et mõista, kui suure osa nähtusest saab hinnata nähtust tervikuna ja selle mustreid.

Uurimistulemuste statistilise olulisuse hindamine koosneb:

1. esindusvead (keskmiste ja suhteliste väärtuste vead) - m;

2. keskmiste või suhteliste väärtuste usalduspiirid;

3. keskmiste või suhteliste väärtuste erinevuse usaldusväärsus vastavalt kriteeriumile t.

Aritmeetilise keskmise standardviga või esindusviga iseloomustab keskmise kõikumist. Tuleb märkida, et mida suurem on valimi suurus, seda väiksem on keskmiste väärtuste levik. Keskmise standardviga arvutatakse järgmise valemi abil:

Kaasaegses teaduskirjanduses kirjutatakse aritmeetiline keskmine koos representatiivsusveaga:

või koos standardhälbega:

Vaatleme näiteks andmeid riigi 1500 linnakliiniku kohta (üldrahvastik). Kliinikus teenindatavate patsientide keskmine arv on 18 150 inimest. Juhuslik valik 10% kohtadest (150 kliinikut) annab keskmiseks patsientide arvuks 20 051 inimest. Valimi võtmise viga, mis tuleneb ilmselt asjaolust, et valimisse ei kaasatud kõiki 1500 kliinikut, on võrdne nende keskmiste erinevusega - üldkeskmise ( M geen) ja proovi keskmine ( M valitud). Kui moodustame oma populatsioonist teise sama suurusega valimi, annab see erineva veaväärtuse. Kõik need piisavalt suurte valimitega valimi keskmised jaotuvad normaalselt piisavalt suurte valimitega üldkeskmise ümber suur hulk populatsioonist sama arvu objektide valimi kordused. Keskmise standardviga m- see on valimi keskmiste vältimatu levik üldkeskmise ümber.

Juhul, kui uurimistulemused esitatakse suhtelistes kogustes (näiteks protsentides) - arvutatakse murdosa standardviga:

kus P on näitaja %, n on vaatluste arv.

Tulemus kuvatakse kujul (P ± m)%. Näiteks paranemise protsent patsientide seas oli (95,2±2,5)%.

Juhul, kui populatsiooni elementide arv, siis keskväärtuse standardvigade arvutamisel ja murdosa nimetaja murdosa asemeltuleb panna.

Normaaljaotuse korral (valimi keskmiste jaotus on normaalne) teame, milline osa populatsioonist jääb mis tahes keskmist ümbritsevasse intervalli. Eelkõige:

Praktikas on probleem selles, et üldkogumi tunnused on meile tundmatud ning valim tehakse just nende hindamise eesmärgil. See tähendab, et kui teeme sama suurusega proovid nüldkogumikust, siis 68,3% juhtudest sisaldab intervall väärtust M(95,5% juhtudest on see intervallil ja 99,7% juhtudest intervallil).

Kuna tegelikult võetakse ainult üks valim, on see väide sõnastatud tõenäosuse alusel: tõenäosusega 68,3%, atribuudi keskmine väärtus üldkogumis asub intervallis, tõenäosusega 95,5%. - intervallis jne.

Praktikas ehitatakse valimi väärtuse ümber intervall nii, et etteantud (piisavalt suure) tõenäosusega usalduse tõenäosus –"kataks" selle parameetri tegeliku väärtuse üldpopulatsioonis. Seda intervalli nimetatakse usaldusvahemik.

Usalduse tõenäosusP – see on usaldusväärsuse aste, et usaldusvahemik sisaldab tegelikult üldkogumi parameetri tõelist (tundmatut) väärtust.

Näiteks kui usalduse tõenäosus R on 90%, see tähendab, et 90 proovi 100-st annavad populatsiooni parameetri õige hinnangu. Vastavalt sellele on vea tõenäosus, s.o. valimi üldkeskmise vale hinnang on võrdne protsentides: . Selle näite puhul tähendab see, et 10 proovi 100-st annavad vale hinnangu.

Ilmselgelt sõltub usalduse aste (usaldustõenäosus) intervalli suurusest: mida laiem on intervall, seda suurem on kindlus, et sellesse satub üldkogumi jaoks tundmatu väärtus. Praktikas kasutatakse vähemalt 95,5% usaldusväärsuse tagamiseks usaldusvahemiku koostamiseks vähemalt kahekordset valimiviga.

Keskmiste ja suhteliste väärtuste usalduspiiride määramine võimaldab meil leida nende kaks äärmist väärtust - minimaalne võimalik ja maksimaalne võimalik, mille piires võib uuritav näitaja esineda kogu populatsioonis. Selle põhjal usalduspiirid (või usaldusvahemik)- need on keskmiste või suhteliste väärtuste piirid, millest üle on juhuslike kõikumiste tõttu ebaoluline tõenäosus.

Usaldusvahemiku saab ümber kirjutada järgmiselt: , kus t– usalduskriteerium.

Aritmeetilise keskmise usalduspiirid üldkogumis määratakse järgmise valemiga:

M geen = M vali + t m M

suhtelise väärtuse jaoks:

R geen = P vali + t m R

Kus M geen Ja R geen- üldrahvastiku keskmiste ja suhteliste väärtuste väärtused; M vali Ja R vali- valimipopulatsioonist saadud keskmiste ja suhteliste väärtuste väärtused; m M Ja m P- keskmiste ja suhteliste väärtuste vead; t- usalduskriteerium (täpsuskriteerium, mis kehtestatakse uuringu planeerimisel ja võib olla võrdne 2 või 3-ga); t m- see on usaldusvahemik või Δ - näidisuuringus saadud indikaatori maksimaalne viga.

Tuleb märkida, et kriteeriumi väärtus t teatud määral seotud veavaba prognoosi tõenäosusega (p), väljendatuna %. Selle valib uurija ise, juhindudes vajadusest saada nõutava täpsusega tulemus. Seega veavaba prognoosi tõenäosuse 95,5% korral on kriteeriumi väärtus t on 2, 99,7% - 3 puhul.

Antud usaldusvahemiku hinnangud on vastuvõetavad ainult enam kui 30 vaatlusega statistiliste populatsioonide puhul Väiksema populatsiooni (väikesed valimid) puhul kasutatakse t-kriteeriumi määramiseks spetsiaalseid tabeleid. Nendes tabelites asub soovitud väärtus populatsiooni suurusele vastava joone ristumiskohas (n-1), ja veerg, mis vastab teadlase valitud veavaba prognoosi tõenäosustasemele (95,5%; 99,7%). Meditsiiniuuringutes on mis tahes näitaja usalduspiiride kehtestamisel veavaba prognoosi tõenäosus 95,5% või rohkem. See tähendab, et valimikogumist saadud näitaja väärtus tuleb leida üldkogumist vähemalt 95,5% juhtudest.

Küsimused tunni teemal:

Tunnuste mitmekesisuse näitajate asjakohasus statistilises populatsioonis.

Absoluutsete variatsiooninäitajate üldised omadused.

Standardhälve, arvutamine, rakendamine.

Variatsiooni suhtelised mõõdud.

Mediaan, kvartiil.

Õpitulemuste statistilise olulisuse hindamine.

Aritmeetilise keskmise standardviga, arvutusvalem, kasutusnäide.

Proportsiooni ja selle standardvea arvutamine.

Usaldustõenäosuse mõiste, kasutusnäide.

10. Usaldusvahemiku mõiste, selle rakendamine.

Testülesanded sellel teemal standardvastustega:

1. MUUTUMISE ABSOLUUTSEID NÄITAJAID, KUIDAS VIIDATE

1) variatsioonikoefitsient

2) võnkekoefitsient

4) mediaan

2. VARIATSIOONI SUHTELISED NÄITAJAD SEOTUD

1) dispersioon

4) variatsioonikoefitsient

3. KRITEERIUM, MIS ON MÄÄRATUD VARIATSIOONIDE SERIA VÕIMALUSE ÄRIVÄÄRTUSTEGA

2) amplituud

3) hajutamine

4) variatsioonikoefitsient

4. Äärmusvalikud ERINEVUSED ON

2) amplituud

3) keskmine standardhälve

4) variatsioonikoefitsient

5. ISELOOMULIKU KESKMISEST VÄÄRTUSEST ON INDIVIDUAALVÄÄRTUSTE HÕLMETE KESKMINE RUUT

1) võnkekoefitsient

2) mediaan

3) hajutamine

6. VARIatsiooniskaala SUHE MÄRGI KESKMISSE VÄÄRTUSEGA ON

1) variatsioonikoefitsient

2) standardhälve

4) võnketegur

7. KESKMISE RUUTHÄLBE SUHE TUNNUSLIKU KESKMISSE VÄÄRTUSEGA ON

1) dispersioon

2) variatsioonikoefitsient

3) võnkekoefitsient

4) amplituud

8. VARIANT, MIS ON VARIATSIOONIDE SERIA KESKES JA JAGAB SELLE KAHEKS VÕRDSEKS OSAKS, ON

1) mediaan

3) amplituud

9. MEDITSIINILISES UURINGUS MIS TAHES INDIKAATORILE KINNITUSLIIME KEHTES ON AKTSEPTEERITUD VEATETA ENNUSTUSE TÕENÄOSUSEGA

