Изявлението е по-сложна формация от име. Когато разлагаме твърдения на по-прости части, винаги получаваме определени имена. Да кажем, че поговорката „Слънцето е звезда“ включва имената „Слънце“ и „Звезда“ като свои части.

Казвайки - граматично правилно изречение, взето заедно със значението (съдържанието), изразено от него и което е вярно или невярно.

Концепцията за изказ е една от оригиналните, ключови понятия модерна логика. Като такова не позволява точно определение, еднакво приложими в различните му раздели.

Твърдението се счита за вярно, ако даденото от него описание отговаря на реална ситуация и за невярно, ако не отговаря на него. „Истина“ и „лъжа“ се наричат \u200b\u200b„стойности на истината на твърденията“.

От отделни твърдения различни начини можете да създавате нови изявления. Например от изявленията „Вятърът духа“ и „Вали дъжд“ можете да формирате по-сложни изявления „Духа вятър и вали“, „Или вятърът духа, или вали“, „Ако вали, после духа вятър ”и т.н.

Поговорката се нарича просто, ако не включва други твърдения като части от него.

Поговорката се нарича сложно, ако се получава с помощта на логически свързващи елементи от други по-прости твърдения.

Помислете за най-много важни начини конструиране трудни изказвания.

Отрицателно твърдение се състои от първоначално твърдение и отрицание, обикновено изразено с думите „не“, „не е вярно, че“. По този начин отрицателното твърдение е сложно твърдение: то включва като своя част изявление, различно от него. Например отрицанието на твърдението „10 е четно число“ е изявлението „10 не е четно число“ (или: „Не е вярно, че 10 е четно число“).

Нека обозначим изявленията с букви A, B, C, ... Пълният смисъл на понятието за отричане на изявление се дава от условието: ако изявлението И е вярно, отрицанието му е невярно и ако И false, отричането му е вярно. Например, тъй като твърдението „1 е положително цяло число“ е вярно, отрицанието му „1 не е цяло число положително число„Е фалшив и тъй като„ 1 е просто число “е фалшиво, отрицанието му„ 1 не е просто число “е вярно.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "и", дава сложен израз, наречен съчетание. Изявленията, събрани по този начин, се наричат \u200b\u200b„термини за съвпад“.

Например, ако изявленията „Днес е горещо“ и „Вчера беше студено“ се комбинират по този начин, съединението „Днес е горещо и вчера беше студено“.

Съединението е вярно само ако и двете твърдения, включени в него, са верни; ако поне един от членовете му е фалшив, тогава целият конюнкция е фалшив.

В обикновения език две твърдения са свързани чрез съединението "и", когато са свързани по съдържание или значение. Природата на тази връзка не е напълно ясна, но е ясно, че не бихме разглеждали съединението „Той носеше палто, а аз отидох в университет“ като израз, който има значение и може да бъде вярно или невярно. Въпреки че твърденията „2 е просто число“ и „Москва е голям град„Вярно ли е, ние не сме склонни да считаме за истина тяхната съвкупност„ 2 е просто число, а Москва е голям град “, тъй като съставните изявления не са свързани помежду си по значение. Опростявайки значението на съвпад и други логически съединителни връзки и отказвайки за това от неясната концепция за "връзка на твърдения по смисъл", логиката прави значението на тези съединения едновременно по-широко и по-определено.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "или" дава дизюнкция тези твърдения. Изявленията, които образуват дизюнкция, се наричат \u200b\u200b„членове на дизюнкцията“.

Думата „или“ в ежедневния език има две различни значения. Понякога това означава „едното или другото или и двете“, а понякога „едното или другото, но не и двете“. Например, казвайки „Този \u200b\u200bсезон искам да отида“ Пиковата дама„Или„ Аида “позволява възможността за две посещения на хонрата. В изявлението „Той учи в Москва или Ярославския университет“ се подразбира, че споменатото лице учи само в един от тези университети.

Нарича се първото значение на „или“ неизключителен. Взето в този смисъл, разграничаването на две твърдения означава, че поне едно от тези твърдения е вярно, независимо дали и двете са верни или не. Взето във втория, с изключение или в строгия смисъл, разделянето на две твърдения твърди, че едното от твърденията е вярно, а другото е невярно.

Неекслузивната дизюнкция е вярна, когато поне едно от включените в нея твърдения е вярно, а невярно само когато и двете от условията й са неверни.

Изключителната дизюнкция е вярна, когато само едно от условията й е вярно, и е невярно, когато и двете от условията й са верни или и двете са неверни.

В логиката и математиката думата „или“ почти винаги се използва в неизключителен смисъл.

Условна декларация - сложно изявление, обикновено формулирано с помощта на връзката "ако ..., тогава ..." и установяващо това едно събитие, състояние и т.н. е в един или друг смисъл основа или условие за друг.

Например: „Ако има огън, значи има дим“, „Ако числото се дели на 9, то се дели на 3“ и т.н.

Условното твърдение се състои от две по-прости изрази. Извиква се този, на който думата „ако“ е с префикс основа, или предшественик (предишен), се извиква изявлението, което идва след думата „това“ следствие, или последващо (последващо).

Като твърдим условно твърдение, ние преди всичко имаме предвид, че не може да се случи това, което се казва в основата му, и това, което се казва в следствието, отсъства. С други думи, не може да се случи предшественикът да е верен, а последващият да е невярен.

По отношение на условно твърдение обикновено се дефинират понятията за достатъчно и необходимо условие: антецедентът (причината) е достатъчно условие за последващото (следствие) и последващото е необходимо условие за предшественика. Например, истинността на условното твърдение „Ако изборът е рационален, тогава се избира най-добрата налична алтернатива“ означава, че рационалността е достатъчна причина за избора на най-добрата налична възможност и че изборът на такава възможност е необходимо условие за неговата рационалност.

Типична функция на условния израз е да оправдае едно твърдение чрез препратка към друго твърдение. Например фактът, че среброто е електропроводимо, може да бъде оправдано, като се позовава на факта, че е метал: „Ако среброто е метал, то е електропроводимо“.

Връзката между оправдателното и оправданото (основания и последици), изразено с условно изложение, е трудно да се характеризира в общ изглед, и само понякога природата е относително ясна. Тази връзка може да бъде, на първо място, връзката на логическото следствие, което се осъществява между помещенията и заключението на правилния извод („Ако всички живи многоклетъчни същества са смъртни, а медузата е такова същество, значи тя е смъртна“); второ, по природния закон („Ако едно тяло е подложено на триене, то ще започне да се нагрява“); трето, чрез причинно-следствена връзка („Ако Луната на новолуние е във възела на своята орбита, слънчево затъмнение"); четвърто, социален модел, правило, традиция и т.н. („Ако обществото се промени, човекът също се променя“, „Ако съветът е разумен, той трябва да бъде спазен“).

