Pangkalahatang theorems sa dinamika ng isang sistema ng mga katawan. Theorems sa paggalaw ng sentro ng masa, sa pagbabago sa momentum, sa pagbabago sa pangunahing angular momentum, sa pagbabago sa kinetic energy. Mga prinsipyo at posibleng paggalaw ni D'Alembert. Pangkalahatang equation mga nagsasalita. Lagrange equation.

Pangkalahatang theorems sa dynamics ng isang matibay na katawan at isang sistema ng mga katawan

Pangkalahatang theorems ng dynamics- ito ay isang teorama tungkol sa paggalaw ng sentro ng masa mekanikal na sistema, ang theorem sa pagbabago ng momentum, ang theorem sa pagbabago sa principal angular momentum (kinetic momentum) at ang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema.

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa.
Ang produkto ng mass ng isang system at ang acceleration ng center of mass nito ay katumbas ng vector sum ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Narito ang M ay ang masa ng system:
;
a C ay ang acceleration ng sentro ng masa ng system:
;
v C - bilis ng sentro ng masa ng system:
;
r C - radius vector (coordinate) ng sentro ng masa ng system:
;
- mga coordinate (kamag-anak sa nakapirming sentro) at masa ng mga puntos na bumubuo sa system.

Theorem sa pagbabago ng momentum (momentum)

Dami ng paggalaw (impulse) ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema sa pamamagitan ng bilis ng sentro ng masa nito o ang kabuuan ng momentum (kabuuan ng mga impulses) ng mga indibidwal na punto o bahagi na bumubuo sa sistema:
.

Theorem sa pagbabago ng momentum sa differential form.
Ang derivative ng oras ng dami ng paggalaw (momentum) ng system ay katumbas ng vector sum ng lahat ng panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Theorem sa pagbabago ng momentum sa integral form.
Ang pagbabago sa momentum (momentum) ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga impulses ng mga panlabas na puwersa sa parehong tagal ng panahon:
.

Batas ng konserbasyon ng momentum (momentum).
Kung ang kabuuan ng lahat ng panlabas na puwersa na kumikilos sa system ay zero, kung gayon ang momentum vector ng system ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Kung ang kabuuan ng mga projection ng mga panlabas na pwersa sa anumang axis ay zero, kung gayon ang projection ng dami ng paggalaw ng system sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Theorem sa pagbabago sa principal angular momentum (teorem ng mga sandali)

Ang pangunahing angular momentum ng isang sistema na may kaugnayan sa isang naibigay na sentro O ay tinatawag na dami na katumbas ng vector sum ng angular momentum ng lahat ng mga punto ng system na may kaugnayan sa sentro na ito:
.
Dito ang mga square bracket ay tumutukoy sa cross product.

Mga naka-attach na sistema

Ang sumusunod na theorem ay nalalapat sa kaso kung saan ang isang mekanikal na sistema ay may nakapirming punto o axis na naayos na may kaugnayan sa isang inertial reference frame. Halimbawa, ang isang katawan na sinigurado ng isang spherical bearing. O isang sistema ng mga katawan na gumagalaw sa isang nakapirming sentro. Maaari rin itong isang nakapirming axis kung saan umiikot ang isang katawan o sistema ng mga katawan. Sa kasong ito, ang mga sandali ay dapat na maunawaan bilang mga sandali ng salpok at mga puwersa na nauugnay sa nakapirming axis.

Theorem sa pagbabago sa principal angular momentum (teorem ng mga sandali)
Ang derivative ng oras ng pangunahing angular na momentum ng system na nauugnay sa ilang nakapirming sentro O ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Batas ng konserbasyon ng principal angular momentum (angular momentum).
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa na inilapat sa sistema na may kaugnayan sa isang nakapirming sentro O ay katumbas ng zero, kung gayon pangunahing punto ang dami ng paggalaw ng system na may kaugnayan sa sentrong ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Kung ang kabuuan ng mga sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa ilang nakapirming axis ay zero, kung gayon ang angular na momentum ng system na nauugnay sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Mga sistemang arbitraryo

Ang sumusunod na teorama ay may unibersal na karakter. Nalalapat ito sa parehong nakapirming at malayang gumagalaw na mga sistema. Sa kaso ng mga nakapirming sistema, kinakailangang isaalang-alang ang mga reaksyon ng mga koneksyon sa mga nakapirming punto. Ito ay naiiba sa naunang teorama na sa halip na isang nakapirming punto O, ang isa ay dapat kunin ang sentro ng mass C ng sistema.

