Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Bu, cennete yükseliş sırasında ruhların ayrım gözetmeyen kutsallığının incelenmesi için bir laboratuvardır! Halo üstte ve ok yukarıyı gösteriyor. Başka ne tuvaleti?

Dişi ... Yukarıdaki nimbus ve aşağı ok erkektir.

Bunun gibi bir tasarım sanatı parçası günde birkaç kez gözünüzün önünden geçerse,

O zaman arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:

Şahsen, kaka yapan bir insanda (bir resim) eksi dört dereceyi (birkaç resmin birleşimi: eksi işareti, dört numara, derece tanımı) görebilmek için kendim için çaba sarf ediyorum. Ve bu kızın fizik bilmeyen bir aptal olduğunu düşünmüyorum. Sadece grafik görüntülerin bir klişe algısı var. Ve matematikçiler bize sürekli olarak bunu öğretiyorlar. İşte bir örnek.

1A, "eksi dört derece" veya "bir a" değildir. Bu, "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimde "yirmi altı" sayısıdır. Bu sayı sisteminde sürekli çalışan kişiler, sayı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.

\ [(\ Büyük (\ metin (Serbest Keystone))) \]

Tanımlar

Bir yamuk, iki kenarı paralel ve diğer ikisi paralel olmayan dışbükey bir dörtgendir.

Bir yamuğun paralel kenarlarına taban, diğer iki kenarına yan taraflar denir.

Bir yamuğun yüksekliği, bir tabandaki herhangi bir noktadan başka bir tabana düşen bir dikeydir.

Teoremler: bir yamuğun özellikleri

1) Kenardaki açıların toplamı \ (180 ^ \ circ \) olur.

2) Köşegenler yamuğu, ikisi benzer ve diğer ikisi eşit olan dört üçgene böler.

Kanıt

1) Çünkü \ (AD \ paralel BC \), daha sonra \ (\ BAD açısı \) ve \ (\ ABC \ açısı) açıları bu çizgiler için tek taraflıdır ve sekant \ (AB \), bu nedenle, \ (\ KÖTÜ açı + \ ABC açısı = 180 ^ \ daire \).

2) Çünkü \ (AD\paralel BC\) ve\(BD\) bir sekanttır, daha sonra \ (\ DBC açısı = \ BDA açısı\) çapraz olarak.
Ayrıca \ (\ BOC açısı = \ AOD açısı \) dikey olarak.
Bu nedenle iki açıda \ (\ üçgen BOC \ sim \ üçgen AOD \).

bunu kanıtlayalım \ (S _ (\ üçgen AOB) = S _ (\ üçgen KOİ) \)... \ (h \) yamuğun yüksekliği olsun. Sonra \ (S _ (\ üçgen ABD) = \ frac12 \ cdot h \ cdot AD = S _ (\ üçgen ACD) \)... Sonra: \

Tanım

Yamuğun orta çizgisi, kenarların orta noktalarını birleştiren bir segmenttir.

teorem

Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.

Kanıt*

1) Paralelliği ispatlayalım.

\ (M \) noktasından \ (MN "\ paralel AD \) (\ (CD'de N" \)) düz bir çizgi çizin. Daha sonra Thales teoremi ile (örn. \ (MN "\ paralel AD \ paralel BC, AM = MB \)) \ (N "\) noktası \ (CD \) segmentinin orta noktasıdır. Bu nedenle, \ (N \) ve \ (N" \) noktaları çakışacaktır.

2) Formülü ispatlayalım.

\ (BB "\ perp AD, CC" \ perp AD \) çalıştıralım. İzin vermek \ (BB "\ cap MN = M", CC "\ cap MN = N" \).

Ardından, Thales teoremi ile \ (M "\) ve \ (N" \) sırasıyla \ (BB "\) ve \ (CC" \) segmentlerinin orta noktalarıdır. Yani, \ (MM "\) orta çizgidir \ (\ üçgen ABB" \), \ (NN "\) orta çizgidir \ (\ üçgen DCC" \). Bu yüzden: \

Çünkü \ (MN \ paralel AD \ paralel BC \) ve \ (BB ", CC" \ perp AD \), ardından \ (B "M" N "C" \) ve \ (BM "N" C \) dikdörtgenlerdir. Thales teoremi ile, \ (MN \ paralel AD \) ve \ (AM = MB \)'den \ (B "M" = M "B \) çıkar. Dolayısıyla, \ (B" M "N" C " \) ve \ (BM "N" C \) eşit dikdörtgenlerdir, bu nedenle \ (M "N" = B "C" = BC \).

Böylece:

\ \ [= \ dfrac12 \ sol (AB "+ B" C "+ BC + C" D \ sağ) = \ dfrac12 \ sol (AD + BC \ sağ) \]

Teorem: keyfi bir yamuğun özelliği

Tabanların orta noktaları, yamuğun köşegenlerinin kesişme noktası ve yan tarafların uzantılarının kesişme noktası bir düz çizgi üzerinde uzanır.

Kanıt*
“Üçgenlerin benzerliği” konusunu inceledikten sonra ispatı okumanız tavsiye edilir.

1) \ (P \), \ (N \) ve \ (M \) noktalarının tek bir doğru üzerinde olduğunu ispatlayalım.

\ (PN \) çizgisini çizin (\ (P \) yan tarafların uzantılarının kesişme noktasıdır, \ (N \) \ (BC \)'nin orta noktasıdır). \ (AD \) tarafını \ (M \) noktasında kesmesine izin verin. \ (M \)'nin \ (AD \)'nin orta noktası olduğunu kanıtlayalım.

