|
Oh-oh-oh-oh-oh... well, it's tough, as if he was reading out a sentence to himself =) However, relaxation will help later, especially since today I bought the appropriate accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, inaasahan kong sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.
Ang relatibong posisyon ng dalawang tuwid na linya
Ganito ang kaso kapag kumakanta ang mga manonood sa koro. Dalawang tuwid na linya ay maaari:
1) tugma;
2) maging parallel: ;
3) o bumalandra sa isang punto: .
Tulong para sa mga dummies
: Mangyaring tandaan ang mathematical intersection sign, ito ay lilitaw nang napakadalas. Ang notasyon ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto .
Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?
Magsimula tayo sa unang kaso:
Ang dalawang linya ay nagtutugma kung at kung ang mga kaukulang coefficient nito ay proporsyonal, ibig sabihin, mayroong isang numerong "lambda" na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay
Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at lumikha ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.
Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation  multiply sa –1 (change signs), at lahat ng coefficients ng equation  gupitin ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .
Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:
Dalawang linya ay magkapareho kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay proporsyonal:  , Ngunit.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:
Gayunpaman, medyo halata iyon.
At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:
Dalawang linya ay nagsalubong kung at lamang kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay 
Kaya, para sa mga tuwid na linya gagawa kami ng isang sistema:
Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , na nangangahulugang hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient ng mga variable ay hindi proporsyonal.
Konklusyon: nagsalubong ang mga linya
Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na tinalakay lang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay lubos na nakapagpapaalaala sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na tiningnan namin sa klase Ang konsepto ng linear (in)dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:
Halimbawa 1
Alamin ang mga relatibong posisyon ng mga linya:
Solusyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:  .
, na nangangahulugan na ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.
Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga palatandaan sa sangang-daan:
Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod pa, diretso sa Kashchei the Immortal =)
b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:
Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay kahanay o nagkataon. Hindi na kailangang bilangin ang determinant dito.
Ito ay malinaw na ang mga koepisyent ng mga hindi alam ay proporsyonal, at .
Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:
kaya,
c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:
Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
 , samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatulad.
Ang koepisyent ng proporsyonalidad na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo:  .
Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:
Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).
Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.
Sagot:
Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang problemang tinalakay nang literal sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang punto sa pag-alok ng kahit ano para sa malayang desisyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:
Paano bumuo ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?
Para sa kamangmangan nito pinakasimpleng gawain Ang Nightingale the Robber ay mahigpit na nagpaparusa.
Halimbawa 2
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.
Solusyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik . Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ito ay malinaw na ang direksyon ng vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".
Kinukuha namin ang vector ng direksyon mula sa equation:
Sagot:
Ang halimbawa ng geometry ay mukhang simple:
Ang analytical testing ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:
1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).
2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.
Sa karamihan ng mga kaso, ang analytical testing ay madaling maisagawa nang pasalita. Tingnan ang dalawang equation, at marami sa inyo ang mabilis na matutukoy ang parallelism ng mga linya nang walang anumang pagguhit.
Ang mga halimbawa para sa mga independiyenteng solusyon ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pa ring makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.
Halimbawa 3
Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung
Mayroong isang makatwiran at hindi makatuwirang paraan upang malutas ito. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.
Nagtrabaho kami nang kaunti sa mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkatulad na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang natin ang isang problema na pamilyar sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:
Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?
Kung diretso  bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation 
Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.
Eto na geometriko na kahulugan ng sistema ng dalawa mga linear na equation na may dalawang hindi alam- ito ay dalawang intersecting (pinaka madalas) na linya sa isang eroplano.
Halimbawa 4
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya
Solusyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.
Ang graphical na paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit:
Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay isang solusyon sa system. Mahalaga, tumingin kami sa isang graphical na solusyon sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.
Ang graphical na paraan ay, siyempre, hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng panahon upang makagawa ng tama at TUMPAK na pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga tuwid na linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang intersection point mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa ikatatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.
Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point gamit ang analytical method. Lutasin natin ang sistema:
Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag ng mga equation. Upang bumuo ng mga kaugnay na kasanayan, kumuha ng aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?
