Bir üçgenin alanı - formüller ve problem çözme örnekleri

Aşağıda keyfi bir üçgenin alanını bulmak için formüllerözellikleri, açıları veya boyutları ne olursa olsun, herhangi bir üçgenin alanını bulmak için uygundur. Formüller bir resim şeklinde sunulmuştur, burada kullanımları veya doğruluklarının gerekçesi için açıklamalar bulunmaktadır. Ayrıca, ayrı bir şekilde yazışmalar belirtilmiştir. harf atamaları formüllerde ve grafik sembolleriçizimde.

Not ... üçgen varsa özel mülkler(ikizkenar, dikdörtgen, eşkenar), aşağıda verilen formüllerin yanı sıra sadece şu özelliklere sahip üçgenler için geçerli olan özel formülleri de kullanabilirsiniz:

• "Eşkenar üçgenin alanı için formüller"

Bir üçgen için alan formülleri

formüllerin açıklaması:
bir, b, c- alanını bulmak istediğimiz üçgenin kenarlarının uzunlukları
r- üçgen içine yazılmış bir dairenin yarıçapı
r- bir üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı
H- yana indirilen üçgenin yüksekliği
P- bir üçgenin yarım çevresi, kenarlarının toplamının 1/2'si (çevre)
α - üçgenin a tarafının karşısındaki açı
β - üçgenin b tarafının karşısındaki açı
γ - üçgenin c tarafının karşısındaki açı
H a, H B , H C- a, b, c tarafına indirilen üçgenin yüksekliği

Lütfen verilen tanımların yukarıdaki şekle karşılık geldiğini unutmayın, böylece geometride gerçek bir problemi çözerken, formülün doğru yerlerinde doğru değerleri yerine koymanız görsel olarak daha kolay olacaktır.

• Üçgenin alanı üçgenin yüksekliğinin, bu yüksekliğin indirildiği kenarın uzunluğunun çarpımının yarısı(Formül 1). Bu formülün doğruluğu mantıksal olarak anlaşılabilir. Tabana düşen yükseklik, keyfi bir üçgeni iki dikdörtgen olana böler. Her birini b ve h boyutlarında bir dikdörtgene tamamlarsak, o zaman açıkçası, bu üçgenlerin alanı dikdörtgenin alanının tam olarak yarısı olacaktır (Spр = bh)
• Üçgenin alanı iki kenarının çarpımının yarısı ile aralarındaki açının sinüsü(Formül 2) (aşağıdaki bu formülü kullanarak bir problem çözme örneğine bakın). Bir öncekinden farklı görünmesine rağmen, kolayca dönüştürülebilir. Yüksekliği B açısından b kenarına düşürürsek, bir dik üçgende sinüsün özelliklerine göre a kenarının γ açısının sinüsü ile çarpımının çizdiğimiz üçgenin yüksekliğine eşit olduğu ortaya çıkar, bize önceki formülü verecek olan
• İsteğe bağlı bir üçgenin alanı bulunabilir karşısında İş tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı ile yazılı dairenin yarıçapının yarısı(Formül 3), başka bir deyişle, üçgenin yarı çevresini yazılı dairenin yarıçapı ile çarpmanız gerekir (bunu hatırlamak daha kolaydır)
• Rastgele bir üçgenin alanı, tüm kenarlarının çarpımını etrafındaki çevrelenmiş dairenin 4 yarıçapına bölerek bulunabilir (Formül 4)
• Formül 5, bir üçgenin alanını kenarlarının uzunlukları ve yarı çevresi boyunca bulmayı temsil eder (tüm kenarlarının toplamının yarısı)
• Heron'un formülü(6) aynı formülün yan çevre kavramını kullanmadan, sadece kenarların uzunlukları üzerinden bir temsilidir.
• Rastgele bir üçgenin alanı, bir üçgenin kenarının karesinin, bu kenara bitişik açıların sinüsleri ile bu kenarın karşısındaki açının çift sinüsü ile bölünmesine eşittir (Formül 7)
• Rastgele bir üçgenin alanı, her bir köşesinin sinüsü tarafından çevrelenen bir dairenin iki karesinin ürünü olarak bulunabilir. (Formül 8)
• Bir kenarın uzunluğu ve iki bitişik açının büyüklüğü biliniyorsa, o zaman bir üçgenin alanı, bu kenarın karesinin bu açıların kotanjantlarının iki katına bölünmesiyle bulunabilir (Formül 9)
• Üçgenin her bir yüksekliğinin yalnızca uzunluğu biliniyorsa (Formül 10), o zaman böyle bir üçgenin alanı, Heron Formülüne göre bu yüksekliklerin uzunluklarıyla ters orantılıdır.
• Formül 11 hesaplamanızı sağlar köşelerinin koordinatlarına göre bir üçgenin alanı, her bir köşe için değerler (x; y) olarak verilir. Tek tek (veya tüm) köşelerin koordinatları negatif değerler aralığında olabileceğinden, elde edilen değerin modulo alınması gerektiğini lütfen unutmayın.

