В следното тестови елементи искате да намерите периметъра на фигурата, показана на фигурата.

Можете да намерите периметъра на дадена форма различни начини... Можете да трансформирате оригиналната форма, така че периметърът на новата форма да може лесно да бъде изчислен (например, отидете на правоъгълник).

Друго решение е директно да се търси периметърът на фигурата (като сбор от дължините на всичките й страни). Но в този случай не можете да разчитате само на чертежа, а да намерите дължините на сегментите въз основа на данните на проблема.

Искам да ви предупредя: в една от задачите сред предложените отговори не намерих тази, която получих.

° С) .

Преместете страните на малките правоъгълници отвътре навън. В резултат на това големият правоъгълник е затворен. Формула за намиране на периметъра на правоъгълник

IN в такъв случай, a \u003d 9a, b \u003d 3a + a \u003d 4a. Така че P \u003d 2 (9a + 4a) \u003d 26a. До периметъра голям правоъгълник добавете сумата от дължините на четири отсечки от редове, всеки от които е 3а. В резултат на това P \u003d 26a + 4 ∙ 3a \u003d 38а .

° С) .

След прехвърляне на вътрешните страни на малките правоъгълници във външната област, получаваме голям правоъгълник, чийто периметър е P \u003d 2 (10x + 6x) \u003d 32x, и четири сегмента, два са x-дълги, два са 2x- дълго.

Общо, P \u003d 32x + 2 ∙ 2x + 2 ∙ x \u003d 38x .

?) .

Нека прехвърлим 6 хоризонтални „стъпала“ отвътре навън. Периметърът на получения голям правоъгълник е P \u003d 2 (6y + 8y) \u003d 28y. Остава да се намери сумата от дължините на сегментите вътре в правоъгълника 4y + 6 ∙ y \u003d 10y. По този начин периметърът на фигурата е P \u003d 28y + 10y \u003d 38г .

Д) .

Да вървим вертикални отсечки от вътрешната област на фигурата вляво, до външната област. За да получите голям правоъгълник, преместете една от 4-те дължини в долния ляв ъгъл.

Намираме периметъра на оригиналната фигура като сума от периметъра на този голям правоъгълник и дължините на останалите три сегмента P \u003d 2 (10x + 8x) + 6x + 4x + 2x \u003d 48x .

Д) .

Премествайки вътрешните страни на малките правоъгълници към външната зона, получаваме голям квадрат. Периметърът му е P \u003d 4 ∙ 10x \u003d 40x. За да получите периметъра на оригиналната форма, добавете сумата от дължините на осем сегмента, всеки 3x дълъг, по периметъра на квадрата. Общо, P \u003d 40x + 8 ∙ 3x \u003d 64x .

Б) .

Преместете всички хоризонтални "стъпки" и вертикални горни сегменти към външната зона. Периметърът на получения правоъгълник е P \u003d 2 (7y + 4y) \u003d 22y. За да намерите периметъра на оригиналната фигура, добавете сумата от дължините на четири сегмента, всеки с дължина y, към периметъра на правоъгълника: P \u003d 22y + 4 ∙ y \u003d 26г .

Д) .

Нека да прехвърлим всички хоризонтални линии от вътрешната област към външната и да преместим двете вертикални външни линии съответно в левия и десния ъгъл по z наляво и надясно. В резултат на това получаваме голям правоъгълник, чийто периметър е P \u003d 2 (11z + 3z) \u003d 28z.

Периметърът на оригиналната фигура е равен на сумата от периметъра на големия правоъгълник и дължините на шест сегмента по z: P \u003d 28z + 6 ∙ z \u003d 34z .

Б) .

Решението е напълно подобно на решението в предишния пример. След трансформиране на формата намираме периметъра на големия правоъгълник:

P \u003d 2 (5z + 3z) \u003d 16z. Към периметъра на правоъгълника добавяме сумата от дължините на останалите шест сегмента, всеки от които е равен на z: P \u003d 16z + 6 ∙ z \u003d 22z .

Със сигурност всеки от нас преподава в училище такъв важен компонент на геометрията като периметъра. Намирането на периметъра е от съществено значение за много задачи. Нашата статия ще ви каже как да намерите периметъра.

Струва си да се помни, че периметърът на всяка фигура е почти винаги сумата от нейните страни. Нека да разгледаме няколко различни геометрични фигури.