10. KUI 90 PROOVI 100-st ANNAVAD POPULATSIOONI PARAMEETRI ÕIGE HINNANGUSE, TÄHENDAB SEE, ET KINNITUSE TÕENÄOSUS P VÕRDSED

11. KUI 10 NÄIDIST 100-st ANNAVAD VALE HINNANGUSE, ON VEA TÕENÄOSUS VÕRDNE

12. KESKMISTE VÕI SUHTELISTE VÄÄRTUSTE PIIRID, MIS LÄHEB ÜLEMINE JUHUSLIKUTE VÕNKUMISTE PÄRAST ON VÄIKE TÕENÄOSUS – SEE ON

1) usaldusvahemik

2) amplituud

4) variatsioonikoefitsient

13. VÄIKSEKS VALIMIKS LOETAKSE, KELLES

1) n on väiksem kui 100 või sellega võrdne

2) n on väiksem kui 30 või sellega võrdne

3) n on väiksem kui 40 või sellega võrdne

4) n on nullilähedane

14. 95% KRITEERIUMI VÄÄRTUSE VEATEVABA PROGNOOSIDE TÕENÄOSUSE KOHTA t ON

15. 99% KRITEERIUMI VÄÄRTUSE VEATETA PROGNOOSIDE TÕENÄOSUSE KOHTA t ON

16. NORMAALSELE LÄHEDASTE JAOTUSTE PUHUL LOETAKSE RAHVASTIK HOMOGEENSEKS, KUI VARIatsiooniKOefitsient EI ÜLETA

17. VALIK, ERALDUSVÕIMALUSED, MILLISTE ARVUVÄÄRTUSED EI ÜLE 25% ANNETUD SERIES MAKSIMAALSEST VÕIMALIKUST – SEE ON

2) alumine kvartiil

3) ülemine kvartiil

4) kvartiil

18. ANDMEID, MIS EI MOONUTA JA OBJEKTIIVSET REAALSUST ÕIGESTI Peegeldavad, nimetatakse

1) võimatu

2) võrdselt võimalik

3) usaldusväärne

4) juhuslik

19. VASTAVALT "KOLME SigMA" REEGLILE, KES TAVALINE JAOTUS
ASUTAKSE

1) 68,3% optsioon

Standardhälve on kirjeldava statistika varieeruvuse klassikaline näitaja.

Standardhälve, standardhälve, Standardhälve, valimi standardhälve (ing. standard deviation, STD, STDev) on kirjeldavas statistikas väga levinud hajuvuse näitaja. Aga, kuna tehniline analüüs on sarnane statistikaga, seda näitajat saab (ja peakski) kasutama tehnilises analüüsis, et tuvastada analüüsitava instrumendi hinna hajumise määr ajas. Tähistatakse kreeka sümboliga Sigma "σ".

Täname Karl Gaussi ja Pearsoni standardhälbe kasutamise lubamise eest.

Kasutades standardhälve tehnilises analüüsis, keerame selle ümber "hajumise indeks""V "volatiilsuse indikaator“, säilitades tähenduse, kuid muutes termineid.

Mis on standardhälve

Kuid peale vahepealsete abiarvutuste standardhälve on sõltumatuks arvutamiseks üsna vastuvõetav ja rakendused tehnilises analüüsis. Nagu meie ajakirja aktiivne lugeja Burdock märkis, " Ma ei saa siiani aru, miks standardhälve ei sisaldu kodumaiste kaubanduskeskuste standardnäitajate komplektis«.

Tõesti, standardhälbe abil saab mõõta instrumendi varieeruvust klassikalisel ja “puhtal” viisil. Kuid kahjuks pole see näitaja väärtpaberianalüüsis nii levinud.

Standardhälbe rakendamine

Standardhälbe käsitsi arvutamine pole eriti huvitav, kuid kogemuse jaoks kasulik. Standardhälvet saab väljendada valem STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , mis kõlab kui valimi elementide ja keskmise erinevuste ruutude summa juur, mis on jagatud valimi elementide arvuga.

Kui valimi elementide arv ületab 30, siis juure all oleva murdosa nimetaja saab väärtuse n-1. Muidu kasutatakse n.

Samm-sammult standardhälbe arvutamine:

1. arvutada andmevalimi aritmeetiline keskmine
2. lahutage see keskmine igast valimielemendist
3. paneme kõik saadud erinevused ruudusse
4. summeerige kõik saadud ruudud
5. jagage saadud summa valimi elementide arvuga (või n-1-ga, kui n>30)
6. arvutage saadud jagatise ruutjuur (nn dispersioon)

Kõige täiuslikum variatsiooni tunnus on keskmine ruuthälve, mida nimetatakse standardhälbeks (või standardhälbeks). Standardhälve() on võrdne atribuudi üksikute väärtuste keskmise ruuthälbe ruutjuurega aritmeetilisest keskmisest:

Standardhälve on lihtne:

Rühmitatud andmetele rakendatakse kaalutud standardhälvet:

Keskmise ruudu ja keskmise lineaarse hälbe vahel tingimustes normaaljaotus toimub järgmine suhe: ~ 1,25.

Standardhälvet, mis on peamine absoluutne variatsioonimõõt, kasutatakse normaaljaotuse kõvera ordinaatväärtuste määramisel, valimi vaatluse korraldamise ja valimi karakteristikute täpsuse kindlakstegemisega seotud arvutustes, samuti proovide tunnuste täpsuse hindamisel. tunnuse varieerumise piirid homogeenses populatsioonis.

Dispersioon, selle liigid, standardhälve.

Juhusliku suuruse dispersioon— antud juhusliku suuruse leviku mõõt, st selle kõrvalekalle matemaatiline ootus. Statistikas kasutatakse sageli tähist või. Ruutjuur dispersiooni nimetatakse standardhälbeks, standardhälbeks või standardhälbeks.

Kogu dispersioon (σ 2) mõõdab tunnuse muutumist tervikuna kõigi selle kõikumise põhjustanud tegurite mõjul. Samas on tänu rühmitamismeetodile võimalik tuvastada ja mõõta rühmitamistunnusest tulenevat variatsiooni ja arvestamata tegurite mõjul tekkivat variatsiooni.

Gruppidevaheline dispersioon (σ 2 m.gr) iseloomustab süstemaatilist varieerumist, s.o uuritava tunnuse väärtuse erinevusi, mis tekivad tunnuse – rühma aluseks oleva teguri – mõjul.

Standardhälve(sünonüümid: standardhälve, standardhälve, ruuthälve; seotud terminid: standardhälve, standardne levik) - tõenäosusteoorias ja statistikas on kõige levinum juhusliku suuruse väärtuste hajuvuse näitaja selle matemaatilise ootuse suhtes. Piiratud valimiväärtuste massiivi korral kasutatakse matemaatilise ootuse asemel valimite komplekti aritmeetilist keskmist.

Standardhälvet mõõdetakse juhusliku suuruse enda ühikutes ja seda kasutatakse aritmeetilise keskmise standardvea arvutamisel, usaldusvahemike koostamisel, hüpoteeside statistilisel kontrollimisel, juhuslike suuruste vahelise lineaarse seose mõõtmisel. Määratletakse juhusliku suuruse dispersiooni ruutjuurena.

Standardhälve:

Standardhälve(juhusliku suuruse standardhälbe hinnang x võrreldes selle matemaatilise ootusega, mis põhineb selle dispersiooni erapooletul hinnangul):

kus on dispersioon; — i valiku element; — valimi suurus; — valimi aritmeetiline keskmine:

Tuleb märkida, et mõlemad hinnangud on kallutatud. IN üldine juhtum Erapooletut hinnangut on võimatu koostada. Siiski on erapooletu dispersioonihinnangul põhinev hinnang järjepidev.

Režiimi ja mediaani olemus, ulatus ja protseduur.

Lisaks võimsuse keskmiste statistikas suhteliste tunnuste väärtus muutuva tunnuse ja sisemine struktuur jaotusread kasutavad struktuurseid keskmisi, mida esindavad peamiselt mood ja mediaan.

Mood- See on seeria kõige levinum variant. Moodi kasutatakse näiteks klientide seas enim nõutavate rõivaste ja jalanõude suuruse määramisel. Diskreetsete seeriate režiim on kõrgeima sagedusega. Intervalli variatsiooniseeria režiimi arvutamisel peate esmalt määrama modaalintervalli (maksimaalse sageduse alusel) ja seejärel atribuudi modaalväärtuse väärtuse valemi abil:

- - moeväärtus

- — modaalse intervalli alumine piir

- — intervalli suurus

- — modaalse intervalli sagedus

- — modaalile eelneva intervalli sagedus

- — modaalile järgneva intervalli sagedus

Mediaan – see on järjestatud seeria aluseks oleva atribuudi väärtus, mis jagab selle seeria kaheks võrdseks osaks.

Mediaani määramiseks diskreetses reas sageduste olemasolul arvutage esmalt sageduste poolsumma ja seejärel määrake, milline variandi väärtus sellele langeb. (Kui sorteeritud seeria sisaldab paaritu arvu tunnuseid, arvutatakse mediaanarv järgmise valemi abil:

M e = (n (tunnuste arv kokku) + 1)/2,

paarisarvu tunnuste korral on mediaan võrdne rea keskel asuva kahe tunnuse keskmisega).