Not... Aşağıdakiler, bir üçgenin alanını bulmak için geometri problemlerini çözme örnekleridir. Burada olmayana benzemeyen bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa - forumda bunun hakkında yazın. Çözümlerde, " sembolü yerine Kare kök"sqrt () işlevi kullanılabilir, burada sqrt bir karekök karakterdir ve radikal ifade parantez içinde belirtilir..Bazen basit radikal ifadeler için sembol √

Görev. İki kenar boyunca alanı ve aralarındaki açıyı bulun

Üçgenin kenarları 5 ve 6 cm, aralarındaki açı 60 derecedir. Bir üçgenin alanını bulun.

Çözüm.

Bu sorunu çözmek için dersin teorik kısmından iki numaralı formülü kullanacağız.
Bir üçgenin alanı, iki kenarın uzunlukları ve aralarındaki açının sinüsü aracılığıyla bulunabilir ve buna eşit olacaktır.
S = 1/2 ab sin γ

Çözüm için gerekli tüm verilere sahip olduğumuz için (formüle göre), sadece problemin durumundaki değerleri formüle koymamız gerekiyor:
S = 1/2 * 5 * 6 * günah 60

değer tablosunda trigonometrik fonksiyonlar 60 derecenin sinüs değerini bulun ve ifadeye yerleştirin. Üçe iki köküne eşit olacaktır.
S = 15 √3 / 2

Cevap: 7.5 √3 (öğretmenin ihtiyacına göre 15 √3 / 2 bırakabilirsiniz)

Görev. Eşkenar üçgenin alanını bulun

Kenarları 3 cm olan eşkenar üçgenin alanını bulunuz.

Çözüm .

Bir üçgenin alanı, Heron formülü kullanılarak bulunabilir:

S = 1/4 kare ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

a = b = c olduğundan, bir eşkenar üçgenin alan formülü şu şekilde olacaktır:

S = √3 / 4 * bir 2

S = √3 / 4 * 3 2

Cevap: 9 √3 / 4.

Görev. Kenarların uzunluğunu değiştirirken alanı değiştirme

Kenarlar 4 kat artırılırsa üçgenin alanı kaç kat artar?

Çözüm.

Üçgenin kenarlarının boyutlarını bilmediğimiz için problemi çözmek için kenar uzunluklarının sırasıyla eşit olduğunu varsayacağız. keyfi sayılar a, b, c. Daha sonra sorunun cevabını bulmak için bu üçgenin alanını bulacağız ve ardından kenarları dört kat daha büyük olan bir üçgenin alanını bulacağız. Bu üçgenlerin alanlarının oranı bize sorunun cevabını verecektir.

Aşağıda, sorunun çözümünün adım adım metinsel bir açıklaması bulunmaktadır. Ancak, en sonunda, aynı çözüm daha kolay okunur bir grafik biçiminde sunulur. İlgilenenler hemen çözüme geçebilirler.

Çözüm için Heron'un formülünü kullanıyoruz (yukarıya dersin teorik bölümünde bakın). Şuna benziyor:

S = 1/4 kare ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(aşağıdaki şeklin ilk satırına bakın)

Rastgele bir üçgenin kenar uzunlukları a, b, c değişkenleri tarafından verilir.
Kenarlar 4 kat artırılırsa, yeni üçgen c'nin alanı şöyle olacaktır:

S 2 = 1/4 kare ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(aşağıdaki resimdeki ikinci satıra bakın)

Gördüğünüz gibi 4, dört ifadenin hepsinden parantez içinde alınabilecek ortak bir çarpandır. Genel kurallar matematik.
Sonra

S 2 = 1/4 kare (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - şeklin üçüncü satırında
S 2 = 1/4 kare (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - dördüncü satır

Karekök, 256 sayısından mükemmel bir şekilde çıkarılır, bu yüzden onu kökün altından çıkarırız.
S 2 = 16 * 1/4 kare ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kare ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(aşağıdaki şeklin beşinci satırına bakın)

Problemde ortaya çıkan soruyu cevaplamak için, ortaya çıkan üçgenin alanını orijinalin alanına bölmemiz yeterlidir.
İfadeleri birbirine bölerek ve elde edilen kesri azaltarak alan oranlarını belirleyin.

