1
/
5
Normaaljaotuse tähtsus paljudes teadusvaldkondades (näiteks matemaatiline statistika ja statistiline füüsika) tuleneb tõenäosusteooria kesksest piirteoreemist. Kui vaatluse tulemuseks on paljude juhuslike, üksteisest nõrgalt sõltuvate suuruste summa, millest igaüks annab kogusumma suhtes väikese panuse, siis liikmete arvu suurenedes kipub tsentreeritud ja normaliseeritud tulemuse jaotus olema normaalne. Selle tõenäosusteooria seaduse tulemuseks on normaaljaotuse laialdane levik, mis oli selle nimetuse üheks põhjuseks.
Omadused
Hetked
Kui juhuslikud muutujad X 1 (\displaystyle X_(1)) Ja X 2 (\displaystyle X_(2)) on sõltumatud ja neil on matemaatiliste ootustega normaaljaotus μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Ja μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ja dispersioone σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Ja σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) vastavalt siis X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) on ka matemaatilise ootusega normaaljaotus μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ja dispersioon σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Sellest järeldub, et normaalset juhuslikku muutujat saab esitada suvalise arvu sõltumatute normaalsete juhuslike suuruste summana.
Maksimaalne entroopia
Normaaljaotusel on maksimaalne diferentsiaalentroopia kõigi pidevate jaotuste vahel, mille dispersioon ei ületa etteantud väärtust.
Normaalsete pseudojuhuslike muutujate modelleerimine
Lihtsamad ligikaudsed modelleerimismeetodid põhinevad keskpiiri teoreemil. Nimelt kui liita mitu sõltumatut identselt jaotatud lõpliku dispersiooniga suurust, siis summa jaotub umbes Hästi. Näiteks kui lisate standardina 100 sõltumatut ühtlaselt hajutatud juhuslikud muutujad, siis on summa jaotus ligikaudu normaalne.
Normaalse jaotusega pseudojuhuslike muutujate programmiliseks genereerimiseks on eelistatav kasutada Box-Mulleri teisendust. See võimaldab teil luua ühe normaalselt jaotatud väärtuse ühe ühtlaselt jaotatud väärtuse põhjal.
Normaalne jaotus looduses ja rakendustes
Tavalist jaotumist leidub sageli looduses. Näiteks järgmised juhuslikud muutujad on normaaljaotusega hästi modelleeritud:
- kõrvalekalle laskmisel.
- mõõtmisvead (mõnede mõõteriistade vigadel pole aga normaaljaotust).
- mõned populatsiooni elusorganismide omadused.
See jaotus on nii laialt levinud, kuna see on lõpmatult jagatav, lõpliku dispersiooniga pidevjaotus. Seetõttu lähenevad mõned teised sellele limiidis, näiteks binoom ja Poisson. See jaotus modelleerib paljusid mittedeterministlikke füüsikalisi protsesse.
Seos teiste distributsioonidega
- Normaaljaotus on Pearsoni XI tüüpi jaotus.
- Sõltumatu standardjaotusega juhuslike muutujate paari suhtel on Cauchy jaotus. See tähendab, et kui juhuslik suurus X (\displaystyle X) esindab suhet X = Y / Z (\displaystyle X = Y/Z)(Kus Y (\displaystyle Y) Ja Z (\displaystyle Z)- sõltumatud standardsed tavalised juhuslikud muutujad), siis on sellel Cauchy jaotus.
- Kui z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- ühiselt sõltumatud standardsed tavajuhuslikud muutujad, st z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), siis juhuslik muutuja x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) on hii-ruutjaotus k vabadusastmega.
- Kui juhuslik suurus X (\displaystyle X) allub lognormaaljaotusele, siis on selle naturaalne logaritm normaaljaotus. See tähendab, et kui X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), See Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Ja vastupidi, kui Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), See X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \õige)).
- Kahe standardse normaaljuhusliku muutuja ruutude suhe on
Normaaljaotuse seadus (mida sageli nimetatakse ka Gaussi seaduseks) mängib tõenäosusteoorias äärmiselt olulist rolli ja on teiste jaotusseaduste seas erilisel kohal. See on praktikas kõige sagedamini esinev levitamisseadus. Peamine omadus, mis eristab tavaseadust teistest seadustest, on see, et see on piirav seadus, millele teised jaotusseadused lähenevad väga levinud tüüpilistel tingimustel.