Sagot:
Ang tseke ay walang kuwenta - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan sa bawat equation ng system.
Halimbawa 5
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung sila ay magsalubong.
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Maginhawang hatiin ang gawain sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagpapahiwatig na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.
Ang pagbuo ng isang algorithm ng pagkilos ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.
Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin:
Kahit isang pares ng sapatos ay hindi nasira bago kami nakarating sa ikalawang bahagi ng aralin:
Mga linyang patayo. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:
Paano bumuo ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?
Halimbawa 6
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation na patayo sa linyang dumadaan sa punto.
Solusyon: Sa kondisyon ay alam na . Ito ay magiging maganda upang mahanap ang nagdidirekta vector ng linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:
Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.
Buuin natin ang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:
Sagot: 
Palawakin natin ang geometric sketch:
Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.
Analytical na pag-verify ng solusyon:
1) Inalis namin ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation  at sa tulong scalar na produkto ng mga vector dumating kami sa konklusyon na ang mga linya ay talagang patayo: .
Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.
2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation  .
Ang pagsusulit, muli, ay madaling gawin nang pasalita.
Halimbawa 7
Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya kung ang equation ay kilala  at panahon.
Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Mayroong ilang mga aksyon sa problema, kaya maginhawang bumalangkas ng solusyon sa bawat punto.
Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:
Distansya mula sa punto hanggang linya
Mayroon kaming isang tuwid na strip ng ilog sa harap namin at ang aming gawain ay makarating dito sa pinakamaikling ruta. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paglipat nang patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.
Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "rho", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".
Distansya mula sa punto hanggang linya  ipinahayag ng pormula
Halimbawa 8
Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya 
Solusyon: ang kailangan mo lang gawin ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at isagawa ang mga kalkulasyon:
Sagot: 
Gawin natin ang pagguhit:
Ang nahanap na distansya mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gumuhit ka ng guhit sa checkered na papel sa sukat na 1 yunit. = 1 cm (2 cell), pagkatapos ay masusukat ang distansya gamit ang isang ordinaryong ruler.
Isaalang-alang natin ang isa pang gawain batay sa parehong pagguhit:
Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa punto na may kaugnayan sa tuwid na linya  . Iminumungkahi kong gawin ang mga hakbang sa iyong sarili, ngunit ilalarawan ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:
1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.
2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya:  .
Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.
3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng isang segment mahanap namin.
Magandang ideya na tingnan kung ang distansya ay 2.2 units din.
Ang mga paghihirap ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon dito, ngunit ang isang microcalculator ay isang malaking tulong sa tore, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang mga karaniwang fraction. Pinayuhan kita ng maraming beses at irerekomenda muli.
Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?
Halimbawa 9
Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya
Ito ay isa pang halimbawa para sa iyo na magpasya sa iyong sarili. Bibigyan kita ng kaunting pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas ito. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ang iyong katalinuhan ay mahusay na binuo.
Anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya
Bawat sulok ay isang hamba:
Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay itinuturing na MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang kanyang "berde" na kapitbahay o kabaligtaran ang oriented"raspberry" na sulok.
Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.
Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon kung saan ang anggulo ay "naka-scroll" ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa kung .
Bakit ko sinabi sayo ito? Tila kaya natin ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay ang mga formula kung saan makikita natin ang mga anggulo ay madaling magresulta sa isang negatibong resulta, at ito ay hindi dapat magtaka sa iyo. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, siguraduhing ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (clockwise).
Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:
Halimbawa 10
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya
Solusyon At Pamamaraan isa
Isaalang-alang natin ang dalawang tuwid na linya na tinukoy ng mga equation sa pangkalahatang anyo:
Kung diretso hindi patayo, Iyon nakatuon Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:
Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produkto ng tuldok nagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:
Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay magiging zero, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.
Batay sa itaas, ito ay maginhawa upang gawing pormal ang solusyon sa dalawang hakbang:
1) Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vector ng direksyon ng mga linya:
, na nangangahulugang ang mga linya ay hindi patayo.
