155 *. Определете действителния размер на отсечката AB обща позиция (Фиг. 153, а).

Решение. Както знаете, проекцията на отсечка с права линия на която и да е равнина е равна на самия сегмент (като се вземе предвид мащаба на чертежа), ако е успоредна на тази равнина

(Фиг. 153, б). От това следва, че чрез преобразуване на чертежа е необходимо да се постигне успоредност на този сегмент на квадрата. V или pl. H или допълнете системата V, H с още една равнина, перпендикулярна на pl. V или към мн. H и в същото време успоредно на този сегмент.

На фиг. 153, в показва въвеждането на допълнителна равнина S, перпендикулярна на pl. H и успоредно на даден сегмент AB.

Проекцията a s b s е равна на естествената стойност на отсечката AB.

На фиг. 153, d показва друга техника: сегмент AB се завърта около права линия, преминаваща през точка B и перпендикулярна на pl. H, до паралелна позиция

мн. V. В този случай точка Б остава на място и точка А заема нова позиция А 1. Хоризонтът е в нова позиция. проекция а 1 b || оста x. Проекцията a "1 b" е равна на естествената стойност на отсечката AB.

156. Дадена е пирамида SABCD (фиг. 154). Определете действителния размер на ръбовете на пирамидата AS и CS, като използвате метода за промяна на проекционните равнини и ръбовете BS и DS, като използвате метода на въртене, и вземете оста на въртене перпендикулярно на квадрата. H.

157 *. Определете разстоянието от точка А до права линия BC (фиг. 155, а).

Решение. Разстоянието от точка до права линия се измерва чрез перпендикулярен отсечка, изтеглена от точка до права линия.

Ако правата линия е перпендикулярна на която и да е равнина (фиг. 155.6), тогава разстоянието от точката до правата линия се измерва чрез разстоянието между проекцията на точката и проекционната точка на правата линия върху тази равнина. Ако права линия заема обща позиция в системата V, H, тогава, за да се определи разстоянието от точка до права линия чрез промяна на равнините на проекция, е необходимо да се въведат две допълнителни равнини в системата V, H.

Първо (фиг. 155, в) влизаме в мн. S успоредно на BC сегмента (новата ос S / H е успоредна на bc проекцията) и изградете b s c s и a s проекции. След това (фиг. 155, г) въвеждаме друга мн. T перпендикулярна на права BC (нова ос T / S, перпендикулярна на b s c s). Изграждаме проекции на права и точка - с t (b t) и a t. Разстоянието между точки a t и с t (b t) е равно на разстоянието l от точка A до права BC.

На фиг. 155е, същата задача се изпълнява с помощта на метод на въртене във формата му, който се нарича метод на паралелно движение. Първо, правата линия BC и точка A, запазвайки взаимното си положение непроменено, се обръщат около някои (не е посочено на чертежа) права линия, перпендикулярна на pl. H, така че линията BC да е успоредна на квадрата. V. Това е равносилно на движещи се точки A, B, C в равнини, успоредни на квадрат. З. В този случай хоризонтът. проекцията на дадена система (BC + A) не се променя нито по величина, нито по конфигурация, само нейното положение спрямо оста x се променя. Позиционираме хоризонта. проекцията на права линия BC паралелно на оста x (позиция b 1 c 1) и дефинирайте проекцията a 1, отлагайки c 1 1 1 \u003d c-1 и a 1 1 1 \u003d a-1, и a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Изчертавайки прави линии b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1, успоредни на оста x, намираме предната част върху тях. проекция b "1, a" 1, c "1. След това преместваме точки B 1, C 1 и A 1 в равнини, успоредни на квадрат V (също без промяна на относителното им положение), така че да получим B 2 C 2 ⊥ квадрат H. В този случай проекцията на правата линия ще бъде разположена перпендикулярно на оси x, b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1 и за да построите проекцията a" 2, вземете b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1, нарисувайте 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 и отложете "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Сега, след като похарчите от 1 до 2 и от 1 до 2 || x 1 получаваме проекции b 2 с 2 и a 2 и необходимото разстояние l от точка А до права BC. Можете да определите разстоянието от A до BC, като завъртите равнината, определена от точка A, и линия BC около хоризонталата на тази равнина до положението T || мн. Н (фиг. 155, е).

В равнината, определена от точка А и права линия BC, нарисувайте хоризонтална линия A-1 (фиг. 155, g) и завъртете точка B. Около нея се премества точка B. R (дадено на чертежа от следата на R h), перпендикулярно на A-1; в точка O е центърът на въртене на точка B. Сега определяме действителната стойност на радиуса на въртене на VO (фиг. 155, c). В необходимото положение, т.е.когато pl. T, дефинирано от точка A и линия BC, ще стане || мн. H, точка B ще се появи на R h на разстояние Ob 1 от точка O (може да има различно положение на същата писта R h, но от другата страна на O). Точка b 1 е хоризонтът. проекцията на точка B след преместването й в позиция B 1 в пространството, когато равнината, определена от точка A и права BC, зае позиция T.

След като нарисуваме (фиг. 155, i) права линия b 1 1, получаваме хоризонта. проекцията на права линия BC, вече разположена || мн. H в същата равнина с А. В това положение разстоянието от a до b 1 1 е равно на желаното разстояние l. Равнината P, в която лежат дадените елементи, може да се комбинира с квадрата. H (фиг. 155, k), завъртане pl. Хоризонтът около него. проследяване. Продължавайки от задаване на равнината по точка A и права линия BC до определяне на прави линии BC и A-1 (фиг. 155, l), намираме следи от тези прави линии и през тях чертаем следи P ϑ и P h. Изграждаме (фиг. 155, м) в комбинация с мн. Н позиция отпред. следа - P ϑ0.

Начертайте хоризонта през точка а. челна проекция; подравнената фронтална преминава през точка 2 на коловоза Р h успоредно на Р0. Точка A 0 - комбинирана с pl. H е позицията на точка А. По същия начин намираме точка B 0. Директно слънце в комбинация с пл. Позицията H преминава през точка B 0 и точка m (хоризонтална линия).

Разстоянието от точка A 0 до права B 0 C 0 е равно на необходимото разстояние l.

Можете да извършите посочената конструкция, като намерите само една следа P h (фиг. 155, n и o). Цялата конструкция е подобна на завой около хоризонтала (виж фиг. 155, g, c, i): следата Р h е един от контурите на квадрата. R.

От методите за преобразуване на чертеж, дадени за решаване на този проблем, методът на въртене около хоризонтал или фронтал е за предпочитане.

158. Дадена пирамида SABC (фиг. 156). Определете разстоянията:

а) от върха B на основата до нейната страна AC чрез паралелно движение;

б) от върха на S пирамидата до страните BC и AB на основата чрез завъртане около хоризонталата;

в) от горната S до страничната AC на основата чрез промяна на проекционните равнини.

159. Дадена е призма (фиг. 157). Определете разстоянията:

а) между ръбовете AD и CF чрез промяна на проекционните равнини;

б) между ребрата BE и CF чрез въртене около челната част;

в) между ръбовете AD и BE чрез паралелно движение.

160. Определете действителния размер на четириъгълника ABCD (фиг. 158), като го подравните с pl. З. Използвайте само хоризонтална равнина.

161 *. Определете разстоянието между пресичащите линии AB и CD (фиг. 159, а) и изградете проекции на общия перпендикуляр към тях.

Решение. Разстоянието между пресечените линии се измерва от отсечката (MN) на перпендикуляра на двете линии (фиг. 159, б). Очевидно е, че ако една от правите линии е поставена перпендикулярно на който и да е квадрат. T тогава

отсечката MN на перпендикуляра на двете линии ще бъде успоредна на квадрат. T проекцията на тази равнина ще покаже желаното разстояние. Проекция прав ъгъл Менаду MN n AB на пл. T също се оказва прав ъгъл между m t n t и a t b t, тъй като една от страните на десния ъгъл AMN, а именно MN. успоредно на мн. Т.

На фиг. 159, c и d, желаното разстояние l се определя чрез метода за смяна на проекционните равнини. Първо, въвеждаме допълнителен квадрат. проекции S, перпендикулярни на pl. H и успоредно на CD с права линия (фиг. 159, c). След това въвеждаме още един допълнителен квадрат. T, перпендикулярно на pl. S и перпендикулярна на една и съща права линия CD (фиг. 159, г). Сега можете да изградите проекция на общия перпендикуляр, като изтеглите m t n t от точката c t (d t), перпендикулярна на проекцията a t b t. Точките m t и n t са проекции на точки на пресичане на този перпендикуляр с линии AB и CD. В точката m t (фиг. 159, д) намираме m s на s s b s: проекцията m s n s трябва да бъде успоредна на оста T / S. Освен това чрез m s и n s намираме m и n на ab и cd, а върху тях m "и n" на a "b" и c "d".

На фиг. 159, в показва решението на този проблем по метода на паралелните движения. Първо поставете прав CD, успореден на квадрат. V: проекция c 1 d 1 || х. След това преместваме прави линии CD и AB от позиции C 1 D 1 и A 1 B 1 в позиции C 2 B 2 и A 2 B 2, така че C 2 D 2 е перпендикулярна на H: проекция с "2 d" 2 ⊥ х. Разположен е сегментът на търсения перпендикуляр || мн. H и следователно m 2 n 2 изразява желаното разстояние l между AB и CD. Намерете позицията на проекциите m "2 и n" 2 върху "2 b" 2 и c "2 d" 2, след това проекциите и m 1 и m "1, n 1 и n" 1, и накрая проекции m "и n", m и n.

162. Дадена е пирамида SABC (фиг. 160). Определете разстоянието между ръба SB и страната AC на основата на пирамидата и изградете проекции на общия перпендикуляр на SB и AC, прилагайки метода за смяна на проекционните равнини.

163. Дадена е пирамида SABC (фиг. 161). Определете разстоянието между ръба SH и страната BC на основата на пирамидата и изградете проекцията на общия перпендикуляр на SX и BC, прилагайки метода на паралелно движение.

164 *. Определете разстоянието от точка А до равнината в случаите, когато равнината е дадена: а) от триъгълника BCD (фиг. 162, а); б) следи (фиг. 162, б).

Решение. Както знаете, разстоянието от точка до равнина се измерва със стойността на перпендикуляр, изтеглен от точка до равнина. Това разстояние се проектира върху всеки квадрат. проекции в естествен размер, ако тази равнина е перпендикулярна на квадрата. проекции (фиг. 162, в). Тази ситуация може да се постигне чрез трансформиране на чертежа, например чрез промяна на квадрата. прогнози. Въвеждаме мн. S (фиг. 16в, г), перпендикулярна на pl. триъгълник BCD. За целта харчим в пл. триъгълник хоризонтален B-1 и поставете проекционната ос S перпендикулярно на проекцията b-1 на хоризонталата. Изграждаме проекции на точка и равнина - a s и отсечка c s d s. Разстоянието от a s до c s d s е равно на необходимото разстояние l на точката до равнината.

На Рио. 162, e се прилага методът на паралелно движение. Преместваме цялата система, докато хоризонталата на равнината B-1 не е перпендикулярна на равнината V: проекцията b 1 1 1 трябва да бъде перпендикулярна на оста x. В това положение равнината на триъгълника ще се превърне в предна проекция, а разстоянието l от точка А до него ще бъде на квадрат. V без изкривяване.

На фиг. 162, b, равнината се определя от следи. Въвеждаме (фиг. 162, д) допълнителен квадрат. S, перпендикулярна на pl. P: ос S / H, перпендикулярна на P h. Останалото става ясно от чертежа. На фиг. 162, проблемът е решен с едно движение: мн. P отива в позиция P 1, тоест става челно изпъкнала. Проследяване. Р 1h е перпендикулярен на оста x. Изграждаме фронт в това положение на самолета. хоризонтална следа - точка n "1, n 1. Следа P 1ϑ ще премине през P 1x и n 1. Разстоянието от" 1 до P 1ϑ е равно на желаното разстояние l.

165. Дадена е пирамидата SABC (виж фиг. 160). Определете разстоянието от точка А до границата на SBC на пирамидата, като използвате метода на паралелното движение.

166. Дадена е пирамида SABC (виж фиг. 161). Определете височината на пирамидата, като използвате метода на паралелното движение.

167 *. Определете разстоянието между пресичащите линии AB и CD (вж. Фиг. 159, а) като разстоянието между успоредните равнини, изтеглени през тези линии.

Решение. На фиг. 163 и показва паралелни равнини P и Q, от които pl. Q се извършва през CD успоредно на AB и pl. R - през AB успоредно на pl. В. Разстоянието между такива равнини се счита за разстоянието между пресичащите линии AB и CD. Можете обаче да се ограничите до изграждането само на една равнина, например Q, успоредна на AB и след това да определите разстоянието от поне точка A до тази равнина.

На фиг. 163c показва Q равнината, изтеглена през CD успоредно на AB; в проекции, начертани с "e" || a "b" и ce || аб. Прилагане на метода за смяна на квадрата. проекции (фиг. 163, в), въвеждаме допълнителен квадрат. S, перпендикулярна на pl. V и в същото време

перпендикулярно на мн. В. За да начертаете оста S / V, вземете челната D-1 в тази равнина. Сега изчертаваме S / V перпендикулярно на d "1" (фиг. 163, c). Pl. Q ще се покаже на pl. S като права линия с s d s. Останалото става ясно от чертежа.

168. Дадена е пирамида SABC (виж фиг. 160). Определете разстоянието между ребрата SC и AB. Приложете: 1) метода за промяна на квадрата. проекции, 2) метод на паралелно движение.

169 *. Определете разстоянието между успоредните равнини, едната от които е дадена с прави линии AB и AC, а другата с прави линии DE и DF (фиг. 164, а). Извършете също конструкцията за случая, когато равнините са дадени със следи (фиг. 164, б).

Решение. Разстоянието (фиг. 164, в) между успоредните равнини може да бъде определено чрез изчертаване на перпендикуляр от всяка точка на една равнина до друга равнина. На фиг. 164, g въведе допълнително pl. S перпендикулярно на мн. H и към двете дадени равнини. Оста S.H е перпендикулярна на хоризонта. хоризонтална проекция, начертана в една от равнините. Изграждаме проекция на тази равнина и насочваме в друга равнина на площада. 5. Разстоянието на точката d s до правата l s a s е равно на необходимото разстояние между успоредните равнини.

На фиг. 164, d е дадена друга конструкция (съгласно метода на паралелно движение). За да бъде равнината, изразена чрез пресичащи се прави AB и AC, перпендикулярна на pl. V, хоризонт. проекцията на хоризонталата на тази равнина е настроена перпендикулярно на оста x: 1 1 2 1 ⊥ x. Разстояние между предната част. проекция d "1 точка D и права линия a" 1 2 "1 (предна. проекция на равнината) е равна на необходимото разстояние между равнините.

На фиг. 164, e показва въвеждането на допълнителен pl. S, перпендикулярна на площта H и на дадените равнини P и Q (оста S / H е перпендикулярна на следите P h и Q h). Изграждаме следи P s и Q s. Разстоянието между тях (виж фиг. 164, в) е равно на желаното разстояние l между равнините P и Q.

На фиг. 164, g показва движението на равнините P 1 n Q 1, до позициите P 1 и Q 1, когато хоризонтът. следите се оказват перпендикулярни на оста x. Разстояние между нов фронт. по следи P 1ϑ и Q 1ϑ е равно на необходимото разстояние l.

170. Даден е паралелепипед ABCDEFGH (фиг. 165). Определете разстоянията: а) между основите на паралелепипеда - l 1; б) между лицата ABFE и DCGH - l 2; в) между ръбовете ADHE и BCGF-l 3.

Тази статия говори за темата « разстояние от точка до права », разглежда се определянето на разстоянието от точка до права линия с илюстрирани примери по метода на координатите. Всеки блок от теорията в края показва примери за решаване на подобни проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Разстоянието от точка до права линия се намира чрез дефиницията на разстоянието от точка до точка. Нека разгледаме по-подробно.

Нека има права a и точка M 1, която не принадлежи на дадена права. Начертайте през него линия b, която е перпендикулярна на права a. Приемаме точката на пресичане на линиите като H 1. Получаваме, че M 1 H 1 е перпендикулярът, който беше спуснат от точката M 1 до линията a.

Определение 1

Разстояние от точка М 1 до права а наречено разстоянието между точките M 1 и H 1.

Има записи на дефиниция с фигурата на дължината на перпендикуляра.

Определение 2

Разстояние от точка до права е дължината на перпендикуляра, изтеглен от дадена точка до дадена права линия.

Определенията са еквивалентни. Помислете за фигурата по-долу.

Известно е, че разстоянието от точка до права линия е най-малкото от всички възможни. Нека разгледаме един пример.

Ако вземем точка Q, лежаща на права a, не съвпадаща с точката M 1, тогава получаваме, че отсечката M 1 Q се нарича наклонена, спусната от M 1 до линията a. Необходимо е да се посочи, че перпендикулярът от точката M 1 е по-малък от всяка друга наклонена линия, изтеглена от точката към права линия.

За да докажете това, разгледайте триъгълник M 1 Q 1 H 1, където M 1 Q 1 е хипотенузата. Известно е, че дължината му винаги е по-голяма от дължината на който и да е от краката. Имаме, че M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Първоначалните данни за намиране от точка до права линия ви позволяват да използвате няколко метода за решение: чрез питагоровата теорема, определяне на синус, косинус, тангенс на ъгъл и други. Повечето задачи от този тип се решават в училище в часовете по геометрия.

Когато при намиране на разстоянието от точка до права линия е възможно да се въведе правоъгълна координатна система, тогава се използва методът на координатите. В този параграф ще разгледаме основните два метода за намиране на желаното разстояние от дадена точка.

Първият метод включва намиране на разстоянието като перпендикуляр, изтеглен от M 1 до права линия a. Във втория метод се използва нормалното уравнение на права линия a за намиране на желаното разстояние.

Ако в равнината има точка с координати M 1 (x 1, y 1), разположена в правоъгълна координатна система, права линия a, и трябва да намерите разстоянието M 1 H 1, можете да изчислите по два начина. Нека ги разгледаме.

Първият начин

Ако има координати на точката H 1, равни на x 2, y 2, тогава разстоянието от точката до правата линия се изчислява чрез координатите от формулата M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + ( y 2 - y 1) 2.

Сега да преминем към намирането на координатите на точката H 1.

Известно е, че права линия в O x y съответства на уравнението на права линия на равнина. Нека вземем начин за определяне на права линия a чрез писане на общото уравнение на права линия или уравнение с наклон. Съставяме уравнението на права линия, която минава през точката M 1, перпендикулярна на дадената права а. Правата линия ще се обозначава с бук b. H 1 е точката на пресичане на линии a и b, което означава, че за да определите координатите, трябва да използвате статията, в която въпросният за координатите на точките на пресичане на две прави линии.

Вижда се, че алгоритъмът за намиране на разстоянието от дадена точка M 1 (x 1, y 1) до права линия a се извършва съгласно точки:

Определение 3

• намиране на общото уравнение на права линия a, имащо формата A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, или уравнение с наклон, имащо формата y \u003d k 1 x + b 1;
• получаване на общо уравнение на права b, имащо формата A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 или уравнение с наклон y \u003d k 2 x + b 2, ако права b пресича точка M 1 и е перпендикулярна на a даден ред а;
• определяне на координатите x 2, y 2 на точката H 1, която е пресечната точка на a и b, за това системата е решена линейни уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 или y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• изчисляване на необходимото разстояние от точка до права линия с помощта на формулата M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Втори начин

Теоремата може да помогне да се отговори на въпроса за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия на равнина.

Теорема

Правоъгълната координатна система има O xy има точка M 1 (x 1, y 1), от която се изчертава права линия a към равнината, дадена от нормалното уравнение на равнината, която има формата cos α x + cos β y - p \u003d 0, равен на модула на стойността, получена от лявата страна на нормалното уравнение на права линия, изчислена при x \u003d x 1, y \u003d y 1, означава, че M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p.

Доказателства

Правата а съответства на нормалното уравнение на равнината, която има формата cos α x + cos β y - p \u003d 0, тогава n → \u003d (cos α, cos β) се счита за нормален вектор на права a на разстояние от началото до линията a с p единици ... Необходимо е да се покажат всички данни на фигурата, да се добави точка с координати M 1 (x 1, y 1), където радиус-векторът на точката M 1 - O M 1 → \u003d (x 1, y 1). Необходимо е да се начертае права линия от точка до права линия, която обозначаваме с M 1 H 1. Необходимо е да се покажат проекциите M 2 и H 2 на точки M 1 и H 2 върху права линия, преминаваща през точка O с вектор на посока от вида n → \u003d (cos α, cos β), и числената проекция на векторът е означен като OM 1 → \u003d (x 1, y 1) към посоката n → \u003d (cos α, cos β) като npn → OM 1 →.

Вариациите зависят от местоположението на самата точка M 1. Помислете на фигурата по-долу.

Фиксираме резултатите, като използваме формулата M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p. След това намаляваме равенството до тази форма M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p, за да получим n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1.

Скаларният продукт на вектори в резултат дава трансформирана формула с формата n →, OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 →, което е произведение в координатна форма на формата n →, OM 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. Следователно получаваме, че n p n → O M 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1. От това следва, че M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p. Теоремата е доказана.

Получаваме, че за да намерите разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1) до права линия a на равнината, трябва да извършите няколко действия:

Определение 4

• получаване на нормалното уравнение на права линия a cos α x + cos β y - p \u003d 0, при условие че не е в задачата;
• изчисляване на израза cos α x 1 + cos β y 1 - p, където получената стойност приема M 1 H 1.

Нека приложим тези методи за решаване на задачи с намиране на разстоянието от точка до равнина.

Пример 1

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 (- 1, 2) до правата линия 4 x - 3 y + 35 \u003d 0.

Решение

Нека приложим първия метод за решаване.

За целта е необходимо да се намери общото уравнение на права линия b, която преминава през дадена точка M 1 (- 1, 2), перпендикулярна на права линия 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. От условието се вижда, че права b е перпендикулярна на права a, тогава нейният вектор на посоката има координати, равни на (4, - 3). По този начин имаме възможност да напишем каноничното уравнение на права линия b на равнината, тъй като има координати на точката M 1 принадлежи на права линия b. Определете координатите на вектора на посоката на права линия b. Получаваме x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3. Полученото канонично уравнение трябва да се трансформира в общото. Тогава получаваме това

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Нека намерим координатите на точките на пресичане на прави линии, които ще вземем като обозначение H 1. Трансформациите изглеждат така:

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

От горното имаме, че координатите на точката H 1 са (- 5; 5).

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точка M 1 до права a. Имаме, че координатите на точките M 1 (- 1, 2) и H 1 (- 5, 5), след това заместваме във формулата за намиране на разстоянието и получаваме това

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Второ решение.

За да се реши по друг начин, е необходимо да се получи нормалното уравнение на линията. Оценете нормализиращия коефициент и умножете двете страни на уравнението 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. От това получаваме, че нормализиращият фактор е - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, а нормалното уравнение ще бъде във вида - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0.

Според алгоритъма за изчисление е необходимо да се получи нормалното уравнение на правата линия и да се изчисли със стойностите x \u003d - 1, y \u003d 2. Тогава получаваме това

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 \u003d - 5

Следователно откриваме, че разстоянието от точката M 1 (- 1, 2) до дадената права линия 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 има стойността - 5 \u003d 5.

Отговор: 5 .

Вижда се, че при този метод е важно да се използва нормалното уравнение на права линия, тъй като този метод е най-кратък. Но първият метод е удобен с това, че е последователен и логичен, въпреки че има повече точки за изчисление.

Пример 2

На равнината има правоъгълна координатна система O x y с точка M 1 (8, 0) и права линия y \u003d 1 2 x + 1. Намерете разстоянието от дадена точка до права линия.

Решение

Решението по първия начин предполага намаляване на даденото уравнение с наклона до уравнението общ изглед... За простота можете да го направите по различен начин.

Ако произведението на наклоните на перпендикулярни линии има стойност - 1, тогава наклон линия, перпендикулярна на дадено y \u003d 1 2 x + 1, има стойността 2. Сега получаваме уравнението на правата линия, минаваща през точката с координати M 1 (8, 0). Имаме, че y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16.

Обръщаме се към намирането на координатите на точката H 1, т.е. пресечните точки y \u003d - 2 x + 16 и y \u003d 1 2 x + 1. Съставяме система от уравнения и получаваме:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

От това следва, че разстоянието от точката с координати M 1 (8, 0) до права линия y \u003d 1 2 x + 1 е равно на разстоянието от началната точка и крайната точка с координати M 1 (8, 0) и Н 1 (6, 4) ... Изчисляваме и получаваме, че M 1 H 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5.

Решението по втория начин е да се премине от уравнение с коефициент към нормалната му форма. Тоест получаваме y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, тогава стойността на нормализиращия фактор ще бъде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. От това следва, че нормалното уравнение на линията приема формата - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Нека направим изчисление от точката M 1 8, 0 до права линия на формата - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Получаваме:

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Отговор: 2 5 .

Пример 3

Необходимо е да се изчисли разстоянието от точката с координати M 1 (- 2, 4) до правите линии 2 x - 3 \u003d 0 и y + 1 \u003d 0.

Решение

Получаваме уравнението на нормалната форма на права линия 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

След това пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 - 2, 4 до правата линия x - 3 2 \u003d 0. Получаваме:

M 1 H 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Уравнението на права линия y + 1 \u003d 0 има нормализиращ фактор -1. Това означава, че уравнението ще приеме формата - y - 1 \u003d 0. Пристъпваме към изчисляване на разстоянието от точката M 1 (- 2, 4) до правата линия - y - 1 \u003d 0. Получаваме, че е равно на - 4 - 1 \u003d 5.

Отговор: 3 1 2 и 5.

Помислете подробно за намиране на разстоянието от дадена точка на равнината до координатни оси O x и O y.

В правоъгълна координатна система, оста O y има уравнение на права линия, която е непълна, има формата x \u003d 0 и O x - y \u003d 0. Уравненията са нормални за координатните оси, тогава трябва да намерите разстоянието от точката с координати M 1 x 1, y 1 до прави линии. Това се прави въз основа на формулите M 1 H 1 \u003d x 1 и M 1 H 1 \u003d y 1. Помислете за фигурата по-долу.

Пример 4

Намерете разстоянието от точката M 1 (6, - 7) до координатните линии, разположени в равнината O x y.

Решение

Тъй като уравнението y \u003d 0 се отнася до права линия O x, можете да намерите разстоянието от M 1 с зададени координати, до тази права линия, използвайки формулата. Получаваме, че 6 \u003d 6.

Тъй като уравнението x \u003d 0 се отнася до правата линия O y, тогава можете да намерите разстоянието от M 1 до тази права линия по формулата. Тогава получаваме това - 7 \u003d 7.

Отговор:разстоянието от M 1 до O x има стойност 6, а от M 1 до O y има стойност 7.

Когато в триизмерно пространство имаме точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1), е необходимо да се намери разстоянието от точка A до права a.

Помислете за два начина, които ви позволяват да изчислите разстоянието от точка до права линия, разположена в пространството. Първият случай разглежда разстоянието от точката M 1 до правата линия, където точката на права линия се нарича H 1 и е основата на перпендикуляра, изтеглен от точката M 1 до права линия a. Вторият случай предполага, че точките на тази равнина трябва да се търсят като височината на успоредника.

Първият начин

От дефиницията имаме, че разстоянието от точката M 1, разположена на права линия a, е дължината на перпендикуляра M 1 H 1, тогава получаваме, че с намерените координати на точката H 1, след това намираме разстояние между M 1 (x 1, y 1, z 1) и H 1 (x 1, y 1, z 1), въз основа на формулата M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Получаваме, че цялото решение отива за намиране на координатите на основата на перпендикуляра, изтеглен от М 1 към линията a. Това се прави по следния начин: H 1 е точката, където линията а се пресича с равнината, която преминава през дадената точка.

Следователно алгоритъмът за определяне на разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до линията a в пространството предполага няколко точки:

Определение 5

• съставяне на уравнението на χ равнината като уравнение на равнината, преминаваща през дадена точка, която е перпендикулярна на права линия;
• определяне на координати (x 2, y 2, z 2), принадлежащи към точката H 1, която е точката на пресичане на правата линия a и равнината χ;
• изчисляване на разстоянието от точка до права линия с помощта на формулата M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Втори начин

От условието имаме права линия a, тогава можем да определим вектора на посоката a → \u003d a x, a y, a z с координати x 3, y 3, z 3 и определена точка M 3, принадлежаща на права линия a. Като се имат предвид координатите на точки M 1 (x 1, y 1) и M 3 x 3, y 3, z 3, можете да изчислите M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Необходимо е да се отложат векторите a → \u003d ax, ay, az и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 от точката M 3, да се свържат и да се получи успоредник фигура. M 1 H 1 е височината на успоредника.

Помислете за фигурата по-долу.

Имаме, че височината M 1 H 1 е желаното разстояние, тогава е необходимо да се намери по формулата. Тоест, ние търсим M 1 H 1.

Обозначаваме площта на успоредника за буквата S, намира се по формулата, използвайки вектора a → \u003d (a x, a y, a z) и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Формулата на площта е S \u003d a → × M 3 M 1 →. Също така площта на фигурата е равна на произведението на дължините на нейните страни на височината, получаваме, че S \u003d a → M 1 H 1 с a → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, което е дължината на вектора a → \u003d (ax, ay, az), която е равна на страната на паралелограма. Следователно M 1 H 1 е разстоянието от точка до права. Той се намира по формулата M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

За да се намери разстоянието от точка с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до права линия a в пространството, е необходимо да се извършат няколко стъпки от алгоритъма:

Определение 6

• определяне на насочващия вектор на права линия a - a → \u003d (a x, a y, a z);
• изчисляване на дължината на вектора на посоката a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• получаване на координати x 3, y 3, z 3, принадлежащи на точката M 3, разположена на права линия a;
• изчисляване на координатите на вектора M 3 M 1 →;
• намиране на векторното произведение на вектори a → (ax, ay, az) и M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 като a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3, за да се получи дължината по формулата a → × M 3 M 1 →;
• изчисляване на разстоянието от точка до права M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Решаване на задачи за намиране на разстоянието от дадена точка до дадена права линия в пространството

Намерете разстоянието от точката с координати M 1 2, - 4, - 1 до линията x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5.

Решение

Първият метод започва с писане на уравнението на χ равнината, преминаваща през M 1 и перпендикулярна на дадена точка. Получаваме израз на формата:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Необходимо е да се намерят координатите на точката H 1, която е пресечната точка с равнината χ до линията, посочена от условието. Трябва да преминете от каноничен към пресичащ се. След това получаваме система от уравнения от вида:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 y \u003d - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

Необходимо е да се изчисли системата x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3 според метода на Cramer, тогава получаваме това:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Следователно имаме, че H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Вторият начин е да започнете с търсене на координати в каноничното уравнение. За да направите това, трябва да обърнете внимание на знаменателите на фракцията. Тогава a → \u003d 2, - 1, 5 е векторът на посоката на линията x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5. Необходимо е да се изчисли дължината по формулата a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30.

Ясно е, че линията x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 пресича точката M 3 (- 1, 0, - 5), следователно имаме, че векторът с начало M 3 (- 1, 0 , - 5) и нейният край в точка M 1 2, - 4, - 1 е M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4. Намерете векторния продукт a → \u003d (2, - 1, 5) и M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4).

Получаваме израз на формата a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 J → \u003d 16 i → + 7 j → - 5 k →

получаваме, че дължината на векторното произведение е → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

Разполагаме с всички данни за използване на формулата за изчисляване на разстоянието от точка за права линия, така че я прилагаме и получаваме:

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Отговор: 11 .

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Държавен морски технически университет в Санкт Петербург

Катедра "Компютърна графика и информационна поддръжка"

УРОК 3

ПРАКТИКА # 3

Определя разстоянието от точка до права линия.

Можете да определите разстоянието между точка и права линия, като изпълните следните конструкции (вижте фиг. 1):

От точка ОТ спуснете перпендикуляра на права линия и;

Маркирайте точка ДА СЕ пресичане на перпендикуляр с права линия;

Измерете размера на сегмента KSНачалото на който е посочената точка и краят на маркираната точка на пресичане.

Фиг. 1. Разстояние от точка до права.

Решението на проблеми от този тип се основава на правилото за проекция на прав ъгъл: прав ъгъл се проектира без изкривяване, ако поне едната му страна е успоредна на проекционната равнина (т.е. заема частна позиция). Нека започнем с точно такъв случай и да разгледаме конструкции за определяне на разстоянието от дадена точка ОТкъм отсечка с права линия AB.

В тази задача няма тестови случаи и са дадени опции за изпълнение на отделни задачи таблица1 и таблица2... Решението на проблема е описано по-долу и съответните конструкции са показани на фиг. 2.

1. Определяне на разстоянието от точка до линия на определена позиция.

Първо се изграждат проекции на точка и отсечка. Проекция A1B1 успоредно на оста х... Това означава, че сегментът AB успоредна на равнина Р2... Ако от точка ОТ нарисувайте перпендикуляр на AB, тогава десният ъгъл се проектира без изкривяване точно на равнината Р2... Това ви позволява да нарисувате перпендикуляр от точката С2на проекция A2B2.

Падащо меню Чертеж-сегмент (Рисувам- Линия) . Позиционирайте курсора към точка С2 и го фиксирайте като първата точка на линията. Преместете курсора в посоката, нормална към линията A2B2 и фиксирайте втората точка върху него в момента, в който се появи подканата Нормално (Перпендикулярно) ... Маркирайте конструирана точка K2... Активиране на режим ОРТО (ОРТО) , и от точка K2нарисувайте вертикална връзка, преди да пресечете проекцията A1 B1 ... Точката на пресичане е обозначена с K1... Точка ДА СЕлежи на сегмента AB, е пресечната точка на перпендикуляра, изтеглен от точката ОТ, със сегмент AB... По този начин сегментът KS е необходимото разстояние от точка до права линия.

От конструкциите може да се види, че сегментът KS заема общо положение и следователно неговите проекции са изкривени. Когато говорим за разстояние, винаги имаме предвид истинска стойност на сегментаизразяваща дистанция. Следователно е необходимо да се намери истинската стойност на сегмента KS,превръщайки го в частна позиция, например KS|| P1... Резултатът от конструкциите е показан на фиг. 2.

