Ia logik untuk terus bercakap operasi dengan pecahan algebra. Dengan pecahan algebra ditakrifkan tindakan berikut: tambah, tolak, darab, bahagi dan naikkan kepada ijazah semula jadi. Selain itu, semua tindakan ini ditutup, dalam erti kata bahawa hasil daripada pelaksanaannya pecahan algebra diperoleh. Mari kita lihat setiap daripada mereka dalam urutan.

Ya, perlu diperhatikan dengan segera bahawa tindakan dengan pecahan algebra ialah generalisasi bagi tindakan yang sepadan dengan pecahan biasa. Oleh itu, peraturan yang sepadan hampir bertepatan perkataan demi perkataan dengan peraturan untuk melakukan penambahan dan penolakan, pendaraban, pembahagian dan eksponen. pecahan biasa.

Navigasi halaman.

Menambah pecahan algebra

Penambahan mana-mana pecahan algebra sesuai dengan salah satu daripada dua kes berikut: dalam yang pertama, pecahan dengan penyebut yang sama, dalam yang kedua - dengan yang berbeza. Mari kita mulakan dengan peraturan untuk menambah pecahan dengan penyebut seperti.

Untuk menambah pecahan algebra dengan penyebut yang sama, anda menambah pengangka dan membiarkan penyebutnya sama.

Peraturan yang diumumkan membolehkan anda beralih daripada penambahan pecahan algebra kepada penambahan polinomial yang terdapat dalam pengangka. Sebagai contoh, .

Untuk menambah pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza anda perlu bertindak mengikut peraturan berikut: pimpin mereka ke penyebut biasa, kemudian tambahkan pecahan yang terhasil dengan penyebut yang sama.

Sebagai contoh, apabila menambah pecahan algebra dan ia mesti dibawa kepada penyebut biasa, akibatnya ia akan menjadi bentuk Dan sewajarnya, selepas itu penambahan pecahan ini dengan penyebut yang sama dilakukan: .

Penolakan

Tindakan seterusnya, menolak pecahan algebra, dilakukan sama seperti penambahan. Jika penyebut pecahan algebra asal adalah sama, maka anda hanya perlu menolak polinomial dalam pengangka dan biarkan penyebutnya sama. Jika penyebutnya berbeza, maka mula-mula pengurangan kepada penyebut biasa dilakukan, selepas itu pecahan yang terhasil dengan penyebut yang sama ditolak.

Mari beri contoh.

Mari kita tolak pecahan algebra dan , penyebutnya adalah sama, oleh itu . Pecahan algebra yang terhasil boleh dikurangkan lagi: .

Sekarang mari kita tolak pecahan daripada pecahan. Pecahan algebra ini mempunyai penyebut yang berbeza, oleh itu, mula-mula kita bawakannya kepada penyebut sepunya, yang dalam dalam kes ini ialah 5·x·(x-1) , kita ada Dan . Apa yang perlu dilakukan ialah menolak:

Mendarab pecahan algebra

Pecahan algebra boleh didarab. Tindakan ini dijalankan sama seperti mendarab pecahan biasa mengikut peraturan berikut: untuk mendarab pecahan algebra, anda perlu mendarabkan pengangka secara berasingan, dan penyebutnya secara berasingan.

Mari kita beri contoh. Mari kita darab pecahan algebra dengan pecahan . Mengikut peraturan yang dinyatakan, kita ada . Ia kekal untuk mengubah pecahan yang terhasil kepada pecahan algebra, untuk melakukan ini dalam kes ini, anda perlu mendarabkan monomial dan polinomial (dan dalam kes am- pendaraban polinomial) dalam pengangka dan penyebut: .

Perlu diingat bahawa sebelum mendarab pecahan algebra, adalah dinasihatkan untuk memfaktorkan polinomial yang terdapat dalam pengangka dan penyebutnya. Ini disebabkan oleh kemungkinan mengurangkan pecahan yang terhasil. Sebagai contoh,
.

Tindakan ini dibincangkan dengan lebih terperinci dalam artikel.

Pembahagian

Mari kita beralih kepada operasi dengan pecahan algebra. Seterusnya membahagi pecahan algebra. Peraturan berikut mengurangkan pembahagian pecahan algebra kepada pendaraban: untuk membahagi satu pecahan algebra dengan yang lain, anda perlu mendarab pecahan pertama dengan salingan yang kedua.

Pecahan algebra, songsang bagi pecahan tertentu, ialah pecahan dengan pengangka dan penyebut ditukar. Dalam erti kata lain, dua pecahan algebra dianggap saling songsang jika hasil darabnya adalah sama dengan satu (dengan analogi dengan).

