MINISTRY NG AGRIKULTURA AT PAGKAIN NG REPUBLIKA NG BELARUS

Institusyong pang-edukasyon "BELARUSIAN STATE AGRICULTURAL

TECHNICAL UNIVERSITY"

Kagawaran teoretikal na mekanika at mga teorya ng mga mekanismo at makina

THEORETICAL MECHANICS

methodological complex para sa mga mag-aaral ng mga specialty

74 06 Agroengineering

Sa 2 bahagi Part 1

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Binuo ni:

Kandidato ng Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor Yu. S. Biza, kandidato teknikal na agham, associate professor N. L. Rakova, senior lecturer. A. Tarasevich

Mga Reviewer:

Kagawaran ng Theoretical Mechanics ng Educational Institution "Belarusian National Technical University" (Head

Department of Theoretical Mechanics BNTU Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Propesor A. V. Chigarev);

Nangungunang Researcher ng Laboratory of Vibration Protection of Mechanical Systems ng State Scientific Institution United Institute of Mechanical Engineering

NAS ng Belarus", kandidato ng mga teknikal na agham, associate professor A. M. Goman

Teoretikal na mekanika. Seksyon "Dynamics": pang-edukasyon

Paraan ng T33. kumplikado. Sa 2 bahagi. Bahagi 1 / pinagsama ni: Yu. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8.

Ang kumplikadong pang-edukasyon at pamamaraan ay nagtatanghal ng mga materyales para sa pag-aaral ng seksyong "Dynamics", bahagi 1, na bahagi ng disiplina ng "Theoretical Mechanics". May kasamang kurso ng mga lektura, mga pangunahing materyales para sa pagganap mga praktikal na klase, mga takdang-aralin at mga halimbawa ng mga takdang-aralin para sa independiyenteng trabaho at kontrol mga aktibidad na pang-edukasyon full-time at part-time na mga mag-aaral.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

PANIMULA

Ang teoretikal na mekanika ay ang agham ng mga pangkalahatang batas ng mekanikal na paggalaw, ekwilibriyo at pakikipag-ugnayan ng mga materyal na katawan.

Ito ay isa sa mga pangunahing pangkalahatang siyentipikong physico-mathematical na disiplina. Ito ang teoretikal na batayan ng modernong teknolohiya.

Ang pag-aaral ng theoretical mechanics, kasama ng iba pang mga pisikal at matematikal na disiplina, ay nakakatulong na palawakin ang siyentipikong abot-tanaw, bubuo ng kakayahan para sa kongkreto at abstract na pag-iisip, at tumutulong na mapabuti ang pangkalahatang teknikal na kultura ng hinaharap na espesyalista.

Ang teoretikal na mekanika, bilang ang siyentipikong batayan ng lahat ng mga teknikal na disiplina, ay nag-aambag sa pag-unlad ng mga kasanayan makatwirang desisyon mga gawaing pang-inhinyero na may kaugnayan sa pagpapatakbo, pagkukumpuni at disenyo ng mga makina at kagamitan sa pag-agrikultura at pagbawi ng lupa.

Batay sa likas na katangian ng mga problemang isinasaalang-alang, ang mekanika ay nahahati sa statics, kinematics at dynamics. Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

SA pang-edukasyon at pamamaraan complex (UMK) ay nagtatanghal ng mga materyales para sa pag-aaral ng seksyong "Dynamics", na kinabibilangan ng kurso ng mga lektura, mga pangunahing materyales para sa pagsasagawa praktikal na gawain, mga gawain at mga halimbawa ng pagpapatupad para sa malayang gawain at pagsubaybay sa mga aktibidad na pang-edukasyon ng mga full-time at part-time na mga mag-aaral.

SA Bilang resulta ng pag-aaral sa seksyong "Dynamics", dapat matuto ang mag-aaral mga teoretikal na pundasyon dinamika at makabisado ang mga pangunahing pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa dinamika:

Alamin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa dinamika, pangkalahatang teorema dinamika, mga prinsipyo ng mekanika;

Matukoy ang mga batas ng paggalaw ng katawan depende sa mga puwersang kumikilos dito; ilapat ang mga batas at teorema ng mekanika upang malutas ang mga problema; matukoy ang mga static at dynamic na reaksyon ng mga koneksyon na naglilimita sa paggalaw ng mga katawan.

Ang kurikulum ng disiplina na "Theoretical Mechanics" ay nagbibigay ng kabuuang bilang ng mga oras sa silid-aralan - 136, kabilang ang 36 na oras para sa pag-aaral sa seksyong "Dynamics".

1. SCIENTIFIC AND THEORETICAL CONTENT NG EDUCATIONAL AND METHODOLOGICAL COMPLEX

1.1. Talasalitaan

Ang statics ay isang seksyon ng mechanics na nagtatakda ng pangkalahatang doktrina ng pagbabawas ng mga puwersa at pag-aaral kumplikadong mga sistema pwersa sa pinakasimpleng anyo at mga kondisyon ng ekwilibriyo ay itinatag iba't ibang sistema lakas

Ang Kinematics ay isang sangay ng theoretical mechanics na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na bagay anuman ang mga dahilan na nagdudulot ng paggalaw na ito, ibig sabihin, anuman ang mga puwersang kumikilos sa mga bagay na ito.

Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan (puntos) sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

Materyal na punto– isang materyal na katawan, ang pagkakaiba sa paggalaw ng mga punto na kung saan ay hindi gaanong mahalaga.

Ang masa ng isang katawan ay isang scalar positive quantity na nakasalalay sa dami ng substance na nakapaloob sa isang partikular na katawan at tinutukoy ang sukat nito ng inertia sa panahon ng translational motion.

Ang reference system ay isang coordinate system na nauugnay sa isang katawan kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng ibang katawan.

Inertial system– isang sistema kung saan natutugunan ang una at ikalawang batas ng dinamika.

Ang force impulse ay isang vector measure ng pagkilos ng puwersa sa loob ng ilang panahon.

Momentum ng isang materyal na punto – isang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng produkto ng mass ng punto at ang vector ng bilis nito.

Kinetic energy– scalar na sukat ng mekanikal na paggalaw.

Pangunahing gawain ng puwersa ay isang infinitesimal na scalar quantity na katumbas ng scalar product ng force vector at ang vector ng infinites small displacement ng point of application ng force.

Kinetic energy– scalar na sukat ng mekanikal na paggalaw.

Ang kinetic energy ng isang materyal na punto ay isang scalar energy

isang positibong dami na katumbas ng kalahati ng produkto ng masa ng isang punto at ang parisukat ng bilis nito.

Kinetic energy ng isang mekanikal na sistema - arithme-

tic sum ng kinetic energies ng lahat ng materyal na punto ng sistemang ito.

Ang puwersa ay isang sukatan ng mekanikal na pakikipag-ugnayan ng mga katawan, na nagpapakilala sa intensity at direksyon nito.

1.2. Mga paksa at nilalaman ng lecture

Seksyon 1. Panimula sa dinamika. Pangunahing Konsepto

klasikal na mekanika

Paksa 1. Dynamics ng isang materyal na punto

Mga batas ng dinamika ng isang materyal na punto (mga batas ni Galileo - Newton). Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto. Dalawang pangunahing problema ng dinamika para sa isang materyal na punto. Solusyon ng pangalawang problema ng dinamika; mga pare-pareho ng pagsasama at ang kanilang pagpapasiya sa pamamagitan ng mga paunang kondisyon.

Panitikan:, pp. 180-196, , pp. 12-26.

Paksa 2. Dynamics ng relatibong paggalaw ng materyal

Kamag-anak na paggalaw ng isang materyal na punto. Differential equation ng relatibong paggalaw ng isang punto; portable at Coriolis inertia forces. Ang prinsipyo ng relativity sa klasikal na mekanika. Isang kaso ng relatibong kapayapaan.

Panitikan: , pp. 180-196, , pp. 127-155.

Paksa 3. Geometry ng masa. Sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema

Masa ng sistema. Ang sentro ng masa ng system at ang mga coordinate nito.

Panitikan:, pp. 86-93, pp. 264-265

Paksa 4. Mga sandali ng pagkawalang-kilos ng isang matibay na katawan

Mga sandali ng pagkawalang-kilos ng isang matibay na katawan na may kaugnayan sa axis at poste. Radius ng pagkawalang-galaw. Theorem on moments of inertia about parallel axes. Axial moments ng inertia ng ilang katawan.

Centrifugal moments of inertia bilang isang katangian ng body asymmetry.

Panitikan: , pp. 265-271, , pp. 155-173.