Theorem ng mga sandali tungkol sa sentro ng masa
Ang derivative ng oras ng pangunahing angular na momentum ng system na may kaugnayan sa sentro ng mass C ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na puwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Batas ng konserbasyon ng angular momentum.
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng mga panlabas na puwersa na inilapat sa sistema na may kaugnayan sa sentro ng mass C ay katumbas ng zero, kung gayon ang pangunahing sandali ng momentum ng system na nauugnay sa sentro na ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga projection nito sa mga coordinate axes ay magpapanatili ng mga pare-parehong halaga.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan

Kung umiikot ang katawan sa paligid ng z axis Sa angular velocityω z, pagkatapos ang angular momentum nito (kinetic moment) na may kaugnayan sa z axis ay tinutukoy ng formula:
L z = J z ω z ,
kung saan ang J z ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa z axis.

Moment of inertia ng katawan na may kaugnayan sa z axis tinutukoy ng formula:
,
kung saan ang h k ay ang distansya mula sa isang punto ng mass m k hanggang sa z axis.
Para sa isang manipis na singsing na mass M at radius R, o isang silindro na ang masa ay ibinahagi sa gilid nito,
J z = M R 2 .
Para sa isang solidong homogenous na singsing o silindro,
.

Steiner-Huygens theorem.
Hayaang Cz ang axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan, Oz ang axis na kahanay nito. Pagkatapos ang mga sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa mga palakol na ito ay nauugnay sa pamamagitan ng kaugnayan:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
kung saan ang M ay timbang ng katawan; a ay ang distansya sa pagitan ng mga axes.

Sa higit pa pangkalahatang kaso :
,
nasaan ang inertia tensor ng katawan.
Narito ang isang vector na iginuhit mula sa gitna ng masa ng katawan hanggang sa isang punto na may mass m k.

Theorem sa pagbabago ng kinetic energy

Hayaang ang isang katawan ng mass M ay magsagawa ng translational at rotational motion na may angular velocity ω sa paligid ng ilang axis z.
,
Pagkatapos ang kinetic energy ng katawan ay tinutukoy ng formula:
kung saan ang v C ay ang bilis ng paggalaw ng sentro ng masa ng katawan;

Ang J Cz ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan na kahanay sa axis ng pag-ikot. Ang direksyon ng rotation axis ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon. Ang formula na ito ay nagbibigay ng agarang halaga ng kinetic energy.
Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang system sa differential form.
.

Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang sistema sa integral form.
Ang pagbabago sa kinetic energy ng system sa panahon ng ilang paggalaw ay katumbas ng kabuuan ng gawaing ginawa sa paggalaw na ito ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na inilapat sa system:
.

Ang gawaing ginawa ng puwersa, ay katumbas ng scalar product ng force vectors at ang infinitesimal displacement ng point ng application nito:
,
iyon ay, ang produkto ng mga ganap na halaga ng mga vectors F at ds sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Ang gawaing ginawa ng sandali ng puwersa, ay katumbas ng scalar product ng torque vectors at ang infinitesimal na anggulo ng pag-ikot:
.

prinsipyo ni d'Alembert

Ang kakanyahan ng prinsipyo ni d'Alembert ay upang bawasan ang mga problema ng dynamics sa mga problema ng statics. Upang gawin ito, ipinapalagay (o ito ay kilala nang maaga) na ang mga katawan ng system ay may ilang (angular) accelerations. Susunod, ang mga inertial na pwersa at (o) mga sandali ng mga inertial na puwersa ay ipinakilala, na katumbas ng magnitude at kabaligtaran ng direksyon sa mga puwersa at mga sandali ng mga puwersa na, ayon sa mga batas ng mekanika, ay lilikha ng mga ibinigay na acceleration o angular accelerations.

