Pangkalahatang theorems sa dinamika ng isang sistema ng mga katawan. Theorems sa paggalaw ng sentro ng masa, sa pagbabago sa momentum, sa pagbabago sa pangunahing angular momentum, sa pagbabago sa kinetic energy. Mga prinsipyo at posibleng paggalaw ni D'Alembert. Pangkalahatang equation ng dynamics. Lagrange equation.

Pangkalahatang theorems sa dynamics ng isang matibay na katawan at isang sistema ng mga katawan

Pangkalahatang theorems ng dynamics- ito ay isang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema, isang theorem sa pagbabago ng momentum, isang theorem sa pagbabago sa pangunahing angular momentum (kinetic moment) at isang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema.

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa.
Ang produkto ng mass ng isang system at ang acceleration ng center of mass nito ay katumbas ng vector sum ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Narito ang M ay ang masa ng sistema:
;
a C ay ang acceleration ng sentro ng masa ng system:
;
v C - bilis ng sentro ng masa ng system:
;
r C - radius vector (coordinate) ng sentro ng masa ng system:
;
- mga coordinate (kamag-anak sa nakapirming sentro) at masa ng mga puntos na bumubuo sa system.

Theorem sa pagbabago ng momentum (momentum)

Dami ng paggalaw (impulse) ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema sa pamamagitan ng bilis ng sentro ng masa nito o ang kabuuan ng momentum (kabuuan ng mga impulses) ng mga indibidwal na punto o bahagi na bumubuo sa sistema:
.

Theorem sa pagbabago ng momentum sa differential form.
Ang derivative ng oras ng dami ng paggalaw (momentum) ng system ay katumbas ng vector sum ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Theorem sa pagbabago ng momentum sa integral form.
Ang pagbabago sa momentum (momentum) ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na puwersa sa parehong tagal ng panahon:
.

Batas ng konserbasyon ng momentum (momentum).
Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay zero, kung gayon ang momentum vector ng system ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Kung ang kabuuan ng mga projection ng mga panlabas na pwersa sa anumang axis ay zero, kung gayon ang projection ng dami ng paggalaw ng system sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Theorem sa pagbabago sa principal angular momentum (teorem ng mga sandali)

Ang pangunahing angular momentum ng isang sistema na may kaugnayan sa isang naibigay na sentro O ay ang dami na katumbas ng vector sum ng angular momentum ng lahat ng mga punto ng system na may kaugnayan sa sentro na ito:
.
Dito ang mga square bracket ay tumutukoy sa cross product.

Mga naka-attach na sistema

Ang sumusunod na theorem ay nalalapat sa kaso kung saan ang isang mekanikal na sistema ay may nakapirming punto o axis na naayos na may kaugnayan sa isang inertial reference frame. Halimbawa, isang katawan na sinigurado ng isang spherical bearing. O isang sistema ng mga katawan na gumagalaw sa isang nakapirming sentro. Maaari rin itong maging isang nakapirming axis kung saan umiikot ang isang katawan o sistema ng mga katawan. Sa kasong ito, ang mga sandali ay dapat na maunawaan bilang mga sandali ng salpok at mga puwersa na nauugnay sa nakapirming axis.

Theorem sa pagbabago sa principal angular momentum (teorem ng mga sandali)
Ang derivative ng oras ng pangunahing angular na momentum ng system na nauugnay sa ilang nakapirming sentro O ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Batas ng konserbasyon ng principal angular momentum (angular momentum).
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa na inilapat sa sistema na may kaugnayan sa isang nakapirming sentro O ay katumbas ng zero, kung gayon pangunahing punto ang dami ng paggalaw ng system na nauugnay sa sentrong ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Kung ang kabuuan ng mga sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa ilang nakapirming axis ay zero, kung gayon ang angular na momentum ng system na nauugnay sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Mga sistemang arbitraryo

Ang sumusunod na theorem ay may unibersal na karakter. Nalalapat ito sa parehong nakapirming at malayang gumagalaw na mga sistema. Sa kaso ng mga nakapirming sistema, kinakailangang isaalang-alang ang mga reaksyon ng mga koneksyon sa mga nakapirming punto. Ito ay naiiba sa naunang teorama dahil sa halip na isang nakapirming punto O, ang isa ay dapat kunin ang sentro ng mass C ng sistema.

Theorem ng mga sandali tungkol sa sentro ng masa
Ang derivative ng oras ng pangunahing angular na momentum ng system na may kaugnayan sa sentro ng mass C ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Batas ng konserbasyon ng angular momentum.
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa sistema na may kaugnayan sa sentro ng mass C ay katumbas ng zero, kung gayon ang pangunahing sandali ng momentum ng system na nauugnay sa sentro na ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan

Kung ang katawan ay umiikot sa paligid ng z axis Sa angular velocityω z, pagkatapos ang angular momentum nito (kinetic moment) na may kaugnayan sa z axis ay tinutukoy ng formula:
L z = J z ω z ,
kung saan ang J z ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa z axis.

Moment of inertia ng katawan na may kaugnayan sa z axis tinutukoy ng formula:
,
kung saan ang h k ay ang distansya mula sa isang punto ng mass m k hanggang sa z axis.
Para sa isang manipis na singsing na mass M at radius R, o isang silindro na ang masa ay ibinahagi sa gilid nito,
J z = M R 2 .
Para sa isang solidong homogenous na singsing o silindro,
.

Steiner-Huygens theorem.
Hayaang Cz ang axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan, Oz ang axis na kahanay nito. Pagkatapos ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa mga palakol na ito ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
kung saan ang M ay timbang ng katawan; a ay ang distansya sa pagitan ng mga axes.

Sa higit pa pangkalahatang kaso :
,
nasaan ang inertia tensor ng katawan.
Narito ang isang vector na iginuhit mula sa gitna ng masa ng katawan hanggang sa isang punto na may mass m k.