Seksyon 2. Pangkalahatang theorems sa dinamika ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Paksa 5. Teorama sa paggalaw ng sentro ng masa ng sistema

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system. Corollaries mula sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system.

Panitikan: , pp. 274-277, , pp. 175-192.

Paksa 6. Momentum ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Elementary impulse at force impulse sa isang takdang panahon. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang punto at isang sistema sa mga differential at integral forms. Batas ng konserbasyon ng momentum.

Panitikan: , pp. 280-284, , pp. 192-207.

Paksa 7. Momentum ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema na may kaugnayan sa sentro at axis

Ang sandali ng momentum ng isang punto na may kaugnayan sa sentro at axis. Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang punto. Ang kinetic moment ng isang mekanikal na sistema na may kaugnayan sa sentro at axis.

Ang kinetic moment ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot. Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang sistema. Batas ng konserbasyon ng angular momentum.

Panitikan: , pp. 292-298, , pp. 207-258.

Paksa 8. Trabaho at kapangyarihan ng mga puwersa

Elementarya na gawain ng puwersa, ang analytical expression nito. Trabaho na ginawa ng puwersa sa isang huling landas. Trabaho ng grabidad, nababanat na puwersa. Ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panloob na puwersa na kumikilos sa isang solidong katawan ay katumbas ng zero. Ang gawain ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis. kapangyarihan. Kahusayan.

Panitikan: , pp. 208-213, , pp. 280-290.

Paksa 9. Kinetic energy ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Kinetic energy ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Pagkalkula ng kinetic energy ng isang matibay na katawan sa iba't ibang mga kaso ng paggalaw nito. Ang teorama ni Koenig. Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang punto sa differential at integral forms. Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema sa differential at integral forms.

Panitikan: , pp. 301-310, , pp. 290-344.

Paksa 10. Potensyal na larangan ng puwersa at potensyal

Ang konsepto ng isang force field. Potensyal na patlang ng puwersa at paggana ng puwersa. Ang gawain ng isang puwersa sa huling pag-aalis ng isang punto sa isang potensyal na patlang ng puwersa. Potensyal na enerhiya.

Panitikan: , pp. 317-320, , pp. 344-347.

Paksa 11. Rigid body dynamics

Differential equation ng translational motion ng isang matibay na katawan. Differential equation ng rotational motion ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis. Pisikal na pendulum. Differential equation ng paggalaw ng eroplano ng isang matibay na katawan.

Panitikan: , pp. 323-334, , pp. 157-173.

Seksyon 1. Panimula sa dinamika. Pangunahing Konsepto

klasikal na mekanika

Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral ng paggalaw ng mga materyal na katawan (puntos) sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

materyal na katawan- isang katawan na may masa.

Materyal na punto– isang materyal na katawan, ang pagkakaiba sa paggalaw ng mga punto na kung saan ay hindi gaanong mahalaga. Ito ay maaaring alinman sa isang katawan na ang mga dimensyon sa panahon ng paggalaw nito ay maaaring mapabayaan, o isang katawan ng may hangganan na mga sukat kung ito ay gumagalaw sa pagsasalin.

Ang mga materyal na punto ay tinatawag ding mga particle kung saan ang isang solidong katawan ay nasira sa isip kapag tinutukoy ang ilan sa mga dinamikong katangian nito. Mga halimbawa ng materyal na punto (Larawan 1): a – ang paggalaw ng Earth sa paligid ng Araw. Ang Earth ay isang materyal na punto b - pagsasalin ng isang matibay na katawan. Solid na katawan - ina

al point, dahil V B = V A ; a B = a A ; c – pag-ikot ng katawan sa paligid ng isang axis.

Ang isang butil ng isang katawan ay isang materyal na punto.

Ang pagkawalang-galaw ay ang pag-aari ng mga materyal na katawan upang baguhin ang bilis ng kanilang paggalaw nang mas mabilis o mas mabagal sa ilalim ng impluwensya ng inilapat na puwersa.

Ang masa ng isang katawan ay isang scalar positive quantity na nakasalalay sa dami ng substance na nakapaloob sa isang partikular na katawan at tinutukoy ang sukat nito ng inertia sa panahon ng translational motion. Sa klasikal na mekanika, ang masa ay isang pare-parehong dami.

Ang puwersa ay isang quantitative measure ng mekanikal na pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga katawan o sa pagitan ng isang katawan (punto) at isang field (electric, magnetic, atbp.).

Ang puwersa ay isang dami ng vector na nailalarawan sa magnitude, punto ng aplikasyon at direksyon (linya ng pagkilos) (Larawan 2: A - punto ng aplikasyon; AB - linya ng pagkilos ng puwersa).

kanin. 2

Sa dynamics, kasama ng mga pare-parehong pwersa, mayroon ding mga variable na pwersa, na maaaring depende sa oras t, bilisϑ, distancer, o sa kumbinasyon ng mga dami na ito, i.e.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ );

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

de-koryenteng tren; c − F = F (r) – ang puwersa ng pagtaboy mula sa sentro O o pagkahumaling dito.

Ang reference system ay isang coordinate system na nauugnay sa isang katawan kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng ibang katawan.

Ang isang inertial system ay isang sistema kung saan ang una at ikalawang mga batas ng dinamika ay nasiyahan. Ito ay isang fixed coordinate system o isang sistema na gumagalaw nang pantay at linear.

Ang paggalaw sa mekanika ay isang pagbabago sa posisyon ng isang katawan sa espasyo at oras na may kaugnayan sa ibang mga katawan.

Ang espasyo sa klasikal na mekanika ay tatlong-dimensional, na sumusunod sa Euclidean geometry.

Ang oras ay isang scalar na dami na pantay na dumadaloy sa anumang reference system.

Ang sistema ng mga yunit ay isang hanay ng mga yunit ng pagsukat ng mga pisikal na dami. Upang sukatin ang lahat ng mekanikal na dami, tatlong pangunahing yunit ang sapat: mga yunit ng haba, oras, masa o puwersa.

Ang lahat ng iba pang mga yunit ng pagsukat ng mga mekanikal na dami ay nagmula sa mga ito. Dalawang uri ng mga sistema ng mga yunit ang ginagamit: ang internasyonal na sistema ng mga yunit ng SI (o mas maliit - GHS) at ang teknikal na sistema ng mga yunit - ICGSS.

Paksa 1. Dynamics ng isang materyal na punto

1.1. Mga batas ng dinamika ng isang materyal na punto (mga batas ng Galileo–Newton)

Unang batas (batas ng pagkawalang-galaw).

Ang isang materyal na punto na nakahiwalay sa mga panlabas na impluwensya ay nagpapanatili ng estado ng pahinga nito o gumagalaw nang pantay at patuwid hanggang sa puwersahin ito ng mga puwersang inilapat na baguhin ang estadong ito.

Ang paggalaw na ginawa ng isang punto sa kawalan ng pwersa o sa ilalim ng pagkilos ng balanseng sistema ng pwersa ay tinatawag na paggalaw sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw.

Halimbawa, ang paggalaw ng isang katawan sa isang makinis (friction force ay zero)

pahalang na ibabaw (Larawan 4: G – timbang ng katawan; N – normal na reaksyon ng eroplano).

Dahil G = − N, pagkatapos G + N = 0.

Kapag ϑ 0 ≠ 0 gumagalaw ang katawan sa parehong bilis; kapag ϑ 0 = 0 ang katawan ay nakapahinga (ϑ 0 ang paunang bilis).

Pangalawang batas (basic law of dynamics).

Ang produkto ng masa ng isang punto at ang acceleration na natatanggap nito sa ilalim ng impluwensya ng isang naibigay na puwersa ay katumbas ng magnitude sa puwersang ito, at ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng acceleration.

a b

Sa matematika, ang batas na ito ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay ng vector

Kapag F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - ang punto ay gumagalaw nang pare-pareho at rectilinearly o sa ϑ 0 = 0 - ito ay nakapahinga (batas ng pagkawalang-galaw). Pangalawa

pinapayagan tayo ng batas na magtatag ng koneksyon sa pagitan ng mass m ng isang katawan na matatagpuan malapit sa ibabaw ng mundo at ang timbang nitoG .G = mg, kung saan ang

acceleration ng gravity.

Ikatlong batas (batas ng pagkakapantay-pantay ng aksyon at reaksyon). Dalawang materyal na punto ang kumikilos sa isa't isa na may mga puwersa na katumbas ng magnitude at nakadirekta sa tuwid na linya na nagkokonekta

ang mga puntong ito sa magkasalungat na direksyon.

