MBOU SOSH No1 село Новобелокатай

Работна тема:

"Най-добрият ми урок"

Учител по математика:

Мухаметова Фаузия Караматовна

Тема преподава математика

2014

Тема на урока:

„Нестандартен начин за решаване на логаритмични неравенства“

Клас 11 ( ниво на профила)

Форма на урока комбинирани

Цели на урока:

Усвояване на нов метод за решаване на логаритмични неравенства и способност за прилагане на този метод при решаване на задачи C3 (17) от изпита 2015 по математика.

Цели на урока:

- Образователни:систематизира, обобщава, разширява уменията и знанията, свързани с прилагането на методи за решаване на логаритмични неравенства; Способност за прилагане на знания при решаване на задачи от изпита 2015 по математика.

Развиване : да се формират уменията за самообразование, самоорганизация, способност за анализ, сравнение, обобщаване, извеждане на изводи; Развитие на логическо мислене, внимание, памет, перспектива.

Образователни: насърчават независимостта, способността да слушат другите, способността да общуват в група. Повишен интерес към решаване на проблеми, формиране на самоконтрол и активиране на умствената дейност в процеса на изпълнение на задачите.

Методологична база:

Здравоспестяваща технология според V.F. Базарни;

Технология за обучение на много нива;

Технология за групово обучение;

Информационни технологии (придружаващи урока с презентация),

Форми на организация учебни дейности : фронтален, групов, индивидуален, независим.

Оборудване: учениците на работното място имат листове за оценка, карти с самостоятелна работа, презентация на урока, компютър, мултимедиен проектор.

Стъпки на урока:

1. Организиращо време

Учител Здравейте момчета!

Радвам се, че ви виждам всички на урока и се радвам на съвместна ползотворна работа.

2. Мотивационен момент: написано в презентациятаИКТ технология

Нека епиграфът на нашия урок са думите:

„Ученето може да бъде само забавно ...

За да усвоите знанието, трябва да го усвоите с апетит "Анатол Франц.

Така че нека бъдем активни и внимателни, тъй като знанията ще ни бъдат полезни при полагане на изпита.

3. Етап на поставяне и цели на урока:

Днес в урока ще изучаваме решението на логаритмичните неравенства нестандартен метод... Тъй като на решението на цялата опция са дадени 235 минути, задачата С3 се нуждае от около 30 минути, така че трябва да намерите такова решение, за да можете да отделите по-малко време. Задачите са взети от учебниците по математика на USE за 2015 г.

4. Етапът на актуализиране на знанията.

Технология за оценка на образователния успех.

На бюрата имате листове за оценка, които учениците попълват по време на урока, в края те се предават на учителя. Учителят обяснява как да попълни класа.

Успехът на задачата се отбелязва със символа:

"!" - говоря свободно

"+" - Мога да реша, понякога греша

"-" - все още трябва да работим

4. Фронтална работа

Дефиницията на логаритмичните неравенства се повтаря. Известни методи за решения и техният алгоритъм, базирани на конкретни примери.

Учител.

Момчета, нека погледнем екрана.Да решим устно.

1) Решете уравнението

2) Изчислете

a B C)

Напишете съответното число в таблицата, предоставена в отговора под всяка буква.

Отговор:

Етап 5 Изучаване на нов материал

Технология за учене на проблеми

Учител

Нека да разгледаме слайда. Необходимо е да се реши това неравенство. Как може да се реши това неравенство? Теория за учителя:

Метод на разлагане

Методът на декомпозицията се състои в замяна на сложния израз F (x) с по-прост израз G (x), за който неравенството G (x) ^ 0 е еквивалентно на неравенството F (x) ^ 0 в областта на F (x ).

Има няколко израза F и съответно разлагане Gs, където k, g, h, p, q са изрази с променливах (h\u003e 0; h ≠ 1; f\u003e 0, k\u003e 0), a е фиксирано число (a\u003e 0, a ≠ 1).

Някои последствия могат да бъдат изведени от тези изрази (като се вземе предвид обхватът на дефиницията):

0 ⬄ 0

В посочените еквивалентни преходи символът ^ замества един от знаците за неравенство:\u003e,

На слайда има задание, което се анализира от учителя.