Saab tõestada, et piisavalt suure hulga sõltumatute (või nõrgalt sõltuvate) juhuslike muutujate summa, mis on allutatud mis tahes jaotusseadustele (mõnedele väga lõdvatele piirangutele), järgib ligikaudu normaalseadust ja see on täpsem, suurem arv juhuslikke muutujaid, mis summeeritakse. Enamikku praktikas esinevatest juhuslikest muutujatest, nagu näiteks mõõtmisvead, pildistamisvead jne, saab esitada väga suure hulga suhteliselt väikeste terminite – elementaarvigade – summana, millest igaüks on põhjustatud eraldi põhjus, teistest sõltumatu. Ükskõik, millistele jaotusseadustele üksikud elementaarvead alluvad, nivelleeritakse nende jaotuste tunnused suure hulga liikmete summas ja summa osutub alluvaks normilähedasele seadusele. Peamine liidetavatele vigadele seatud piirang on see, et neil kõigil on kogusummas ühtlaselt suhteliselt väike roll. Kui see tingimus ei ole täidetud ja näiteks üks juhuslikest vigadest osutub oma mõjus summale järsult domineerivaks kõigi teiste üle, siis määrab selle valitseva vea jaotusseadus selle mõju summale ja määrab selle. jaotusseaduse põhijooned.
Teoreeme, mis kehtestavad normaalseadust sõltumatute ühtlaselt väikeste juhuslike liikmete summa piirina, käsitletakse täpsemalt 13. peatükis.
Normaaljaotuse seadust iseloomustab kuju tõenäosustihedus:
Normaaljaotuskõver on sümmeetrilise künkliku kujuga (joonis 6.1.1). Kõvera maksimaalne ordinaat, mis on võrdne , vastab punktile ; Punktist eemaldudes jaotustihedus väheneb ja hetkel läheneb kõver asümptootiliselt abstsissile.
Selgitame välja normaalseaduse (6.1.1) avaldisesse kaasatud arvparameetrite tähenduse; Tõestame, et väärtus pole midagi muud kui matemaatiline ootus ja väärtus on väärtuse standardhälve. Selleks arvutame välja suuruse peamised numbrilised karakteristikud – matemaatilise ootuse ja dispersiooni.
Muutuvate muutuste kasutamine
Lihtne on kontrollida, kas valemi (6.1.2) kahest intervallist esimene on võrdne nulliga; teine on kuulus Euleri-Poissoni integraal:
. (6.1.3)
Seega
need. parameeter esindab väärtuse matemaatilist ootust. Seda parameetrit, eriti pildistamisprobleemide korral, nimetatakse sageli hajutamise keskpunktiks (lühendatult c.r.).
Arvutame koguse dispersiooni:
.
Muutuja muudatuse uuesti rakendamine
Osade kaupa integreerides saame:
Esimene liige lokkis sulgudes on võrdne nulliga (kuna at väheneb kiiremini kui mis tahes võimsus suureneb), teine liige vastavalt valemile (6.1.3) on võrdne , kust
Järelikult pole valemis (6.1.1) olev parameeter midagi muud kui väärtuse standardhälve.
Selgitame välja parameetrite ja normaaljaotuse tähenduse. Valemist (6.1.1) selgub kohe, et jaotuse sümmeetriakese on dispersioonikese. See ilmneb sellest, et erinevuse märgi ümberpööramisel avaldis (6.1.1) ei muutu. Dispersioonikeskme muutmisel nihkub jaotuskõver piki abstsisstellge ilma selle kuju muutmata (joonis 6.1.2). Dispersioonikese iseloomustab jaotuse asukohta abstsissteljel.
Hajumiskeskuse mõõde on sama, mis juhusliku suuruse mõõde.
Parameeter ei iseloomusta mitte asukohta, vaid jaotuskõvera kuju. See on dispersiooni tunnusjoon. Jaotuskõvera suurim ordinaat on pöördvõrdeline; suurendades maksimaalne ordinaat väheneb. Kuna jaotuskõvera pindala peab jääma alati võrdseks ühtsusega, muutub jaotuskõver suurenedes lamedamaks, venitades piki x-telge; vastupidi, vähenedes venib jaotuskõver ülespoole, surudes samal ajal külgedelt kokku ja muutub nõelakujulisemaks. Joonisel fig. 6.1.3 näitab kolme normaalkõverat (I, II, III) juures ; neist kõver I vastab suurimale ja kõver III väikseimale väärtusele. Parameetri muutmine on samaväärne jaotuskõvera skaala muutmisega – skaala suurendamine piki üht telge ja sama kahanemine mööda teist telge.