Arvutamisel mediaanid intervalli variatsioonirea jaoks määrake esmalt mediaanintervall, mille sees mediaan asub, ja seejärel määrake mediaani väärtus valemi abil:

- — nõutav mediaan

- - mediaani sisaldava intervalli alumine piir

- — intervalli suurus

- - sageduste summa või seerialiikmete arv

Mediaanile eelnevate intervallide kogunenud sageduste summa

- — mediaanintervalli sagedus

Näide. Leidke režiim ja mediaan.

Lahendus:
IN selles näites modaalne intervall on vanuserühmas 25–30 aastat, kuna see intervall on kõige suurem (1054).

Arvutame režiimi suuruse:

See tähendab, et õpilaste modaalne vanus on 27 aastat.

Arvutame mediaani. Keskmine intervall on vanuserühmas 25-30 aastat, kuna selle intervalli sees on variant, mis jagab elanikkonna kaheks võrdseks osaks (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Järgmisena asendame valemis vajalikud arvandmed ja saame mediaani väärtuse:

See tähendab, et pooled õpilastest on alla 27,4-aastased, teine ​​pool aga üle 27,4-aastased.

Lisaks režiimile ja mediaanile saab kasutada selliseid näitajaid nagu kvartiilid, mis jagavad järjestatud seeria neljaks võrdseks osaks, detsiilid- 10 osa ja protsentiili - 100 osa kohta.

Selektiivse vaatluse mõiste ja selle ulatus.

Valikuline vaatlus kehtib pideva järelevalve kasutamisel füüsiliselt võimatu suure andmemahu tõttu või ei ole majanduslikult otstarbekas. Füüsiline võimatus ilmneb näiteks reisijatevoogude, turuhindade ja pereeelarvete uurimisel. Majanduslik ebaotstarbekus ilmneb nende hävitamisega seotud kaupade kvaliteedi hindamisel, näiteks maitsmisel, telliste tugevuse kontrollimisel jne.

Vaatluseks valitud statistilised ühikud moodustavad valimiraami või valimi ja kogu nende massiiv moodustab üldkogumi (GS). Sel juhul tähistatakse valimi ühikute arvu n ja kogu HS-is - N. Suhtumine n/N nimetatakse valimi suhteliseks suuruseks või osakaaluks.

Valimi vaatlustulemuste kvaliteet sõltub valimi esinduslikkusest ehk sellest, kui esinduslik see on HS-is. Valimi esinduslikkuse tagamiseks on vaja järgida ühikute juhusliku valiku põhimõte, mis eeldab, et HS-ühiku valimisse kaasamist ei saa mõjutada ükski muu tegur peale juhuse.

Olemas 4 juhusliku valiku võimalust prooviks:

1. Tegelikult juhuslikult valik või “lotomeetod”, kui statistilistele suurustele määratakse seerianumbrid, mis registreeritakse teatud objektidele (näiteks tünnid), mis seejärel segatakse mõnes anumas (näiteks kotis) ja valitakse juhuslikult. Praktikas kasutatakse seda meetodit generaatori abil juhuslikud arvud või juhuslike arvude matemaatilised tabelid.
2. Mehaaniline valik, mille järgi iga ( N/n)-nda üldkogumi väärtus. Näiteks kui see sisaldab 100 000 väärtust ja peate valima 1000, kaasatakse valimisse iga 100 000 / 1000 = 100. väärtus. Veelgi enam, kui neid ei järjestata, valitakse esimene saja hulgast juhuslikult ja teiste numbrid on saja võrra suuremad. Näiteks kui esimene ühik oli nr 19, siis järgmine peaks olema nr 119, siis nr 219, siis nr 319 jne. Kui rahvastikuüksused on järjestatud, siis valitakse kõigepealt nr 50, seejärel nr 150, siis nr 250 jne.
3. Väärtused valitakse heterogeensest andmemassiivist kihistunud(kihistatud) meetod, kui populatsioon jagatakse esmalt homogeenseteks rühmadeks, millele rakendatakse juhuslikku või mehaanilist valikut.
4. Spetsiaalne proovivõtumeetod on sari selektsioon, mille käigus nad valivad juhuslikult või mehaaniliselt mitte üksikuid väärtusi, vaid nende seeriaid (jadad mingist arvust mõne numbrini reas), mille raames teostatakse pidevat vaatlust.

Proovivaatluste kvaliteet sõltub ka sellest proovi tüüp: kordas või kordumatu.

Kell uuesti valik Valimisse kaasatud statistilised väärtused või nende seeriad tagastatakse pärast kasutamist üldkogumisse, millel on võimalus sattuda uude valimisse. Lisaks on kõigil populatsiooni väärtustel valimisse kaasamise tõenäosus sama.

Kordumatu valik tähendab, et valimisse kaasatud statistilised väärtused või nende seeriad ei naase pärast kasutamist üldkogumisse ja seetõttu suureneb viimaste ülejäänud väärtuste puhul tõenäosus järgmisse valimisse sattuda.

Mittekorduv proovide võtmine annab täpsemad tulemused, seetõttu kasutatakse seda sagedamini. Kuid on olukordi, kus seda ei saa rakendada (reisijatevoogude, tarbijanõudluse jms uurimine) ja siis tehakse korduv valik.

Maksimaalne vaatlusviga, keskmine valimiviga, nende arvutamise kord.

Vaatleme üksikasjalikult ülaltoodud valimi moodustamise meetodeid ja selle tegemisel tekkivaid vigu. esinduslikkus .
Õige juhuslikult valim põhineb populatsioonist üksuste juhuslikul valimisel ilma süstemaatiliste elementideta. Tehniliselt toimub tegelik juhuslik valik loosi teel (näiteks loteriid) või juhuslike arvude tabeli abil.

Õiget juhuslikku valikut "puhtal kujul" kasutatakse selektiivse vaatluse praktikas harva, kuid see on teiste valikuliikide hulgas originaalne, rakendab selektiivse vaatluse aluspõhimõtteid. Vaatleme mõningaid küsimusi valimimeetodi teooriast ja lihtsa juhusliku valimi veavalemi kohta.

Valimi kallutatus on parameetri väärtuse erinevus üldkogumis ja selle valimi vaatluse tulemuste põhjal arvutatud väärtuse vahel. Keskmise kvantitatiivse karakteristiku puhul määratakse valimi võtmise viga

Näitajat nimetatakse marginaalseks valimiveaks.
Valimi keskmine on juhuslik suurus, mis võib võtta erinevaid tähendusi sõltuvalt sellest, millised üksused valimisse kaasati. Seetõttu on valimivead ka juhuslikud muutujad ja võivad omandada erinevaid väärtusi. Seetõttu määrake keskmine võimalikud vead - keskmine proovivõtuviga, mis sõltub:

Valimi suurus: mida suurem arv, seda väiksem on keskmine viga;

Uuritava tunnuse muutumise määr: mida väiksem on tunnuse varieeruvus ja sellest tulenevalt ka dispersioon, seda väiksem on keskmine valimiviga.

Kell juhuslik uuesti valik keskmine viga arvutatakse:
.
Praktikas ei ole üldine dispersioon täpselt teada, kuid sees tõenäosusteooria see on tõestatud
.
Kuna piisavalt suure n väärtus on 1-le lähedane, võime eeldada, et . Seejärel saab arvutada keskmise valimivea:
.
Kuid väikese valimi korral (koos n<30) коэффициент необходимо учитывать, и среднюю ошибку малой выборки рассчитывать по формуле
.

Kell juhuslik mittekorduv valim antud valemeid korrigeeritakse väärtusega . Siis on keskmine mittekorduv diskreetimisviga:
Ja .
Sest on alati väiksem, siis kordaja () on alati väiksem kui 1. See tähendab, et keskmine viga mittekorduva valiku korral on alati väiksem kui korduva valiku korral.
Mehaaniline proovivõtt kasutatakse siis, kui üldrahvastik on mingil viisil järjestatud (näiteks tähestikulised valijate nimekirjad, telefoninumbrid, majanumbrid, korterinumbrid). Ühikute valimine toimub teatud intervalliga, mis on võrdne valimi protsendi pöördväärtusega. Seega valitakse 2% valimiga iga 50 ühikut = 1/0,02, 5% valimi korral iga 1/0,05 = 20 ühikut üldkogumist.

Võrdluspunkt valitakse erineval viisil: juhuslikult, intervalli keskelt, võrdluspunkti muutusega. Peaasi on vältida süstemaatilisi vigu. Näiteks 5% valimiga, kui esimene ühik on 13., siis järgmised on 33, 53, 73 jne.

Täpsuse poolest on mehaaniline valik lähedane tegelikule juhuslikule valimile. Seetõttu kasutatakse mehaanilise valimi keskmise vea määramiseks õigeid juhusliku valiku valemeid.