Talimatlar

Partiler ve köşeler temel unsurlar olarak kabul edilir a... Bir üçgen, aşağıdaki temel öğelerden herhangi biri tarafından tamamen tanımlanır: ya üç kenarla veya bir kenar ve iki köşeyle veya iki kenarla ve aralarında bir açıyla. varoluş için üçgenüç taraf a, b, c ile tanımlanır, eşitsizlikler olarak adlandırılan eşitsizlikleri sağlamak için gerekli ve yeterlidir. üçgen:
bir + b> c,
a + c> b,
b+c>a.

İnşaat için üçgenüç tarafta a, b, c, CB = a segmentinin C noktasından b yarıçaplı bir pusula ile bir dairenin nasıl çizileceği gereklidir. Daha sonra aynı şekilde B noktasından yarıçapı c kenarına eşit olan bir daire çizin. Kesişme noktası A, istenen noktanın üçüncü tepe noktasıdır. üçgen ABC, burada AB = c, CB = a, CA = b - taraflar üçgen... Problem, eğer a, b, c kenarları eşitsizlikleri sağlıyorsa üçgen 1. adımda belirtilen

Alan S bu şekilde inşa edildi üçgen ABC ile bilinen taraflar a, b, c, Heron formülüyle hesaplanır:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c))),
nerede a, b, c - taraflar üçgen, p bir yarı çevredir.
p = (a + b + c) / 2

Bir üçgen eşkenar ise, yani tüm kenarları eşittir (a = b = c). üçgen formülle hesaplanır:
S = (a ^ 2 v3) / 4

Üçgen dikdörtgen ise, yani köşelerinden biri 90 ° ve onu oluşturan kenarlar bacak ise, üçüncü kenar hipotenüstür. V bu durum Meydan bacakların çarpımının ikiye bölünmesine eşittir.
S = ab / 2

Bulmak Meydan üçgen, birçok formülden birini kullanabilirsiniz. Hangi verilerin zaten bilindiğine bağlı olarak formülü seçin.

İhtiyacın olacak

• bir üçgenin alanını bulmak için formüller bilgisi

Talimatlar

Kenarlardan birinin büyüklüğünü ve karşı köşeden bu tarafa indirilen yüksekliğin büyüklüğünü biliyorsanız, alanı şu şekilde bulabilirsiniz: S = a * h / 2, burada S, ​üçgen, a üçgenin kenarlarından biridir ve h - yükseklik, a tarafına.

Üç kenarı biliniyorsa, bir üçgenin alanını belirlemenin bilinen bir yolu vardır. Heron'un formülüdür. Kaydını basitleştirmek için bir ara değer eklenir - bir yarı çevre: p = (a + b + c) / 2, burada a, b, c -. O halde Heron'un formülü şu şekildedir: S = (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ üs alma.

Bir üçgenin kenarlarından birini ve üç açısını bildiğinizi varsayalım. O zaman üçgenin alanını bulmak kolaydır: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), burada β, a kenarının karşısındaki açıdır ve α ve γ, kenara bitişik açılardır.

İlgili videolar

Not

Her duruma uygun en genel formül Heron formülüdür.

Kaynaklar:

İpucu 3: Üç taraftaki bir üçgenin alanı nasıl bulunur

Bir üçgenin alanını bulmak, okul planimetrisindeki en yaygın görevlerden biridir. Bir üçgenin üç tarafını bilmek, herhangi bir üçgenin alanını belirlemek için yeterlidir. Özel durumlarda ve eşkenar üçgenlerde sırasıyla iki ve bir kenar uzunluklarının bilinmesi yeterlidir.

