Bu hesap makinesi "Yamuk alanı" konusunda 2192 problem hesapladı.

KARE KİLİT TAŞI

Size sunulan sorunu çözmek için kullanmayı planladığınız bir yamuğun alanını hesaplamak için formülü seçin:

Bir yamuğun alanını hesaplamak için genel teori.

yamuk - üçü tek bir doğru üzerinde olmayan dört noktadan ve bu dört noktayı çiftler halinde birbirine bağlayan dört parçadan (kenarlardan) oluşan ve karşılıklı iki kenarın paralel olduğu (paralel doğrular üzerinde uzandığı) düz bir şekildir. diğer ikisi paralel değil.

noktalar denir yamuğun üst kısımları ve büyük Latin harfleriyle gösterilir.

Segmentler denir yamuğun kenarları ve bir çift büyük harfle gösterilir Latin harfleri doğru parçalarının bağlandığı köşelere karşılık gelir.

Yamuğun iki paralel kenarına denir. yamuk tabanı .

Bir yamuğun paralel olmayan iki kenarına denir. yamuğun yan tarafları .

Şekil # 1: Yamuk ABCD

Şekil 1, bir yamuk ABCD'yi göstermektedir. A, B köşeleri, C, D ve AB, BC, CD, DA kenarları.

AB ǁ DC - yamuk ABCD'nin tabanları.

AD, BC - yamuk ABCD'nin yan tarafları.

AB ve AD ışınlarının oluşturduğu açıya A tepe açısı denir. ÐA veya ÐBAD veya ÐDAB olarak gösterilir.

BA ve BC ışınlarının oluşturduğu açıya B köşesindeki açı denir. ÐB veya ÐABC veya ÐCBA olarak gösterilir.

CB ve CD ışınlarının oluşturduğu açıya C köşesindeki açı denir. ÐC veya ÐDCB veya ÐBCD olarak gösterilir.

AD ve CD kirişlerinin oluşturduğu açıya D tepe açısı denir. ÐD veya ÐADC veya ÐCDA olarak gösterilir.

Şekil # 2: Yamuk ABCD

Şekil 2'de, yan tarafların orta noktalarını birleştiren MN doğru parçasına denir. yamuğun orta çizgisi.

Trapezoidin orta çizgisi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir. Yani, .

Şekil # 3: İkizkenar yamuk ABCD

Şekil 3'te AD = BC.

yamuk denir ikizkenar (ikizkenar) kenarları eşitse.

Şekil # 4: Dikdörtgen yamuk ABCD

Şekil 4'te D açısı düz bir çizgidir (90°'ye eşittir).

yamuk denir dikdörtgen, yandaki açı düz ise.

Kare S düz yamuğun ait olduğu şekillere bir düzlemde sınırlı kapalı alan denir. Meydan düz şekil bu rakamın boyutunu gösterir.

Alanın birkaç özelliği vardır:

1. Negatif olamaz.

2. Bir düzlemde, birbiriyle kesişmeyen (yani, şekillerin ortak iç noktaları yoktur, ancak birbirine değebilecek) birkaç figürden oluşan belirli bir kapalı alan verilirse, o zaman böyle bir alanın alanı, kurucu rakamlarının alanlarının toplamına eşittir ...

3. İki rakam eşitse, alanları eşittir.

4. Birim doğru üzerine kurulmuş bir karenin alanı bire eşittir.

Başına birim ölçümler kareler kenarı eşit olan bir karenin alanını alın birim ölçümler segmentler.

Problemleri çözerken, bir yamuğun alanını hesaplamak için aşağıdaki formüller sıklıkla kullanılır:

1. Yamuğun alanı, tabanlarının yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir:

2. Yamuğun alanı, orta çizgisinin yüksekliğine göre ürününe eşittir:

3. Yamuğun tabanlarının ve kenarlarının bilinen uzunlukları ile alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

4. Bir yamukta yazılı bir dairenin yarıçapının bilinen bir uzunluğuna ve tabandaki açının bilinen bir değerine sahip bir ikizkenar yamuğun alanını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplamak mümkündür:

Örnek 1: Tabanları a = 7, b = 3 ve yüksekliği h = 15 olan bir yamuğun alanını hesaplayın.