С връзката, изразена с условно твърдение, обикновено се комбинира убеждението, че следствието с определена необходимост "следва" от фондацията и че има някакъв общ закон, след като сме успели да формулираме, което логично бихме могли да изведем последицата от основата .

Например условното твърдение „Ако бисмутът е метал, е пластмаса“, така да се каже, предполага общия закон „Нито един от металите не е пластмаса“, което прави следствието от това твърдение логична последица от неговия предшественик.

Както в обикновения език, така и в езика на науката, условното твърдение, освен функцията за обосновка, може да изпълнява и редица други задачи: да формулира условие, което не е свързано с някакъв подразбиращ се общ закон или правило („Ако искам, Ще си отрежа наметалото ”); коригирайте всяка последователност („Ако миналото лято беше сухо, то тази година беше дъждовно“); изразява недоверие в особена форма („Ако решите този проблем, ще докажа великата теорема на Ферма“); опозиция („Ако в градината расте бъз, тогава чичо живее в Киев“) и др. Множествеността и хетерогенността на функциите на условното твърдение значително усложнява неговия анализ.

Използването на условно твърдение е свързано с определени психологически фактори. По този начин ние обикновено формулираме такова твърдение само ако не знаем със сигурност дали неговият предшественик и последващ са верни или не. В противен случай използването му изглежда неестествено („Ако ватата е метална, това не е електрическа жица“).

Условното твърдение намира много широко приложение във всички области на разсъжденията. В логиката той е представен, като правило, чрез импликативно изявление, или последици. В същото време логиката изяснява, систематизира и опростява използването на „ако ... тогава ...“, освобождава го от влиянието на психологически фактори.

Логиката се разсейва, по-специално, от факта, че връзката на основата и ефекта, която е характерна за условно изказване, в зависимост от контекста, може да бъде изразена с помощта на ns само "ако ... тогава ...", но и други езикови средства... Например „Тъй като водата е течна, тя пренася равномерно налягането във всички посоки“, „Въпреки че пластилинът не е метал, той е пластмаса“, „Ако дървото беше метал, то би било електропроводимо“ и т.н. Тези и подобни твърдения са представени на езика на логиката посредством импликация, въпреки че използването на „ако ... тогава ...“ в тях не би било напълно естествено.

Като твърдим импликация, ние твърдим, че не може да се случи основаването му и ефектът да отсъства. С други думи, импликацията е фалшива само когато причината е вярна, а ефектът е фалшив.

Тази дефиниция приема, подобно на предишните дефиниции на свързващи вещества, че всяко твърдение е или вярно, или невярно и че стойността на истинността на сложното твърдение зависи само от стойностите на истинността на съставните му твърдения и от начина, по който са свързани.

Импликацията е вярна, когато и нейната основа, и нейният ефект са верни или неверни; вярно е, ако основата му е фалшива и ефектът е верен. Само в четвъртия случай, когато основата е вярна и следствието е невярно, подтекстът е невярен.

Импликацията не означава, че твърденията И и IN някак си свързани помежду си по съдържание. Ако е вярно IN казвайки „ако И, тогава В " вярно, независимо дали И вярно или невярно и е свързано по смисъл с IN или не.

Например следните твърдения се считат за верни: „Ако има живот на Слънцето, тогава два пъти два е четири“, „Ако Волга е езеро, то Токио е голямо село“ и т.н. Условното твърдение също е вярно, когато И фалшив, и пак безразличен, верен IN или не и е свързано по съдържание с И или не. Твърденията са верни: „Ако Слънцето е куб, значи Земята е триъгълник“, „Ако два пъти по два е равно на пет, то Токио е малък град“ и т.н.

В обикновените разсъждения е малко вероятно всички тези твърдения да се считат за значими и още по-малко за верни.

Въпреки че импликацията е полезна за много цели, тя не е напълно съвместима с конвенционалното разбиране за условната комуникация. Импликацията обхваща много важни характеристики на логическото поведение на условния израз, но в същото време не е достатъчно адекватно описание на него.

През последния половин век имаше енергични опити за реформа на теорията за импликацията. В случая не ставаше дума за отхвърляне на описаната концепция за импликация, а за въвеждане заедно с нея на друга концепция, която отчита не само истинността на изказванията, но и тяхната връзка в съдържанието.

Тясно свързано с импликацията еквивалентност, понякога наричан "двойно внушение".

Еквивалентността е сложно твърдение „А ако и само ако В“, образувано от твърдения на лъжа Б и разложено на две последици: „ако И, след това B "и" ако B, тогава И". Например: "Триъгълникът е равностранен тогава и само ако е конформален." С термина „еквивалентност“ се обозначава и връзката „... ако и само ако ...“, с помощта на която дадено сложно изявление се формира от две твърдения. Вместо „ако и само ако“ за тази цел може да се използва „ако и само ако“, „ако и само ако“ и т.н.

Ако логическите връзки са дефинирани по отношение на истината и лъжата, еквивалентността е вярна тогава и само ако и двете твърдения от нея имат една и съща стойност на истината, т.е. когато и двамата са верни или и двете са неверни. Съответно еквивалентността е невярна, когато едно от твърденията, включени в нея, е вярно, а другото е невярно.

Пропозиционна логика , наричан още логика на предложенията, е клон на математиката и логиката, който изучава логическите форми на сложни твърдения, изградени от прости или елементарни твърдения с помощта на логически операции.

Логиката на изказванията се отвлича от съдържанието на изказванията и изучава тяхната истинност, тоест дали твърдението е вярно или невярно.

Горната снимка е илюстрация на явление, известно като „Парадоксът на лъжеца“. В същото време, според мнението на автора на проекта, подобни парадокси са възможни само в среди, които не са свободни от политически проблеми, където някой априори може да бъде заклеймен като лъжец. В естествен многопластов свят на субектът „истина“ или „лъжа“ се оценява само за отделни твърдения ... И по-нататък в този урок ще ви бъде представен възможността да се оценят по този въпрос много твърдения (и след това вижте правилните отговори). Включително сложни изрази, в които по-простите са свързани чрез знаци за логически операции. Но първо нека разгледаме тези операции върху самите изявления.

Предложната логика се използва в компютърните науки и програмирането под формата на деклариране на логически променливи и присвояване на тях логически стойности „false“ или „true“, от които зависи ходът на по-нататъшното изпълнение на програмата. В малки програми, в които е включена само една булева променлива, тази булева променлива често получава име като „флаг“ и се приема, че е „вдигнат флаг“, когато стойността на тази променлива е „вярно“ и „флагът е изключен“, когато стойността на тази променлива е false. В големи програми, в които има няколко или дори много булеви променливи, професионалистите трябва да измислят имената на булеви променливи под формата на изрази и семантично натоварванекоето ги отличава от другите булеви променливи и разбираемо за други специалисти, които ще четат текста на тази програма.

