Iga üksiku väärtuse määrab täielikult selle jaotusfunktsioon. Samuti piisab praktiliste ülesannete lahendamiseks mitmete numbriliste tunnuste tundmisest, tänu millele on võimalik esitada põhitunnused juhuslik muutuja lühikeses vormis.

Need kogused hõlmavad peamiselt matemaatiline ootus Ja dispersioon .

Ootus— tõenäosusteooria juhusliku suuruse keskmine väärtus. Tähistatakse kui .

Kõige rohkem lihtsal viisil juhusliku suuruse matemaatiline ootus X(w), leia kuidas lahutamatuLebesgue seoses tõenäosusmõõduga R originaal tõenäosusruum

Samuti võite leida väärtuse as matemaatilise ootuse Lebesgue'i integraal alates X tõenäosusjaotuse järgi R X kogused X:

kus on kõigi võimalike väärtuste hulk X.

Funktsioonide matemaatiline ootus juhuslikust suurusest X leitakse levitamise kaudu R X. Näiteks, Kui X- juhuslik suurus, mille väärtused on ja f(x)- üheselt mõistetav Boreli omafunktsiooni X , See:

Kui F(x)- jaotusfunktsioon X, siis on matemaatiline ootus esindatav lahutamatuLebesgue – Stieltjes (või Riemann – Stieltjes):

sel juhul integreeritavus X Seoses ( * ) vastab integraali lõplikkusele

Erijuhtudel, kui X on tõenäoliste väärtustega diskreetne jaotus x k, k = 1, 2, . , ja tõenäosused, siis

Kui X on absoluutselt pideva jaotusega tõenäosustihedusega p(x), See

sel juhul võrdub matemaatilise ootuse olemasolu vastava rea ​​või integraali absoluutse konvergentsiga.

Juhusliku suuruse matemaatilise ootuse omadused.

• Konstantse väärtuse matemaatiline ootus on võrdne selle väärtusega:

C- konstantne;

• M=C.M[X]

• Juhuslikult võetud väärtuste summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga:

• Sõltumatute juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus = nende matemaatiliste ootuste korrutis:

M=M[X]+M[Y]

Kui X Ja Y sõltumatu.

kui seeria läheneb:

Matemaatilise ootuse arvutamise algoritm.

Diskreetsete juhuslike muutujate omadused: kõiki nende väärtusi saab ümber nummerdada naturaalarvud; määrata igale väärtusele nullist erinev tõenäosus.

1. Korrutage paarid ükshaaval: x i sisse p i.

2. Lisage iga paari korrutis x i p i.

Näiteks, Sest n = 4 :

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon astmeliselt suureneb see järsult nendes punktides, mille tõenäosused on positiivse märgiga.

Näide: Leidke valemi abil matemaatiline ootus.

Dispersioon pidev juhuslik suurus X, mille võimalikud väärtused kuuluvad kogu Ox-teljele, määratakse võrdsusega:

Teenuse eesmärk. Interneti-kalkulaator mõeldud probleemide lahendamiseks, milles kumbki jaotustihedus f(x) ehk jaotusfunktsioon F(x) (vt näide). Tavaliselt sellistes ülesannetes peate leidma matemaatiline ootus, keskmine standardhälve, joonistage funktsioonid f(x) ja F(x).

Juhised. Valige lähteandmete tüüp: jaotustihedus f(x) või jaotusfunktsioon F(x).

Jaotustihedus f(x) on antud:

Jaotusfunktsioon F(x) on antud:

Pidevat juhuslikku suurust määrab tõenäosustihedus
(Rayleighi jaotusseadus – kasutatakse raadiotehnikas). Leidke M(x) , D(x) .

Juhuslikku muutujat X nimetatakse pidev , kui selle jaotusfunktsioon F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni kasutatakse selleks, et arvutada tõenäosus, et juhuslik suurus langeb antud intervalli:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Veelgi enam, pideva juhusliku muutuja puhul pole vahet, kas selle piirid sisalduvad selles intervallis või mitte:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Jaotustihedus pidevat juhuslikku muutujat nimetatakse funktsiooniks
f(x)=F’(x) , jaotusfunktsiooni tuletis.

Jaotustiheduse omadused