Tanımlar:

ekstremum maksimum denir en az değer Belirli bir kümedeki fonksiyonlar.

uç nokta fonksiyonun maksimum veya minimum değerine ulaşıldığı noktadır.

Maksimum nokta olduğu nokta maksimum değer fonksiyonlar.

Düşük nokta fonksiyonun minimum değerine ulaşıldığı noktadır.

Açıklama.

Şekilde, x = 3 noktasının yakınında, fonksiyon maksimum değerine ulaşır (yani, bu belirli noktanın yakınında daha yüksek bir nokta yoktur). x = 8 komşuluğunda yine bir maksimum değere sahiptir (yine açıklığa kavuşturalım: bu komşulukta yukarıda hiçbir nokta yoktur). Bu noktalarda, artışın yerini bir azalma alır. Bunlar maksimum puanlardır:

xmaks = 3, xmaks = 8.

x = 5 noktası civarında, fonksiyonun minimum değerine ulaşılır (yani, x = 5 civarında, aşağıda hiçbir nokta yoktur). Bu noktada azalmanın yerini bir artış alır. Bu minimum noktadır:

Maksimum ve minimum puanlar, fonksiyonun uç noktaları, ve bu noktalardaki fonksiyonun değerleri onun aşırı uçlar.

Fonksiyonun kritik ve durağan noktaları:

Bir ekstremum için gerekli koşul:

Bir ekstremum için yeterli koşul:

Segmentte, fonksiyon y = F(x) minimum veya maksimum değerine kritik noktalarda veya segment sonunda ulaşabilir.

Sürekli bir işlevi incelemek için algoritmay = F(x) monotonluk ve aşırılık için:

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun.

y = x^3 - 3*x^2 fonksiyonunun grafiğini gösterir. x = 0 noktasını içeren bir aralık düşünün, örneğin, -1'den 1'e. Böyle bir aralığa ayrıca x = 0 noktasının komşuluğu da denir. Grafikte görülebileceği gibi, bu komşulukta y = x fonksiyonu. ^3 - 3*x^2 tam olarak x = 0 noktasındaki en büyük değeri alır.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimumu

Bu durumda x = 0 noktasına fonksiyonun maksimum noktası denir. Buna benzeterek, x = 2 noktasına y = x^3 - 3*x^2 fonksiyonunun minimum noktası denir. Çünkü bu noktanın öyle bir mahallesi var ki bu mahalleden gelen diğer tüm değerler arasında bu noktadaki değer minimum olacak.

nokta maksimum f(x) fonksiyonuna x0 noktası denir, ancak bu komşuluktan tüm x'ler için x0'a eşit olmayacak şekilde x0 noktasının bir komşuluğu varsa, f(x) eşitsizliği< f(x0).

nokta asgari f(x) fonksiyonuna x0 noktası denir, ancak bu komşuluktan x0'a eşit olmayan tüm x için, f(x) > f(x0) eşitsizliği sağlanacak şekilde x0 noktasının bir komşuluğu vardır.

Fonksiyonların maksimum ve minimum noktalarında, fonksiyonun türevinin değeri sıfıra eşittir. Ancak bu, maksimum veya minimum noktada bir fonksiyonun varlığı için yeterli bir koşul değildir.

Örneğin, x = 0 noktasındaki y = x^3 fonksiyonunun türevi sıfıra eşittir. Ancak x = 0 noktası, fonksiyonun minimum veya maksimum noktası değildir. Bildiğiniz gibi y = x^3 fonksiyonu reel eksenin tamamında artar.

Böylece, minimum ve maksimum noktalar her zaman f'(x) = 0 denkleminin kökleri arasında olacaktır. Ancak bu denklemin tüm kökleri maksimum veya minimum noktalar olmayacaktır.

Sabit ve kritik noktalar

Bir fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu noktalara durağan noktalar denir. Fonksiyonun türevinin hiç olmadığı noktalarda maksimum veya minimum noktaları da olabilir. Örneğin, y = |x| x = 0 noktasında minimum vardır, ancak bu noktada türev yoktur. Bu nokta fonksiyonun kritik noktası olacaktır.