İhtiyacın olacak

• üçgenlerin kenar uzunlukları, Heron formülü, kosinüs teoremi

Talimatlar

Bir üçgenin alanı için Heron'un formülü şu şekildedir: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Yarı çevre p'yi boyarsak, şunu elde ederiz: S = sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) = (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Ayrıca, örneğin kosinüs teoremini uygulayarak, bir üçgenin alanı için bir formül elde edebilirsiniz.

Kosinüs teoremine göre, AC ^ 2 = (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Tanıtılan gösterimleri kullanarak bunlar şu şekilde de olabilir: b ^ 2 = (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Dolayısıyla, cos (ABC) = ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Bir üçgenin alanı ayrıca S = a * c * sin (ABC) / 2 formülü ile iki taraftan ve aralarındaki açı ile bulunur. ABC açısının sinüsü, temel trigonometrik özdeşlik kullanılarak ifade edilebilir: sin (ABC) = sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2) Formüldeki sinüsün alan yerine yazılması ve yazılması aşağı, ABC üçgeninin alanı için formül bulabilirsin.

İlgili videolar

İçin yenileme çalışmaları bazen ölçmek gerekir Meydan duvarlar. Bu, gerekli boya veya duvar kağıdı miktarını hesaplamayı kolaylaştırır. Ölçümler için bir mezura veya santimetre bant kullanmak en iyisidir. Ölçümler sonra yapılmalıdır. duvarlar hizalanmışlardı.

İhtiyacın olacak

• -rulet;
• -merdiven.

Talimatlar

Saymak Meydan duvarlar, tavanların tam yüksekliğini bilmeniz ve zemin boyunca uzunluğu ölçmeniz gerekir. Bu şu şekilde yapılır: bir santimetre alın, süpürgelik üzerine koyun. Genellikle tüm uzunluk için bir santimetre yeterli değildir, bu nedenle köşeye sabitleyin, ardından gevşetin. maksimum uzunluk... Bu noktada bir kalemle işaretleyin, elde edilen sonucu yazın ve son ölçüm noktasından başlayarak sonraki ölçümü aynı şekilde yapın.

Standart tavanlar tipik olarak - eve bağlı olarak 2 metre 80 santimetre, 3 metre ve 3 metre 20 santimetre. Ev 50'li yıllardan önce inşa edilmişse, büyük olasılıkla gerçek yükseklik belirtilenden biraz daha düşüktür. hesaplarsanız Meydan onarım çalışmaları için, küçük bir stok zarar görmez - standarda göre düşünün. Hala bilmeniz gerekiyorsa gerçek yükseklik- ölçüm yapın. İlke, uzunluğu ölçmeye benzer, ancak bir merdiven gereklidir.

Elde edilen göstergeleri çarpın - bu Meydan sizin duvarlar... Doğru, ile boyama işleri veya çıkarmanız gerektiği için Meydan kapı ve pencere açıklıkları... Bunu yapmak için, açıklık boyunca bir santimetre yerleştirin. Eğer gelir daha sonra değiştireceğiniz kapı hakkında, daha sonra kaldırılanla harcayın Kapı çerçevesi sadece dikkate alarak Meydan doğrudan açıklığın kendisi. Pencerenin alanı, çerçevesinin çevresi boyunca hesaplanır. Sonrasında Meydan pencere ve kapı hesaplanır, sonucu elde edilen odanın toplam alanından çıkarın.

Odanın uzunluk ve genişlik ölçümlerinin birlikte yapıldığını lütfen unutmayın, bu nedenle bir santimetre veya şerit metreyi sabitlemek ve buna göre daha doğru bir sonuç almak daha kolaydır. Elde edilen rakamların doğru olduğundan emin olmak için aynı ölçümü birkaç kez yapın.

İlgili videolar

Bir üçgenin hacmini bulmak gerçekten önemsiz bir iştir. Mesele şu ki, bir üçgen iki boyutlu bir şekildir, yani. tamamen tek bir düzlemde yer alır, yani hacmi yoktur. Elbette var olmayan bir şeyi bulamazsınız. Ama pes etmeyelim! Aşağıdaki varsayım yapılabilir - iki boyutlu bir şeklin hacmi, alanıdır. Üçgenin alanını arayacağız.

