Mari kita pertimbangkan contoh ini. Anda perlu mengira secara berurutan: .

Anda boleh menyusun semula nombor yang perlu ditambah, dan kemudian tolak yang selebihnya: .

Tetapi ini tidak selalunya mudah. Sebagai contoh, kita boleh mengira baki perkara dalam beberapa gudang dan kita perlu mengetahui hasil perantaraan.

Anda boleh melakukan tindakan berturut-turut: .

Kami tahu bahawa, oleh itu, hasilnya akan menjadi penolakan daripada nombor. Ini bermakna kita perlu menolak , tetapi tidak daripada apa-apa lagi. Apabila kita mempunyai sesuatu untuk ditolak, kita tolak:

Tetapi kita boleh "menipu" dan menetapkan . Jadi kami akan memperkenalkan objek baru - nombor negatif.

Kami telah melakukan operasi sedemikian - secara semula jadi, sebagai contoh, nombor "" juga tidak wujud, tetapi kami memperkenalkan objek sedemikian untuk memudahkan merekodkan tindakan.

Bayangkan di sebuah gudang sukan kami ditugaskan untuk mengeluarkan dan menerima bola. Kita perlu menyimpan rekod. Anda boleh menulis dalam perkataan:

Dikeluarkan, Diterima, Dikeluarkan, Diterima, … (Lihat Rajah 1.)

nasi. 1. Perakaunan

Setuju, jika anda perlu mengeluarkan dan menerima banyak kali sehari, maka rakaman tidak begitu mudah.

Anda boleh membahagikan helaian kepada dua lajur, satu - Diterima, satu lagi - Dikeluarkan. (Lihat Rajah 2.)

nasi. 2. Rakaman yang dipermudahkan

Rakaman telah menjadi lebih pendek. Tetapi inilah masalahnya: bagaimana untuk memahami berapa banyak bola yang diambil (atau diberikan) pada bila-bila masa tertentu?

Anda boleh menggunakan pertimbangan berikut untuk rakaman: apabila kami mengeluarkan bola dari gudang, kuantitinya dalam gudang berkurangan, dan apabila kami menerimanya, ia meningkat.

Tetapi bagaimana untuk menulis "memberi bola keluar"? Anda boleh memasukkan objek berikut: .

Objek ini membolehkan kita membuat rekod matematik pergerakan bola dalam susunan di mana ia berlaku:

Mari kita lihat contoh lain.

Terdapat rubel dalam akaun telefon anda. Anda pergi ke dalam talian dan ia menelan kos rubel. Hasilnya ialah hutang rubel. Pengendali boleh menulis: "pelanggan berhutang rubel." Anda meletakkan rubel. Pengendali telah menolak hutang. Ia ternyata pada akaun rubel.

Tetapi adalah mudah untuk merekodkan kedua-dua transaksi dan wang dalam akaun menggunakan tanda "" dan "". (Lihat Rajah 3.)

nasi. 3. Rakaman yang mudah

Kami memasukkan nombor negatif untuk menulis hasil penolakan nombor yang lebih besar daripada nombor yang lebih kecil: .

Menambah nombor negatif adalah bersamaan dengan menolak: .

Untuk membezakan nombor negatif daripada nombor positif yang kami berurusan sebelum ini, kami bersetuju untuk meletakkan tanda tolak di hadapannya: .

Bolehkah anda melakukannya tanpa mereka? Ya awak boleh. Dalam setiap situasi tertentu kita akan menggunakan perkataan "kembali", "berhutang" dan sebagainya. Tetapi mereka, kata-kata ini, akan berbeza.

Oleh itu, kami mempunyai alat yang universal dan mudah. Satu untuk semua kes sedemikian.

Kita boleh melukis analogi dengan kereta. Ia terdiri daripada sebilangan besar bahagian, kebanyakannya tidak diperlukan secara individu, tetapi semuanya membolehkan anda memandu. Begitu juga, nombor negatif ialah alat yang, bersama-sama dengan alat matematik lain, menjadikannya lebih mudah untuk mengira dan memudahkan penyelesaian dan menulis banyak masalah.

Jadi, kami telah memperkenalkan objek baharu - nombor negatif. Untuk apa mereka digunakan dalam kehidupan?

