Aritmeetiline progressioon nimeta numbrijada (edenemise tingimused)

Milles iga järgnev termin erineb eelmisest uue terminiga, mida nimetatakse ka sammu või edenemise erinevus.

Seega, määrates edenemise sammu ja selle esimese liikme, saate valemi abil leida mis tahes selle elemendi

Omadused aritmeetiline progressioon

1) Aritmeetilise progressiooni iga liige, alates teisest arvust, on progressiooni eelmise ja järgmise liikme aritmeetiline keskmine

Ka vastupidine on tõsi. Kui progressiooni külgnevate paaritute (paaris) liikmete aritmeetiline keskmine on võrdne nende vahel oleva liikmega, siis on see arvujada aritmeetiline progressioon. Seda väidet kasutades on mis tahes järjestust väga lihtne kontrollida.

Samuti saab aritmeetilise progressiooni omaduse järgi ülaltoodud valemit üldistada järgmiseks

Seda on lihtne kontrollida, kui kirjutate terminid võrdusmärgist paremale

Praktikas kasutatakse seda sageli ülesannete arvutuste lihtsustamiseks.

2) Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa arvutatakse valemi abil

Pidage hästi meeles aritmeetilise progressiooni summa valem, mis on arvutustes asendamatu ja seda leidub üsna sageli lihtsates elusituatsioonides.

3) Kui teil on vaja leida mitte kogu summa, vaid osa jadast alates selle k-ndast liikmest, on teile kasulik järgmine summa valem

4) Praktilist huvi pakub k-ndast arvust algava aritmeetilise progressiooni n liikme summa leidmine. Selleks kasutage valemit

Sellega lõpetatakse teoreetiline materjal ja liigutakse edasi levinud probleemide lahendamisele praktikas.

Näide 1. Leidke aritmeetilise progressiooni neljakümnes liige 4;7;...

Lahendus:

Vastavalt meie seisukorrale

Määrame edenemise etapi

Tuntud valemit kasutades leiame progressiooni neljakümnenda liikme

Näide 2.

Lahendus:

Aritmeetiline progressioon antakse selle kolmanda ja seitsmenda liikmega. Leidke progressiooni esimene liige ja kümne summa.

Kirjutame valemite abil üles progressiooni antud elemendid

Lahutame teisest võrrandist esimese, mille tulemusena leiame progresseerumisastme

Asendame leitud väärtuse mis tahes võrrandiga, et leida aritmeetilise progressiooni esimene liige

Arvutame progressiooni esimese kümne liikme summa

Keerulisi arvutusi kasutamata leidsime kõik vajalikud kogused.

Lahendus:

Näide 3. Aritmeetiline progressioon on antud nimetaja ja ühe selle liikmega. Leidke progressiooni esimene liige, selle 50 liikme summa alates 50-st ja esimese 100 summa.

Kirjutame üles progressiooni sajanda elemendi valemi

ja leia esimene

Esimese põhjal leiame progressiooni 50. liikme

Progressiooni osa summa leidmine

ja esimese 100 summa

Edasimineku summa on 250.

Näide 4.

Leidke aritmeetilise progressiooni liikmete arv, kui:

Lahendus:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Kirjutame võrrandid esimese liikme ja progressiooniastme järgi ning määrame need

Asendame saadud väärtused summa valemiga, et määrata summas olevate terminite arv

Teostame lihtsustusi

ja lahendage ruutvõrrand

Kahest leitud väärtusest sobib probleemtingimustele ainult number 8. Seega on progressiooni esimese kaheksa liikme summa 111.

Näide 5.

Lahenda võrrand

1+3+5+...+x=307.

