Pelbagai formula boleh digunakan untuk menentukan luas segi tiga. Daripada semua kaedah, yang paling mudah dan paling kerap digunakan ialah mendarab ketinggian dengan panjang tapak dan kemudian membahagikan hasilnya dengan dua. Walau bagaimanapun, kaedah ini jauh dari satu-satunya. Di bawah ini anda boleh membaca cara mencari luas segi tiga menggunakan formula yang berbeza.

Secara berasingan, kami akan mempertimbangkan kaedah untuk mengira luas jenis khusus segitiga - segi empat tepat, isosceles dan sama sisi. Kami mengiringi setiap formula dengan penerangan ringkas yang akan membantu anda memahami intipatinya.

Cara universal untuk mencari luas segi tiga

Formula berikut menggunakan konvensyen khas. Kami akan menguraikan setiap daripada mereka:

• a, b, c - panjang tiga sisi rajah yang sedang kita pertimbangkan;
• r ialah jejari bulatan yang boleh ditulis dalam segi tiga kita;
• R ialah jejari bulatan yang boleh diterangkan di sekelilingnya;
• α - nilai sudut yang dibentuk oleh sisi b dan c;
• β ialah sudut antara a dan c;
• γ - nilai sudut yang dibentuk oleh sisi a dan b;
• h - ketinggian segi tiga kami, diturunkan dari sudut α ke sisi a;
• p - separuh hasil tambah sisi a, b dan c.

Adalah logik mengapa adalah mungkin untuk mencari luas segi tiga dengan cara ini. Segitiga boleh dilengkapkan dengan mudah kepada segi empat selari, di mana satu sisi segitiga akan bertindak sebagai pepenjuru. Luas segi empat selari ditemui dengan mendarab panjang salah satu sisinya dengan nilai ketinggian yang dilukis padanya. Diagonal membahagikan segi empat selari konvensional ini kepada 2 segi tiga yang sama. Oleh itu, agak jelas bahawa luas segi tiga asal kami sepatutnya sama dengan separuh luas segi empat selari tambahan ini.

S = ½ a b sin γ

Menurut formula ini, luas segi tiga ditemui dengan mendarabkan panjang dua sisinya, iaitu, a dan b, dengan sinus sudut yang dibentuk oleh mereka. Formula ini secara logik diperoleh daripada yang sebelumnya. Jika kita menurunkan ketinggian dari sudut β ke sisi b, maka, mengikut sifat segi tiga tepat, apabila mendarabkan panjang sisi a dengan sinus sudut γ, kita mendapat ketinggian segi tiga, iaitu, h.

Luas rajah yang dimaksudkan didapati dengan mendarab separuh jejari bulatan, yang boleh ditulis ke dalamnya, dengan perimeternya. Dengan kata lain, kita dapati hasil darab semiperimeter dan jejari bulatan yang disebutkan.

S = a b s / 4R

Mengikut formula ini, nilai yang kita perlukan boleh didapati dengan membahagikan hasil darab sisi rajah dengan 4 jejari bulatan yang diterangkan di sekelilingnya.

Formula ini adalah universal, kerana ia memungkinkan untuk menentukan luas mana-mana segitiga (serbaguna, isosceles, sama sisi, segi empat tepat). Ini boleh dilakukan dengan bantuan pengiraan yang lebih kompleks, di mana kita tidak akan memikirkan secara terperinci.

Luas segi tiga dengan sifat tertentu

Bagaimanakah saya mencari luas segi tiga tepat? Keanehan angka ini ialah kedua-dua sisinya serentak ketinggiannya. Jika a dan b ialah kaki, dan c menjadi hipotenus, maka luasnya didapati seperti berikut:

Bagaimanakah anda mencari luas segi tiga sama kaki? Ia mempunyai dua sisi dengan panjang a dan satu sisi dengan panjang b. Oleh itu, luasnya boleh ditentukan dengan membahagikan dengan 2 hasil darab segi empat sama sisi a dengan sinus sudut γ.

Bagaimanakah anda mencari luas segi tiga sama sisi? Di dalamnya, panjang semua sisi adalah sama dengan a, dan magnitud semua sudut ialah α. Ketinggiannya adalah sama dengan separuh hasil darab panjang sisi a dengan punca kuasa dua 3. Untuk mencari luas segi tiga sekata, anda perlu mendarab kuasa dua sisi a dengan punca kuasa dua 3 dan bahagi dengan 4.