Bir fonksiyonun kritik noktaları, türevin sıfıra eşit olduğu veya bu noktada türevin bulunmadığı noktalardır, yani bu noktadaki fonksiyon türevlenemez. Bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu bulmak için yeterli bir koşulun sağlanması gerekir.

f(x), (a;b) aralığında türevlenebilen bir fonksiyon olsun. x0 noktası bu aralığa aittir ve f'(x0) = 0. O halde:

1. f(x) fonksiyonu ve türevi x0 durağan noktasından geçerken “artı”dan “eksi”ye işaret değiştirirse, x0 noktası fonksiyonun maksimum noktasıdır.

2. f(x) fonksiyonu ve türevi x0 durağan noktasından geçerken "eksi"den "artı"ya işaret değiştirirse, x0 noktası fonksiyonun minimum noktasıdır.

Kritik noktalar fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalardır. Türev 0 ise, o noktadaki fonksiyon yerel minimum veya maksimum. Bu tür noktalarda grafikte, fonksiyonun yatay bir asimptotu vardır, yani teğet Ox eksenine paraleldir.

Bu tür noktalara denir sabit. Sürekli fonksiyon tablosunda bir "tümsek" veya "delik" görürseniz, kritik noktada maksimum veya minimuma ulaşıldığını unutmayın. Aşağıdaki görevi örnek olarak düşünün.

örnek 1 y=2x^3-3x^2+5 fonksiyonunun kritik noktalarını bulun.
Çözüm. Kritik noktaları bulma algoritması aşağıdaki gibidir:

Yani fonksiyonun iki kritik noktası vardır.

Ayrıca, fonksiyonu incelemeniz gerekiyorsa, kritik noktanın solundaki ve sağındaki türevin işaretini belirleriz. Kritik bir noktadan geçerken türev işareti "-" den "+" ye değiştirirse, fonksiyon yerel minimum. "+" ile "-" arasında ise yerel maksimum.

İkinci tip kritik noktalar bunlar kesirli ve irrasyonel fonksiyonların paydasının sıfırlarıdır

Bu noktalarda tanımlanmayan logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar


Üçüncü tip kritik noktalar parçalı sürekli fonksiyonlara ve modüllere sahiptir.
Örneğin, herhangi bir modül fonksiyonunun bir kırılma noktasında minimum veya maksimum değeri vardır.

Örneğin modül y = | x -5 | x = 5 noktasında minimum (kritik nokta) vardır.
İçinde türev yoktur, ancak sağda ve solda sırasıyla 1 ve -1 değerini alır.

İşlevlerin kritik noktalarını belirlemeye çalışın

1)
2)
3)
4)
5)

Yanıt olarak değeri alırsanız
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
o zaman zaten biliyorsun kritik noktalar nasıl bulunur ve basit bir kontrol veya testlerle başa çıkabilme.

Bir fonksiyonun tanım kümesi, türevini hesaplayın, bir fonksiyonun türevinin tanım kümesini bulun, bulun puan türevin sıfıra dönüştürülmesi, bulunan noktaların orijinal fonksiyonun tanım alanına ait olduğunu kanıtlayın.

Örnek 1 Kritik Tanımlama puan fonksiyonlar y = (x - 3)² (x-2).

ÇözümFonksiyonun kapsamını bulun, bu durum kısıtlama yok: x ∈ (-∞; +∞); y' türevini hesaplayın. İkisinin çarpımının türev kurallarına göre, y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x -) vardır. 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. ortaya çıktıktan sonra ikinci dereceden denklem: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Fonksiyonun türevinin tanım kümesini bulun: x ∈ (-∞; +∞) Hangisi için kaybolduğunu bulmak için 3 x² - 16 x + 21 = 0 denklemini çözün: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Yani 3 ve 7/3'e eşit x değerleri için türev yok olur.

Bulunanların ait olup olmadığını belirleyin puan orijinal fonksiyonun alanları. x (-∞; +∞) olduğundan, bunların ikisi de puan Kritik.

Örnek 2 Kritik Tanımlama puan fonksiyonlar y = x² - 2/x.

Fonksiyonun Çözüm Alanı: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) x paydada olduğu için y' = 2 x + 2/x² türevini hesaplayın.

Fonksiyonun türevinin alanı orijinalinkiyle aynıdır: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 denklemini çözün /x² → x = -bir.