Mari kita beri contoh. Mari buat pembahagian . Pecahan salingan pembahagi ialah . Justeru, .

Untuk maklumat yang lebih terperinci, rujuk artikel yang dinyatakan dalam perenggan sebelumnya: pendaraban dan pembahagian pecahan algebra.

Menaikkan pecahan algebra kepada kuasa

Akhir sekali, kita beralih kepada tindakan terakhir dengan pecahan algebra - meningkatkan kepada kuasa semula jadi. , serta cara kami mentakrifkan pendaraban pecahan algebra, membolehkan kami menulis peraturan untuk menaikkan pecahan algebra kepada kuasa: anda perlu secara berasingan menaikkan pengangka kepada kuasa ini, dan secara berasingan penyebutnya.

Mari tunjukkan contoh melakukan tindakan ini. Mari kita tingkatkan pecahan algebra kepada kuasa kedua. Mengikut peraturan di atas yang kita ada . Ia kekal untuk menaikkan monomial dalam pengangka kepada kuasa, dan juga menaikkan polinomial dalam penyebut kepada kuasa, yang akan memberikan pecahan algebra bentuk .

Penyelesaian kepada contoh tipikal lain ditunjukkan dalam artikel menaikkan pecahan algebra kepada kuasa.

Bibliografi.

• Algebra: buku teks untuk darjah 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. Gred 8. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-11, dipadamkan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Hak cipta oleh pelajar pandai

Hak cipta terpelihara.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tiada bahagian dari www.site, termasuk bahan dalaman dan penampilan tidak boleh diterbitkan semula dalam sebarang bentuk atau digunakan tanpa kebenaran bertulis terlebih dahulu daripada pemegang hak cipta.

Objektif: ulang peraturan untuk mendarab pecahan biasa dan mengajar cara menggunakan peraturan ini untuk mendarab sebarang pecahan; menyatukan kemahiran mengurangkan pecahan dan sifat kuasa dengan asas yang sama semasa latihan.

Semasa kelas

I. Analisis kerja ujian.

1. Nyatakan kesilapan yang dilakukan oleh pelajar dalam ujian.

2. Menyelesaikan tugasan yang menimbulkan kesukaran kepada pelajar.

II. Kerja lisan.

1. Ulang sifat darjah dengan asas yang sama:

2. Hadir sebagai kuasa dengan asas

Semak sifat asas pecahan dan gunakan sifat ini untuk mengurangkan pecahan.

III. Penjelasan bahan baru.

1. Mari kita buktikan bahawa kesaksamaan

benar untuk sebarang nilai pembolehubah yang dibenarkan, iaitu, untuk b≠0 dan d≠0.

2. Peraturan: Untuk mendarab pecahan dengan pecahan, anda perlu mendarab pengangkanya dan mendarabkan penyebutnya dan menulis hasil darab pertama sebagai pengangka, dan yang kedua sebagai penyebut pecahan itu.

3. Pertimbangkan penyelesaian kepada contoh 1, 2, 3, dan 4 di muka surat 26-27 buku teks.

4. Peraturan untuk mendarab pecahan terpakai kepada hasil darab tiga atau lebih faktor.

Sebagai contoh:

1. Selesaikan No 108 (secara lisan).

2. Selesaikan No. 109 (a, c, e) di papan tulis dan dalam buku nota.

Pelajar membuat keputusan sendiri, kemudian penyelesaiannya disemak.

3. Selesaikan No. 112 (c; d; f).

Kerja rumah: kaji perenggan 5 (1-4); selesaikan No. 109 (b; d; f),

No. 112 (a; b; d), No. 118 (a; c; d), No. 119 (b; d), No. 120 (a; c).

Pelajaran 2

Objektif: memperoleh peraturan untuk menaikkan pecahan kepada kuasa dan mengajar pelajar untuk menggunakan peraturan ini semasa melakukan latihan; menyatukan peraturan mendarab pecahan dan kemahiran mengurangkan pecahan, membangunkan pemikiran logik pelajar.

Semasa kelas

I. Kerja lisan.

4. Semak kerja rumah secara terpilih daripada buku nota.

II. Mempelajari bahan baharu.

1. Pertimbangkan persoalan menaikkan pecahan kepada kuasa. Mari kita buktikan

2. Peraturan. Untuk menaikkan pecahan kepada kuasa, anda perlu menaikkan pengangka dan penyebut kepada kuasa ini dan menulis hasil pertama dalam pengangka, dan yang kedua dalam penyebut pecahan itu.