Tavaseaduse järgi jaotatud juhuslikud suurused on näiteks inimese pikkus ja püütud sama liigi kalade mass. Normaaljaotus tähendab järgmist
: on olemas inimese pikkuse, sama liigi kalade massi väärtused, mida intuitiivselt tajutakse "normaalsetena" (ja tegelikult ka keskmistatuna) ning piisavalt suures valimis leitakse neid palju sagedamini kui neid, mis erinevad üles või alla.
Pideva juhusliku suuruse (mõnikord Gaussi jaotuse) normaalset tõenäosusjaotust võib nimetada kellakujuliseks, kuna selle jaotuse tihedusfunktsioon, mis on sümmeetriline keskmise suhtes, on väga sarnane kella lõikega (punane kõver). ülaltoodud joonisel).
Tõenäosus proovis teatud väärtusi kohata on võrdne joonise pindalaga kõvera all ja normaaljaotuse korral näeme, et väärtustele vastava “kellukese” ülaosa all. keskmisele kaldudes on pindala ja seega ka tõenäosus suurem kui servade all. Seega saame sama, mis juba öeldud: "normaalse" pikkusega inimesega kohtumise ja "normaalse" kaaluga kala püüdmise tõenäosus on suurem kui väärtuste puhul, mis erinevad üles- või allapoole. Paljudel praktilistel juhtudel jaotuvad mõõtmisvead normilähedase seaduse järgi.
Vaatame uuesti tunni alguses olevat joonist, mis näitab normaaljaotuse tihedusfunktsiooni. Selle funktsiooni graafik saadi tarkvarapaketis teatud andmenäidise arvutamisel STATISTIKA. Sellel kujutavad histogrammi veerud valimi väärtuste intervalle, mille jaotus on lähedane normaaljaotuse tihedusfunktsiooni tegelikule graafikule (või, nagu statistikas tavaliselt öeldakse, ei erine sellest oluliselt), milleks on punane kõver. . Graafik näitab, et see kõver on tõepoolest kellukesekujuline.
Normaaljaotus on mitmel viisil väärtuslik, sest teades ainult pideva juhusliku suuruse eeldatavat väärtust ja selle standardhälvet, saate arvutada selle muutujaga seotud mis tahes tõenäosuse.
Normaaljaotuse eeliseks on ka see, et see on üks lihtsamini kasutatavaid. statistiliste hüpoteeside kontrollimiseks kasutatavad statistilised testid – Studenti t-test- saab kasutada ainult siis, kui näidisandmed järgivad normaaljaotuse seadust.
Pideva juhusliku suuruse normaaljaotuse tihedusfunktsioon saab leida järgmise valemi abil:
,
Kus x- muutuva suuruse väärtus, - keskmine väärtus, - standardhälve, e=2,71828... - naturaallogaritmi alus, =3,1416...
Normaaljaotuse tihedusfunktsiooni omadused
Keskmise muutused nihutavad normaaltihedusfunktsiooni kõverat telje suunas Ox. Kui see suureneb, liigub kõver paremale, kui väheneb, siis vasakule.
Kui standardhälve muutub, muutub kõvera tipu kõrgus. Kui standardhälve suureneb, on kõvera tipp kõrgem ja kui see väheneb, siis madalam.
Tavalise jaotusega juhusliku suuruse sattumise tõenäosus antud intervalli
Juba selles lõigus hakkame lahendama praktilisi probleeme, mille tähendus on märgitud pealkirjas. Vaatame, milliseid võimalusi pakub teooria probleemide lahendamiseks. Normaaljaotusega juhusliku suuruse teatud intervalli sattumise tõenäosuse arvutamise lähtekontseptsiooniks on normaaljaotuse kumulatiivne funktsioon.
Kumulatiivne normaaljaotuse funktsioon:
.