Tingnan natin ang isang halimbawa. Ang katawan ay sumasailalim sa paggalaw ng pagsasalin at kinikilos ng mga panlabas na puwersa. Ipinapalagay pa namin na ang mga puwersang ito ay lumilikha ng isang pagbilis ng sentro ng masa ng sistema. Ayon sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa, ang sentro ng masa ng isang katawan ay magkakaroon ng parehong acceleration kung ang isang puwersa ay kumilos sa katawan. Susunod na ipinakilala namin ang puwersa ng pagkawalang-galaw:
.
Pagkatapos nito, ang problema sa dinamika:
.
;
.

Para sa rotational motion magpatuloy sa parehong paraan. Hayaang umikot ang katawan sa paligid ng z axis at kumilos sa pamamagitan ng mga panlabas na sandali ng puwersa M e zk .
.
Ipinapalagay namin na ang mga sandaling ito ay lumilikha ng isang angular acceleration ε z.
;
.

Susunod, ipinakilala namin ang sandali ng mga puwersa ng inertia M И = - J z ε z.

Pagkatapos nito, ang problema sa dinamika:

Nagiging problema sa statics:.
Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement ay ginagamit upang malutas ang mga problema sa statics. Sa ilang mga problema, nagbibigay ito ng mas maikling solusyon kaysa sa pagbuo ng mga equation ng ekwilibriyo. Ito ay totoo lalo na para sa mga system na may mga koneksyon (halimbawa, mga sistema ng mga katawan na konektado sa pamamagitan ng mga thread at mga bloke) na binubuo ng maraming mga katawan Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw

Para sa balanse ng isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng mga aktibong pwersa na kumikilos dito para sa anumang posibleng paggalaw ng sistema ay katumbas ng zero. Posibleng paglipat ng system

Pangkalahatang equation ng dynamics (D'Alembert - Lagrange na prinsipyo)

Ang prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange ay isang kumbinasyon ng prinsipyo ng D'Alembert na may prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Iyon ay, kapag nilulutas ang isang dynamic na problema, ipinakilala namin ang mga inertial na puwersa at binabawasan ang problema sa isang static na problema, na nilulutas namin gamit ang prinsipyo ng mga posibleng displacement.

Prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange.
Kapag ang isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon ay gumagalaw, sa bawat sandali ng oras ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng inilapat na aktibong pwersa at lahat ng mga inertial na pwersa sa anumang posibleng paggalaw ng system ay zero:
.
Ang equation na ito ay tinatawag pangkalahatang equation ng dynamics.

Lagrange equation

Pangkalahatan q coordinate 1 , q 2 , ..., q n ay isang set ng n dami na natatanging tumutukoy sa posisyon ng system.

Ang bilang ng mga pangkalahatang coordinate n ay tumutugma sa bilang ng mga antas ng kalayaan ng system.

Mga pangkalahatang bilis ay mga derivatives ng generalised coordinate na may paggalang sa oras t.

Pangkalahatang pwersa Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Isaalang-alang natin ang isang posibleng paggalaw ng system, kung saan ang coordinate q k ay makakatanggap ng paggalaw δq k.
Ang natitirang mga coordinate ay nananatiling hindi nagbabago. Hayaang ang δA k ay ang gawaing ginawa ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng naturang paggalaw. Pagkatapos
.

δA k = Q k δq k , o
Kung, sa isang posibleng paggalaw ng system, lahat ng mga coordinate ay nagbabago, kung gayon ang gawaing ginawa ng mga panlabas na puwersa sa panahon ng naturang paggalaw ay may anyo: δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

Kung gayon ang mga pangkalahatang pwersa ay bahagyang derivatives ng trabaho sa mga displacement: Para sa potensyal na pwersa
.

may potensyal na Π, Lagrange equation

ay ang mga equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema sa pangkalahatang mga coordinate:
.