Kell tüüpiline valik küsitletav elanikkond on esialgselt jagatud homogeenseteks sarnasteks rühmadeks. Näiteks ettevõtete küsitlemisel võivad need olla majandusharud, allsektorid, rahvastiku uurimisel võivad olla piirkonnad, sotsiaalsed või vanuserühmad; Seejärel tehakse igast rühmast sõltumatu valik mehaaniliselt või puhtjuhuslikult.

Tüüpiline proovivõtt annab täpsemaid tulemusi kui muud meetodid. Üldkogumi tüpiseerimine tagab, et iga tüpoloogiline rühm on valimis esindatud, mis võimaldab välistada rühmadevahelise dispersiooni mõju keskmisele valimiveale. Järelikult tuleb tüüpvalimi vea leidmisel dispersioonide liitmise reegli (() järgi) arvesse võtta ainult grupi dispersioonide keskmist. Siis on keskmine proovivõtu viga:
ümbervalimisel
,
mittekorduva valikuga
,
Kus - valimi rühmasiseste erinevuste keskmine.

Seeria (või pesa) valik kasutatakse, kui üldkogum jagatakse enne valikuuringu algust seeriateks või rühmadeks. Need seeriad võivad olla valmistoodete pakendamine, õpilasrühmad, meeskonnad. Uurimiseks valitakse seeriad mehaaniliselt või puhtjuhuslikult ning seeria raames viiakse läbi pidev ühikute kontroll. Seetõttu sõltub keskmine valimiviga ainult rühmadevahelisest (seeriatevahelisest) dispersioonist, mis arvutatakse valemiga:

kus r on valitud seeriate arv;
- i-nda seeria keskmine.

Keskmine jadavalimise viga arvutatakse:

ümbervalimisel:
,
mittekorduva valikuga:
,
kus R on episoodide koguarv.

Kombineeritud valik on vaadeldavate valikumeetodite kombinatsioon.

Iga valimivõtumeetodi keskmine valimiviga sõltub peamiselt valimi absoluutsest suurusest ja vähemal määral valimi protsendist. Oletame, et esimesel juhul tehakse 225 vaatlust 4500 ühiku suurusest populatsioonist ja teisel juhul 225 000 ühiku suurusest populatsioonist. Dispersioon on mõlemal juhul võrdne 25-ga. Siis on esimesel juhul 5% valiku korral valimiviga:

Teisel juhul, 0,1% valikuga, on see võrdne:

Seega, kui valimi moodustamise protsent vähenes 50 korda, suurenes valimi võtmise viga veidi, kuna valimi suurus ei muutunud.
Oletame, et valimi suurust suurendatakse 625 vaatluseni. Sel juhul on proovivõtu viga:

Valimi suurendamine sama populatsiooni suurusega 2,8 korda vähendab valimi vea suurust rohkem kui 1,6 korda.

Valimipopulatsiooni moodustamise meetodid ja meetodid.

Statistikas kasutatakse erinevaid valimipopulatsioonide moodustamise meetodeid, mis on määratud uuringu eesmärkidega ja sõltuvad uurimisobjekti spetsiifikast.

Valimküsitluse läbiviimise peamiseks tingimuseks on vältida süstemaatiliste vigade tekkimist, mis tulenevad võrdse võimaluse põhimõtte rikkumisest üldkogumi iga valimisse sattumise üksuse osas. Süstemaatiliste vigade vältimine saavutatakse teaduslikult põhjendatud meetodite kasutamisega valimipopulatsiooni moodustamisel.

Populatsioonist üksuste valimiseks on järgmised meetodid:

1) individuaalne valik - valimi jaoks valitakse üksikud üksused;

2) rühmavalik - valimisse kuuluvad kvalitatiivselt homogeensed uuritavad rühmad või ühikute seeriad;

3) kombineeritud valik on kombinatsioon individuaalsest ja rühmavalikust.
Valimismeetodid on määratud valimi üldkogumi moodustamise reeglitega.

Näidis võiks olla:

• tegelikult juhuslik seisneb selles, et valimipopulatsioon moodustub üldkogumist üksikute üksuste juhusliku (tahtmatu) valiku tulemusena. Sel juhul määratakse valimikogumisse valitud üksuste arv tavaliselt aktsepteeritud valimi osakaalu alusel. Valimi osakaal on valimikogumi n üksuste arvu suhe üldkogumi N üksuste arvusse, s.o.

• mehaanilised seisneb selles, et valimipopulatsiooni üksuste valik tehakse üldkogumi hulgast, mis on jagatud võrdseteks intervallideks (rühmadeks). Sel juhul on intervalli suurus üldkogumis võrdne valimi proportsiooni pöördväärtusega. Seega valitakse 2% valimiga iga 50. ühik (1:0,02), 5% valimiga iga 20. ühik (1:0,05) jne. Seega, vastavalt aktsepteeritud valiku proportsioonile, jagatakse üldpopulatsioon justkui mehaaniliselt võrdse suurusega rühmadesse. Igast rühmast valitakse valimi jaoks ainult üks ühik.
• tüüpiline - milles üldpopulatsioon jagatakse esmalt homogeenseteks tüüpilisteks rühmadeks. Seejärel kasutatakse igast tüüpilisest rühmast puhtjuhuslikku või mehaanilist valimit, et valida üksused valimipopulatsiooni. Tüüpilise valimi oluline tunnus on see, et see annab täpsemaid tulemusi võrreldes teiste valimipopulatsiooni üksuste valimise meetoditega;
• sari- milles üldpopulatsioon on jagatud võrdse suurusega rühmadeks - seeriad. Seeriad valitakse valimipopulatsiooni. Seeria sees toimub seeriasse kuuluvate ühikute pidev vaatlus;
• kombineeritud- proovide võtmine võib olla kaheetapiline. Sel juhul jagatakse elanikkond esmalt rühmadesse. Seejärel valitakse rühmad ja viimaste sees üksikud üksused.

Statistikas eristatakse valimipopulatsioonis üksuste valimiseks järgmisi meetodeid::

• üks etapp valim - iga valitud üksus allutatakse koheselt uuringule vastavalt etteantud kriteeriumile (õige juhuslik ja jadavalim);
• mitmeastmeline valim - tehakse valik üksikute rühmade üldkogumi hulgast ja rühmade hulgast valitakse välja üksikud üksused (tüüpiline valim mehaanilise ühikute valimise meetodiga valimipopulatsiooni).

Lisaks on olemas:

• uuesti valik- vastavalt tagastatud palli skeemile. Sel juhul tagastatakse iga valimisse kuuluv üksus või seeria üldkogumisse ja seetõttu on tal võimalus uuesti valimisse kaasata;
• mittekorduv valik- tagastamata palli skeemi järgi. Sellel on täpsemad tulemused sama valimi suurusega.

Vajaliku valimi suuruse määramine (Studentsi t-tabeli abil).

Valimiteooria üks teaduslikest põhimõtetest on tagada, et valitakse piisav arv ühikuid. Teoreetiliselt on selle põhimõtte järgimise vajadus toodud tõenäosusteooria piirteoreemide tõestustes, mis võimaldavad kindlaks teha, milline maht ühikuid tuleks üldkogumist valida, et see oleks piisav ja tagaks valimi esinduslikkuse.

Standardvea vähenemine ja seega ka hinnangu täpsuse suurenemine on alati seotud valimi suuruse suurenemisega, seetõttu tuleb juba valimivaatluse korraldamise etapis otsustada, milline on valimi suurus. valimi üldkogum peaks olema selleks, et tagada vaatlustulemuste nõutav täpsus. Nõutava valimi suuruse arvutamisel kasutatakse maksimaalsete valimivigade (A) valemitest tuletatud valemeid, mis vastavad konkreetsele valikutüübile ja -meetodile. Seega on juhusliku korduva valimi suuruse (n) jaoks:

Selle valemi olemus seisneb selles, et vajaliku arvu juhusliku korduva valiku korral on valimi suurus otseselt võrdeline usalduskoefitsiendi ruuduga. (t2) ja variatsioonikarakteristiku dispersioon (?2) ning on pöördvõrdeline maksimaalse diskreetimisvea (A2) ruuduga. Eelkõige saab maksimaalse vea suurendamisel kahekordselt nõutavat valimi suurust vähendada 4 korda. Kolmest parameetrist kaks (t ja?) määrab uurija.

Samal ajal uurija, tuginedes Valimküsitluse eesmärgist ja eesmärkidest lähtudes tuleb lahendada küsimus: millises kvantitatiivses kombinatsioonis on parem neid parameetreid kaasata, et tagada optimaalne valik? Ühel juhul võib ta olla rohkem rahul saadud tulemuste usaldusväärsusega (t) kui täpsuse mõõduga (?), teisel juhul - vastupidi. Maksimaalse valimivea väärtuse küsimuse lahendamine on keerulisem, kuna uurijal ei ole seda indikaatorit valimivaatluse kavandamise staadiumis, mistõttu praktikas on tavaks määrata maksimaalse valimivea väärtus, tavaliselt 10% piires atribuudi eeldatavast keskmisest tasemest. Hinnangulise keskmise määramisele saab läheneda erineval viisil: kasutades sarnaste varasemate uuringute andmeid või kasutades valimi raami andmeid ja viies läbi väikese pilootvalimi.