2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya gamit ang formula:
Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arctangent (tingnan. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):
Sagot: 
Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.
Well, minus, minus, walang malaking bagay. Narito ang isang geometric na paglalarawan:
Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-unscrew" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak dito.
Kung talagang gusto mong makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation  , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang  .
Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa punto hanggang sa linya. Sa mapaglarawang geometry, ito ay tinutukoy nang grapiko gamit ang algorithm na ibinigay sa ibaba.
Algorithm
- Ang tuwid na linya ay inilipat sa isang posisyon kung saan ito ay magiging parallel sa anumang projection plane. Para sa layuning ito, ginagamit ang mga paraan ng pagbabago ng orthogonal projection.
- Mula sa isang punto ang isang patayo ay iguguhit sa isang linya. Ang konstruksiyon na ito ay batay sa theorem tungkol sa projection ng isang tamang anggulo.
- Ang haba ng isang patayo ay natutukoy sa pamamagitan ng pagbabago ng mga projection nito o gamit ang right triangle method.
Ipinapakita ng sumusunod na figure kumplikadong pagguhit punto M at linya b na tinukoy ng segment na CD. Kailangan mong hanapin ang distansya sa pagitan nila.
Ayon sa aming algorithm, ang unang bagay na dapat gawin ay ilipat ang linya sa isang posisyon parallel sa projection plane. Mahalagang maunawaan na pagkatapos maisagawa ang mga pagbabago, ang aktwal na distansya sa pagitan ng punto at linya ay hindi dapat magbago. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay maginhawa dito upang gamitin ang paraan ng pagpapalit ng eroplano, na hindi kasangkot sa paglipat ng mga numero sa kalawakan.
Ang mga resulta ng unang yugto ng konstruksiyon ay ipinapakita sa ibaba. Ang figure ay nagpapakita kung paano ang isang karagdagang frontal plane P 4 ay ipinakilala parallel sa b. SA bagong sistema(P 1, P 4) puntos C"" 1, D"" 1, M"" 1 ay nasa parehong distansya mula sa X axis 1 bilang C"", D"", M"" mula sa X axis.
Isinasagawa ang pangalawang bahagi ng algorithm, mula sa M"" 1 ibinababa namin ang patayo M"" 1 N"" 1 sa tuwid na linya b"" 1, dahil ang tamang anggulo ng MND sa pagitan ng b at MN ay naka-project sa eroplano P 4 in laki ng buhay. Gamit ang linya ng komunikasyon, tinutukoy namin ang posisyon ng point N" at isinasagawa ang projection M"N" ng segment na MN.
Sa huling yugto, kailangan mong matukoy ang laki ng segment na MN mula sa mga projection nito na M"N" at M"" 1 N"" 1. Para dito kami ay nagtatayo kanang tatsulok M"" 1 N"" 1 N 0, na ang binti N"" 1 N 0 ay katumbas ng pagkakaiba (Y M 1 – Y N 1) ng distansya ng mga puntos na M" at N" mula sa X 1 axis. Ang haba ng hypotenuse M"" 1 N 0 ng triangle M"" 1 N"" 1 N 0 ay tumutugma sa nais na distansya mula M hanggang b.
Pangalawang solusyon
- Parallel sa CD, ipinakilala namin ang isang bagong frontal plane P 4. Nag-intersect ito sa P 1 kasama ang X 1 axis, at X 1 ∥C"D". Alinsunod sa paraan ng pagpapalit ng mga eroplano, tinutukoy namin ang mga projection ng mga puntos C"" 1, D"" 1 at M"" 1, tulad ng ipinapakita sa figure.
- Perpendicular to C"" 1 D"" 1 bumuo kami ng karagdagang pahalang na eroplano P 5 sa kung saan ang tuwid na linya b ay inaasahang tumuturo sa C" 2 = b" 2.
- Ang distansya sa pagitan ng punto M at linya b ay tinutukoy ng haba ng segment M" 2 C" 2, na ipinahiwatig ng pula.