Narito ang T ay kinetic energy. Ito ay isang function ng mga pangkalahatang coordinate, bilis at, posibleng, oras. Samakatuwid, ang partial derivative nito ay isang function din ng generalized coordinates, velocities at time. Susunod, kailangan mong isaalang-alang na ang mga coordinate at velocities ay mga function ng oras. Samakatuwid, upang mahanap ang kabuuang derivative na may paggalang sa oras, kailangan mong ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibahan ng isang kumplikadong function:
Ginamit na panitikan: S. M. Targ, Maikling kurso

theoretical mechanics, "Higher School", 2010.

(MECHANICAL SYSTEMS) – IV na opsyon 1. Ang pangunahing equation ng dynamics ng isang materyal na punto, tulad ng nalalaman, ay ipinahayag ng equation. Differential equation

(1) ang mga paggalaw ng mga di-makatwirang punto ng isang di-libreng mekanikal na sistema ayon sa dalawang paraan ng paghahati ng mga puwersa ay maaaring isulat sa dalawang anyo:

(2)

saan ang masa ng kth point; - radius vector ng k-th point, - isang ibinigay (aktibong) puwersa na kumikilos sa k-th point o ang resulta ng lahat ng aktibong pwersa na kumikilos sa k-th point. - resulta ng mga puwersa ng reaksyon ng bono na kumikilos sa kth point; - resulta ng mga panloob na pwersa na kumikilos sa kth point; - resulta ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa kth point.

Gamit ang mga equation (1) at (2), ang isa ay maaaring magsikap na lutasin ang una at pangalawang problema ng dinamika. Gayunpaman, ang paglutas ng pangalawang problema ng dynamics para sa isang sistema ay nagiging napakakomplikado, hindi lamang mula sa isang matematikal na punto ng view, ngunit din dahil tayo ay nahaharap sa mga pangunahing paghihirap. Binubuo ang mga ito sa katotohanan na pareho para sa system (1) at para sa system (2) ang bilang ng mga equation ay makabuluhan mas kaunting numero hindi kilala.

Kaya, kung gagamitin natin ang (1), kung gayon ang kilalang dinamika para sa pangalawang (kabaligtaran) na problema ay magiging at , at ang mga hindi kilalang ay magiging at . Ang mga equation ng vector ay magiging " n", at mga hindi kilalang - "2n".

Kung magpapatuloy tayo mula sa sistema ng mga equation (2), kung gayon ang ilan sa mga panlabas na puwersa ay kilala. Bakit part? Ang katotohanan ay ang bilang ng mga panlabas na puwersa ay kinabibilangan din ng mga panlabas na reaksyon ng mga koneksyon na hindi alam. Bilang karagdagan, .

Kaya, ang parehong sistema (1) at sistema (2) ay HINDI SARADO. Kinakailangang magdagdag ng mga equation, na isinasaalang-alang ang mga equation ng mga koneksyon, at marahil kinakailangan din na magpataw ng ilang mga paghihigpit sa mga koneksyon mismo. Ano ang gagawin?

Kung magsisimula tayo sa (1), maaari nating sundin ang landas ng pagbuo ng mga Lagrange equation ng unang uri. Ngunit ang landas na ito ay hindi makatwiran dahil mas madaling gawain(mas kaunting antas ng kalayaan), mas mahirap itong lutasin mula sa isang mathematical point of view.

Pagkatapos ay ibaling natin ang ating pansin sa system (2), kung saan - ay palaging hindi kilala. Ang unang hakbang sa paglutas ng isang sistema ay alisin ang mga hindi alam na ito. Dapat tandaan na, bilang panuntunan, hindi kami interesado sa mga panloob na pwersa kapag gumagalaw ang system, iyon ay, kapag gumagalaw ang system, hindi kinakailangang malaman kung paano gumagalaw ang bawat punto ng system, ngunit sapat na. upang malaman kung paano gumagalaw ang sistema sa kabuuan.