Siiski on problemaatiline saada tabeleid iga võimaliku keskmise ja standardhälbe kombinatsiooni kohta. Seetõttu on üks lihtsamaid viise normaaljaotusega juhusliku suuruse teatud intervalli sattumise tõenäosuse arvutamiseks kasutada standardiseeritud normaaljaotuse jaoks tõenäosustabeleid.
Normaaljaotust nimetatakse standardiseeritud või normaliseeritud., mille keskmine on , ja standardhälve on .
Standardiseeritud normaaljaotuse tihedusfunktsioon:
.
Standardiseeritud normaaljaotuse kumulatiivne funktsioon:
.
Alloleval joonisel on kujutatud standardiseeritud normaaljaotuse integraalfunktsioon, mille graafik saadi tarkvarapaketis teatud andmenäidise arvutamisel STATISTIKA. Graafik ise on punane kõver ja näidisväärtused lähenevad sellele.
Pildi suurendamiseks saab seda hiire vasaku nupuga klõpsata.
Juhusliku muutuja standardimine tähendab üleminekut ülesandes kasutatud algühikutelt standardiseeritud ühikutele. Standardimine toimub valemi järgi
Praktikas on kõik juhusliku suuruse kõik võimalikud väärtused sageli teadmata, mistõttu ei saa keskmise ja standardhälbe väärtusi täpselt määrata. Need asendatakse vaatluste aritmeetilise keskmise ja standardhälbega s. Suurusjärk z väljendab standardhälbe mõõtmisel juhusliku suuruse väärtuste kõrvalekaldeid aritmeetilisest keskmisest.
Avatud intervall
Standardiseeritud normaaljaotuse tõenäosustabel, mida leidub peaaegu igas statistikaraamatus, sisaldab tõenäosusi, et standardse normaaljaotusega juhuslik muutuja Z võtab teatud arvust väiksema väärtuse z. See tähendab, et see langeb avatud intervallisse miinus lõpmatusest kuni z. Näiteks tõenäosus, et kogus Z väiksem kui 1,5, võrdub 0,93319.
Näide 1. Ettevõte toodab osi, mille kasutusiga on tavaliselt keskmiselt 1000 tundi ja standardhälbega 200 tundi.
Arvutage juhuslikult valitud detaili puhul tõenäosus, et selle kasutusiga on vähemalt 900 tundi.
Lahendus. Tutvustame esimest tähistust:
Soovitud tõenäosus.
Juhusliku muutuja väärtused on avatud intervallis. Kuid me teame, kuidas arvutada tõenäosust, et juhuslik muutuja saab väärtuse, mis on väiksem kui antud, ja vastavalt ülesande tingimustele peame leidma ühe, mis on võrdne või suurem kui antud. See on ruumi teine osa normaalse tiheduskõvera (kell) all. Seetõttu peate soovitud tõenäosuse leidmiseks lahutama ühtsusest nimetatud tõenäosuse, et juhuslik muutuja saab väärtuse, mis on väiksem kui määratud 900:
Nüüd tuleb juhuslik suurus standardida.
Jätkame märgistuse tutvustamist:
z = (X ≤ 900)
;
x= 900 - juhusliku suuruse määratud väärtus;
μ
= 1000 - keskmine väärtus;
σ
= 200 - standardhälve.
Neid andmeid kasutades saame probleemi tingimused:
.
Standardiseeritud juhusliku suuruse (intervalli piir) tabelite järgi z= −0,5 vastab tõenäosusele 0,30854. Lahutage see ühtsusest ja saate probleemiavalduses nõutava:
Seega on tõenäosus, et osa kasutusiga on vähemalt 900 tundi, 69%.
Selle tõenäosuse saab saada MS Exceli funktsiooni NORM.DIST abil (integraalväärtus - 1):
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
Arvutuste kohta MS Excelis - selle õppetunni ühes järgmistest lõikudest.
Näide 2. Teatud linnas on pere aastane keskmine sissetulek normaaljaotusega juhuslik suurus, mille keskmine on 300 000 ja standardhälve 50 000 Teadaolevalt on 40% perede sissetulek väiksem kui A. Leidke väärtus A.
Lahendus. Selles ülesandes pole 40% midagi muud kui tõenäosus, et juhuslik muutuja võtab avatud intervallist väärtuse, mis on väiksem kui teatud väärtus, mida tähistab täht A.