Pertama, mari kita ingat peranan nombor positif:

Kuantiti: contohnya kayu, liter susu. (Lihat Rajah 4.)

nasi. 4. Kuantiti

Memesan: sebagai contoh, rumah bernombor nombor positif. (Lihat Rajah 5.)

nasi. 5. Mengatur

Nama: contohnya, nombor pemain bola sepak. (Lihat Rajah 6.)

nasi. 6. Nombor sebagai nama

Sekarang mari kita lihat fungsinya nombor negatif:

Petunjuk kuantiti yang hilang. Kuantiti tidak pernah negatif. Tetapi nombor negatif digunakan untuk menunjukkan bahawa sesuatu kuantiti sedang ditolak. Sebagai contoh, kita boleh menuang dari botol dan menulisnya sebagai . (Lihat Rajah 7.)

nasi. 7. Petunjuk kuantiti yang hilang

Mengatur. Kadangkala, apabila penomboran, sifar dipilih dan anda perlu menomborkan objek pada kedua-dua belah sifar. Sebagai contoh, lantai yang terletak di bawah th, di ruangan bawah tanah. (Lihat Rajah 8.) Atau suhu yang berada di bawah sifar yang dipilih. (Lihat Rajah 9.)

nasi. 8. Lantai terletak di bawah ke, di tingkat bawah tanah

nasi. 9. Nombor negatif pada skala termometer

Namun begitu, tujuan utama nombor negatif adalah sebagai alat untuk memudahkan pengiraan matematik.

Tetapi untuk nombor negatif menjadi seperti ini alat yang selesa, perlu:

Suhu negatif ialah suhu di bawah sifar, di bawah suhu sifar. Tetapi apakah suhu sifar? Untuk mengukur dan merekod suhu, anda perlu memilih unit ukuran dan titik rujukan. Kedua-duanya adalah perjanjian. Kami menggunakan skala Celsius selepas saintis yang mencadangkannya. (Lihat Rajah 10.)

nasi. 10. Anders Celsius

Takat beku air dipilih sebagai titik rujukan di sini. Apa-apa sahaja di bawah ditunjukkan oleh nilai negatif. (Lihat Rajah 11.)

nasi. sebelas.

Tetapi adalah jelas bahawa jika kita mengambil satu lagi titik rujukan, satu lagi sifar, maka suhu negatif dalam Celsius boleh menjadi positif pada skala lain ini. Inilah yang berlaku. Skala Kelvin digunakan secara meluas dalam fizik. Ia serupa dengan skala Celsius, hanya nilai suhu terendah yang mungkin dipilih sebagai sifar (ia tidak boleh lebih rendah). Nilai ini dipanggil "sifar mutlak". Dalam Celsius ini lebih kurang . (Lihat Rajah 12.)

nasi. 12. Dua skala

Iaitu, tiada nilai negatif dalam skala Kelvin sama sekali.

Jadi, musim panas kami .

Dan yang beku .

Iaitu, suhu negatif adalah konvensyen, perjanjian di kalangan orang untuk memanggilnya begitu.

Mari kita mulakan dari awal. Sifar menduduki kedudukan istimewa di antara nombor.

Seperti yang telah kita bincangkan, untuk kemudahan kita, kita boleh menyatakan penolakan tujuh sebagai nombor negatif. Oleh kerana ia bermaksud penolakan, kami meninggalkan tanda "" sebagai tandanya. Mari namakan nombor baharu.

Iaitu, "" ialah nombor yang menambah hingga sifar: . Dan dalam sebarang susunan. Ini ialah takrifan nombor negatif (atau bertentangan).

Untuk setiap nombor yang kami pelajari tadi, kami akan memperkenalkan nombor baru, negatif, yang tandanya adalah tanda tolak di hadapannya. Iaitu, untuk setiap nombor sebelumnya kembar negatifnya muncul. Kami memanggil kembar seperti nombor bertentangan. (Lihat Rajah 13.)

nasi. 13. Nombor bertentangan

Jadi, definisi: nombor bertentangan ialah dua nombor yang jumlahnya sama dengan sifar.

Secara luaran, mereka hanya berbeza dalam tanda "".