По този начин може да бъде декларирана булева променлива с името "UserRegistered" (или нейния аналог на английски език) под формата на изявление, на което може да се присвои булева стойност "true", ако са изпълнени условията данните за регистрация е изпратено от потребителя и тези данни са признати за подходящи от програмата. При по-нататъшни изчисления стойностите на променливите могат да се променят в зависимост от това коя булева стойност („true“ или „false“) има променливата „UserRegistered“. В други случаи на променлива, например с името "TillDaysHOutMore than ThreeDays", може да бъде присвоена стойността "True" до определен блок от изчисления и в хода на по-нататъшното изпълнение на програмата тази стойност може да бъде запазена или променен на "false" и ходът на по-нататъшното изпълнение зависи от стойността на тази променлива програма.

Ако една програма използва няколко логически променливи, чиито имена са под формата на изрази и от тях се изграждат по-сложни изрази, тогава е много по-лесно да се разработи програма, ако преди да я разработим, запишем всички операции от изрази в форма на формули, използвани в логиката на изявленията, отколкото правим в хода на този урок и нека го направим.

Логически операции върху оператори

За математическите твърдения винаги можете да избирате между две различни алтернативи „вярно“ и „невярно“, а за твърдения, направени на „словесен“ език, понятията „истина“ и „неверност“ са малко по-неясни. Обаче например словесните форми като „Върни се вкъщи“ и „Вали ли?“ Не са изказвания. Следователно е ясно, че изявленията са такива словесни форми, в които нещо се заявява ... Въпросителни или възклицателни изречения, жалби, както и пожелания или изисквания не са изявления. Те не могат да бъдат оценявани със значенията „вярно“ и „невярно“.

От друга страна, твърденията могат да се разглеждат като величина, която може да придобие две значения: „вярно“ и „невярно“.

Дават се например следните преценки: „кучето е животно“, „Париж е столицата на Италия“, „3

Първото от тези твърдения може да бъде оценено със символа „true“, второто - „false“, третото - „true“ и четвъртото - „false“. Подобно тълкуване на предложения е предмет на пропозиционната алгебра. Ще обозначаваме изявленията като цяло с латински букви A, Б., ... и техните стойности, т.е. съответно true и false И и L... В обикновената реч се използват връзки между твърдения "и", "или" и други.

Тези връзки позволяват, свързвайки различни изявления помежду си, да формират нови изявления - трудни изказвания ... Например куп „и“. Нека се дават изявленията: " π повече от 3 "и казвам" π по-малко от 4 ". Можете да организирате ново - сложно изявление" π повече от 3 и π по-малко от 4 ". Казвайки" ако π ирационално, тогава π „Също е ирационално“ се получава чрез свързване на две твърдения с връзка „ако-тогава“. И накрая, можем да получим от всяко твърдение ново - сложно изявление - като отречем оригиналното твърдение.

Разглеждането на твърдения като величини, приемащи стойности И и L, ще определим допълнително логически операции върху оператори , които ви позволяват да получавате нови - сложни извлечения от тях.

Нека бъдат дадени две произволни твърдения A и Б..

1 ... Първата логическа операция върху тези твърдения - съвпад - е формирането на нов израз, който ще обозначим A ∧ Б. и което е вярно, ако и само ако A и Б. са верни. В обикновената реч тази операция съответства на връзката на изказванията чрез връзката "и".

Таблица на истината за съвпад:

2 ... Втора логическа операция върху оператори A и Б. - дизюнкция, изразена като A ∨ Б. , се дефинира по следния начин: вярно е, ако и само ако поне едно от оригиналните твърдения е вярно. В обикновената реч тази операция съответства на комбинацията от изказвания с връзката „или“. Тук обаче нямаме разделящото "или", което се разбира в смисъла на "или-или" когато A и Б. и двете не могат да бъдат верни. В дефиницията на логиката на предложенията A ∨ Б. true, ако само едно от твърденията е вярно и ако и двете твърдения са верни A и Б..

Таблица на истината за дизюнкция:

3 ... Третата логическа операция върху изрази A и Б.изразено като A → Б. ; така полученото твърдение е невярно, ако и само ако A вярно и Б. невярно. A Наречен колет , Б. - последствие и изявлението A → Б. - следващи , наричан още импликация. В обикновената реч тази операция съответства на връзката "ако - тогава": "ако Aтогава Б.". Но в дефиницията на логиката на твърдения, това твърдение винаги е вярно, независимо дали твърдението е вярно или невярно. Б.... Това обстоятелство може да бъде формулирано накратко по следния начин: „всичко следва от фалшивото“. На свой ред, ако A вярно и Б. false, след това цялото изявление A → Б. невярно. Ще бъде вярно, ако и само ако и Aи Б. са верни. Накратко, тя може да бъде формулирана по следния начин: „лъжата не може да следва от истината“.

Таблица на истината за следване (внушение):

4 ... Четвъртата логическа операция върху изрази, по-точно върху един израз, се нарича отрицание на изявлението A и се обозначава с ~ A (можете също да намерите използването не на символа ~, а на символа ¬, както и горния надпис по-горе A). ~ A има поговорка, която е невярна, когато A вярно и вярно кога A невярно.

Таблица на истината за отрицание:

5 ... И накрая, петата логическа операция върху оператори се нарича еквивалентност и се обозначава A ↔ Б. ... Полученото твърдение A ↔ Б. е вярно твърдение, ако и само ако A и Б. и двете са верни или и двете са неверни.

Таблица на истината за еквивалентност:

Повечето езици за програмиране имат специални символи, за да обозначат логически значения на твърдения, те са написани на почти всички езици като верни и неверни.

Нека обобщим горното. Пропозиционна логика изучава връзките, които се определят напълно от начина, по който някои твърдения се изграждат от други, наречени елементарни. В този случай елементарните изявления се считат за цели, неразложими на части.

Нека систематизираме в таблицата по-долу имената, обозначенията и значението на логическите операции върху оператори (скоро ще ни трябват отново за решаване на примери).

За логически операции са правилни закони на логиката алгебра които могат да се използват за опростяване на булеви изрази. Трябва да се отбележи, че в логиката на изказванията те се разсейват от семантичното съдържание на изказването и се ограничават до разглеждането му от позицията, че е или вярно, или невярно.

Пример 1.