Да разгледаме пример за решаване на логаритмично неравенство по два метода

1. Метод на интервалите

O.D.Z.

а) б)

Отговор: (;

Учител

Можете да разрешите това неравенство по друг начин.

2. Метод на разлагане

Отговор

На примера за решаване на това неравенство се уверихме, че е по-целесъобразно да се използва методът на разлагане.

Помислете за прилагането на този метод за няколко неравенства

Упражнение 1

Отговор: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0; 3)

Quest2

Мишенкина Татяна Ивановна
учител по математика
I квалификационна категория
MBOU "Лицей No 9 на името на А. С. Пушкин
ZMR RT "
Урок в 10 клас на тема „Логаритмични неравенства“
Цели: а) образователни: ▪ актуализиране на основните знания при решаване на логаритмични неравенства;
▪ обобщаване на знания и решения; ▪ контрол и самоконтрол на знанията. б) развиване: ▪ развитие на умения за прилагане на знания в конкретна ситуация; ▪ развитие на умения за прилагане на теоретични умения в практически дейности; ▪ развитие на способността за сравнение, обобщаване, правилно формулиране и изразяване на мисли; учебен материал.в) образователни: ▪ възпитаване на умения за самоконтрол и взаимен контрол; ▪ насърчаване на култура на общуване, способност за работа в екип, взаимопомощ; ▪ насърчаване на качества на характера като постоянство в постигането на целите, способност да не се изгубете се в проблемни ситуации.
Технологии, използвани в урока: технология на диференцирано и многостепенно обучение; технология за съвместно обучение, технология за индивидуални групи.
Оборудване: проектор, бяла дъска, карти със задачи, листове с резултати.
Задачи: - да затвърди способността за решаване на логаритмични неравенства
- разгледайте типичните трудности, срещани при решаването на логаритмични неравенства
- запознайте се с метода на „рационализация” при решаване на логаритмични неравенства
По време на занятията
Всеки ученик има лист за оценка на масата (виж Приложение №1).
Актуализация на знанията (0-5b)
(самочувствие) Бизнес игра
(0-5b)
(оценява се от учителя) Работа по карти
(0-4б)
(оценява раменния партньор) Работа с формули
(0-3b)
(самооценка) След всеки етап се попълва листът, който ще даде възможност за оценка на работата в урока, за идентифициране на задачи за премахване на пропуските в знанията. За правилния отговор ученикът въвежда точки в листа за оценка.
I. Какви асоциации можете да направите с концепцията за логаритъм? Очакван отговор на ученика:
(логаритмични уравнения, логаритмични неравенства, логаритмична функция и др.)
Всъщност ние вече знаем много за логаритмите: можем да сравняваме логаритми, да решаваме най-простите логаритмични уравнения и неравенства, да начертаваме графиките на логаритмична функция.
Решаването на логаритмични неравенства има много общо с решаването на експоненциални неравенства
а) при преминаване от логаритми към изрази под знака на логаритъма, ние също сравняваме основата на логаритъма с един
б) ако решим логаритмичното неравенство, като използваме промяна на променливите, тогава трябва да решим по отношение на промяната, докато се получи най-простото неравенство
Има обаче много важна разлика: тъй като логаритмичната функция има ограничена област на дефиниция, при преминаване от логаритми към изрази под знака на логаритми е необходимо да се вземе предвид диапазонът на допустимите стойности.
II.Актуализиране на основни знания:
1) Припомнете свойствата на логаритмичната функция (слайд 3)
2) Нека изпълняваме задачи, като използваме свойствата на логаритмичната функция
Задача 1: Намерете обхвата на функция (слайд 4)
а) y \u003d log191x2 b) y \u003d log2,13-x c) y \u003d log5I7x-1I
Задача 2. Сравнете стойностите на логаритъма с нула (слайд 5)
а) lg 7 б) log0.43 в) ln0.7
Задача 3. Разрешаване на неравенството: (слайд 6)
а) log0.3 x\u003e log0.3 5 b) log2x< log28 в)log0,5x<0
Използвайки логаритми, можете да сравнявате числа (слайд 7)
3) Логаритмична комедия.
Сега ще ви докажа, че 2\u003e 3.
Нека започнем с неравенството 14\u003e 18, което е безспорно вярно. Тогава следва преобразуването lg122\u003e lg123, което също е без съмнение, така че 2\u003e 3, т.е. ... Разделяме двете страни на неравенството на, имаме 2\u003e 3.
Опитайте се да решите софистиката. (Математическият софизъм е умишлено невярно заключение, което изглежда изглежда правилно).
4) Нека продължим да решаваме софизми. Намерете грешката при решаването на следните неравенства.
Бизнес игра: учениците действат като експерти (точки се дават за правилни отговори)
Задача 4. Намерете грешката при решаване на неравенството: (слайд 8)
1.а) log8 (5x-10)< log8(14-х),
5x-10< 14-x,
6x< 24,
х< 4.
Отговор: (-∞; 4).
Грешка: Домейнът на неравенството не е взет под внимание.
Правилното решение:
log8 (5x-10)< log8 (14-х) (слайд 9)
5x-10\u003e 0,14-x\u003e 0,5x-10<14-x; x>2, х<14,x<4; 2 2.log3x + 2 + log3x≤1log3x + 2x≤log33 (слайд 10)
xx + 2\u003e 0, xx + 2≤3 xx + 2\u003e 0x2 + 2x-3≤0 x<-2,х>0; -3≤x≤1 -3≤x<-20 Правилно решение log3x + 2 + log3x≤1 log3x + 2x≤log33 x + 2\u003e 0, x\u003e 0, xx + 2≤3 x\u003e -2, x\u003e 0, -3≤x≤1 0<х≤1.
Отговор: (0: 1.3. Log0.5 (3x + 1)< log0,5(2-х) (слайд11)
3x + 1\u003e 0,2-x\u003e 0,3x + 1<2-x; x> -13, х<2,x<14; -13 На какво трябва да обърнем специално внимание при решаване на логаритмични неравенства? Какво мислиш?
ВНИМАНИЕ! (слайд 12)
1. ODZ на първоначалното неравенство. 2. Основата на логаритъма.
В края на работата учениците попълват лист за оценка.
III. Работа с карти (виж приложение 2)
Решете неравенството в тетрадка, запишете отговора в таблицата (колона 2), запишете формулата, използвана за решаване на неравенството (колона 3).
Решаване на неравенството отговор Кои формули са използвани
1. lg (x-2) + lg (27 - x)< 2
2.log3 (x + 2) (x + 4) + log1 / 3 (x + 2)< 0,5 log√3 7
3. log4 x2< log2 (4 – x) + log2 (3 - x)
x + 3
4.logx ------\u003e 1
x-1 Проверете с партньор на рамото, след това напишете верните отговори на дъската, обсъдете формулите
loga (xy) \u003d logaIxI + logaIyIloga (x / y) \u003d logaIxI - logaIyIlogax2 \u003d 2logaIxI