Dahil ang mga puwersa F 1 = − F 2 ay inilapat sa iba't ibang mga punto, ang sistema ng mga puwersa (F 1, F 2 ) ay hindi balanse, ibig sabihin, (F 1, F 2 )≈ 0 (Fig. 6).

ang masa ng mga nakikipag-ugnayan na mga punto ay inversely proportional sa kanilang mga acceleration.

Ang ikaapat na batas (ang batas ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa). Ang acceleration na natanggap ng isang punto kapag kumikilos dito sa parehong oras

ngunit ilang pwersa, katumbas ng geometric na kabuuan ng mga acceleration na iyon na matatanggap ng punto kung ang bawat puwersa ay ilalapat dito nang hiwalay.

Paliwanag (Larawan 7).

t a n

isang 1 isang kF n

Nagresultang puwersa R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Dahil ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = tao, kung gayon

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, ibig sabihin, ang ikaapat na batas ay katumbas

k = 1

ang tuntunin ng pagdaragdag ng mga puwersa.

1.2. Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto

Hayaang kumilos ang ilang pwersa nang sabay-sabay sa isang materyal na punto, kung saan mayroong parehong pare-pareho at variable.

Isulat natin ang pangalawang batas ng dinamika sa anyo

mga puntos, pagkatapos (1.2) ay naglalaman ng mga derivatives ng r at ito ay isang differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto sa vector form o ang pangunahing equation ng dynamics ng isang materyal na punto.

Mga projection ng pagkakapantay-pantay ng vector (1.2): - sa axis ng mga coordinate ng Cartesian (Fig. 8, a)

Sa natural na axis (Larawan 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Ang mga equation (1.3) at (1.4) ay mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto, ayon sa pagkakabanggit, sa Cartesian coordinate axes at natural axes, ibig sabihin, mga natural na differential equation na karaniwang ginagamit para sa curvilinear motion ng isang punto, kung ang trajectory ng ang punto at ang radius ng curvature nito ay kilala.

1.3. Dalawang pangunahing problema ng dinamika para sa isang materyal na punto at ang kanilang solusyon

Ang unang (direktang) gawain.

Alam ang batas ng paggalaw at ang masa ng punto, alamin ang puwersa na kumikilos sa punto.

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong malaman ang acceleration ng punto. Sa mga problema ng ganitong uri, maaari itong direktang tukuyin o ang batas ng paggalaw ng isang punto ay maaaring tukuyin, alinsunod sa kung saan maaari itong matukoy.

1. Kaya, kung ang paggalaw ng isang punto ay tinukoy sa mga coordinate ng Cartesian

x = f 1 (t), y = f 2 (t) at z = f 3 (t), pagkatapos ay tinutukoy ang acceleration projection

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa. Differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema. Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema. Batas ng konserbasyon ng paggalaw ng sentro ng masa.

Theorem sa pagbabago ng momentum. Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto. Elementarya na salpok ng puwersa. Puwersahin ang salpok para sa isang may hangganang tagal ng panahon at ang projection nito sa mga coordinate axes. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa mga differential at finite forms.

Ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema; pagpapahayag nito sa pamamagitan ng masa ng sistema at ang bilis ng sentro ng masa nito. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa mga anyo ng kaugalian at may hangganan. Batas ng konserbasyon ng momentum ng mekanikal

(Ang konsepto ng isang katawan at isang punto ng variable na masa. Meshchersky's equation. Tsiolkovsky's formula.)

Theorem sa pagbabago sa angular momentum. Ang sandali ng momentum ng isang materyal na punto na nauugnay sa gitna at nauugnay sa axis. Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang materyal na punto. sentral na kapangyarihan. Pag-iingat ng angular na momentum ng isang materyal na punto sa kaso ng isang sentral na puwersa. (Ang konsepto ng bilis ng sektor. Ang batas ng mga lugar.)

Ang pangunahing sandali ng momentum o kinetic moment ng isang mekanikal na sistema na may kaugnayan sa gitna at nauugnay sa axis. Ang kinetic moment ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot. Theorem sa pagbabago sa kinetic moment ng isang mekanikal na sistema. Batas ng konserbasyon ng angular momentum ng isang mekanikal na sistema. (Ang theorem sa pagbabago sa kinetic moment ng isang mekanikal na sistema sa relatibong galaw kaugnay sa sentro ng masa.)

Theorem sa pagbabago sa kinetic energy. Kinetic energy ng isang materyal na punto. Pangunahing gawain ng puwersa; analitikal na pagpapahayag ng gawaing elementarya. Ang gawaing ginawa ng isang puwersa sa panghuling paglilipat ng punto ng aplikasyon nito. Ang gawain ng gravity, elastic force at gravitational force. Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto sa differential at finite forms.

Kinetic energy ng isang mekanikal na sistema. Mga formula para sa pagkalkula ng kinetic energy ng isang matibay na katawan sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin, sa panahon ng pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis at sa pangkalahatang kaso paggalaw (sa partikular, na may plane-parallel na paggalaw). Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema sa kaugalian at may hangganan na mga anyo. Ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panloob na pwersa sa isang solidong katawan ay katumbas ng zero. Trabaho at kapangyarihan ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis.

Ang konsepto ng isang force field. Potensyal na patlang ng puwersa at paggana ng puwersa. Pagpapahayag ng mga projection ng puwersa sa pamamagitan ng function ng puwersa. Mga ibabaw ng pantay na potensyal. Ang gawain ng isang puwersa sa huling pag-aalis ng isang punto sa isang potensyal na patlang ng puwersa. Potensyal na enerhiya. Mga halimbawa potensyal na pwersa mga bagong field: pare-parehong gravity field at gravitational field. Batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya.

Matibay na dinamika ng katawan. Differential equation ng translational motion ng isang matibay na katawan. Differential equation para sa pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis. Pisikal na pendulum. Differential equation ng paggalaw ng eroplano ng isang matibay na katawan.

Prinsipyo ni D'Alembert. Prinsipyo ni D'Alembert para sa isang materyal na punto; inertial na puwersa. Prinsipyo ni D'Alembert para sa isang mekanikal na sistema. Dinadala ang mga puwersa ng pagkawalang-kilos ng mga punto ng isang matibay na katawan sa gitna; pangunahing vector at pangunahing punto mga puwersa ng pagkawalang-galaw.

(Pagpapasiya ng mga dynamic na reaksyon ng mga bearings sa panahon ng pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis. Ang kaso kapag ang axis ng pag-ikot ay ang pangunahing gitnang axis ng inertia ng katawan.)

Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw at ang pangkalahatang equation ng dynamics. Mga koneksyon na ipinataw sa isang mekanikal na sistema. Mga posibleng (o virtual) na paggalaw ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng system. Mga perpektong koneksyon. Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Pangkalahatang equation ng dynamics.

Mga equation ng paggalaw ng isang sistema sa mga pangkalahatang coordinate (Lagrange equation). Pangkalahatang mga coordinate ng system; pangkalahatang bilis. Pagpapahayag ng elementarya na gawain sa pangkalahatan na mga coordinate. Pangkalahatang pwersa at ang kanilang pagkalkula; ang kaso ng mga pwersang may potensyal. Mga kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang sistema sa mga pangkalahatang coordinate. Differential equation ng motion ng isang system sa generalized coordinates o Lagrange equation ng 2nd kind. Lagrange equation sa kaso ng mga potensyal na pwersa; Lagrange function (kinetic potential).

Ang konsepto ng equilibrium stability. Maliit na libreng vibrations ng isang mekanikal na sistema na may isang antas ng kalayaan malapit sa posisyon ng matatag na equilibrium ng system at ang kanilang mga katangian.

Mga elemento ng teorya ng epekto. Kababalaghan ng epekto. Puwersa ng epekto at salpok ng epekto. Ang pagkilos ng puwersa ng epekto sa isang materyal na punto. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa epekto. Direktang sentral na epekto ng katawan sa isang nakatigil na ibabaw; nababanat at hindi nababanat na mga epekto. Ang koepisyent ng pagbawi ng epekto at ang pang-eksperimentong pagpapasiya nito. Direktang sentral na epekto ng dalawang katawan. Teorama ni Carnot.

MGA SANGGUNIAN

Basic

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Kurso ng teoretikal na mekanika. T. 1, 2. M., 1985 at mga nakaraang edisyon.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurso ng teoretikal na mekanika. M., 1983.

Starzhinsky V. M. Teoretikal na mekanika. M., 1980.