1) (2 \u003d 2) И (7 \u003d 7);

2) Не (15;

3) ("Pine" \u003d "Oak") ИЛИ ("Cherry" \u003d "Maple");

4) Не ("Бор" \u003d "Дъб");

5) (Не (15 20);

6) („Очите са дадени да видят“) И („Под третия етаж е вторият етаж“);

7) (6/2 \u003d 3) ИЛИ (7 * 5 \u003d 20).

1) Стойността на израза в първите скоби е „вярно“, стойността на израза във вторите скоби също е вярна. И двата израза са свързани с логическата операция "И" (вижте правилата за тази операция по-горе), следователно логическото значение на целия израз е "вярно".

2) Значението на изявлението в скоби е „невярно“. Това твърдение се предшества от логическа операция на отрицание, следователно логическото значение на цялото дадено твърдение е „истина“.

3) Значението на изявлението в първите скоби е "невярно", значението на изявлението във вторите скоби също е "невярно". Изявленията са свързани чрез логическа операция „ИЛИ“ и нито един от изразите няма стойността „истина“. Следователно логическото значение на цялото това твърдение е „невярно“.

4) Значението на изявлението в скоби е „невярно“. Това твърдение се предшества от логическата операция на отрицанието. Следователно логичното значение на цялото това твърдение е „истина“.

5) В първите скоби изявлението във вътрешните скоби се отрича. Това твърдение във вътрешни скоби има значението на "false", следователно отрицанието му ще има логическото значение на "true". Изявлението във вторите скоби има значението "невярно". Тези два израза са свързани чрез логическата операция „И“, тоест получава се „вярно И невярно“. Следователно логическото значение на цялото дадено твърдение е „невярно“.

6) Значението на изявлението в първите скоби е "вярно", значението на изявлението във вторите скоби също е "вярно". Тези две твърдения са свързани чрез логическата операция "И", тоест се получава "истина И истина". Следователно логичното значение на цялото дадено твърдение е „истина“.

7) Значението на изявлението в първите скоби е "вярно". Значението на изявлението във вторите скоби е „невярно“. Тези два израза са свързани чрез логическата операция „ИЛИ“, тоест получава се „вярно ИЛИ невярно“. Следователно логическото значение на цялото дадено твърдение е „истина“.

Пример 2. Запишете следните сложни изрази, като използвате логически операции:

1) "Потребителят не е регистриран";

2) „Днес е неделя и някои служители са на работа“;

3) "Потребителят е регистриран, само и само ако данните, изпратени от потребителя, се считат за валидни."

1) стр - единичен израз "Потребителят е регистриран", логическа операция :;

2) стр - едно изявление "Днес е неделя", q - "Някои служители са на работа", логическа операция :;

3) стр - едно изявление "Потребителят е регистриран", q - "Данните, изпратени от потребителя, са валидирани", логическа операция :.

Решете сами примери за логика на предложенията и след това вижте решения

Пример 3. Изчислете логическите стойности на следните изрази:

1) („Има 70 секунди в минута“) ИЛИ („Работещият часовник показва времето“);

2) (28\u003e 7) И (300/5 \u003d 60);

3) ("Телевизор - електроуред") И (" Стъкло - дърво ");

4) Не ((300\u003e 100) ИЛИ ("Жаждата може да бъде утолена с вода"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4. Използвайки логически операции, запишете следните сложни изрази и изчислете техните логически стойности:

1) "Ако часовникът не показва правилно часа, тогава може да не дойдете в час по грешен час";

2) "В огледалото можете да видите своето отражение и Париж е столицата на САЩ";

Пример 5. Определете булев израз

(стр → q) ↔ (r → с) ,

стр = "278 > 5" ,

q \u003d "Apple \u003d Orange",

стр = "0 = 9" ,

с \u003d "Шапка покрива главата".

Предложни логически формули

Понятието за логическата форма на сложно твърдение е изяснено с помощта на понятието формули за логика на предложенията .

В примери 1 и 2 научихме как да пишем сложни изрази с помощта на логически операции. Всъщност те се наричат \u200b\u200bформули на логиката на предложенията.

За да обозначим твърдения, както в горния пример, ще продължим да използваме буквите

стр, q, r, ..., стр1 , q1 , r1 , ...

Тези букви ще играят ролята на променливи, които приемат стойностите на истината „true“ и „false“ като стойности. Тези променливи се наричат \u200b\u200bоще предложения променливи. По-нататък ще им се обадим елементарни формули или атоми .

За изграждане на формули за логиката на изреченията, в допълнение към горните букви, се използват знаци на логически операции

~, ∧, ∨, →, ↔,

както и символи, които осигуряват еднозначно четене на формули - лява и дясна скоба.

Концепция формули за логика на предложенията дефинирайте както следва:

1) елементарни формули (атоми) са формули на логиката на предложенията;

2) ако A и Б. - формули на логиката на твърдения, след което ~ A , (A ∧ Б.) , (A ∨ Б.) , (A → Б.) , (A ↔ Б.) също са формули на логиката на изказванията;

3) само тези изрази са формули на логиката на предложенията, за които следва от 1) и 2).

Определението на формула за логика на предложенията съдържа списък на правилата за формиране на тези формули. Според дефиницията всяка формула на логиката на изявленията е или атом, или се формира от атоми в резултат на последователното прилагане на правило 2).

Пример 6. Нека бъде стр - едно твърдение (атом) "Всички рационални числа са реални", q - "Някои реални числа са рационални числа", r - "някои рационални числа са реални". Преобразувайте следните формули на логиката на изказванията във формата на устни изказвания:

6) .

1) „няма реални числа, които да са рационални“;

2) „ако не всички рационални числа са реални, тогава няма рационални числа, които са реални“;

3) "ако всички рационални числа са реални, тогава някои реални числа са рационални числа, а някои рационални числа са реални";

4) "всички реални числа са рационални числа, а някои реални числа са рационални числа, а някои рационални числа са реални числа";

5) „всички рационални числа са реални тогава и само ако не е така, че не всички рационални числа са реални“;

6) "няма къде да бъде, че няма къде да бъде, че не всички рационални числа са реални и няма реални числа, които са рационални или няма рационални числа, които са реални."

Пример 7. Направете таблица на истината за логическа формула на предложението , които в таблицата могат да бъдат обозначени е .

Решение. Започваме да съставяме таблица на истината, като записваме стойностите („true“ или „false“) за единични твърдения (атоми) стр , q и r ... Всички възможни стойности се записват в осем реда на таблицата. Освен това, определяйки стойностите на операцията по импликация и придвижвайки се надясно по таблицата, не забравяйте, че стойността е равна на „false“, когато „false“ следва от „true“.

Обърнете внимание, че нито един атом няма формата ~ A , (A ∧ Б.) , (A ∨ Б.) , (A → Б.) , (A ↔ Б.). Сложните формули имат тази форма.