İhtiyacın olacak

• kağıt, kalem, cetvel, hesap makinesi

Talimatlar

Bir cetvel ve kurşun kalem kullanarak bir kağıda çizin. Üçgeni dikkatlice inceleyerek, bir düzlem üzerinde çizildiği için gerçekten öyle olmadığından emin olabilirsiniz. Üçgenin kenarlarını etiketleyin: bir kenar bir kenar, diğer kenar b ve üçüncü kenar c olsun. Üçgenin köşelerini A, B ve C ile etiketleyin.

Üçgenin her iki tarafını bir cetvelle ölçün ve sonucu yazın. Bundan sonra, karşı köşeden ölçülen tarafa dik olanı geri yükleyin, böyle bir dik üçgenin yüksekliği olacaktır. Şekilde gösterilen durumda, dikey "h", "A" köşesinden "c" tarafına geri yüklenir. Ortaya çıkan yüksekliği bir cetvelle ölçün ve ölçümü kaydedin.

Tam dikeyi yeniden oluşturmakta zorlanabilirsiniz. Bu durumda farklı bir formül kullanmalısınız. Üçgenin tüm kenarlarını bir cetvelle ölçün. Ardından, elde edilen kenarların uzunluklarını toplayarak ve toplamlarını ikiye bölerek "p" üçgeninin yarı çevresini hesaplayın. Yarım çevre değerine sahip olarak, Heron formülünü kullanabilirsiniz. Bunu yapmak için, aşağıdakilerin karekökünü çıkarmanız gerekir: p (p-a) (p-b) (p-c).

aldın gerekli değerüçgenin alanı. Bir üçgenin hacmini bulma sorunu çözülmedi, ancak yukarıda belirtildiği gibi hacim çözülmedi. Üç boyutlu bir dünyada esasen bir üçgen olan hacmi bulabilirsiniz. Orijinal üçgenimizin üç boyutlu bir piramit haline geldiğini hayal edersek, böyle bir piramidin hacmi, tabanının uzunluğunun elde ettiğimiz üçgenin alanı ile çarpımı olacaktır.

Not

Hesaplamalar ne kadar doğru olursa, ölçümleri o kadar dikkatli yaparsınız.

Kaynaklar:

• Hepsinden Herkese Hesap Makinesi - Referans Değerler Portalı
• 2019'da üçgenin hacmi

Kartezyen koordinat sisteminde bir üçgeni benzersiz olarak tanımlayan üç nokta onun köşeleridir. Koordinat eksenlerinin her birine göre konumlarını bilerek, bunun herhangi bir parametresini hesaplayabilirsiniz. düz şekil, çevresi tarafından sınırlanan dahil Meydan... Bu birkaç yolla yapılabilir.

Talimatlar

Alanı hesaplamak için Heron formülünü kullanın üçgen... Şeklin üç tarafının boyutlarını kullanır, bu nedenle hesaplamaya ile başlayın. Her bir kenarın uzunluğu, çıkıntılarının uzunluklarının karelerinin toplamının köküne eşit olmalıdır. koordinat eksenleri... A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) ve C (X₃, Y₃, Z₃ koordinatlarını belirtirsek, kenarlarının uzunlukları şu şekilde ifade edilebilir: AB = √ ((X₁-X₂) ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC = √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC = √ ((X₁) -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Hesaplamaları basitleştirmek için yardımcı bir değişken - yarı çevre (P) girin. Bu, tüm kenarların uzunluklarının toplamının yarısı olduğundan: P = ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ² ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

İnternette bir üçgenin alanını hesaplamak için 10'dan fazla formül vardır.Birçoğu bir üçgenin bilinen kenarları ve açıları ile ilgili problemlerde kullanılır. Bununla birlikte, spesifikasyona göre, bir üçgenin yalnızca bir kenarının ve açılarının veya çevrelenmiş veya işaretlenmiş dairenin yarıçapının ve bir başka özelliğin bilindiği bir dizi karmaşık örnek vardır. Bu gibi durumlarda basit bir formül uygulanamaz.

Aşağıdaki formüller, bir üçgenin alanını bulmanız gereken problemlerin yüzde 95'ini çözecektir.
Ortak alan formüllerini ele almaya devam edelim.
Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgeni düşünün

Şekilde ve formüllerde, tüm özelliklerinin klasik tanımları tanıtılmıştır.
a, b, c - üçgenin kenarları,
R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır,
r - yazılı dairenin yarıçapı,
h [b], h [a], h [c] - a, b, c kenarlarına göre çizilen yükseklikler.
alfa, beta, hamma - köşelere yakın köşeler.