Theorem sa pagbabago ng kinetic energy

Hayaang ang isang katawan ng mass M ay magsagawa ng translational at rotational motion na may angular velocity ω sa paligid ng ilang axis z.
,
Pagkatapos ang kinetic energy ng katawan ay tinutukoy ng formula:
kung saan ang v C ay ang bilis ng paggalaw ng sentro ng masa ng katawan;

Ang J Cz ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan na kahanay sa axis ng pag-ikot. Ang direksyon ng rotation axis ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon. Ang formula na ito ay nagbibigay ng agarang halaga ng kinetic energy.
Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang system sa differential form.
.

Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang sistema sa integral form.
Ang pagbabago sa kinetic energy ng system sa panahon ng ilang paggalaw ay katumbas ng kabuuan ng gawaing ginawa sa paggalaw na ito ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na inilapat sa system:
.

Ang gawaing ginawa ng puwersa, ay katumbas ng scalar product ng force vectors at ang infinitesimal displacement ng point ng application nito:
,
iyon ay, ang produkto ng mga ganap na halaga ng mga vectors F at ds sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Ang gawaing ginawa ng sandali ng puwersa, ay katumbas ng scalar product ng torque vectors at ang infinitesimal na anggulo ng pag-ikot:
.

prinsipyo ni d'Alembert

Ang kakanyahan ng prinsipyo ni d'Alembert ay upang bawasan ang mga problema ng dynamics sa mga problema ng statics. Upang gawin ito, ipinapalagay (o ito ay kilala nang maaga) na ang mga katawan ng system ay may ilang (angular) accelerations. Susunod, ang mga inertial na pwersa at (o) mga sandali ng mga inertial na puwersa ay ipinakilala, na katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng direksyon sa mga puwersa at mga sandali ng mga puwersa na, ayon sa mga batas ng mekanika, ay lilikha ng mga ibinigay na acceleration o angular accelerations.

Tingnan natin ang isang halimbawa. Ang katawan ay sumasailalim sa paggalaw ng pagsasalin at kinikilos ng mga panlabas na puwersa. Ipinapalagay pa namin na ang mga puwersang ito ay lumilikha ng isang pagbilis ng sentro ng masa ng sistema. Ayon sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa, ang sentro ng masa ng isang katawan ay magkakaroon ng parehong acceleration kung ang isang puwersa ay kumilos sa katawan. Susunod na ipinakilala namin ang puwersa ng pagkawalang-galaw:
.
Pagkatapos nito, ang problema sa dinamika:
.
;
.

Para sa rotational motion magpatuloy sa parehong paraan. Hayaang umikot ang katawan sa paligid ng z axis at kumilos sa pamamagitan ng mga panlabas na sandali ng puwersa M e zk .
.
Ipinapalagay namin na ang mga sandaling ito ay lumilikha ng isang angular acceleration ε z.
;
.

Susunod, ipinakilala namin ang sandali ng mga puwersa ng inertia M И = - J z ε z.

Pagkatapos nito, ang problema sa dinamika:

Nagiging problema sa statics:.
Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement ay ginagamit upang malutas ang mga problema sa statics. Sa ilang mga problema, nagbibigay ito ng mas maikling solusyon kaysa sa pagbuo ng mga equation ng ekwilibriyo. Ito ay totoo lalo na para sa mga system na may mga koneksyon (halimbawa, mga sistema ng mga katawan na konektado sa pamamagitan ng mga thread at mga bloke) na binubuo ng maraming mga katawan Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw

Para sa balanse ng isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng aktibong pwersa na kumikilos dito para sa anumang posibleng paggalaw ng system ay katumbas ng zero. Posibleng paglipat ng system

Pangkalahatang equation ng dynamics (D'Alembert - Lagrange na prinsipyo)

Ang prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange ay isang kumbinasyon ng prinsipyo ng D'Alembert na may prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Iyon ay, kapag nilulutas ang isang dynamic na problema, ipinakilala namin ang mga inertial na pwersa at binabawasan ang problema sa isang static na problema, na nilulutas namin gamit ang prinsipyo ng mga posibleng displacement.

Prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange.
Kapag ang isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon ay gumagalaw, sa bawat sandali ng oras ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng inilapat na aktibong pwersa at lahat ng mga inertial na pwersa sa anumang posibleng paggalaw ng system ay zero:
.
Ang equation na ito ay tinatawag pangkalahatang equation mga nagsasalita.

Lagrange equation

Pangkalahatan q coordinate 1 , q 2 , ..., q n ay isang set ng n dami na natatanging tumutukoy sa posisyon ng system.

Ang bilang ng mga pangkalahatang coordinate n ay tumutugma sa bilang ng mga antas ng kalayaan ng system.

Mga pangkalahatang bilis ay mga derivatives ng generalised coordinate na may paggalang sa oras t.

Pangkalahatang pwersa Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Isaalang-alang natin ang isang posibleng paggalaw ng system, kung saan ang coordinate q k ay makakatanggap ng paggalaw δq k.
Ang natitirang mga coordinate ay nananatiling hindi nagbabago. Hayaang ang δA k ay ang gawaing ginawa ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng naturang paggalaw. Pagkatapos
.

δA k = Q k δq k , o
Kung, sa isang posibleng paggalaw ng system, nagbabago ang lahat ng mga coordinate, kung gayon ang gawaing ginawa ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng naturang paggalaw ay may anyo: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Kung gayon ang mga pangkalahatang pwersa ay bahagyang derivatives ng trabaho sa mga displacement: Para sa potensyal na pwersa
.

may potensyal na Π, Lagrange equation

ay ang mga equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema sa pangkalahatang mga coordinate:
.

Narito ang T ay kinetic energy. Ito ay isang function ng mga pangkalahatang coordinate, bilis at, posibleng, oras. Samakatuwid, ang partial derivative nito ay isang function din ng generalized coordinates, velocities at time. Susunod, kailangan mong isaalang-alang na ang mga coordinate at velocities ay mga function ng oras. Samakatuwid, upang mahanap ang kabuuang derivative na may paggalang sa oras, kailangan mong ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:
Ginamit na panitikan: S. M. Targ, Maikling kurso

theoretical mechanics, "Higher School", 2010.