Çözüm:

Yanıt vermek:

Örnek 2: Alanı S = 35 cm 2, yüksekliği h = 7 cm ve ikinci tabanı b = 2 cm olan yamuğun tabanının kenarını bulun.

Çözüm:

Yamuğun tabanının kenarını bulmak için alanı hesaplamak için formülü kullanırız:

Bu formülden yamuğun tabanının kenarını ifade edelim:

Böylece, aşağıdakilere sahibiz:

Yanıt vermek:

Örnek 3: Alanı S = 17 cm 2 ve tabanı a = 30 cm, b = 4 cm olan bir yamuğun yüksekliğini bulun.

Çözüm:

Yamuğun yüksekliğini bulmak için alanı hesaplamak için formülü kullanın:

Böylece, aşağıdakilere sahibiz:

Yanıt vermek:

Örnek 4: Yüksekliği h = 24 ve orta çizgisi m = 5 olan bir yamuğun alanını hesaplayın.

Çözüm:

Bir yamuğun alanını bulmak için, alanı hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Böylece, aşağıdakilere sahibiz:

Yanıt vermek:

Örnek 5: Alanı S = 48 cm 2 ve orta çizgisi m = 6 cm olan bir yamuğun yüksekliğini bulun.

Çözüm:

Yamuğun yüksekliğini bulmak için yamuğun alanını hesaplamak için formülü kullanırız:

Bu formülden yamuğun yüksekliğini ifade edelim:

Böylece, aşağıdakilere sahibiz:

Yanıt vermek:

Örnek 6: Alanı S = 56 ve yüksekliği h = 4 olan bir yamuğun orta çizgisini bulun.

Çözüm:

Bir yamuğun orta çizgisini bulmak için, yamuğun alanını hesaplamak için formülü kullanın:

Bu formülden yamuğun orta çizgisini ifade edelim:

Böylece, aşağıdakilere sahibiz.

Bir yamuk, iki zıt kenarın birbirine paralel olduğu, ancak diğer ikisinin olmadığı özel bir dörtgen türüdür. Çeşitli gerçek hayattaki nesnelerin yamuk şekli vardır, bu nedenle günlük veya okul problemlerini çözmek için böyle bir geometrik şeklin çevresini hesaplamanız gerekebilir.

yamuk geometrisi

Bir yamuk (Yunanca "yamuk" - bir tablodan), ikisi paralel ve ikisi paralel olmayan dört bölümle sınırlanmış bir düzlemde bir rakamdır. Paralel doğru parçalarına yamuğun tabanları, paralel olmayanlara ise şeklin yan tarafları denir. Kenarlar ve eğim açıları, çok yönlü, ikizkenar veya dikdörtgen olabilen yamuk tipini belirler. Tabanlara ve kenarlara ek olarak, yamuğun iki unsuru daha vardır:

• yükseklik - şeklin paralel tabanları arasındaki mesafe;
• orta çizgi, kenarların orta noktalarını birleştiren bir parçadır.

Bu geometrik şekil gerçek hayatta yaygındır.

Gerçekte yamuk

V Günlük yaşam Birçok gerçek nesne yamuk şeklini alır. Aşağıdaki insan faaliyeti alanlarında yamukları kolayca bulabilirsiniz:

• iç tasarım ve dekor - kanepeler, tezgahlar, duvarlar, halılar, asma tavanlar;
• peyzaj tasarımı - çimenler ve yapay rezervuarların sınırları, dekoratif unsurların biçimleri;
• moda - bir tür giyim, ayakkabı ve aksesuar;
• mimari - pencereler, duvarlar, binaların temelleri;
• üretim - çeşitli ürünler ve parçalar.

Bu kadar geniş bir yamuk kullanımıyla, uzmanların genellikle geometrik bir figürün çevresini hesaplaması gerekir.

yamuğun çevresi

Bir şeklin çevresi, bir n-gon'un tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı olarak hesaplanan sayısal bir özelliktir. Bir yamuk bir dörtgendir ve Genel dava tüm kenarların farklı uzunlukları vardır, bu nedenle çevre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

P = a + b + c + d,

a ve c şeklin tabanları, b ve d kenarlarıdır.