Jika pembolehubah didahului dengan tanda "", contohnya, apakah maksudnya? Ini tidak bermakna nilai ini negatif. Tanda tolak bermakna bahawa nilai ini adalah bertentangan dengan nombor: . Kami tidak tahu yang mana antara nombor ini adalah positif dan yang mana negatif.

Jika, maka.

Jika (nombor negatif), maka (nombor positif).

Apakah nombor yang bertentangan dengan sifar? Kita sudah tahu ini.

Jika sifar ditambah kepada mana-mana nombor, termasuk sifar, nombor asal tidak akan berubah. Iaitu, hasil tambah dua sifar ialah sifar: . Tetapi nombor yang jumlahnya sifar adalah bertentangan. Oleh itu, sifar adalah bertentangan dengan dirinya sendiri.

Jadi, kami telah memberikan definisi nombor negatif dan mengetahui mengapa ia diperlukan.

Sekarang mari kita luangkan sedikit masa untuk teknologi. Buat masa ini, kita perlu belajar cara mencari lawan bagi sebarang nombor:

Di bahagian terakhir pelajaran kita akan bercakap tentang nama dan notasi baru untuk set yang muncul selepas pengenalan nombor negatif.

Mari kita pertimbangkan contoh ini. Anda perlu mengira secara berurutan: .

Anda boleh menyusun semula nombor yang perlu ditambah, dan kemudian tolak yang selebihnya: .

Tetapi ini tidak selalunya mudah. Sebagai contoh, kita boleh mengira baki perkara dalam beberapa gudang dan kita perlu mengetahui hasil perantaraan.

Anda boleh melakukan tindakan berturut-turut: .

Kami tahu bahawa, oleh itu, hasilnya akan menjadi penolakan daripada nombor. Ini bermakna kita perlu menolak , tetapi tidak daripada apa-apa lagi. Apabila kita mempunyai sesuatu untuk ditolak, kita tolak:

Tetapi kita boleh "menipu" dan menetapkan . Jadi kami akan memperkenalkan objek baru - nombor negatif.

Kami telah melakukan operasi sedemikian - secara semula jadi, sebagai contoh, nombor "" juga tidak wujud, tetapi kami memperkenalkan objek sedemikian untuk memudahkan merekodkan tindakan.

Bayangkan di sebuah gudang sukan kami ditugaskan untuk mengeluarkan dan menerima bola. Kita perlu menyimpan rekod. Anda boleh menulis dalam perkataan:

Dikeluarkan, Diterima, Dikeluarkan, Diterima, … (Lihat Rajah 1.)

nasi. 1. Perakaunan

Setuju, jika anda perlu mengeluarkan dan menerima banyak kali sehari, maka rakaman tidak begitu mudah.

Anda boleh membahagikan helaian kepada dua lajur, satu - Diterima, satu lagi - Dikeluarkan. (Lihat Rajah 2.)

nasi. 2. Rakaman yang dipermudahkan

Rakaman telah menjadi lebih pendek. Tetapi inilah masalahnya: bagaimana untuk memahami berapa banyak bola yang diambil (atau diberikan) pada bila-bila masa tertentu?

Anda boleh menggunakan pertimbangan berikut untuk rakaman: apabila kami mengeluarkan bola dari gudang, kuantitinya dalam gudang berkurangan, dan apabila kami menerimanya, ia meningkat.

Tetapi bagaimana untuk menulis "memberi bola keluar"? Anda boleh memasukkan objek berikut: .

Objek ini membolehkan kita membuat rekod matematik pergerakan bola dalam susunan di mana ia berlaku:

Mari kita lihat contoh lain.

Terdapat rubel dalam akaun telefon anda. Anda pergi ke dalam talian dan ia menelan kos rubel. Hasilnya ialah hutang rubel. Pengendali boleh menulis: "pelanggan berhutang rubel." Anda meletakkan rubel. Pengendali telah menolak hutang. Ia ternyata pada akaun rubel.

Tetapi adalah mudah untuk merekodkan kedua-dua transaksi dan wang dalam akaun menggunakan tanda "" dan "". (Lihat Rajah 3.)

nasi. 3. Rakaman yang mudah

Kami memasukkan nombor negatif untuk menulis hasil penolakan nombor yang lebih besar daripada nombor yang lebih kecil: .