\ (\ üçgen BPN \) ve \ (\ üçgen APM \) düşünün. İki açıdan benzerler (\ (\ APM açısı \) - ortak, \ (\ PAM açısı = \ açısı PBN \) \ (AD \ paralel BC \) ve \ (AB \) sekantına karşılık gelir). Anlamına geliyor: \ [\ dfrac (BN) (AM) = \ dfrac (PN) (PM) \]

\ (\ üçgen CPN \) ve \ (\ üçgen DPM \) düşünün. İki açıdan benzerler (\ (\ açı DPM \) - ortak, \ (\ açı PDM = \ açı PCN \) \ (AD \ paralel BC \) ve \ (CD \) sekantına karşılık geldiği gibi). Anlamına geliyor: \ [\ dfrac (CN) (DM) = \ dfrac (PN) (PM) \]

Buradan \ (\ dfrac (BN) (AM) = \ dfrac (CN) (DM) \)... Ama \ (BN = NC \), bu nedenle \ (AM = DM \).

2) \ (N, O, M \) noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayalım.

\ (N \) \ (BC \) nin orta noktası olsun, \ (O \) köşegenlerin kesişme noktası olsun. Düz bir çizgi \ (NO \) çizin, \ (AD \) tarafını \ (M \) noktasında keser. \ (M \)'nin \ (AD \)'nin orta noktası olduğunu kanıtlayalım.

\ (\ üçgen BNO \ sim \ üçgen DMO \) iki açıda (\ (\ açı OBN = \ açı ODM \) ile çapraz olarak \ (BC \ paralel AD \) ve \ (BD \) sekant; \ (\ açı BON = \ açı DOM \) dikey olarak). Anlamına geliyor: \ [\ dfrac (BN) (MD) = \ dfrac (AÇIK) (OM) \]

aynı şekilde \ (\ üçgen CON \ sim \ üçgen AOM \)... Anlamına geliyor: \ [\ dfrac (CN) (MA) = \ dfrac (AÇIK) (OM) \]

Buradan \ (\ dfrac (BN) (MD) = \ dfrac (CN) (MA) \)... Ama \ (BN = CN \), bu nedenle \ (AM = MD \).

\ [(\ Büyük (\ metin (ikizkenar yamuk))) \]

Tanımlar

Köşelerinden biri düz ise yamuk dikdörtgen olarak adlandırılır.

Kenarları eşitse ikizkenar yamuğa ikizkenar denir.

Teoremler: bir ikizkenar yamuğun özellikleri

1) İkizkenar yamukta taban açıları eşittir.

2) İkizkenar yamuğun köşegenleri eşittir.

3) Köşegenlerin ve tabanın oluşturduğu iki üçgen ikizkenardır.

Kanıt

1) Bir ikizkenar yamuk \ (ABCD \) düşünün.

\ (B \) ve \ (C \) köşelerinden \ (BM \) ve \ (CN \) diklerini sırasıyla \ (AD \) tarafına bırakıyoruz. \ (BM \ perp AD \) ve \ (CN \ perp AD \) olduğundan, sonra \ (BM \ paralel CN ​​\); \ (AD \ paralel BC \), sonra \ (MBCN \) bir paralelkenardır, bu nedenle \ (BM = CN \).

Dik açılı üçgenleri \ (ABM \) ve \ (CDN \) düşünün. Hipotenüsleri eşit olduğundan ve bacak \ (BM \) bacağa \ (CN \) eşit olduğundan, bu üçgenler eşittir, bu nedenle \ (\ DAB açısı = \ açısı CDA \).

2)

Çünkü \ (AB = CD, \ açı A = \ açı D, AD \)- genel, daha sonra ilk olarak. Bu nedenle, \ (AC = BD \).

3) Çünkü \ (\ üçgen ABD = \ üçgen ACD \) sonra \ (\ BDA açısı = \ CAD açısı \). Bu nedenle, \ (\ AOD üçgeni \) üçgeni ikizkenardır. Benzer şekilde, \ (\ üçgen BOC \)'nin ikizkenar olduğu kanıtlanmıştır.

Teoremler: bir ikizkenar yamuk belirtileri

1) Yamuğun tabanındaki açılar eşit ise ikizkenardır.

2) Yamuğun köşegenleri eşit ise ikizkenardır.

Kanıt

\ (\ açı A = \ açı D \) olacak şekilde bir yamuk \ (ABCD \) düşünün.

Yamuğu resimdeki gibi \ (AED\) üçgenine tamamlayalım. \ (\ açı 1 = \ açı 2 \) olduğundan, \ (AED \) üçgeni ikizkenardır ve \ (AE = ED \). \ (1 \) ve \ (3 \) açıları, \ (AD \) ve \ (BC \) paralel doğruları ve sekant \ (AB \) için karşılık gelen şekilde eşittir. Benzer şekilde, \ (2 \) ve \ (4 \) açıları eşittir, ancak \ (\ açı 1 = \ açı 2 \), o zaman \ (\ açı 3 = \ açı 1 = \ açı 2 = \ açı 4 \), bu nedenle, \ (BEC \) üçgeni aynı zamanda ikizkenar ve \ (BE = EC \) üçgenidir.

Sonuçta \ (AB = AE - BE = DE - CE = CD \), yani, \ (AB = CD \), gerektiği gibi.