Mga katulad na gawain:
Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa paksa «
distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya »,
Tinatalakay ang kahulugan ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya na may mga nakalarawang halimbawa gamit ang coordinate method. Ang bawat bloke ng teorya sa dulo ay nagpakita ng mga halimbawa ng paglutas ng mga katulad na problema. Yandex.RTB R-A-339285-1 Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy ng distansya mula sa punto hanggang punto. Tingnan natin nang maigi.
Hayaang magkaroon ng isang linya a at isang punto M 1 na hindi kabilang sa ibinigay na linya. Sa pamamagitan nito gumuhit kami ng isang tuwid na linya b, na matatagpuan patayo sa tuwid na linya a. Kunin natin ang punto ng intersection ng mga linya bilang H 1. Nakuha namin na ang M 1 H 1 ay isang patayo na ibinaba mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Kahulugan 1 Distansya mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga puntos M 1 at H 1.
May mga kahulugan na kasama ang haba ng patayo. Kahulugan 2 Distansya mula sa punto hanggang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa isang ibinigay na punto hanggang sa isang ibinigay na linya.
Ang mga kahulugan ay katumbas. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.
Ito ay kilala na ang distansya mula sa isang punto sa isang linya ay ang pinakamaliit sa lahat ng posible. Tingnan natin ito sa isang halimbawa.
Kung kukuha tayo ng isang puntong Q na nakahiga sa isang tuwid na linya a, na hindi nag-tutugma sa puntong M 1, pagkatapos ay nalaman natin na ang segment na M 1 Q ay tinatawag na isang hilig na segment, na ibinaba mula sa M 1 hanggang sa isang tuwid na linya a. Kinakailangang ipahiwatig na ang patayo mula sa punto M 1 ay mas mababa kaysa sa anumang iba pang hilig na linya na iginuhit mula sa punto hanggang sa tuwid na linya.
Upang patunayan ito, isaalang-alang ang tatsulok na M 1 Q 1 H 1, kung saan ang M 1 Q 1 ay ang hypotenuse. Ito ay kilala na ang haba nito ay palaging mas malaki kaysa sa haba ng alinman sa mga binti. Nangangahulugan ito na mayroon tayong M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Ang paunang data para sa paghahanap mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng ilang mga pamamaraan ng solusyon: sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, pagpapasiya ng sine, cosine, tangent ng isang anggulo at iba pa. Karamihan sa mga gawain ng ganitong uri ay nalulutas sa paaralan sa panahon ng mga aralin sa geometry.
Kapag, kapag hinahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya, posible na ipakilala ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, pagkatapos ay ginagamit ang paraan ng coordinate. Sa talatang ito, isasaalang-alang natin ang pangunahing dalawang paraan ng paghahanap ng kinakailangang distansya mula sa isang naibigay na punto.
Ang unang paraan ay nagsasangkot ng paghahanap para sa distansya bilang isang patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Ang pangalawang paraan ay gumagamit ng normal na equation ng tuwid na linya a upang mahanap ang kinakailangang distansya.
Kung mayroong isang punto sa eroplano na may mga coordinate M 1 (x 1 , y 1), na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system, tuwid na linya a, at kailangan mong hanapin ang distansya M 1 H 1, maaari mong gawin ang pagkalkula sa dalawa mga paraan. Tingnan natin sila.
Unang paraan
Kung mayroong mga coordinate ng point H 1 na katumbas ng x 2, y 2, kung gayon ang distansya mula sa punto hanggang sa linya ay kinakalkula gamit ang mga coordinate mula sa formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Ngayon ay magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga coordinate ng point H 1.
Ito ay kilala na ang isang tuwid na linya sa O x y ay tumutugma sa equation ng isang tuwid na linya sa eroplano. Kunin natin ang paraan ng pagtukoy ng isang tuwid na linya a sa pamamagitan ng pagsulat ng isang pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya o isang equation na may isang angular coefficient. Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya a. Tukuyin natin ang tuwid na linya sa pamamagitan ng titik b. Ang H 1 ay ang punto ng intersection ng mga linya a at b, na nangangahulugang upang matukoy ang mga coordinate na kailangan mong gamitin ang artikulo kung saan pinag-uusapan natin tungkol sa mga coordinate ng mga punto ng intersection ng dalawang linya.
Makikita na ang algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a ay isinasagawa ayon sa mga puntos: Kahulugan 3 - paghahanap ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya a, na may anyong A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, o isang equation na may angle coefficient, na may anyong y = k 1 x + b 1;
- pagkuha ng pangkalahatang equation ng linya b, na may anyo na A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o isang equation na may angular coefficient y = k 2 x + b 2, kung ang linya b ay nag-intersect sa point M 1 at patayo sa isang ibinigay na linya a;
- pagpapasiya ng mga coordinate x 2, y 2 ng punto H 1, na siyang intersection point ng a at b, para sa layuning ito ang sistema ng mga linear equation ay nalulutas A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
- pagkalkula ng kinakailangang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya gamit ang formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Pangalawang paraan
Ang theorem ay maaaring makatulong sa pagsagot sa tanong ng paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang ibinigay na tuwid na linya sa isang eroplano. Teorama Ang rectangular coordinate system ay may O x y na may punto M 1 (x 1, y 1), kung saan ang isang tuwid na linya ay iginuhit patungo sa eroplano, na ibinigay ng normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p = 0, katumbas ng Ang absolute value na nakuha sa kaliwang bahagi ng normal na equation ng linya, na kinakalkula sa x = x 1, y = y 1, ay nangangahulugan na M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Patunay Ang linya a ay tumutugma sa normal na equation ng eroplano, na may anyo na cos α x + cos β y - p = 0, pagkatapos ay ang n → = (cos α, cos β) ay itinuturing na normal na vector ng linya a sa layo mula sa pinagmulan sa linya a na may mga p unit . Ito ay kinakailangan upang ipakita ang lahat ng data sa figure, magdagdag ng isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1), kung saan ang radius vector ng punto M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Kinakailangang gumuhit ng isang tuwid na linya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, na tinutukoy namin bilang M 1 H 1 . Kinakailangang ipakita ang mga projection na M 2 at H 2 ng mga puntos na M 1 at H 2 sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto O na may vector ng direksyon ng anyong n → = (cos α, cos β), at tukuyin ang numerical projection ng vector bilang O M 1 → = (x 1, y 1) sa direksyon n → = (cos α , cos β) bilang n p n → O M 1 → .
Ang mga pagkakaiba-iba ay depende sa lokasyon ng M1 point mismo. Tingnan natin ang figure sa ibaba.
Inaayos namin ang mga resulta gamit ang formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Pagkatapos ay dinadala namin ang pagkakapantay-pantay sa form na ito M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p upang makuha ang n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Ang scalar product ng mga vectors ay nagreresulta sa isang transformed formula ng form n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , na isang produkto sa coordinate form ng anyong n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Nangangahulugan ito na nakukuha natin na n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kasunod nito na M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Ang teorama ay napatunayan.
Nalaman namin na upang mahanap ang distansya mula sa punto M 1 (x 1 , y 1) hanggang sa tuwid na linya a sa eroplano, kailangan mong magsagawa ng ilang mga aksyon: Kahulugan 4 - pagkuha ng normal na equation ng tuwid na linya a cos α · x + cos β · y - p = 0, sa kondisyon na wala ito sa gawain;
- pagkalkula ng expression na cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, kung saan ang resultang halaga ay tumatagal ng M 1 H 1.
Ilapat natin ang mga pamamaraang ito upang malutas ang mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano. Halimbawa 1 Hanapin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 1, 2) hanggang sa tuwid na linya 4 x - 3 y + 35 = 0.
Solusyon
Gamitin natin ang unang paraan upang malutas.
Upang gawin ito kailangan mong hanapin pangkalahatang equation linya b, na dumadaan sa isang ibinigay na punto M 1 (- 1, 2), patayo sa linya 4 x - 3 y + 35 = 0. Mula sa kondisyon ay malinaw na ang linya b ay patayo sa linya a, kung gayon ang vector ng direksyon nito ay may mga coordinate na katumbas ng (4, - 3). Kaya, mayroon kaming pagkakataon na isulat ang canonical equation ng linya b sa eroplano, dahil mayroong mga coordinate ng punto M 1, na kabilang sa linya b. Tukuyin natin ang mga coordinate ng directing vector ng tuwid na linya b. Nakukuha natin na x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Ang resultang canonical equation ay dapat i-convert sa pangkalahatan. Pagkatapos makuha namin iyon
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Hanapin natin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga linya, na kukunin natin bilang pagtatalaga H 1. Ang mga pagbabago ay ganito ang hitsura:
4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5
Mula sa kung ano ang nakasulat sa itaas, mayroon kaming na ang mga coordinate ng punto H 1 ay katumbas ng (- 5; 5).
Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Mayroon kaming mga coordinate ng mga puntos na M 1 (- 1, 2) at H 1 (- 5, 5), pagkatapos ay pinapalitan namin ang mga ito sa formula upang mahanap ang distansya at makuha iyon
M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Pangalawang solusyon.
Upang malutas sa ibang paraan, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng linya. Kinakalkula namin ang halaga ng normalizing factor at i-multiply ang magkabilang panig ng equation 4 x - 3 y + 35 = 0. Mula dito nakuha natin na ang normalizing factor ay katumbas ng - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, at ang normal na equation ay magiging sa anyo - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
Ayon sa algorithm ng pagkalkula, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng linya at kalkulahin ito sa mga halaga x = - 1, y = 2. Pagkatapos makuha namin iyon
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Mula dito nakuha natin na ang distansya mula sa puntong M 1 (- 1, 2) hanggang sa ibinigay na tuwid na linya 4 x - 3 y + 35 = 0 ay may halaga - 5 = 5.
Sagot: 5 .
Makikita na sa pamamaraang ito mahalagang gamitin ang normal na equation ng linya, dahil ang pamamaraang ito ang pinakamaikli. Ngunit ang unang paraan ay maginhawa dahil ito ay pare-pareho at lohikal, bagaman mayroon itong mas maraming mga kalkulasyon. Halimbawa 2 Sa eroplano mayroong isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na may punto M 1 (8, 0) at tuwid na linya y = 1 2 x + 1. Hanapin ang distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya.
Solusyon
Ang paglutas sa unang paraan ay nagsasangkot ng pagbabawas ng isang ibinigay na equation na may slope sa equation pangkalahatang pananaw. Upang gawing simple, maaari mong gawin ito sa ibang paraan.
Kung ang produkto ng angular coefficients ng patayo na mga tuwid na linya ay may halaga na - 1, kung gayon dalisdis linyang patayo sa ibinigay na y = 1 2 x + 1 ay may halagang 2. Ngayon nakuha namin ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto na may mga coordinate M 1 (8, 0). Mayroon tayong y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Nagpapatuloy kami sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1, iyon ay, ang mga intersection point y = - 2 x + 16 at y = 1 2 x + 1. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation at makakuha ng:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)
Kasunod nito na ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (8, 0) hanggang sa tuwid na linya y = 1 2 x + 1 ay katumbas ng distansya mula sa simula at dulong punto na may mga coordinate M 1 (8, 0) at H 1 (6, 4) . Kalkulahin natin at hanapin na M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Ang solusyon sa pangalawang paraan ay ang paglipat mula sa isang equation na may coefficient patungo sa normal na anyo nito. Iyon ay, nakukuha natin ang y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, kung gayon ang halaga ng normalizing factor ay magiging - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Kasunod nito na ang normal na equation ng linya ay nasa anyo - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Isagawa natin ang pagkalkula mula sa puntong M 1 8, 0 hanggang sa isang tuwid na linya ng form - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Nakukuha namin:
M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
Sagot: 2 5 . Halimbawa 3 Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 2, 4) hanggang sa mga linyang 2 x - 3 = 0 at y + 1 = 0.