Броят на скобите във формулите на логиката на предложенията може да бъде намален, ако се приеме, че

1) в сложна формула ще пропуснем външната двойка скоби;

2) нека подредим знаците на логическите операции "по старшинство":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В този списък ↔ има най-голям обхват, а ~ има най-малък. Обхватът на операционния знак се разбира като онези части от формулата на логиката на предложенията, към които се прилага разглежданата поява на този знак (към които действа). По този начин е възможно да се пропуснат във всяка формула онези двойки скоби, които могат да бъдат възстановени, като се вземе предвид "приоритетният ред". И при възстановяване на скоби, първо се поставят всички скоби, свързани с всички появявания на знака ~ (докато се придвижваме отляво надясно), след това до всички появявания на the и т.н.

Пример 8. Поправете скобите във формулата на логиката на предложенията Б. ↔ ~ ° С ∨ д ∧ A .

Решение. Скобите се възстановяват стъпка по стъпка, както следва:

Б. ↔ (~ ° С) ∨ д ∧ A

Б. ↔ (~ ° С) ∨ (д ∧ A)

Б. ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ A))

(Б. ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ A)))

Не всяка формула за логика на предложения може да бъде написана без скоби. Например във формулите И → (Б. → ° С) и ~ ( A → Б.) по-нататъшното премахване на скобите не е възможно.

Тавтологии и противоречия

Логическите тавтологии (или просто тавтологии) са такива формули на логиката на предложенията, че ако буквите са произволно заменени с предложения (верни или неверни), резултатът винаги ще бъде вярно предложение.

Тъй като истинността или неверността на сложните твърдения зависи само от значенията, а не от съдържанието на твърдения, всяко от които съответства на определена буква, проверката дали дадено твърдение е тавтология може да бъде заместена по следния начин. В проучвания израз стойностите 1 и 0 (съответно „true“ и „false“) се заместват вместо букви по всички възможни начини и логическите стойности на изразите се изчисляват с помощта на логически операции. Ако всички тези стойности са равни на 1, тогава изследваният израз е тавтология и ако поне едно заместване дава 0, това не е тавтология.

По този начин формулата на логиката на предложенията, която приема стойността "true" за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула, се нарича идентично по истинската формула или тавтология .

Обратното значение има логическо противоречие. Ако всички стойности на изразите са равни на 0, тогава изразът е логично противоречие.

По този начин формулата на логиката на предложенията, която приема стойността "false" за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула, се нарича идентично по фалшивата формула или противоречие .

В допълнение към тавтологиите и логическите противоречия, съществуват формули на логиката на твърдения, които не са нито тавтологии, нито противоречия.

Пример 9. Съставете таблица на истината за формулата на логиката на предложенията и определете дали тя е тавтология, противоречие или нито едно от двете.

Решение. Ние съставяме таблица на истината:

В стойностите на импликацията не намираме ред, в който „true“ следва „false“. Всички значения на оригиналното твърдение са равни на „истина“. Следователно, тази формула на логиката на предложенията е тавтология.

Прости и сложни изрази, логически променливи и логически константи, логическо отрицание, логическо умножение, логическо събиране, таблици на истината за логически операции

За да автоматизирате информационните процеси, е необходимо да имате възможност не само да представяте еднакво информация различни видове (числови, текстови, графични, звукови) под формата на последователности от нули и единици, но също така и за определяне на действията, които могат да бъдат извършени върху информация. Такива действия се извършват в съответствие с правилата, които управляват мисловния процес. С други думи, в съответствие със законите на логиката. Терминът "логика" произлиза от древногръцката дума1 относно§08 , в смисъл "мисъл, разсъждение, закон". Наукаталогики изучава законите и формите на мислене, методите на доказване.

За да се опишат разсъжденията и правилата за извършване на действия с информация, се използва специален език, приет в математическата логика. Мотивите се основават на специални изречения, наречени твърдения. В изявленията винаги се потвърждава или отрича нещо за обектите, техните свойства и отношения между обектите. Декларацията е всяка преценка, за която може да се каже дали е вярна или невярна. Изявленията могат да бъдат само декларативни изречения. Въпросителните или подканващи изречения не са твърдения.

Изказване - решение, формулирано под формата на декларативно изречение, за което може да се каже дали е вярно или невярно.

Например, въпросителни изречения „Коя година беше първото споменаване на Москва в хрониките?“ и "Каква е външната памет на компютър?" или подсказващото изречение „Спазвайте правилата за безопасност в компютърната лаборатория“ не са твърдения. Наративни изречения „Първото хронологично споменаване на Москва е през 1812 г.“, „Оперативната памет е външна памет компютър "и„ В компютърен клас не е необходимо да спазвате правилата за безопасност "са твърдения, тъй като това са преценки, всяко от които може да се каже, че е невярно. Истински твърдения ще бъдат преценките „Първото споменаване на Москва в хрониките е през 1147 г.“, „Твърдият магнитен диск е външната памет на компютър“.

Всяко твърдение съответства само на едно от двете значения: или „true“, или „false“, които салогически константи. Истинската стойност обикновено се обозначава с числото 1 и фалшива стойност - числото 0. Изявленията могат да бъдат означени сбулеви променливи, които се използват главни латински букви. Булевите променливи могат да приемат само една от двете възможни стойности: „true“ или „false“. Например изявлението "Информацията в компютър се кодира с помощта на два знака" може да бъде обозначено с логическа променливаИ, и изявлението "Принтерът е устройство за съхранение" може да бъде обозначено с булева променливаIN. Тъй като първото твърдение е вярно, тогаваИ \u003d 1. Такава нотация означава, че изявлениетоИ вярно. Тъй като второто твърдение не отговаря на реалността, тогаваB \u003d 0. Такъв запис означава, че изявлението в е невярно.

Изявленията могат да бъдат прости или сложни. Поговорката се наричапросто, ако никоя част от него не е изявление. Досега са дадени примери за прости твърдения, които са обозначени с логически промени. Изграждайки верига от разсъждения, човек, използващ логически операции, се обединява прости поговорки впо-твърди "твърдения. За да разберете значението на сложното твърдение, няма нужда да размишлявате върху съдържанието му. Достатъчно е да се знае значението на прости изрази, които съставят сложен израз, и правилата за изпълнение на логически операции.

Логическа операция - Действието позволява да се направи сложно изложение на прости изречения.

Всички човешки разсъждения, както и работата на съвременните технически устройства, се основават на типични действия с информация - три логически операции: логическо отрицание (инверсия), логическо умножение (конюнкция) и логическо събиране (дизюнкция).