2) \ (AC = BD \) olsun. Çünkü \ (\ üçgen AOD \ sim \ üçgen BOC \), sonra benzerlik katsayılarını \ (k \) olarak gösteririz. Sonra \ (BO = x \), o zaman \ (OD = kx \) ise. Aynı şekilde \ (CO = y \ Rightarrow AO = ky \).

Çünkü \ (AC = BD \), ardından \ (x + kx = y + ky \ Sağ ok x = y \). Yani \ (\ üçgen AOD \) ikizkenardır ve \ (\ OAD açısı = \ ODA açısı \).

Böylece, ilk işarete göre \ (\ üçgen ABD = \ üçgen ACD \) (\ (AC = BD, \ OAD açısı = \ ODA açısı, AD \)- Genel). Yani, \ (AB = CD \), vb.

Bu yazımızda yamuğun özelliklerini olabildiğince eksiksiz yansıtmaya çalışacağız. Özellikle, hakkında konuşacağımız ortak özellikler ve bir yamuğun özellikleri, ayrıca yazılı bir yamuğun özellikleri ve bir yamuğun içinde yazılı bir daire hakkında. İkizkenarların özelliklerine değineceğiz ve dikdörtgen yamuk.

Ele alınan özellikleri kullanarak bir problem çözme örneği, kafanızdaki yerleri sıralamanıza ve malzemeyi daha iyi hatırlamanıza yardımcı olacaktır.

Yamuk ve hepsi-hepsi

Başlamak için, bir yamuğun ne olduğunu ve onunla başka hangi kavramların ilişkili olduğunu kısaca hatırlayalım.

Yani, bir yamuk, iki tarafı birbirine paralel olan dörtgen bir şekildir (bunlar tabanlardır). Ve ikisi paralel değil - bunlar kenarlar.

Yamukta yükseklik düşürülebilir - tabanlara dik. Orta çizgi ve köşegenler çizilir. Ayrıca yamuğun herhangi bir köşesinden bir açıortay çizmek mümkündür.

Hakkında çeşitli özellikler tüm bu unsurlar ve bunların kombinasyonları ile ilişkili olarak şimdi konuşacağız.

Trapez köşegenlerin özellikleri

Daha açık hale getirmek için, okurken bir kağıda bir AKME yamuk çizin ve içine köşegenler çizin.

1. Köşegenlerin her birinin orta noktalarını bulup (bu noktaları X ve T olarak belirleyelim) birleştirirseniz bir doğru parçası elde etmiş olursunuz. Yamuk köşegenlerinin özelliklerinden biri, XT segmentinin orta hatta uzanmasıdır. Ve uzunluğu, taban farkı ikiye bölünerek elde edilebilir: XT = (a - b) / 2.
2. Önümüzde AKME'nin aynı yamuk. Köşegenler O noktasında kesişir. Yamuğun tabanlarıyla birlikte doğru parçalarının oluşturduğu AOE ve MOC üçgenlerini ele alalım. Bu üçgenler benzerdir. Üçgenlerin benzerlik katsayısı k, yamuğun tabanlarının oranı ile ifade edilir: k = AE / KM.
   AOE ve MOC üçgenlerinin alanlarının oranı, k 2 katsayısı ile tanımlanır.
3. Hepsi aynı yamuk, aynı köşegenler O noktasında kesişiyor. Ancak bu sefer köşegenlerin bölümlerinin yamuğun yan kenarlarıyla birlikte oluşturduğu üçgenleri ele alacağız. AKO ve EMO üçgenlerinin alanları eşittir - alanları aynıdır.
4. Diğer bir yamuk özelliği, köşegen çizmeyi içerir. Dolayısıyla, AK ve ME'nin yan taraflarına daha küçük taban yönünde devam edersek, er ya da geç bir noktada kesişeceklerdir. Ayrıca, yamuğun tabanlarının orta noktalarından düz bir çizgi çizin. Bazları X ve T noktalarında keser.
   Şimdi XT çizgisini uzatırsak, o zaman yamuk O'nun köşegenlerinin kesişme noktasını, yan kenarların uzantılarının ve X ve T tabanlarının orta noktalarının kesiştiği noktayı birbirine bağlayacaktır.
5. Köşegenlerin kesişme noktasından, yamuğun tabanlarını birleştiren bir segment çizin (T, CM'nin daha küçük tabanında, X - daha büyük AE'de). Köşegenlerin kesişme noktası bu parçayı aşağıdaki oranda böler: TO / OX = KM / AE.
6. Ve şimdi, köşegenlerin kesişme noktasından, yamuğun (a ve b) tabanlarına paralel bir segment çizin. Kavşak onu iki eşit parçaya böler. Formülü kullanarak bir segmentin uzunluğunu bulabilirsiniz. 2ab / (a ​​+ b).

Yamuk merkez çizgisi özellikleri

Orta çizgiyi yamukta tabanlarına paralel olarak çizin.

1. Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, taban uzunlukları toplanarak ve ikiye bölünerek hesaplanabilir: m = (a + b) / 2.
2. Yamuğun her iki tabanından herhangi bir parça (örneğin yükseklik) çizerseniz, orta çizgi onu iki eşit parçaya böler.