1. Правоъгълникът е четириъгълник, в който паралелните страни са равни по двойки. Ако едната страна е X, а другата е Y, тогава получаваме следната формула за намиране на периметъра на тази фигура:

   P \u003d 2 (X + Y) \u003d X + Y + X + Y \u003d 2X + 2Y.

   Пример за решаване на проблема:

   Нека приемем, че страна X \u003d 5 cm, страна Y \u003d 10 cm. И така, замествайки тези стойности в нашата формула, получаваме - P \u003d 2 * 5 cm + 2 * 10 cm \u003d 30 cm.

2. Трапецът е четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, но не са равни една на друга. Периметърът на трапец е сумата от четирите му страни:

   P \u003d X + Y + Z + W, където X, Y, Z, W са страните на фигурата.

   Пример за решаване на проблема:

   Да кажем, че страна X \u003d 5 cm, страна Y \u003d 10 cm, страна Z \u003d 8 cm, страна W \u003d 20 см. Това означава, че замествайки тези стойности в нашата формула, получаваме - P \u003d 5 cm + 10 cm + 8 см + 20 см \u003d 43 см.

3. Периметърът на кръг (обиколка) може да бъде изчислен по формулата:

   P \u003d 2rπ \u003d dπ, където r е радиусът на окръжността, d е диаметърът на окръжността.

   Пример за решаване на проблема:

   Да предположим, че радиусът на нашата окръжност е 5 см, тогава диаметърът d ще бъде 2 * 5 см \u003d 10 см. Известно е, че π \u003d 3,14. И така, замествайки тези стойности в нашата формула, получаваме - P \u003d 2 * 5 cm * 3.14 \u003d 31.4 cm.

4. Ако трябва да намерите периметъра на триъгълник, тогава може да срещнете редица проблеми с това, тъй като триъгълниците могат да имат много различни форми... Например има остри, тъп, равнобедрен, правоъгълен или равностранен триъгълник. Въпреки че формулата за всички видове триъгълници е:

   P \u003d X + Y + Z, където X, Y, Z са страните на фигурата.

   Проблемът е, че когато решавате много проблеми за намиране на периметъра на тази фигура, не винаги ще знаете дължините на всички страни. Например, вместо информация за дължината на една от страните, можете да имате степента на ъгъла или дължината на височината на определен триъгълник. Това значително ще усложни задачата, но няма да я направи нереалистична. Как да намерите периметъра на триъгълник, каквато и форма да е той, можете да прочетете "".

5. Периметърът на фигура като ромб се намира по същия начин като периметъра на квадрат, тъй като ромбът е успоредник, който има равни страни. Можете да разберете как да намерите периметъра на квадрат, като прочетете статията на нашия уебсайт "".

   Сега знаете как да намерите страната на периметъра геометрична формакаквото ви трябва!

Достатъчно е да разберете дължината на всичките му страни и да намерите тяхната сума. Периметърът е общата дължина на границите. плоска фигура... С други думи, това е сумата от дължините на страните му. Мерната единица за периметъра трябва да съвпада с мерната единица за нейните страни. Формулата за периметъра на многоъгълник е P \u003d a + b + c ... + n, където P е периметърът, но a, b, c и n са дължината на всяка страна. В противен случай се изчислява (или периметъра на окръжността): използва се формулата p \u003d 2 * π * r, където r е радиусът, а π е постоянно число, приблизително равно на 3,14. Помислете за няколко прости примерипоказващ как да намерим периметъра. Нека вземем за пример такива фигури като квадрат, успоредник и окръжност.

Как да намерим периметъра на квадрат

Квадратът е правилен четириъгълник, който има равни всички страни и ъгли. Тъй като всички страни на квадрат са равни, сумата от дължините на страните му може да бъде изчислена по формулата P \u003d 4 * a, където a е дължината на една от страните. По този начин със страна от 16,5 см е P \u003d 4 * 16,5 \u003d 66 см. Можете също така да изчислите периметъра на равностранен ромб.

Как да намерим периметъра на правоъгълник

Правоъгълникът е правоъгълник с всички ъгли, равни на 90 градуса. Известно е, че във форма като правоъгълник дължините на страните са равни по двойки. Ако ширината и височината на правоъгълника са еднакви по дължина, тогава той се нарича квадрат. Обикновено дължината на правоъгълник се нарича най-голямата от страните, а ширината е най-малката. По този начин, за да получите периметъра на правоъгълник, трябва да удвоите сумата от неговата ширина и височина: P \u003d 2 * (a + b), където a е височината, а b е ширината. Имайки наличен правоъгълник, едната страна на който е дълга 15 см, а другата е 5 см широка, получаваме периметър, равен на P \u003d 2 * (15 + 5) \u003d 40 cm.