Bir yamuğun çevresini hesaplarken yüksekliği bilmemize gerek olmamasına rağmen, hesap makinesinin program kodu bu değişkenin girilmesini gerektirir. Yükseklik, hesaplamaları hiçbir şekilde etkilemediğinden, çevrimiçi hesap makinemizi kullanırken sıfırdan büyük herhangi bir yükseklik değeri girebilirsiniz. Birkaç örneğe bakalım.

Gerçek hayattan örnekler

Mendil

Diyelim ki yamuk bir şalınız var ve onu püskül ile süslemek istiyorsunuz. Fazla malzeme almamak veya mağazaya iki kez gitmemek için eşarbın çevresini bilmeniz gerekecek. İkizkenar atkınız aşağıdaki parametrelere sahip olsun: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm. Bu verileri çevrimiçi forma sürüyoruz ve cevabı formda alıyoruz:

Böylece, atkının çevresi 340 cm'dir ve bu, tam olarak onu düzeltmek için saçak örgünün uzunluğudur.

eğimler

Örneğin, standart dışı için eğimler yapmaya karar verdiniz. metal-plastik pencereler hangileri yamuktur. Bu tür pencereler, binaların tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır ve birkaç kanattan oluşan bir kompozisyon oluşturmaktadır. Çoğu zaman, bu tür pencereler şu şekilde yürütülür: dikdörtgen yamuk... Böyle bir pencerenin eğimlerini yapmak için ne kadar malzeme gerektiğini öğrenelim. Standart pencere aşağıdaki parametrelere sahiptir a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Bu verileri kullanıyoruz ve sonucu formda alıyoruz.

Bu nedenle, yamuk pencerenin çevresi 390 cm'dir, bu da ne kadar satın almanız gerektiğidir. plastik paneller yamaçların oluşumu için.

Çözüm

Yamuk, en beklenmedik durumlarda parametrelerinin belirlenmesi gerekebilecek günlük yaşamda popüler bir figürdür. Birçok profesyonel için bir yamuk ile çevre hesaplaması gereklidir: mühendislerden ve mimarlardan tasarımcılara ve mekaniğe kadar. Çevrimiçi hesap makineleri kataloğumuz, herhangi bir hesap için hesaplama yapmanızı sağlar. geometrik şekiller ve tel.

Trapez alanı. Selamlar! Bu yazıda, belirtilen formüle bir göz atacağız. Neden tamamen aynı ve onu nasıl anlamalı? Anlayış varsa, onu öğrenmenize gerek yoktur. Sadece bu formülü ve acil olanı görmek istiyorsanız, hemen sayfayı aşağı kaydırabilirsiniz))

Şimdi ayrıntılı ve sırayla.

Bir yamuk bir dörtgendir, bu dörtgenin iki kenarı paraleldir, diğer ikisi değildir. Paralel olmayanlar yamuğun tabanlarıdır. Diğer ikisine taraf denir.

Kenarlar eşitse, yamuğa ikizkenar denir. Yan taraflardan biri tabanlara dik ise, böyle bir yamuk dikdörtgen olarak adlandırılır.

V klasik biçim yamuk aşağıdaki gibi tasvir edilmiştir - daha büyük taban sırasıyla altta, daha küçük olan üstte. Ancak kimse onu tasvir etmeyi yasaklamıyor ve bunun tersi de geçerli. İşte eskizler:

Bir sonraki önemli kavram.

Yamuğun orta çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Orta çizgi yamuğun tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Şimdi daha derine inelim. Neden böyle?

Tabanları olan bir yamuk düşünün a ve B ve orta çizgi ile ben, ve bazı ek yapılar gerçekleştireceğiz: tabanlarla kesişene kadar tabanlardan düz çizgiler ve orta hattın uçlarından dikey çizgiler çizin:

* Gereksiz gösterimlerden kaçınmak için köşelerin ve diğer noktaların harf gösterimleri kasıtlı olarak yapılmamıştır.

Bakın, üçgenlerin ikinci eşitliğinde 1 ve 2 üçgenleri eşittir, 3 ve 4 üçgenleri de aynıdır. Üçgenlerin eşitliği, elemanların, yani bacakların eşitliğini ifade eder (sırasıyla mavi ve kırmızı ile gösterilirler).