Bir üçgenin alanı için temel formüller

1. Alan, bu tarafa indirilen yükseklik ile üçgenin kenarının çarpımının yarısına eşittir. Formül dilinde bu tanım şu şekilde yazılabilir:

Böylece kenar ve yükseklik biliniyorsa her öğrenci alanı bulacaktır.
Bu arada, bu formülden yükseklikler arasında yararlı bir ilişki elde edilebilir.

2. Bitişik taraftan geçen üçgenin yüksekliğinin bağımlılıkla ifade edildiği göz önüne alındığında

Daha sonra birinci alan formülünden ikincinin aynı tipini takip edin.

Formüllere yakından bakın - işte iki taraf ve aralarında bir açı olduğu için hatırlamaları kolaydır. Üçgenin kenarlarını ve köşelerini doğru bir şekilde belirlersek (yukarıdaki resimde olduğu gibi), o zaman iki tane elde ederiz. a, b tarafları ve açı üçüncü ile ilişkilidir C (hamma).

3. Bir üçgenin açıları için aşağıdaki bağıntı geçerlidir:

Kısıtlama, hesaplamalarda bir üçgenin alanı için aşağıdaki formülleri uygulamanıza izin verir.

Bu bağımlılığın örnekleri son derece nadirdir, ancak böyle bir formül olduğunu unutmamalısınız.

4. Kenar ve iki komşu açı biliniyorsa, alan formülle bulunur.

5. Kenar ve komşu açıların kotanjantı cinsinden alan formülü aşağıdaki gibidir.

Endeksleri yeniden düzenleyerek diğer taraflar için bağımlılıklar elde edebilirsiniz.

6. Aşağıda verilen alan formülü, bir üçgenin köşelerinin düzlemde koordinatlarla belirtildiği problemlerde kullanılır. Bu durumda alan modulo alınan determinantın yarısına eşittir.

7. Heron'un formülü bilinen üçgen kenarları olan örneklerde kullanılır.
İlk önce üçgenin yarım çevresini bulun

Ve sonra alan formülle belirlenir

veya

Hesap makinesi programlarının kodunda oldukça sık kullanılır.

8. Üçgenin tüm yükseklikleri biliniyorsa, alan formülle belirlenir.

Hesap makinesinde hesaplamak zordur, ancak MathCad, Mathematica, Maple paketlerinde alan "bir iki"dir.

9. Aşağıdaki formüller, bilinen yazılı ve dairesel yarıçapları kullanır.

Özellikle, üçgenin yarıçapı ve kenarları veya çevresi biliniyorsa, alan formüle göre hesaplanır.

10. Çevrelenmiş dairenin kenarlarının ve yarıçapının veya çapının verildiği örneklerde alan formülle bulunur.

11. Aşağıdaki formül, bir üçgenin alanını, üçgenin kenar ve açıları cinsinden belirler.

Ve son olarak - özel durumlar:
Meydan sağ üçgen a ve b ayakları ile çarpımlarının yarısına eşittir

Eşkenar (düz) üçgen alan formülü=

= kenarın karesi ile üçlünün kökünün çarpımının dörtte biri.

Karşı köşeden) ve elde edilen ürünü ikiye bölün. Formda, bu şöyle görünür:

S = ½ * a * h,

nerede:
S, üçgenin alanıdır,
a, kenarının uzunluğudur,
h, bu tarafa indirilen yüksekliktir.

Kenar uzunluğu ve yüksekliği aynı birimde sunulmalıdır. Bu durumda, üçgenin alanı uygun "" birimlerde elde edilecektir.

Örnek.
20 cm uzunluğundaki çok yönlü bir üçgenin bir tarafında, 10 cm uzunluğundaki karşı köşeden bir dikey indirilir.
Üçgenin alanı gereklidir.
Çözüm.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Çok yönlü bir üçgenin iki kenarının uzunluklarını ve aralarındaki açıyı biliyorsanız, aşağıdaki formülü kullanın:

S = ½ * a * b * sinγ,

burada: a, b iki keyfi kenarın uzunluklarıdır ve γ aralarındaki açıdır.

Pratikte, örneğin arsaları ölçerken, ek yapılar ve açı ölçümleri gerektirdiğinden, yukarıdaki formüllerin kullanımı bazen zordur.