Targ S. M.Maikling kurso teoretikal na mekanika. M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 1. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Yablonsky A. A. Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Meshchersky I.V. Koleksyon ng mga problema sa teoretikal na mekanika. M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa theoretical mechanics/Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Dagdag

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Theoretical mechanics sa mga halimbawa at problema. Bahagi 1, 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa theoretical mechanics/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L. at iba pa M., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F. Karaniwang computer-based na mga kalkulasyon sa theoretical mechanics. M., 1986,

Koleksyon ng mga gawain para sa coursework sa theoretical mechanics / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 at mga nakaraang edisyon (naglalaman ng mga halimbawa ng paglutas ng problema).

Lektura 3. Pangkalahatang theorems ng dynamics

Dynamics ng isang sistema ng mga materyal na puntos ay isang mahalagang sangay ng theoretical mechanics. Dito pangunahing isinasaalang-alang namin ang mga problema tungkol sa paggalaw ng mga mekanikal na sistema (mga sistema ng mga materyal na punto) na may isang tiyak na bilang ng mga antas ng kalayaan - ang maximum na bilang ng mga independiyenteng mga parameter na tumutukoy sa posisyon ng system. Ang pangunahing gawain ng system dynamics ay ang pag-aaral ng mga batas ng paggalaw ng isang matibay na katawan at mga mekanikal na sistema.

Ang pinakasimpleng diskarte sa pag-aaral ng galaw ng isang sistema, na binubuo ng N materyal na mga punto, bumababa sa pagsasaalang-alang sa mga paggalaw ng bawat indibidwal na punto ng system. Sa kasong ito, ang lahat ng pwersang kumikilos sa bawat punto ng system, kabilang ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga punto, ay dapat matukoy.

Ang pagtukoy sa acceleration ng bawat punto alinsunod sa pangalawang batas ni Newton (1.2), nakukuha namin para sa bawat punto ang tatlong scalar differential na batas ng paggalaw ng pangalawang order, i.e. 3 N differential laws of motion para sa buong sistema.

Upang mahanap ang mga equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema batay sa mga ibinigay na pwersa at mga paunang kondisyon para sa bawat punto ng sistema, ang mga resultang kaugalian ng mga batas ay dapat na isama. Ang problemang ito ay mahirap kahit na sa kaso ng dalawang materyal na punto na gumagalaw lamang sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersa ng pakikipag-ugnayan ayon sa batas ng unibersal na pagkahumaling (problema sa dalawang katawan), at lubhang mahirap sa kaso ng tatlong magkakaugnay na punto (problema sa tatlong katawan. ).

Samakatuwid, kinakailangan upang makahanap ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema na hahantong sa nalulusaw na mga equation at magbigay ng ideya ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema. Pangkalahatang theorems ng dynamics, bilang isang resulta ng mga kaugalian ng mga batas ng paggalaw, ay nagbibigay-daan sa amin upang maiwasan ang pagiging kumplikado na lumitaw sa panahon ng pagsasama at makuha ang mga kinakailangang resulta.

3. 1. Pangkalahatang tala

Bibilangin natin ang mga punto ng mekanikal na sistema na may mga indeks i, j, k atbp., na tumatakbo sa lahat ng mga halaga 1, 2, 3… N, Saan N – bilang ng mga punto ng system. Mga pisikal na dami may kaugnayan sa k th point ay itinalaga ng parehong index bilang ang punto. Halimbawa, ipahayag ang radius vector at bilis, ayon sa pagkakabanggit k ika punto.

Ang bawat punto ng system ay naaaksyunan ng mga puwersa ng dalawang pinagmulan: una, mga puwersa na ang mga pinagmumulan ay nasa labas ng sistema, na tinatawag na panlabas pwersa at itinalaga; pangalawa, pwersa mula sa iba pang mga punto ng isang ibinigay na sistema, na tinatawag na panloob pwersa at itinalagang . Ang mga panloob na puwersa ay nasiyahan sa ikatlong batas ni Newton. Isaalang-alang natin ang pinakasimpleng katangian ng mga panloob na pwersa na kumikilos sa buong sistema ng makina sa anumang estado.

Unang ari-arian. Ang geometric na kabuuan ng lahat ng panloob na puwersa ng system (ang pangunahing vector ng mga panloob na puwersa) ay katumbas ng zero.

Sa katunayan, kung isasaalang-alang natin ang anumang dalawang di-makatwirang punto ng system, halimbawa at (Larawan 3.1), saka para sa kanila , dahil Ang mga puwersa ng aksyon at reaksyon ay palaging pantay-pantay sa magnitude, kumikilos kasama ang isang linya ng aksyon sa kabaligtaran na direksyon, na nag-uugnay sa mga nakikipag-ugnayan na mga punto. Ang pangunahing vector ng mga panloob na pwersa ay binubuo ng mga pares ng mga puwersa ng mga nakikipag-ugnay na mga punto, samakatuwid

(3.1)

Pangalawang ari-arian. Ang geometric na kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panloob na pwersa na nauugnay sa isang arbitrary na punto sa espasyo ay katumbas ng zero.

Isaalang-alang natin ang isang sistema ng mga sandali ng puwersa at may kaugnayan sa punto TUNGKOL SA(Larawan 3.1). Mula sa (Larawan 3.1). malinaw na yan

,

kasi ang parehong pwersa ay may parehong mga braso at magkasalungat na direksyon ng vector moments. Pangunahing sandali ng mga panloob na puwersa na nauugnay sa isang punto TUNGKOL SA ay binubuo ng vector sum ng naturang mga expression at katumbas ng zero. Kaya naman,

Hayaan ang mga panlabas at panloob na pwersa na kumikilos sa isang mekanikal na sistema na binubuo ng N puntos (Larawan 3.2). Kung ang resulta ng mga panlabas na pwersa at ang resulta ng lahat ng panloob na pwersa ay inilapat sa bawat punto ng system, kung gayon para sa anumang k ika punto ng system, ang mga differential equation ng paggalaw ay maaaring iguhit. Magkakaroon ng kabuuan ng mga naturang equation N:

at sa mga projection papunta sa nakapirming coordinate axes 3 N:

(3.4)

Ang mga vector equation (3.3) o katumbas na scalar equation (3.4) ay kumakatawan sa mga kaugalian ng batas ng paggalaw ng mga materyal na punto ng buong system. Kung ang lahat ng mga punto ay gumagalaw parallel sa isang eroplano o isang tuwid na linya, ang bilang ng mga equation (3.4) sa unang kaso ay magiging 2 N, sa pangalawa N.

Halimbawa 1. Ang dalawang masa ay konektado sa isa't isa sa pamamagitan ng isang hindi mapalawak na cable na itinapon sa isang bloke (Larawan 3.3). Ang pagpapabaya sa mga puwersa ng friction, pati na rin ang masa ng bloke at cable, ay tumutukoy sa batas ng paggalaw ng mga load at cable tension.

Solusyon. Binubuo ang system ng dalawang materyal na katawan (nakakonekta sa pamamagitan ng isang hindi nababagong cable) na gumagalaw parallel sa parehong axis X. Isulat natin ang mga kaugalian ng mga batas ng paggalaw sa mga projection sa axis X para sa bawat katawan.

Hayaang bumaba ang tamang timbang nang may pagbilis, pagkatapos ay tataas ang kaliwang timbang nang may pagbilis. Pinalaya natin ang ating sarili mula sa koneksyon (cable) at pinapalitan ito ng mga reaksyon at (Larawan 3.3). Isinasaalang-alang na ang mga katawan ay malaya, iguhit natin ang mga kaugalian ng mga batas ng paggalaw sa projection sa axis. X(ibig sabihin, ang mga tensyon ng thread ay panloob na puwersa, at ang bigat ng mga pagkarga ay panlabas):

Dahil at (ang mga katawan ay konektado sa pamamagitan ng isang hindi mapapahaba na cable), nakuha namin

Paglutas ng mga equation na ito para sa acceleration at cable tension T, nakukuha namin

.

Tandaan na ang pag-igting sa cable ay hindi katumbas ng puwersa ng grabidad ng kaukulang pagkarga.

3. 2. Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa

Ito ay kilala na ang isang matibay na katawan at isang mekanikal na sistema sa isang eroplano ay maaaring kumilos nang medyo kumplikado. Ang unang teorama sa paggalaw ng isang katawan at isang mekanikal na sistema ay maaaring marating sa mga sumusunod: magtapon ng k.-l. isang bagay na binubuo ng maraming solidong katawan na pinagdikit. Malinaw na lilipad siya sa isang parabola. Ito ay ipinahayag nang pag-aralan ang paggalaw ng punto. Gayunpaman, ngayon ang bagay ay hindi isang punto. Ito ay lumiliko at umiindayog habang lumilipad sa ilang epektibong sentro na gumagalaw sa isang parabola. Ang unang teorama tungkol sa paggalaw ng mga kumplikadong bagay ay nagsasabi na ang isang tiyak na epektibong sentro ay ang sentro ng masa ng isang gumagalaw na bagay. Ang sentro ng masa ay hindi kinakailangang matatagpuan sa katawan mismo;

Teorama. Ang sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema ay gumagalaw bilang isang materyal na punto na may mass na katumbas ng masa ng buong sistema, kung saan ang lahat ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema ay inilalapat.