3. Analisis penyelesaian untuk contoh 5 di muka surat 28 buku teks:

III. Melakukan senaman.

1. Selesaikan No 115 secara lisan.

2. Selesaikan sendiri No. 116 dengan menyemak atau mengulas di tempat.

IV. Kerja bebas (10 min).

V. Ringkasan pelajaran.

1. Bentuk satu peraturan untuk mendarab pecahan.

2. Bentuk satu peraturan untuk menaikkan pecahan kepada kuasa.

Kerja rumah: pelajari peraturan perenggan 5; selesaikan No. 117, No. 121 (a; d), No. 122 (a; c), No. 123 (a), No. 124, No. 130 (a; b).

Adalah jelas bahawa nombor dengan kuasa boleh ditambah seperti kuantiti lain , dengan menambahkannya satu demi satu dengan tanda-tandanya.

Jadi, hasil tambah a 3 dan b 2 ialah a 3 + b 2.
Hasil tambah a 3 - b n dan h 5 -d 4 ialah a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kemungkinan kuasa yang sama bagi pembolehubah yang sama boleh ditambah atau dikurangkan.

Jadi, hasil tambah 2a 2 dan 3a 2 adalah sama dengan 5a 2.

Ia juga jelas bahawa jika anda mengambil dua petak a, atau tiga petak a, atau lima petak a.

Tetapi ijazah pelbagai pembolehubah Dan pelbagai darjat pembolehubah yang sama, mesti digubah dengan menambahkannya dengan tandanya.

Jadi, hasil tambah a 2 dan a 3 ialah hasil tambah a 2 + a 3.

Adalah jelas bahawa kuasa dua a, dan kubus a, tidak sama dengan dua kali kuasa dua a, tetapi dua kali ganda kubus a.

Hasil tambah a 3 b n dan 3a 5 b 6 ialah a 3 b n + 3a 5 b 6.

Penolakan kuasa dijalankan dengan cara yang sama seperti penambahan, kecuali tanda-tanda subtrahend mesti diubah sewajarnya.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3j 2 b 6 - 4j 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Melipatgandakan kuasa

Nombor dengan kuasa boleh didarab, seperti kuantiti lain, dengan menulisnya satu demi satu, dengan atau tanpa tanda darab di antaranya.

Oleh itu, hasil darab a 3 dengan b 2 ialah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil dalam contoh terakhir boleh dipesan dengan menambah pembolehubah yang sama.
Ungkapan akan mengambil bentuk: a 5 b 5 y 3.

Dengan membandingkan beberapa nombor (pembolehubah) dengan kuasa, kita dapat melihat bahawa jika mana-mana dua daripadanya didarab, maka hasilnya adalah nombor (pembolehubah) dengan kuasa yang sama dengan jumlah darjah istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 ialah kuasa hasil pendaraban, bersamaan dengan 2 + 3, jumlah kuasa sebutan.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor seberapa banyak kuasa n;

Dan a m diambil sebagai faktor seberapa banyak darjah m adalah sama dengan;

sebab itu, kuasa dengan asas yang sama boleh didarab dengan menambah eksponen kuasa.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Darab (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawapan: x 4 - y 4.
Darab (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Peraturan ini juga benar untuk nombor yang eksponennya negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini boleh ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b didarab dengan a - b, hasilnya akan menjadi 2 - b 2: iaitu

Hasil pendaraban jumlah atau perbezaan dua nombor adalah sama dengan jumlah atau perbezaan kuasa duanya.

Jika anda mendarab jumlah dan beza dua nombor yang dinaikkan kepada segi empat sama, hasilnya akan sama dengan jumlah atau perbezaan nombor ini dalam keempat darjah.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Pembahagian darjah

Nombor dengan kuasa boleh dibahagikan seperti nombor lain, dengan menolak dividen, atau dengan meletakkannya dalam bentuk pecahan.

Oleh itu, a 3 b 2 dibahagikan dengan b 2 adalah sama dengan a 3.

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibahagikan dengan 3 kelihatan seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tetapi ini sama dengan 2 . Dalam satu siri nombor
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
sebarang nombor boleh dibahagikan dengan yang lain, dan eksponen akan sama dengan beza penunjuk nombor boleh bahagi.

Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponen mereka ditolak..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Iaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Iaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Peraturan ini juga benar untuk nombor dengan negatif nilai darjah.
Hasil pembahagian a -5 dengan -3 ialah a -2.
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Ia adalah perlu untuk menguasai pendaraban dan pembahagian kuasa dengan baik, kerana operasi sedemikian digunakan secara meluas dalam algebra.