MINISTRY NG AGRIKULTURA AT PAGKAIN NG REPUBLIKA NG BELARUS

Institusyong pang-edukasyon "BELARUSIAN STATE AGRICULTURAL

TECHNICAL UNIVERSITY"

Kagawaran ng Theoretical Mechanics at Theory of Mechanisms and Machines

THEORETICAL MECHANICS

methodological complex para sa mga mag-aaral ng mga specialty

74 06 Agroengineering

Sa 2 bahagi Part 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Kandidato ng Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Yu. S. Biza, kandidato teknikal na agham, associate professor N. L. Rakova, senior lecturer. A. Tarasevich

Mga Reviewer:

Kagawaran ng Theoretical Mechanics ng Educational Institution "Belarusian National Technical University" (Head

Department of Theoretical Mechanics BNTU Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Propesor A. V. Chigarev);

Nangungunang Researcher ng Laboratory of Vibration Protection of Mechanical Systems ng State Scientific Institution United Institute of Mechanical Engineering

NAS ng Belarus", kandidato ng teknikal na agham, associate professor A. M. Goman

Teoretikal na mekanika. Seksyon "Dynamics": pang-edukasyon

Paraan ng T33. kumplikado. Sa 2 bahagi. Bahagi 1 / pinagsama ni: Yu. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8.

Ang kumplikadong pang-edukasyon at pamamaraan ay nagtatanghal ng mga materyales para sa pag-aaral ng seksyong "Dynamics", bahagi 1, na bahagi ng disiplina na "Theoretical Mechanics". May kasamang kurso ng mga lektura, mga pangunahing materyales para sa pagganap mga praktikal na klase, mga takdang-aralin at mga halimbawa ng mga takdang-aralin para sa independiyenteng trabaho at kontrol mga aktibidad na pang-edukasyon full-time at part-time na mga mag-aaral.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

PANIMULA

Ang teoretikal na mekanika ay ang agham ng mga pangkalahatang batas ng mekanikal na paggalaw, ekwilibriyo at pakikipag-ugnayan ng mga materyal na katawan.

Ito ay isa sa mga pangunahing pangkalahatang siyentipikong physico-mathematical na disiplina. Ito ang teoretikal na batayan ng modernong teknolohiya.

Ang pag-aaral ng theoretical mechanics, kasama ang iba pang mga pisikal at matematikal na disiplina, ay nakakatulong na palawakin ang mga pang-agham na abot-tanaw, bubuo ng kakayahan para sa kongkreto at abstract na pag-iisip at tumutulong na mapabuti ang pangkalahatang teknikal na kultura ng hinaharap na espesyalista.

Ang teoretikal na mekanika, bilang ang siyentipikong batayan ng lahat ng mga teknikal na disiplina, ay nag-aambag sa pag-unlad ng mga kasanayan makatwirang desisyon mga gawaing pang-inhinyero na may kaugnayan sa pagpapatakbo, pagkukumpuni at disenyo ng mga makina at kagamitan sa pag-agrikultura at pagbawi ng lupa.

Batay sa likas na katangian ng mga problemang isinasaalang-alang, ang mekanika ay nahahati sa statics, kinematics at dynamics. Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersang inilapat.

SA pang-edukasyon at pamamaraan complex (UMK) ay nagtatanghal ng mga materyales para sa pag-aaral ng seksyong "Dynamics", na kinabibilangan ng kurso ng mga lektura, mga pangunahing materyales para sa pagsasagawa praktikal na gawain, mga gawain at mga halimbawa ng pagpapatupad para sa malayang gawain at pagsubaybay sa mga aktibidad na pang-edukasyon ng mga full-time at part-time na mga mag-aaral.

SA Bilang resulta ng pag-aaral sa seksyong "Dynamics", dapat matuto ang mag-aaral mga teoretikal na pundasyon dinamika at makabisado ang mga pangunahing pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa dinamika:

Alamin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa dinamika, pangkalahatang theorems ng dinamika, mga prinsipyo ng mekanika;

Matukoy ang mga batas ng paggalaw ng katawan depende sa mga puwersang kumikilos dito; ilapat ang mga batas at teorema ng mekanika upang malutas ang mga problema; matukoy ang mga static at dynamic na reaksyon ng mga koneksyon na naglilimita sa paggalaw ng mga katawan.

Ang kurikulum ng disiplina na "Theoretical Mechanics" ay nagbibigay ng kabuuang bilang ng mga oras sa silid-aralan - 136, kabilang ang 36 na oras para sa pag-aaral sa seksyong "Dynamics".

1. SCIENTIFIC AND THEORETICAL CONTENT NG EDUCATIONAL AND METHODOLOGICAL COMPLEX

1.1. Talasalitaan

Ang statics ay isang seksyon ng mechanics na nagtatakda ng pangkalahatang doktrina ng pagbabawas ng mga puwersa at pag-aaral kumplikadong mga sistema pwersa sa pinakasimpleng anyo at mga kondisyon ng ekwilibriyo ay itinatag iba't ibang sistema lakas

Ang Kinematics ay isang sangay ng theoretical mechanics na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na bagay anuman ang mga dahilan na nagdudulot ng paggalaw na ito, ibig sabihin, anuman ang mga puwersang kumikilos sa mga bagay na ito.

Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral ng paggalaw ng mga materyal na katawan (puntos) sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

Materyal na punto– isang materyal na katawan, ang pagkakaiba sa paggalaw ng mga punto na kung saan ay hindi gaanong mahalaga.

Ang masa ng isang katawan ay isang scalar positive quantity na nakasalalay sa dami ng substance na nakapaloob sa isang partikular na katawan at tinutukoy ang sukat nito ng inertia sa panahon ng translational motion.

Ang reference system ay isang coordinate system na nauugnay sa isang katawan kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng ibang katawan.

Inertial system– isang sistema kung saan natutugunan ang una at ikalawang batas ng dinamika.

Ang force impulse ay isang vector measure ng pagkilos ng puwersa sa loob ng ilang panahon.

Momentum ng isang materyal na punto – isang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng produkto ng mass ng punto at ang vector ng bilis nito.

Kinetic energy– scalar na sukat ng mekanikal na paggalaw.