IV. Когато се решава неравенство # 4, възниква въпросът: как да се реши? Като се имат предвид свойствата на логаритмичната функция, трябва да се вземат предвид 2 случая:
1) основа на логаритъма 0< а < 1 2) основание логарифма а> 1.
Има метод, който улеснява разрешаването на неравенството. Нека го наречем метод „рационализация“.
Той се основава на следния факт: знакът за разликата loga f (x) - loga g (x) съвпада със знака на продукта (a - 1) (f (x) –g (x)) на ODZ , т.е.
loga f (x)\u003e loga g (x)<=> f (x)\u003e 0, g (x)\u003e 0, (a - 1) (f (x) –g (x))\u003e 0.
(това твърдение е лесно за доказване, опитайте сами).
Решете неравенство # 5 с този метод
№ 5.log1 / 4 (3x + 8)
Сега разгледайте неравенството logh (x) f (x)\u003e logh (x) g (x)\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1 и намерете съответните условия на еквивалентност. ODZ на това неравенство: f (x)\u003e 0, g (x)\u003e 0, имаме (h (x) - 1) (f (x) - g (x))\u003e 0
Освен това, неравенство No 4 (от картата) - учениците решават сами, ръководителите на групи оценяват.
№ 6. (lg (3x2-3x + 7) - lg (6 + x-x2)) / (10x-7) (10x-3) ≥ 0
(задачата се разглежда на дъската от учителя)
Така че, когато се решават логаритмични неравенства, може да се използват еквивалентни преходи в диапазона на допустимите стойности на променливите.
V. Семинар за решаване на неравенства. (Предлага се задача за работа в групи с дискусия, проверка на дъската)
№ 7. (log0.5 (x + 1)) / (x-4)<0
# 8. (log2 (x-3)) / (x2-25)\u003e 0
№ 9.log2x (x2-5x + 6)<1
# 10.log3x + 5 (9x2 + 8x + 8)\u003e 2
# 11.logx-3 (2 (x2-10x + 24)) ≥logx-3 (x2-9)
Vi. Домашна работа: намерете и разрешете 5 неравенства за прилагане на новия метод
Vii. Отражение.
- какво ново научих в урока
- къде ще кандидатстваме
- какви трудности са изпитани
VIII. Обобщаване на урока. Точкуване, предайте резултатите.