Menambah nombor negatif adalah bersamaan dengan menolak: .

Untuk membezakan nombor negatif daripada nombor positif yang kami berurusan sebelum ini, kami bersetuju untuk meletakkan tanda tolak di hadapannya: .

Bolehkah anda melakukannya tanpa mereka? Ya awak boleh. Dalam apa jua keadaan, kami akan menggunakan perkataan "kembali", "pinjam" dan sebagainya. Tetapi mereka, kata-kata ini, akan berbeza.

Oleh itu, kami mempunyai alat yang universal dan mudah. Satu untuk semua kes sedemikian.

Kita boleh melukis analogi dengan kereta. Ia terdiri daripada sebilangan besar bahagian, kebanyakannya tidak diperlukan secara individu, tetapi semuanya membolehkan anda memandu. Begitu juga, nombor negatif ialah alat yang, bersama-sama dengan alat matematik lain, menjadikannya lebih mudah untuk mengira dan memudahkan penyelesaian dan menulis banyak masalah.

Jadi, kami telah memperkenalkan objek baharu - nombor negatif. Untuk apa mereka digunakan dalam kehidupan?

Pertama, mari kita ingat peranan nombor positif:

Kuantiti: contohnya kayu, liter susu. (Lihat Rajah 4.)

nasi. 4. Kuantiti

Susunan: Contohnya, rumah dinomborkan dengan nombor positif. (Lihat Rajah 5.)

nasi. 5. Mengatur

Nama: contohnya, nombor pemain bola sepak. (Lihat Rajah 6.)

nasi. 6. Nombor sebagai nama

Sekarang mari kita lihat fungsi nombor negatif:

Petunjuk kuantiti yang hilang. Kuantiti tidak pernah negatif. Tetapi nombor negatif digunakan untuk menunjukkan bahawa sesuatu kuantiti sedang ditolak. Sebagai contoh, kita boleh menuang dari botol dan menulisnya sebagai . (Lihat Rajah 7.)

nasi. 7. Petunjuk kuantiti yang hilang

Mengatur. Kadangkala, apabila penomboran, sifar dipilih dan anda perlu menomborkan objek pada kedua-dua belah sifar. Sebagai contoh, lantai yang terletak di bawah th, di ruangan bawah tanah. (Lihat Rajah 8.) Atau suhu yang berada di bawah sifar yang dipilih. (Lihat Rajah 9.)

nasi. 8. Lantai terletak di bawah ke, di tingkat bawah tanah

nasi. 9. Nombor negatif pada skala termometer

Namun begitu, tujuan utama nombor negatif adalah sebagai alat untuk memudahkan pengiraan matematik.

Tetapi untuk nombor negatif menjadi alat yang mudah, anda perlu:

Suhu negatif ialah suhu di bawah sifar, di bawah suhu sifar. Tetapi apakah suhu sifar? Untuk mengukur dan merekod suhu, anda perlu memilih unit ukuran dan titik rujukan. Kedua-duanya adalah perjanjian. Kami menggunakan skala Celsius selepas saintis yang mencadangkannya. (Lihat Rajah 10.)

nasi. 10. Anders Celsius

Takat beku air dipilih sebagai titik rujukan di sini. Apa-apa sahaja di bawah ditunjukkan oleh nilai negatif. (Lihat Rajah 11.)

nasi. sebelas.

Tetapi adalah jelas bahawa jika kita mengambil satu lagi titik rujukan, satu lagi sifar, maka suhu negatif dalam Celsius boleh menjadi positif pada skala lain ini. Inilah yang berlaku. Skala Kelvin digunakan secara meluas dalam fizik. Ia serupa dengan skala Celsius, hanya nilai suhu terendah yang mungkin dipilih sebagai sifar (ia tidak boleh lebih rendah). Nilai ini dipanggil "sifar mutlak". Dalam Celsius ini lebih kurang . (Lihat Rajah 12.)

nasi. 12. Dua skala

Iaitu, tiada nilai negatif dalam skala Kelvin sama sekali.

Jadi, musim panas kami .

Dan yang beku .

Iaitu, suhu negatif adalah konvensyen, perjanjian di kalangan orang untuk memanggilnya begitu.