Pangunahing gawain ng puwersa ay isang infinitesimal na scalar quantity na katumbas ng scalar product ng force vector at ang vector ng infinites small displacement ng point of application ng force.

Kinetic energy– scalar na sukat ng mekanikal na paggalaw.

Ang kinetic energy ng isang materyal na punto ay isang scalar energy

isang positibong dami na katumbas ng kalahati ng produkto ng masa ng isang punto at ang parisukat ng bilis nito.

Kinetic energy ng isang mekanikal na sistema - arithme-

tic sum ng kinetic energies ng lahat ng materyal na punto ng sistemang ito.

Ang puwersa ay isang sukatan ng mekanikal na pakikipag-ugnayan ng mga katawan, na nagpapakilala sa intensity at direksyon nito.

1.2. Mga paksa at nilalaman ng lecture

Seksyon 1. Panimula sa dinamika. Pangunahing Konsepto

klasikal na mekanika

Paksa 1. Dynamics ng isang materyal na punto

Mga batas ng dinamika ng isang materyal na punto (mga batas ni Galileo - Newton). Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto. Dalawang pangunahing problema ng dinamika para sa isang materyal na punto. Solusyon ng pangalawang problema ng dinamika; mga pare-pareho ng pagsasama at ang kanilang pagpapasiya sa pamamagitan ng mga paunang kondisyon.

Panitikan:, pp. 180-196, , pp. 12-26.

Paksa 2. Dynamics ng relatibong paggalaw ng materyal

Kamag-anak na paggalaw ng isang materyal na punto. Differential equation ng relatibong paggalaw ng isang punto; portable at Coriolis inertial forces. Ang prinsipyo ng relativity sa klasikal na mekanika. Isang kaso ng relatibong kapayapaan.

Panitikan: , pp. 180-196, , pp. 127-155.

Paksa 3. Geometry ng masa. Sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema

Masa ng sistema. Ang sentro ng masa ng system at ang mga coordinate nito.

Panitikan:, pp. 86-93, pp. 264-265

Paksa 4. Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan

Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan na may kaugnayan sa axis at poste. Radius ng pagkawalang-galaw. Theorem on moments of inertia about parallel axes. Axial moments ng inertia ng ilang katawan.

Centrifugal moments of inertia bilang isang katangian ng body asymmetry.

Panitikan: , pp. 265-271, , pp. 155-173.

Seksyon 2. Pangkalahatang theorems sa dinamika ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Paksa 5. Teorama sa paggalaw ng sentro ng masa ng sistema

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system. Corollaries mula sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system.

Panitikan: , pp. 274-277, , pp. 175-192.

Paksa 6. Momentum ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Elementary impulse at force impulse sa isang takdang panahon. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto at isang sistema sa mga differential at integral forms. Batas ng konserbasyon ng momentum.

Panitikan: , pp. 280-284, , pp. 192-207.

Paksa 7. Momentum ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema na may kaugnayan sa sentro at axis

Ang sandali ng momentum ng isang punto na nauugnay sa sentro at axis. Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang punto. Ang kinetic moment ng isang mekanikal na sistema na may kaugnayan sa sentro at axis.

Ang kinetic moment ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot. Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang sistema. Batas ng konserbasyon ng angular momentum.

Panitikan: , pp. 292-298, , pp. 207-258.

Paksa 8. Trabaho at kapangyarihan ng mga puwersa

Elementarya na gawain ng puwersa, ang analytical expression nito. Trabaho na ginawa ng puwersa sa isang huling landas. Trabaho ng grabidad, nababanat na puwersa. Ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panloob na puwersa na kumikilos sa isang solidong katawan ay katumbas ng zero. Ang gawain ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis. kapangyarihan. Kahusayan.

Panitikan: , pp. 208-213, , pp. 280-290.

Paksa 9. Kinetic energy ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Kinetic energy ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Pagkalkula ng kinetic energy ng isang matibay na katawan sa iba't ibang mga kaso ng paggalaw nito. Ang teorama ni Koenig. Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang punto sa differential at integral forms. Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mechanical system sa differential at integral forms.

Panitikan: , pp. 301-310, , pp. 290-344.

Paksa 10. Potensyal na larangan ng puwersa at potensyal

Ang konsepto ng isang force field. Potensyal na patlang ng puwersa at paggana ng puwersa. Ang gawain ng isang puwersa sa huling pag-aalis ng isang punto sa isang potensyal na patlang ng puwersa. Potensyal na enerhiya.

Panitikan: , pp. 317-320, , pp. 344-347.

Paksa 11. Rigid body dynamics

Differential equation ng translational motion ng isang matibay na katawan. Differential equation ng rotational motion ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis. Pisikal na pendulum. Differential equation ng paggalaw ng eroplano ng isang matibay na katawan.

Panitikan: , pp. 323-334, , pp. 157-173.

Seksyon 1. Panimula sa dinamika. Pangunahing Konsepto

klasikal na mekanika

Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral ng paggalaw ng mga materyal na katawan (puntos) sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

materyal na katawan- isang katawan na may masa.

Materyal na punto– isang materyal na katawan, ang pagkakaiba sa paggalaw ng mga punto na kung saan ay hindi gaanong mahalaga. Ito ay maaaring alinman sa isang katawan na ang mga dimensyon sa panahon ng paggalaw nito ay maaaring mapabayaan, o isang katawan ng may hangganan na mga sukat kung ito ay gumagalaw sa pagsasalin.

Ang mga punto ng materyal ay tinatawag ding mga particle kung saan ang solid kapag tinutukoy ang ilan sa mga dynamic na katangian nito. Mga halimbawa ng mga materyal na punto (Larawan 1): a – ang paggalaw ng Earth sa paligid ng Araw. Ang Earth ay isang materyal na punto b - pagsasalin ng isang matibay na katawan. Solid na katawan - ina

al point, dahil V B = V A ; a B = a A ; c – pag-ikot ng katawan sa paligid ng isang axis.

Ang isang butil ng isang katawan ay isang materyal na punto.

Ang pagkawalang-galaw ay ang pag-aari ng mga materyal na katawan upang baguhin ang bilis ng kanilang paggalaw nang mas mabilis o mas mabagal sa ilalim ng impluwensya ng inilapat na puwersa.