Solusyon
Nakukuha namin ang equation ng normal na anyo ng tuwid na linya 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Pagkatapos ay magpatuloy kami sa pagkalkula ng distansya mula sa puntong M 1 - 2, 4 hanggang sa tuwid na linya x - 3 2 = 0. Nakukuha namin:
M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2
Ang equation ng tuwid na linya y + 1 = 0 ay may normalizing factor na may halaga na katumbas ng -1. Nangangahulugan ito na ang equation ay kukuha ng anyo - y - 1 = 0. Nagpapatuloy kami sa pagkalkula ng distansya mula sa puntong M 1 (- 2, 4) hanggang sa tuwid na linya - y - 1 = 0. Nalaman namin na ito ay katumbas ng - 4 - 1 = 5.
Sagot: 3 1 2 at 5.
Tingnan natin nang mas malapitan ang paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa eroplano hanggang coordinate axes O x at O y.
Sa isang rectangular coordinate system, ang O axis y ay may equation ng isang tuwid na linya, na hindi kumpleto at may anyong x = 0, at O x - y = 0. Ang mga equation ay normal para sa mga coordinate axes, pagkatapos ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 x 1, y 1 hanggang sa mga linya. Ginagawa ito batay sa mga formula M 1 H 1 = x 1 at M 1 H 1 = y 1. Tingnan natin ang figure sa ibaba.
Halimbawa 4 Hanapin ang distansya mula sa puntong M 1 (6, - 7) hanggang sa mga linya ng coordinate na matatagpuan sa O x y plane.
Solusyon
Dahil ang equation na y = 0 ay nauugnay sa linyang O x, mahahanap natin ang distansya mula sa M 1 s ibinigay na mga coordinate, sa tuwid na linyang ito gamit ang formula. Nakukuha namin na 6 = 6.
Dahil ang equation na x = 0 ay tumutukoy sa tuwid na linya O y, mahahanap mo ang distansya mula M 1 hanggang sa tuwid na linyang ito gamit ang formula. Pagkatapos makuha namin iyon - 7 = 7.
Sagot: ang distansya mula M 1 hanggang O x ay may halaga na 6, at mula M 1 hanggang O y ay may halaga na 7.
Kapag sa three-dimensional na espasyo mayroon tayong isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1), kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto A hanggang sa tuwid na linya a.
Isaalang-alang natin ang dalawang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa espasyo. Isinasaalang-alang ng unang kaso ang distansya mula sa punto M 1 hanggang sa isang linya, kung saan ang isang punto sa linya ay tinatawag na H 1 at ang base ng isang patayo na iginuhit mula sa punto M 1 hanggang linya a. Ang pangalawang kaso ay nagmumungkahi na ang mga punto ng eroplanong ito ay dapat hanapin bilang taas ng paralelogram.
Unang paraan
Mula sa kahulugan mayroon kaming na ang distansya mula sa punto M 1 na matatagpuan sa tuwid na linya a ay ang haba ng patayo M 1 H 1 , pagkatapos ay nakuha namin iyon sa mga nahanap na coordinate ng punto H 1 , pagkatapos ay nakita namin ang distansya sa pagitan ng M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) at H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , batay sa formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Nalaman namin na ang buong solusyon ay napupunta sa paghahanap ng mga coordinate ng base ng patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Ginagawa ito bilang mga sumusunod: Ang H 1 ay ang punto kung saan ang isang tuwid na linya ay bumalandra sa eroplano na dumadaan sa ibinigay na punto.
Nangangahulugan ito na ang algorithm para sa pagtukoy ng distansya mula sa punto M 1 (x 1, y 1, z 1) hanggang sa linya a sa espasyo ay nagpapahiwatig ng ilang mga punto: Kahulugan 5 - pagguhit ng equation ng eroplano χ bilang isang equation ng eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto na matatagpuan patayo sa linya;
- pagpapasiya ng mga coordinate (x 2, y 2, z 2) na kabilang sa puntong H 1, na siyang intersection point ng tuwid na linya a at eroplano χ;
- pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya gamit ang formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Pangalawang paraan
Mula sa kondisyon na mayroon tayong isang tuwid na linya a, pagkatapos ay matutukoy natin ang direksyon ng vector a → = a x, a y, a z na may mga coordinate x 3, y 3, z 3 at isang tiyak na punto M 3 na kabilang sa tuwid na a. Kung mayroon kang mga coordinate ng mga puntos na M 1 (x 1, y 1) at M 3 x 3, y 3, z 3, maaari mong kalkulahin ang M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Dapat nating isantabi ang mga vectors a → = a x , a y , a z at M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 mula sa puntong M 3 , ikonekta ang mga ito at kumuha ng parallelogram pigura. Ang M 1 H 1 ay ang taas ng paralelogram.
Tingnan natin ang figure sa ibaba.
Mayroon kaming na ang taas M 1 H 1 ay ang kinakailangang distansya, pagkatapos ito ay kinakailangan upang mahanap ito gamit ang formula. Ibig sabihin, hinahanap namin ang M 1 H 1.
Tukuyin natin ang lugar ng parallelogram sa pamamagitan ng titik S, na natagpuan ng formula gamit ang vector a → = (a x, a y, a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Ang pormula ng lugar ay S = a → × M 3 M 1 → . Gayundin, ang lugar ng figure ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga gilid at taas nito, nakuha namin na S = a → · M 1 H 1 na may → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , na ay ang haba ng vector a → = (a x , a y , a z) , na katumbas ng gilid ng paralelogram. Nangangahulugan ito na ang M 1 H 1 ay ang distansya mula sa punto hanggang sa linya. Ito ay matatagpuan gamit ang formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Upang mahanap ang distansya mula sa isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) sa isang tuwid na linya a sa espasyo, kailangan mong magsagawa ng ilang hakbang ng algorithm: Kahulugan 6 - pagpapasiya ng vector ng direksyon ng tuwid na linya a - a → = (a x, a y, a z);
- pagkalkula ng haba ng vector ng direksyon a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
- pagkuha ng mga coordinate x 3 , y 3 , z 3 na kabilang sa point M 3 na matatagpuan sa tuwid na linya a;
- pagkalkula ng mga coordinate ng vector M 3 M 1 → ;
- paghahanap ng vector product ng mga vectors a → (a x , a y , a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 bilang a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 upang makuha ang haba gamit ang formula a → × M 3 M 1 → ;
- pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang naibigay na linya sa espasyoHalimbawa 5 Hanapin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 2, - 4, - 1 hanggang sa linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Solusyon
Ang unang paraan ay nagsisimula sa pagsulat ng equation ng eroplano χ na dumadaan sa M 1 at patayo sa isang naibigay na punto. Nakakakuha kami ng expression tulad ng:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto H 1, na kung saan ay ang punto ng intersection sa χ eroplano sa linya na tinukoy ng kondisyon. Dapat kang lumipat mula sa canonical view patungo sa intersecting. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation ng form:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Kinakailangang kalkulahin ang system x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 sa pamamagitan ng paraan ng Cramer, pagkatapos ay makuha natin iyon:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0
Mula dito mayroon tayong H 1 (1, - 1, 0).
M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Ang pangalawang paraan ay dapat magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng mga coordinate sa canonical equation. Upang gawin ito, kailangan mong bigyang pansin ang mga denominador ng fraction. Pagkatapos ang a → = 2, - 1, 5 ay ang vector ng direksyon ng linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Kinakailangang kalkulahin ang haba gamit ang formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Malinaw na ang tuwid na linya na x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ay nagsasalubong sa puntong M 3 (- 1 , 0 , - 5), kaya mayroon tayong vector na may pinagmulang M 3 (- 1 , 0 , - 5) at ang dulo nito sa puntong M 1 2, - 4, - 1 ay M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Hanapin ang produkto ng vector a → = (2, - 1, 5) at M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Nakakakuha tayo ng expression ng form a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
nalaman namin na ang haba ng produkto ng vector ay katumbas ng isang → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Mayroon kaming lahat ng data upang magamit ang formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto para sa isang tuwid na linya, kaya ilapat natin ito at makuha ang:
M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11
Sagot: 11 .
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
|