Şimdi dikkat! Mavi ve kırmızı segmenti alt tabandan zihinsel olarak "kesersek", orta hatta eşit bir segmentimiz (bu dikdörtgenin kenarıdır) olacaktır. Ayrıca, kesilen mavi ve kırmızı çizgiyi yamuğun üst tabanına "yapıştırırsak", o zaman yamuğun orta çizgisine eşit bir parça da (bu aynı zamanda dikdörtgenin kenarıdır) elde ederiz.

Anladım? Bazların toplamının yamuğun iki orta çizgisine eşit olacağı ortaya çıktı:

Başka bir açıklamaya bakın

Aşağıdakileri yapalım - yamuğun alt tabanından geçen düz bir çizgi ve A ve B noktalarından geçecek düz bir çizgi oluşturun:

1 ve 2 üçgenlerini alıyoruz, yanlarda ve bitişik açılarda eşitler (üçgenlerin eşitliğinin ikinci işareti). Bu, ortaya çıkan parçanın (çizimde mavi ile gösterilmiştir) yamuğun üst tabanına eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi üçgeni düşünün:

* Bu yamuğun orta çizgisi ile üçgenin orta çizgisi örtüşür.

Bir üçgenin paralel tabanının yarısına eşit olduğu bilinmektedir, yani:

Tamam, hallettim. Şimdi yamuğun alanı hakkında.

Yamuk alan formülü:

Derler ki: bir yamuğun alanı, tabanlarının ve yüksekliğinin yarısının çarpımına eşittir.

Yani, orta hat ile yüksekliğin çarpımına eşit olduğu ortaya çıktı:

Muhtemelen şimdiye kadar bunun açık olduğunu fark etmişsinizdir. Geometrik olarak, bu şu şekilde ifade edilebilir: eğer zihinsel olarak 2 ve 4 numaralı üçgenleri yamuktan kesip sırasıyla 1 ve 3 numaralı üçgenlere koyarsak.

Sonra alanda bir dikdörtgen elde ederiz. eşit alan bizim yamuk. Bu dikdörtgenin alanı orta çizginin ürününe ve yüksekliğine eşit olacaktır, yani şunu yazabiliriz:

Ama buradaki mesele elbette kayıtta değil, anlayışta.

Makale materyalini * pdf formatında indirin (görüntüleyin)

Bu kadar. Size başarılar!

Saygılarımla, İskender.

Talimatlar

Her iki yöntemi de daha anlaşılır kılmak için birkaç örnek verilebilir.

Örnek 1: Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu 10 cm, alanı 100 cm²'dir. Bu yamuğun yüksekliğini bulmak için yapmanız gerekenler:

h = 100/10 = 10 cm

Cevap: Bu yamuğun yüksekliği 10 cm'dir.

Örnek 2: Bir yamuğun alanı 100 cm², tabanların uzunlukları 8 cm ve 12 cm'dir Bu yamuğun yüksekliğini bulmak için aşağıdaki işlemi yapmanız gerekir:

h = (2 * 100) / (8 + 12) = 200/20 = 10 cm

Cevap: Bu yamuğun yüksekliği 20 cm'dir.

Not

Birkaç tür yamuk vardır:
Bir ikizkenar yamuk, kenarların eşit olduğu bir yamuktur.
Dikdörtgen bir yamuk, aşağıdakilerden birine sahip bir yamuktur. iç köşeler 90 dereceye eşittir.
Dikdörtgen bir yamukta yüksekliğin kenar uzunluğu ile çakıştığına dikkat edilmelidir. dik açı.
Yamuk çevresinde bir daire tanımlayabilir veya bu şeklin içine yazabilirsiniz. Bir daireyi ancak tabanlarının toplamı karşı tarafların toplamına eşitse çizebilirsiniz. Bir daire sadece bir ikizkenar yamuk etrafında tanımlanabilir.

faydalı tavsiye

Bir paralelkenar, bir yamuğun özel bir durumudur, çünkü bir yamuğun tanımı, bir paralelkenarın tanımıyla hiçbir şekilde çelişmez. Paralelkenar, karşılıklı kenarları birbirine paralel olan bir dörtgendir. Bir yamuk söz konusu olduğunda, tanım yalnızca birkaç tarafı ile ilgilidir. Bu nedenle, herhangi bir paralelkenar aynı zamanda bir yamuktur. Bunun tersi doğru değil.

Kaynaklar:

• yamuk formülünün alanı nasıl bulunur

İpucu 2: Alan biliniyorsa bir yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?