Ang masa ng isang katawan ay isang scalar positive quantity na nakasalalay sa dami ng substance na nakapaloob sa isang partikular na katawan at tinutukoy ang sukat nito ng inertia sa panahon ng translational motion. Sa klasikal na mekanika, ang masa ay isang pare-parehong dami.

Ang puwersa ay isang quantitative measure ng mekanikal na pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga katawan o sa pagitan ng isang katawan (punto) at isang field (electric, magnetic, atbp.).

Ang puwersa ay isang dami ng vector na nailalarawan sa magnitude, punto ng aplikasyon at direksyon (linya ng pagkilos) (Larawan 2: A - punto ng aplikasyon; AB - linya ng pagkilos ng puwersa).

kanin. 2

Sa dynamics, kasama ng mga pare-parehong pwersa, mayroon ding mga variable na pwersa, na maaaring depende sa oras t, bilisϑ, distancer, o sa kumbinasyon ng mga dami na ito, i.e.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ );

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

de-koryenteng tren; c − F = F (r) – ang puwersa ng pagtaboy mula sa sentro O o pagkahumaling dito.

Ang reference system ay isang coordinate system na nauugnay sa isang katawan kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng ibang katawan.

Ang isang inertial system ay isang sistema kung saan ang una at ikalawang mga batas ng dinamika ay nasiyahan. Ito ay isang fixed coordinate system o isang sistema na gumagalaw nang pantay at linear.

Ang paggalaw sa mekanika ay isang pagbabago sa posisyon ng isang katawan sa espasyo at oras na may kaugnayan sa ibang mga katawan.

Ang espasyo sa klasikal na mekanika ay tatlong-dimensional, na sumusunod sa Euclidean geometry.

Ang oras ay isang scalar na dami na pantay na dumadaloy sa anumang sistema ng sanggunian.

Ang sistema ng mga yunit ay isang koleksyon ng mga yunit ng pagsukat pisikal na dami. Upang sukatin ang lahat ng mekanikal na dami, tatlong pangunahing yunit ang sapat: mga yunit ng haba, oras, masa o puwersa.

Ang lahat ng iba pang mga yunit ng pagsukat ng mga mekanikal na dami ay nagmula sa mga ito. Dalawang uri ng mga sistema ng mga yunit ang ginagamit: ang internasyonal na sistema ng mga yunit ng SI (o mas maliit - GHS) at ang teknikal na sistema ng mga yunit - ICGSS.

Paksa 1. Dynamics ng isang materyal na punto

1.1. Mga batas ng dinamika ng isang materyal na punto (mga batas ng Galileo–Newton)

Unang batas (batas ng pagkawalang-galaw).

Ang isang materyal na punto na nakahiwalay sa mga panlabas na impluwensya ay nagpapanatili ng estado ng pahinga nito o gumagalaw nang pantay at patuwid hanggang sa puwersahin ito ng mga puwersang inilapat na baguhin ang estadong ito.

Ang paggalaw na ginawa ng isang punto sa kawalan ng pwersa o sa ilalim ng pagkilos ng balanseng sistema ng pwersa ay tinatawag na paggalaw sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw.

Halimbawa, ang paggalaw ng isang katawan sa isang makinis (friction force ay zero)

pahalang na ibabaw (Larawan 4: G – timbang ng katawan; N – normal na reaksyon ng eroplano).

Dahil G = − N, pagkatapos G + N = 0.

Kapag ϑ 0 ≠ 0 gumagalaw ang katawan sa parehong bilis; kapag ϑ 0 = 0 ang katawan ay nakapahinga (ϑ 0 ang paunang bilis).

Pangalawang batas (basic law of dynamics).

Ang produkto ng mass ng isang punto at ang acceleration na natatanggap nito sa ilalim ng impluwensya ng isang ibinigay na puwersa ay katumbas ng magnitude sa puwersang ito, at ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng acceleration.

a b

Sa matematika, ang batas na ito ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay ng vector

Kapag F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - ang punto ay gumagalaw nang pare-pareho at rectilinearly o sa ϑ 0 = 0 - ito ay nakapahinga (batas ng pagkawalang-galaw). Pangalawa

pinapayagan tayo ng batas na magtatag ng koneksyon sa pagitan ng mass m ng isang katawan na matatagpuan malapit sa ibabaw ng mundo at ang timbang nitoG .G = mg, kung saan -

acceleration ng gravity.

Ikatlong batas (batas ng pagkakapantay-pantay ng aksyon at reaksyon). Dalawang materyal na punto ang kumikilos sa isa't isa na may mga puwersa na katumbas ng magnitude at nakadirekta sa tuwid na linya na nagkokonekta

ang mga puntong ito sa magkasalungat na direksyon.

Dahil ang mga puwersa F 1 = − F 2 ay inilapat sa iba't ibang mga punto, ang sistema ng mga puwersa (F 1, F 2 ) ay hindi balanse, ibig sabihin, (F 1, F 2 )≈ 0 (Fig. 6).

ang masa ng mga nakikipag-ugnayan na mga punto ay inversely proportional sa kanilang mga acceleration.

Ang ikaapat na batas (ang batas ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa). Ang acceleration na natanggap ng isang punto kapag kumikilos dito sa parehong oras

ngunit ilang pwersa, katumbas ng geometric na kabuuan ng mga acceleration na iyon na matatanggap ng punto kung ang bawat puwersa ay ilalapat dito nang hiwalay.

Paliwanag (Larawan 7).

t a n

isang 1 isang kF n

Nagresultang puwersa R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Dahil ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = tao, kung gayon

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, ibig sabihin, ang ikaapat na batas ay katumbas

k = 1

ang panuntunan ng pagdaragdag ng mga puwersa.

1.2. Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto

Hayaang kumilos ang ilang pwersa nang sabay-sabay sa isang materyal na punto, kung saan mayroong parehong pare-pareho at variable.

Isulat natin ang pangalawang batas ng dinamika sa anyo

mga puntos, pagkatapos (1.2) ay naglalaman ng mga derivatives ng r at ito ay isang differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto sa vector form o ang pangunahing equation ng dynamics ng isang materyal na punto.