Bir yamuğun açıortay özelliği

Yamuğun herhangi bir köşesini seçin ve bisektörü çizin. Örneğin, AKME yamuğumuzun KAE açısını alın. İnşaatı kendiniz tamamladıktan sonra, açıortayın tabandan (veya şeklin kendisinin dışındaki düz bir çizgide devam etmesinden) kenarla aynı uzunlukta bir segmenti kestiğinden kolayca emin olabilirsiniz.

yamuk açı özellikleri

1. Yan tarafa bitişik iki köşe çiftinden hangisini seçerseniz seçin, bir çiftteki açıların toplamı her zaman 180 0'dır: α + β = 180 0 ve γ + δ = 180 0.
2. Bir TX segmenti ile yamuk tabanların orta noktalarını bağlayın. Şimdi yamuğun tabanındaki köşelere bakalım. Bunlardan herhangi birinde açıların toplamı 90 0 ise, TX segmentinin uzunluğu, tabanların uzunluklarının farkının ikiye bölünmesiyle kolayca hesaplanabilir: TX = (AE - KM) / 2.
3. Yamuğun köşesinin kenarlarından paralel düz çizgiler çizilirse, köşenin kenarlarını orantılı parçalara bölerler.

İkizkenar (ikizkenar) yamuk özellikleri

1. Bir ikizkenar yamukta, açılar herhangi bir tabanda eşittir.
2. Şimdi neyle ilgili olduğunu hayal etmeyi kolaylaştırmak için yamuğu tekrar çizin. AE'nin tabanına yakından bakın - M'nin zıt tabanının tepesi, AE'yi içeren çizgi üzerindeki bir noktaya yansıtılır. A tepe noktasından M tepe noktasının izdüşüm noktasına olan mesafe ve ikizkenar yamukların orta çizgisi eşittir.
3. İkizkenar yamuk köşegenlerinin özelliği hakkında birkaç kelime - uzunlukları eşittir. Ayrıca bu köşegenlerin yamuğun tabanına olan eğim açıları da aynıdır.
4. Sadece bir ikizkenar yamuk hakkında bir daire tanımlanabilir, çünkü bir dörtgenin karşı açılarının toplamı 180 0 bunun için bir önkoşuldur.
5. Bir ikizkenar yamuğun özelliği önceki paragraftan gelir - yamuğun yakınında bir daire tanımlanabiliyorsa, bu ikizkenardır.
6. Bir ikizkenar yamuk özelliklerinden, yamuğun yüksekliğinin özelliğini takip eder: köşegenleri dik açılarda kesişiyorsa, yüksekliğin uzunluğu tabanların toplamının yarısına eşittir: h = (a + b) / 2.
7. Yamuk tabanların orta noktalarından tekrar bir TX parçası çizin - bir ikizkenar yamukta, tabanlara diktir. Ve aynı zamanda TX, bir ikizkenar yamuğun simetri eksenidir.
8. Bu sefer, daha büyük tabana indirin (bunu a ile belirtin) yamuğun karşı tepesinden yüksekliği. İki bölüm olacak. Birinin uzunluğu, tabanların uzunlukları katlanır ve yarıya indirilirse bulunabilir: (a + b) / 2... İkincisi, küçük olanı büyük tabandan çıkardığımızda ve ortaya çıkan farkı ikiye böldüğümüzde elde edilir: (a - b) / 2.

Bir daire içinde yazılı bir yamuğun özellikleri

Bir daire içine alınmış bir yamuk hakkında zaten konuştuğumuz için, bu konuyu daha ayrıntılı olarak ele alalım. Özellikle, dairenin merkezinin yamuğa göre olduğu yerde. Burada da, elinize bir kalem alıp aşağıda tartışılacakları çizmek için çok tembel olmamanız önerilir. Böylece daha hızlı anlayacak ve daha iyi hatırlayacaksınız.

1. Dairenin merkezinin konumu, yamuğun çaprazının yan tarafına eğim açısı ile belirlenir. Örneğin, bir köşegen, bir yamuğun tepesinden yana doğru dik açılarda uzanabilir. Bu durumda, daha büyük taban, çevrelenmiş dairenin merkezini tam olarak ortada keser (R = ½AE).
2. Köşegen ve kenar da altında buluşabilir dar açı- o zaman dairenin merkezi yamuğun içindedir.
3. Yamuk köşegeni ile yan taraf arasında geniş bir açı varsa, çevrelenmiş dairenin merkezi yamuğun dışında, geniş tabanının ötesinde olabilir.
4. AKME yamuğunun köşegeni ve büyük tabanının (yazılı açı) oluşturduğu açı, ona karşılık gelen merkez açının yarısıdır: MAE = ½MOE.
5. Kısaca çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulmanın iki yolu. Birinci yöntem: çiziminize dikkatlice bakın - ne görüyorsunuz? Köşegenin yamuğu iki üçgene böldüğünü kolayca fark edeceksiniz. Yarıçap, bir üçgenin kenarının, karşı açının sinüsüne oranı olarak iki ile bulunabilir. Örneğin, R = AE / 2 * sinAME... Benzer şekilde, formül her iki üçgenin her iki tarafı için de yazılabilir.
6. İkinci yöntem: köşegen, yan ve yamuğun tabanı tarafından oluşturulan üçgenin alanı boyunca çevrelenmiş dairenin yarıçapını buluruz: R = AM * BEN * AE / 4 * AYNI.

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir yamuğun özellikleri

Bir koşul karşılanırsa, bir yamuğun içine bir daire çizmek mümkündür. Aşağıda bununla ilgili daha fazla bilgi var. Ve birlikte, bu şekil kombinasyonu bir dizi ilginç özelliğe sahiptir.