Yani türev x = -1'de yok olur. Gerekli ancak yetersiz bir kritiklik koşulu sağlanır. x=-1 (-∞; 0) ∪ (0; +∞) aralığına düştüğü için bu nokta kritiktir.

Kaynaklar:

• Kritik satış hacmi, adetEşik

Birçok kadın, sadece ağrılı duyularla değil, aynı zamanda iştah artışıyla da ortaya çıkan adet öncesi sendromundan muzdariptir. Sonuç olarak kritik günler kilo verme sürecini önemli ölçüde yavaşlatabilir.

Kritik günlerde artan iştahın nedenleri

Kritik günlerde iştah artışının nedeni, kadın vücudundaki genel hormonal arka planda bir değişikliktir. Adetin başlamasından birkaç gün önce, progesteron hormonunun seviyesi yükselir, vücut mümkün olana uyum sağlar ve kadın oturuyor olsa bile vücut yağı şeklinde ek enerji rezervleri oluşturmaya çalışır. Bu nedenle, kritik günlerde ağırlıktaki bir değişiklik normal bir fenomendir.

Menstrüasyon sırasında nasıl yenir

Bu günlerde tatlılar, şekerlemeler ve "hızlı" içeren diğer yüksek kalorili yiyecekleri yememeye çalışın. Fazlalıkları hemen yağda birikecektir. Bu dönemde birçok kadın gerçekten çikolata yemek ister, bu durumda bitter çikolata satın alabilir ve kendinize birkaç dilim ısmarlayabilirsiniz, ancak daha fazlasını değil. Menstrüasyon sırasında alkollü içecekler, turşular, turşular, füme et, tohum ve kuruyemiş tüketmemelisiniz. Turşu ve tütsülenmiş etler, vücuttaki su rezervlerini arttırdığından ve bu dönem sıvı birikiminde bir artış ile karakterize edildiğinden, menstrüasyonun başlangıcından 6-8 gün önce diyette genellikle sınırlandırılmalıdır. Diyetteki tuz miktarını azaltmak için hazır yemeklere minimum miktarda ekleyin.

Az yağlı süt ürünleri, bitkisel gıdalar, tahıllar kullanılması tavsiye edilir. Baklagiller, haşlanmış patates, pirinç faydalı olacaktır - "yavaş" karbonhidrat içeren ürünler. Deniz ürünleri, karaciğer, balık, sığır eti, kümes hayvanları, yumurta, baklagiller, kuru meyveler demir kaybını yenilemeye yardımcı olacaktır. Buğday kepeği faydalı olacaktır. Şişme adet sırasında doğal bir reaksiyondur. Hafif idrar söktürücü otlar durumu düzeltmeye yardımcı olacaktır: fesleğen, dereotu, maydanoz, kereviz. Baharat olarak kullanılabilirler. Döngünün ikinci yarısında protein ürünleri (yağsız et ve balık, süt ürünleri) tüketilmesi tavsiye edilir ve diyetteki karbonhidrat miktarı mümkün olduğunca azaltılmalıdır.

Kritik hacmin ekonomik konsepti satış işletmenin mal satışından elde edilen gelirin minimum olduğu pazardaki konumuna karşılık gelir. Ürünlere olan talebin düştüğü ve kârların maliyeti zar zor karşıladığı bu duruma başabaş noktası denir. Kritik hacmi belirlemek için satış birkaç yöntem kullanın.

Talimat

İş döngüsü faaliyetleriyle sınırlı değildir - üretim veya hizmetler. Bu, görevi işletmenin finansal analizi olan ekonomistlerin yanı sıra kilit personelin, yönetim kadrosunun, yöneticilerin vb. Çalışmaları da dahil olmak üzere belirli bir yapının karmaşık bir çalışmasıdır.

Bu analizin amacı, bir dereceye kadar nihai karın büyüklüğünü etkileyen bazı miktarları hesaplamaktır. Bu Farklı türdeüretim ve satış hacimleri, tam ve ortalama, talep göstergeleri vb. Ana görev, maliyetler ve karlar arasında istikrarlı bir ilişkinin kurulduğu böyle bir üretim hacmini belirlemektir.

Minimum hacim satış gelirin maliyetleri tamamen karşıladığı, ancak artmadığı Eşitlikşirket kritik hacim olarak adlandırılır satış. Bu göstergenin yöntemini hesaplamak için üç yöntem vardır: denklem yöntemi, marjinal gelir ve grafik.