Папката съдържа основни бележки за урока, лист за самоконтрол, технологична карта на урока, самоанализ на урока, презентация за урока. Урокът беше показан на областния семинар за учители по математика и беше високо оценен.

"един. Подкрепящ конспект - Видове неравенства и тяхното разрешаване "

Подкрепящи бележки №1„Видове неравенства и тяхното решение“

Тип неравенство	Решение
Линейна
Квадратичен	Графичен метод: 1. Намерете корените на уравнението (2) Изградете модел на парабола на координатната линия (a 0, разклонява се нагоре; и 3. Записваме интервалите в отговор.
Рационално f (x) 0, f (x) където f (x) е рационален израз. Специални случаи: (в знаменателя - пробити точки) (n - дори, знаците не се променят)	Метод на разстоянието: 1) Настоящ лява страна неравенства под формата на функция y \u003d f (x). 2) Намерете домейна на функцията (за която тази функция има смисъл). 3) Намерете корените на функцията (нули на функцията). 4) Определете интервалите на постоянство. 5) Определете знака на функцията на всеки интервал. 6) Запишете стойностите на x, за които неравенството е вярно.
1) 2)
Нерационално с четна степен
Нерационално със странна степен
Показателно
Логаритмично
Тригонометрична:	Когато решавате, използвайте тригонометричен кръг или графика на съответната функция
С модул: 1) | x | а 2) | x | a	1) -а 2)

Преглед на съдържанието на документа
„четири. Поддържащи бележки -Логаритми "

Подкрепящи бележки № 4

Определение:

Логаритъм положително число бна положителна и не-една основа ие степента, до която искате да увеличите числото и, Придобивам б.

ОТНОСНО

основни логаритмични идентичности:

Логаритмична функция:където

Преглед на съдържанието на документа
"Маршрутизиране"

Маршрутизиране урок

Дидактически задачи на етапите на урока

Технология за обучение

Преглед на съдържанието на документа
„2. Подкрепящ синопсис - еквивалентни трансформации "

Определение:за две неравенства с една променлива се казва, че са еквивалентни, ако техните решения съвпадат.

Еквивалентни трансформации:

положителен за всички X от неравенството на GDL, като запазваме знака на неравенството, тогава се получава неравенството f (x) h (x) g (x) h (x), което е еквивалентно на даденото;

ако и двете страни на неравенството f (x) g (x) се умножат по израза h (x), отрицателен за всички X от неравенството на GCD, променяйки знака на неравенството в противоположен, тогава получаваме неравенството f (x) h (x) g (x) h (x), което е еквивалентно на даденото;

ако и двете страни на неравенството f (x) g (x) са повдигнати до една и съща нечетна степен