Lahendus: see võrrand on aritmeetilise progressiooni summa. Kirjutame välja selle esimese liikme ja leiame progressiooni erinevuse Kui iga naturaalarvu kohta n vaste reaalarvuga a n , siis öeldakse, et on antud :

numbrijada 1 , numbrijada 2 , numbrijada 3 , . . . , a , . . . .

a n

Seega on numbrijada loomuliku argumendi funktsioon. numbrijada 1 Number helistas jada esimene liige numbrijada 2 — , number jada teine ​​liige numbrijada 3 — , number kolmandaks vaste reaalarvuga Number ja nii edasi. Number n-s tähtaeg järjestused ja naturaalarv — n .

tema number a Kahest kõrvuti asetsevast liikmest a +1 Ja a +1 Number jada liige järgnev vaste reaalarvuga (suhtes vaste reaalarvuga — ), A järgnev a +1 ).

eelmine

Jada määratlemiseks peate määrama meetodi, mis võimaldab teil leida jada mis tahes arvuga liikme. Sageli määratakse järjestus kasutades n-nda termini valemid

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

positiivsete paaritute arvude jada saab anda valemiga

a= 2n- 1,

ja vaheldumise järjekord 1 Ja -1 - valem

b n = (-1)n +1 . ◄

Järjestust saab määrata korduv valem, see tähendab valem, mis väljendab jada mis tahes liiget, alustades mõnest, läbi eelneva (ühe või mitme) liikme.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Kui numbrijada 1 = 1 , A a +1 = a + 5

numbrijada 1 = 1,

numbrijada 2 = numbrijada 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

numbrijada 3 = numbrijada 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

numbrijada 4 = numbrijada 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

numbrijada 5 = numbrijada 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kui a 1= 1, a 2 = 1, a +2 = a + a +1 , siis määratakse numbrilise jada esimesed seitse liiget järgmiselt:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

numbrijada 6 = numbrijada 4 + numbrijada 5 = 3 + 5 = 8,

numbrijada 7 = numbrijada 5 + numbrijada 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Jadad võivad olla lõplik Kahest kõrvuti asetsevast liikmest lõputu .

Jada nimetatakse ülim , kui sellel on piiratud arv liikmeid. Jada nimetatakse lõputu , kui sellel on lõpmatult palju liikmeid.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

kahekohaline jada naturaalarvud:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

lõplik.

Algarvude jada:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

lõputu. ◄

Jada nimetatakse suureneb , kui iga selle liige, alates teisest, on suurem kui eelmine.

Jada nimetatakse väheneb , kui iga selle liige, alates teisest, on väiksem kui eelmine.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

2, 4, 6, 8, . . . , 2ja naturaalarv, . . . — järjestuse suurenemine;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — kahanev järjestus. ◄

Nimetatakse jada, mille elemendid arvu kasvades ei vähene või, vastupidi, ei suurene monotoonne jada .

Eelkõige on monotoonsed järjestused suurenevad ja kahanevad järjestused.

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, millele liidetakse sama arv.

numbrijada 1 , numbrijada 2 , numbrijada 3 , . . . , a, . . .

on suvalise naturaalarvu aritmeetiline progressioon Kui iga naturaalarvu kohta tingimus on täidetud:

a +1 = a + d,

Kus d - teatud arv.

Seega on erinevus antud aritmeetilise progressiooni järgnevate ja eelmiste liikmete vahel alati konstantne:

a 2 - numbrijada 1 = a 3 - numbrijada 2 = . . . = a +1 - a = d.

Seega on numbrijada loomuliku argumendi funktsioon. d Number aritmeetilise progressiooni erinevus.

Aritmeetilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja erinevuse märkimisest.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Kui numbrijada 1 = 3, d = 4 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

numbrijada 5 = numbrijada 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Esimese liikmega aritmeetilise progressiooni jaoks numbrijada 1 ja erinevus d teda Kui iga naturaalarvu kohta

a = a 1 + (ja naturaalarv- 1)d.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

leida aritmeetilise progressiooni kolmekümnes liige

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (ja naturaalarv- 2)d,

a= a 1 + (ja naturaalarv- 1)d,

a +1 = numbrijada 1 + nd,

siis ilmselgelt

Iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete aritmeetilise keskmisega.

arvud a, b ja c on mõne aritmeetilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne kahe teise aritmeetilise keskmisega.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

a = 2ja naturaalarv- 7 , on aritmeetiline progressioon.

Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

a = 2ja naturaalarv- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2ja naturaalarv- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2ja naturaalarv- 5.

Seega

◄

Pange tähele, et Kui iga naturaalarvu kohta Aritmeetilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi numbrijada 1 , aga ka kõik varasemad a k

a = a k + (ja naturaalarv- k)d.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Sest numbrijada 5 saab kirja panna

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a = a n-k + kd,

a = a n+k - kd,

siis ilmselgelt

iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdub poolega selle aritmeetilise progressiooni liikmete summast, mis on sellest võrdse vahega.

Lisaks kehtib mis tahes aritmeetilise progressiooni korral järgmine võrdsus:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

aritmeetilises progressioonis

1) numbrijada 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (numbrijada 9 + numbrijada 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, sest

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a,

esiteks Kui iga naturaalarvu kohta Aritmeetilise progressiooni liikmed on võrdne äärmuslike liikmete summa ja liikmete arvu poole korrutisega:

Siit eelkõige järeldub, et kui on vaja tingimused kokku võtta

a k, a k +1 , . . . , a,

siis säilitab eelmine valem oma struktuuri:

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

aritmeetilises progressioonis 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Kui on antud aritmeetiline progressioon, siis suurused numbrijada 1 , a, d, ja naturaalarv JaS Kui iga naturaalarvu kohta ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis liidetakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Aritmeetiline progressioon on monotoonne jada. Sel juhul:

• Kui d > 0 , siis see suureneb;
• Kui d < 0 , siis see väheneb;
• Kui d = 0 , siis on jada paigal.

Geomeetriline progressioon

Geomeetriline progressioon on jada, milles iga liige, alates teisest, on võrdne eelmisega, mis on korrutatud sama arvuga.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

on mis tahes naturaalarvu geomeetriline progressioon Kui iga naturaalarvu kohta tingimus on täidetud:

b n +1 = b n · q,

Kus q ≠ 0 - teatud arv.

Seega on antud geomeetrilise progressiooni järgneva liikme ja eelmise liikme suhe konstantne arv:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Seega on numbrijada loomuliku argumendi funktsioon. q Number geomeetrilise progressiooni nimetaja.

Geomeetrilise progressiooni määratlemiseks piisab selle esimese liikme ja nimetaja märkimisest.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Kui b 1 = 1, q = -3 , siis leiame jada esimesed viis liiget järgmiselt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 ja nimetaja q teda Kui iga naturaalarvu kohta Kolmanda termini saab leida järgmise valemi abil:

b n = b 1 · qn -1 .

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

leida geomeetrilise progressiooni seitsmes liige 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

geomeetrilise progressiooni iga liige, alates teisest, on võrdne eelneva ja järgnevate liikmete geomeetrilise keskmisega (proportsionaalne).

Kuna ka vastupidine on tõsi, kehtib järgmine väide:

arvud a, b ja c on mingi geomeetrilise progressiooni järjestikused liikmed siis ja ainult siis, kui neist ühe ruut on võrdne kahe teise korrutisega, see tähendab, et üks arvudest on kahe ülejäänud geomeetriline keskmine.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Tõestame, et valemiga antud jada b n= -3 2 n , on geomeetriline progressioon. Kasutame ülaltoodud väidet. Meil on:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Seega

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

mis tõestab soovitud väidet. ◄

Pange tähele, et Kui iga naturaalarvu kohta Geomeetrilise progressiooni th liiget võib leida mitte ainult läbi b 1 , aga ka iga eelmine liige b k , mille jaoks piisab valemi kasutamisest

b n = b k · qn - k.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

Sest b 5 saab kirja panna

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

siis ilmselgelt

b n 2 = b n - k· b n + k

geomeetrilise progressiooni mis tahes liikme ruut alates teisest on võrdne selle progressiooni võrdsete vahedega liikmete korrutisega.

Lisaks kehtib mis tahes geomeetrilise progressiooni korral võrdsus:

b m· b n= b k· b l,

m+ ja naturaalarv= k+ l.