Konsep segi empat sama

Konsep luas mana-mana rajah geometri, khususnya segitiga, akan dikaitkan dengan rajah seperti segi empat sama. Untuk luas unit mana-mana rajah geometri, kami akan mengambil luas segi empat sama, yang sisinya sama dengan satu. Demi kesempurnaan, ingat dua sifat utama untuk konsep kawasan bentuk geometri.

Harta 1: Sekiranya bentuk geometri adalah sama, maka nilai kawasannya juga sama.

Harta 2: Mana-mana bentuk boleh dibahagikan kepada beberapa bentuk. Selain itu, luas angka asal adalah sama dengan jumlah nilai kawasan semua angka konstituennya.

Mari kita lihat contoh.

Contoh 1

Jelas sekali, salah satu sisi segitiga ialah pepenjuru segi empat tepat, di mana satu sisi mempunyai panjang $ 5 $ (kerana terdapat $ 5 $ sel), dan satu lagi ialah $ 6 $ (kerana terdapat $ 6 $ sel). Akibatnya, luas segi tiga ini akan sama dengan separuh daripada segi empat tepat tersebut. Luas segi empat tepat ialah

Maka luas segi tiga itu ialah

Jawapan: $ 15 $.

Seterusnya, kita akan mempertimbangkan beberapa kaedah untuk mencari luas segi tiga, iaitu menggunakan ketinggian dan tapak, menggunakan Formula Heron dan luas segi tiga sama sisi.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga dari segi ketinggian dan tapak

Teorem 1

Luas segi tiga boleh didapati sebagai separuh hasil darab panjang sisi dengan ketinggian yang dilukis ke sisi itu.

Secara matematik, ia kelihatan seperti ini

$ S = \ frac (1) (2) αh $

di mana $ a $ ialah panjang sisi, $ h $ ialah ketinggian yang dilukis padanya.

Bukti.

Pertimbangkan segitiga $ ABC $ dengan $ AC = α $. Ketinggian $ BH $ dilukis ke sisi ini, yang bersamaan dengan $ h $. Mari kita bina sehingga segi empat sama $ AXYC $ seperti dalam Rajah 2.

Luas segi empat tepat $ AXBH $ ialah $ h \ cdot AH $, dan luas segi empat tepat $ HBYC $ ialah $ h \ cdot HC $. Kemudian

$ S_ABH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH $, $ S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot HC $

Oleh itu, luas segi tiga yang diperlukan, dengan sifat 2, adalah sama dengan

$ S = S_ABH + S_CBH = \ frac (1) (2) h \ cdot AH + \ frac (1) (2) h \ cdot HC = \ frac (1) (2) h \ cdot (AH + HC) = \ frac (1) (2) αh $

Teorem dibuktikan.

Contoh 2

Cari luas segi tiga dalam rajah di bawah jika sel itu mempunyai luas satu

Asas segi tiga ini ialah $ 9 $ (kerana $ 9 $ ialah $ 9 $ sel). Ketinggian juga $ 9. Kemudian, dengan Teorem 1, kita memperoleh

$ S = \ frac (1) (2) \ cdot 9 \ cdot 9 = 40.5 $

Jawapan: $ 40.5.

Formula Heron

Teorem 2

Diberi tiga sisi segitiga $ α $, $ β $ dan $ γ $, maka luasnya boleh didapati seperti berikut

$ S = \ persegi (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

di sini $ ρ $ bermaksud separuh perimeter segi tiga ini.

Bukti.

Pertimbangkan angka berikut:

Dengan teorem Pythagoras, daripada segi tiga $ ABH $ kita perolehi

Daripada segi tiga $ CBH $, dengan teorem Pythagoras, kita ada

$ h ^ 2 = α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

Daripada kedua-dua hubungan ini kita memperoleh kesamarataan

$ γ ^ 2-x ^ 2 = α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x = \ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 = γ ^ 2 - (\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 = \ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

Oleh kerana $ ρ = \ frac (α + β + γ) (2) $, maka $ α + β + γ = 2ρ $, maka

$ h ^ 2 = \ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 = \ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h = \ sqrt (\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h = \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Dengan Teorem 1, kita memperoleh

$ S = \ frac (1) (2) βh = \ frac (β) (2) \ cdot \ frac (2) (β) \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) = \ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Bagaimana anda boleh ingat dari kurikulum sekolah dalam geometri, segitiga ialah rajah yang terbentuk daripada tiga ruas garis yang disambungkan oleh tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus. Segitiga membentuk tiga sudut, maka nama rajah itu. Definisi mungkin berbeza. Segitiga juga boleh dipanggil poligon dengan tiga penjuru, jawapannya juga betul. Segitiga dibahagikan dengan bilangan sisi yang sama dan dengan sudut dalam rajah. Jadi segitiga sedemikian dibezakan sebagai isosceles, sama sisi dan serba boleh, serta segi empat tepat, bersudut akut dan bersudut tumpul, masing-masing.