Kaya, kung sa iba't ibang paraan ibukod ang mga hindi kilalang pwersa mula sa system (2), pagkatapos ay makakakuha tayo ng ilang mga relasyon, ibig sabihin, ang ilan ay lilitaw pangkalahatang katangian para sa isang sistema, ang kaalaman na nagbibigay-daan sa amin na hatulan kung paano gumagalaw ang system sa pangkalahatan. Ang mga katangiang ito ay ipinakilala gamit ang tinatawag na pangkalahatang theorems ng dynamics. Mayroong apat na mga teorema:

1. Teorama tungkol sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema;

2. Teorama tungkol sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema;

3. Teorama tungkol sa pagbabago sa kinetic moment ng mechanical system;

4. Teorama tungkol sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema.

Medyo madalas posible na ihiwalay mahahalagang katangian paggalaw ng isang mekanikal na sistema nang hindi gumagamit ng integrasyon ng isang sistema ng mga differential equation ng paggalaw. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paglalapat ng mga pangkalahatang theorems ng dynamics.

5.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Panlabas at panloob na pwersa. Anumang puwersa na kumikilos sa isang punto sa isang mekanikal na sistema ay kinakailangang alinman sa isang aktibong puwersa o isang reaksyon ng pagkabit. Ang buong hanay ng mga puwersa na kumikilos sa mga punto ng sistema ay maaaring nahahati sa dalawang klase nang naiiba: panlabas na pwersa at panloob na pwersa (mga indeks e at i - mula sa mga salitang Latin na externus - panlabas at internus - panloob). Ang mga panlabas na puwersa ay ang mga kumikilos sa mga punto ng isang sistema mula sa mga punto at katawan na hindi bahagi ng sistemang isinasaalang-alang. Ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga punto at katawan ng system na isinasaalang-alang ay tinatawag na panloob.

Ang dibisyong ito ay nakasalalay sa kung aling mga materyal na punto at katawan ang kasama ng mananaliksik sa mekanikal na sistemang isinasaalang-alang. Kung palawakin natin ang komposisyon ng system sa pamamagitan ng pagsasama ng mga karagdagang puntos at katawan, kung gayon ang ilang puwersa na panlabas para sa nakaraang sistema ay maaaring maging panloob para sa pinalawak na sistema.

Mga katangian ng panloob na pwersa. Dahil ang mga puwersang ito ay mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng system, pumapasok sila sa kumpletong sistema ng mga panloob na pwersa sa "dalawa", na inayos alinsunod sa aksyon-reaksyon na aksiom. Ang bawat naturang "dalawa" ay may mga lakas

ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali tungkol sa isang arbitrary center ay katumbas ng zero. Dahil ang kumpletong sistema ng mga panloob na pwersa ay binubuo lamang ng "dalawa", kung gayon

1) ang pangunahing vector ng sistema ng mga panloob na pwersa ay zero,

2) ang pangunahing sandali ng sistema ng mga panloob na pwersa na nauugnay sa isang di-makatwirang punto ay katumbas ng zero.

Ang masa ng sistema ay tinatawag arithmetic sum masa tk ng lahat ng mga punto at katawan na bumubuo sa sistema:

Sentro ng misa(center of inertia) ng isang mekanikal na sistema ay ang geometric point C, ang radius vector at mga coordinate na kung saan ay tinutukoy ng mga formula

nasaan ang mga radius vector at mga coordinate ng mga puntos na bumubuo sa system.

Kung gayon ang mga pangkalahatang pwersa ay bahagyang derivatives ng trabaho sa mga displacement: solid, na matatagpuan sa isang pare-parehong larangan ng grabidad, ang mga posisyon ng sentro ng masa at ang sentro ng grabidad ay nag-tutugma, sa ibang mga kaso ang mga ito ay magkakaibang mga geometric na punto.

Kasama ang inertial reference system, ang isang non-inertial reference system na gumagalaw sa pagsasalin ay madalas na isinasaalang-alang nang sabay-sabay. Ang mga coordinate axes nito (König axes) ay pinili upang ang pinagmulan C ay patuloy na tumutugma sa sentro ng masa ng mekanikal na sistema. Alinsunod sa kahulugan, ang sentro ng masa ay nakatigil sa Koenig axes at matatagpuan sa pinagmulan ng mga coordinate.