Çok yönlü bir üçgenin üç kenarının da uzunluklarını biliyorsanız, Heron formülünü kullanın:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c))),

a, b, c - üçgenin kenarlarının uzunlukları,
p - yarı çevre: p = (a + b + c) / 2.

Tüm kenarların uzunluklarına ek olarak, üçgende yazılı dairenin yarıçapı biliniyorsa, aşağıdaki kompakt formülü kullanın:

burada: r - yazılı dairenin yarıçapı (p - yarı çevre).

Sınırlı dairenin çok yönlü bir üçgeninin alanını ve kenarlarının uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

burada: R, çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.

Üçgenin kenarlarından birinin uzunluğunu ve üç açıyı biliyorsanız (prensipte iki tane yeterlidir - üçüncünün değeri üçgenin üç açısının toplamının eşitliğinden hesaplanır - 180º), o zaman kullanın formül:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

burada a, a tarafının karşısındaki açının değeridir;
β, γ üçgenin diğer iki açısının değerleridir.

bulma ihtiyacı çeşitli unsurlar, alan dahil üçgen, bilim adamları gökbilimciler arasında çağımızdan yüzyıllar önce ortaya çıktı Antik Yunan. Meydan üçgen hesaplanabilir Farklı yollar farklı formüller kullanarak. Hesaplama yöntemi hangi öğelere bağlıdır üçgen bilinmektedir.

Talimatlar

Koşuldan iki tarafın b, c değerlerini ve bunların oluşturduğu açıyı biliyorsak, O zaman alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = (bcsin?) / 2.

Koşuldan iki tarafın a, b değerlerini ve bunların oluşturmadığı açıyı biliyorsak, O zaman alan üçgen ABC şu şekilde bulunur:
Açıyı bulun ?, günah? = bsin? / a, sonra tabloya göre açıyı kendisi belirleriz.
açısını bulunuz?,? = 180 ° -? -?.
Alanın kendisini S = (absin?) / 2 olarak buluyoruz.

Koşuldan sadece üç tarafın değerlerini biliyorsak üçgen a, b ve c, sonra alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)) burada p bir yarı çevredir p = (a + b + c) / 2

Sorunun durumundan yüksekliği biliyorsak üçgen h ve bu yüksekliğin düşürüldüğü taraf, sonra alan üçgen Formüle göre ABC:
S = ah (a) / 2 = bh (b) / 2 = ch (c) / 2.

Tarafların değerlerini bilsek üçgen a, b, c ve verilen etrafında açıklanan yarıçap üçgen R, sonra bunun alanı üçgen ABC şu formülle belirlenir:
S = abc / 4R.
Üç kenar a, b, c ve yazılı olanın yarıçapı biliniyorsa, o zaman alan üçgen ABC şu formülle bulunur:
S = pr, burada p bir yarı çevre, p = (a + b + c) / 2.

ABC eşkenar ise, alan şu formülle bulunur:
S = (a ^ 2v3) / 4.
ABC üçgeni ikizkenar ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, burada c - üçgen.
ABC üçgeni dikdörtgen ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = ab / 2, burada a ve b bacaklardır üçgen.
ABC üçgeni dik açılı bir ikizkenar ise, alan aşağıdaki formülle belirlenir:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, burada c hipotenüstür üçgen, a = b - bacak.

İlgili videolar

Kaynaklar:

• üçgenin alanı nasıl ölçülür

İpucu 3: Açıyı biliyorsanız, üçgenin alanını nasıl bulabilirsiniz?

Alanı bulmak için sadece bir parametrenin (açı değeri) bilinmesi yeterli değildir. tre Meydan ... Ek boyutlar varsa, bilinen değişkenlerden biri olarak açı değerinin de kullanıldığı alanı belirlemek için formüllerden biri seçilebilir. En sık kullanılan formüllerden bazıları aşağıda listelenmiştir.

Talimatlar

İki tarafın oluşturduğu açının (γ) değerine ek olarak ise tre Meydan , bu kenarların (A ve B) uzunlukları da biliniyorsa, o zaman MeydanŞeklin (S), kenarlarının uzunluklarının ve bu bilinen açının sinüsünün çarpımının yarısı olarak tanımlanabilir: S = ½ × A × B × sin (γ).