Terdapat banyak formula untuk mengira luas segi tiga. Pilih cara mencari luas segi tiga, i.e. formula mana yang hendak digunakan, hanya anda. Tetapi perlu diperhatikan hanya beberapa notasi yang digunakan dalam banyak formula untuk mengira luas segi tiga. Jadi ingat:

S ialah luas segi tiga,

a, b, c ialah sisi segi tiga,

h ialah ketinggian segi tiga,

R ialah jejari bagi bulatan yang dihadkan,

p ialah separuh perimeter.

Berikut ialah beberapa notasi asas yang mungkin berguna jika anda benar-benar terlupa kursus geometri anda. Di bawah akan diberikan pilihan yang paling mudah difahami dan tidak rumit untuk mengira kawasan segitiga yang tidak diketahui dan misteri. Ia tidak sukar dan akan berguna untuk anda di rumah dan untuk membantu anak-anak anda. Mari kita ingat bagaimana untuk mengira luas segi tiga semudah membedil pear:

Dalam kes kami, luas segi tiga ialah: S = ½ * 2.2 cm. * 2.5 cm. = 2.75 cm persegi. Ingat bahawa luas diukur dalam sentimeter persegi (cm2).

Segi tiga segi empat tepat dan luasnya.

Segitiga bersudut tegak ialah segi tiga dengan satu sudut sama dengan 90 darjah (oleh itu ia dipanggil sudut tegak). Sudut tegak dibentuk oleh dua garis serenjang (dalam kes segitiga, dua segmen berserenjang). Dalam segi tiga bersudut tegak, hanya boleh ada satu sudut tegak, kerana hasil tambah semua sudut mana-mana satu segi tiga ialah 180 darjah. Ternyata 2 sudut yang lain mesti berkongsi baki 90 darjah, contohnya 70 dan 20, 45 dan 45, dll. Oleh itu, anda masih ingat perkara utama, anda masih perlu mengetahui cara mencari kawasan segitiga bersudut tepat. Bayangkan bahawa kita mempunyai segi tiga bersudut tepat di hadapan kita, dan kita perlu mencari kawasannya S.

1. Cara paling mudah untuk menentukan luas segi tiga bersudut tepat dikira menggunakan formula berikut:

Dalam kes kami, luas segi tiga bersudut tegak ialah: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 cm persegi.

Pada dasarnya, tidak lagi perlu untuk mendamaikan kawasan segitiga dengan cara lain, kerana hanya yang ini akan berguna dalam kehidupan seharian dan akan membantu. Tetapi terdapat juga pilihan untuk mengukur luas segi tiga melalui sudut akut.

2. Untuk kaedah pengiraan lain, anda mesti mempunyai jadual kosinus, sinus dan tangen. Nilaikan sendiri, berikut ialah beberapa pilihan untuk mengira luas segi tiga bersudut tegak yang masih boleh anda gunakan:

Kami memutuskan untuk menggunakan formula pertama dan dengan tompok kecil (kami melukis dalam buku nota dan menggunakan pembaris dan protraktor lama), tetapi kami mendapat pengiraan yang betul:

S = (2.5 * 2.5) / (2 * 0.9) = (3 * 3) / (2 * 1.2). Kami mendapat keputusan berikut 3.6 = 3.7, tetapi dengan mengambil kira peralihan sel, kami boleh memaafkan nuansa ini.

Segitiga sama kaki dan luasnya.

Sekiranya anda berhadapan dengan tugas mengira formula untuk segi tiga sama kaki, maka cara paling mudah ialah menggunakan yang utama dan, kerana ia dianggap, formula klasik untuk luas segi tiga.