Mari kita mulakan dari awal. Sifar menduduki kedudukan istimewa di antara nombor.

Seperti yang telah kita bincangkan, untuk kemudahan kita, kita boleh menyatakan penolakan tujuh sebagai nombor negatif. Oleh kerana ia bermaksud penolakan, kami meninggalkan tanda "" sebagai tandanya. Mari namakan nombor baharu.

Iaitu, "" ialah nombor yang menambah hingga sifar: . Dan dalam sebarang susunan. Ini ialah takrifan nombor negatif (atau bertentangan).

Untuk setiap nombor yang kami pelajari tadi, kami akan memperkenalkan nombor baru, negatif, yang tandanya adalah tanda tolak di hadapannya. Iaitu, untuk setiap nombor sebelumnya kembar negatifnya muncul. Kami memanggil kembar seperti nombor bertentangan. (Lihat Rajah 13.)

nasi. 13. Nombor bertentangan

Jadi, definisi: nombor bertentangan ialah dua nombor yang jumlahnya sama dengan sifar.

Secara luaran, mereka hanya berbeza dalam tanda "".

Jika pembolehubah didahului dengan tanda "", contohnya, apakah maksudnya? Ini tidak bermakna nilai ini negatif. Tanda tolak bermakna bahawa nilai ini adalah bertentangan dengan nombor: . Kami tidak tahu yang mana antara nombor ini adalah positif dan yang mana negatif.

Jika, maka.

Jika (nombor negatif), maka (nombor positif).

Apakah nombor yang bertentangan dengan sifar? Kita sudah tahu ini.

Jika sifar ditambah kepada mana-mana nombor, termasuk sifar, nombor asal tidak akan berubah. Iaitu, hasil tambah dua sifar ialah sifar: . Tetapi nombor yang jumlahnya sifar adalah bertentangan. Oleh itu, sifar adalah bertentangan dengan dirinya sendiri.

Jadi, kami telah memberikan definisi nombor negatif dan mengetahui mengapa ia diperlukan.

Sekarang mari kita luangkan sedikit masa untuk teknologi. Buat masa ini, kita perlu belajar cara mencari lawan bagi sebarang nombor:

Di bahagian terakhir pelajaran kita akan bercakap tentang nama dan notasi baru untuk set yang muncul selepas pengenalan nombor negatif.

Bertentangan dengan diri anda.

Bertentangan dengan realiti

Daripada definisi nombor berlawanan sepatutnya

$n"\; =\; -n$

Oleh itu, nombor bertentangan mempunyai magnitud yang sama, tetapi tanda bertentangan. Selaras dengan ini, bertentangan dengan nombor $n$ menandakan $-n$.

Bertentangan dengan unit khayalan

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Oleh itu, kita mendapat

$-i\; =\; \backslash frac(1)(i)$ __ atau__ $-i\; =\; i^(-1)$

Begitu juga untuk $-i$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac(1)(i)$ __ atau __ $i\; =\; -i^(-1)$

Tulis ulasan tentang artikel "Nombor bertentangan"