Логическо отрицание просто изказване се получава чрез добавяне на думи"Не е вярно, че" в началото на просто изявление.

■ ПРИМЕР 1.Има една проста поговорка „Крокодилите могат да летят“. Резултатът от логическото отрицание ще бъде изявлението„Не е вярно, че крокодилите могат да летят. " Значението на оригиналното твърдение е „невярно“, а новото е „истина“.

■ ПРИМЕР 2.Има проста поговорка „Файлът трябва да има име“. Резултатът от логическото отрицание ще бъде изявлението„Не е вярно, че файлът трябва да има име. " Значението на оригиналното твърдение е „вярно“, а значението на новото твърдение е „невярно“.

Вижда се, че логическото отричане на изявлението е вярно, когато оригиналното твърдение е невярно, и обратно, логическото отрицание на изявлението е невярно, когато оригиналното твърдение е вярно.

Логическо отрицание (инверсия) - логическа операция, която поставя в кореспонденция на просто изказване ново изказване, чието значение е противоположно на значението на първоначалното изказване.

Нека обозначим прост израз на логическа променливаИ.Тогава логическото отрицание на това твърдение ще бъде означено с NOTИ. Нека запишем всички възможни стойности на булевата променливаИи съответните логически отрицателни резултати НЕ саИ под формата на таблица, нареченатаблица на истината за логическо отрицание (Таблица 40).

Можете да забележите, че в таблицата на истината за логическо отрицание нулата се променя на единица, а една се променя на нула.

Логическо умножение две прости изявления се получават чрез комбиниране на тези твърдения с помощта на съюзи. Нека анализираме в примери 3-6 какъв ще бъде резултатът от логическото умножение.

■ ПРИМЕР3. Има две прости твърдения. Една поговорка - „Карлсън живее в мазето“. Друга поговорка - „Карлсон се лекува със сладолед“.

Резултатът от логическото умножение на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее в мазето,иКарлсън се лекува със сладолед. " Новото твърдение може да бъде формулирано по-лаконично: „Карлсън живее в мазетои се лекува със сладолед. " И двете първоначални твърдения са неверни. Значението на новото сложно изявление също е „невярно“.

■ ПРИМЕР 4.Има две прости твърдения. Първото твърдение е „Карлсън живее в мазето“. Второто твърдение - „Карлсон се лекува със сладко“.

Резултатът от логическото умножение на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее в мазетои третира се със сладко ". Първото оригинално твърдение е невярно, а второто е вярно. Значението на новото сложно изявление е „лъжа“.

■ ПРИМЕР 5.Има две прости твърдения. Първото твърдение е „Карлсън живее на покрива“. Второто твърдение - „Карлсон се лекува със сладолед“.

Резултатът от логическото умножение на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее на покриваисе лекува със сладолед. " Първото първоначално твърдение е вярно, а второто е невярно. Значението на новото сложно твърдение "лъжа".

* ПРИМЕРб. Има две прости твърдения. Една поговорка - "Карлсън живее на покрива." Друга поговорка е „Карлсон се лекува със сладко“.

Резултатът от логическото умножаване на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „Карлсън живее на покрива и се третира със сладко“. И двете оригинални твърдения са верни. Замърсяването на ново сложно твърдение също е „истина“.

Може да се отбележи, че логическото умножение на две твърдения е вярно само в един случай - когато и двете оригинални твърдения са верни.с.

Логическо умножение (съвпад) - логическа операция, която свързва два прости израза с нов израз, чието значение е вярно, ако и само ако и двете оригинални твърдения са верни.

ИСТИНСКА ТАБЛИЦА ЗА ЛОГИЧНО УМНОЖЕНИЕ

Таблица 41

АкоИ = 0, IN =0, след това A И B- 0 (вижте пример 3). АкоA \u003d 0, 7? \u003d 1, тогава И ИВ - 0 (вижте пример 4). Ако / 1 \u003d 1,B \u003d 0, тогаваИ И d \u003d 0 (вижте пример 5). Ако L\u003d \\, B \u003d \\, след това A \\\\ B \u003d \\ (виж пример 6).

Може да забележите, че резултатите от логическото умножение са същите като резултатите от обичайното умножение на нули и единици.

Логично допълнениедве прости изявления се получават чрез комбиниране на тези твърдения с помощта на съюзили.Нека анализираме в примери 7-10 какви ще бъдат резултатите от логическото събиране.

ПРИМЕР 7 . Има две прости твърдения. Едно изявление - „Комедията„ Генералният инспектор “е написана от М. Ю. Лермонтов“. Друго изявление - „Комедията„ Генералният инспектор “е написана от И. А. Крилов“.

Резултатът от логичното добавяне на тези прости твърдения ще бъде сложно твърдение "Комедията" Генералният инспектор "е написана от М. Ю. ЛермонтовилиИ. А. Крилов ". И двете първоначални твърдения са неверни. Значението на новото сложно изявление също е „невярно“.

ПРИМЕР 8. Има две прости твърдения. Първото твърдение - „Комедията„ Генералният инспектор ”е написана от М. Ю. Лермонтов”. Второто твърдение - „Комедията„ Генералният инспектор “е написана от Н. В. Гогол“.

Резултатът от логичното добавяне на тези прости изразинийще има сложно изявление "Комедията" Инспектор "е написана от М, К). ЛермонтовилиН. В. Гогол ". Първи източниктвърдението е невярно, а второто е вярно. Значението на новото сложно твърдение е „истина“.

ПРИМЕР 9 ... Има две прости твърдения. Първото твърдение - „Стихотворението„ Мцири “е написано от М. Ю. Лермонтов“. Второто твърдение - „Стихотворението„ Мцири “е написано от Н. В. Гогол“. Резултатът от логичното добавяне на тези прости твърдения ще бъде сложно твърдение „Стихотворението„ Мцири “е написано от М. Ю. Лермонтов или Н. В. Гогол“. Първото оригинално твърдение е вярно, а второто е невярно. Значението на новото сложно твърдение е „истина“.

ПРИМЕР 10 ... Има две прости твърдения. Едно твърдение - „А. С. Пушкин пише поезия „Друго твърдение -„ А. С. Пушкин е писал проза “. Резултатът от логичното добавяне на тези прости твърдения ще бъде сложното твърдение „А. С. Пушкин пише поезия или проза. " И двете оригинални твърдения са верни. Значението на новото сложно твърдение също е „истина“.

Може да се отбележи, че логическото добавяне на две твърдения е невярно само в един случай - когато и двете първоначални твърдения са неверни.

Логично добавяне (дизюнкция) - логическа операция, която поставя в кореспонденция две прости изрази нов израз, чието значение е невярно, ако и само ако и двете първоначални твърдения са неверни.