От конструкциите, показани на фиг. 2, можем да заключим: конкретното положение на правата линия (сегментът е успореден P1 или Р2) ви позволява бързо да изграждате проекции на разстоянието от точка до права линия, но в същото време те са изкривени.

Фиг. 2. Определяне на разстоянието от точка до линия на определена позиция.

2. Определяне на разстоянието от точка до права линия в общо положение.

Сегментът не винаги заема определена позиция в първоначалното състояние. С общо начално положение се извършват следните конструкции за определяне на разстоянието от точка до права линия:

а) използвайки метода за преобразуване на чертежа, преведете сегмента от общото положение в конкретното - това ще ви позволи да изградите проекции на разстоянието (изкривено);

б) използвайки метода отново, преведете сегмента, съответстващ на желаното разстояние, в определена позиция - получаваме проекцията на разстоянието в размер, равен на реалния.

Помислете за последователността на конструкциите за определяне на разстоянието от точката Икъм сегмент в обща позиция Слънце(фиг. 3).

При първото завъртане трябва да получите конкретната позиция на сегмента IN° С... За това в слоя TMR трябва да свържете точките ВЪВ 2, С2 и А2... Използване на командата Промяна-завъртане (Промяна – Завъртете) триъгълник B2C2A2 завъртане около точката С2 до точката, в която новата проекция B2 * C2 ще бъдат разположени строго хоризонтално (точка ОТ е фиксиран и следователно новата му проекция съвпада с оригиналната и обозначението C2 * и C1 * може да не е показано на чертежа). В резултат на това ще бъдат получени нови проекции на сегмента B2 * C2 и точки: A2 *. По-нататък от точки A2 * и В 2 * са вертикални и от точки В 1 и А1 хоризонтални комуникационни линии. Пресичането на съответните линии ще определи позицията на точките на новата хоризонтална проекция: линия B1 * C1и точки A1 *.

В получената конкретна позиция можете да изградите проекции на разстояние за това: от точката A1 *нормалното до B1 * C1.Точката на взаимното им пресичане е K1 *.От тази точка се изчертава вертикална комуникационна линия, докато тя се пресича с проекцията B2 * C2.Точката е маркирана K2 *. В резултат на това проекциите на сегмента АК, което е необходимото разстояние от точката Икъм отсечка с права линия Слънце.

След това трябва да изградите проекции на разстоянието в първоначалното състояние. За да направите това, от гледна точка K1 * удобно е да се начертае хоризонтална линия до пресечната точка с проекцията B1C1 и маркирайте пресечната точка K1. След това се изчертава точка K2 върху челната проекция на сегмента и се правят проекции A1K1 и A2K2.В резултат на конструкциите бяха получени проекции на разстоянието, но също така в началното и в новото конкретно положение на сегмента Слънце,раздел АКзаема обща позиция и това води до факта, че всичките му проекции са изкривени.

На второто завъртане трябва да завъртите сегмента АК до определена позиция, която ще ви позволи да определите истинската стойност на разстоянието - проекция A2 * K2 **. Резултатът от всички конструкции е показан на фиг. 3.

ЗАДАЧА №3-1. ОТ до права линия на конкретната позиция, дадена от сегмента AB... Дайте отговора в mm (Маса 1).Премахнете изпъкналите линии

маса 1

ЗАДАЧА №3-2.Намерете истинското разстояние от точка М до права линия в обща позиция, определена от сегмент ED... Дайте отговора в mm (таблица 2).

таблица 2

Проверка и компенсиране на изпълнената ЗАДАЧА №3.

За да изчислите разстоянието от дадена точка М до права L, можете да използвате различни начини... Например, ако вземем произволна точка M 0 на линията L, тогава можем да дефинираме ортогонална проекция на вектора M 0 M върху посоката на нормалния вектор на правата линия. Тази проекция, точна към знака, е необходимото разстояние.

Друг начин за изчисляване на разстоянието от точка до права се основава на използването нормалното уравнение на правата линия... Нека линията L е дадена от нормалното уравнение (4.23). Ако точката M (x; y) не лежи на права L, тогава ортогоналната проекция pr n OM радиус вектори точка M към посоката на единичния нормален вектор n на права линия L е равна на скаларното произведение на вектори OM и n, т.е. x cosφ + y sinφ. Същата проекция е равна на сумата от разстоянието p от началото до правата линия и някаква стойност δ (фиг. 4.10). Стойността на δ по абсолютна стойност е равно на разстоянието от точка М до права линия. В този случай δ\u003e 0, ако точките M и O са от противоположните страни на права линия, а δ е отклонение на точка M от права линия.

Отклонението δ за точката M (x; y) от права линия L се изчислява като разлика между проекцията pr n OM и разстоянието p от началото до правата линия (виж фиг. 4.10), т.е. δ \u003d x cosφ + y sinφ - p.

Използвайки тази формула, можете също да получите разстоянието p (M, L) от точката M (x; y) до правата линия L, дадено от нормалното уравнение: p (M, L) \u003d | δ | \u003d | x cosφ + у sinφ - p |.

2 Два съседни ъгъла добавят до 180 °

Предвид горната процедура за преобразуване общо уравнение на линията в неговото нормално уравнение получаваме формулата за разстоянието от точката M (x; y) до правата L, дадена от нейното общо уравнение:

Пример 4.8. Нека намерим общите уравнения на височината AH, медианата AM и бисектрисата AD на триъгълника ABC, излизащи от върха A. Координатите на върховете на триъгълника A (-1; - 3), B (7; 3), С (1; 7) са известни.

Преди всичко нека изясним условието на примера: посочените уравнения означават уравненията на правите линии L AH, L AM и L AD, на които са височината AH, медианата AM и ъглополовящата AD на посочения триъгълник разположени съответно (фиг. 4.11).

За да намерим уравнението на правата L AM, ще използваме факта, че медианата разделя противоположната страна на триъгълника наполовина. След като намерихме координатите (x 1; y 1) на средата на страната BC x 1 \u003d (7 + 1) / 2 \u003d 4, y 1 \u003d (3 + 7) / 2 \u003d 5, записваме уравнението за L AM във формата уравнения на права линия, минаваща през две точки, (x + 1) / (4 + 1) \u003d (y + 3) / (5 + 3). След трансформации получаваме общото уравнение за медианата 8x - 5y - 7 \u003d 0./p\u003e

За да намерите уравнението за височината L AH, използвайте факта, че височината е перпендикулярна на противоположната страна на триъгълника. Следователно, векторът BC е перпендикулярен на височината AH и може да бъде избран като нормален вектор на линията L AH. Уравнението на тази права се получава от (4.15), замествайки координатите на точката A и нормалния вектор на линията L AH:

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) \u003d 0.

След трансформации получаваме общото уравнение за височина 3x - 2y - 3 \u003d 0.

За да намерим уравнението на ъглополовящата L AD, използваме факта, че ъглополовящата AD принадлежи към множеството от онези точки N (x; y), които са на еднакво разстояние от линиите L AB и L AC. Уравнението на това множество има формата

P (N, L AB) \u003d P (N, L AC), (4.28)

и той определя две линии, преминаващи през точка A и намаляващи наполовина ъглите между линиите L AB и L AC. Използвайки уравнението на права линия, преминаваща през две точки, намираме общите уравнения на правите линии AB AB и L AC:

L AB: (x + 1) / (7 + 1) \u003d (y + 3) / (3 + 3), L AC: (x + 1) / (1 + 1) \u003d (y + 3) / (7 + 3)

След трансформации получаваме L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Уравнение (4.28) с помощта на формула (4.27) за изчисляване на разстоянието от точка до права линия е записано в формата

Нека го трансформираме чрез разширяване на модулите:

В резултат на това получаваме общите уравнения на две прави линии

(3 ± 25 / √26) x + (-4 ± 5 \u200b\u200b/ √26) y + (-9 ± 10 / √26) \u003d 0

За да изберем уравнението на бисектрисата от тях, ние вземаме предвид, че върховете В и С на триъгълника са разположени от противоположните страни на желаната права линия и следователно заместването на техните координати в лява страна общото уравнение на правата линия L AD трябва да дава стойности с различни знаци... Избираме уравнението, съответстващо на горния знак, т.е.

(3 - 25 / √26) x + (-4 + 5 / √26) y + (-9 - 10 / √26) \u003d 0

Заместването на координатите на точка В от лявата страна на това уравнение дава отрицателна стойност, тъй като

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

и се получава същия знак за координатите на точката С, тъй като

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Следователно върховете B и C се намират от едната страна на правата линия с избраното уравнение и следователно уравнението на ъглополовящата е

(3 + 25 / √26) x + (-4 - 5 / √26) y + (-9 + 10 / √26) \u003d 0.

Разстоянието от точка до права линия е дължината на перпендикуляра, изпуснат от точка до права линия. В описателната геометрия тя се определя графично, използвайки алгоритъма по-долу.

Алгоритъм

1. Правата линия се прехвърля в положение, в което ще бъде успоредна на която и да е проекционна равнина. За това се използват методи за преобразуване на ортогонални проекции.
2. От една точка се прави перпендикуляр до права линия. Тази конструкция се основава на теоремата за проекцията с прав ъгъл.
3. Дължината на перпендикуляр се определя чрез трансформиране на неговите проекции или чрез метода на правоъгълния триъгълник.

Следващата фигура показва сложен чертеж на точка М и линия b, дефинирани от сегмент CD. Изисква се да се намери разстоянието между тях.

Според нашия алгоритъм първото нещо, което трябва да направите, е да преместите линията в позиция, успоредна на равнината на проекция. Важно е да се разбере, че след трансформациите действителното разстояние между точката и линията не трябва да се променя. Ето защо е удобно тук да се използва методът за подмяна на равнини, който не включва движещи се фигури в пространството.

Резултатите от първия етап на строителството са показани по-долу. Фигурата показва как допълнителна челна равнина P 4 се въвежда успоредно на b. IN нова система (P 1, P 4) точки C "" 1, D "" 1, M "" 1 са на същото разстояние от оста X 1 като C "", D "", M "" от оста X.

Изпълнявайки втората част на алгоритъма, от M "" 1 спускаме перпендикуляра M "" 1 N "" 1 до правата линия b "" 1, тъй като десният ъгъл MND между b и MN се проектира върху равнината P 4 в пълен размер. Определяме положението на точката N "по комуникационната линия и извършваме проекцията M" N "на сегмента MN.

На последния етап трябва да определите стойността на сегмента MN по неговите проекции M "N" и M "" 1 N "" 1. За това изграждаме правоъгълен триъгълник M "" 1 N "" 1 N 0, при което кракът N "" 1 N 0 е равен на разликата (Y M 1 - Y N 1) от отстраняването на точки M "и N" от оста X 1. Дължината на хипотенузата M "" 1 N 0 на триъгълника M "" 1 N "" 1 N 0 съответства на желаното разстояние от M до b.

Второ решение

• Успоредно с CD, въвеждаме нова фронтална равнина P 4. Той пресича П 1 по оста X 1 и X 1 ∥C "D". В съответствие с метода за подмяна на равнини, ние определяме проекциите на точки C "" 1, D "" 1 и M "" 1, както е показано на фигурата.
• Перпендикулярно на C "" 1 D "" 1 изградете допълнително хоризонтална равнина П 5, върху която се проектира права линия b в точката C "2 \u003d b" 2.
• Разстоянието между точка М и права b се определя от дължината на отсечката M "2 C" 2, маркирана в червено.

Подобни задачи: