Раздели на сайта

Избор на редакторите:

Уравнение на допирателната към графиката на функцията

Статията е публикувана с подкрепата на хотелския комплекс ITAKA +. Оставайки в града на корабостроителите Северодвинск, няма да се сблъскате с проблема за намиране на временно жилище. , на сайта хотелски комплекс "ITAKA +" http://itakaplus.ru, можете лесно и бързо да наемете апартамент в града, за всеки период, с ежедневно плащане.

На настоящия етап развитието на образованието като една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество у учениците може да се развие само ако те систематично участват в основите на изследователската дейност. Основата за използване на техните творчески сили, способности и таланти от учениците са формираните пълноценни знания и умения. Във връзка с това проблемът с формирането на система от основни знания и умения по всяка тема от училищния курс по математика е от не малко значение. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическата цел не на отделните задачи, а на тяхната внимателно обмислена система. В най-широк смисъл под система се разбира съвкупност от взаимосвързани взаимодействащи елементи, които имат цялост и стабилна структура.

Помислете за методология за обучение на учениците как да съставят уравнение на допирателна към функционална графика. По същество всички проблеми при намирането на уравнението на допирателната се свеждат до необходимостта да се изберат от множеството (сноп, семейство) от прави линии тези от тях, които отговарят на определено изискване - са допирателни към графиката на някаква функция. Освен това, наборът от редове, от които се извършва изборът, може да бъде определен по два начина:

а) точка, лежаща на равнината xOy (централен пакет от линии);
б) наклонът (успореден пакет от прави линии).

В тази връзка, когато изучавахме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два типа задачи:

1) проблеми върху допирателната, дадени от точката, през която преминава;
2) задачата за допирателната, дадена от нейния наклон.

Ученето за решаване на задачи по допирателна линия се извършва с помощта на алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Нейната основна разлика от вече познатите е, че абсцисата на допирателната точка се обозначава с буквата а (вместо x0) и следователно уравнението на допирателната има формата

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(сравнете с y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Тази методична техника, по наше мнение, позволява на учениците да разберат по-бързо и лесно, когато координатите на текущата точка са записани в общото уравнение на допирателната линия и къде са точките на контакт.

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x)

1. Определете абсцисата на допирната точка с буквата а.
2. Намерете f (a).
3. Намерете f "(x) и f" (a).
4. Заместете намерените числа a, f (a), f "(a) в общото уравнение на допирателната права y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a).

Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на самоизбора на операциите на учениците и последователността на тяхното изпълнение.

Практиката показва, че последователното решение на всяка от ключовите задачи с помощта на алгоритъм ви позволява да формирате уменията за записване на уравнението на допирателната към графиката на функция на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като отправни точки за действия . Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствени действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.

При първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

допирателната преминава през точка на кривата (задача 1);
допирателната преминава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Направете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката М (3; - 2).

Решение. Точката M (3; - 2) е точката на допир, тъй като

1.а \u003d 3 - абсциса на точката на допир.
2.f (3) \u003d - 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f" (3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 - уравнение на допирателна.

Задача 2. Запишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y \u003d - x 2 - 4x + 2, преминаваща през точката M (- 3; 6).

Решение. Точката M (- 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f (- 3)6 (фиг. 2).

2.f (a) \u003d - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f" (a) \u003d - 2a - 4.
4.y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - уравнение на допирателна.

Допирателната преминава през точката М (- 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.

6 \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 \u003d 0^ a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 2.

Ако a \u003d - 4, тогава уравнението на допирателната е y \u003d 4x + 18.

Ако a \u003d - 2, тогава уравнението на допирателната има вид y \u003d 6.

Във втория тип ключовите задачи ще бъдат както следва:

допирателната е успоредна на някаква права линия (задача 3);
допирателната преминава под определен ъгъл към дадената права линия (задача 4).

Задача 3. Запишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, успоредна на права линия y \u003d 9x + 1.

Решение.

1.а - абсциса на точката на допир.
2.f (a) \u003d a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \u003d 3a 2 - 6a.

Но, от друга страна, f "(a) \u003d 9 (условие за паралелизъм). Следователно е необходимо да се реши уравнението 3a 2 - 6a \u003d 9. Корените му са a \u003d - 1, a \u003d 3 (фиг. 3 ).

4.1) a \u003d - 1;
2) f (- 1) \u003d - 1;
3) f "(- 1) \u003d 9;
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1);

y \u003d 9x + 8 - уравнение на допирателна;

1) a \u003d 3;
2) f (3) \u003d 3;
3) f "(3) \u003d 9;
4) y \u003d 3 + 9 (x - 3);

y \u003d 9x - 24 - уравнение на допирателна.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d 0,5x 2 - 3x + 1, преминаваща под ъгъл от 45 ° към правата линия y \u003d 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) \u003d tan 45 °, намираме a: a - 3 \u003d 1^ a \u003d 4.

1.а \u003d 4 - абсциса на точката на допир.
2.f (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4.y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - уравнение на допирателна.

Лесно е да се покаже, че решаването на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или няколко ключови проблема. Разгледайте следните две задачи като пример.

1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y \u003d 2x 2 - 5x - 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и един от тях докосва параболата в точка с абсциса 3 (фиг. 5).

Решение. Тъй като е дадена абсцисата на допирната точка, първата част от решението се свежда до ключов проблем 1.

1.а \u003d 3 - абсциса на допирната точка на една от страните прав ъгъл.
2.f (3) \u003d 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f" (3) \u003d 7.
4.y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - уравнението на първата допирателна линия.

Нека a - ъгълът на наклон на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y \u003d 7x - 20 от първата допирателна имаме tga \u003d 7. Намерете

Това означава, че наклонът на втората тангента е.

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Нека B (c; f (c)) е точката на допир на втората права линия, тогава

1. - абсциса на втората контактна точка.
2.
3.
4.
- уравнението на втората тангента.

Забележка. Наклонът на допирателна линия може да се намери по-лесно, ако учениците знаят съотношението на коефициентите на перпендикулярните линии k 1 k 2 \u003d - 1.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисите на допирните точки на общите допирателни, т.е. до решаване на ключовия проблем 1 в общ вид, съставяне на система от уравнения и последващото й решение (фиг. 6).

1. Нека a е абсцисата на допирателната точка, лежаща на графиката на функцията y \u003d x 2 + x + 1.
2.f (a) \u003d a 2 + a + 1.
3. f "(a) \u003d 2a + 1.
4.y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Нека c е абсцисата на точката на допир, лежаща върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) \u003d c.
4.

Тъй като допирателните са често срещани, тогава

Така че y \u003d x + 1 и y \u003d - 3x - 3 са често срещани допирателни.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготви учениците за саморазпознаване на типа ключова задача при решаване на повече сложни задачиизискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщаване, хипотеза и др.). Такива задачи могат да включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример проблема (обратен на задача 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За кои b и c са линиите y \u003d x и y \u003d - 2x допирателни към графиката на функцията y \u003d x 2 + bx + c?

Решение.

Нека t е абсцисата на точката на допир на линията y \u003d x с параболата y \u003d x 2 + bx + c; p е абсцисата на допирната точка на права линия y \u003d - 2x с параболата y \u003d x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y \u003d x приема формата y \u003d (2t + b) x + c - t 2, а уравнението на допирателната y \u003d - 2x приема формата y \u003d (2p + b) x + c - стр. 2.

Нека съставим и решим системата от уравнения

Отговор:

Задачи за независимо решение

1. Напишете уравненията на допирателните, изчертани към графиката на функцията y \u003d 2x 2 - 4x + 3 в точките на пресичане на графиката с права линия y \u003d x + 3.

Отговор: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9.5.

2. При какви стойности на a допирателната към графиката на функцията y \u003d x 2 - ax в точката на графиката с абсцисата x 0 \u003d 1 преминава през точката M (2; 3)?

Отговор: a \u003d 0,5.

3. За какви стойности на p линията y \u003d px - 5 докосва кривата y \u003d 3x 2 - 4x - 2?

Отговор: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.

4. Намерете всички общи точки на графиката на функцията y \u003d 3x - x 3 и допирателната към тази графика през точката P (0; 16).

Отговор: A (2; - 2), B (- 4; 52).

5. Намерете най-краткото разстояние между параболата y \u003d x 2 + 6x + 10 и правата линия

Отговор:

6. На кривата y \u003d x 2 - x + 1 намерете точката, в която допирателната към графиката е успоредна на линията y - 3x + 1 \u003d 0.

Отговор: M (2; 3).

7. Запишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d x 2 + 2x - | 4x | което го докосва в две точки. Направете рисунка.

Отговор: y \u003d 2x - 4.

8. Докажете, че линията y \u003d 2x - 1 не пресича кривата y \u003d x 4 + 3x 2 + 2x. Намерете разстоянието между най-близките им точки.

Отговор:

9. На параболата y \u003d x 2 се вземат две точки с абсциси x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. През тези точки се чертае секуща линия. В коя точка на параболата тангентата към нея ще бъде успоредна на изтегления секант? Запишете уравненията за сечение и допирателна.

Отговор: y \u003d 4x - 3 - уравнение в секунда; y \u003d 4x - 4 - уравнение на допирателна.

10. Намерете ъгъла q между допирателните към графиката на функцията y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, изчертана в точките с абсциси 0 и 1.

Отговор: q \u003d 45 °.

11. В кои точки допирателната към графиката на функцията прави ъгъл 135 ° с оста Ox?

Отговор: A (0; - 1), B (4; 3).

12. В точка А (1; 8) към кривата се изчертава тангента. Намерете дължината на допирателната линия между координатните оси.

Отговор:

13. Запишете уравнението на всички общи допирателни към графиките на функциите y \u003d x 2 - x + 1 и y \u003d 2x 2 - x + 0.5.

Отговор: y \u003d - 3x и y \u003d x.

14. Намерете разстоянието между допирателните до графиката на функцията, успоредна на оста на абсцисата.

Отговор:

15. Определете под какви ъгли параболата y \u003d x 2 + 2x - 8 пресича оста на абсцисата.

Отговор: q 1 \u003d арктан 6, q 2 \u003d арктан (- 6).

16. На графиката на функцията намерете всички точки, допирателни във всяка от които към тази графика пресича положителните координатни полуоси, като отрязва равни сегменти от тях.

Отговор: A (- 3; 11).

17. Правата y \u003d 2x + 7 и параболата y \u003d x 2 - 1 се срещат в точки M и N. Намерете пресечната точка K на линии, допирателни към параболата в точки M и N.

Отговор: K (1; - 9).

18. За какви стойности на b линията y \u003d 9x + b е допирателна към графиката на функцията y \u003d x 3 - 3x + 15?

Отговор: - 1; 31.

19. За какви стойности на k линията y \u003d kx - 10 има само една обща точка с графиката на функцията y \u003d 2x 2 + 3x - 2? За намерените стойности на k определете координатите на точката.

Отговор: k 1 \u003d - 5, A (- 2; 0); k 2 \u003d 11, B (2; 12).

20. При какви стойности на b допирателната към графиката на функцията y \u003d bx 3 - 2x 2 - 4 в точката с абсцисата x 0 \u003d 2 преминава през точката M (1; 8)?

Отговор: b \u003d - 3.

21. Парабола с връх по оста Ox докосва правата линия, преминаваща през точки A (1; 2) и B (2; 4), в точка B. Намерете уравнението на параболата.

Отговор:

22. При каква стойност на коефициента k параболата y \u003d x 2 + kx + 1 докосва оста Ox?

Отговор: k \u003d q 2.

23. Намерете ъглите между правата y \u003d x + 2 и кривата y \u003d 2x 2 + 4x - 3.

29. Намерете разстоянието между допирателните на генераторите до графиката на функцията с положителната посока на оста Ox, ъгъл 45 °.

Отговор:

30. Намерете мястото на върховете на всички параболи от вида y \u003d x 2 + ax + b, докосвайки линията y \u003d 4x - 1.

Отговор: ред y \u003d 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шапкар Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и началото на анализа: 3600 проблема за ученици и кандидати за университет. - М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Четвъртият семинар за млади учители. Темата е „Производни приложения“. - М., „Математика“, No 21/94.
3. Формиране на знания и умения, базирани на теорията за постепенното усвояване на умствените действия. / Изд. П.Я. Галперин, Н.Ф. Тализина. - М., Московски държавен университет, 1968.

На съвременния етап от развитието на образованието една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество у учениците може да се развие само ако те систематично участват в основите на изследователската дейност. Основата за използване на техните творчески сили, способности и таланти от учениците са формираните пълноценни знания и умения. В тази връзка проблемът за формиране на система от основни знания и умения по всяка тема училищен курс математиката е от не малко значение. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическата цел не на отделните задачи, а на тяхната внимателно обмислена система. В най-широк смисъл под система се разбира съвкупност от взаимосвързани взаимодействащи елементи, които имат цялост и стабилна структура.

а) точка, лежаща на равнината xOy (централен пакет от линии);
б) наклонът (успореден пакет от прави линии).

1) проблеми върху допирателната, дадени от точката, през която преминава;
2) задачата за допирателната, дадена от нейния наклон.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x)

1. Определете абсцисата на допирната точка с буквата а.
2. Намерете f (a).
3. Намерете f "(x) и f" (a).
4. Заместете намерените числа a, f (a), f "(a) в общото уравнение на допирателната права y \u003d f (a) \u003d f" (a) (x - a).

При първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

допирателната преминава през точка на кривата (задача 1);
допирателната преминава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Направете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката М (3; - 2).

Решение. Точката M (3; - 2) е точката на допир, тъй като

1.а \u003d 3 - абсциса на точката на допир.
2.f (3) \u003d - 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f" (3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 - уравнение на допирателна.

Решение. Точката M (- 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f (- 3) 6 (фиг. 2).

2.f (a) \u003d - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f" (a) \u003d - 2a - 4.
4.y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - уравнение на допирателна.

6 \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (- 3 - a),
a 2 + 6a + 8 \u003d 0 ^ a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 2.

Ако a \u003d - 4, тогава уравнението на допирателната е y \u003d 4x + 18.

Ако a \u003d - 2, тогава уравнението на допирателната има вид y \u003d 6.

Във втория тип ключовите задачи ще бъдат както следва:

допирателната е успоредна на някаква права линия (задача 3);
допирателната преминава под определен ъгъл към дадената права линия (задача 4).

1.а - абсциса на точката на допир.
2.f (a) \u003d a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f" (a) \u003d 3a 2 - 6a.

4.1) a \u003d - 1;
2) f (- 1) \u003d - 1;
3) f "(- 1) \u003d 9;
4) y \u003d - 1 + 9 (x + 1);

y \u003d 9x + 8 - уравнение на допирателна;

1) a \u003d 3;
2) f (3) \u003d 3;
3) f "(3) \u003d 9;
4) y \u003d 3 + 9 (x - 3);

y \u003d 9x - 24 - уравнение на допирателна.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d 0,5x 2 - 3x + 1, преминаваща под ъгъл 45 ° към правата линия y \u003d 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) \u003d tan 45 °, намираме a: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1.а \u003d 4 - абсциса на точката на допир.
2.f (4) \u003d 8 - 12 + 1 \u003d - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4.y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - уравнение на допирателна.

1.а \u003d 3 - абсциса на точката на допир на една от страните на правия ъгъл.
2.f (3) \u003d 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f" (3) \u003d 7.
4.y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - уравнението на първата допирателна линия.

Нека a е ъгълът на наклон на първата допирателна линия. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y \u003d 7x - 20 от първата допирателна, имаме tan a \u003d 7. Намерете

Това означава, че наклонът на втората тангента е.

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Нека B (c; f (c)) е точката на допир на втората права линия, тогава

1. - абсциса на втората контактна точка.
2.
3.
4.
- уравнението на втората тангента.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

1. Нека a е абсцисата на допирателната точка, лежаща на графиката на функцията y \u003d x 2 + x + 1.
2.f (a) \u003d a 2 + a + 1.
3. f "(a) \u003d 2a + 1.
4.y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. Нека c е абсцисата на точката на допир, лежаща върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) \u003d c.
4.

Тъй като допирателните са често срещани, тогава

Така че y \u003d x + 1 и y \u003d - 3x - 3 са често срещани допирателни.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготви учениците за саморазпознаване на типа ключова задача при решаване на по-сложни задачи, които изискват определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщаване, излагане на хипотеза и др.) Такива задачи могат да включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример проблема (обратен на задача 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За кои b и c са линиите y \u003d x и y \u003d - 2x допирателни към графиката на функцията y \u003d x 2 + bx + c?

Нека съставим и решим системата от уравнения

Отговор:

Статията дава подробно обяснение на дефинициите, геометричното значение на производната с графични символи... Уравнението на допирателната линия ще бъде разгледано с примери, намерени са уравненията на допирателната към кривите от 2-ри ред.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Ъгълът на наклон на правата линия y \u003d k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x към правата линия y \u003d k x + b в положителната посока.

На фигурата посоката o x е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклона с червена дъга. Синята линия се отнася до права линия.

Определение 2

Наклонът на права линия y \u003d k x + b се нарича числов коефициент k.

Наклонът е равен на допирателната на наклона на правата линия, с други думи, k \u003d t g α.

Ъгълът на наклон на правата линия е 0, само ако е успореден на х и наклонът е нула, тъй като тангенсът на нулата е 0. Следователно формата на уравнението ще бъде y \u003d b.
Ако наклонът на правата линия y \u003d k x + b е остър, тогава условията 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положително число, тъй като стойността на допирателната отговаря на условието t g α\u003e 0 и има увеличение на графиката.
Ако α \u003d π 2, тогава местоположението на правата линия е перпендикулярно на x. Равенството се задава, като се използва равенството x \u003d c, като c е реално число.
Ако ъгълът на наклон на правата линия y \u003d k x + b е тъп, тогава той отговаря на условията π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секант се нарича линия, която преминава през 2 точки от функцията f (x). С други думи, секант е права линия, която се чертае през всякакви две точки на графиката на дадена функция.

Фигурата показва, че A B е секунда, а f (x) е черна крива, α е червена дъга, което означава ъгълът на наклон на секанта.

Когато наклонът на права линия е равен на допирателната на ъгъла на наклона, може да се види, че допирателната от правоъгълен триъгълник ABC може да бъде намерена спрямо противоположния на съседния крак.

Определение 4

Получаваме формулата за намиране на секанта на формуляра:

k \u003d tg α \u003d BCAC \u003d f (x B) - fx A x B - x A, където абсцисите на точки A и B са стойностите x A, x B и f (x A), f (x Б) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно наклонът на секанта се определя, като се използва равенството k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A или k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, и уравнението трябва да бъде записано като y \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Секантът разделя графиката визуално на 3 части: вляво от точка А, от А до В, вдясно от Б. Фигурата по-долу показва, че има три секанса, които се считат за съвпадащи, т.е. зададени с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че линията и нейната секунда в в такъв случай съвпада.

Секантът може да пресича графиката на дадена функция няколко пъти. Ако има уравнение от вида y \u003d 0 за секанта, тогава броят на пресечните точки със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателната към графиката на функцията f (x) в точката x 0; f (x 0) се нарича права линия, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0), с присъствието на сегмент, който има набор от x стойности, близки до x 0.

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава може да се види, че линията, определена от функцията y \u003d x + 1, се счита за допирателна до y \u003d 2 x в точката с координати (1; 2). За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y \u003d 2 x е маркирана в черно, синята линия е допирателната линия, а червената точка е пресечната точка.

Очевидно y \u003d 2 x се слива с линията y \u003d x + 1.

За да се определи допирателната, е необходимо да се разгледа поведението на допирателната AB, когато точка B се приближава безкрайно до точка A. За по-голяма яснота представяме фигура.

Секантът AB, посочен със синята линия, се стреми към положението на самата допирателна и ъгълът на наклон на секанта α ще започне да се стреми към ъгъла на наклона на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка A е пределно положение на секанта А В, когато В има тенденция към А, т.е. B → A.

Сега ще се обърнем към разглеждането на геометричното значение на производната на функция в дадена точка.

Нека се обърнем към разглеждането на секанта А В за функцията f (x), където А и В с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) и ∆ x се означава като нарастване на аргумента ... Сега функцията приема формата ∆ y \u003d ∆ f (x) \u003d f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x). За по-голяма яснота, нека дадем пример за снимка.

Помислете за полученото правоъгълен триъгълник A B C. Използваме дефиницията на допирателната за решението, тоест получаваме съотношението ∆ y ∆ x \u003d t g α. От дефиницията на тангенс следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x \u003d t g α x. По правилото на производната в дадена точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на съотношенията на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, където ∆ x → 0, тогава ще означим като f (x 0) \u003d lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ...

От това следва, че f "(x 0) \u003d lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x \u003d t g α x \u003d k x, където k x е означен като наклон на допирателната.

Това означава, че получаваме, че f '(x) може да съществува в точката x 0 и подобно на допирателната към дадената графика на функцията в точката на допир, равна на x 0, f 0 (x 0), където стойността на наклона на допирателната в точката е равна на производната в точката x 0. Тогава получаваме, че k x \u003d f "(x 0).

Геометричното значение на производната на функция в дадена точка е, че е дадена концепцията за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да напишете уравнението на всяка права линия на равнина, трябва да имате наклон с точка, през която тя преминава. Означението му се приема като x 0 в пресечната точка.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Означава, че крайна стойност производна f "(x 0), можете да определите позицията на допирателната, тоест вертикално при условие lim x → x 0 + 0 f" (x) \u003d ∞ и lim x → x 0 - 0 f "(x ) \u003d ∞ или изобщо няма за условие lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Разположението на допирателната зависи от стойността на нейния наклон kx \u003d f "(x 0). Когато е успоредна на оста на вол, получаваме, че kk \u003d 0, когато е успоредна на oy - kx \u003d ∞, и формата на уравнението на допирателната x \u003d x 0 нараства при kx\u003e 0, намалява за kx< 0 .

Пример 2

Начертайте уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точка с координати (1; 3) с определяне на ъгъла на наклон.

Решение

По хипотеза имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Получаваме, че точката с координатите, дадени от условието (1; 3), е точката на допир, тогава x 0 \u003d - 1, f (x 0) \u003d - 3.

Необходимо е да се намери производната в точката със стойността - 1. Получаваме това

y "\u003d ex + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" \u003d \u003d ex + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" \u003d ex + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) \u003d y" (- 1) \u003d e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 \u003d 3 3

Стойността f '(x) при допир е наклонът на допирателната, който е равен на допирателната на наклона.

Тогава k x \u003d t g α x \u003d y "(x 0) \u003d 3 3

Оттук следва, че α x \u003d a r c t g 3 3 \u003d π 6

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота ще дадем пример в графична илюстрация.

Черното се използва за графика на оригиналната функция, син цвят - допирателно изображение, червена точка - точка на допир. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Разберете съществуването на съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y \u003d 3 x - 1 5 + 1 в точката с координати (1; 1). Оформете уравнение и определете ъгъла на наклон.

Решение

По хипотеза имаме, че областта на дадена функция е множеството от всички реални числа.

Обръщаме се към намирането на производната

y "\u003d 3 x - 1 5 + 1" \u003d 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 \u003d 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 \u003d 1, тогава f '(x) е недефинирано, но границите се записват като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 1 (+ 0) 4 5 \u003d 3 5 1 + 0 \u003d + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 \u003d 3 5 1 (- 0) 4 5 \u003d 3 5 1 + 0 \u003d + ∞, което означава наличието на вертикална допирателна при точка (1; 1).

Отговор: уравнението ще приеме формата x \u003d 1, където наклонът ще бъде равен на π 2.

За по-голяма яснота ще го изобразим графично.

Пример 4

Намерете точките на графиката на функцията y \u003d 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, където

Тангенсът не съществува;
Допирателната е успоредна на х;
Допирателната е успоредна на линията y \u003d 8 5 x + 4.

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на областта на дефиницията. По хипотеза имаме, че функцията е дефинирана на множеството от всички реални числа. Разширете модула и решете системата с интервали x ∈ - ∞; 2 и [- 2; + ∞). Получаваме това

y \u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Необходимо е да се разграничи функцията. Ние го имаме

y "\u003d - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) y" \u003d - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Когато x \u003d - 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 \u003d - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 \u003d - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) \u003d lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 \u003d 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x \u003d - 2, където получаваме това

y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, тоест допирателната в точката ( - 2; - 2) няма да съществува.
Допирателната линия е успоредна на х, когато наклонът е нула. Тогава kx \u003d tan α x \u003d f "(x 0). Това означава, че е необходимо да се намерят стойностите на такъв x, когато производната на функцията го превърне в нула. (x) ще бъдат допирни точки, където допирателната е успоредна на x ...

Когато x ∈ - ∞; - 2, тогава - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0, а за x ∈ (- 2; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 35 \u003d 144 - 140 \u003d 4 x 1 \u003d - 12 + 4 2 \u003d - 5 ∈ - ∞; - 2 x 2 \u003d - 12 - 4 2 \u003d - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 3 \u003d 4 x 3 \u003d 4 - 4 2 \u003d 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 \u003d 4 + 4 2 \u003d 3 ∈ - 2; + ∞

Изчислете съответните стойности на функцията

y 1 \u003d y - 5 \u003d 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 \u003d 8 5 y 2 \u003d y (- 7) \u003d 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 \u003d 4 3 y 3 \u003d y (1) \u003d 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 \u003d 8 5 y 4 \u003d y (3) \u003d 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 \u003d 4 3

Следователно - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 се считат за необходимите точки на функционалната графика.

Обмисли графично изображение решения.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са допирните точки.

Когато линиите са успоредни, наклоните са равни. След това трябва да потърсите точки на графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5. За да направим това, трябва да решим уравнение на формата y "(x) \u003d 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) \u003d 8 5 и ако x ∈ (- 2; + ∞), тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5.

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминант по-малко от нула... Нека го напишем

1 5 x 2 + 12 x + 35 \u003d 8 5 x 2 + 12 x + 43 \u003d 0 D \u003d 12 2 - 4 43 \u003d - 28< 0

Тогава друго уравнение има два реални корена

1 5 (x 2 - 4 x + 3) \u003d 8 5 x 2 - 4 x - 5 \u003d 0 D \u003d 4 2 - 4 · (- 5) \u003d 36 x 1 \u003d 4 - 36 2 \u003d - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 \u003d 4 + 36 2 \u003d 5 ∈ - 2; + ∞

Нека да преминем към намирането на стойностите на функцията. Получаваме това

y 1 \u003d y (- 1) \u003d 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 \u003d 4 15 y 2 \u003d y (5) \u003d 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 \u003d 8 3

Точки със стойности - 1; 4 15, 5; 8 3 са точките, в които допирателните са успоредни на линията y \u003d 8 5 x + 4.

Отговор:черна линия - графика на функцията, червена линия - графика y \u003d 8 5 x + 4, синя линия - допирателни в точки - 1; 4 15, 5; 8 3.

Може да има безкраен брой допирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични допирателни към функцията y \u003d 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, които са разположени перпендикулярно на линията y \u003d - 2 x + 1 2.

Решение

За да се състави уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициентът и координатите на точката на допир, въз основа на условието за перпендикулярност на прави линии. Определението е следното: произведението на коефициентите на наклон, които са перпендикулярни на прави линии, е равно на 1, тоест то се записва като k x · k ⊥ \u003d - 1. От условието имаме наклонът да е перпендикулярен на права линия и да е равен на k ⊥ \u003d - 2, след това k x \u003d - 1 k ⊥ \u003d - 1 - 2 \u003d 1 2.

Сега трябва да намерите координатите на допирните точки. Трябва да намерите x, след което стойността му за дадена функция. Имайте предвид, че от геометричното значение на производната в точката
x 0 получаваме, че k x \u003d y "(x 0). От това равенство намираме стойностите на x за контактните точки.

Получаваме това

y "(x 0) \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" \u003d 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 "\u003d \u003d - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d - 1 9

то тригонометрично уравнение ще се използва за изчисляване на ординатите на допирните точки.

3 2 x 0 - π 4 \u003d a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 \u003d π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 \u003d - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 \u003d π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 \u003d 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 \u003d 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z е набор от цели числа.

Намерени x точки на допир. Сега трябва да преминете към търсенето на стойности за y:

y 0 \u003d 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 \u003d 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 \u003d 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 \u003d 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 \u003d 4 5 - 1 3 или y 0 \u003d - 4 5 + 1 3

Оттук получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 са допирни точки.

Отговор: необходимите уравнения ще бъдат записани като

y \u003d 1 2 x - 2 3 π 4 - дъг sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y \u003d 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне разгледайте функция и тангента на координатната линия.

Фигурата показва, че местоположението на функцията е в интервала [- 10; 10], където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателните, които са разположени перпендикулярно на дадената линия от вида y \u003d - 2 x + 1 2. Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на криви от порядък 2 не са еднозначни функции. Уравненията на допирателните за тях са съставени по известни схеми.

Тангенс на кръга

За определяне на окръжност, центрирана в точката x c e n t e r; y c e n t e r и радиус R се прилага формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 \u003d R 2.

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Първата функция е отгоре, а втората е отдолу, както е показано на фигурата.

Да съставим уравнението на окръжността в точката x 0; y 0, което се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функцията на формата y \u003d R 2 - x - xcenter 2 + ycenter или y \u003d - R 2 - x - xcenter 2 + ycenter в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r; y c e n t e r + R и x c e n t e r; y c e n t e r - R тангенсите могат да бъдат дадени от уравненията y \u003d y c e n t e r + R и y \u003d y c e n t e r - R, а в точките x c e n t e r + R; y c e n t e r и
x c e n t e r - R; y c e n t e r ще бъде успореден на y, тогава получаваме уравнения от вида x \u003d x c e n t e r + R и x \u003d x c e n t e r - R.

Тангенс на елипса

Когато елипсата има център в точката x c e n t e r; y c e n t e r с полуоси a и b, тогава може да се уточни, като се използва уравнението x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1.

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава получаваме това

y \u003d b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y \u003d - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени по върховете на елипсата, тогава те са успоредни около х или около у. По-долу, за по-голяма яснота, помислете за фигурата.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 в точките със x стойности, равни на x \u003d 2.

Решение

Необходимо е да се намерят точките на допир, които съответстват на стойността x \u003d 2. Заместваме в съществуващото уравнение на елипсата и получаваме това

x - 3 2 4 x \u003d 2 + y - 5 2 25 \u003d 1 1 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 ⇒ y - 5 2 \u003d 3 4 25 ⇒ y \u003d ± 5 3 2 + 5

Тогава 2; 5 3 2 + 5 и 2; - 5 3 2 + 5 са \u200b\u200bдопирни точки, които принадлежат към горната и долната полуелипса.

Обръщаме се към намиране и решаване на уравнението на елипсата по отношение на y. Получаваме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 \u003d 1 y - 5 2 25 \u003d 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 \u003d 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 \u003d ± 5 1 - x - 3 2 4 y \u003d 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно горната полуелипса е зададена с помощта на функция от вида y \u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2, а долната y \u003d 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Нека приложим стандартния алгоритъм, за да формираме уравнението на допирателната към графиката на функцията в дадена точка. Записваме, че уравнението за първата допирателна в точка 2; 5 3 2 + 5 ще има формата

y "\u003d 5 + 5 2 4 - x - 3 2" \u003d 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d - 5 2 x - 3 4 - (x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Получаваме, че уравнението на втората тангента със стойността в точката
2; - 5 3 2 + 5 приема формата

y "\u003d 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" \u003d - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 "\u003d \u003d 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) \u003d y" (2) \u003d 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 \u003d - 5 2 3 ⇒ y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y \u003d - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично допирателните са обозначени както следва:

Допирателна към хипербола

Когато хиперболата има център в точката x c e n t e r; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α; y c e n t e r и x c e n t e r - α; y c e n t e r, неравенството е посочено x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d 1, ако с върхове x c e n t e r; y c e n t e r + b и x c e n t e r; y c e n t e r - b, тогава се дава от неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 \u003d - 1.

Хиперболата може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y \u003d ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycentery \u003d - ba (x - xcenter) 2 - a 2 + ycenter или y \u003d ba (x - xcenter) 2 + a 2 + ycentery \u003d - ba (x - xcenter ) 2 + a 2 + ycenter

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на у, а във втория - успоредни на х.

Оттук следва, че за да се намери уравнението на допирателната към хиперболата, е необходимо да се разбере на коя функция принадлежи точката на допирателната. За да се определи това, е необходимо да се направи заместване в уравненията и да се проверят за идентичност.

Пример 7

Направете уравнението на допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 в точка 7; - 3 3 - 3.

Решение

Необходимо е записът на решението за намиране на хиперболата да се трансформира с помощта на 2 функции. Получаваме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 \u003d 1 ⇒ y + 3 2 9 \u003d x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 \u003d 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 \u003d 3 2 x - 3 2 - 4 и l и y + 3 \u003d - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y \u003d 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y \u003d - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се установи на коя функция принадлежи дадената точка с координати 7; - 3 3 - 3.

Очевидно е, че за да проверите първата функция, трябва y (7) \u003d 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не е изпълнено.