Bir yamuk, dört kenarından ikisinin birbirine paralel olduğu bir dörtgen anlamına gelir. Paralel kenarlar bunun temelidir, diğer ikisi bunun kenarlarıdır. trapez... Bulmak yükseklik trapez biliniyorsa Meydan, çok kolay olacak.

Talimatlar

Nasıl hesaplanacağını bulmak gerekiyor Meydan orijinal trapez... Bunun için, ilk verilere bağlı olarak birkaç formül: S = ((a + b) * h) / 2, burada a ve b bazdır trapez, ve h yüksekliğidir (Yükseklik trapez- bir tabandan dikey olarak düşürüldü trapez başka bir);
S = m * h, burada m bir çizgidir trapez(Orta çizgi bir segmenttir, tabanlar trapez ve yan taraflarının ortasını birleştirerek).

Daha açık hale getirmek için benzer görevler düşünülebilir: Örnek 1: İçinde bir yamuk verilmiştir. Meydan Ortalama çizgisi 8 cm olan 68 cm², bulmak istediğiniz yükseklik verilen trapez... Bu sorunu çözmek için daha önce türetilen formülü kullanmanız gerekir:
h = 68/8 = 8,5 cm Cevap: verilenin yüksekliği trapez 8.5 cm'dir Örnek 2: y olsun trapez Meydan 120 cm²'ye eşit, bunun tabanlarının uzunluğu trapez 8 cm ve 12 cm sırasıyla bulmak istediğiniz yükseklik Bugün nasılsın trapez... Bunu yapmak için, türetilmiş formüllerden birini uygulamanız gerekir:
h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 cm trapez 12 cm'ye eşit

İlgili videolar

Not

Herhangi bir yamuğun bir takım özellikleri vardır:

Bir yamuğun orta çizgisi, tabanlarının yarısına eşittir;

Yamuğun köşegenlerini birleştiren parça, tabanları arasındaki farkın yarısı kadardır;

Tabanların orta noktalarından düz bir çizgi çizilirse, yamuğun köşegenlerinin kesişme noktasını kesecektir;

Bu yamuğun tabanlarının toplamı yan kenarlarının toplamına eşitse, bir yamuğun içine bir daire çizilebilir.

Sorunları çözerken bu özellikleri kullanın.

İpucu 3: Tabanlar biliniyorsa yamuğun alanı nasıl bulunur

İle geometrik tanım yamuk, yalnızca bir çift kenarı paralel olan bir dörtgendir. Bu taraflar onun zemin... Arasındaki uzaklık zemin yükseklik denir trapez... Bulmak Meydan trapez kullanabilirsiniz geometrik formüller.

Talimatlar

Bazları ölçün ve trapez AVSD. Genellikle görevlerde verilirler. Bırak girsin bu örnek görevler temeli AD (a) trapez 10 cm'ye eşit olacak, taban BC (b) - 6 cm, yükseklik trapez BK (h) - 8 cm Alanı bulmak için geometrik kullanın trapez, tabanlarının uzunlukları ve yükseklikleri biliniyorsa - S = 1/2 (a + b) * h, burada: - a - AD tabanının boyutu trapez ABCD, - b - taban değeri BC, - h - yükseklik değeri BK.

Geçen yılki USE ve GIA uygulaması, geometri problemlerinin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu gösteriyor. Gerekli tüm formülleri ezberlerseniz ve problem çözme alıştırması yaparsanız, bunlarla kolayca başa çıkabilirsiniz.

Bu makalede, bir yamuğun alanını bulmak için formüllerin yanı sıra çözümlü problem örnekleri göreceksiniz. Aynılarını KİM'lerde sertifika sınavlarında veya olimpiyatlarda bulabilirsiniz. Bu nedenle, onlara dikkatli davranın.

Bir yamuk hakkında bilmeniz gerekenler?

Önce şunu hatırlayalım yamuk iki zıt kenarı olan dörtgen denir, bunlara taban da denir, paraleldir ve diğer ikisi değildir.

Yükseklik yamukta da düşürülebilir (tabana dik). Orta çizgi çizilir - bu, tabanlara paralel olan ve toplamlarının yarısına eşit olan düz bir çizgidir. Ayrıca kesişebilen, akut ve geniş köşeler oluşturan köşegenler. Veya bazı durumlarda dik açılarda. Ek olarak, yamuk ikizkenar ise, içine bir daire yazılabilir. Ve etrafındaki bir daireyi tanımlayın.