Upang patunayan ang teorama, muling isinulat namin ang pagkakaiba ng mga batas ng paggalaw (3.3) sa sumusunod na anyo:

(3.5)

saan N – bilang ng mga punto ng system.

Pagsamahin natin ang mga equation sa pamamagitan ng termino:

(A)

Ang posisyon ng sentro ng masa ng mekanikal na sistema na nauugnay sa napiling sistema ng coordinate ay tinutukoy ng formula (2.1): saan M– masa ng sistema. Pagkatapos ay isusulat ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay (a).

Ang unang kabuuan sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (a) ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa, at ang huli, sa pamamagitan ng pag-aari ng mga panloob na pwersa, ay katumbas ng zero. Pagkatapos ang pagkakapantay-pantay (a), na isinasaalang-alang ang (b), ay muling isusulat

, (3.6)

mga. ang produkto ng masa ng system at ang acceleration ng sentro ng masa nito ay katumbas ng geometric na kabuuan ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system.

Mula sa equation (3.6) sumusunod na ang mga panloob na pwersa ay hindi direktang nakakaapekto sa paggalaw ng sentro ng masa. Gayunpaman, sa ilang mga kaso sila ang sanhi ng paglitaw ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa system. Kaya, ang mga panloob na puwersa na nagtutulak sa mga gulong sa pagmamaneho ng isang kotse sa pag-ikot ay nagiging sanhi ng isang panlabas na puwersa ng pagdirikit na inilapat sa rim ng gulong upang kumilos dito.

Halimbawa 2. Ang mekanismo, na matatagpuan sa isang patayong eroplano, ay naka-install sa isang pahalang na makinis na eroplano at nakakabit dito na may mga bar na mahigpit na naayos sa ibabaw. SA At L (Larawan 3.4).

Disc 1 radius R hindi gumagalaw. Disk 2 mass m at radius r nakakabit sa isang pihitan, haba R+ r sa punto C 2. Ang pihitan ay umiikot sa isang pare-pareho

angular velocity. Sa paunang sandali, ang pihitan ay sumakop sa kanan pahalang na posisyon. Ang pagpapabaya sa masa ng crank, tukuyin ang maximum na pahalang at patayong pwersa na kumikilos sa mga bar kung ang kabuuang masa ng frame at gulong 1 ay katumbas ng M. Isaalang-alang din ang pag-uugali ng mekanismo sa kawalan ng mga bar.

Solusyon. Ang sistema ay binubuo ng dalawang masa ( N=2 ): fixed disk 1 na may frame at movable disk 2. Idirekta ang axis sa sa pamamagitan ng sentro ng grabidad ng nakatigil na disk patayo paitaas, axis X– kasama ang pahalang na eroplano.

Isulat natin ang theorem sa motion ng center of mass (3.6) sa coordinate form

Ang mga panlabas na puwersa ng sistemang ito ay: ang bigat ng frame at ang nakapirming disk - Mg, paglipat ng timbang ng disk - mg, - ang kabuuang pahalang na reaksyon ng mga bolts, - ang normal na kabuuang reaksyon ng eroplano. Kaya naman,

Pagkatapos ang mga batas ng paggalaw (b) ay muling isusulat

Kalkulahin natin ang mga coordinate ng sentro ng masa ng mekanikal na sistema:

; (G)

tulad ng makikita mula sa (Larawan 3.4), , , (anggulo ng crank), . Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa (d) at pagkalkula ng pangalawang derivatives na may paggalang sa oras t mula sa , , nakuha namin iyon

(e)

Ang pagpapalit ng (c) at (e) sa (b), makikita natin

Ang pahalang na presyon na kumikilos sa mga bar ay pinakamalaki at hindi bababa kapag cos = 1 ayon dito, i.e.

Naka-on ang mekanismo ng presyon pahalang na eroplano ay may pinakamalaki at pinakamaliit na halaga kapag kasalanan ayon dito, i.e.

Sa katunayan, ang unang problema ng dinamika ay nalutas: ayon sa mga kilalang equation ng paggalaw ng sentro ng masa ng sistema (d), ang mga puwersang kasangkot sa kilusan ay naibalik.

Sa kawalan ng mga bar K At L (Larawan 3.4), ang mekanismo ay maaaring magsimulang tumalbog sa itaas ng pahalang na eroplano. Ito ay magaganap kapag, i.e. kapag , ito ay sumusunod na ang angular velocity ng pag-ikot ng crank, kung saan ang mekanismo ay nag-bounce, ay dapat masiyahan ang pagkakapantay-pantay

.

3. 3. Batas ng konserbasyon ng paggalaw ng sentro ng masa

Kung ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema ay katumbas ng zero, i.e. , pagkatapos ay mula sa(3.6)ito ay sumusunod na ang acceleration ng sentro ng masa ay zero, samakatuwid, ang bilis ng sentro ng masa ay pare-pareho sa magnitude at direksyon. Kung, sa partikular, sa paunang sandali ang sentro ng masa ay nagpapahinga, kung gayon ito ay nakapahinga sa buong oras habang ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ay katumbas ng zero.

Maraming corollaries ang sumusunod mula sa theorem na ito.

· Ang mga panloob na pwersa lamang ay hindi makapagpapabago sa katangian ng paggalaw ng sentro ng masa ng sistema.

· Kung ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistema ay zero, kung gayon ang sentro ng masa ay nasa pahinga o gumagalaw nang pantay at patuwid.

· Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system sa ilang nakapirming axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang projection ng bilis ng sentro ng masa ng system sa axis na ito ay hindi nagbabago.

· Ang isang pares ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan ay hindi maaaring baguhin ang paggalaw ng sentro ng masa nito (maaari lamang itong maging sanhi ng pag-ikot ng katawan sa paligid ng sentro ng masa).

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa na naglalarawan ng batas ng konserbasyon ng paggalaw ng sentro ng masa.

Halimbawa 3. Ang dalawang masa ay konektado sa pamamagitan ng isang hindi mapalawak na sinulid na itinapon sa isang bloke (Larawan 3.5), naayos sa isang kalang na may masa M. Ang wedge ay nakasalalay sa isang makinis na pahalang na eroplano. Sa unang sandali ang sistema ay nagpapahinga. Hanapin ang displacement ng wedge sa kahabaan ng eroplano kapag ang unang load ay ibinaba sa isang taas N. Pabayaan ang masa ng bloke at sinulid.

Solusyon. Ang mga panlabas na puwersa na kumikilos sa wedge kasama ng mga kargada ay gravity, at Mg, pati na rin ang normal na reaksyon ng isang makinis na pahalang na ibabaw N. Dahil dito,

Dahil sa unang sandali ay nakapahinga ang sistema, mayroon kaming .

Kalkulahin natin ang mga coordinate ng sentro ng masa ng system sa at sa sandaling ito t 1 kapag tumitimbang ang load g ay bababa sa isang taas H.

Sa sandaling ito:

,

saan , , X– ayon sa pagkakabanggit, ang mga coordinate ng sentro ng mass ng mga load na tumitimbang ng g, g at isang wedge na tumitimbang Mg.

Ipagpalagay natin na ang wedge sa sandali ng oras ay gumagalaw sa positibong direksyon ng axis baka sa dami L, kung ang bigat ng load ay bumaba sa taas N. Pagkatapos, pansamantala

kasi ang mga load kasama ang wedge ay lilipat sa L sa kanan, at ang pagkarga ay lilipat paitaas kasama ang wedge. Since , then after calculations we get

.

3.4. Dami ng paggalaw ng system

3.4.1. Pagkalkula ng momentum ng system

Ang momentum ng isang materyal na punto ay isang vector quantity na katumbas ng produkto ng mass ng point at ang velocity vector nito

Yunit ng pagsukat ng momentum -

Ang momentum ng isang mekanikal na sistema ay ang vector sum ng momentum ng mga indibidwal na punto ng system, i.e.

saan N – bilang ng mga punto ng system.