Contoh penyelesaian contoh dengan pecahan yang mengandungi nombor dengan kuasa

1. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawapan: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangkan eksponen sebanyak $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawapan: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangkan eksponen a 2 /a 3 dan a -3 /a -4 dan bawa kepada penyebut sepunya.
a 2 .a -4 ialah a -2 pengangka pertama.
a 3 .a -3 ialah 0 = 1, pengangka kedua.
a 3 .a -4 ialah a -1 , pengangka sepunya.
Selepas dipermudahkan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangkan eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan bawa kepada penyebut yang sama.
Jawapan: 2a 3 /5a 7 dan 5a 5 /5a 7 atau 2a 3 /5a 2 dan 5/5a 2.

5. Darab (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Darab (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Darab b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bahagikan sebuah 4 /y 3 dengan sebuah 3 /y 2 . Jawapan: a/y.

9. Bahagikan (h 3 - 1)/d 4 dengan (d n + 1)/j.

Formula ijazah digunakan dalam proses mengurangkan dan memudahkan ungkapan kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Nombor c ialah n-kuasa ke- bagi suatu nombor a Bila:

Operasi dengan ijazah.

1. Dengan mendarab darjah dengan asas yang sama, penunjuknya ditambah:

a m·a n = a m + n .

2. Apabila membahagikan darjah dengan asas yang sama, eksponennya ditolak:

3. Darjah hasil darab 2 atau lebih faktor adalah sama dengan darab darjah faktor ini:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Darjah pecahan adalah sama dengan nisbah darjah dividen dan pembahagi:

(a/b) n = a n /b n .

5. Meningkatkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan:

(a m) n = a m n .

Setiap formula di atas adalah benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Sebagai contoh. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah dividen dan pembahagi punca:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, sudah cukup untuk menaikkan nombor radikal kepada kuasa ini:

4. Jika anda meningkatkan darjah akar masuk n sekali dan pada masa yang sama membina ke dalam n kuasa ke adalah nombor radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika anda mengurangkan darjah akar dalam n ekstrak akar pada masa yang sama n-kekuasaan nombor radikal, maka nilai punca tidak akan berubah:

Ijazah dengan eksponen negatif. Kuasa nombor tertentu dengan eksponen bukan positif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan kuasa nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak penunjuk tidak positif:

Formula a m:a n =a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m> n, tetapi juga dengan m< n.

Sebagai contoh. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kepada formula a m:a n =a m - n menjadi adil apabila m=n, kehadiran darjah sifar diperlukan.

Ijazah dengan indeks sifar. Kuasa sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

Sebagai contoh. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata A ke tahap m/n, anda perlu mengekstrak akarnya n darjah ke- m-kuasa ke- nombor ini A.

Pelajaran mengenai topik: "Peraturan pendaraban dan pembahagian kuasa dengan eksponen yang sama dan berbeza. Contoh"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda. Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 7
Manual untuk buku teks Yu.N. Manual Makarycheva untuk buku teks oleh A.G. Mordkovich

Tujuan pelajaran: belajar melakukan operasi dengan kuasa nombor.

Pertama, mari kita ingat konsep "kuasa nombor". Ungkapan bentuk $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ boleh diwakili sebagai $a^n$.

Sebaliknya juga benar: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Persamaan ini dipanggil "merekodkan ijazah sebagai produk." Ia akan membantu kita menentukan cara untuk mendarab dan membahagikan kuasa.
Ingat:
a– asas ijazah.
n– eksponen.
Jika n=1, yang bermaksud nombor A mengambil sekali dan sewajarnya: $a^n= 1$.
Jika n= 0, kemudian $a^0= 1$.

Kita boleh mengetahui mengapa ini berlaku apabila kita membiasakan diri dengan peraturan pendaraban dan pembahagian kuasa.

Peraturan pendaraban

Contoh.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Sifat ini mudah digunakan untuk memudahkan kerja apabila menaikkan nombor kepada kuasa yang lebih tinggi.
Contoh.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jika darjah dengan asas yang berbeza, tetapi eksponen yang sama didarab.
Untuk mendapatkan $a^n * b^n$, kami menulis darjah sebagai hasil darab: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Jika kita menukar faktor dan mengira pasangan yang terhasil, kita mendapat: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Jadi $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Contoh.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Peraturan bahagian

Jadi, kita perlukan $\frac(a^n)(a^m)$, Di mana n>m.

Mari kita tulis darjah sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Sekarang mari kita kurangkan pecahan.

Ternyata: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Bermaksud, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Sifat ini akan membantu menjelaskan situasi dengan menaikkan nombor kepada kuasa sifar. Mari kita anggap itu n=m, maka $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Contoh.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Asas darjah adalah berbeza, penunjuk adalah sama.
Katakan $\frac(a^n)( b^n)$ perlu. Mari kita tulis kuasa nombor sebagai pecahan:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Contoh.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.