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

geomeetrilises progressioonis

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , sest

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

esiteks Kui iga naturaalarvu kohta geomeetrilise progressiooni liikmed nimetajaga q ≠ 0 arvutatakse valemiga:

Ja millal q = 1 - vastavalt valemile

S n= nb 1

Pange tähele, et kui teil on vaja tingimused kokku võtta

b k, b k +1 , . . . , b n,

siis kasutatakse valemit:

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

geomeetrilises progressioonis 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Kui on antud geomeetriline progressioon, siis suurused b 1 , b n, q, ja naturaalarv Ja S n ühendatud kahe valemiga:

Seega, kui on antud nendest kolmest suurusest mis tahes väärtused, määratakse nende valemite põhjal kahe teise suuruse vastavad väärtused, mis kombineeritakse kahe tundmatuga võrrandi süsteemiks.

Esimese liikmega geomeetrilise progressiooni jaoks b 1 ja nimetaja q toimuvad järgmised monotoonsuse omadused :

• progresseerumine suureneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 Ja q> 1;

b 1 < 0 Ja 0 < q< 1;

• Progressioon väheneb, kui on täidetud üks järgmistest tingimustest:

b 1 > 0 Ja 0 < q< 1;

b 1 < 0 Ja q> 1.

Kui q< 0 , siis on geomeetriline progressioon vahelduv: selle paaritute arvudega liikmetel on sama märk kui selle esimesel liikmel ja paarisarvulistel liikmetel on vastupidine märk. On selge, et vahelduv geomeetriline progressioon ei ole monotoonne.

Esimese toode Kui iga naturaalarvu kohta geomeetrilise progressiooni tingimusi saab arvutada järgmise valemi abil:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) ja naturaalarv / 2 .

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon

Lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon nimetatakse lõpmatuks geomeetriliseks progressiooniks, mille nimetaja moodul on väiksem 1 , see tähendab

|q| < 1 .

Pange tähele, et lõpmatult kahanev geomeetriline progressioon ei pruugi olla kahanev jada. See sobib juhuks

1 < q< 0 .

Sellise nimetaja korral on jada vahelduv. Näiteks

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa nimeta arv, millele esimeste summa piiranguteta läheneb Kui iga naturaalarvu kohta progresseerumise liikmed, mille arv kasvab piiramatult Kui iga naturaalarvu kohta . See arv on alati lõplik ja seda väljendatakse valemiga

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmeetilise ja geomeetrilise progressiooni seos

Aritmeetiline ja geomeetriline progressioon on omavahel tihedalt seotud. Vaatame vaid kahte näidet.

numbrijada 1 , numbrijada 2 , numbrijada 3 , . . . d , See

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

1, 3, 5, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega 2 Ja

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geomeetriline progressioon koos nimetajaga q , See

logi a b 1, logi a b 2, logi a b 3, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega logi aq .

, ehk valem, mis võimaldab määrata jada liikme selle numbri järgi.

2, 12, 72, . . . - geomeetriline progressioon nimetajaga 6 Ja

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmeetiline progressioon erinevusega lg 6 . ◄

Enne kui otsustama hakkame aritmeetilise progressiooni ülesanded, mõelgem, mis on arvujada, kuna aritmeetiline progressioon on erijuhtum numbrijada.

Numbrijada on numbrite hulk, mille igal elemendil on oma seerianumber. Selle hulga elemente nimetatakse jada liikmeteks. Jada elemendi seerianumbrit tähistab indeks:

Jada esimene element;

Jada viies element;

- jada “n-s” element, st. element "seisab järjekorras" numbril n.

Jadaelemendi väärtuse ja selle järjenumbri vahel on seos. Seetõttu võime jada pidada funktsiooniks, mille argumendiks on jada elemendi järgarv. Teisisõnu võime seda öelda jada on loomuliku argumendi funktsioon:

Järjestust saab määrata kolmel viisil:

1 . Järjekorda saab määrata tabeli abil. Sel juhul määrame lihtsalt jada iga liikme väärtuse.