Как да намерим периметъра на триъгълник

Триъгълникът се формира от три отсечки от права, които са свързани в точки (върхове на триъгълника), които не лежат на една права линия. Триъгълникът се нарича равностранен, ако и трите му страни са равни, и равнобедрен, ако има две равни страни. За да разберете периметъра, трябва да умножите дължината на страната му по 3: P \u003d 3 * a, където a е една от страните му. Ако страните на триъгълника не са равни една на друга, е необходимо да се извърши операцията по събиране: P \u003d a + b + c. Периметър равнобедрен триъгълник със страни 33, 33 и 44, съответно, ще бъде равно на: P \u003d 33 + 33 + 44 \u003d 110 cm.

Как да намерим периметъра на успоредник

Успоредникът е четириъгълник с двойно успоредни противоположни страни. Квадратът, ромбът и правоъгълникът са специални случаи на фигурата. Противоположните страни на всеки паралелограм са равни, следователно, за да изчислим неговия периметър, ще използваме формулата P \u003d 2 (a + b). В паралелограм със страни от 16 cm и 17 cm сумата от страните или периметъра е P \u003d 2 * (16 + 17) \u003d 66 cm.

Как да намерим обиколката

Кръгът е затворена линия, всички точки на която са разположени на еднакво разстояние от центъра. Обиколката и диаметърът на кръга винаги имат еднаква връзка. Това съотношение се изразява като константа, написана с помощта на буквата π, и е приблизително 3,14159. Можете да разберете периметъра на окръжност по произведението на радиуса на 2 и на π. Оказва се, че дължината на кръг с радиус 15 cm ще бъде равна на P \u003d 2 * 3.14159 * 15 \u003d 94.2477

Студентите получават знания как да намерят периметъра в начално училище... Тогава тази информация се използва постоянно през курса по математика и геометрия.

Обща теория за всички фигури

Обичайно е страните да се обозначават с латински букви. Освен това те могат да бъдат обозначени като сегменти. След това се нуждаете от две букви за всяка страна и написани с големи букви. Или въведете обозначението с една буква, която със сигурност ще бъде малка.
Буквите винаги се избират по азбучен ред. За триъгълник те ще бъдат първите три. Шестоъгълникът ще има 6 от тях - от a до f. Това е удобно за въвеждане на формули.

Сега как да намерим периметъра. Това е сумата от дължините на всички страни на фигурата. Броят на термините зависи от вида му. Посочен е периметър латинска буква П. Мерните единици са същите като тези, дадени за страните.

Формули за периметъра за различни форми

За триъгълник: P \u003d a + b + c. Ако е равнобедрен, тогава формулата се трансформира: P \u003d 2a + b. Как да намерим периметъра на триъгълник, ако е равностранен? Това ще помогне: P \u003d 3a.

За произволен четириъгълник: P \u003d a + b + c + d. Специалният му случай е квадрат, формулата на периметъра: P \u003d 4a. Има и правоъгълник, след което се изисква това равенство: P \u003d 2 (a + b).

Ами ако дължината на една или повече страни на триъгълник е неизвестна?

Използвайте теоремата за косинусите, ако между данните има две страни и ъгълът между тях, който се обозначава с буквата А. Тогава, преди да намерите периметъра, ще трябва да изчислите третата страна. За това е полезна следната формула: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Специален случай на тази теорема е формулиран от Питагор за правоъгълен триъгълник. В него стойността на косинуса прав ъгъл става равен на нула, което означава, че последният член просто изчезва.

Има ситуации, когато можете да разберете как да намерите периметъра на триъгълник от едната страна. Но в същото време са известни и ъглите на фигурата. Тук на помощ идва теоремата за синусите, когато съотношенията на дължините на страните към синусите на съответните противоположни ъгли са равни.

В ситуация, в която периметърът на дадена фигура трябва да се знае по нейната площ, други формули ще бъдат полезни. Например, ако радиусът на вписаната окръжност е известен, тогава във въпроса как да намерим периметъра на триъгълник е полезна следната формула: S \u003d p * r, тук p е полупериметър. Тя трябва да бъде получена от тази формула и умножена по две.

Примери за задачи

Първо условие. Открийте периметъра на триъгълника, чиито страни са 3, 4 и 5 cm.
Решение. Трябва да използвате равенството, което е посочено по-горе, и просто да заместите данните в проблема със стойността в него. Изчисленията са лесни, водят до числото 12 cm.
Отговор. Периметърът на триъгълника е 12 cm.

Условие две. Едната страна на триъгълника е 10 см. Известно е, че втората е с 2 см по-голяма от първата, а третата е 1,5 пъти по-голяма от първата. Необходимо е да се изчисли неговият периметър.
Решение... За да го разпознаете, трябва да преброите две страни. Вторият се определя като сбор от 10 и 2, третият е равен на произведението от 10 и 1,5. След това остава само да се изчисли сумата от три стойности: 10, 12 и 15. Резултатът ще бъде 37 cm.
Отговор. Периметърът е 37 cm.

Условие трето. Има правоъгълник и квадрат. Едната страна на правоъгълника е 4 см, а другата с 3 см по-голяма. Необходимо е да се изчисли стойността на страната на квадрата, ако периметърът му е с 6 см по-малък от този на правоъгълника.
Решение. Втората страна на правоъгълника е 7. Знаейки това, е лесно да се изчисли неговият периметър. Изчислението дава 22 cm.
За да разберете страната на квадрата, първо трябва да извадите 6 от периметъра на правоъгълника и след това да разделите полученото число на 4. В резултат на това имаме числото 4.
Отговор. Страната на квадрата е 4 cm.

Правоъгълник (или успоредник) на AVSD, тогава той има следните свойства: успоредните страни са двойно равни (виж). AB \u003d SD и AC \u003d VD. Познавайки съотношението на страните на тази фигура, можете да заключите правоъгълник (и успоредник): P \u003d AB + SD + AC + VD. Нека някои страни са равни на числото a, другите на числото b, след това P \u003d a + a + b + b \u003d 2 * a \u003d 2 * b \u003d 2 * (a + b). Пример 1. В AVSD страните са равни на AB \u003d SD \u003d 7 см и AC \u003d VD \u003d 3 см. Намерете периметъра на такъв правоъгълник. Решение: P \u003d 2 * (a + b). P \u003d 2 * (7 +3) \u003d 20 cm.

При решаване на задачи върху сумата от дължините на страните с фигура, наречена квадрат или ромб, трябва да се използва леко модифицирана периметрова формула. Квадрат и ромб са фигури, които имат еднакви четири страни. Въз основа на дефиницията на периметъра, P \u003d AB + SD + AC + VD и приемайки дължината с буквата a, тогава P \u003d a + a + a + a \u003d 4 * a. Пример 2. Ромб на страна 2 см. Намерете неговия периметър. Решение: 4 * 2 см \u003d 8 см.

Ако този четириъгълник е трапец, тогава в този случай просто трябва да добавите дължините на четирите му страни. R \u003d AB + SD + AC + VD. Пример 3. Намерете AVSD, ако страните му са равни: AB \u003d 1 cm, SD \u003d 3 cm, AC \u003d 4 cm, VD \u003d 2 cm. Решение: R \u003d AB + SD + AS + VD \u003d 1 cm + 3 cm + 4 cm + 2 cm \u003d 10 cm. Може да се окаже, че е равнобедрен (има две равни страни), тогава периметърът му може да бъде намален до формулата: P \u003d AB + SD + AC + VD \u003d a + b + a + c \u003d 2 * a + b + c. Пример 4. Намерете периметъра на равнобедрен, ако страничните му повърхности са 4 см, а основата е 2 см и 6 см. Решение: P \u003d 2 * a + b + c \u003d 2 * 4cm + 2 cm + 6 cm \u003d 16 см.

Подобни видеа

Полезен съвет

Никой не си прави труда да намери периметъра на четириъгълник (и всяка друга фигура) като сбор от дължините на страните, без да използва получените формули. Те са дадени за удобство и лекота на изчисление. Методът за решение не е грешка, правилен отговор и познаване на математическата терминология са важни.

Източници:

• как да намерим периметъра на правоъгълник

Веднъж в училище, всички започваме да изучаваме периметъра на правоъгълник. Така че нека си спомним как да го изчислим и като цяло какъв е периметърът?

Думата "периметър" идва от две гръцки думи: "peri", което означава "около", "около" и "метрона", което означава "мярка", "мярка". Тези. периметър, в превод от гръцки означава "измерване наоколо".