ако и двете страни на неравенството f (x) g (x) неотрицателен в HHO, след това след изграждането на двете части в една и съща дори степен n, като запазваме знака на неравенството, тогава получаваме неравенството f n (x) g n (x), което е еквивалентно на даденото;

експоненциалното неравенство a f (x) a g (x) е еквивалентно на неравенството:

• f (x) g (x), ако a 1;

  f (x) g (x), ако 0 a

логаритмичното неравенство log a f (x) log a g (x), където f (x) 0 и g (x) 0, е еквивалентно на неравенството:

• f (x) g (x), ако a 1;

  f (x) g (x), ако 0 a

Набор от неравенства

Съвкупно решение: съюз решения на всички неравенства в съвкупност.

Система от неравенства

Системно решение: пресичане решения на всички неравенства в системата.

Преглед на съдържанието на документа
„3. Подкрепящ конспект - Методи за решаване на неравенства "

Поддържащ конспект № 3

"Методи за решаване на неравенства"

Намаляване на неравенството до еквивалентна система или набор от системи

Съдържащи неравенства

ирационални изрази изрази с модул

Неравенства, съдържащи експоненциални изрази (потенциране)

Неравенства, съдържащи логаритмични изрази (логаритми)

Метод на разделяне на неравенствата

Метод на замяна

Метод на обобщен интервал

Ще разгледаме неравенствата във формата f (x) 0, където f (x) е логаритмично, експоненциално, ирационално или тригонометрична функция.

Нашите действия ще бъдат както следва:

1) Намерете домейна f (x)

2) Намерете нулите на f (x)

3) Определяме знаците на ODZ (който е разделен на интервали от нулите на функцията), като заместваме удобни стойности, принадлежащи на всеки интервал.

4) Записваме отговора, посочвайки обединението на интервалите (от ODZ), на което f (x) има съответния знак.

Преглед на съдържанието на документа
Лист за самоконтрол

Лист за самопроверка

F.I. _________________________________________

Урок за самоанализ

Къде този урок се вписва в темата? Как този урок се свързва с предишния?

Подготовка за Единния държавен изпит - дистанционно обучение - тема „Неравенства“.

Кратки психологически и педагогически характеристики на групата (броят на присъстващите ученици, броят на „слабите“ и „силните“ ученици, активността на учениците в урока, организацията и готовността за урока)

Силни - 2 (Джулия, Алена). Средно - 4 (Сергей, Сергей, Елдар, Кирил). Слаб - 2 (Андрей, Катя)

За да оцените успеха в постигането на целите на урока, обосновете показателите за реалността на урока.

Теория на рецензиите -

За консолидиране на теорията на практика -

Помня различни методи решения на неравенствата -

Запознайте се с друг метод - рационализация -

Главна сцена - да научи да изгражда план за решаване на неравенството, да избере рационални методи за решаване.

Рационално ли беше разпределено времето, разпределено за всички етапи от урока? Логични ли са „връзките“ между етапите? Покажете как са работили другите етапи на основната сцена.

6. Избор на дидактически материали, TCO, визуални помагала, раздаващи материали в съответствие с целите на урока.

7. Как се организира контролът върху усвояването на знания, способности и умения на учениците?

8. Психологическа атмосфера в класа

9. Как оценявате резултатите от урока? Успяхте ли да постигнете всички цели на урока? Ако не, защо не?

10. Очертайте перспективите за тяхната дейност.

Вижте съдържанието на презентацията
"Презентация за урока"

Тайната на успеха е в малките неща

Успешно завършване на GIA

• висококачествено теоретично обучение
• висококачествено практическо обучение (познаване на методите за рационално решение)
• самоконтрол, саморегулация
• точно разпределение на времето за изпълнение на задачата
• правилна регистрация на изпитната работа
• емоционално отношение

УПОТРЕБА 2015 (профил)

Среден резултат в Русия - 49, 6

Средна оценка за Територията на Перм – 47

Средна оценка за Пермския регион -

Подготовка за изпита 2016г

Среден резултат от учебни работи от 11 клас - 50, 52, 58

Тема: "Решаване на логаритмични неравенства"

Цели:

• повторете теоретичен материал;
• изпълни практическа работа, припомнете методите за решаване на логаритмични неравенства;
• научете се да намирате рационални решения;
• изграждане на алгоритъм за решаване на неравенството;
• разпределете време за завършване на работата;
• правилно подредете работата;
• развийте волева саморегулация (способността да се мобилизирате за решаване на проблем).