Нека обозначим единия прост оператор от логическата променлива A, а другия прост израз от логическата променлива B.

Тогава логическото добавяне на тези твърдения ще бъде означено с ИИЛИ IN

Нека запишем всички възможни стойности на логически променливи A, B, както и съответния резултат от логическо добавяне A ИЛИ B под формата на таблица, наречена таблица на истината.

Действията с двоични знаци се извършват съгласно таблиците на истината за логическо добавяне

Може да забележите, че резултатите от логическото събиране, с изключение на последния ред, са същите като резултатите от обичайното добавяне на нули и единици.

По този начин, използвайки езика на логиката, разсъжденията могат да бъдат заменени от действия с твърдения. Изявленията от своя страна могат да бъдат свързани с двоичен знак - 0 или 1. Действия с двоични знаци се извършват в съответствие с таблиците на истината за основните логически операции на логическо отрицание, логическо умножение и логическо събиране (вж. Таблици 40-42)

23. Изявления. Логически операции

Логическото добавяне (отделяне) на две твърдения е невярно

1) ако и само ако и двете твърдения са верни

2) ако и само ако и двете твърдения са неверни

3) когато поне едно твърдение е вярно

4) когато поне едно твърдение е невярно

Логически изрази. Извършване на логически операции

Писане на логически изрази, приоритет на извършване на логически операции, намиране на стойността на логически израз, извършване на логически операции с информация от различен тип Логическо отрицание, логическо умножение и логическо добавяне формират цялостна система от логически операции, с която можете да съставяте всеки комплекс изявление и определят неговата истина. Когато се описват разсъжденията с помощта на езика на математическата логика, прости изрази се означават с логически променливи (латински букви), стойностите на изявленията се обозначават с логически константи (нули или единици), а логическите операции се обозначават със специални свързващи елементи (НЕ , И, ИЛИ). Запис, съставен с помощта на такива променливи, константи и свързващи елементи, се нарича логически израз.

Логическият израз е символна нотация на езика на математическата логика, съставена от логически променливи или логически константи, обединени от логически операции (съединители).

Когато се намери стойността на логически израз, логическите операции се извършват в определен ред, според техния приоритет - първо логическо отрицание, след това логическо умножение и едва след това логическо събиране. Логически операции със същия приоритет се извършват отляво надясно. Скобите се използват за промяна на реда, в който се извършват логическите операции.

■ ПРИМЕР 1. Дава се просто вярно твърдение A \u003d „Аристотел - древногръцки философ"И просто невярно твърдение Б \u003d" Аристотел е древен руски философ. "

Действия върху информацията. Основни операции

значения на сложни изрази, които съответстват на следните логически изрази:

1) НЕ A;

2) А ИЛИ В;

3) А И (NEB).

Решение. 1) Резултатът от логичното отричане на твърдение А ще бъде твърдението „Не е вярно, че Аристотел е древногръцки философ“. Тъй като стойността на оригиналния израз е "true" A \u003d 1, смисълът на логическото отрицание на този израз е "false" NOT A \u003d 0 (виж Таблица 40). 2) Резултатът от логичното добавяне на двете твърдения ще бъде твърдението „Аристотел е древногръцки или Аристотел е древноруски философ“. Тъй като стойността на първия начален оператор е "true" A \u003d 1, а стойността на втория начален оператор е "false" B \u003d 0, тогава стойността на логическото добавяне на тези изрази е "true" A ИЛИ B \u003d 1 (вж. Таблица 42). 3) Резултатът от логическото умножение на твърдението А и логичното отричане на твърдението Б ще бъде твърдението „Аристотел е древногръцки философ и не е вярно, че Аристотел е древен руски философ“. Първо, ние изпълняваме логическото отрицание на оператор B. Тъй като стойността на оригиналния оператор е "false" B \u003d 0, тогава стойността на логическото отрицание на този израз е "true" НЕ B \u003d 1 (вж. Таблица 40). Тъй като стойността на първия начален оператор е "true" A \u003d 1 и стойността на логическото отрицание на втория начален оператор е "true" НЕ B \u003d 1, тогава стойността на логическото умножение на тези изрази е "true" A И (НЕ B) \u003d 1

(виж таблица 41)

Отговор. 1) "Лъжи"; 2) „истина“; 3) „истина“. За да се намери значението на сложен оператор, е достатъчно да се значат значенията на прости изрази, включени в сложен израз, и правилата за извършване на логически операции, които комбинират тези прости изрази.

■ ПРИМЕР 2. Намерете стойността на логическия израз NOT A OR (0 OR 1) AND (NOT IN AND 1), ако стойностите на логическите променливи A \u003d 1, B \u003d 0.

Решение... 1) Заменете булевите променливи в булев израз с булеви константи. NEAIL (0 ИЛИ 1) И (NEVI 1) \u003d \u003d NOT1 ИЛИ (0OR1) И (NE0I1).

2) Определете последователността на логическите операции в съответствие с техния приоритет. HE4 1 OR6 (0 OR1 1) I5 (HEr 0 I3 1).

Под изказванеразбира се лингвистичен израз, за \u200b\u200bкойто може да се каже само едно от двете неща: вярно или невярно. Изявлението, за разлика от решенията, няма личен характер.

Въпроси, молби, заповеди, възклицания, отделни думи (с изключение на случаите, когато те действат като представители на твърдения като „става тъмно“, „става студено“ и др.) Не са твърдения. Истината и неверността на твърденията са техни логически стойности.

Изявленията се разделят на атрибутивни, екзистенциални и релационни.

Атрибутивнисе наричат \u200b\u200bизявления, в които собствеността или състоянието на обекта се потвърждават или отказват.

Екзистенциалнасе наричат \u200b\u200bтвърдения, които утвърждават или отричат \u200b\u200bфакта на съществуването.

Релационнасе наричат \u200b\u200bизрази, изразяващи връзки между обекти.

Изявленията, както и техните логически форми, са прости и сложни. Трудноизявлението може да бъде разделено на прости. Просто твърдения не се подразделят на по-прости.

Прост атрибутивен израз има структура, която включва субект, предикат и свързващо.

Предметизказвания (S) са онази част от изказването, която изразява предмета на мисълта.

Предикатизказвания (P) са част от изказване, която показва знак на обекта на мисълта, неговото свойство, състояние и отношение.

Извикват се субектът (S) и сказуемото (P) условия. Куп показва връзката между термините (S и P).

Квантори за съществуване и общност често се използват в атрибутивни изявления.

Атрибутивните отчети се класифицират по качество и количество.

По качество те се разделят на положителни и отрицателни. IN утвърдителен показва принадлежността (присъствието) на атрибута, който може да се мисли в предиката, към предмета на изявлението: „S е P“. Например: „Платон е идеалистичен философ“. IN отрицателен показва, че предикатът не принадлежи на субекта си: "S не е P".