Sandali ng pagkawalang-galaw ng system kamag-anak sa isang axis ay isang scalar na dami na katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng masa mk ng lahat ng mga punto ng system sa pamamagitan ng mga parisukat ng kanilang mga distansya sa axis:

Kung ang mekanikal na sistema ay isang matibay na katawan, upang mahanap ang 12 maaari mong gamitin ang formula

kung saan ang density, ang dami na inookupahan ng katawan.

Sa isang malaking bilang ng mga materyal na puntos na kasama sa mekanikal na sistema, o kung kabilang dito ang ganap na matibay na mga katawan () na gumaganap ng di-translational na paggalaw, ang paggamit ng isang sistema ng mga differential equation ng paggalaw sa paglutas ng pangunahing problema ng dynamics ng isang mekanikal na sistema lumalabas na halos imposible. Gayunpaman, kapag nilulutas ang maraming mga problema sa engineering, hindi na kailangang matukoy nang hiwalay ang paggalaw ng bawat punto ng isang mekanikal na sistema. Minsan sapat na upang makagawa ng mga konklusyon tungkol sa pinakamahalagang aspeto ng proseso ng paggalaw na pinag-aaralan nang hindi lubusang nilulutas ang sistema ng mga equation ng paggalaw. Ang mga konklusyong ito mula sa mga differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay bumubuo sa nilalaman ng mga pangkalahatang theorems ng dinamika. Pangkalahatang theorems, una, palayain tayo mula sa pangangailangan na isakatuparan sa bawat indibidwal na kaso ang mga pagbabagong matematikal na karaniwan sa iba't ibang mga problema at isinasagawa nang isang beses at para sa lahat kapag kumukuha ng mga theorems mula sa mga differential equation ng paggalaw. Pangalawa, ang mga pangkalahatang teorema ay nagbibigay ng koneksyon sa pagitan ng mga pangkalahatang pinagsama-samang katangian ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema, na may malinaw na pisikal na kahulugan. Ang mga pangkalahatang katangiang ito tulad ng momentum, angular momentum, kinetic energy ng isang mekanikal na sistema ay tinatawag mga sukat ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema.

Ang unang sukat ng paggalaw ay ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema.

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto ay ang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng produkto ng masa ng punto at ang bilis nito:

.

Ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay ang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng kabuuan ng mga dami ng paggalaw ng mga punto nito:

, (13.1)

Ibahin natin ang kanang bahagi ng formula (23.1):

saan
- masa ng buong sistema,
- bilis ng sentro ng masa.

Kaya naman, ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng dami ng paggalaw ng sentro ng masa nito kung ang buong masa ng sistema ay puro dito:

.

Puwersa ng salpok

Ang produkto ng isang puwersa at ang elementarya na pagitan ng oras ng pagkilos nito
tinatawag na elementary impulse of force.

Isang salpok ng kapangyarihan sa loob ng isang yugto ng panahon ay tinatawag na integral ng elementary impulse of force

.

Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema

Hayaan para sa bawat punto
ang mekanikal na sistema ay kumikilos bilang resulta ng mga panlabas na puwersa at ang resulta ng mga panloob na pwersa .

Isaalang-alang natin ang mga pangunahing equation ng dynamics ng isang mekanikal na sistema

Pagdaragdag ng mga equation (13.2) na termino ayon sa termino para sa n puntos ng system, nakukuha namin

(13.3)

Ang unang kabuuan sa kanang bahagi ay katumbas ng pangunahing vector panlabas na puwersa ng sistema. Ang pangalawang kabuuan ay katumbas ng zero dahil sa pag-aari ng mga panloob na puwersa ng system. Isaalang-alang natin kaliwang bahagi pagkakapantay-pantay (13.3):

Kaya, nakukuha namin ang:

, (13.4)

o sa mga projection sa coordinate axes

(13.5)

Ang mga pagkakapantay-pantay (13.4) at (13.5) ay nagpapahayag ng teorama sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema:

Ang derivative ng oras ng momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng pangunahing vector ng lahat ng panlabas na puwersa ng mekanikal na sistema.