Bir yamuk için alan formülleri

Başlamak için, bir yamuğun alanını bulmak için standart formülleri düşünün. Aşağıda bir ikizkenar ve kavisli yamukların alanını hesaplamanın yollarını ele alacağız.

Öyleyse, h yüksekliğinin daha büyük tabana indirildiği, tabanları a ve b olan bir yamukunuz olduğunu hayal edin. Bu durumda şeklin alanını hesaplamak armut bombardımanı kadar kolaydır. Sadece taban uzunluklarının toplamını ikiye bölmeniz ve elde ettiğinizi yükseklikle çarpmanız gerekir: S = 1/2 (a + b) * h.

Başka bir durumu ele alalım: yamukta yüksekliğe ek olarak orta çizginin m çizildiğini varsayalım. Orta çizginin uzunluğunu bulma formülünü biliyoruz: m = 1/2 (a + b). Bu nedenle, bir yamuğun alan formülünü aşağıdaki forma haklı olarak basitleştirebiliriz: S = m * s... Başka bir deyişle, bir yamuğun alanını bulmak için orta çizgiyi yükseklikle çarpmanız gerekir.

Başka bir seçenek düşünün: yamukta, α dik açıyla kesişmeyen d 1 ve d 2 köşegenleri çizilir. Böyle bir yamuğun alanını hesaplamak için, köşegenlerin çarpımını ikiye bölmeniz ve sonucu aralarındaki açının günahıyla çarpmanız gerekir: S = 1/2d 1 d 2 * sinα.

Şimdi, tüm kenarlarının uzunlukları dışında hiçbir şey bilinmiyorsa, bir yamuğun alanını bulma formülünü düşünün: a, b, c ve d. Bu zahmetli ve karmaşık formül, ancak her ihtimale karşı bunu hatırlamanız faydalı olacaktır: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Bu arada, yukarıdaki örnekler, dikdörtgen bir yamuğun alanı için formüle ihtiyacınız olduğunda da geçerlidir. Bu, tarafı tabanlara dik açılarda bitişik olan bir yamuktur.

ikizkenar yamuk

Kenarları eşit olan yamuğa ikizkenar denir. Bir ikizkenar yamuk alanı formülü için birkaç seçeneği ele alacağız.

İlk seçenek: ikizkenar yamuk içine r yarıçaplı bir daire yazıldığında ve yan taraf ve daha büyük taban formu keskin köşe a. Bir yamuğun içine, tabanlarının uzunluklarının toplamının, kenarların uzunluklarının toplamına eşit olması koşuluyla, bir daire çizilebilir.

Bir ikizkenar yamuğun alanı şu şekilde hesaplanır: yazılı dairenin yarıçapının karesini dört ile çarpın ve hepsini sina'ya bölün: S = 4r 2 / sinα... Başka bir alan formülü, büyük taban ile kenar arasındaki açının 30 0 olduğu durum için özel bir durumdur: S = 8r 2.

İkinci seçenek: bu sefer, ek olarak, d 1 ve d 2 köşegenlerinin ve ayrıca h yüksekliğinin çizildiği bir ikizkenar yamuk alıyoruz. Yamuğun köşegenleri karşılıklı olarak dik ise, yükseklik tabanların toplamının yarısıdır: h = 1/2 (a + b). Bunu bilerek, bir yamuğun alanı için zaten bilinen formülü aşağıdaki forma dönüştürmek kolaydır: S = h 2.

Kavisli bir yamuğun alanı için formül

Eğri bir yamuğun ne olduğuna bakarak başlayalım. Bir koordinat ekseni ve x ekseni üzerindeki belirli bir segment içinde işaretini değiştirmeyen sürekli ve negatif olmayan bir f fonksiyonunun grafiğini hayal edin. Eğrisel yamuk, y = f (x) fonksiyonunun grafiğinden oluşur - üstte, x ekseni - altta (bölüm) ve yanlarda - a ve b noktaları ve grafik arasında çizilen çizgiler fonksiyonun.