1. Yamuğun içine bir daire çizilmişse, orta hattının uzunluğu, kenarların uzunlukları toplanarak ve elde edilen toplamı ikiye bölerek kolayca bulunabilir: m = (c + d) / 2.
2. Bir daire etrafında çevrelenmiş AKME yamukta, taban uzunluklarının toplamı, yan kenarların uzunluklarının toplamına eşittir: AK + BEN = KM + AE.
3. Bir yamuğun tabanlarının bu özelliğinden, karşıt ifade şu şekildedir: tabanların toplamı yan kenarların toplamına eşit olan bu yamuğun içine bir daire yazılabilir.
4. Yarıçapı r olan bir yamukta yazılı bir dairenin teğet noktası, yan tarafı iki parçaya böler, onlara a ve b diyelim. Bir dairenin yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: r = √ab.
5. Ve bir mülk daha. Kafanız karışmaması için bu örneği kendiniz çizin. Bir daire etrafında çevrelenmiş eski güzel bir AKME yamukumuz var. İçinde köşegenler çizilir, O noktasında kesişir. Köşegenler ve kenarlar tarafından oluşturulan AOK ve EOM üçgenleri dikdörtgendir.
   Hipotenüslere (yani yamuğun yan kenarlarına) bırakılan bu üçgenlerin yükseklikleri, yazılı dairenin yarıçaplarıyla çakışmaktadır. Ve yamuğun yüksekliği, yazılı dairenin çapına denk gelir.

Dikdörtgen yamuk özellikleri

Köşelerinden biri sağda olan dikdörtgen bir yamuk denir. Ve özellikleri bu durumdan kaynaklanmaktadır.

1. Dikdörtgen bir yamukta, yan kenarlardan biri tabanlara diktir.
2. Bitişik yamuğun yüksekliği ve kenarı dik açı, eşittir. Bu, dikdörtgen bir yamuğun alanını hesaplamanıza izin verir (genel formül S = (a + b) * s / 2) sadece yükseklikten değil, aynı zamanda dik açıya bitişik yan taraftan da.
3. Dikdörtgen bir yamuk için, yukarıda açıklanan yamuk köşegenlerinin genel özellikleri önemlidir.

Yamuğun bazı özelliklerinin kanıtları

Bir ikizkenar yamuğun tabanındaki açıların eşitliği:

• Muhtemelen burada yine AKME yamuğuna ihtiyacımız olduğunu tahmin etmişsinizdir - bir ikizkenar yamuk çizin. AK'nin yan tarafına paralel, M'nin tepesinden düz bir MT çizgisi çizin (MT || AK).

Ortaya çıkan AKMT dörtgeni bir paralelkenardır (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT olduğundan, ∆ MTE ikizkenardır ve MET = MTE.

AK || MT, dolayısıyla MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Şimdi, bir ikizkenar yamuk (köşegenlerin eşitliği) özelliğine dayanarak, bunu kanıtlıyoruz. yamuk AKME ikizkenardır:

• Başlangıç ​​olarak, düz bir çizgi çizelim MX - MX || KE. Bir paralelkenar KMXE alıyoruz (taban - MX || KE ve KM || EX).

AM = KE = MX ve MAX = MEA olduğundan, ∆AMX ikizkenardır.

MX || KE, KEA = MXE, dolayısıyla MAE = MXE.

AM = KE ve AE iki üçgenin ortak kenarı olduğu için AKE ve EMA üçgenlerinin birbirine eşit olduğu ortaya çıktı. Ayrıca MAE = MXE. AK = ME olduğu sonucuna varabiliriz ve bundan, yamuk AKME'nin ikizkenar olduğu sonucu çıkar.

Tekrarlanacak bir görev

AKME yamuğunun tabanları 9 cm ve 21 cm, uzay aracının 8 cm'ye eşit yan tarafı, daha küçük bir tabanla 150 0'lık bir açı oluşturuyor. Yamuğun alanını bulmak gerekir.

Çözüm: K'nin tepesinden yüksekliği yamuğun daha büyük tabanına indiriyoruz. Ve yamuğun köşelerine bakmaya başlayalım.

AEM ve KAN açıları tek taraflıdır. Bu, toplamda 180 0 verdikleri anlamına gelir. Bu nedenle, KAN = 30 0 (yamuk açılarının özelliklerine göre).

Şimdi dikdörtgen bir ∆ANK düşünün (bu noktanın ek kanıt olmadan okuyucular için açık olduğunu düşünüyorum). Ondan yamuk KN'nin yüksekliğini buluyoruz - üçgende 30 0 açısının karşısında duran bacak. Dolayısıyla KN = ½AB = 4 cm.

Yamuğun alanı şu formülle bulunur: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm2.

son söz

Bu makaleyi dikkatli ve düşünceli bir şekilde incelediyseniz, yukarıdaki tüm özellikler için elinizde bir kalemle yamuk çizip pratikte sökmek için çok tembel olmasaydınız, malzeme sizin tarafınızdan iyi anlaşılmış olmalıdır.

Tabii ki, burada çok çeşitli ve hatta bazen kafa karıştırıcı birçok bilgi var: Tanımlanan yamuğun özelliklerini yazılı olanın özellikleriyle karıştırmak o kadar zor değil. Ama farkın çok büyük olduğunu kendi gözlerinizle gördünüz.