Ang theorem na ito ay maaari ding ipakita sa integral form sa pamamagitan ng pagsasama ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (13.4) sa paglipas ng panahon sa loob ng saklaw mula sa t 0 hanggang t:

, (13.6)

saan
, at ang integral sa kanang bahagi ay ang salpok ng mga panlabas na pwersa para sa

oras t-t 0 .

Ang pagkakapantay-pantay (13.6) ay nagpapakita ng theorem sa integral form:

Ang pagtaas sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa isang takdang panahon ay katumbas ng salpok ng mga panlabas na puwersa sa panahong ito.

Ang teorama ay tinatawag din teorama ng momentum.

Sa mga projection sa coordinate axes, ang theorem ay isusulat bilang:

Corollaries (mga batas ng konserbasyon ng momentum)

1). Kung ang pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa para sa isinasaalang-alang na tagal ng panahon ay katumbas ng zero, kung gayon ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema ay pare-pareho, i.e. Kung
,
.

2). Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa sa anumang axis sa tagal ng panahon na isinasaalang-alang ay zero, kung gayon ang projection ng momentum ng mekanikal na sistema sa axis na ito ay pare-pareho,

mga. Kung
yun
.

Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa. Differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema. Theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema. Batas ng konserbasyon ng paggalaw ng sentro ng masa.

Theorem sa pagbabago ng momentum. Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto. Pangunahing salpok ng puwersa. Puwersahin ang salpok para sa isang may hangganang tagal ng panahon at ang projection nito papunta coordinate axes. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa mga differential at finite forms.

Ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema; pagpapahayag nito sa pamamagitan ng masa ng sistema at ang bilis ng sentro ng masa nito. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa mga anyo ng kaugalian at may hangganan. Batas ng konserbasyon ng momentum ng mekanikal

(Ang konsepto ng isang katawan at isang punto ng variable na masa. Meshchersky's equation. Tsiolkovsky's formula.)

Theorem sa pagbabago sa angular momentum. Ang sandali ng momentum ng isang materyal na punto na nauugnay sa gitna at nauugnay sa axis. Theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang materyal na punto. sentral na kapangyarihan. Pag-iingat ng angular na momentum ng isang materyal na punto sa kaso ng isang sentral na puwersa. (Ang konsepto ng bilis ng sektor. Ang batas ng mga lugar.)

Ang pangunahing sandali ng momentum o kinetic moment ng isang mekanikal na sistema na may kaugnayan sa gitna at nauugnay sa axis. Ang kinetic moment ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot. Theorem sa pagbabago sa kinetic moment ng isang mekanikal na sistema. Batas ng konserbasyon ng angular momentum ng isang mekanikal na sistema. (Ang theorem sa pagbabago sa kinetic moment ng isang mekanikal na sistema sa relatibong galaw kaugnay sa sentro ng masa.)

Theorem sa pagbabago sa kinetic energy. Kinetic energy ng isang materyal na punto. Pangunahing gawain ng puwersa; analitikong pagpapahayag ng gawaing elementarya. Ang gawaing ginawa ng isang puwersa sa panghuling paglilipat ng punto ng aplikasyon nito. Ang gawain ng gravity, elastic force at gravitational force. Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto sa differential at finite forms.

Kinetic energy ng isang mekanikal na sistema. Mga formula para sa pagkalkula ng kinetic energy ng isang matibay na katawan sa panahon ng translational motion, sa panahon ng pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis at sa pangkalahatang kaso ng paggalaw (sa partikular, sa panahon ng plane-parallel motion). Theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema sa kaugalian at may hangganan na mga anyo. Ang kabuuan ng gawaing ginawa ng mga panloob na pwersa sa isang solidong katawan ay katumbas ng zero. Trabaho at kapangyarihan ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis.