Näiteks otsustas Keegi võtta isikliku ajajuhtimise ja alustuseks kokku lugeda, kui palju aega ta nädala jooksul VKontakte'is veedab. Aja tabelisse salvestades saab ta seitsmest elemendist koosneva jada:

Tabeli esimene rida näitab nädalapäeva numbrit, teine ​​- kellaaega minutites. Näeme, et see tähendab esmaspäeval, et keegi veetis VKontakte'is 125 minutit, see tähendab neljapäeval - 248 minutit ja see tähendab, et reedel ainult 15.

2 . Jada saab täpsustada n-nda termini valemi abil.

Sel juhul väljendatakse jadaelemendi väärtuse sõltuvust selle arvust otse valemi kujul.

Näiteks kui , siis

Antud arvuga jadaelemendi väärtuse leidmiseks asendame elemendi numbri n-nda liikme valemis.

Teeme sama, kui peame leidma funktsiooni väärtuse, kui argumendi väärtus on teada. Asendame argumendi väärtuse funktsiooni võrrandisse:

Kui näiteks , See

Lubage mul veel kord märkida, et jadas saab erinevalt suvalisest arvfunktsioonist argumendiks olla ainult naturaalarv.

3 . Jada saab määrata valemiga, mis väljendab jadaliikme numbri n väärtuse sõltuvust eelmiste liikmete väärtustest.

Näiteks kaaluge järjestust ,

Leiame jadaliikmete väärtused ükshaaval, alustades kolmandast:

See tähendab, et iga kord, et leida jada n-nda liikme väärtus, pöördume tagasi kahe eelmise juurde. Seda jada määramise meetodit nimetatakse korduv, ladinakeelsest sõnast recurro- tule tagasi.

Nüüd saame määratleda aritmeetilise progressiooni. Aritmeetiline progressioon on arvujada lihtne erijuhtum.

Aritmeetiline progressioon on arvjada, mille iga liige alates teisest on võrdne samale arvule liidetud eelmisega.

Numbrile helistatakse aritmeetilise progressiooni erinevus. Aritmeetilise progressiooni erinevus võib olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} suureneb.

Näiteks 2; 5; 8; 11;...

Kui , siis on aritmeetilise progressiooni iga liige väiksem kui eelmine ja progressioon on väheneb.

Näiteks 2; -1; -4; -7;...

Kui , siis kõik progressiooni tingimused on võrdsed sama arvuga ja progressioon on paigal.

Näiteks 2;2;2;2;...

Aritmeetilise progressiooni peamine omadus:

Vaatame pilti.

Me näeme seda

, ja samal ajal

Lisades need kaks võrdsust, saame:

.

Jagame võrdsuse mõlemad pooled 2-ga:

Seega on iga aritmeetilise progressiooni liige, alates teisest, võrdne kahe naaberliikme aritmeetilise keskmisega:

Pealegi, kuna

, ja samal ajal

, See

, ja seetõttu

Aritmeetilise progressiooni iga liige, mis algab tähega title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termini valem.

Näeme, et aritmeetilise progressiooni tingimused vastavad järgmistele seostele:

ja lõpuks

Saime n-nda liikme valem.

TÄHTIS! Iga aritmeetilise progressiooni liiget saab väljendada läbi ja. Teades esimest liiget ja aritmeetilise progressiooni erinevust, võite leida selle mis tahes liikme.

Aritmeetilise progressiooni n liikme summa.

Suvalises aritmeetilises progressioonis on äärmuslikest võrdsel kaugusel olevate liikmete summad üksteisega võrdsed:

Vaatleme n liikmega aritmeetilist progressiooni. Olgu selle progressiooni n liikmete summa võrdne .

Järjestame progresseerumise tingimused esmalt arvude kasvavas ja seejärel kahanevas järjekorras:

Lisame paarikaupa:

Igas sulus olev summa on , paaride arv on n.

Saame:

Niisiis, aritmeetilise progressiooni n liikme summa saab leida valemite abil:

Mõelgem aritmeetilise progressiooniülesannete lahendamine.