Artık her şeyin ayrıntılı bir taslağına sahipsiniz Genel Özellikler yamuk. İkizkenar ve dikdörtgen yamukların spesifik özellikleri ve özellikleri. Testlere ve sınavlara hazırlanmak için bunları kullanmak çok uygundur. Kendiniz deneyin ve bağlantıyı arkadaşlarınızla paylaşın!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Sitede bir istek bıraktığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve hizmetlerimizle ilgili size önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer promosyon etkinliğine katılırsanız, bu programları yönetmek için verdiğiniz bilgileri kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara ifşa edilmesi

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya uygun olarak, mahkeme emri, duruşma ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet kurumlarından gelen kamuya açık talepler veya talepler temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer sosyal açıdan önemli nedenlerle gerekli veya uygun olduğunu belirlersek sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri uygun üçüncü tarafa - yasal halef - aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik kurallarını getiriyoruz ve gizlilik önlemlerinin uygulanmasını titizlikle izliyoruz.

Bu yazımızda yamuğun özelliklerini olabildiğince eksiksiz yansıtmaya çalışacağız. Özellikle, bir yamuğun genel işaretleri ve özellikleri, ayrıca yazılı bir yamuğun özellikleri ve bir yamuğun içine yazılan bir daire hakkında konuşacağız. Ayrıca ikizkenar ve dikdörtgen yamuğun özelliklerine de değineceğiz.

Ele alınan özellikleri kullanarak bir problem çözme örneği, kafanızdaki yerleri sıralamanıza ve malzemeyi daha iyi hatırlamanıza yardımcı olacaktır.

Yamuk ve hepsi-hepsi

Başlamak için, bir yamuğun ne olduğunu ve onunla başka hangi kavramların ilişkili olduğunu kısaca hatırlayalım.

Yani, bir yamuk, iki tarafı birbirine paralel olan dörtgen bir şekildir (bunlar tabanlardır). Ve ikisi paralel değil - bunlar kenarlar.

Yamukta yükseklik düşürülebilir - tabanlara dik. Orta çizgi ve köşegenler çizilir. Ayrıca yamuğun herhangi bir köşesinden bir açıortay çizmek mümkündür.

Şimdi tüm bu elementler ve bunların kombinasyonları ile ilişkili çeşitli özellikler hakkında konuşacağız.

Trapez köşegenlerin özellikleri

Daha açık hale getirmek için, okurken bir kağıda bir AKME yamuk çizin ve içine köşegenler çizin.

1. Köşegenlerin her birinin orta noktalarını bulup (bu noktaları X ve T olarak belirleyelim) birleştirirseniz bir doğru parçası elde etmiş olursunuz. Yamuk köşegenlerinin özelliklerinden biri, XT segmentinin orta hatta uzanmasıdır. Ve uzunluğu, taban farkı ikiye bölünerek elde edilebilir: XT = (a - b) / 2.
2. Önümüzde AKME'nin aynı yamuk. Köşegenler O noktasında kesişir. Yamuğun tabanlarıyla birlikte doğru parçalarının oluşturduğu AOE ve MOC üçgenlerini ele alalım. Bu üçgenler benzerdir. Üçgenlerin benzerlik katsayısı k, yamuğun tabanlarının oranı ile ifade edilir: k = AE / KM.
   AOE ve MOC üçgenlerinin alanlarının oranı, k 2 katsayısı ile tanımlanır.
3. Hepsi aynı yamuk, aynı köşegenler O noktasında kesişiyor. Ancak bu sefer köşegenlerin bölümlerinin yamuğun yan kenarlarıyla birlikte oluşturduğu üçgenleri ele alacağız. AKO ve EMO üçgenlerinin alanları eşittir - alanları aynıdır.
4. Diğer bir yamuk özelliği, köşegen çizmeyi içerir. Dolayısıyla, AK ve ME'nin yan taraflarına daha küçük taban yönünde devam edersek, er ya da geç bir noktada kesişeceklerdir. Ayrıca, yamuğun tabanlarının orta noktalarından düz bir çizgi çizin. Bazları X ve T noktalarında keser.
   Şimdi XT çizgisini uzatırsak, o zaman yamuk O'nun köşegenlerinin kesişme noktasını, yan kenarların uzantılarının ve X ve T tabanlarının orta noktalarının kesiştiği noktayı birbirine bağlayacaktır.
5. Köşegenlerin kesişme noktasından, yamuğun tabanlarını birleştiren bir segment çizin (T, CM'nin daha küçük tabanında, X - daha büyük AE'de). Köşegenlerin kesişme noktası bu parçayı aşağıdaki oranda böler: TO / OX = KM / AE.
6. Ve şimdi, köşegenlerin kesişme noktasından, yamuğun (a ve b) tabanlarına paralel bir segment çizin. Kavşak onu iki eşit parçaya böler. Formülü kullanarak bir segmentin uzunluğunu bulabilirsiniz. 2ab / (a ​​+ b).

Yamuk merkez çizgisi özellikleri

Orta çizgiyi yamukta tabanlarına paralel olarak çizin.

1. Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, taban uzunlukları toplanarak ve ikiye bölünerek hesaplanabilir: m = (a + b) / 2.
2. Yamuğun her iki tabanından herhangi bir parça (örneğin yükseklik) çizerseniz, orta çizgi onu iki eşit parçaya böler.