Ang konsepto ng isang force field. Potensyal na patlang ng puwersa at paggana ng puwersa. Pagpapahayag ng mga projection ng puwersa sa pamamagitan ng function ng puwersa. Mga ibabaw ng pantay na potensyal. Ang gawain ng isang puwersa sa huling pag-aalis ng isang punto sa isang potensyal na patlang ng puwersa. Potensyal na enerhiya. Mga halimbawa ng mga potensyal na field ng puwersa: pare-parehong gravitational field at gravitational field. Batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya.

Matibay na dinamika ng katawan. Differential equation ng translational motion ng isang matibay na katawan. Differential equation para sa pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis. Pisikal na pendulum. Differential equation ng paggalaw ng eroplano ng isang matibay na katawan.

Prinsipyo ni D'Alembert. Prinsipyo ni D'Alembert para sa isang materyal na punto; inertial na puwersa. Prinsipyo ni D'Alembert para sa isang mekanikal na sistema. Dinadala ang mga puwersa ng pagkawalang-kilos ng mga punto ng isang matibay na katawan sa gitna; pangunahing vector at pangunahing sandali ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw.

(Pagpapasiya ng mga dynamic na reaksyon ng mga bearings sa panahon ng pag-ikot ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang nakapirming axis. Ang kaso kapag ang axis ng pag-ikot ay ang pangunahing gitnang axis ng inertia ng katawan.)

Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw at ang pangkalahatang equation ng dynamics. Mga koneksyon na ipinataw sa isang mekanikal na sistema. Mga posibleng (o virtual) na paggalaw ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng system. Mga perpektong koneksyon. Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Pangkalahatang equation ng dynamics.

Mga equation ng paggalaw ng isang sistema sa mga pangkalahatang coordinate (Lagrange equation). Pangkalahatang mga coordinate ng system; pangkalahatang bilis. Pagpapahayag ng elementarya na gawain sa pangkalahatan na mga coordinate. Pangkalahatang pwersa at ang kanilang pagkalkula; ang kaso ng mga pwersang may potensyal. Mga kondisyon para sa ekwilibriyo ng isang sistema sa mga pangkalahatang coordinate. Differential equation ng motion ng isang system sa generalized coordinates o Lagrange equation ng 2nd kind. Lagrange equation sa kaso ng mga potensyal na pwersa; Lagrange function (kinetic potential).

Ang konsepto ng equilibrium stability. Maliit na libreng vibrations ng isang mekanikal na sistema na may isang antas ng kalayaan malapit sa posisyon ng matatag na equilibrium ng system at ang kanilang mga katangian.

Mga elemento ng teorya ng epekto. Kababalaghan ng epekto. Puwersa ng epekto at salpok ng epekto. Ang pagkilos ng puwersa ng epekto sa isang materyal na punto. Theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa epekto. Direktang sentral na epekto ng katawan sa isang nakatigil na ibabaw; nababanat at hindi nababanat na mga epekto. Ang koepisyent ng pagbawi ng epekto at ang pang-eksperimentong pagpapasiya nito. Direktang sentral na epekto ng dalawang katawan. Teorama ni Carnot.

MGA SANGGUNIAN

Basic

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Kurso ng teoretikal na mekanika. T. 1, 2. M., 1985 at mga nakaraang edisyon.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurso ng teoretikal na mekanika. M., 1983.

Starzhinsky V. M. Teoretikal na mekanika. M., 1980.

Targ S. M. Maikling kurso sa theoretical mechanics. M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 1. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Yablonsky A. A. Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Meshchersky I.V. Koleksyon ng mga problema sa teoretikal na mekanika. M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa theoretical mechanics/Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Dagdag

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Theoretical mechanics sa mga halimbawa at problema. Bahagi 1, 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa theoretical mechanics/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L. at iba pa M., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F. Karaniwang computer-based na mga kalkulasyon sa teoretikal na mekanika. M., 1986,

Koleksyon ng mga gawain para sa coursework sa theoretical mechanics / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 at mga nakaraang edisyon (naglalaman ng mga halimbawa ng paglutas ng problema).