Ang momentum ng isang mekanikal na sistema ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng masa ng sistema M at ang bilis ng sentro ng masa. talaga,

mga. Ang momentum ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema at ang bilis ng sentro ng masa nito. Ang direksyon ay pareho sa direksyon (Larawan 3.6)

Sa mga projection sa rectangular axes mayroon kami

kung saan ang , , ay mga projection ng bilis ng sentro ng masa ng system.

Dito M- masa ng mekanikal na sistema; hindi nagbabago kapag gumagalaw ang system.

Ang mga resultang ito ay lalong maginhawang gamitin kapag kinakalkula ang mga dami ng paggalaw ng mga matibay na katawan.

Mula sa formula (3.7) malinaw na kung ang isang mekanikal na sistema ay gumagalaw sa paraang ang sentro ng masa nito ay nananatiling nakatigil, kung gayon ang momentum ng sistema ay nananatiling katumbas ng zero.

3.4.2. Elementarya at buong puwersang salpok

Ang pagkilos ng isang puwersa sa isang materyal na punto sa paglipas ng panahon dt maaaring mailalarawan sa pamamagitan ng isang elementarya na salpok. Kabuuang puwersa ng salpok sa paglipas ng panahon t, o puwersang salpok, na tinutukoy ng formula

o sa mga projection sa axis coordinates

(3.8a)

Ang yunit ng puwersang salpok ay .

3.4.3. Theorem sa pagbabago ng momentum ng isang sistema

Hayaang mailapat ang panlabas at panloob na pwersa sa mga punto ng system. Pagkatapos, para sa bawat punto ng system maaari nating ilapat ang mga kaugalian ng mga batas ng paggalaw (3.3), na isinasaisip na :

.

Pagsusuma sa lahat ng mga punto ng system, nakuha namin

Sa pamamagitan ng pag-aari ng mga panloob na pwersa at sa pamamagitan ng kahulugan meron tayo

(3.9)

Pagpaparami ng magkabilang panig ng equation na ito sa pamamagitan ng dt, nakakakuha tayo ng theorem sa pagbabago ng momentum sa differential form:

, (3.10)

mga. ang differential momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng vector sum ng elementary impulses ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa mga punto ng mekanikal na sistema.

Kinakalkula ang integral ng magkabilang panig (3.10) sa paglipas ng panahon mula 0 hanggang t, makuha natin ang teorama sa may hangganan o integral na anyo

(3.11)

Sa mga projection sa coordinate axes na magkakaroon tayo

Pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa paglipas ng panahont, ay katumbas ng vector sum ng lahat ng impulses ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa mga punto ng mekanikal na sistema sa parehong oras.

Halimbawa 4. Mag-load ng timbang m bumababa sa isang hilig na eroplano mula sa pahinga sa ilalim ng impluwensya ng isang puwersa F, proporsyonal sa oras: , kung saan (Larawan 3.7). Anong bilis ang makukuha ng katawan pagkatapos t segundo pagkatapos ng pagsisimula ng paggalaw, kung ang koepisyent ng sliding friction ng load sa inclined plane ay katumbas ng f.

Solusyon. Ilarawan natin ang mga puwersang inilapat sa pagkarga: mg - lakas ng gravity ng pag-load, N ay ang normal na reaksyon ng eroplano, ay ang sliding friction force ng load sa eroplano, at . Ang direksyon ng lahat ng pwersa ay ipinapakita sa (Larawan 3.7).

Idirekta natin ang axis X kasama ang inclined plane pababa. Isulat natin ang theorem tungkol sa pagbabago sa momentum (3.11) sa projection sa axis X:

(A)

Ayon sa kondisyon, dahil sa unang sandali ng oras ang load ay nagpapahinga. Ang kabuuan ng mga projection ng mga impulses ng lahat ng pwersa papunta sa x axis ay katumbas ng

Kaya naman,

,

.

3.4.4. Mga batas ng konserbasyon ng momentum

Ang mga batas sa konserbasyon ay nakuha bilang mga espesyal na kaso ng theorem sa pagbabago ng momentum. Dalawang espesyal na kaso ang posible.

· Kung ang kabuuan ng vector ng lahat ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa sistema ay katumbas ng zero, i.e. , pagkatapos ay mula sa theorem ito ay sumusunod (3.9) , Ano ,

mga. kung ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa ng system ay zero, kung gayon ang dami ng paggalaw ng system ay pare-pareho sa magnitude at direksyon.

· Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa sa anumang coordinate axis katumbas ng zero, halimbawa Oh, i.e. , kung gayon ang projection ng momentum sa axis na ito ay isang pare-parehong halaga.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paglalapat ng batas ng konserbasyon ng momentum.

Halimbawa 5. Ang ballistic pendulum ay isang katawan na may masa na nakabitin sa mahabang sinulid (Larawan 3.8).

Isang bala ng masa, gumagalaw nang may bilis V at natamaan ang isang nakatigil na katawan, natigil dito, at ang katawan ay lumilihis. Ano ang bilis ng bala kung tumaas ang katawan sa taas h ?

Solusyon. Hayaang makakuha ng bilis ang katawan na may natigil na bala. Pagkatapos, gamit ang batas ng konserbasyon ng momentum sa panahon ng pakikipag-ugnayan ng dalawang katawan, maaari tayong sumulat .

Ang bilis ay maaaring kalkulahin gamit ang batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya . Tapos . Bilang resulta nahanap namin

.

Halimbawa 6. Ang tubig ay pumapasok sa isang nakatigil na channel (Larawan 3.9) variable na cross-section na may bilis sa isang anggulo sa pahalang; parisukat cross section channel sa pasukan; ang bilis ng tubig sa labasan mula sa channel ay gumagawa ng isang anggulo sa abot-tanaw.

Tukuyin ang pahalang na bahagi ng reaksyon na mayroon ang tubig sa mga dingding ng channel. Densidad ng tubig .

Solusyon. Matutukoy namin ang pahalang na bahagi ng reaksyon na ginawa ng mga pader ng channel sa tubig. Ang puwersang ito ay katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng tanda sa nais na puwersa. Mayroon kaming, ayon sa (3.11a),

. (A)

Kinakalkula namin ang masa ng dami ng likido na pumapasok sa channel sa oras na t:

Ang halagang rAV 0 ay tinatawag pangalawang masa - ang masa ng likido na dumadaloy sa anumang seksyon ng tubo bawat yunit ng oras.

Ang parehong dami ng tubig ay umaalis sa kanal sa parehong oras. Ang paunang at panghuling bilis ay ibinibigay sa kondisyon.

Kalkulahin natin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (a), na tumutukoy sa kabuuan ng mga projection papunta sa pahalang na axis ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa sistema (tubig). Ang tanging pahalang na puwersa ay ang pahalang na bahagi ng resultang reaksyon ng pader R x. Ang puwersa na ito ay pare-pareho sa panahon ng tuluy-tuloy na paggalaw ng tubig. kaya lang

. (V)

Ang pagpapalit ng (b) at (c) sa (a), nakukuha natin

3.5. Kinetic moment ng system

3.5.1. Pangunahing sandali ng momentum ng system

Hayaan ang radius vector ng isang punto na may mass ng system na may kaugnayan sa ilang punto A, na tinatawag na sentro (Larawan 3.10).

Momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang punto kaugnay sa sentro A tinatawag na vector , tinutukoy ng formula

. (3.12)

Sa kasong ito, ang vector nakadirekta patayo sa eroplanong dumadaan sa gitna A at vector .

Momentum ng momentum (kinetic moment) ng isang punto na may kaugnayan sa axis ay tinatawag na projection papunta sa axis na ito ng momentum ng momentum ng isang punto na may kaugnayan sa anumang sentro na pinili sa axis na ito.

Ang pangunahing sandali ng momentum (kinetic moment) ng system na nauugnay sa center A ay tinatawag na dami

(3.13)

Ang pangunahing sandali ng momentum (kinetic moment) ng system na may kaugnayan sa axis ay tinatawag na projection papunta sa axis na ito ng pangunahing sandali ng momentum ng system na may kaugnayan sa anumang napili dito gitnang axis.

3.5.2. Kinetic moment ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot

Ihanay natin ang nakapirming punto TUNGKOL SA katawan na nakahiga sa axis ng pag-ikot TUNGKOL SAz, na may pinagmulan ng coordinate system Ohooz, ang mga palakol nito ay iikot kasama ng katawan (Larawan 3.11). Hayaan ang radius vector ng isang punto ng katawan na may kaugnayan sa pinagmulan ng mga coordinate; Tinutukoy namin ang mga projection ng angular velocity vector ng katawan sa parehong mga axes bilang 0, 0, ().