Väärtuse leidmiseks A, koostame esmalt integraalfunktsiooni:
Vastavalt probleemi tingimustele
μ
= 300000 - keskmine väärtus;
σ
= 50000 - standardhälve;
x = A- leitav kogus.
Võrdsuse loomine
.
Statistilistest tabelitest leiame, et tõenäosus 0,40 vastab intervalli piiri väärtusele z = −0,25
.
Seetõttu loome võrdsuse
ja leidke sellele lahendus:
A = 287300
.
Vastus: 40% peredest on sissetulekud alla 287 300.
Suletud intervall
Paljude ülesannete puhul tuleb leida tõenäosus, et normaalse jaotusega juhuslik muutuja saab väärtuse vahemikus alates z 1 kuni z 2. See tähendab, et see langeb suletud intervalli. Selliste ülesannete lahendamiseks on vaja tabelist leida intervalli piiridele vastavad tõenäosused ja seejärel leida nende tõenäosuste erinevus. See nõuab väiksema väärtuse lahutamist suuremast. Nende levinud probleemide lahendusnäited on järgmised ning teil palutakse need ise lahendada ning seejärel näete õigeid lahendusi ja vastuseid.
Näide 3. Ettevõtte teatud perioodi kasum on normaaljaotuse seadusele alluv juhuslik suurus, mille keskmine väärtus on 0,5 miljonit. ja standardhälve 0,354. Määrake kahe kümnendkoha täpsusega tõenäosus, et ettevõtte kasum on 0,4–0,6 c.u.
Näide 4. Valmistatava detaili pikkus on tavaseaduse järgi jaotatud juhuslik suurus koos parameetritega μ
=10 ja σ
=0,071. Leidke kahe kümnendkoha täpsusega defektide tõenäosus, kui detaili lubatud mõõtmed peavad olema 10±0,05.
Vihje: selles ülesandes tuleb lisaks juhusliku suuruse suletud intervalli sattumise tõenäosuse leidmisele (defektse osa saamise tõenäosus) teha veel üks toiming.
võimaldab teil määrata tõenäosuse, et standardväärtus Z mitte vähem -z ja mitte rohkem +z, Kus z- standardiseeritud juhusliku suuruse suvaliselt valitud väärtus.
Ligikaudne meetod jaotuse normaalsuse kontrollimiseks
Ligikaudne meetod prooviväärtuste jaotuse normaalsuse kontrollimiseks põhineb järgmisel normaaljaotuse omadus: kaldsuse koefitsient β
1
ja kurtoosi koefitsient β
2
on võrdsed nulliga.
Asümmeetria koefitsient β
1
iseloomustab numbriliselt empiirilise jaotuse sümmeetriat keskmise suhtes. Kui kaldsuse koefitsient on null, on aritmeetriline keskmine, mediaan ja moodus võrdsed: ja jaotustiheduse kõver on sümmeetriline keskmise suhtes. Kui asümmeetria koefitsient on väiksem kui null (β
1
< 0
), siis on aritmeetiline keskmine mediaanist väiksem ja mediaan omakorda väiksem kui mood () ja kõver on nihutatud paremale (võrreldes normaaljaotusega). Kui asümmeetria koefitsient on suurem kui null (β
1
> 0
), siis on aritmeetiline keskmine suurem kui mediaan ja mediaan on omakorda suurem kui mood () ja kõver on nihutatud vasakule (võrreldes normaaljaotusega).
Kurtoosi koefitsient β
2
iseloomustab empiirilise jaotuse kontsentratsiooni ümber aritmeetilise keskmise telje suunas Oy ja jaotustiheduse kõvera haripunkti aste. Kui kurtoosi koefitsient on suurem kui null, siis on kõver piklikum (võrreldes normaaljaotusega) piki telge Oy(graafik on tipptasemel). Kui kurtoosi koefitsient on väiksem kui null, on kõver rohkem lame (võrreldes normaaljaotusega) piki telge Oy(graafik on nürim).
Asümmeetriakordaja saab arvutada MS Exceli SKOS funktsiooni abil. Kui märgite ühte andmemassiivi, peate sisestama andmevahemiku ühte kasti "Arv".
Kurtoosi koefitsienti saab arvutada MS Exceli KURTESS funktsiooni abil. Ühe andmemassiivi kontrollimisel piisab ka andmevahemiku sisestamisest ühte “Arv” lahtrisse.