Valimivaatluse kujundamisel on kõige keerulisem tuvastada valemis (5.2) kolmas parameeter - valimi üldkogumi hajuvus. Sel juhul on vaja kasutada kogu teadlase käsutuses olevat teavet, mis on saadud varem läbi viidud sarnaste ja pilootuuringute käigus.

Küsimus definitsiooni kohta nõutav valimi suurus muutub keerulisemaks, kui valimiuuringu käigus uuritakse mitut valimiüksuste tunnust. Sel juhul on iga tunnuse keskmised tasemed ja nende varieeruvus reeglina erinevad ning seetõttu on võimalik otsustada, millist erinevust millistest omadustest eelistada, vaid võttes arvesse tunnuse eesmärki ja eesmärke. uuring.

Valimivaatluse kavandamisel eeldatakse lubatud valimivea etteantud väärtust vastavalt konkreetse uuringu eesmärkidele ja vaatlustulemuste põhjal järelduste tegemise tõenäosusele.

Üldiselt võimaldab valimi keskmise maksimaalse vea valem määrata:

Üldkogumi näitajate võimalike kõrvalekallete suurus valimi üldkogumi näitajatest;

Nõutava valimi suurus, mis tagab vajaliku täpsuse, mille juures võimaliku vea piirid ei ületa teatud määratud väärtust;

Tõenäosus, et valimi veal on määratud piir.

Õpilaste jaotus tõenäosusteoorias on see absoluutselt pidevate jaotuste üheparameetriline perekond.

Dünaamilised seeriad (intervall, hetk), dünaamiliste seeriate sulgemine.

Dünaamika seeria- need on statistiliste näitajate väärtused, mis on esitatud teatud kronoloogilises järjestuses.

Iga aegrida sisaldab kahte komponenti:

1) ajaperioodide (aastad, kvartalid, kuud, päevad või kuupäevad) näitajad;

2) uuritavat objekti iseloomustavad näitajad ajaperioodide või vastavate kuupäevade kohta, mida nimetatakse seeriatasemeteks.

Sarja tasemed on väljendatud nii absoluutseid kui ka keskmisi või suhtelisi väärtusi. Sõltuvalt indikaatorite olemusest koostatakse absoluutsete, suhteliste ja keskmiste väärtuste aegread. Suhteliste ja keskmiste väärtuste dünaamilised seeriad koostatakse tuletatud absoluutväärtuste seeriate alusel. Dünaamikas on intervallide ja hetkede jada.

Dünaamilised intervallid sisaldab teatud ajaperioodide indikaatorväärtusi. Intervallreas saab tasemeid summeerida, et saada nähtuse maht pikema perioodi jooksul ehk nn akumuleeritud summad.

Dünaamiline hetkesari peegeldab indikaatorite väärtusi teatud ajahetkel (kellaaeg). Hetkesarjade puhul võib uurijat huvitada vaid nähtuste erinevus, mis peegeldab seeria taseme muutumist teatud kuupäevade vahel, kuna tasemete summal pole siin tegelikku sisu. Kumulatiivseid kogusummasid siin ei arvutata.

Aegridade õige konstrueerimise kõige olulisem tingimus on eri perioodidesse kuuluvate ridade tasemete võrreldavus. Tasemed peavad olema esitatud homogeensetes kogustes ja nähtuse eri osade katvus peab olema võrdne.

Selleks, et Et vältida tegeliku dünaamika moonutamist, tehakse statistilises uuringus eelarvutused (dünaamikarea sulgemine), mis eelneb aegridade statistilisele analüüsile. Dünaamiliste seeriate sulgemise all mõistetakse kahe või enama seeria ühendamist üheks seeriaks, mille tasemed on arvutatud erineva metoodikaga või ei vasta territoriaalsetele piiridele jne. Dünaamikaseeria sulgemine võib tähendada ka dünaamikaseeriate absoluuttasemete viimist ühisele alusele, mis neutraliseerib dünaamikaseeriate tasemete võrreldamatuse.

Dünaamika ridade, koefitsientide, kasvu ja kasvumäärade võrreldavuse mõiste.

Dünaamika seeria- need on statistiliste näitajate jada, mis iseloomustavad loodus- ja ühiskonnanähtuste arengut aja jooksul. Venemaa riikliku statistikakomitee avaldatud statistikakogud sisaldavad suurt hulka dünaamika seeriaid tabeli kujul. Dünaamilised seeriad võimaldavad tuvastada uuritavate nähtuste arengumustreid.

Dynamics seeriad sisaldavad kahte tüüpi indikaatoreid. Aja indikaatorid(aastad, kvartalid, kuud jne) või ajapunktid (aasta alguses, iga kuu alguses jne). Rea taseme indikaatorid. Dünaamika seeriate tasemenäitajaid saab väljendada absoluutväärtustes (tootetoodang tonnides või rublades), suhtelistes väärtustes (linnaelanikkonna osakaal protsentides) ja keskmistes väärtustes (tööstustöötajate keskmine palk aasta lõikes). jne). Tabeli kujul sisaldab aegrida kahte veergu või kahte rida.

Aegridade õige koostamine eeldab mitme nõude täitmist:

1. kõik dünaamikaseeria näitajad peavad olema teaduslikult põhjendatud ja usaldusväärsed;
2. dünaamikaseeria näitajad peavad olema ajas võrreldavad, st. tuleb arvutada samade ajavahemike või samade kuupäevade kohta;
3. mitme dünaamika näitajad peaksid olema kogu territooriumil võrreldavad;
4. dünaamika jada näitajad peavad olema sisult võrreldavad, s.t. arvutatakse ühe metoodika järgi, samal viisil;
5. mitme dünaamika näitajad peaksid olema kõigi arvesse võetavate põllumajandusettevõtete puhul võrreldavad. Kõik dünaamikaseeria näitajad tuleb esitada samades mõõtühikutes.

Statistilised näitajad võib iseloomustada kas uuritava protsessi tulemusi teatud ajaperioodi jooksul või uuritava nähtuse seisundit teatud ajahetkel, s.o. indikaatorid võivad olla intervallsed (perioodilised) ja hetkelised. Vastavalt sellele võivad dünaamikaseeriad algselt olla kas intervallid või hetkelised. Momendidünaamika seeriad võivad omakorda olla võrdsete või ebavõrdsete ajavahemikega.

Algset dünaamika seeriat saab teisendada keskmiste väärtuste ja suhteliste väärtuste seeriaks (ahel ja põhi). Selliseid aegridu nimetatakse tuletatud aegridadeks.

Dünaamika seeria keskmise taseme arvutamise metoodika on erinev, olenevalt dünaamika seeria tüübist. Näidete abil käsitleme dünaamika seeriate tüüpe ja keskmise taseme arvutamise valemeid.

Absoluutsed tõusud (Δy) näitavad, mitu ühikut on seeria järgnev tase muutunud võrreldes eelmisega (gr. 3. - ahel absoluutsed tõusud) või võrreldes algtasemega (gr. 4. - põhi absoluutsed tõusud). Arvutusvalemid saab kirjutada järgmiselt:

Kui seeria absoluutväärtused vähenevad, toimub vastavalt "vähendamine" või "vähendamine".

Absoluutse kasvu näitajad näitavad, et näiteks 1998. aastal kasvas toote “A” toodang võrreldes 1997. aastaga 4 tuhat tonni ja võrreldes 1994. aastaga 34 tuhat tonni; teiste aastate kohta vaata tabelit. 11,5 gr. 3 ja 4.

Kasvutempo näitab, mitu korda on seeria tase muutunud võrreldes eelmisega (gr. 5 – kasvu või languse ahela koefitsiendid) või võrreldes algtasemega (gr. 6 – kasvu või languse põhikoefitsiendid). Arvutusvalemid saab kirjutada järgmiselt:

Kasvutempo näidata, mitu protsenti on seeria järgmine tase võrreldes eelmisega (gr. 7 – ahela kasvumäärad) või võrreldes algtasemega (gr. 8 – põhikasvumäärad). Arvutusvalemid saab kirjutada järgmiselt:

Nii oli näiteks 1997. aastal toote “A” tootmismaht võrreldes 1996. aastaga 105,5% (

Kasvutempo näidata, mitu protsenti aruandeperioodi tase tõusis võrreldes eelmisega (veerg 9 - ahela kasvumäärad) või võrreldes algtasemega (veerg 10 - põhikasvumäärad). Arvutusvalemid saab kirjutada järgmiselt:

T pr = T r - 100% või T pr = absoluutne kasv / eelmise perioodi tase * 100%

Nii näiteks toodeti 1996. aastal 1995. aastaga võrreldes toodet “A” 3,8% (103,8% - 100%) ehk (8:210)x100% rohkem ja 1994. aastaga võrreldes 9% (109% - 100%).

Kui seeria absoluuttasemed vähenevad, on määr alla 100% ja vastavalt sellele toimub langus (miinusmärgiga kasvutempo).

Absoluutväärtus 1% tõus(veerg 11) näitab, mitu ühikut tuleb antud perioodil toota, et eelmise perioodi tase tõuseks 1%. Meie näites oli 1995. aastal vaja toota 2,0 tuhat tonni ja 1998. aastal - 2,3 tuhat tonni, s.o. palju rohkem.