Решаване на неравенства

Основните видове неравенства и начини за тяхното разрешаване

Еквивалентни трансформации на неравенства

Методи за решаване на неравенства

Определение и свойства на логаритъма

Логаритмична функция, нейните свойства и графика

Преглед на заданията

№ 1

Преобразувайте изрази, използвайки свойства на логаритъма

Преглед на заданията

№ 2

Покажете число като логаритъм към основа 2

№ 3

Изчисли:

Преглед на заданията

№ 4

Разберете при какви стойности х има логаритъм

1 функция __________, знак за неравенство _______ при 0 монотонността на логаритмичната функция се увеличава не се променя намалява промяна "width \u003d" 640 "

Решение на най-простите логаритмични неравенства

При решаване на най-простите логаритмични неравенства

следва да се счита ___________________________

• за a 1, функцията __________, знакът за неравенство _______
• в 0

монотонност на логаритмичната функция

се увеличава

не се променят

намалява

промяна

Решаване на неравенства

Групова работа: направете план за разрешаване на неравенството

Метод на заместване

Решете сами неравенствата

Свойства на логаритмичната функция

Метод на разстоянието

Свойства на логаритъма

Преход към еквивалентна система

Проверете

Проверете

Проверете

Проверете

Проверете

0 метод на интервали, разделящи неравенството друг метод на интервали, разделящи неравенството друг метод към основата 5 вляво, разлика в квадратите друг метод - метод на интервали, разделящи неравенството друг метод - метод на рационализация метод на рационализация Теорема: изрази log ab и (b - 1 ) (а - 1) имат същите знаци на ODZ на логаритъма "width \u003d" 640 "

Майсторски клас

План за решение:

План за решение:

• към база 5
• наляво
• разлика в квадратите
• произведение от сумата и разликата на два логаритъма
• произведение на два логаритма 0 интервален метод, разделящ неравенството друг начин
• интервален метод
• разделяне на неравенството
• друг начин

• към база 5
• наляво
• разлика в квадратите
• произведение от сумата и разликата на два логаритъма
• произведение на два логаритма 0 интервален метод, разделящ неравенството друг начин -
• интервален метод
• разделяне на неравенството
• друг начин -

метод за рационализация

• метод за рационализация

Теорема : изрази дневник и б и ( б – 1) (а – 1 )

Теорема : изрази дневник и б и ( б – 1) (а – 1 ) имат същите знаци на ODZ на логаритъма

Доказателства

Теорема : изрази дневник и б и ( б – 1) (а – 1 ) имат същите знаци на ODZ на логаритъма

Изход: при решаването на неравенството можем да заменим

даден ODZ логаритъм ако

• нула вдясно;
• от лявата страна е логаритъмът или произведението (коефициент) с логаритъма.

Решаване на неравенства по нов рационален начин :

План за решение:

• заменете логаритъма с (a -1) (b-1)
• запишете отговора, като вземете предвид ODZ.

План за решение:

• заменете логаритмите с (a -1) (b-1)
• решават неравенството по метода на интервалите
• запишете отговора, като вземете предвид ODZ.

Задачата

Марка (+)

Теоретична основа

Подкрепящ конспект № 1 „Видове неравенства и тяхното разрешаване“

Подкрепящ конспект № 2 „Еквивалентност на неравенствата“

Поддържащ конспект № 3

"Методи за решаване на неравенства"

Поддържащ конспект № 4

„Концепцията за логаритъм. Логаритмична функция "

Повторение

• Трансформирайте изрази, използвайки свойства на логаритъма.

• Представяне на число като логаритъм с дадена основа.

• Изчисляване на логаритми.

• Диапазонът на приемливите стойности на логаритъма (LDZ).