1 . Jada antakse n-nda liikme valemiga: . Tõesta, et see jada on aritmeetiline progressioon.

Tõestame, et jada kahe kõrvuti asetseva liikme vahe on võrdne sama arvuga.

Leidsime, et jada kahe kõrvutise liikme vaheline erinevus ei sõltu nende arvust ja on konstant. Seetõttu on see jada definitsiooni järgi aritmeetiline progressioon.

2 . Antud aritmeetiline progressioon -31; -27;...

a) Leia progressiooni 31 liiget.

b) Tehke kindlaks, kas arv 41 sisaldub selles progressioonis.

A) Me näeme seda;

Kirjutame üles oma progressiooni n-nda liikme valemi.

Üldiselt

Meie puhul , Sellepärast

Või aritmeetika on järjestatud arvjada tüüp, mille omadusi uuritakse koolikursus algebra. Selles artiklis käsitletakse üksikasjalikult küsimust, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa.

Mis edasiminek see on?

Enne küsimuse juurde asumist (kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat) tasub aru saada, millest jutt.

Igasugust reaalarvude jada, mis saadakse igast eelnevast arvust mingi väärtuse liitmisel (lahutamisel), nimetatakse algebraliseks (aritmeetiliseks) progressiooniks. See määratlus on matemaatilise keelde tõlgituna järgmine:

Siin on i rea a i elemendi seerianumber. Seega, teades ainult ühte stardinumbrit, saate hõlpsalt taastada kogu seeria. Valemis olevat parameetrit d nimetatakse progresseerumise erinevuseks.

On lihtne näidata, et vaadeldava arvude jada puhul kehtib järgmine võrdsus:

a n = a 1 + d* (n - 1).

See tähendab, et järjekorras n-nda elemendi väärtuse leidmiseks tuleks esimesele elemendile a lisada vahe d 1 n-1 korda.

Mis on aritmeetilise progressiooni summa: valem

Enne näidatud summa valemi andmist tasub kaaluda lihtsat erijuhtumit. Arvestades naturaalarvude progresseerumist 1-st 10-ni, peate leidma nende summa. Kuna progressioonis (10) on vähe liikmeid, on võimalik ülesanne lahendada otse, st kõik elemendid järjestikku summeerida.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Üks asi, mida tasub kaaluda huvitav asi: kuna iga liige erineb järgmisest sama väärtusega d = 1, siis esimese paariline liitmine kümnendaga, teine ​​üheksandaga ja nii edasi annab sama tulemuse. Tõesti:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Nagu näete, on neid summasid ainult 5, see tähendab täpselt kaks korda vähem kui seeria elementide arv. Seejärel korrutades summade arvu (5) iga summa tulemusega (11), jõuate esimeses näites saadud tulemuseni.

Kui me need argumendid üldistame, saame kirjutada järgmise avaldise:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

See avaldis näitab, et ei ole üldse vaja rea ​​kõiki elemente summeerida, piisab, kui teada esimese a 1 ja viimase a n väärtust, samuti koguarv n tingimusi.

Arvatakse, et Gauss oli esimene, kes mõtles sellele võrdsusele, kui ta otsis lahendust antud probleemile. kooli õpetajaülesanne: liita esimesed 100 täisarvu.

Elementide summa m-st n-ni: valem

Eelmises lõigus toodud valem vastab küsimusele, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summa (esimesed elemendid), kuid sageli on ülesannetes vaja summeerida arvjada progressiooni keskel. Kuidas seda teha?

Lihtsaim viis sellele küsimusele vastata on vaadeldes järgmist näidet: olgu vaja leida liikmete summa m-st n-ndani. Ülesande lahendamiseks peaksite esitama progressiooni antud lõigu m-st n-ni uue arvurea kujul. Selles m-nda esitus liige a m on esimene ja a n nummerdatakse n-(m-1). Sel juhul saadakse summa standardvalemit kasutades järgmine avaldis:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Näide valemite kasutamisest

Teades, kuidas leida aritmeetilise progressiooni summat, tasub kaaluda lihtsat näidet ülaltoodud valemite kasutamisest.