Bir yamuğun açıortay özelliği

Yamuğun herhangi bir köşesini seçin ve bisektörü çizin. Örneğin, AKME yamuğumuzun KAE açısını alın. İnşaatı kendiniz tamamladıktan sonra, açıortayın tabandan (veya şeklin kendisinin dışındaki düz bir çizgide devam etmesinden) kenarla aynı uzunlukta bir segmenti kestiğinden kolayca emin olabilirsiniz.

yamuk açı özellikleri

1. Yan tarafa bitişik iki köşe çiftinden hangisini seçerseniz seçin, bir çiftteki açıların toplamı her zaman 180 0'dır: α + β = 180 0 ve γ + δ = 180 0.
2. Bir TX segmenti ile yamuk tabanların orta noktalarını bağlayın. Şimdi yamuğun tabanındaki köşelere bakalım. Bunlardan herhangi birinde açıların toplamı 90 0 ise, TX segmentinin uzunluğu, tabanların uzunluklarının farkının ikiye bölünmesiyle kolayca hesaplanabilir: TX = (AE - KM) / 2.
3. Yamuğun köşesinin kenarlarından paralel düz çizgiler çizilirse, köşenin kenarlarını orantılı parçalara bölerler.

İkizkenar (ikizkenar) yamuk özellikleri

1. Bir ikizkenar yamukta, açılar herhangi bir tabanda eşittir.
2. Şimdi neyle ilgili olduğunu hayal etmeyi kolaylaştırmak için yamuğu tekrar çizin. AE'nin tabanına yakından bakın - M'nin zıt tabanının tepesi, AE'yi içeren çizgi üzerindeki bir noktaya yansıtılır. A tepe noktasından M tepe noktasının izdüşüm noktasına olan mesafe ve ikizkenar yamukların orta çizgisi eşittir.
3. İkizkenar yamuk köşegenlerinin özelliği hakkında birkaç kelime - uzunlukları eşittir. Ayrıca bu köşegenlerin yamuğun tabanına olan eğim açıları da aynıdır.
4. Sadece bir ikizkenar yamuk hakkında bir daire tanımlanabilir, çünkü bir dörtgenin karşı açılarının toplamı 180 0 bunun için bir önkoşuldur.
5. Bir ikizkenar yamuğun özelliği önceki paragraftan gelir - yamuğun yakınında bir daire tanımlanabiliyorsa, bu ikizkenardır.
6. Bir ikizkenar yamuk özelliklerinden, yamuğun yüksekliğinin özelliğini takip eder: köşegenleri dik açılarda kesişiyorsa, yüksekliğin uzunluğu tabanların toplamının yarısına eşittir: h = (a + b) / 2.
7. Yamuk tabanların orta noktalarından tekrar bir TX parçası çizin - bir ikizkenar yamukta, tabanlara diktir. Ve aynı zamanda TX, bir ikizkenar yamuğun simetri eksenidir.
8. Bu sefer, daha büyük tabana indirin (bunu a ile belirtin) yamuğun karşı tepesinden yüksekliği. İki bölüm olacak. Birinin uzunluğu, tabanların uzunlukları katlanır ve yarıya indirilirse bulunabilir: (a + b) / 2... İkincisi, küçük olanı büyük tabandan çıkardığımızda ve ortaya çıkan farkı ikiye böldüğümüzde elde edilir: (a - b) / 2.

Bir daire içinde yazılı bir yamuğun özellikleri

Bir daire içine alınmış bir yamuk hakkında zaten konuştuğumuz için, bu konuyu daha ayrıntılı olarak ele alalım. Özellikle, dairenin merkezinin yamuğa göre olduğu yerde. Burada da, elinize bir kalem alıp aşağıda tartışılacakları çizmek için çok tembel olmamanız önerilir. Böylece daha hızlı anlayacak ve daha iyi hatırlayacaksınız.

1. Dairenin merkezinin konumu, yamuğun çaprazının yan tarafına eğim açısı ile belirlenir. Örneğin, bir köşegen, bir yamuğun tepesinden yana doğru dik açılarda uzanabilir. Bu durumda, daha büyük taban, çevrelenmiş dairenin merkezini tam olarak ortada keser (R = ½AE).
2. Köşegen ve kenar da dar bir açıyla buluşabilir - o zaman dairenin merkezi yamuğun içindedir.
3. Yamuk köşegeni ile yan taraf arasında geniş bir açı varsa, çevrelenmiş dairenin merkezi yamuğun dışında, geniş tabanının ötesinde olabilir.
4. AKME yamuğunun köşegeni ve büyük tabanının (yazılı açı) oluşturduğu açı, ona karşılık gelen merkez açının yarısıdır: MAE = ½MOE.
5. Kısaca çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulmanın iki yolu. Birinci yöntem: çiziminize dikkatlice bakın - ne görüyorsunuz? Köşegenin yamuğu iki üçgene böldüğünü kolayca fark edeceksiniz. Yarıçap, bir üçgenin kenarının, karşı açının sinüsüne oranı olarak iki ile bulunabilir. Örneğin, R = AE / 2 * sinAME... Benzer şekilde, formül her iki üçgenin her iki tarafı için de yazılabilir.
6. İkinci yöntem: köşegen, yan ve yamuğun tabanı tarafından oluşturulan üçgenin alanı boyunca çevrelenmiş dairenin yarıçapını buluruz: R = AM * BEN * AE / 4 * AYNI.

Bir daire etrafında çevrelenmiş bir yamuğun özellikleri

Bir koşul karşılanırsa, bir yamuğun içine bir daire çizmek mümkündür. Aşağıda bununla ilgili daha fazla bilgi var. Ve birlikte, bu şekil kombinasyonu bir dizi ilginç özelliğe sahiptir.