Mga projection ng pagkakapantay-pantay ng vector (1.2): - sa axis ng mga coordinate ng Cartesian (Fig. 8, a)

Sa natural na axis (Larawan 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Ang mga equation (1.3) at (1.4) ay mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto, ayon sa pagkakabanggit, sa Cartesian coordinate axes at natural axes, ibig sabihin, mga natural na differential equation na karaniwang ginagamit para sa curvilinear motion ng isang punto, kung ang trajectory ng ang punto at ang radius ng curvature nito ay kilala.

1.3. Dalawang pangunahing problema ng dinamika para sa isang materyal na punto at ang kanilang solusyon

Ang unang (direktang) gawain.

Alam ang batas ng paggalaw at ang masa ng punto, tukuyin ang puwersa na kumikilos sa punto.

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong malaman ang acceleration ng punto. Sa mga problema ng ganitong uri, maaari itong direktang tukuyin o ang batas ng paggalaw ng isang punto ay maaaring tukuyin, alinsunod sa kung saan maaari itong matukoy.

1. Kaya, kung ang paggalaw ng isang punto ay tinukoy sa mga coordinate ng Cartesian

x = f 1 (t), y = f 2 (t) at z = f 3 (t), pagkatapos ay tinutukoy ang acceleration projection

(MECHANICAL SYSTEMS) – IV na opsyon

1. Ang pangunahing equation ng dynamics ng isang materyal na punto, gaya ng nalalaman, ay ipinahayag ng equation. Ang mga pagkakaiba-iba ng mga equation ng paggalaw ng mga di-makatwirang punto ng isang di-libreng mekanikal na sistema ayon sa dalawang paraan ng paghahati ng mga puwersa ay maaaring isulat sa dalawang anyo:

(1) , kung saan k=1, 2, 3, … , n – ang bilang ng mga punto ng materyal na sistema.

(2)

saan ang masa ng kth point; - radius vector ng k-th point, - isang ibinigay na (aktibong) puwersa na kumikilos sa k-th point o ang resulta ng lahat ng aktibong pwersa na kumikilos sa k-th point. - resulta ng mga puwersa ng reaksyon ng bono na kumikilos sa kth point; - resulta ng mga panloob na pwersa na kumikilos sa kth point; - resulta ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa kth point.

Gamit ang mga equation (1) at (2), ang isa ay maaaring magsikap na lutasin ang una at pangalawang problema ng dinamika. Gayunpaman, ang paglutas ng pangalawang problema ng dynamics para sa isang sistema ay nagiging napakakomplikado, hindi lamang mula sa isang matematikal na punto ng view, ngunit din dahil tayo ay nahaharap sa mga pangunahing paghihirap. Binubuo ang mga ito sa katotohanan na pareho para sa system (1) at para sa system (2) ang bilang ng mga equation ay makabuluhan mas kaunting numero hindi kilala.

Kaya, kung gagamitin natin ang (1), kung gayon ang kilalang dinamika para sa pangalawang (kabaligtaran) na problema ay magiging at , at ang mga hindi kilalang ay magiging at . Ang mga equation ng vector ay magiging " n", at mga hindi kilalang - "2n".

Kung magpapatuloy tayo mula sa sistema ng mga equation (2), kung gayon ang ilan sa mga panlabas na puwersa ay kilala. Bakit part? Ang katotohanan ay ang bilang ng mga panlabas na puwersa ay kinabibilangan din ng mga panlabas na reaksyon ng mga koneksyon na hindi alam. Bilang karagdagan, .

Kaya, ang parehong sistema (1) at sistema (2) ay HINDI SARADO. Kinakailangang magdagdag ng mga equation, na isinasaalang-alang ang mga equation ng mga koneksyon, at marahil kinakailangan din na magpataw ng ilang mga paghihigpit sa mga koneksyon mismo. Ano ang gagawin?

Kung magsisimula tayo sa (1), maaari nating sundin ang landas ng pagbuo ng mga Lagrange equation ng unang uri. Ngunit ang landas na ito ay hindi makatwiran dahil mas madaling gawain(mas kaunting antas ng kalayaan), mas mahirap itong lutasin mula sa isang mathematical point of view.

Pagkatapos ay ibaling natin ang ating pansin sa system (2), kung saan - ay palaging hindi kilala. Ang unang hakbang sa paglutas ng isang sistema ay alisin ang mga hindi alam na ito. Dapat tandaan na, bilang panuntunan, hindi kami interesado sa mga panloob na pwersa kapag gumagalaw ang system, iyon ay, kapag gumagalaw ang system, hindi kinakailangang malaman kung paano gumagalaw ang bawat punto ng system, ngunit sapat na. upang malaman kung paano gumagalaw ang sistema sa kabuuan.

Kaya, kung sa iba't ibang paraan ibukod ang mga hindi kilalang pwersa mula sa system (2), pagkatapos ay makakakuha tayo ng ilang mga relasyon, ibig sabihin, ang ilan ay lilitaw pangkalahatang katangian para sa isang sistema, ang kaalaman na nagbibigay-daan sa amin na hatulan kung paano gumagalaw ang system sa pangkalahatan. Ang mga katangiang ito ay ipinakilala gamit ang tinatawag na pangkalahatang teorema mga nagsasalita. Mayroong apat na mga teorema:

1. Teorama tungkol sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema;

2. Teorama tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema;

3. Teorama tungkol sa pagbabago sa kinetic moment ng mechanical system;

4. Teorama tungkol sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema.

Ministri ng Edukasyon at Agham ng Russian Federation

Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education

"Kuban State Technological University"

Teoretikal na mekanika

Bahagi 2 dinamika

Inaprubahan ng Editoryal at Publishing Committee

konseho ng unibersidad bilang

tulong sa pagtuturo

Krasnodar

UDC 531.1/3 (075)

Teoretikal na mekanika. Bahagi 2. Dynamics: Textbook / L.I. Kuban. estado technol.un.t. Krasnodar, 2011. 123 p.