Kritik hacmi belirlemek için satış ilk yönteme göre, şu şekilde bir denklem yapın: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, burada: Vp - gelir satış ve ; Zper ve Zpos - değişken ve sabit maliyetler; Pp - kar satış ve.

Başka bir yönteme göre, birinci dönem, gelir satış, hacme göre bir mal biriminden elde edilen marjinal gelirin ürünü olarak temsil edilir satış Aynı şey değişken maliyetler için de geçerlidir. sabit maliyetler tüm mal partisi için geçerlidir, bu nedenle bu bileşeni ortak bırakın: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Bu denklemden N'nin değerini ifade edin ve kritik hacmi elde edin. satış:N = Zpos / (MD - Zper1), burada Zper1 - mal birimi başına değişken maliyetler.

Grafiksel yöntem yapıyı içerir. Başvurmak koordinat uçağı iki satır: gelen gelir fonksiyonu satış eksi hem maliyet hem de kar fonksiyonu. X ekseninde, üretim hacmini ve y ekseninde, parasal birimlerde ifade edilen karşılık gelen mal miktarından elde edilen geliri çizin. Bu çizgilerin kesişme noktası kritik hacme karşılık gelir. satış, başabaş konumu.

Kaynaklar:

• kritik iş nasıl belirlenir

Eleştirel düşünme, belirli sonuçların oluşturulduğu ve eleştiri nesnelerinin bir değerlendirmesinin yapıldığı bir dizi yargıdır. Özellikle tüm bilim dallarından araştırmacıların ve bilim adamlarının özelliğidir. Eleştirel düşünme, sıradan düşünmeden daha yüksek bir düzeydedir.

Eleştirel düşünmenin oluşumunda deneyimin değeri

İyi anlamadığınız şeyleri analiz etmek ve sonuç çıkarmak zordur. Bu nedenle, eleştirel düşünmeyi öğrenmek için, nesneleri diğer fenomenlerle olası tüm bağlantılarda ve ilişkilerde incelemek gerekir. Birlikte büyük önem bu durumda, bu tür nesneler hakkında bilgiye, mantıksal yargı zincirleri oluşturma ve makul sonuçlar çıkarma yeteneğine sahiptir.

Örneğin, değeri yargılayın sanat eseri ancak edebi etkinliğin diğer meyvelerini oldukça fazla bilmekle mümkündür. Aynı zamanda, insani gelişme tarihi, edebiyatın oluşumu ve edebiyat eleştirisi konusunda uzman olmak fena değil. Tarihsel bağlamdan izole edildiğinde, eser anlamını kaybedebilir. Bir sanat eserinin değerlendirilmesinin yeterince eksiksiz ve gerekçeli olması için, inşa kurallarını içeren edebi bilginizi de kullanmanız gerekir. sanatsal metin bireysel türler içinde, çeşitli edebi araçlardan oluşan bir sistem, edebiyattaki mevcut stillerin ve eğilimlerin sınıflandırılması ve analizi vb. Aynı zamanda, arsanın iç mantığını, eylem sırasını, karakterlerin bir sanat eserindeki yerleşimini ve etkileşimini incelemek de önemlidir.

Eleştirel düşünmenin özellikleri

Eleştirel düşünmenin diğer özellikleri şunları içerir:
- incelenen nesne hakkında bilgi, mantıksal zincirlerin inşasıyla ilgili daha fazla beyin aktivitesi için yalnızca başlangıç ​​noktasıdır;
- tutarlı bir şekilde oluşturulmuş ve sağduyuya dayalı akıl yürütme, incelenen nesne hakkında doğru ve hatalı bilgilerin tanımlanmasına yol açar;
- eleştirel düşünme her zaman hakkında mevcut bilgilerin değerlendirilmesi ile ilişkilidir. verilen nesne ve ilgili sonuçlar, değerlendirme ise halihazırda mevcut olan becerilerle ilgilidir.