Pangkalahatang theorems sa dinamika ng isang sistema ng mga katawan. Theorems sa paggalaw ng sentro ng masa, sa pagbabago sa momentum, sa pagbabago sa pangunahing angular momentum, sa pagbabago sa kinetic energy. Mga prinsipyo at posibleng paggalaw ni D'Alembert. Pangkalahatang equation ng dynamics. Lagrange equation.

Pangkalahatang theorems sa dynamics ng isang matibay na katawan at isang sistema ng mga katawan

Pangkalahatang theorems ng dynamics- ito ay isang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema, isang theorem sa pagbabago ng momentum, isang theorem sa pagbabago sa pangunahing angular momentum (kinetic moment) at isang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema.

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa.
Ang produkto ng mass ng isang system at ang acceleration ng center of mass nito ay katumbas ng vector sum ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Narito ang M ay ang masa ng sistema:
;
a C ay ang acceleration ng sentro ng masa ng system:
;
v C - bilis ng sentro ng masa ng system:
;
r C - radius vector (coordinate) ng sentro ng masa ng system:
;
- mga coordinate (kamag-anak sa nakapirming sentro) at masa ng mga puntos na bumubuo sa system.

Theorem tungkol sa pagbabago ng momentum (momentum)

Dami ng paggalaw (impulse) ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema sa pamamagitan ng bilis ng sentro ng masa nito o ang kabuuan ng momentum (kabuuan ng mga impulses) ng mga indibidwal na punto o bahagi na bumubuo sa sistema:
.

Theorem sa pagbabago ng momentum sa differential form.
Ang derivative ng oras ng dami ng paggalaw (momentum) ng system ay katumbas ng vector sum ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Theorem sa pagbabago ng momentum sa integral form.
Ang pagbabago sa momentum (momentum) ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na puwersa sa parehong tagal ng panahon:
.

Batas ng konserbasyon ng momentum (momentum).
Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay zero, kung gayon ang momentum vector ng system ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Kung ang kabuuan ng mga projection ng mga panlabas na pwersa sa anumang axis ay zero, kung gayon ang projection ng dami ng paggalaw ng system sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Theorem sa pagbabago sa principal angular momentum (teorem ng mga sandali)

Ang pangunahing angular na momentum ng isang sistema na may kaugnayan sa isang naibigay na sentro O ay tinatawag na dami na katumbas ng vector sum ng angular momentum ng lahat ng mga punto ng sistema na may kaugnayan sa sentrong ito:
.
Dito ang mga square bracket ay tumutukoy sa cross product.

Mga naka-attach na sistema

Ang sumusunod na theorem ay nalalapat sa kaso kung saan ang isang mekanikal na sistema ay may nakapirming punto o axis na naayos na may kaugnayan sa isang inertial reference frame. Halimbawa, ang isang katawan na sinigurado ng isang spherical bearing. O isang sistema ng mga katawan na gumagalaw sa isang nakapirming sentro. Maaari rin itong isang nakapirming axis kung saan umiikot ang isang katawan o sistema ng mga katawan. Sa kasong ito, ang mga sandali ay dapat na maunawaan bilang mga sandali ng salpok at mga puwersa na nauugnay sa nakapirming axis.

Theorem sa pagbabago sa principal angular momentum (teorem ng mga sandali)
Ang derivative ng oras ng pangunahing angular na momentum ng system na may kaugnayan sa ilang nakapirming sentro O ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Batas ng konserbasyon ng principal angular momentum (angular momentum).
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa na inilapat sa sistema na may kaugnayan sa isang naibigay na nakapirming sentro O ay katumbas ng zero, kung gayon ang pangunahing angular na momentum ng sistema na nauugnay sa sentro na ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Kung ang kabuuan ng mga sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa ilang nakapirming axis ay zero, kung gayon ang angular na momentum ng system na nauugnay sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Mga sistemang arbitraryo

Ang sumusunod na teorama ay may unibersal na karakter. Nalalapat ito sa parehong nakapirming at malayang gumagalaw na mga sistema. Sa kaso ng mga nakapirming sistema, kinakailangang isaalang-alang ang mga reaksyon ng mga koneksyon sa mga nakapirming punto. Ito ay naiiba sa naunang teorama na sa halip na isang nakapirming punto O, ang isa ay dapat kunin ang sentro ng mass C ng sistema.

Theorem ng mga sandali tungkol sa sentro ng masa
Ang derivative ng oras ng pangunahing angular na momentum ng system na may kaugnayan sa sentro ng mass C ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Batas ng konserbasyon ng angular momentum.
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa sistema na may kaugnayan sa sentro ng mass C ay katumbas ng zero, kung gayon ang pangunahing sandali ng momentum ng system na nauugnay sa sentro na ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan

Kung umiikot ang katawan sa paligid ng z axis na may angular velocity ω z, kung gayon ang angular momentum nito (kinetic moment) na nauugnay sa z axis ay tinutukoy ng formula:
L z = J z ω z ,
kung saan ang J z ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa z axis.

Moment of inertia ng katawan na may kaugnayan sa z axis tinutukoy ng formula:
,
kung saan ang h k ay ang distansya mula sa isang punto ng mass m k hanggang sa z axis.
Para sa isang manipis na singsing na mass M at radius R, o isang silindro na ang masa ay ibinahagi sa gilid nito,
J z = M R 2 .
Para sa isang solidong homogenous na singsing o silindro,
.

Steiner-Huygens theorem.
Hayaang Cz ang axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan, Oz ang axis na kahanay nito. Pagkatapos ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa mga palakol na ito ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
kung saan ang M ay timbang ng katawan; a ay ang distansya sa pagitan ng mga axes.

Sa isang mas pangkalahatang kaso:
,
nasaan ang inertia tensor ng katawan.
Narito ang isang vector na iginuhit mula sa gitna ng masa ng katawan hanggang sa isang punto na may mass m k.

Theorem sa pagbabago ng kinetic energy

Hayaang magsagawa ng translational at rotational motion ang katawan ng mass M na may angular velocity ω sa paligid ng ilang axis z.
,
Pagkatapos ang kinetic energy ng katawan ay tinutukoy ng formula:
kung saan ang v C ay ang bilis ng paggalaw ng sentro ng masa ng katawan;

Ang J Cz ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan na kahanay sa axis ng pag-ikot. Ang direksyon ng rotation axis ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon. Ang formula na ito ay nagbibigay ng agarang halaga ng kinetic energy.
Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang system sa differential form.
.

Ang pagkakaiba-iba (pagtaas) ng kinetic energy ng isang system sa panahon ng ilang paggalaw ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba-iba ng trabaho sa paggalaw na ito ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na inilapat sa system:
Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang sistema sa integral form.
.

Ang pagbabago sa kinetic energy ng system sa panahon ng ilang paggalaw ay katumbas ng kabuuan ng gawain sa paggalaw na ito ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na inilapat sa system: Ang gawaing ginawa ng puwersa
,
, ay katumbas ng scalar product ng force vectors at ang infinitesimal displacement ng point ng application nito:

iyon ay, ang produkto ng mga ganap na halaga ng mga vectors F at ds sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila. Ang gawaing ginawa ng sandali ng puwersa
.

, ay katumbas ng scalar product ng torque vectors at ang infinitesimal na anggulo ng pag-ikot:

Ang kakanyahan ng prinsipyo ni d'Alembert ay upang bawasan ang mga problema ng dynamics sa mga problema ng statics. Upang gawin ito, ipinapalagay (o ito ay kilala nang maaga) na ang mga katawan ng system ay may ilang (angular) accelerations. Susunod, ang mga inertial na pwersa at (o) mga sandali ng mga inertial na puwersa ay ipinakilala, na katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng direksyon sa mga puwersa at mga sandali ng mga puwersa na, ayon sa mga batas ng mekanika, ay lilikha ng mga ibinigay na acceleration o angular accelerations.

Tingnan natin ang isang halimbawa. Ang katawan ay sumasailalim sa paggalaw ng pagsasalin at kinikilos ng mga panlabas na puwersa. Ipinapalagay pa namin na ang mga puwersang ito ay lumilikha ng isang pagbilis ng sentro ng masa ng sistema. Ayon sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa, ang sentro ng masa ng isang katawan ay magkakaroon ng parehong acceleration kung ang isang puwersa ay kumilos sa katawan. Susunod na ipinakilala namin ang puwersa ng pagkawalang-galaw:
.
Pagkatapos nito, ang problema sa dinamika:
.
;
.