Според броя на изявленията те се разделят на единични, частни и общи. Това се отнася до съвкупността (брой, количество) на отделни обекти, които съставят името на класа на субекта.

IN неженен изказвания, субектът се състои от един обект.

Частенизявленията приемат формата: "Някои S са (не са) P".

IN често срещани в изказванията субектът обхваща всички обекти. Такива изявления имат формата: "Всички S е (не са) P".

Изявленията са класифицирани по качество и количество. Има 4 класа твърдения:

1) общо утвърдително (И) -общо по количество и утвърдително по качество („Всички S е P“);

2) отчасти утвърдителен (J)- коефициент по количество и утвърдителен по качество („Някои S са R ");

3) общо отрицателно (E) - общо по количество и отрицателно по качество („No S е P“);

4) отчасти отрицателен (ОТНОСНО)- частно по количество и отрицателно по качество („Някои S не са P“).

Във всеки клас отчети съотношението на обемите S и P (термини) е различно. В логиката се нарича проблемът за съотношението на обемите S и P проблемът с разпределението на термините. Терминът се разпределя, ако е напълно включен в обхвата на друг термин или е напълно изключен от него.

В клас А | Всички S са P | субектът е напълно разпределен в предиката, а предикатът не е разпределен.

Скъпи приятели, радваме се да Ви видим на тази страница! Уважаеми посетител, възможно е да търсите Прости кавички със снимки на тази тема. Готино! Намерихте това, което търсите. Пожелаваме ви изумително четене и самоусъвършенстване!

Тези, които упорито изпитват живота си за сила, рано или късно постигат целта си, ефективно я прекратяват.

Разбрах, че за да разберем смисъла на живота, на първо място е необходимо животът да не е безсмислен и зъл, а след това само умът, за да го разберем. Толстой Л. Н.

Тогава по-силна любов, толкова по-уязвимо е. Херцогиня Даяна (Мари дьо Босак)

Веднъж в живота късметът чука на вратата на всеки човек, но по това време човек често седи в най-близката кръчма и не чува почукване. Марк Твен

Не се страхувам от някой, който изучава 10 000 различни удара. Страхувам се от някой, който изучава един хит 10 000 пъти.

Мечтая за теб всеки ден, мисля за теб през нощта!

Всеки, който не може да има 2/3 от деня за себе си, трябва да бъде наречен роб. Фридрих Ницше

Бях един от тези, които се съгласиха да говорят за смисъла на живота, за да сме готови да редактираме оформлението по тази тема. Еко W.

Desinit in piscem mulier formosa superne - красива жена отгоре завършва с рибешка опашка.

Ние сме роби на нашите навици. Променете навиците си, животът ви ще се промени. Робърт Кийосаки

Бихте могли да посегнете напред и да грабнете щастието. Съвсем близо е! Но винаги се обръщате само назад

Винаги можете да си простите грешките, ако имате само смелостта да ги признаете. Брус Лий

Първият дъх на любов е последният дъх на мъдрост. Антъни Брет.

Приятелството е любов без крила. Байрон

Ако човек може да каже какво е любов, значи не е обичал никого.

Това, в което се влюбихте, после целунете.

заради няколко души мога да прекрача гордостта и страха си ...

Нашата любов започна от пръв поглед.

Ревността е измама по подозрение в измама. В. Кротов

С уникален мъж - искам да повторя!

Романтичната жена отвращава секса без любов. Затова тя бърза да се влюби от пръв поглед. Лидия Ясинская

Любовта е вътре във всички, но си струва да я показвате само на тези, които са отворени за вас.

Мистерията на любовта към човека започва в момента, в който го гледаме без желанието да го притежаваме, без желанието да го доминираме, без желанието по какъвто и да е начин да използваме неговите дарове или неговата личност - ние просто гледаме и сме изумени в красотата, която ни се отвори ... Антоний, митрополит Сурожски

Бих искал да бъда в примитивно общество. Не е нужно да мислите за пари, за армията, за някои титли и научни степени. Важни са само жените, добитъкът и робите.

Когато на човек му е неудобно да лежи на една страна, той се преобръща на другата, а когато му е неудобно да живее, той само се оплаква. И вие правите усилия да се преобърнете. Максим Горки

Бавната ръка на времето изглажда планините. Волтер

Жените имат цялото си сърце, дори главата си. Жан Пол

Целувката ти беше толкова сладка, че просто ме вдъхнови щастието!

Човек се простира, като кълнове, към Светилото и става по-висок. Мечтая за неосъществими мечти, той достига трансцендентални висоти.

По-добро истинско приятелство, отколкото фалшива любов!

Не можем да бъдем лишени от самоуважението си, освен ако сами не го дадем на Ганди.

Любовта е егоизъм заедно.

Знанието прави човека по-важен, а действията го карат да блести. Но много хора са склонни да поглеждат, но не и да претеглят. Т. Карлайл

Само в Русия се наричат \u200b\u200bблизки ... Горко, ти си мой!

Несподелената любов не е любов, а мъчение!

Адекватност - способността да правиш две неща: да мълчиш навреме и да говориш навреме.

Щастието идва с правилни преценки, правилните преценки идват с опит, а опитът идва с погрешни преценки.

Не очаквайте да стане по-лесно, по-лесно, по-добре. Няма да стане. Винаги ще има трудности. Научете се да бъдете щастливи още сега. В противен случай няма да сте навреме.

Животът, щастлив или нещастен, добър или лош, все още е изключително интересен. Б. Шоу

Не се смятайте за мъдър; иначе душата ви ще бъде издигната от гордост и ще попаднете в ръцете на враговете си. Антоний Велики

Грижата за жена му му се стори също толкова нелепа, колкото лов на печена дивеч. Емил Кроткият

Писма и подаръци и лъскави снимкиизразяването на обич са важни. Но още по-важно е да се слушате очи в очи, това е страхотно и рядко изкуство. Т. Янсон.

Животът е подреден толкова дяволски умело, че не знаейки как да мразиш, е невъзможно искрено да обичаш. М. Горки

Хубаво е, когато любимият ти просто ти подарява огромен букет, хубаво е, по дяволите!

Без страх хората се превръщат в безразсъдни глупаци, които често се отказват от живота си. Исак Азимов Фантастично пътуване II

Приятелят е една душа, живееща в две тела. Аристотрел

Да си човек, който мисли само за себе си, не означава да правиш каквото искаш. Това означава да искаш целият свят да живее така, както ти искаш. - О. Уайлд

Всяка майка трябва да отдели няколко минути свободно време, за да измие чиниите.