За втората функция имаме, че y (7) \u003d - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 \u003d - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, което означава, че точката принадлежи на дадената графика . От тук трябва да се намери наклонът.

Получаваме това

y "\u003d - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" \u003d - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ kx \u003d y "(x 0) \u003d - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 \u003d 7 \u003d - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 \u003d - 3

Отговор: уравнението на допирателната може да бъде представено като

y \u003d - 3 x - 7 - 3 3 - 3 \u003d - 3 x + 4 3 - 3

Той е ясно изобразен по следния начин:

Тангенс на парабола

За да съставите уравнението на допирателната към параболата y \u003d ax 2 + bx + c в точката x 0, y (x 0), трябва да използвате стандартния алгоритъм, тогава уравнението ще приеме формата y \u003d y "(x 0) x - x 0 + y (x 0). Такава допирателна в върха е успоредна на x.

Параболата x \u003d a y 2 + b y + c трябва да бъде посочена като обединение на две функции. Следователно е необходимо да се реши уравнението за y. Получаваме това

x \u003d ay 2 + по + c ⇔ ay 2 + по + c - x \u003d 0 D \u003d b 2 - 4 a (c - x) y \u003d - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 ay \u003d - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Нека изобразим графично като:

За да разберете дали точката x 0, y (x 0) принадлежи на функция, е нежно да се действа според стандартния алгоритъм. Такава допирателна линия ще бъде успоредна на около параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме ъгъл на наклон на допирателната 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Получаваме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x \u003d 0 D \u003d (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) \u003d 49 - 8 xy \u003d 5 + 49 - 8 x - 4 y \u003d 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точката x 0 на тази функция и е равна на допирателната на наклона.

Получаваме:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Оттук определяме стойността на x за точките на контакт.

Първата функция ще бъде записана като

y "\u003d 5 + 49 - 8 x - 4" \u003d 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като те са получили отрицателна стойност. Заключваме, че няма допирателна с ъгъл 150 ° за такава функция.

Втората функция ще бъде записана като

y "\u003d 5 - 49 - 8 x - 4" \u003d - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) \u003d - 1 49 - 8 x 0 \u003d - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 \u003d - 3 x 0 \u003d 23 4 ⇒ y (x 0) \u003d 5 - 49 - 8 23 4 - 4 \u003d - 5 + 3 4

Имаме, че контактните точки са 23 4; - 5 + 3 4.

Отговор: уравнението на допирателната приема формата

y \u003d - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го изобразим графично по този начин:

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Тангенсът е права линия , която докосва графиката на функцията в една точка и всички точки на която са на най-малкото разстояние от графиката на функцията. Следователно допирателната преминава допирателна към графиката на функцията под определен ъгъл и няколко допирателни под различни ъгли не могат да преминат през допирателната точка. Уравненията на допирателните и нормалните уравнения към графиката на функцията се конструират с помощта на производната.

Уравнението на допирателната е получено от уравнението с права линия .

Извеждаме уравнението на допирателната линия и след това уравнението на нормалата към графиката на функцията.

у = kx + б .

В него к е наклонът.

Оттук получаваме следния запис:

у - у0 = к(х - х0 ) .

Производна стойност е "(х0 ) функция у = е(х) в точката х0 равен на наклона к \u003d tg φ допирателна към графиката на функцията, изтеглена през точка М0 (х0 , у0 ) където у0 = е(х0 ) ... Това е производно геометрично значение .

По този начин можем да заменим к На е "(х0 ) и вземете следното уравнение на допирателната към графиката на функция :

у - у0 = е "(х0 )(х - х0 ) .

В задачите за съставяне на уравнението на допирателната линия към графиката на функция (и скоро ще преминем към тях) се изисква уравнението, получено съгласно горната формула, да уравнението на правата линия в общ вид ... За да направите това, трябва да прехвърлите всички букви и цифри в лява страна уравнението и оставете нула от дясната страна.

Сега за нормалното уравнение. Нормално е права линия, преминаваща през точката на допир до графиката на функцията, перпендикулярна на допирателната. Нормално уравнение :

(х - х0 ) + е "(х0 )(у - у0 ) = 0

За загряване първият пример трябва да бъде решен независимо и след това да се види решението. Има всички основания да се надяваме, че тази задача няма да бъде „студен душ“ за нашите читатели.

Пример 0. Напишете уравнение на допирателна и нормално уравнение към графиката на функция в точка М (1, 1) .

Пример 1. Напишете уравнение на допирателна и нормално уравнение към графиката на функция ако абсцисата на допирната точка.

Нека намерим производната на функцията:

Сега имаме всичко, което трябва да бъде заменено в записа, даден в теоретичната справка, за да получим уравнението на допирателната. Получаваме

В този пример имахме късмет: наклонът се оказа нулев, така че отделно намалете уравнението до общ изглед не беше необходимо. Сега можем да съставим нормалното уравнение:

На снимката по-долу: графиката на бордовата цветна функция, допирателна зелен цвят, нормалното е оранжево.

Следващият пример също не е сложен: функцията, както и в предишния, също е полином, но наклонът няма да бъде нулев, така че ще бъде добавена още една стъпка - привеждане на уравнението в общ вид.

Пример 2.

Решение. Намерете ординатата на допирната точка:

Нека намерим производната на функцията:

Намерете стойността на производната в допирателната точка, тоест наклона на допирателната:

Заместваме всички получени данни в "празна формула" и получаваме уравнението на тангента:

Привеждаме уравнението в обща форма (събираме всички букви и цифри, различни от нула от лявата страна и оставяме нула отдясно):

Съставяме нормалното уравнение:

Пример 3. Запишете уравнението на допирателната линия и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на допирателната точка.