Para sa rotational motion magpatuloy sa parehong paraan. Hayaang umikot ang katawan sa paligid ng z axis at kumilos sa pamamagitan ng mga panlabas na sandali ng puwersa M e zk .
.
Ipinapalagay namin na ang mga sandaling ito ay lumilikha ng isang angular acceleration ε z.
;
.

Susunod, ipinakilala namin ang sandali ng mga puwersa ng inertia M И = - J z ε z.

Pagkatapos nito, ang problema sa dinamika:

Nagiging problema sa statics:.
Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement ay ginagamit upang malutas ang mga problema sa statics. Sa ilang mga problema, nagbibigay ito ng mas maikling solusyon kaysa sa pagbuo ng mga equation ng ekwilibriyo. Ito ay totoo lalo na para sa mga system na may mga koneksyon (halimbawa, mga sistema ng mga katawan na konektado sa pamamagitan ng mga thread at mga bloke) na binubuo ng maraming mga katawan Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw

Para sa balanse ng isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng mga aktibong pwersa na kumikilos dito para sa anumang posibleng paggalaw ng sistema ay katumbas ng zero. Posibleng paglipat ng system

- ito ay isang maliit na paggalaw kung saan ang mga koneksyon na ipinataw sa system ay hindi nasira.

Mga perpektong koneksyon

- ito ay mga koneksyon na hindi gumaganap ng trabaho kapag gumagalaw ang system. Mas tiyak, ang dami ng trabaho na ginawa ng mga koneksyon mismo kapag inililipat ang system ay zero..
Pangkalahatang equation ng dynamics (D'Alembert - Lagrange na prinsipyo)
.
Ang prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange ay isang kumbinasyon ng prinsipyo ng D'Alembert na may prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Iyon ay, kapag nilulutas ang isang dynamic na problema, ipinakilala namin ang mga inertial na pwersa at binabawasan ang problema sa isang static na problema, na nilulutas namin gamit ang prinsipyo ng mga posibleng displacement. Prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange Kapag ang isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon ay gumagalaw, sa bawat sandali ng oras ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng inilapat na aktibong pwersa at lahat ng mga inertial na pwersa sa anumang posibleng paggalaw ng system ay zero:.

Lagrange equation

Pangkalahatan q coordinate 1 , q 2 , ..., q n ay isang set ng n dami na natatanging tumutukoy sa posisyon ng system.

Ang bilang ng mga pangkalahatang coordinate n ay tumutugma sa bilang ng mga antas ng kalayaan ng system.

Mga pangkalahatang bilis ay mga derivatives ng generalized coordinates na may paggalang sa oras t.

Pangkalahatang pwersa Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Isaalang-alang natin ang isang posibleng paggalaw ng system, kung saan ang coordinate q k ay makakatanggap ng paggalaw δq k.
Ang natitirang mga coordinate ay nananatiling hindi nagbabago. Hayaang ang δA k ay ang gawaing ginawa ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng naturang paggalaw. Pagkatapos
.

δA k = Q k δq k , o
Kung, sa isang posibleng paggalaw ng system, lahat ng mga coordinate ay nagbabago, kung gayon ang gawaing ginawa ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng naturang paggalaw ay may anyo: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Kung gayon ang mga pangkalahatang pwersa ay bahagyang derivatives ng trabaho sa mga displacement: Para sa mga potensyal na pwersa
.

may potensyal na Π, Lagrange equation

ay ang mga equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema sa pangkalahatang mga coordinate:
.

Narito ang T ay kinetic energy. Ito ay isang function ng mga pangkalahatang coordinate, bilis at, posibleng, oras. Samakatuwid, ang partial derivative nito ay isang function din ng generalized coordinates, velocities at time. Susunod, kailangan mong isaalang-alang na ang mga coordinate at velocities ay mga function ng oras. Samakatuwid, upang mahanap ang kabuuang derivative na may paggalang sa oras, kailangan mong ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:
Ginamit na panitikan:

Sa isang malaking bilang ng mga materyal na puntos na kasama sa mekanikal na sistema, o kung kabilang dito ang ganap na matibay na mga katawan () na gumaganap ng di-translational na paggalaw, ang paggamit ng isang sistema ng mga differential equation ng paggalaw sa paglutas ng pangunahing problema ng dynamics ng isang mekanikal na sistema lumalabas na halos imposible. Gayunpaman, kapag nilulutas ang maraming mga problema sa engineering, hindi na kailangang matukoy nang hiwalay ang paggalaw ng bawat punto ng isang mekanikal na sistema. Minsan sapat na upang makagawa ng mga konklusyon tungkol sa pinakamahalagang aspeto ng proseso ng paggalaw na pinag-aaralan nang hindi ganap na nilulutas ang sistema ng mga equation ng paggalaw. Ang mga konklusyong ito mula sa mga differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay bumubuo sa nilalaman ng mga pangkalahatang theorems ng dinamika. Pangkalahatang theorems, una, palayain tayo mula sa pangangailangan na isakatuparan sa bawat indibidwal na kaso ang mga pagbabagong matematikal na karaniwan sa iba't ibang mga problema at isinasagawa nang isang beses at para sa lahat kapag kumukuha ng mga theorems mula sa mga differential equation ng paggalaw. Pangalawa, ang mga pangkalahatang teorema ay nagbibigay ng koneksyon sa pagitan ng mga pangkalahatang pinagsama-samang katangian ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema, na may malinaw na pisikal na kahulugan. Ang mga ito pangkalahatang katangian, tulad ng momentum, angular momentum, kinetic energy ng isang mekanikal na sistema ay tinatawag mga sukat ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema.

Ang unang sukat ng paggalaw ay ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema.

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto ay ang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng produkto ng masa ng punto at ang bilis nito:

.

Ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay ang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng kabuuan ng mga dami ng paggalaw ng mga punto nito:

, (13.1)

Ibahin natin ang kanang bahagi ng formula (23.1):

saan
- masa ng buong sistema,
- bilis ng sentro ng masa.

Kaya naman, ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng dami ng paggalaw ng sentro ng masa nito kung ang buong masa ng sistema ay puro dito:

.

Puwersa ng salpok

Ang produkto ng isang puwersa at ang elementarya na pagitan ng oras ng pagkilos nito
tinatawag na elementary impulse of force.

Isang salpok ng kapangyarihan sa loob ng isang yugto ng panahon ay tinatawag na integral ng elementary impulse of force

.

Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema

Hayaan para sa bawat punto
ang mekanikal na sistema ay kumikilos bilang resulta ng mga panlabas na puwersa at ang resulta ng mga panloob na pwersa .

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing equation ng dynamics ng isang mekanikal na sistema

Pagdaragdag ng mga equation (13.2) na termino ayon sa termino para sa n puntos ng system, nakukuha namin

(13.3)

Ang unang kabuuan sa kanang bahagi ay katumbas ng pangunahing vector panlabas na puwersa ng sistema. Ang pangalawang kabuuan ay katumbas ng zero dahil sa pag-aari ng mga panloob na puwersa ng system. Isaalang-alang natin kaliwang bahagi pagkakapantay-pantay (13.3):

Kaya, nakukuha namin ang:

, (13.4)

o sa mga projection sa coordinate axes

(13.5)

Ang mga pagkakapantay-pantay (13.4) at (13.5) ay nagpapahayag ng teorama sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema:

Ang derivative ng oras ng momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng pangunahing vector ng lahat ng panlabas na puwersa ng mekanikal na sistema.

Ang theorem na ito ay maaari ding ipakita sa integral form sa pamamagitan ng pagsasama ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (13.4) sa paglipas ng panahon sa loob ng saklaw mula sa t 0 hanggang t:

, (13.6)

saan
, at ang integral sa kanang bahagi ay ang salpok ng mga panlabas na pwersa para sa

oras t-t 0 .

Ang pagkakapantay-pantay (13.6) ay nagpapakita ng theorem sa integral form:

Ang pagtaas sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa isang takdang panahon ay katumbas ng salpok ng mga panlabas na puwersa sa panahong ito.

Ang teorama ay tinatawag din teorama ng momentum.

Sa mga projection sa coordinate axes, ang theorem ay isusulat bilang:

Corollaries (mga batas ng konserbasyon ng momentum)

1). Kung ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa para sa isinasaalang-alang na tagal ng panahon ay katumbas ng zero, kung gayon ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema ay pare-pareho, i.e. Kung
,
.

2). Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa sa anumang axis sa tagal ng panahon na isinasaalang-alang ay zero, kung gayon ang projection ng momentum ng mekanikal na sistema sa axis na ito ay pare-pareho,

mga. Kung
yun
.