1% kasvu absoluutväärtust saab määrata kahel viisil:

Eelmise perioodi tase jagatakse 100-ga;

Jagage ahela absoluutsed kasvud vastavate ahela kasvumääradega.

1% kasvu absoluutväärtus =

Dünaamikas, eriti pika perioodi jooksul, on oluline kasvutempo ühine analüüs koos iga protsendi suurenemise või languse sisuga.

Pange tähele, et vaadeldav metoodika aegridade analüüsimiseks on rakendatav nii aegridade puhul, mille tasemed on väljendatud absoluutväärtustes (t, tuhat rubla, töötajate arv jne), kui ka aegridade puhul, mille tasemed väljendatakse suhteliste näitajatena (defektide %, kivisöe tuhasisaldus % jne) või keskmiste väärtustena (keskmine saagikus c/ha, keskmine palk jne).

Koos vaadeldavate analüütiliste näitajatega, mis arvutatakse iga aasta kohta võrreldes eelmise või algtasemega, tuleb dünaamika ridade analüüsimisel arvutada ka perioodi keskmised analüütilised näitajad: seeria keskmine tase, keskmine aastane absoluutne tõus. (vähenemine) ning keskmine aastane kasvumäär ja kasvutempo.

Eespool käsitleti dünaamikaseeria keskmise taseme arvutamise meetodeid. Vaadeldavas intervalldünaamika seerias arvutatakse seeria keskmine tase lihtsa aritmeetilise keskmise valemi abil:

Toote keskmine aastane tootmismaht aastatel 1994-1998. moodustas 218,4 tuhat tonni.

Aasta keskmine absoluutkasv arvutatakse ka lihtsa aritmeetilise keskmise valemi abil:

Aastane absoluutne juurdekasv varieerus aastate lõikes 4-12 tuhande tonnini (vt veerg 3) ja keskmine aastane toodangu kasv ajavahemikul 1995-1998. ulatus 8,5 tuhande tonnini.

Keskmise kasvukiiruse ja keskmise kasvukiiruse arvutamise meetodid nõuavad üksikasjalikumat kaalumist. Vaatleme neid tabelis toodud aastaste seeriataseme näitajate näitel.

Dünaamika seeria keskmine tase.

Dünaamilised seeriad (või aegread)- need on teatud statistilise näitaja arvväärtused järjestikustel hetkedel või ajaperioodidel (st järjestatud kronoloogilises järjekorras).

Nimetatakse ühe või teise dünaamika seeria moodustava statistilise näitaja arvväärtusi seeria tasemed ja seda tähistatakse tavaliselt tähega y. Sarja esimene periood y 1 mida nimetatakse algus- või algtase, ja viimane y n - lõplik. Hetked või ajaperioodid, millega tasemed on seotud, on määratud t.

Dünaamika seeriad esitatakse tavaliselt tabeli või graafiku kujul ja ajaskaala on konstrueeritud piki abstsisstellge t, ja piki ordinaattelge - seeriatasemete skaala y.

Dünaamika seeria keskmised näitajad

Iga dünaamika seeriat võib käsitleda kui teatud kogumit n ajas varieeruvad näitajad, mida võib kokku võtta keskmistena. Sellised üldistatud (keskmised) näitajad on eriti vajalikud, kui võrrelda konkreetse näitaja muutusi erinevatel perioodidel, erinevates riikides jne.

Dünaamika seeria üldistatud tunnus võib olla ennekõike keskmise rea tase. Keskmise taseme arvutamise meetod sõltub sellest, kas seeria on hetkeline või intervall (periood).

Juhul intervall rea, selle keskmine tase määratakse rea tasemete lihtsa aritmeetilise keskmise valemiga, s.o.

=
Kui see on saadaval hetk rida, mis sisaldab n tasemed ( y1, y2, …, yn) võrdsete intervallidega kuupäevade (kellaaegade) vahel, siis saab sellise jada hõlpsasti teisendada keskmiste väärtuste jadaks. Sel juhul on iga perioodi alguse näitaja (tase) samaaegselt ka eelmise perioodi lõpu näitaja. Seejärel saab iga perioodi indikaatori keskmise väärtuse (kuupäevadevahelise intervalli) arvutada poolena väärtuste summast juures perioodi alguses ja lõpus, s.o. Kuidas . Selliste keskmiste arv on . Nagu varem öeldud, arvutatakse keskmiste väärtuste seeriate keskmine tase aritmeetilise keskmise abil.

Seetõttu võime kirjutada:
.
Pärast lugeja teisendamist saame:
,

Kus Y1 Ja Yn— rea esimene ja viimane tase; Yi— kesktasemel.

See keskmine on statistikas tuntud kui keskmine kronoloogiline hetkeseeria jaoks. See sai oma nime sõnast "cronos" (aeg, ladina keeles), kuna see arvutatakse aja jooksul muutuvate näitajate järgi.

Ebavõrdsuse korral kuupäevadevahelised intervallid, saab hetkerea kronoloogilise keskmise arvutada iga hetkepaari tasemete keskmiste väärtuste aritmeetilise keskmisena, mis on kaalutud kuupäevade vaheliste kaugustega (ajavahemikega), st.
.
Sel juhul eeldatakse, et kuupäevade vahel omandasid tasemed erinevad väärtused ja me oleme üks kahest teadaolevast ( yi Ja yi+1) määrame keskmised, millest siis arvutame kogu analüüsitava perioodi üldkeskmise.
Kui eeldatakse, et iga väärtus yi jääb muutumatuks kuni järgmiseni (i+ 1)- hetk, st. Kui tasemete muutumise täpne kuupäev on teada, saab arvutada kaalutud aritmeetilise keskmise valemi abil:
,

kus on aeg, mille jooksul tase püsis muutumatuna.

Lisaks dünaamikarea keskmisele tasemele arvutatakse ka teisi keskmisi näitajaid - seeria tasemete keskmine muutus (põhi- ja ahelmeetodid), keskmine muutuse kiirus.

Algtase tähendab absoluutset muutust on viimase aluseks olnud absoluutse muutuse jagatis muudatuste arvuga. See on

Ahel tähendab absoluutset muutust seeria tasemed on jagatis, mis jagatakse kõigi ahela absoluutsete muutuste summa muutuste arvuga, see tähendab

Keskmiste absoluutmuutuste märki kasutatakse ka selleks, et hinnata nähtuse muutumise olemust keskmiselt: kasv, langus või stabiilsus.

Põhi- ja ahela absoluutsete muutuste kontrollimise reeglist järeldub, et põhi- ja ahela keskmised muutused peavad olema võrdsed.

Koos keskmise absoluutmuutusega arvutatakse põhi- ja ahelmeetodil ka suhteline keskmine.

Algtaseme keskmine suhteline muutus määratakse valemiga:

Ahela keskmine suhteline muutus määratakse valemiga:

Loomulikult peavad põhi- ja ahelkeskmised suhtelised muutused olema samad ning neid kõrvutades kriteeriumi väärtusega 1, tehakse järeldus nähtuse keskmise muutumise olemuse kohta: kasv, langus või stabiilsus.
Lahutades baasi või ahela keskmisest suhtelisest muutusest 1, saadakse vastav keskmine muutuse kiirus, mille märgi järgi saab hinnata ka uuritava nähtuse muutuse olemust, mis kajastub selles dünaamikaseerias.

Hooajalised kõikumised ja hooajalisuse indeksid.

Hooajalised kõikumised on stabiilsed aastasisesed kõikumised.

Juhtimise põhiprintsiip maksimaalse efekti saavutamiseks on maksimeerida tulu ja minimeerida kulusid. Sesoonseid kõikumisi uurides lahendatakse maksimumvõrrandi probleem igal aasta tasemel.

Hooajalisi kõikumisi uurides lahendatakse kaks omavahel seotud probleemi:

1. Nähtuse arengu eripärade väljaselgitamine aastasiseses dünaamikas;

2. Hooajaliste kõikumiste mõõtmine hooajalise lainemudeli ehitamisega;

Hooajaliste erinevuste mõõtmiseks arvestatakse tavaliselt hooajalisi kalkuneid. Üldjuhul on need määratud dünaamikaseeria algvõrrandite ja teoreetiliste võrrandite suhtega, mis on võrdlusaluseks.

Kuna juhuslikud kõrvalekalded kattuvad hooajaliste kõikumistega, arvutatakse nende kõrvaldamiseks hooajalisuse indeksid.

Sel juhul määratakse aastase tsükli iga perioodi kohta üldistatud näitajad keskmiste hooajaindeksite kujul:

Keskmised hooajalised kõikumisindeksid on vabad peamise arengutrendi juhuslike kõrvalekallete mõjust.

Sõltuvalt trendi olemusest võib keskmise hooajalisuse indeksi valem olla järgmisel kujul:

1.Aastasisese dünaamika seeria jaoks, millel on selgelt väljendatud peamine arengusuund:

2. Aastasisese dünaamika seeria puhul, mille puhul ei ole suurenevat ega kahanevat trendi või mis on ebaoluline:

Kus on üldine keskmine;

Peamise trendi analüüsimeetodid.

Nähtuste arengut ajas mõjutavad erineva iseloomu ja mõjujõuga tegurid. Mõned neist on oma olemuselt juhuslikud, teised on peaaegu pideva mõjuga ja moodustavad dünaamikas teatud arengutrendi.

Statistika oluline ülesanne on tuvastada trendidünaamika seeriatena, mis on vabastatud erinevate juhuslike tegurite mõjust. Selleks töödeldakse aegridu intervallide suurendamise, libiseva keskmise ja analüütilise nivelleerimise jne meetoditega.

Intervallide suurendamise meetod põhineb ajaperioodide suurendamisel, mis hõlmavad rea dünaamika tasemeid, st. on väikeste ajaperioodidega seotud andmete asendamine suuremate perioodide andmetega. See on eriti tõhus, kui seeria algtasemed on seotud lühikese ajaperioodiga. Näiteks igapäevaste sündmustega seotud näitajate seeriad asenduvad nädala-, kuu- jne seeriatega. See näitab selgemalt "nähtuse arengutelg". Suurendatud intervallide kaupa arvutatud keskmine võimaldab tuvastada peamise arengutrendi suuna ja olemuse (kasvu kiirenemine või aeglustumine).

Liikuva keskmise meetod sarnane eelmisele, kuid sel juhul asendatakse tegelikud tasemed keskmiste tasemetega, mis on arvutatud järjestikku liikuvate (libisevate) suurendatud intervallide jaoks, mis hõlmavad m seeria tasemed.

Näiteks, kui me nõustume m = 3, siis esmalt arvutatakse seeria kolme esimese taseme keskmine, siis sama arvu tasemete pealt, aga alustades teisest, siis alustades kolmandast jne. Seega keskmine “libiseb” mööda dünaamikaseeriat, liikudes ühe liikme võrra. Arvutatud alates m liikmed, liikuvad keskmised viitavad iga intervalli keskpunktile (keskele).

See meetod kõrvaldab ainult juhuslikud kõikumised. Kui seerial on hooajaline laine, siis see püsib ka pärast libiseva keskmise meetodil silumist.

Analüütiline joondamine. Juhuslike kõikumiste kõrvaldamiseks ja trendi tuvastamiseks kasutatakse seeriatasemete nivelleerimist analüütiliste valemite abil (või analüütilist nivelleerimist). Selle olemus seisneb empiiriliste (tegelike) tasemete asendamises teoreetiliste tasemetega, mille arvutamisel kasutatakse teatud võrrandit, mis on vastu võetud matemaatilise trendimudelina, kus teoreetilisi tasemeid käsitletakse aja funktsioonina: . Sel juhul käsitletakse iga tegelikku taset kahe komponendi summana: , kus on süstemaatiline komponent, mida väljendatakse teatud võrrandiga ning see on juhuslik suurus, mis põhjustab trendi ümber kõikumisi.

Analüütilise joondamise ülesanne taandub järgmisele:

1. Tegelike andmete põhjal selle hüpoteetilise funktsiooni tüübi kindlaksmääramine, mis suudab kõige adekvaatsemalt kajastada uuritava näitaja arengutrendi.

2. Määratud funktsiooni (võrrandi) parameetrite leidmine empiirilistest andmetest

3. Arvutamine teoreetiliste (joondatud) tasemete leitud võrrandi abil.

Konkreetse funktsiooni valik toimub reeglina empiiriliste andmete graafilise esituse alusel.

Mudelid on regressioonivõrrandid, mille parameetrid arvutatakse vähimruutude meetodil

Allpool on toodud aegridade joondamiseks enim kasutatavad regressioonivõrrandid, mis näitavad, milliste arengusuundade kajastamiseks need kõige sobivamad on.

Ülaltoodud võrrandite parameetrite leidmiseks on spetsiaalsed algoritmid ja arvutiprogrammid. Eelkõige võib sirgvõrrandi parameetrite leidmiseks kasutada järgmist algoritmi:

Kui perioodid või ajahetked on nummerdatud nii, et St = 0, siis ülaltoodud algoritmid lihtsustatakse oluliselt ja muutuvad

Joondatud tasemed diagrammil asuvad ühel sirgel, mis möödub selle dünaamilise seeria tegelikest tasemetest lähimast kaugusest. Ruuthälvete summa peegeldab juhuslike tegurite mõju.

Seda kasutades arvutame võrrandi keskmise (standard)vea:

Siin on n vaatluste arv ja m on võrrandi parameetrite arv (neid on meil kaks - b 1 ja b 0).

Peamine tendents (trend) näitab, kuidas süstemaatilised tegurid mõjutavad dünaamikaseeria taset, ja tasemete kõikumine trendi () ümber on jääktegurite mõju mõõt.

Kasutatud aegridade mudeli kvaliteedi hindamiseks kasutatakse seda ka Fisheri F-test. See on kahe dispersiooni suhe, nimelt regressioonist põhjustatud dispersiooni suhe, s.o. uuritav tegur, juhuslikest põhjustest tingitud dispersioonini, s.o. jääkdispersioon:

Laiendatud kujul võib selle kriteeriumi valemi esitada järgmiselt:

kus n on vaatluste arv, st. ridade tasandite arv,

m on võrrandi parameetrite arv, y on seeria tegelik tase,

Joondatud rea tase – keskmise rea tase.

Mudel, mis on teistest edukam, ei pruugi alati olla piisavalt rahuldav. Seda saab sellisena tuvastada ainult juhul, kui selle kriteerium F ületab teadaoleva kriitilise piiri. See piir määratakse F-jaotustabelite abil.

Indeksite olemus ja klassifikatsioon.

Statistikas mõistetakse indeksit suhtelise näitajana, mis iseloomustab nähtuse suuruse muutumist ajas, ruumis või võrreldes mis tahes standardiga.

Indeksi seose põhielement on indekseeritud väärtus. Indekseeritud väärtuse all mõistetakse statistilise üldkogumi tunnuse väärtust, mille muutumine on uurimisobjektiks.

Indeksite abil lahendatakse kolm peamist ülesannet:

1) kompleksnähtuse muutuste hindamine;

2) üksikute tegurite mõju määramine muutustele keerulises nähtuses;

3) nähtuse suuruse võrdlemine möödunud perioodi ulatusega, teise territooriumi suurusjärku, aga ka standardite, plaanide, prognoosidega.

Indeksid klassifitseeritakse kolme kriteeriumi alusel:

2) populatsiooni elementide hõlmatuse astme järgi;

3) vastavalt üldindeksite arvutamise meetoditele.

Sisu järgi indekseeritud koguste puhul jagunevad indeksid kvantitatiivsete (mahu)näitajate ja kvalitatiivsete näitajate indeksiteks. Kvantitatiivsete näitajate indeksid - tööstustoodete füüsilise mahu, müügi füüsilise mahu, töötajate arvu jne indeksid Kvalitatiivsete näitajate indeksid - hindade, kulude, tööviljakuse, keskmise palga jne indeksid.

Rahvastikuüksuste katvuse astme järgi jagunevad indeksid kahte klassi: individuaalsed ja üldised. Nende iseloomustamiseks tutvustame järgmisi indeksimeetodi kasutamise praktikas kasutusele võetud tavasid:

q- mis tahes toote kogus (maht) füüsilises mõttes ; r- ühiku hind; z- tootmisühiku maksumus; t— tooteühiku tootmisele kulunud aeg (tööjõu intensiivsus) ; w- toodete tootmine väärtuses ajaühiku kohta; v- toodangu toodang füüsilises mõistes ajaühiku kohta; T— ajakulu või töötajate arv kokku.

Selleks, et eristada, millisesse perioodi või objekti indekseeritud väärtused kuuluvad, on tavaks paigutada vastava sümboli paremasse alaossa alaindeksid. Näiteks dünaamikaindeksites kasutatakse reeglina alamindeksit 1 võrreldavate perioodide (jooksev, aruandlus) ja perioodide jaoks, millega võrdlus tehakse,

Individuaalsed indeksid iseloomustavad muutusi keeruka nähtuse üksikutes elementides (näiteks muutused ühte tüüpi toote toodangu mahus). Need esindavad dünaamika suhtelisi väärtusi, kohustuste täitmist, indekseeritud väärtuste võrdlust.

Määratakse toodete füüsilise mahu individuaalne indeks

Antud individuaalsed dünaamikaindeksid on analüütiliselt sarnased kasvukoefitsientidele (määradele) ja iseloomustavad indekseeritud väärtuse muutust jooksval perioodil võrreldes baasperioodiga, st näitavad, mitu korda see on suurenenud (vähenenud) või mitu protsenti see on kasv (langus). Indeksi väärtused on väljendatud koefitsientide või protsentides.

Üldine (liit)indeks peegeldab muutusi keeruka nähtuse kõigis elementides.

Koondindeks on indeksi põhivorm. Seda nimetatakse agregaadiks, kuna selle lugeja ja nimetaja on "agregaatide" komplekt.

Keskmised indeksid, nende määratlus.