1. Yamuğun içine bir daire çizilmişse, orta hattının uzunluğu, kenarların uzunlukları toplanarak ve elde edilen toplamı ikiye bölerek kolayca bulunabilir: m = (c + d) / 2.
2. Bir daire etrafında çevrelenmiş AKME yamukta, taban uzunluklarının toplamı, yan kenarların uzunluklarının toplamına eşittir: AK + BEN = KM + AE.
3. Bir yamuğun tabanlarının bu özelliğinden, karşıt ifade şu şekildedir: tabanların toplamı yan kenarların toplamına eşit olan bu yamuğun içine bir daire yazılabilir.
4. Yarıçapı r olan bir yamukta yazılı bir dairenin teğet noktası, yan tarafı iki parçaya böler, onlara a ve b diyelim. Bir dairenin yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: r = √ab.
5. Ve bir mülk daha. Kafanız karışmaması için bu örneği kendiniz çizin. Bir daire etrafında çevrelenmiş eski güzel bir AKME yamukumuz var. İçinde köşegenler çizilir, O noktasında kesişir. Köşegenler ve kenarlar tarafından oluşturulan AOK ve EOM üçgenleri dikdörtgendir.
   Hipotenüslere (yani yamuğun yan kenarlarına) bırakılan bu üçgenlerin yükseklikleri, yazılı dairenin yarıçaplarıyla çakışmaktadır. Ve yamuğun yüksekliği, yazılı dairenin çapına denk gelir.

Dikdörtgen yamuk özellikleri

Köşelerinden biri sağda olan dikdörtgen bir yamuk denir. Ve özellikleri bu durumdan kaynaklanmaktadır.

1. Dikdörtgen bir yamukta, yan kenarlardan biri tabanlara diktir.
2. Dik açıya bitişik olan yamuğun yüksekliği ve yan tarafı eşittir. Bu, dikdörtgen bir yamuğun alanını hesaplamanıza izin verir (genel formül S = (a + b) * s / 2) sadece yükseklikten değil, aynı zamanda dik açıya bitişik yan taraftan da.
3. Dikdörtgen bir yamuk için, yukarıda açıklanan yamuk köşegenlerinin genel özellikleri önemlidir.

Yamuğun bazı özelliklerinin kanıtları

Bir ikizkenar yamuğun tabanındaki açıların eşitliği:

• Muhtemelen burada yine AKME yamuğuna ihtiyacımız olduğunu tahmin etmişsinizdir - bir ikizkenar yamuk çizin. AK'nin yan tarafına paralel, M'nin tepesinden düz bir MT çizgisi çizin (MT || AK).

Ortaya çıkan AKMT dörtgeni bir paralelkenardır (AK || MT, KM || AT). ME = KA = MT olduğundan, ∆ MTE ikizkenardır ve MET = MTE.

AK || MT, dolayısıyla MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Şimdi, bir ikizkenar yamuk (köşegenlerin eşitliği) özelliğine dayanarak, bunu kanıtlıyoruz. yamuk AKME ikizkenardır:

• Başlangıç ​​olarak, düz bir çizgi çizelim MX - MX || KE. Bir paralelkenar KMXE alıyoruz (taban - MX || KE ve KM || EX).

AM = KE = MX ve MAX = MEA olduğundan, ∆AMX ikizkenardır.

MX || KE, KEA = MXE, dolayısıyla MAE = MXE.

AM = KE ve AE iki üçgenin ortak kenarı olduğu için AKE ve EMA üçgenlerinin birbirine eşit olduğu ortaya çıktı. Ayrıca MAE = MXE. AK = ME olduğu sonucuna varabiliriz ve bundan, yamuk AKME'nin ikizkenar olduğu sonucu çıkar.

Tekrarlanacak bir görev

AKME yamuğunun tabanları 9 cm ve 21 cm, uzay aracının 8 cm'ye eşit yan tarafı, daha küçük bir tabanla 150 0'lık bir açı oluşturuyor. Yamuğun alanını bulmak gerekir.

Çözüm: K'nin tepesinden yüksekliği yamuğun daha büyük tabanına indiriyoruz. Ve yamuğun köşelerine bakmaya başlayalım.

AEM ve KAN açıları tek taraflıdır. Bu, toplamda 180 0 verdikleri anlamına gelir. Bu nedenle, KAN = 30 0 (yamuk açılarının özelliklerine göre).

Şimdi dikdörtgen bir ∆ANK düşünün (bu noktanın ek kanıt olmadan okuyucular için açık olduğunu düşünüyorum). Ondan yamuk KN'nin yüksekliğini buluyoruz - üçgende 30 0 açısının karşısında duran bacak. Dolayısıyla KN = ½AB = 4 cm.

Yamuğun alanı şu formülle bulunur: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm2.

son söz

Bu makaleyi dikkatli ve düşünceli bir şekilde incelediyseniz, yukarıdaki tüm özellikler için elinizde bir kalemle yamuk çizip pratikte sökmek için çok tembel olmasaydınız, malzeme sizin tarafınızdan iyi anlaşılmış olmalıdır.

Tabii ki, burada çok çeşitli ve hatta bazen kafa karıştırıcı birçok bilgi var: Tanımlanan yamuğun özelliklerini yazılı olanın özellikleriyle karıştırmak o kadar zor değil. Ama farkın çok büyük olduğunu kendi gözlerinizle gördünüz.

Artık tüm yaygın yamuk özelliklerinin ayrıntılı bir özetine sahipsiniz. İkizkenar ve dikdörtgen yamukların spesifik özellikleri ve özellikleri. Testlere ve sınavlara hazırlanmak için bunları kullanmak çok uygundur. Kendiniz deneyin ve bağlantıyı arkadaşlarınızla paylaşın!

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.