Allpool on numbriline jada, peaksite leidma selle liikmete summa, alustades 5-ndast ja lõpetades 12-ndaga:

Antud numbrid näitavad, et erinevus d on võrdne 3-ga. Kasutades n-nda elemendi avaldist, leiate progressiooni 5. ja 12. liikme väärtused. Selgub:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Teades vaadeldava algebralise progressiooni otstes olevate arvude väärtusi, samuti teades, milliseid numbreid seerias need hõivavad, saate kasutada eelmises lõigus saadud summa valemit. Selgub:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Väärib märkimist, et selle väärtuse võib saada erinevalt: kõigepealt leidke standardvalemi abil esimese 12 elemendi summa, seejärel arvutage sama valemi abil esimese 4 elemendi summa, seejärel lahutage esimene summast teine.

I. V. Jakovlev | Matemaatika materjalid | MathUs.ru

Aritmeetiline progressioon

Aritmeetiline progressioon on eritüüp järeljada. Seetõttu peame enne aritmeetilise (ja seejärel geomeetrilise) progressiooni määratlemist lühidalt arutama oluline mõiste numbrijada.

Järjekord

Kujutage ette seadet, mille ekraanil kuvatakse üksteise järel teatud numbreid. Oletame, et 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : See arvude komplekt on täpselt jada näide.

Definitsioon. Numbrijada on arvude kogum, milles igale numbrile saab omistada kordumatu numbri (st seostada ühe naturaalarvuga)1. Arvu n nimetatakse jada n-ndaks liikmeks.

Seega on ülaltoodud näites esimene arv 2, see on jada esimene liige, mida saab tähistada a1-ga; number viis on number 6 on jada viies liige, mida saab tähistada tähega a5. üldse, n-s tähtaeg järjestusi tähistatakse tähega (või bn, cn jne).

Väga mugav on olukord, kui jada n-nda liikme saab määrata mingi valemiga. Näiteks valem an = 2n 3 määrab jada: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Valem an = (1)n määrab jada: 1; 1; 1; 1; : : :

Mitte iga numbrikomplekt ei ole jada. Seega ei ole segment jada; see sisaldab "liiga palju" numbreid, et neid ümber nummerdada. Kõigi reaalarvude hulk R ei ole samuti jada. Need faktid on tõestatud matemaatilise analüüsi käigus.

Aritmeetiline progressioon: põhimõisted

Nüüd oleme valmis defineerima aritmeetilise progressiooni.

Definitsioon. Aritmeetiline progressioon on jada, milles iga liige (alates teisest) on võrdne eelmise liikme ja mõne fikseeritud arvu (mida nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks) summaga.

Näiteks jada 2; 5; 8; 11; : : : on aritmeetiline progressioon esimese liikmega 2 ja erinevusega 3. Jada 7; 2; 3; 8; : : : on aritmeetiline progressioon esimese liikmega 7 ja erinevusega 5. Jada 3; 3; 3; : : : on aritmeetiline progressioon, mille erinevus on võrdne nulliga.

Ekvivalentne definitsioon: jada an nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks, kui erinevus an+1 an on konstantne väärtus (sõltumatu n-st).

Aritmeetilist progressiooni nimetatakse suurenevaks, kui selle erinevus on positiivne, ja kahanevaks, kui erinevus on negatiivne.

1 Siin on aga kokkuvõtlikum määratlus: jada on naturaalarvude hulgal defineeritud funktsioon. Näiteks reaalarvude jada on funktsioon f: N ! R.

Vaikimisi peetakse jadasid lõpmatuteks, see tähendab, et need sisaldavad lõpmatu arvu arve. Kuid keegi ei sega meid lõplike jadadega arvestamast; tegelikult võib iga lõplikku arvude hulka nimetada lõplikuks jadaks. Näiteks lõpujada on 1; 2; 3; 4; 5 koosneb viiest numbrist.

Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem

On lihtne mõista, et aritmeetiline progressioon on täielikult määratud kahe numbriga: esimene liige ja erinevus. Seetõttu tekib küsimus: kuidas, teades esimest liiget ja erinevust, leida aritmeetilise progressiooni suvaline liige?

Hangi vajalik valem Aritmeetilise progressiooni n-s liige ei ole keeruline. Laske an

Ülesanne 1. Aritmeetilises progressioonis 2; 5; 8; 11; : : : leia n-nda liikme valem ja arvuta sajanda liige.

Lahendus. Vastavalt valemile (1) on meil:

an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmeetilise progressiooni omadus ja märk

Aritmeetilise progressiooni omadus. Aritmeetilises progressioonis an mis tahes jaoks

Teisisõnu, iga aritmeetilise progressiooni liige (alates teisest) on tema naaberliikmete aritmeetiline keskmine.

mida nõutigi.

Üldisemalt, aritmeetiline progressioon an rahuldab võrdsust

a n = a n k+ a n+k

mis tahes n > 2 ja loomuliku k korral< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Selgub, et valem (2) ei ole mitte ainult vajalik, vaid ka piisav tingimus, et jada oleks aritmeetiline progressioon.

Aritmeetiline progressioonimärk. Kui võrdus (2) kehtib kõigi n > 2 kohta, on jada an aritmeetiline progressioon.

Tõestus. Kirjutame valemi (2) ümber järgmiselt:

a na n 1= a n+1a n:

Sellest näeme, et erinevus an+1 an ei sõltu n-st ja see tähendab täpselt, et jada an on aritmeetiline progressioon.

Aritmeetilise progressiooni omaduse ja märgi saab sõnastada ühe väite kujul; Mugavuse huvides teeme seda kolme numbri jaoks (see on olukord, mis probleemide korral sageli ette tuleb).

Aritmeetilise progressiooni iseloomustus. Kolm arvu a, b, c moodustavad aritmeetilise progressiooni siis ja ainult siis, kui 2b = a + c.

Ülesanne 2. (MSU, Majandusteaduskond, 2007) Kolm arvu 8x, 3 x2 ja 4 näidatud järjekorras moodustavad kahaneva aritmeetilise progressiooni. Leidke x ja märkige selle progressiooni erinevus.

Lahendus. Aritmeetilise progressiooni omaduse järgi on meil:

2(3x2) = 8x4, 2x2 + 8x10 = 0, x2 + 4x5 = 0, x = 1; x = 5:

Kui x = 1, siis saame kahaneva progressiooni 8, 2, 4 erinevusega 6. Kui x = 5, siis saame kasvava progressiooni 40, 22, 4; see juhtum ei sobi.

Vastus: x = 1, erinevus on 6.

Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa

Legend räägib, et ühel päeval käskis õpetaja lastel leida arvude summa 1–100 ja istus vaikselt ajalehte lugema. Kuid mõne minuti jooksul ütles üks poiss, et on probleemi lahendanud. See oli 9-aastane Karl Friedrich Gauss, hiljem üks neist suurimad matemaatikud ajaloos.

Väikese Gaussi idee oli järgmine. Lase

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Kirjutame selle summa vastupidises järjekorras:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ja lisage need kaks valemit:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Iga sulgudes olev termin on võrdne 101-ga ja seega on selliseid termineid kokku 100

2S = 101 100 = 10100;

Kasutame seda ideed summa valemi tuletamiseks

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Valemi (3) kasulik modifikatsioon saadakse, kui asendame sellega n-nda liikme valemi an = a1 + (n 1)d:

Ülesanne 3. Leidke kõigi 13-ga jaguvate positiivsete kolmekohaliste arvude summa.

Lahendus. Kolmekohalised arvud, mis on 13-kordsed, moodustavad aritmeetilise progressiooni, mille esimene liige on 104 ja erinevus on 13; Selle progresseerumise n-s liige on kujul:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Uurime välja, kui palju termineid meie edenemine sisaldab. Selleks lahendame ebavõrdsuse:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Seega on meie arengus 69 liiget. Valemi (4) abil leiame vajaliku summa:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2