Семинар за решаване на неравенства

Неравенство # 1

Неравенство # 2

Неравенство # 3

Неравенство # 4

Неравенство # 5

Основна консолидация на метода на рационализация

Неравенство # 1

Неравенство # 2

РЕЗУЛТАТИ: (пребройте броя +)

"3" 25-49

"4" 50-75

"5" 76-90

Домашна работа

Какви са целите на изпълнения урок ?

В следващите уроци ще продължим да се запознаваме с рационални методи за решаване на неравенствата

Задачата	Марка (+)
Теоретична основа
Подкрепящ конспект № 2 „Еквивалентност на неравенствата“
Поддържащ конспект № 3 "Методи за решаване на неравенства"
Поддържащ конспект № 4 „Концепцията за логаритъм. Логаритмична функция "
Повторение
Изчисляване на логаритми.
Неравенство # 1
Неравенство # 2
Неравенство # 3
Неравенство # 4
Неравенство # 5

В този урок ще изследваме следната тема: „Логаритмични неравенства“. За да се научите как правилно да решавате най-простите логаритмични неравенства, е необходимо да повторите основните свойства на логаритмичните функции. В този урок заедно с учителя ще разгледаме няколко примера по посочената тема и ще се научим как да ги решаваме правилно, прилагайки знанията, придобити по-рано.

Тема: Метод на разстоянието

Урок:Логаритмични неравенства

Ключът към решаването на логаритмичните неравенства са свойствата на логаритмичната функция, т.е. функции на формата ( ). Тук t е независима променлива, a е конкретно число, y е зависима променлива, функция.

Нека си припомним основните свойства на логаритмичната функция.

Фиг. 1. Графика на логаритмичната функция при различни бази

1. Обхват на дефиницията :;

2. Обхват на стойностите :;

3. Функцията е монотонна в цялата си област на дефиниция. Когато се увеличава монотонно (когато аргументът се увеличава от нула до плюс безкрайност, функцията се увеличава от минус до плюс безкрайност,). Когато намалява монотонно (когато аргументът се увеличава от нула до плюс безкрайност, функцията намалява от плюс до минус безкрайност,).

Именно монотонността на логаритмичната функция дава възможност за решаване на най-простите логаритмични неравенства.

Неравенството трябва да бъде решено с помощта на еквивалентни, еквивалентни трансформации. Нека разгледаме диаграмата. Тъй като разглеждаме логаритмична функция с основа, по-голяма от една, не забравяйте, че функцията се увеличава монотонно. Следователно:

Например:

Фиг. 2. Илюстрация на примерно решение

Помислете за решението на логаритмично неравенство, когато основата на логаритъма е.

Тъй като разглеждаме логаритмична функция с основа, варираща от нула до единица, не забравяйте, че функцията намалява монотонно. Следователно:

В този случай е необходимо да не забравяме за ODZ, тъй като строго положителните изрази могат да бъдат под логаритъма. ODZ е представен от системата:

Решението на първоначалното неравенство е еквивалентно неравенство, следователно, за да се спази DHS, е достатъчно да се защити по-малкият от числата. Получаваме система от неравенства, която съответства на първоначалното неравенство:

Например:

Фиг. 3. Илюстрация на примерно решение

Отговор: няма решения

Нека да обобщим. Ние разглеждаме най-простите логаритмични неравенства, т.е. неравенства във формата:

Всички други по-сложни логаритмични неравенства се свеждат до най-простите.

Метод на решение:

1. Изравнете основите на логаритмите;

2. Сравнете подлогаритмични изрази:

Когато, променете знака на неравенството на противоположния;

3. Вземете под внимание ODZ;

Пример 1 - Решаване на неравенството:

Нека изравним основите на логаритмите. За целта представяме числото от дясната страна като логаритъм с желаната основа:

И така, имаме неравенството:

Фиг. 4. Илюстрация на решението от пример 1

Пример 2 - Решаване на неравенството:

Нека изравним основите:

Имаме неравенството:

Основата на логаритъма е по-малка от единица, имаме еквивалентна система:

Имаме система от две най-прости логаритмични неравенства. Нека изравним основите във всяка от тях.