Tetapi pertama, sebelum mencari luas segi tiga sama kaki, kita akan mengetahui jenis angka itu. Segitiga sama kaki ialah segi tiga dengan dua sisi yang sama panjang. Kedua-dua sisi ini dipanggil sisi sisi, sisi ketiga dipanggil tapak. Jangan mengelirukan segitiga sama kaki dengan segi tiga sama, i.e. segi tiga sekata dengan ketiga-tiga sisinya sama. Dalam segi tiga sedemikian, tidak ada kecenderungan khas untuk sudut, lebih tepat lagi, untuk saiznya. Walau bagaimanapun, sudut pada tapak dalam segi tiga sama kaki adalah sama, tetapi berbeza daripada sudut antara sisi yang sama. Jadi, anda sudah mengetahui formula pertama dan utama, masih perlu mengetahui formula lain untuk menentukan luas segi tiga sama kaki yang diketahui:

Segitiga adalah salah satu bentuk geometri yang paling biasa, yang sudah kita kenali sekolah rendah... Setiap pelajar menghadapi persoalan bagaimana mencari luas segi tiga dalam pelajaran geometri. Jadi, apakah ciri-ciri mencari kawasan angka tertentu yang boleh dibezakan? Dalam artikel ini, kita akan melihat formula asas yang diperlukan untuk menyelesaikan tugas sedemikian, dan juga menganalisis jenis segi tiga.

Jenis-jenis segitiga

Anda boleh mencari luas segi tiga sama sekali cara yang berbeza kerana lebih daripada satu jenis bentuk yang mengandungi tiga penjuru diserlahkan dalam geometri. Jenis ini termasuk:

• Bodoh.
• Sama sisi (betul).
• Segitiga kanan.
• Sama kaki.

Mari kita lihat dengan lebih dekat setiap satu jenis sedia ada segi tiga.

Bentuk geometri ini dianggap paling biasa dalam menyelesaikan masalah geometri. Apabila ia menjadi perlu untuk melukis segitiga sewenang-wenangnya, pilihan ini datang untuk menyelamatkan.

Dalam segi tiga bersudut akut, seperti namanya, semua sudut adalah akut dan ditambah sehingga 180 °.

Segitiga sedemikian juga sangat biasa, bagaimanapun, ia didapati agak kurang kerap daripada yang bersudut akut. Sebagai contoh, apabila menyelesaikan segi tiga (iaitu, anda tahu beberapa sisi dan sudutnya dan anda perlu mencari elemen yang tinggal) kadangkala anda perlu menentukan sama ada sudut itu tumpul atau tidak. Kosinus ialah nombor negatif.

Dalam nilai salah satu sudut melebihi 90 °, jadi baki dua sudut boleh mengambil nilai kecil (contohnya, 15 ° atau bahkan 3 °).

Untuk mencari luas segi tiga jenis ini, anda perlu mengetahui beberapa nuansa, yang akan kita bincangkan lebih lanjut.

Segitiga sekata dan sama kaki

Poligon sekata ialah rajah yang merangkumi n bucu, di mana semua sisi dan sudut adalah sama. Ini adalah segi tiga biasa. Oleh kerana jumlah semua sudut segitiga ialah 180 °, setiap tiga sudut ialah 60 °.

Segi tiga sekata, kerana sifatnya, juga dipanggil angka sama sisi.

Perlu juga diperhatikan bahawa hanya satu bulatan boleh ditulis dalam segitiga biasa dan hanya satu bulatan boleh diterangkan di sekelilingnya, dan pusatnya terletak pada satu titik.

Sebagai tambahan kepada jenis sama sisi, segitiga sama kaki juga boleh dibezakan, sedikit berbeza daripadanya. Dalam segi tiga sedemikian, dua sisi dan dua sudut adalah sama antara satu sama lain, dan sisi ketiga (yang berdampingan dengannya). sudut yang sama) adalah asas.

Rajah menunjukkan segi tiga sama kaki DEF, sudut D dan F adalah sama, dan DF ialah tapak.

Segitiga kanan

Segitiga bersudut tegak dinamakan sedemikian kerana salah satu sudutnya lurus, iaitu, ia sama dengan 90 °. Dua sudut yang lain menambah sehingga 90 °.

Paling banyak sebelah besar bagi segi tiga sedemikian, terletak bertentangan dengan sudut 90 ° ialah hipotenus, manakala dua sisi yang lain ialah kaki. Untuk jenis segi tiga ini, teorem Pythagoras boleh digunakan:

Jumlah kuasa dua panjang kaki adalah sama dengan kuasa dua panjang hipotenus.