Sıradan düşünmenin aksine, eleştirel düşünme kör bir inanca tabi değildir. Eleştirel düşünme, özünü kavramak, onun hakkında doğru bilgiyi ortaya çıkarmak ve yanlış olanları çürütmek için eleştiri nesnesi hakkında bütün bir yargılar sisteminin kullanılmasına izin verir. Mantığa, çalışmanın derinliğine ve eksiksizliğine, doğruluğuna, yargıların yeterliliğine ve tutarlılığına dayanır. Aynı zamanda, aşikar ve kanıtlanmış ifadeler varsayım olarak kabul edilir ve tekrarlanan kanıt ve değerlendirme gerektirmez.

Yukarıdaki akıl yürütmede, diferansiyel hesabın teknik yöntemlerini hiç kullanmadık.

Temel yöntemlerimizin analiz yöntemlerinden daha basit ve daha doğrudan olduğunu kabul etmemek zor. Genel olarak, belirli bir bilimsel problemle uğraşırken, yalnızca ona güvenmektense bireysel özelliklerinden yola çıkmak daha iyidir. yaygın yöntemler olmasına rağmen, diğer yandan, Genel prensip Uygulanan özel prosedürlerin anlamını açıklığa kavuşturmak elbette her zaman öncü rol oynamalıdır. Uç problemlerle uğraşırken diferansiyel hesap yöntemlerinin önemi tam olarak budur. Içinde gözlemlenen modern bilim Genellik arzusu konunun sadece bir yönünü temsil eder, çünkü matematikte gerçekten hayati olan şey, şüphesiz, ele alınan problemlerin bireysel özellikleri ve kullanılan yöntemler tarafından belirlenir.

onun tarihsel gelişim diferansiyel hesap, en büyük ve en küçük miktar değerlerini bulma ile ilgili bireysel problemlerden çok büyük ölçüde etkilenmiştir. Ekstrem problemler ile diferansiyel hesap arasındaki bağlantı şu şekilde anlaşılabilir. Bölüm VIII'de, f (x) fonksiyonunun f "(x) türevini ve geometrik anlamını ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Orada kısaca, f" (x) türevinin tanjantın eğimi olduğunu göreceğiz. eğriye y = f(x)(x,y) noktasında. Düzgün bir eğrinin maksimum veya minimum noktalarında geometrik olarak açıktır. y = f(x) eğriye teğet mutlaka yatay olmalıdır, yani eğim sıfır olmalıdır. Böylece ekstremum noktalarının koşulunu elde ederiz. f"(x) = 0.

Sıfıra f "(x) türevinin ne anlama geldiği konusunda net olmak için, Şekil 191'de gösterilen eğriyi göz önünde bulundurun. Burada, eğriye teğetin yatay olduğu beş A, B, C, D, ? noktası görüyoruz; f(x)'in bu noktalarda karşılık gelen değerlerini şu şekilde ifade ederiz: a, b, c, d, e. En yüksek değer f(x) (çizimde gösterilen alan içinde) D noktasında, en küçüğü A noktasında ulaşılır. B noktasında bir maksimum vardır - şu anlamda tüm noktalarda bazı mahalle B noktasında, f(x)'in değeri b'den küçüktür, ancak D'ye yakın noktalarda f(x)'in değeri hala b'den büyüktür. Bu nedenle, B noktasında olduğunu söylemek adettendir. fonksiyonun göreli maksimumu f(x), D noktasındayken - mutlak maksimum. Benzer şekilde, C noktasında bağıl minimum, ve A noktasında mutlak minimum. Son olarak, E noktası ile ilgili olarak, eşitlik olmasına rağmen, ne maksimum ne de minimum vardır. f"(x) = Q, Buradan f "(x) türevinin kaybolması şu şekildedir: gerekli, ama hiçbir şekilde yeterli düzgün bir f(x) fonksiyonunun ekstremumunun ortaya çıkması için koşul; başka bir deyişle, bir ekstremumun (mutlak veya göreli) olduğu herhangi bir noktada, eşitlik f"(x) = 0, ancak herhangi bir noktada değil f"(x) = 0, bir ekstremum olmalıdır. Bir ekstremumları olup olmadığına bakılmaksızın, f "(x) türevinin kaybolduğu noktalara denir. sabit. Daha fazla analiz, f(x) fonksiyonunun daha yüksek türevleri ile ilgili ve maksimum, minimum ve diğer durağan noktaları tamamen karakterize eden aşağı yukarı karmaşık koşullara yol açar.