Lisaks koondindeksitele on statistikas kasutusel ka nende teine ​​vorm - kaalutud keskmised indeksid. Nende arvutusi kasutatakse siis, kui olemasolev teave ei võimalda üldist koondindeksit arvutada. Seega, kui hindade kohta andmed puuduvad, kuid on olemas info toodete maksumuse kohta jooksval perioodil ja on teada iga toote individuaalsed hinnaindeksid, siis üldist hinnaindeksit koondhinnanguna määrata ei saa, kuid on võimalik arvutada see üksikute näitajate keskmisena. Samamoodi, kui ei ole teada üksikute toodetud tooteliikide kogused, kuid on teada üksikud indeksid ja baasperioodi tootmiskulu, siis saab toodangu füüsilise mahu üldindeksi määrata kaalutud keskmisena. väärtus.

Keskmine indeks – See indeks, mis arvutatakse üksikute indeksite keskmisena. Koondindeks on üldindeksi põhivorm, seega peab keskmine indeks olema identne koondindeksiga. Keskmiste indeksite arvutamisel kasutatakse keskmiste kahte vormi: aritmeetilist ja harmoonilist.

Aritmeetiline keskmine indeks on identne koondindeksiga, kui üksikute indeksite kaalud on koondindeksi nimetaja tingimused. Ainult sel juhul on aritmeetilise keskmise valemiga arvutatud indeksi väärtus võrdne koondindeksiga.

Lihtsa geomeetrilise keskmise arvutamiseks kasutatakse valemit:

Geomeetriliselt kaalutud

Kaalutud geomeetrilise keskmise määramiseks kasutatakse valemit:

Rataste, torude ja ruutude keskmised küljed määratakse keskmise ruudu abil.

Mõnede näitajate, näiteks variatsioonikoefitsiendi, mis iseloomustab tootmisrütmi, arvutamiseks kasutatakse ruutkeskmisi väärtusi. Siin määratakse standardhälve teatud perioodi kavandatud toodangust järgmise valemi abil:

Need väärtused iseloomustavad täpselt majandusnäitajate muutust võrreldes nende baasväärtusega, võttes selle keskmise väärtusena.

Ruutlihtne

Ruutkeskmine arvutatakse järgmise valemi abil:

Ruutkaaluline

Kaalutud keskmine ruut on võrdne:

22. Variatsiooni absoluutnäitajad on järgmised:

variatsiooni ulatus

keskmine lineaarne hälve

dispersioon

standardhälve

Variatsioonivahemik (r)

Variatsioonivahemik- on atribuudi maksimaalse ja minimaalse väärtuse erinevus

See näitab piire, mille piires tunnuse väärtus uuritavas populatsioonis muutub.

Viie taotleja töökogemus varasemal tööl on: 2,3,4,7 ja 9 aastat. Lahendus: variatsioonivahemik = 9 - 2 = 7 aastat.

Atribuutide väärtuste erinevuste üldiseks kirjeldamiseks arvutatakse keskmised variatsiooninäitajad, võttes arvesse kõrvalekaldeid aritmeetilisest keskmisest. Erinevust võetakse kui kõrvalekallet keskmisest.

Selleks et vältida karakteristiku variantide kõrvalekallete summa muutumist keskmisest nulliks (keskmise nullomadus), tuleb kõrvalekalde märke ignoreerida, st võtta see summa modulo , või hälbe väärtused ruudus

Keskmine lineaar- ja ruuthälve

Keskmine lineaarne hälve on tunnuse üksikute väärtuste absoluutsete kõrvalekallete aritmeetiline keskmine keskmisest.

Keskmine lineaarne hälve on lihtne:

Viie taotleja töökogemus varasemal tööl on: 2,3,4,7 ja 9 aastat.

Meie näites: aastad;

Vastus: 2,4 aastat.

Keskmine lineaarne hälve kaalutud kehtib rühmitatud andmete kohta:

Keskmist lineaarset hälvet kasutatakse selle konventsionaalsuse tõttu praktikas suhteliselt harva (eelkõige lepinguliste kohustuste täitmise iseloomustamiseks tarne ühetaolisuse osas; toote kvaliteedi analüüsimisel, võttes arvesse tootmise tehnoloogilisi iseärasusi).

Standardhälve

Kõige täiuslikum variatsiooni tunnus on keskmine ruuthälve, mida nimetatakse standardhälbeks (või standardhälbeks). Standardhälve() on võrdne aritmeetilise keskmise atribuudi üksikute väärtuste keskmise ruuthälbe ruutjuurega:

Standardhälve on lihtne:

Rühmitatud andmetele rakendatakse kaalutud standardhälvet:

Ruutkeskmise ja keskmiste lineaarsete hälvete vahel normaaljaotuse tingimustes toimub järgmine suhe: ~ 1,25.

Standardhälvet, mis on peamine absoluutne variatsioonimõõt, kasutatakse normaaljaotuse kõvera ordinaatväärtuste määramisel, valimi vaatluse korraldamise ja valimi karakteristikute täpsuse kindlakstegemisega seotud arvutustes, samuti proovide tunnuste täpsuse hindamisel. tunnuse varieerumise piirid homogeenses populatsioonis.

Kogemustest saadud väärtused sisaldavad paratamatult väga erinevatel põhjustel vigu. Nende hulgas tuleks eristada süstemaatilisi ja juhuslikke vigu. Süstemaatilised vead on põhjustatud põhjustest, mis toimivad väga spetsiifiliselt ja mida saab alati kõrvaldada või üsna täpselt arvesse võtta. Juhuslikud vead on põhjustatud väga paljudest individuaalsetest põhjustest, mida ei saa täpselt arvesse võtta ja mis toimivad igal üksikul mõõtmisel erinevalt. Neid vigu ei saa täielikult välistada; neid saab arvesse võtta ainult keskmiselt, mille jaoks on vaja teada seadusi, mis reguleerivad juhuslikke vigu.

Mõõdetud suurust tähistame A-ga ja juhuslikku viga x mõõtmisel. Kuna viga x võib omandada mis tahes väärtuse, on see pidev juhuslik suurus, mida iseloomustab täielikult selle jaotusseadus.

Lihtsaim ja tegelikkust kõige täpsemalt kajastav (valdav enamus juhtudel) on nn tavaline vigade jaotuse seadus:

Selle jaotusseaduse võib saada erinevatest teoreetilistest eeldustest, eelkõige nõudest, et tundmatu suuruse kõige tõenäolisem väärtus, mille jaoks saadakse otsese mõõtmise teel sama täpsusastmega väärtuste jada, on aritmeetiline keskmine need väärtused. Kogust 2 nimetatakse dispersioon sellest tavalisest seadusest.

Aritmeetiline keskmine

Dispersiooni määramine katseandmete põhjal. Kui mis tahes väärtuse A korral saadakse n väärtused a i otsemõõtmisel sama täpsusastmega ja kui väärtuse A vead alluvad normaaljaotuse seadusele, siis on A kõige tõenäolisem väärtus aritmeetiline keskmine:

a - aritmeetiline keskmine,

a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Vaadeldava väärtuse (iga vaatluse puhul) a i väärtuse A kõrvalekalle aritmeetiline keskmine: a i - a.

Sel juhul normaalse veajaotuse seaduse dispersiooni määramiseks kasutage valemit:

2 - dispersioon,
a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,

Standardhälve

Standardhälve näitab mõõdetud väärtuste absoluutset kõrvalekallet aritmeetiline keskmine. Vastavalt lineaarse kombinatsiooni täpsuse mõõtmise valemile keskmine ruutviga Aritmeetiline keskmine määratakse järgmise valemiga:

, Kus

a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,
a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Variatsioonikoefitsient

Variatsioonikoefitsient iseloomustab mõõdetud väärtuste kõrvalekalde suhtelist mõõdet aritmeetiline keskmine:

, Kus

V - variatsioonikoefitsient,
- standardhälve,
a - aritmeetiline keskmine.

Mida suurem on väärtus variatsioonikoefitsient, seda suurem on uuritud väärtuste hajuvus ja väiksem ühtlus. Kui variatsioonikoefitsient alla 10%, siis loetakse variatsioonirea varieeruvus ebaoluliseks, 10% kuni 20% keskmiseks, üle 20% ja alla 33% loetakse oluliseks ning kui variatsioonikoefitsientületab 33%, see näitab teabe heterogeensust ja vajadust välistada suurimad ja väikseimad väärtused.

Keskmine lineaarne hälve

Üks varieerumise ulatuse ja intensiivsuse näitajaid on keskmine lineaarne hälve(keskmise kõrvalekalde moodul) aritmeetilisest keskmisest. Keskmine lineaarne hälve arvutatakse valemiga:

, Kus

_
a - keskmine lineaarne hälve,
a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,
a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Uuritud väärtuste normaaljaotuse seadusele vastavuse kontrollimiseks kasutatakse seost asümmeetria indikaator tema veale ja suhtumisele kurtoosi indikaator tema veale.

Asümmeetria indikaator

Asümmeetria indikaator(A) ja selle viga (m a) arvutatakse järgmiste valemite abil:

, Kus

A - asümmeetria indikaator,
- standardhälve,
a - aritmeetiline keskmine,
n - parameetrite mõõtmiste arv,
a i - mõõdetud väärtus i-ndas etapis.

Kurtoosi indikaator

Kurtoosi indikaator(E) ja selle viga (m e) arvutatakse järgmiste valemite abil:

, Kus