Rajah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak BAC dengan hipotenus AC dan kaki AB dan BC.

Untuk mencari luas segi tiga dengan sudut tepat, anda perlu tahu nilai berangka kakinya.

Mari kita beralih kepada formula untuk mencari kawasan angka ini.

Formula asas untuk mencari kawasan

Dalam geometri, dua formula boleh dibezakan yang sesuai untuk mencari luas kebanyakan jenis segitiga, iaitu untuk segi tiga bersudut akut, tumpul, sekata dan sama kaki. Mari analisa setiap daripada mereka.

Di sebelah dan ketinggian

Formula ini adalah universal untuk mencari luas angka yang sedang kita pertimbangkan. Untuk melakukan ini, cukup untuk mengetahui panjang sisi dan panjang ketinggian yang ditarik kepadanya. Formula itu sendiri (separuh hasil darab tapak dan ketinggian) adalah seperti berikut:

di mana A ialah sisi segi tiga ini dan H ialah ketinggian segi tiga itu.

Sebagai contoh, untuk mencari luas segi tiga bersudut akut ACB, darab sisi AB dengan ketinggian CD dan bahagikan nilai yang terhasil dengan dua.

Walau bagaimanapun, tidak selalu mudah untuk mencari luas segi tiga dengan cara ini. Sebagai contoh, untuk menggunakan formula ini untuk segi tiga tumpul, anda perlu meneruskan salah satu sisinya dan kemudian lukis ketinggian kepadanya.

Dalam amalan, formula ini digunakan lebih kerap daripada yang lain.

Pada dua sisi dan satu sudut

Formula ini, seperti yang sebelumnya, sesuai untuk kebanyakan segi tiga dan dalam maksudnya adalah akibat daripada formula untuk mencari luas di sisi dan ketinggian segi tiga. Iaitu, formula yang dipertimbangkan boleh diperolehi dengan mudah daripada yang sebelumnya. Kata-katanya kelihatan seperti ini:

S = ½ * sinO * A * B,

di mana A dan B ialah sisi segi tiga dan O ialah sudut antara sisi A dan B.

Ingat bahawa sinus sudut boleh dilihat dalam jadual khas yang dinamakan sempena ahli matematik Soviet yang cemerlang V.M. Bradis.

Sekarang mari kita beralih kepada formula lain yang hanya sesuai untuk jenis segitiga yang luar biasa.

Luas segi tiga tepat

Sebagai tambahan kepada formula sejagat, yang merangkumi keperluan untuk melukis ketinggian dalam segi tiga, kawasan segitiga yang mengandungi sudut tegak boleh didapati dengan kakinya.

Jadi, luas segi tiga yang mengandungi sudut tegak ialah separuh hasil darab kakinya, atau:

dengan a dan b ialah kaki bagi segi tiga bersudut tegak.

Segitiga biasa

Jenis ini angka geometri berbeza kerana luasnya boleh didapati pada nilai yang ditunjukkan hanya satu sisinya (kerana semua sisi segitiga sekata adalah sama). Oleh itu, berhadapan dengan masalah "cari luas segi tiga apabila sisinya sama", anda perlu menggunakan formula berikut:

S = A 2 * √3 / 4,

di mana A ialah sisi segi tiga sama sisi.

Formula Heron

Pilihan terakhir untuk mencari luas segi tiga ialah formula Heron. Untuk menggunakannya, anda perlu mengetahui panjang tiga sisi rajah. Formula Heron kelihatan seperti ini:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

dengan a, b dan c ialah sisi segi tiga ini.

Kadang-kadang masalah diberikan: "luas segitiga biasa - cari panjang sisinya." V dalam kes ini kita perlu menggunakan formula yang telah diketahui oleh kita untuk mencari luas segi tiga sekata dan dapatkan daripadanya nilai sisi (atau segi empat samanya):

A 2 = 4S / √3.

Tugas peperiksaan

Dalam masalah GIA dalam matematik, terdapat banyak formula. Di samping itu, selalunya perlu mencari luas segi tiga pada kertas berkotak-kotak.

Dalam kes ini, adalah paling mudah untuk menarik ketinggian ke salah satu sisi rajah, tentukan panjangnya mengikut sel dan gunakan formula universal untuk mencari kawasan:

Oleh itu, selepas mengkaji formula yang dibentangkan dalam artikel, anda tidak akan menghadapi masalah mencari luas segi tiga dalam apa jua bentuk.