Nota

lihat juga

Petikan mencirikan nombor Berlawanan

Keesokan harinya, pada awal pagi, Kutuzov yang uzur bangun, berdoa kepada Tuhan, berpakaian, dan dengan kesedaran yang tidak menyenangkan bahawa dia harus memimpin pertempuran yang tidak dia setujui, menaiki kereta dan mengusir keluar dari Letashevka , lima batu di belakang Tarutin, ke tempat tiang-tiang yang maju akan dipasang. Kutuzov menunggang, tertidur dan bangun dan mendengar untuk melihat sama ada terdapat sebarang tembakan di sebelah kanan, jika keadaan bermula? Tetapi semuanya masih senyap. Fajar hari musim luruh yang lembap dan mendung baru bermula. Mendekati Tarutin, Kutuzov melihat pasukan berkuda menuntun kuda mereka ke air di seberang jalan di mana gerabak itu bergerak. Kutuzov melihat mereka dengan lebih dekat, menghentikan gerabak dan bertanya rejimen mana? Pasukan berkuda adalah dari barisan yang sepatutnya berada jauh di hadapan dalam serangan hendap. "Ia mungkin satu kesilapan," fikir ketua komander tua itu. Tetapi, setelah memandu lebih jauh, Kutuzov melihat rejimen infantri, senjata api di dalam kotak mereka, askar dengan bubur dan kayu api, dalam seluar dalam mereka. Seorang pegawai dipanggil. Pegawai itu melaporkan bahawa tiada arahan untuk bergerak.
"Bagaimana mungkin anda tidak ..." Kutuzov bermula, tetapi segera terdiam dan mengarahkan pegawai kanan dipanggil kepadanya. Setelah keluar dari gerabak, dengan kepala menunduk dan bernafas berat, diam menunggu, dia berjalan ke sana ke mari. Apabila pegawai yang diminta muncul Kakitangan Am Eichen, Kutuzov bertukar menjadi ungu, bukan kerana pegawai ini bersalah atas kesilapan, tetapi kerana dia adalah subjek yang layak untuk meluahkan kemarahan. Dan, sambil terketar-ketar, tercungap-cungap, lelaki tua itu, setelah masuk ke dalam keadaan marah yang dia boleh masuki ketika dia berguling-guling di atas tanah dalam kemarahan, dia menyerang Eichen, mengugut dengan tangannya, menjerit dan bersumpah kesat. perkataan. Seorang lagi yang hadir, Kapten Brozin, yang tidak bersalah apa-apa, mengalami nasib yang sama.
- Apa jenis bajingan ini? Tembak orang jahat! – dia menjerit serak, melambai-lambaikan tangannya dan terhuyung-hayang. Dia mengalami kesakitan fizikal. Dia, ketua komander, yang paling terkenal, yang semua orang memberi jaminan bahawa tiada siapa yang pernah mempunyai kuasa sedemikian di Rusia seperti dia, dia diletakkan dalam kedudukan ini - diejek di hadapan seluruh tentera. “Sia-sia saya bersusah payah berdoa tentang hari ini, sia-sia saya tidak tidur malam dan memikirkan segala-galanya! - dia berfikir tentang dirinya sendiri. "Semasa saya menjadi pegawai semasa kecil, tiada siapa yang berani mempermainkan saya seperti itu... Tetapi sekarang!" Dia mengalami penderitaan fizikal, seperti dari hukuman badan, dan tidak dapat membantu tetapi menyatakannya dengan tangisan yang marah dan menyakitkan; tetapi tidak lama kemudian kekuatannya menjadi lemah, dan dia, melihat sekeliling, merasakan bahawa dia telah mengatakan banyak perkara yang buruk, masuk ke dalam gerabak dan secara senyap memandu kembali.

Definisi nombor bertentangan

Definisi nombor bertentangan:

Dua nombor dipanggil bertentangan jika ia hanya berbeza dalam tanda.

Contoh nombor berlawanan

Contoh nombor berlawanan.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Dari sini jelas bagaimana untuk mencari lawan nombor yang diberikan: hanya tukar tanda nombor itu.

Nombor bertentangan dengan 3 ialah nombor tolak tiga.

Contoh. Nombor adalah bertentangan dengan data.

Diberi: nombor 1; 5; 8; 9.

Cari nombor berlawanan bagi data tersebut.

Untuk menyelesaikan tugas ini, cuma tukar tanda nombor yang diberikan:

Mari kita buat jadual nombor berlawanan:

Lawan sifar

Lawan sifar ialah nombor sifar itu sendiri.

Jadi nombor yang bertentangan dengan 0 ialah 0.

Integer Bertentangan

Integer bertentangan hanya berbeza dalam tanda.

Contoh integer berlawanan.

10 -10
20 -20
125 -125

Pasangan nombor berlawanan

Apabila mereka bercakap tentang nombor berlawanan, mereka selalu bermaksud sepasang nombor berlawanan.

Nombor adalah bertentangan dengan nombor lain. Dan setiap nombor hanya mempunyai satu nombor berlawanan.

Nombor berlawanan dengan nombor asli

Lawan nombor asli ialah integer negatif.

Mari kita buat jadual nombor berlawanan untuk lima nombor asli pertama:

Jumlah nombor berlawanan

Jumlah nombor berlawanan ialah sifar. Lagipun, nombor bertentangan hanya berbeza dalam tanda.