Yukarıdaki yöntemleri kullanarak böyle standart olmayan bir şeklin alanını hesaplamak imkansızdır. Burada matematiksel analiz uygulamanız ve integrali kullanmanız gerekir. Yani: Newton-Leibniz formülü - S = ∫ b bir f (x) dx = F (x) │ b bir = F (b) - F (a)... Bu formülde F, seçilen segment üzerindeki fonksiyonumuzun ters türevidir. Ve eğrisel yamuğun alanı, belirli bir segmentteki ters türevin artışına karşılık gelir.

Görev örnekleri

Tüm bu formüllerin kafanızda daha iyi yerleşmesini sağlamak için, burada bir yamuğun alanını bulmak için bazı problem örnekleri verilmiştir. İlk önce sorunları kendiniz çözmeye çalışırsanız ve ancak o zaman hazır çözümle alınan cevabı kontrol ederseniz en iyisi olacaktır.

Görev numarası 1: Bir yamuk verildi. Büyük tabanı 11 cm, küçüğü 4 cm'dir. Yamukta biri 12 cm, diğeri 9 cm uzunluğunda köşegenler çizilir.

Çözüm: Bir yamuk AMRS oluşturun. MC köşegenine paralel olacak ve AC doğrusunu X noktasında kesecek şekilde P köşesi boyunca PX çizgisini çizin. Bir ARX üçgeni elde edeceksiniz.

Bu manipülasyonlar sonucunda elde edilen iki rakamı ele alacağız: ARX üçgeni ve CMRX paralelkenarı.

Paralelkenar sayesinde PX = MC = 12 cm ve CX = MR = 4cm olduğunu öğreniyoruz. ARX ​​üçgeninin AX kenarını nereden hesaplayabiliriz: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

ARX ​​üçgeninin dikdörtgen olduğunu da kanıtlayabiliriz (bunun için Pisagor teoremini uygulayın - AX 2 = AR 2 + PX 2). Ve alanını hesaplayın: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Ardından, AMP ve PCX üçgenlerinin eşit olduğunu kanıtlamanız gerekiyor. Temel, МР ve СХ taraflarının eşitliği olacaktır (yukarıda zaten kanıtlanmıştır). Ve ayrıca bu taraflarda indirdiğiniz yükseklikler - bunlar AMRS yamuğunun yüksekliğine eşittir.

Bütün bunlar, S AMPC = S APX = 54 cm2 olduğunu iddia etmenizi sağlayacaktır.

Görev numarası 2: Bir yamuk KRMS verildi. O ve E noktaları yan taraflarında bulunur, OE ve KC ise paraleldir. ORME ve OCE yamuklarının alanlarının 1: 5 oranında olduğu da bilinmektedir. PM = a ve KC = b. OE bulmak gereklidir.

Çözüm: M noktasından RC'ye paralel bir düz çizgi çizin ve OE ile kesiştiği noktayı T ile belirleyin. A - RC'ye paralel E noktasından çizilen düz bir çizginin tabanı ile kesişme noktası polis.

Bir gösterim daha sunalım - OE = x. Ayrıca TME üçgeni için h 1 yüksekliği ve AEC üçgeni için h 2 yüksekliği (bu üçgenlerin benzerliğini bağımsız olarak kanıtlayabilirsiniz).

b> a olduğunu varsayacağız. ORME ve OKSE yamuklarının alanları 1: 5 olarak ilişkilidir, bu da bize aşağıdaki denklemi kurma hakkını verir: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Dönüştürelim ve şunu elde edelim: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

TME ve AEC üçgenleri benzer olduğundan, h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) elde ederiz. Her iki kaydı birleştirin ve şunu elde edin: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b) + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Böylece OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Çözüm

Geometri en kolay bilim değildir, ancak sınav görevleriyle kesinlikle başa çıkabilirsiniz. Hazırlıkta biraz azim göstermek yeterlidir. Ve elbette, gerekli tüm formülleri hatırlayın.

Sınavlara hazırlanırken ve materyalleri gözden geçirirken kullanabilmeniz için bir yamuğun alanını hesaplamak için tüm formülleri tek bir yerde toplamaya çalıştık.

Sınıf arkadaşlarınıza ve arkadaşlarınıza bu makaleyi anlattığınızdan emin olun. sosyal ağlarda... Birleşik Devlet Sınavı ve Devlet Sınav Kurumu için daha iyi notlar olsun!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.