ISBN 5-230-06865-5

Ang teoretikal na materyal ay ipinakita sa isang maikling anyo, ang mga halimbawa ng paglutas ng problema ay ibinigay, karamihan sa mga ito ay sumasalamin sa mga tunay na teknikal na isyu, at ang pansin ay binabayaran sa pagpili ng isang makatwirang paraan ng solusyon.

Idinisenyo para sa mga bachelor ng pagsusulatan at pag-aaral ng distansya sa konstruksiyon, transportasyon at mechanical engineering.

mesa 1 Ill. 68 Bibliograpiya 20 pamagat

Scientific editor Kandidato ng Technical Sciences, Associate Professor. V.F.Melnikov

Mga Reviewer: Pinuno ng Departamento ng Theoretical Mechanics at Theory of Mechanisms and Machines, Kuban Agrarian University prof. F.M. Kanarev; Associate Professor, Department of Theoretical Mechanics, Kuban State Technological University M.E. Multykh

Nai-publish sa pamamagitan ng desisyon ng Editoryal at Publishing Council ng Kuban State Technological University.

Muling iisyu

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

Paunang Salita

Ang aklat-aralin na ito ay inilaan para sa mga part-time na estudyante ng construction, transport at mechanical engineering specialty, ngunit maaaring gamitin kapag pinag-aaralan ang seksyong "Dynamics" ng theoretical mechanics na kurso ng part-time na mga mag-aaral ng iba pang mga specialty, pati na rin ang mga full-time na estudyante. nagtatrabaho nang nakapag-iisa.

Ang manwal ay pinagsama-sama alinsunod sa kasalukuyang syllabus ng theoretical mechanics course at sumasaklaw sa lahat ng isyu ng pangunahing bahagi ng kurso. Ang bawat seksyon ay naglalaman ng maikling teoretikal na materyal, na sinamahan ng mga guhit at metodolohikal na rekomendasyon para sa paggamit nito sa paglutas ng mga problema. Ang manwal ay naglalaman ng mga solusyon sa 30 mga problema na nagpapakita ng mga tunay na teknikal na isyu at tumutugma sa mga pagsubok na gawain para sa malayang desisyon. Para sa bawat problema, ipinakita ang isang diagram ng pagkalkula na malinaw na naglalarawan ng solusyon. Ang pag-format ng solusyon ay nakakatugon sa mga kinakailangan para sa pag-format ng mga test paper para sa mga part-time na estudyante.

Ang may-akda ay nagpapahayag ng matinding pasasalamat sa mga guro ng Departamento ng Theoretical Mechanics at Theory of Mechanisms and Machines ng Kuban Agrarian University para sa kanilang mahusay na gawain sa pagrepaso sa aklat-aralin, gayundin sa mga guro ng Department of Theoretical Mechanics ng Kuban State Technological Unibersidad para sa mahahalagang komento at payo sa paghahanda ng aklat-aralin para sa publikasyon.

Lahat ng kritikal na komento at mungkahi ay tatanggapin nang may pasasalamat ng may-akda sa hinaharap.

Panimula

Ang dinamika ay ang pinakamahalagang seksyon ng teoretikal na mekanika. Karamihan sa mga partikular na problema na nakatagpo sa pagsasanay sa engineering ay nauugnay sa dinamika. Gamit ang mga konklusyon ng statics at kinematics, ang dinamika ay nagtatatag ng mga pangkalahatang batas ng paggalaw ng mga materyal na katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga inilapat na puwersa.

Ang pinakasimpleng materyal na bagay ay isang materyal na punto. Ang isang materyal na katawan ng anumang hugis ay maaaring kunin bilang isang materyal na punto, ang mga sukat nito ay maaaring mapabayaan sa problemang isinasaalang-alang. Ang isang katawan ng may hangganang sukat ay maaaring kunin bilang isang materyal na punto kung ang pagkakaiba sa paggalaw ng mga punto nito ay hindi makabuluhan para sa isang partikular na problema. Nangyayari ito kapag ang mga sukat ng katawan ay maliit kumpara sa mga distansya na sakop ng mga punto ng katawan. Ang bawat butil ng isang solidong katawan ay maaaring ituring na isang materyal na punto.

Ang mga puwersang inilapat sa isang punto o isang materyal na katawan ay dynamic na tinatasa sa pamamagitan ng kanilang dinamikong epekto, ibig sabihin, sa pamamagitan ng kung paano nila binabago ang mga katangian ng paggalaw ng mga materyal na bagay.

Ang paggalaw ng mga materyal na bagay sa paglipas ng panahon ay nangyayari sa espasyo na may kaugnayan sa isang tiyak na sistema ng sanggunian. Sa klasikal na mekanika, batay sa mga axiom ni Newton, ang espasyo ay itinuturing na tatlong-dimensional, ang mga katangian nito ay hindi nakasalalay sa mga materyal na bagay na gumagalaw dito. Ang posisyon ng isang punto sa naturang espasyo ay tinutukoy ng tatlong coordinate. Ang oras ay hindi nauugnay sa espasyo at sa paggalaw ng mga materyal na bagay. Ito ay itinuturing na pareho para sa lahat ng mga sistema ng sanggunian.

Ang mga batas ng dinamika ay naglalarawan sa paggalaw ng mga materyal na bagay na may kaugnayan sa ganap na coordinate axes, na karaniwang tinatanggap bilang nakatigil. Ang pinagmulan ng absolute coordinate system ay itinuturing na nasa gitna ng Araw, at ang mga axes ay nakadirekta sa malalayo, may kondisyon na nakatigil na mga bituin. Kapag nilulutas ang maraming mga teknikal na problema, ang mga coordinate axes na konektado sa Earth ay maaaring ituring na kondisyon na hindi natitinag.

Ang mga parameter ng mekanikal na paggalaw ng mga materyal na bagay sa dinamika ay itinatag ng mga derivasyon ng matematika mula sa mga pangunahing batas ng klasikal na mekanika.

Unang batas (batas ng pagkawalang-galaw):

Ang isang materyal na punto ay nagpapanatili ng isang estado ng pahinga o pare-pareho at linear na paggalaw hanggang sa ang pagkilos ng ilang mga pwersa ay alisin ito sa estado na ito.

Ang uniporme at linear na paggalaw ng isang punto ay tinatawag na motion by inertia. Ang pahinga ay isang espesyal na kaso ng paggalaw sa pamamagitan ng inertia, kapag ang bilis ng isang punto ay zero.

Ang bawat materyal na punto ay may inertia, iyon ay, nagsusumikap itong mapanatili ang isang estado ng pahinga o pare-parehong linear na paggalaw. Ang reference system na may kaugnayan sa kung saan ang batas ng inertia hold ay tinatawag na inertial, at ang paggalaw na naobserbahan kaugnay ng sistemang ito ay tinatawag na absolute. Ang anumang reference system na nagsasagawa ng translational rectilinear at unipormeng paggalaw na nauugnay sa isang inertial system ay magiging isang inertial system.

Pangalawang batas (pangunahing batas ng dinamika):

Ang acceleration ng isang materyal na punto na nauugnay sa inertial frame of reference ay proporsyonal sa puwersa na inilapat sa punto at tumutugma sa puwersa sa direksyon:
.

Mula sa batayang batas ng dinamika ay sinusunod iyon nang may puwersa
acceleration
. Ang masa ng isang punto ay nagpapakilala sa antas ng paglaban ng isang punto sa mga pagbabago sa bilis nito, iyon ay, ito ay isang sukatan ng inertia ng isang materyal na punto.

Ikatlong Batas (Batas ng Aksyon at Reaksyon):

Ang mga puwersa kung saan kumikilos ang dalawang katawan sa isa't isa ay pantay sa magnitude at nakadirekta sa isang tuwid na linya sa magkasalungat na direksyon.

Ang mga puwersa na tinatawag na aksyon at reaksyon ay inilalapat sa iba't ibang katawan at samakatuwid ay hindi bumubuo ng isang balanseng sistema.

Ikaapat na batas (batas ng kalayaan ng mga puwersa):

Sa sabay-sabay na pagkilos ng ilang pwersa, ang acceleration ng isang materyal na punto ay katumbas ng geometric na kabuuan ng mga acceleration na magkakaroon ng punto sa ilalim ng pagkilos ng bawat puwersa nang hiwalay:

, Saan
,
,…,
.

Medyo madalas posible na ihiwalay mahahalagang katangian paggalaw ng isang mekanikal na sistema nang hindi gumagamit ng integrasyon ng isang sistema ng mga differential equation ng paggalaw. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paglalapat ng mga pangkalahatang theorems ng dinamika.

5.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Panlabas at panloob na pwersa. Anumang puwersa na kumikilos sa isang punto sa isang mekanikal na sistema ay kinakailangang alinman sa isang aktibong puwersa o isang reaksyon ng pagkabit. Ang buong hanay ng mga puwersa na kumikilos sa mga punto ng sistema ay maaaring nahahati sa dalawang klase nang naiiba: panlabas na pwersa at panloob na pwersa (mga indeks e at i - mula sa mga salitang Latin na externus - panlabas at internus - panloob). Ang mga panlabas na puwersa ay ang mga kumikilos sa mga punto ng isang sistema mula sa mga punto at katawan na hindi bahagi ng sistemang isinasaalang-alang. Ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga punto at katawan ng system na isinasaalang-alang ay tinatawag na panloob.

Ang dibisyong ito ay nakasalalay sa kung aling mga materyal na punto at katawan ang kasama ng mananaliksik sa mekanikal na sistemang isinasaalang-alang. Kung palawakin mo ang komposisyon ng system sa pamamagitan ng pagsasama ng mga karagdagang puntos at katawan, kung gayon ang ilang puwersa na panlabas para sa nakaraang sistema ay maaaring maging panloob para sa pinalawak na sistema.

Mga katangian ng panloob na pwersa. Dahil ang mga puwersang ito ay mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng system, pumapasok sila sa kumpletong sistema ng mga panloob na pwersa sa "dalawa", na inayos alinsunod sa aksyon-reaksyon na aksiom. Ang bawat naturang "dalawa" ay may mga lakas

ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali tungkol sa isang arbitrary center ay katumbas ng zero. Dahil ang kumpletong sistema ng mga panloob na pwersa ay binubuo lamang ng "dalawa", kung gayon

1) ang pangunahing vector ng sistema ng mga panloob na pwersa ay zero,

2) ang pangunahing sandali ng sistema ng mga panloob na pwersa na nauugnay sa isang di-makatwirang punto ay katumbas ng zero.

Ang masa ng sistema ay tinatawag arithmetic sum masa tk ng lahat ng mga punto at katawan na bumubuo sa sistema:

Sentro ng misa(center of inertia) ng isang mekanikal na sistema ay isang geometric point C, ang radius vector at mga coordinate na kung saan ay tinutukoy ng mga formula

nasaan ang mga radius vector at mga coordinate ng mga puntos na bumubuo sa system.

Para sa isang matibay na katawan na matatagpuan sa isang pare-parehong patlang ng gravitational, ang mga posisyon ng sentro ng masa at ang sentro ng grabidad ay nag-tutugma sa ibang mga kaso, ang mga ito ay magkakaibang mga geometric na punto;

Kasama ng inertial reference system, ang isang non-inertial reference system na gumagalaw sa pagsasalin ay madalas na isinasaalang-alang nang sabay-sabay. Ang mga coordinate axes nito (König axes) ay pinili upang ang pinagmulan C ay patuloy na tumutugma sa sentro ng masa ng mekanikal na sistema. Alinsunod sa kahulugan, ang sentro ng masa ay nakatigil sa Koenig axes at matatagpuan sa pinagmulan ng mga coordinate.

Sandali ng pagkawalang-kilos ng system kamag-anak sa isang axis ay isang scalar na dami na katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng masa mk ng lahat ng mga punto ng system sa pamamagitan ng mga parisukat ng kanilang mga distansya sa axis:

Kung mekanikal na sistema ay isang solidong katawan, upang mahanap ang 12 maaari mong gamitin ang formula

kung saan ang density, ang dami na inookupahan ng katawan.