Niisiis, nagu me juba teame, on normaaljaotuse korral kaldsuse ja kurtoosi koefitsiendid võrdsed nulliga. Aga mis siis, kui saaksime kaldsuse koefitsiendid -0,14, 0,22, 0,43 ja kurtoosi koefitsiendid 0,17, -0,31, 0,55? Küsimus on üsna õiglane, kuna praktikas on tegemist ainult ligikaudsete asümmeetria ja kurtoosi näidisväärtustega, mis on allutatud mingile vältimatule kontrollimatule hajumisele. Seetõttu ei saa nõuda, et need koefitsiendid oleksid täpselt nulliga võrdsed. Aga mida tähendab piisavalt?
Saadud empiirilisi väärtusi tuleb võrrelda vastuvõetavate väärtustega. Selleks peate kontrollima järgmisi ebavõrdsusi (võrrelge mooduli koefitsientide väärtusi kriitiliste väärtustega - hüpoteesi testimise ala piiridega).
Asümmeetriakordaja jaoks β
1
.
) mängib eriti suurt rolli tõenäosusteoorias ja seda kasutatakse kõige sagedamini praktiliste ülesannete lahendamisel. Selle peamine omadus on see, et see on piirav seadus, millele teised levitamisseadused lähenevad väga levinud tüüpilistel tingimustel. Näiteks piisavalt suure arvu sõltumatute (või nõrgalt sõltuvate) juhuslike suuruste summa järgib ligikaudu normaalseadust ja see on tõsi, mida täpsemalt, mida rohkem juhuslikke muutujaid summeeritakse.
Eksperimentaalselt on tõestatud, et mõõtmisvead, ehituskonstruktsiooni elementide geomeetriliste mõõtmete ja asendi kõrvalekalded nende valmistamisel ja paigaldamisel ning materjalide füüsikaliste ja mehaaniliste omaduste varieeruvus ning ehituskonstruktsioonidele mõjuvad koormused alluvad tavaseadusele.
Peaaegu kõik juhuslikud suurused alluvad Gaussi jaotusele, mille kõrvalekalde keskmistest väärtustest põhjustab suur hulk juhuslikke tegureid, millest igaüks on individuaalselt ebaoluline (keskpiiri teoreem).
Normaaljaotus on juhusliku pideva muutuja jaotus, mille tõenäosustihedusel on kuju (joonis 18.1).
Riis. 18.1. Normaaljaotusseadus 1< a 2 .
kus a ja on jaotusparameetrid.
Tavaseaduse kohaselt jaotatud juhusliku suuruse tõenäosuslikud omadused on võrdsed:
Matemaatiline ootus (18,2)
Dispersioon (18,3)
Standardhälve (18,4)
Asümmeetria koefitsient A = 0(18.5)
Liigne E= 0. (18.6)
Gaussi jaotuses sisalduv parameeter σ on võrdne juhusliku suuruse keskmise ruutsuhtega. Suurusjärk A määrab jaotuskeskuse asukoha (vt joonis 18.1) ja väärtuse A— jaotuslaius (joon. 18.2), s.o. statistiline erinevus keskmise väärtuse ümber.
Riis. 18.2. Normaaljaotuse seadus σ 1 juures< σ 2 < σ 3
Antud intervalli (x 1 kuni x 2) sattumise tõenäosus normaaljaotuse korral, nagu kõigil juhtudel, määratakse tõenäosustiheduse integraaliga (18.1), mida ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu ja mida esindab erifunktsioon, mida nimetatakse Laplace'i funktsiooniks (tõenäosusintegraal).
Üks tõenäosusintegraali esitusviisidest:
Suurusjärk Ja helistas kvantiil
On näha, et Ф(х) on paaritu funktsioon, st Ф(-х) = -Ф(х) .
Selle funktsiooni väärtused arvutatakse ja esitatakse tabelite kujul tehnilises ja õppekirjanduses.
Normaalseaduse jaotusfunktsiooni (joonis 18.3) saab väljendada tõenäosusintegraali kaudu:
Riis. 18.2. Normaaljaotuse funktsioon.
Tavaseaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse tõenäosus langeb intervalli alates X. kuni x, määratakse avaldise abil:
Tuleb märkida, et
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
Jaotusega seotud praktiliste ülesannete lahendamisel tuleb sageli arvestada tõenäosusega sattuda intervalli, mis on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline, kui selle intervalli pikkus, s.o. kui intervallil endal on piir vahemikus kuni , on meil:
Praktiliste ülesannete lahendamisel väljendatakse juhuslike suuruste hälbete piire läbi standardi, standardhälbe, mis on korrutatud teatud teguriga, mis määrab juhusliku suuruse hälvete piirkonna piirid.
Võttes ja kasutades ka valemit (18.10) ja tabelit Ф(х) (lisa nr 1), saame
Need valemid näitavad et kui juhuslikul suurusel on normaaljaotus, siis tõenäosus, et see hälbib oma keskmisest väärtusest mitte rohkem kui σ võrra, on 68,27%, mitte rohkem kui 2σ võrra 95,45% ja mitte rohkem kui 3σ - 99,73%.
Kuna väärtus 0,9973 on ühtsuselähedane, siis peetakse praktiliselt võimatuks juhusliku suuruse normaaljaotuse kõrvalekaldumist matemaatilisest ootusest rohkem kui 3σ võrra. Seda reeglit, mis kehtib ainult normaaljaotuse korral, nimetatakse kolme sigma reegliks. Selle rikkumine on tõenäoline P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Seda reeglit kasutatakse toodete ja konstruktsioonide geomeetriliste omaduste lubatud hälvete piiride kehtestamisel.
Juhuslik, kui see võib katse tulemusel teatud tõenäosusega omandada tegelikke väärtusi. Kõige täielikum ja kõikehõlmavam juhusliku suuruse tunnus on jaotusseadus. Jaotusseadus on funktsioon (tabel, graafik, valem), mis võimaldab määrata tõenäosuse, et juhuslik suurus X omandab teatud väärtuse xi või langeb teatud intervalli. Kui juhuslikul suurusel on antud jaotusseadus, siis öeldakse, et see jaotub selle seaduse järgi või järgib seda jaotusseadust.
Iga jaotusseadus on funktsioon, mis kirjeldab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikust vaatepunktist. Praktikas tuleb juhusliku suuruse X tõenäosusjaotust sageli hinnata ainult testitulemuste põhjal.
Normaaljaotus
Normaaljaotus, mida nimetatakse ka Gaussi jaotuseks, on tõenäosusjaotus, mis mängib olulist rolli paljudes teadmiste valdkondades, eriti füüsikas. Füüsikaline suurus järgib normaaljaotust, kui see on allutatud suurele hulgale juhuslikele müradele. On selge, et selline olukord on äärmiselt levinud, seega võime öelda, et kõigist jaotustest on normaaljaotus looduses kõige levinum – sellest ka üks selle nimetusi.
Normaaljaotus sõltub kahest parameetrist - nihkest ja skaalast ehk matemaatilisest vaatenurgast ei ole tegemist ühe jaotusega, vaid terve nende perekonnaga. Parameetri väärtused vastavad keskmise (matemaatilise ootuse) ja leviku (standardhälbe) väärtustele.
Standardne normaaljaotus on normaaljaotus, mille matemaatiline ootus on 0 ja standardhälve 1.
Asümmeetria koefitsient
Kalduskoefitsient on positiivne, kui jaotuse parempoolne saba on pikem kui vasak, ja negatiivne muul juhul.
Kui jaotus on matemaatilise ootuse suhtes sümmeetriline, siis on selle asümmeetriakordaja null.
Valimi kaldsuse koefitsienti kasutatakse nii jaotuse testimiseks sümmeetria kui ka normaalsuse umbkaudseks eelkatseks. See võimaldab teil normaalsuse hüpoteesi tagasi lükata, kuid ei luba seda aktsepteerida.
Kurtoosi koefitsient
Kurtoosi koefitsient (tipukoefitsient) on juhusliku suuruse jaotuse tipu teravuse mõõt.
Valemi lõppu sisestatakse "miinus kolm" nii, et normaaljaotuse kurtoosikordaja on võrdne nulliga. See on positiivne, kui jaotuse tipp matemaatilise ootuse ümber on terav, ja negatiivne, kui tipp on sujuv.
Juhusliku suuruse hetked
Juhusliku suuruse moment on antud juhusliku suuruse jaotuse arvtunnus.