Решение. Намерете ординатата на допирната точка:

Нека намерим производната на функцията:

Намерете стойността на производната в допирателната точка, тоест наклона на допирателната:

Намерете уравнението на допирателната:

Преди да приведете уравнението в обща форма, трябва да го "разчесате" малко: умножете по 4. Ние правим това и привеждаме уравнението в общ вид:

Съставяме нормалното уравнение:

Пример 4. Запишете уравнението на допирателната линия и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на допирателната точка.

Решение. Намерете ординатата на допирната точка:

Нека намерим производната на функцията:

Намерете стойността на производната в допирателната точка, тоест наклона на допирателната:

Получаваме уравнението на допирателната:

Привеждаме уравнението в общ вид:

Съставяме нормалното уравнение:

Често срещана грешка при писане на допирателни и нормални уравнения е да не забележите, че функцията, дадена в примера, е сложна и да изчислите нейното производно като производно на проста функция. Следващите примери вече са от сложни функции (съответният урок ще се отвори в нов прозорец).

Пример 5. Запишете уравнението на допирателната линия и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на допирателната точка.

Решение. Намерете ординатата на допирната точка:

Внимание! Тази функция - сложен, тъй като аргументът на допирателната (2 х ) сама по себе си е функция. Следователно ще намерим производната на функцията като производна на сложна функция.

Пример 1. Функцията е дадена е(х) = 3х 2 + 4х - 5. Нека запишем уравнението на допирателната към графиката на функцията е(х) в точката на графиката с абсцисата х 0 = 1.

Решение. Производна функция е(х) съществува за всяко x R ... Нека го намерим:

= (3х 2 + 4х - 5) ′ \u003d 6 х + 4.

Тогава е(х 0) = е(1) = 2; (х 0) \u003d \u003d 10. Уравнението на допирателната е:

у = (х 0) (х – х 0) + е(х 0),

у = 10(х – 1) + 2,

у = 10х – 8.

Отговор. у = 10х – 8.

Пример 2. Функцията е дадена е(х) = х 3 – 3х 2 + 2х + 5. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията е(х) успоредно на права линия у = 2х – 11.

Решение. Производна функция е(х) съществува за всяко x R ... Нека го намерим:

= (х 3 – 3х 2 + 2х + 5) ′ \u003d 3 х 2 – 6х + 2.

Тъй като допирателната към графиката на функцията е(х) в точката с абсцисата х 0 успоредно на права линия у = 2х - 11, тогава наклонът му е 2, т.е. х 0) \u003d 2. Нека намерим тази абсциса от условието, че 3 х– 6х 0 + 2 \u003d 2. Това равенство е валидно само за х 0 \u003d 0 и за х 0 \u003d 2. Тъй като и в двата случая е(х 0) \u003d 5, след това права линия у = 2х + б докосва графиката на функцията или в точка (0; 5), или в точка (2; 5).

В първия случай числовото равенство е вярно 5 \u003d 2 × 0 + бот къде б \u003d 5, а във втория случай числовото равенство 5 \u003d 2 × 2 + бот къде б = 1.

Така че има две допирни у = 2х + 5 и у = 2х + 1 за функционална графика е(х) успоредно на права линия у = 2х – 11.

Отговор. у = 2х + 5, у = 2х + 1.

Пример 3. Функцията е дадена е(х) = х 2 – 6х + 7. Запишете уравнението на допирателната към графиката на функцията е(х) преминавайки през точката A (2; –5).

Решение. Защото е(2) –5, след което точка A не принадлежи на функционалната графика е(х). Нека бъде х 0 е абсцисата на точката на допир.

Производна функция е(х) съществува за всяко x R ... Нека го намерим:

= (х 2 – 6х + 1) ′ \u003d 2 х – 6.

Тогава е(х 0) = х– 6х 0 + 7; (х 0) = 2х 0 - 6. Уравнението на допирателната е:

у = (2х 0 – 6)(х – х 0) + х– 6х+ 7,

у = (2х 0 – 6)х– х+ 7.

Тъй като точката A принадлежи на допирателната права, тогава числовото равенство

–5 = (2х 0 - 6) × 2– х+ 7,

от къде х 0 \u003d 0 или х 0 \u003d 4. Това означава, че през точката Aможете да нарисувате две допирателни към графиката на функцията е(х).

Ако х 0 \u003d 0, тогава уравнението на допирателната има формата у = –6х + 7. Ако х 0 \u003d 4, тогава уравнението на допирателната има формата у = 2х – 9.

Отговор. у = –6х + 7, у = 2х – 9.

Пример 4. Дадени функции е(х) = х 2 – 2х + 2 и ж(х) = –х 2 - 3. Нека напишем уравнението на общата допирателна права към графиките на тези функции.

Решение. Нека бъде х 1 - абсциса на точката на допир на желаната права линия с графиката на функцията е(х), и х 2 - абсциса на точката на допир на същата права линия с графиката на функцията ж(х).

Производна функция е(х) съществува за всяко x R ... Нека го намерим:

= (х 2 – 2х + 2) ′ \u003d 2 х – 2.

Тогава е(х 1) = х– 2х 1 + 2; (х 1) = 2 х 1 - 2. Уравнението на допирателната има вид:

у = (2х 1 – 2)(х – х 1) + х– 2х 1 + 2,

у = (2х 1 – 2)х – х+ 2. (1)

Намерете производната на функцията ж(х):

= (–х 2 - 3) ′ \u003d –2 х.

Прочети:

Проект "Домашен начин за белене на боровинки" Домашна торта с маково семе: най-добрите рецепти Как да отмъстите на човек, който ви е обидил, съсипва живота на врага Как да готвим вкусно замразени зеленчуци, без да отделяме много време и усилия Как се изчислява преминаващият резултат

Прочети: